Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng ...

Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.

Cộng hoà xà hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập Tự do Hạng phúc
=======***&***=======

Bản sáng Kiến kinh nghiệm
Vẽ hình phụ

làm xuất hiện tam giác đồng dạng để
chứng minh đẳng thức hình học
dạng a=b+c

Giáo viên: NGuyễn

Hữu Tài

Trờng THCS Lý Tự Trọng
Bình Xuyên Vĩnh Phúc

Năm học 2007 2008

---------------------------------------------------------GV: Nguyễn Hữu Tài THCS Lí Tự Trọng

1


Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.

Phần 1. Phần mở đầu

1. Lý do chọn đề tài:
a) Khi giải một bài toán chứng minh hình học trừ một số bài dễ, còn lại phần
lớn các bài đều phải vẽ thêm hình phụ mới tạo điều kiện thuận lợi cho ta tìm ra lời
giải bài toán. Hình phụ có một vai trò quan trọng trong chứng minh hình học. Có
nắm kiến thức một cách chắc chắn, biết vận dụng linh hoạt mới biết khai thác các dữ
kiện của bài ra mà tìm cách vẽ hình phụ thích hợp để giải bài toán. Nh vậy vẽ hình
phụ trong giải toán hình học cũng là một kỹ năng cần đợc rèn luyện; nhng SGK phổ
thông không có bài cụ thể nào để hớng dẫn HS vẽ hình phụ để giải toán. Do đó đây là
việc làm thờng xuyên của GV toán khi dạy HS giải toán.
b) Trên thực tế, vẽ hình phụ nh thế nào và vẽ nhằm mục đích gì, khi nào thì
vẽ? đó là câu hỏi mà đại đa số HS muốn biết đối với mỗi bài toán, loại toán cụ thể.
Kể cả khi đọc sách tham khảo có các bài giải mẫu hoặc lời hớng dẫn chứng minh
thấy tác giả vẽ thêm hình phụ, nhng không biết tại sao họ lại nghĩ ra mà vẽ đợc nh
vậy?
Mặt khác, trên thực tế cũng không có một phơng pháp chung nào cho việc vẽ
hình phụ trong giải toán chứng minh hình học. Ngay với một bài toán cụ thể cũng có
thể có những cách vẽ hình phụ khác nhau tuỳ thuộc vào sự phát hiện của ngời giải
toán hình học.
Với những lý do trên đây trong đề tài này tôi đa ra một cách phân tích có chủ
ý để tìm cách vẽ thêm đợc hình phụ thích hợp nhằm xuất hiện các cặp tam giác đồng
dạng để chứng minh đẳng thức hình học dạng A = B + C hc A = B – C ë đây A,
B, C là các biểu thức tích chứa độ dài các đoạn thẳng.
Đề tài có tên: Vẽ hình phụ làm xuất hiện tam giác đồng

---------------------------------------------------------GV: Nguyễn Hữu Tài – THCS L‎Ý Tù Träng

2


Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.

dạng để chứng minh đẳng thức hình häc d¹ng A = B + C ”.

2. Ph¹m vi, đối tợng, mục đích của đề tài:
a) Phạm vi của đề tài:
Là phơng pháp chứng minh đẳng thức hình học THCS nhng ở phạm vi hẹp, cụ
thể là dùng tam giác đồng dạng chứng minh một số hệ thức nh :
xy = ab + cd , x2 = ab + cd , x2 = ab - cd, x2 = a2 + cd , x2 = a2 + b2 và các dạng tơng
ứng mà một vế là một tổng.
b) Đối tợng của đề tài :
Là học sinh khá, giỏi và cả HS trung bình lớp 8; 9, giáo viên mới ra nghề dạy
ở trờng THCS.
c) Mục đích của đề tài :
Giúp giáo viên hớng dẫn học sinh tạo ra hìng phụ để chứng minh hệ thức hình
học dạng A = B + C và đặt biệt rèn luyện học sinh kỹ năng phân tích tìm lời giải tự
nhiên cho các dạng toán thuộc dạng nói trên.

* * *

* *

Vì thời gian có hạn , năng lực cuả bản thân còn có những hạn chế nhất định
nên quá trình nghiên cứu và viết đề tài này không thể tránh khỏi những thiêú sót.
Kính mong hội đồng khoa học các cấp và các thầy cô đồng nghiệp đóng góp
xây dựng.
Xin trân thành cảm ơn !

---------------------------------------------------------GV: Nguyễn Hữu Tài THCS Lí Tự Trọng

3

Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.

Phần 2: NộI

DUNG Của đề tài

A. Nội dung:
I. Cơ sở lí luận, khoa học của đề tài:
Để nghiên cứu và viết đợc đề tài này tôi đà căn cứ vào những cơ sở lí luận
sau :
1 . Một số phơng pháp chứng minh đẳng thức A = B + C (A = B C), ở đây A, B, C
cùng là đoạn thẳng.
a) Phơng pháp 1: Đặt B lên A ( hoặc B lên A ) để xt hiƯn A’ = A – B . Sau
®ã chøng minh A = C.
b) Phơng pháp 2: Đặt A = B + C , Chøng minh A’ = A.
c) Ph¬ng pháp 3:
- Do tính toán mà A = A, B + C = A
- Sử dụng tính chất bắc cầu.
d) Phơng pháp 4: Sử dụng định lí Talet , tam giác đồng dạng , Pytago ,...vv
Tất nhiên không phải là dùng tất cả các phơng pháp trên để viết vào đề tài này
mà đó là cơ sở chung để nghiên cứu.
2. Một số cách vẽ hình phụ trong giải toán hình học:
a) Vẽ hình phụ để tạo ra mối liên hệ giữa các điều kiện đà cho hoặc giữa các
yếu tố trong kết luận của bài toán với nhau.
b) Vẽ thêm hình phụ để tạo ra yếu tố trung gian có tính chất bắc cầu giữa các
yếu tố cần chứng minh hoặc cần so sánh với nhau.
c) Vẽ hình phụ để tạo nên một hình mới biến đổi bài toán để bài toán dễ chứng
minh hơn.
d) Thêm những đại lợng bằng nhau hoặc thêm vào những đại lợng bằng nhau

mà bài đà ra để tạo mối liên hệ giữa các đại lợng cần chứng minh giúp cho việc
chứng minh đợc dễ dàng.
e) Thêm hình phụ để bài toán có thể áp dụng một định lí nào đó ( ví dụ :
Talet , pitago ,...vv)
Đây là cơ sở có tính chất khoa học mà ngời giáo viên toán và học sinh phải
nắm đợc.
3. Những điểm cần lu ý khi vẽ hình phụ:
a) Vẽ hình phụ phải có mục đích không vẽ tuỳ tiện, phải nắm thật vững đề bài,
định hớng chứng minh từ đó mà tìm xem vẽ đờng phụ nào phục vụ cho mục đích
chứng minh của mình.
b) Vẽ hình phụ phải chính xác và phải tuân thủ theo đúng các phép dựng hình
cơ bản.

---------------------------------------------------------GV: Nguyễn Hữu Tài THCS L‎Ý Tù Träng

4


Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.
c) Với mỗi bài toán những cách vẽ hình phụ khác nhau thì cách chứng minh
cũng khác nhau. Có khi cùng một đờng phụ nhng cách vẽ cũng khác nhau. Trong quá
trình nghiên cứu đề tài này các chú ý trên luân luân tồn tại.
4. Một số loại đờng phụ thờng vẽ nh sau.
a) Kéo dài một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trớc.
b) Vẽ một đờng thẳng song song với đoạn thẳng cho trớc từ một ®iĨm cho tríc.
c) Tõ mét ®iĨm cho tríc vÏ ®êng thẳng vuông góc với đờng thẳng cho trớc.
d) Nối hai điểm cho trớc hoặc xác định trung điểm của một đoạn thẳng cho trớc.
e) Dựng đờng phân giác của một gãc cho tríc.
g) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tríc hay b»ng nưa gãc cho tríc.
h) VÏ tiÕp tun với một đờng tròn cho trớc từ một điểm cho trớc.

i) Vẽ tiếp tuyến chung , dây chung hoặc đờng nối tâm khi có hai đờng tròn
giao nhau hay tiếp xúc ngoài với nhau.
Trên đây là những cơ sở lí luận khoa học mà tôi sử dụng để nghiên cứu và viết
đề tài này và chắc chắn rằng nếu không có những cơ sở lí luận khoa học tối thiểu trên
thì không thể vẽ đợc hình phụ phục vụ cho giải toán hình học.
II. Đối tợng phục vụ cho quá trình nghiên cứu, xây dựng đề tài này là:
1. Về con ngời: Là những giáo viên giỏi ,giáo viên lâu năm trong nghề có kinh
nghiệm để học hỏi, trao đổi vấn đề nảy sinh trong quá trình nghiên cứu.
-Giáo viên mới ra nghề dạy toán để đề xuất câu hỏi : Tại sao vẽ thêm hình
phụ nh thế trong chứng minh một bài toán hình học
-Là học sinh trung bình và khá giỏi môn toán lớp 8 ,9 trờng THCS Hơng Canh,
trờng THCS Lí Tự Trọng để khảo sát ban đầu và dạy thử nghiệm đề tài.
2. Về kiến thức : Vì thời gian có hạn năng lực có hạn chế nên đối tợng về kiến
thức tôi chọn ở đây chỉ là các định lí và các bài toán hình học nói về đẳng thức dạng
xy = ab + cd, xy = ab cd và những dạng tơng tự mà vế phải là một tổng. .Nghiên
cứu chủ yếu cách vẽ hình phụ để nhằm xuất hiện các cặp tam giác đồng dạng để rút
ra các đẳng thức ( hoặc tØ lƯ thøc ) phơc vơ cho kÕt ln cđa bài toán.
III. Nội dung phơng pháp nghiên cứu:
*Về phơng pháp nghiên cứu:
-Bằng quan sát thực tế giảng dạy các giờ toán chứng minh đẳng thức hình học
của giáo viên trờng THCS.
-Bằng kinh nghiệm đứng lớp và bồi dỡng học sinh đại trà lớp 8, bồi dỡng HSG
phần tam giác đồng dạng và dạy học sinh lớp 9 trong những năm trớc đây thấy học
sinh rất ít em phát hiện đợc hình phụ để chứng minh với những bài toán cần phải vẻ

---------------------------------------------------------GV: Nguyễn Hữu Tài THCS Lí Tự Trọng

5

Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.
thêm hình phụ, chỉ có 1, 2 em là giải quyết đợc; nhng hỏi vì sao lại vẽ nh thế thì học
sinh này trả lời không đợc rõ ràng,cha ngắn gọn.
-Bằng đọc tài liệu để nắm đợc những cơ sở lí luận khoa học về phơng pháp vẽ
hình phụ nh trên. Đặc biệt tìm cách giải đáp cho câu hỏi vì sao lại vẻ hình phụ nh
vậy trong các bài giải có vẽ thêm hình phụ trong các tài liệu.
-Bằng việc tham khảo và học hỏi ý kiến của đồng nghiệp nhất là thầy cô dạy
giỏi toán trong huyện.
- Bằng thử nghiệm đề tài của mình trong bài dạy giải toán ở trên lớp , các buổi
ôn tập đại trà, bồi dỡng HSG, luyện thi vào THPT.
- Bằng phơng pháp tơng tự hoá và tổng quát hoá để nêu lên các bớc vẽ hình
phụ và chứng minh.
- Và cuối cùng là bằng việc đi từ vấn đề đơn giản đến các định lí và bài toán
khó hơn , phức tạp hơn .
Từ các phơng pháp trên đây ®èi chiÕu víi lÝ ln vµ thùc tÕ rót ra kinh nghiệm
nhỏ trong quá trình hớng dẫn học sinh giải to¸n bëi néi dung cơ thĨ nh sau:

* Néi dung nghiên cứu :

1. Ngay từ lớp 6 học sinh đà đợc biết : Nếu điểm M nằm giữa A và B thì
AB = AM + MB . Vậy để chứng minh một đoạn thẳng bằng tổng của hai đoạn thẳng
khác : AB = CD + EF, ta tìm cách phân chia đoạn AB thành hai đoạn bởi điểm M sao
cho AM = CD, công việc còn lại là chứng minh MB = EF .
2 . Lớp 7 đà đợc tiếp cận định lý Pytago (công nhận và vận dụng), đến lớp 8
khi học xong tam giác đồng dạng, một vấn đề đặt ra là có thể chứng minh định lí Pyta-go đợc không? và làm nh thế nào?
Sử dụng ý tởng trên với đẳng thức BC2 = AB2 + AC2 (ở đây AB, BC, CA là ba
cạnh ABC vuông ở A)
a
Vế phải của hệ thức cần chứng minh là một tổng,
vậy vế trái có thể viết thành tổng bởi điểm M

trên đoạn BC nh thế nào?
Ta có : BC2 = AB2 +AC2
⇔ BC. BC = AB2+AC2
⇔ (BM+MC).BC = AB2+AC2 ( M ∈ [BC] )
b
m
c
⇔ MB.BC+MC.BC=AB2+AC2

MB AB

2
= ⇒ ∆ BMA
 MB.BC = AB ⇔
AB BC
⇔
 MC.BC = AC2 (tuong tu)


∆ BAC

Suy ra


AMB = 90o .

---------------------------------------------------------GV: Nguyễn Hữu Tài THCS L‎Ý Tù Träng

6

Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.
Vậy điểm M đợc xác định. Tóm lại, chứng minh định lí Pytago ta đà lấy điểm
M thuéc c¹nh BC sao cho BM.BC=AB2 ⇔

BM
AB
=
AB
BC

, suy ra ∆BMA và BAC đồng


dạng nên BMA =90 o
Từ đó M là chân đờng cao hạ từ A xuống BC.
- Hoàn chỉnh chứng minh định lí Pytago nh sau :
Hạ AM BC, vì các góc B ,C đều nhọn nên M thuộc đoạn BC. Ta có:

BMA đồng dạng BAC (g g)

BM
AB
=
AB
BC

AB2 = BM. BC

(1)

Tơng tự CMA đồng dạng CAB (g.g)
⇒ AC2 = CM.BC
(2)
Céng theo tõng vÕ c¸c hƯ thøc (1) và (2) đợc :
AB2+AC2=BC.(BM+CM)=BC2
- Vậy ý tởng đầu tiên đợc sử dụng để vẽ hình phụ chứng minh đẳng thøc d¹ng
x2 = a2+b2.
3. TiÕp tơc ta xÐt tíi viƯc chứng minh định lí Ptôlêmê:
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O. Chứng minh rằng:
AC.BD=AB.CD+AD.BC
-Tách vế trái thành tổng bằng việc lấy điểm M thuộc cạnh AC (Hoặc M thuộc
cạnh BD)
b
Giả sử M thuộc cạnh AC
sao cho AM.BD=AB.CD
AM

CD

=

AB
BD

, mà



BAC = BDC

do đó hai tam giác ABM và DBC


đồng dạng, nên suy ra ABM = DBC.
Vậy điểm M đợc xác định là :


M[ AC ] và ABM = DBC .

c

o

m

d

a

- Vậy ta trình bày chứng minh định lí Ptôlêmê nh sau :


Vì CBD

+ Vậy trên đoạn AC lấy ®iĨm M sao cho ABM =CBD .
ˆ
ˆ
KÕt hỵp víi BAM = BDC ( gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BC )

suy ra ABM đồng dạng DBC (theo trờng hợp thứ ba: g.g ).
Suy ra

AB
AM
=
BD
CD



ABM = DBC

AM.BD=AB.CD (1)

+ Mặt khác dễ chứng minh đợc



BCM = BDA

và

dạng BAD (theo trờng hợp thứ ba: g.g). Suy ra:



CBM = DBA

MC

BC
=
AD
BD

nên BMC đồng

---------------------------------------------------------GV: Nguyễn Hữu Tµi – THCS L‎Ý Tù Träng

7


Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.
MC.BD=AD.BC (2).
Cộng vế theo vế các đẳng thức (1) và (2) ta đợc:
AB.CD+AD.BC=AC.BD
- Chú ý : Với đối tợng học sinh lớp 8 định lí trên có thể phát biểu dới dạng đặc biệt
hoá nh sau:
Cho hình thang cân đáy nhỏ AD, đờng chéo AC và BD.
Chứng minh rằng:
a
b
2
AC =AD.BC+AB.CD.
Với bài toán trên , việc xác định
điểm M để vẽ hình phụ tơng tự
m
nh trên ( Hình vẽ bên) vì AC = BD
(T/c hình thang cân) nên có đpcm.
d

c

4. Nh vậy, ý tởng đầu tiên cũng đợc sử dụng để chứng minh đẳng thức
dạng xy = ab+cd và các trờng hợp riêng qua các bớc nh sau:
a) Chia đoạn thẳng độ dài x thành hai đoạn thẳng bởi điểm chia trong M
để có x = x1+x2 sao cho x1y = ab (1) để phân tích tìm ra đợc một cặp tam giác đồng
dạng.
b) Tìm cách chøng minh hÖ thøc x2.y = cd (2)
c) Céng tõng vế của (1) và (2) để đợc chiều phải chứng minh.
*Chú ý:
1) ở bớc a) cũng có thể chia đoạn dài x bởi điểm chia ngoài M với dạng
toán chứng minh đẳng thức x.y = ab cd hoặc với một số bài toán cụ thể dẫn tới
cách chứng minh khác.
2) ở hai bớc sau có bài có thể chứng minh đẳng thức khác để phù hợp với
giả thiết của bài toán hoặc phù hợp với điểm chia ngoài đoạn thẳng độ dài x. Vậy
bớc cuối có thể thay thế vào hệ thức đà chứng minh đợc ở trên.
3) cũng có thể xác định điểm M từ việc xác định điểm N thoả mÃn điều kiện
nào đó để sử dụng đợc giả thiết của đề bài.

---------------------------------------------------------GV: Nguyễn Hữu Tài THCS L‎Ý Tù Träng

8


Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.

Vài ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1
Cho hình bình hành ABCD ( AC

B lên các đờng thằng DA và DC. Chứng minh rằng:
BD2=AD.DE+DC.DF.
a) Phân tích tìm hình phụ:
Giả sử lấy điểm M thuộc
đoạn BD sao cho
DM.DB=DA.DE


DM
DA
=
DE
DB

,

kết hợp với góc D chung
để suy ra MDA và EDB đồng dạng,


vì E =900 nên M =900 hay AM DB.
Do đó điềm M cần tìm là hình chiếu của A lên DB.

e

a

b

m

d

c

f

b) Bài giải ( hình trên)
Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với BD cắt BD tại M, do AC < BD nên các
góc ADB và ABD đều nhọn nên M nằm giữa D và B , do ®ã BD = DM+MB
- DƠ chøng minh ®ỵc ∆ DAM và DBE đồng dạng (g.g), suy ra
DM
DA
=
DE
DB

DM.DB = DA.DE (1)

-Lại có DBF và BAM đồng dạng (vì
Suy ra

BM
AB
=
DF
DB

ˆ
F

ˆ
ˆ
ˆ
= M =900 vµ B D F=A B M (so le trong)).

⇒ BM.AB = AB.DF (2)

- Céng vÕ theo vÕ hệ thức (1) và (2) ta đợc:
DB2 = DA.DE+DC.DF
---------------------------------------------------------GV: Nguyễn Hữu Tài THCS Lí Tự Trọng

9


Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC, đờng phân giác AD.
Chứng minh rằng AD2 = AB.AC DB.DC.
a) Phân tích tìm hình phụ:
Giả sử điểm M thuộc đờng thẳng AD
sao cho AD.AM=DB.DC, suy ra

a

AD
CD
=
BD MD

tỉ lệ thức này gợi cho ta đến góc đỉnh D
của hai tam giác ADB và CDM
bằng nhau ở vị trí đối đỉnh.
Do đó M là giao điểm của tia Cx với tia AD
sao cho gãc DCx b»ng gãc BAD
(tia Cx kh¸c phÝa víi A đối với BC).

b

d

c

M
x

b) Bài giải:


Kẻ tia Cx sao cho DCx = BAD (tia Cx khác phía với A đối víi BC), gäi giao
®iĨ cđa tia Cx víi tia AD là M.
+ Xét tam giác ABD và tam giác AMD, ta có:


BAD = MCD (cách vẽ)


BDA = MDC (đối đỉnh)
Do đó ABD và CMD đồng dạng (g.g), suy ra

B =M

từ đó AD.DM = DB.DC (1)
+ Xét tam giác ABD và tam giác AMC, ta có:


BAD = MAC (theo giả thiết)


B = M (chứng minh trên)
Do đó ABD và AMC đồng dạng (g.g), suy ra

,

AD
CD
=
,
BD MD

AB
AD
=
,
AM
AC

từ đó

từ đó AD.AM = AC.AB (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra AD.AM – AD.DM = DB.DC – AC.AB
=> AD(AM – DM) = DB.DC – AC.AB
=> AD2 = AB.AC DB.DC.

---------------------------------------------------------GV: Nguyễn Hữu Tài THCS L‎Ý Tù Träng

10


Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.

Ví dụ 3 (Ví dụ làm sáng tỏ thêm chú ý 3):

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn . D là một điểm trên cung BC
không chứa A . Gọi I , K và H lần lợt là hình chiếu của D trên các đờng thẳng BC
AB và AC .
Chứng minh rằng :

BC
AB AC
=
+
DI
DK DH

.

a) Phân tích tìm hình phụ :
Giả sử điểm M thuộc cạnh BC
sao cho

BM
AB
=
DI
DK

a

, kết hợp

h



với ABM = IDK (cùng bù với góc IBM ),
suy ra DKI và BAM đồng dạng
i
b
M = D K I nhng DKI = DBI ( Do
ˆ
ˆ
ˆ
⇒BA
ˆ
ˆ
tø gi¸c DIBK néi tiÕp ) ⇒ BAM = DBI

k
⇒ sđCD = sđBN (N là giao điểm khác A
d
của AM với đờng tròn )
DN// BC. Vậy ta xác định đợc điểm N và từ đó có điểm M

o
c

m

n

b) Bài giải:
- Qua D kẻ đờng thăng song song với BC, đờng thẳng này cắt đờng tròn tại điểm
thứ hai là N ( N cã thĨ trïng víi D). AN c¾t BC t¹i N.
Ta cã

 KDI =
 ˆ

ˆ
 DK I =


ˆ
ABM (cung bu voi goc KBI )
ˆ
ˆ
BAM (cung bang so do DBC )

Suy ra DKI và BAM đồng dạng (theo trờng hợp thứ ba: g-g)


BM
AB
=
DI
DK

(1)

Mặt khác ta thấy : Tứ giác DIHC néi tiÕp
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
suy ra IDH = MCA vµ IHD =CAM ( IHD = ICD =CBN =CAN )
Do đó ACM và HDI đồng dạng (theo trờng hợp thứ ba: g.g )


CM
AC
=
DI
DH

(2)

- Cộng hai vế của (1) và (2) ta đợc :

BC
AB AC
=
+
DI
DK DH

---------------------------------------------------------GV: Nguyễn Hữu Tài THCS Lí Tự Trọng

11


Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.

* Với trờng hợp này cũng có thể đa ra ví dụ đơn giản hơn cho học sinh lớp 8,
chẳng hạn ví dụ sau:
Ví dụ 4:
Cho hìng bình hành ABCD ,kẻ một đờng thẳng d tuỳ ý, d cắt AB, AC, AD
theo thứ tự tại B ,C ,D’ .
Chøng minh :

AC
AB AD
=
+

.
'
AC '
AB ' AD '

a) Ph©n tích tìm hình phụ:

d

d

- Giả sử điểm M thuộc cạnh AC sao cho
AM
AB
=
AC '
AB '

d

Suy ra ACM và ABC đồng dạng


=> ABM = AB ' C ' mà hai góc này
có vị trí đồng vị nên suy ra BM // BC.
Vậy điểm M đợc xác định
- Tơng tự ta xác định đợc điểm N là
giao điểm của đờng thẳng qua D song
song với CD và AC.

m



c
a

c

n

b

b

b) Bài giải :
- Qua B và D kẻ các đờng thẳng song song với đờng thẳng d cắt AC lần lợt tại M và
N. Ta chứng minh đợc : ABM và ABC đồng dạng suy ra:
Tơng tự ta chứng minh đợc :

AM
AB
=
(1)
AC '
AB '
AN
AD
=
(2).

AC '
AD '

- Céng vÕ theo vÕ cđa (1) vµ (2) ta đợc:

AC
AB AD
=
+
'
AC '
AB ' AD '

---------------------------------------------------------GV: Nguyễn Hữu Tài – THCS L‎Ý Tù Träng

12


Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.
Ví dụ 5 (Ví dụ minh hoạ thêm cho chú ý 2):


Cho tam giác ABC ,biết rằng 3 A + 2 B = 1800 chøng minh r»ng :
AB2 = BC2 + AB.AC.
a) Phân tích tìm hình phụ:
Giả sử điểm M thuộc cạnh AB
sao cho BM.AB = BC2.
Suy ra

BM

BC
=
BC
AB

c

để suy ra

BMC và BCA đồng dạng
a




=> BCM = BAC ,kÕt hỵp víi 3 A + 2 B = 1800 (g.t)


và A + B + ACB = 1800 (định lÝ tỉng 3 gãc cđa 1 tam gi¸c)
ˆ
ˆ
ta suy ra đợc ACM = AMC hay tam giác ACM cân với đáy CM .
Vậy điểm M đợc xác định là: M[AB] và AC = AM .

M

b

b) Bài giải:
-Trên cạnh AB lấy ®iĨm M sao cho AM = AC => ∆ACM c©n đáy CM.

Từ giả thiết suy ra C = 2 A + B

ACM =

từ đây suy ra:
và do đó:

1
1 ˆ ˆ
1 ˆ ˆ
1 ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
(1800 − A) = ( A + B + C − A) = ( B + C ) = ( B + 2 A + B) = A + B
2
2
2
2

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ

BCM = ACB − ACM = ACB − AMC ( ACM = AMC v× ∆ACM cân đáy CM)











BCM = ACM + BCM BCM B (Do ACB = ACM + BCM vµ AMC = BCM + B
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
= A + B − B ( ACM = A + B chøng minh trªn)

.
- XÐt hai tam giác BCM và BAC có góc B chung và
minh trên) nên chúng đồng dạng .

=A

Suy ra

BM

BC
=
BC
AB



BCM = BAC

(chứng

=> BM.AB = BC2 (1).






Mặt khác từ C = 2 A + B => C > B => AB >AC hay AB > AM
do ®ã
=> BM = AB – AM hay BM = AB AC (2)
Thay (2) vào (1) ta đợc :
(AB-AC).BC =BC2 => AB2 = BC2 + AB.AC
.

VÝ dô 6 (VÝ dụ minh hoạ thêm cho ví dụ 1):
---------------------------------------------------------GV: Nguyễn Hữu Tµi – THCS L‎Ý Tù Träng

13

Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.
Cho tam giác ABC ,kẻ đờng phân giác trong của góc A là AD .(DBC).
Chứng minh rằng: AD2 = AB.AC BD.DC.
a)Phân tích và vẽ hình phụ:
Giả sử trên tia AD lấy điểm M sao cho
AD

AD.AM = AB.AC AB

=

AC
AM

suy ra ADC và ABM đồng dạng




suy ra ACD = AMB hay ACB = AMB
mµ C vµ M cùng thuộc một nửa mặt
phẳng bờ chứa đoạn AB nên suy ra tứ
giác ABMC nội tiếp.
Vậy điểm M đợc xác định là giao
điểm của tia phân giac AD và đờng
tròn ngoại tiếp ABC.

A

o
B

c

d
m

b) Bài giải :
Dựng đờng tròn ngoại tiếp ABC ,gọi giao điểm của tia phân giác AD với đờng tròn này là M suy ra D nằm giữa A và M, do đó AM = AD + DM
Để chứng minh đợc ADC và ABM đòng dạng ( theo trêng hỵp thø ba: g.g)
=>

AD
AC
=
AB
AM

=> AD.AM = AB.AC.

=> AD (AD+DM) = AB.AC.
=> AD2 + AD.DM = AB.AC
=> AD2 = AB.AC AD.DM (1)
Mặt khác ta cũng chứng minh đợc ADC và BDM đồnd dạng (theo trờng

hợp thứ ba: g.g) =>

AD
DC

=
BD DM

=> AD.DM = BD.DC (2).
Thay (2) vào (1) ta đợc điều phải chứng minh.
* Đối với một bài toán cụ thể cũng có thể có cách vẽ hình phụ khác nhau.
Chẳng hạn nh ví dụ sau:

Ví dụ 7:
Cho tam giác ABC có



A = 2C

---------------------------------------------------------GV: Nguyễn Hữu Tài THCS Lí Tù Träng

14


Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.
Chứng minh rằng: BC2 = AC2 + AC.AB.
- Cách 1:
a)Phân tích :
Trên AC lấy điểm M sao cho CA.CM = CB2
=>

CA
CB
=

CB CM

=> CAB và CBM

m

đồng dạng (theo trờng hợp thứ ba: g.g)




=> ABC = AMC , mà BAC = 2 ABC
ˆ
ˆ
ˆ
vµ BAC = ABM + AMB gãc ngòai ABM


nên AMB = ABM => AMB cân tại A
=>AM = AB .
Vậy điểm M đợc xác định.

a

b

c

b)Bài giải:
Trên tia ®èi cđa tia AC lÊy ®iĨm M sao cho AM = AB => AMB cân tại A

nên M = ABM ,kết hợp với BAC = 2 ABC và góc BAC là góc ngoài của tam giác
C = 2 ABC = ABC + ABM = CBM




ABM tại đỉnh A ta suy ra: BA
do đó ABC và BMC đồng dạng (theo trêng hỵp thø ba: g.g) =>

BC
AC
=
MC
BC

=> BC2 = AC(AC+AB) ,hay BC2 = AC2 + AC.AB.
* TÊt gnhiªn ta vÉn cã thể xác định điểm M nằm trên cạnh BC nh sau :
- Cách 2
a) Phân tích :
Giả sử lấy điểm M thuộc cạnh BC
sao cho: MC.CB = AC2
=>

a

MC

AC
=
AC
CB

=> CAM và CBA đồng dạng


=> CAM =CBA

b

c

m

b) Bài giải:


Qua A kẻ đờng thẳng cắt BC tại M sao cho CAM =CBA .Vì
B > ABC nên CAB >CAM Do đó M nằm giữa B và C



(gt) => CA
hay BC = BM + MC



CAB = 2 ABC

---------------------------------------------------------GV: Nguyễn Hữu Tài THCS Lí Tù Träng

15


Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.
Dễ chứng minh CAM và CBA. (theo trêng hỵp thø ba: g.g)
Suy ra

AC CM
=
BC
CA

=> AC2 = CB.CM (1).



Mặt khaé theo giả thiết BAC = 2 ABC mà
=> AM là phân giác của góc CAB, do đó :

MC
AC
=
MB
AB

Thay

MC
AC
=
MB + MC AC + AB
AC.BC
=> MC =
(2).
AC + AB
AC.BC
(2) vµ (1) ta đợc: AC 2 = BC
AC + AB

=>

hay



CAM = ABC

nªn

ˆ
ˆ
BAM =CAM

MC
AC
=
BC

AC + AB

=> AC(AC+AB) = BC2
=> AC2+AC.AB = BC2

* ở đây có thể nhận xát từ giả thiết để có cách vẽ thêm hình phụ nhanh hơn;
đơn giản hơn.
- Cách 3:


Phân tích vẽ hình phụ : Từ A = 2 B (gt) gợi cho ta nghĩ tới việc tạo ra một
góc bằng góc B một cách đơn giản nhất , bằng cách kẻ phân giác AM của tam giác
ABC, ta có:
a



A1 = A2 = B .
Vậy điểm M đợc xác định.
Cách giải :
(Giải tơng tự nh cách 2 trên).
*

b

*

c

m

*

*

*

Trong mỗi bài toán nêu trên còn có những cách giải khác và cũng có thể là
cách giải hay va ngắn gọn hơn nhng ởn đây tôi không trình bày vì mục đích của các
ví dụ này là làm sấng tỏ việc phân tích tìm hình phụ thích hộp để chứng minh đẳng
thức dựa vào tam giác đồng dạng.
IV. Trong quá trình nghiên cứu tổng hợp và viết hoàn thiện đề tài này ,
tôi thu đợc kết quả khá khả quan :
- Tự mình trả lời đợc câu hỏi : Tại sao họ lại vẽ đợc hình phụ đó ? .khi đọc
mỗi định lý , bài toán khó có vẽ thêm hình phụ .
---------------------------------------------------------GV: Nguyễn Hữu Tài THCS L‎Ý Tù Träng

16


Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.
- Thêm cho mình những phơng pháp chứng minh định lý và giải toán chứng
minh đẳng thức hình học ( A=B+C ) có vẻ tự tin hơn , t duy thêm nhanh và sáng tạo
hơn .
- Đặc biệt là giúp cho giáo viên thêm phơng pháp hớng dẫn học sinh chứng
minh định lý , giải toán và hớng dẫn học sinh tự đọc tài liệu tham khảo với bài toán
có vẽ thêm hình phụ .
V . Vậy là trong đề tài này giải phơng pháp mới và sáng tạo là :
phân tích để tìm ra hình phụ tạo thành tam giác đồng dạng để chứng minh định lý,
bài toán hinh học có kết luận là đẳng thức dạng A =B + C ( Cụ thể là đẳng thức

xy = ab + cd và các dạng tơng tự ) qua các bớc nh sau :
Bớc 1 :
Giả sử ®iĨm M lµ ®iĨm chia trong hay chia ngoµi mét đoạn thẳng nào đó có
mặt trong hệ thức cần chứng minh thành hai đoạn thẳng theo một tỉ số lien quan
đến các đoạn thẳng khác trong hệ thức cần chứng minh nhằm xuất hiện tam giác
đồng dạng .
Bớc 2:
Vẽ hình có điểm M, sau đó:
Dựa vào cách vẽ hình trên và giả thiết đề bài để chứng minh các cặp tam
giác nào đó đồng dạng rồi rút ra hệ thức (Tỉ lệ thức ) cần thiết . (Hoặc cũng có thể
bằng các tính chất hình học khác chứng minh đợc hệ thức còn lại cần thiết) .
Bớc 3:
Có thể cộng (trõ) theo tõng vÕ cđa c¸c hƯ thøc chøng minh đợc ở trên; hoặc
thay thế; ...vv để đợc điều phải chứng minh .
Cái sáng tạo ở đây là tìm đợc hình phụ để vẽ và chứng minh có vẻ tự nhiên
hơn.
B. ứng dụng vào thực tế công tác giảng dạy :
1. Quá trình áp dụng :
Vẽ hình phụ làm xuất hiện tam giác đồng dạng để chứng minh đẳng thức
hình học dạng A = B + C
- Trên lớp với các bài toán có vẽ hình phụ chứng minh đẳng thức nói trên đều
nêu vấn đề: Phân tích tìm cách vẽ hình phụ nhằm xuất hiện tam giác đồng dạng ?
- Khi học đến tam giác đồng dạng định lí Pytago đà đợc chứng minh với lớp 8 trờng
THCS Lý Tự Trọng .
---------------------------------------------------------GV: Nguyễn Hữu Tài THCS Lí Tù Träng

17


Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.

+) Hớng thứ nhất : Học sinh đà sử dụng công cụ diện tích để chứng minh.
(Chẳng han , hình phụ là dựng ra ngoài tam giác các hình vuông cạnh là cạnh của
tam giác vuông ; Dựa vào hình vuông,...vv; Chứng minh bằng phản chứng)
+) Hớng thứ 2 : Là học sinh đà biết hạ đờng vuông góc từ đỉnh góc vuông
xuống cạnh huyền để xuất hiện tam giác đồng dạng ( Dạy nh ở phần nội dung viết
trên).Tìm đợc điểm M là chân đờng cao xuất phát từ đỉnh góc vuông.
-Tiếp đó đúc rút kinh nghiệm, viết đề cơng đề tài này và báo cáo trớc tổ
chuyên môn; Đợc đồng nghiệp góp ý thêm nhất trí và thực hiện dạy minh hoạ. Sau
khi dạy minh hoạ thực sự hoc sinh nắm đợc con đờng phân tích tìm hình phụ rất tự
nhiên và hứng thú.
-Và cuối cùng là tôi viết hoàn thiện đề tài này với kết quả khảo sát áp dụng đề
tài của Hội đồng khoa học trờng THCS Lý Tự Trọng. ĐÃ đợc các giáo viên toán của
trờng áp dụng cho các bài toán cùng dạng ở lớp 8 và 9 cuối năm học 2005-2006.
2. Hiệu quả khi áp dụng:
a) Về tâm lí học sinh khi học không thụ động phát huy đợc tính độc lập, sáng
tạo trong tìm lời giải bài toán bởi vẻ tự nhiên xuất hiện của đờng phụ và tam giác
đồng dạng.
b) Số lợng, cụ thể về chất lợng: (theo kết quả khảo sát lớp 8B trờng THCS Lý Tự
Trọng).
-Trớc khi dạy chuyên đề khảo sát : Học sinh lớp 8B tỉng sè 20 häc sinh (theo ®Ị vÝ
dơ 3 trong đề tài này) đạt yêu cầu : 11 học sinh
Không tìm đợc lời giải : 5 học sinh
Giải cách khác ( cha ra kết quả ) : 4 hoc sinh
-Sau khi dạy song chuyên đề ra đề khảo sát học sinh 8B
Đề là :Ví dụ 4 trong đề tài này (tất nhiên ví dụ này cha dạy cho học sinh khi
học chuyên đề)
Đạt yêu cầu : 19 học sinh, trong đó khá giỏi 10 học sinh.
Không đạt yêu cầu : 1 học sinh (là do không sử dụng đợc tính chất góc ngoài

của tam giác giả thiết 3 A + 2 B = 1800 )
-Dạy chuyên đề đề này ở đội tuyển Toán học sinh tiếp thu đợc kinh nghiệm giải
toán.
c) Ngoài kết quả là học sinh biết cách chứng minh bài toán dạng A = B+C thì ta còn
có thể dùng đờng phụ để khai thác bài toán:

-Khai thác 1:
Khai thác các cách giải khác nhau bằng việc vẽ đờng phụ khác nhau, tạo ra
cặp tam giác đồng dạng khác nhau :
---------------------------------------------------------GV: Nguyễn Hữu Tài THCS Lí Tù Träng

18


Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.
Ví dụ : Nh ví dụ 6. Hoặc cũng có thể sử dụng hệ thức đà chứng minh đợc để
giải bài toán tiếp theo. Chẳng hạn, từ vÝ dơ 6 sư dơng kÕt qu¶:
BC2 = AC2 + AC.AB = AC (AC+AB) để giải bài toán :


Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC có A = 2 B biết rằng số đo các
cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp.
Hớng giải: Đặt AB=a, AC=b, AB=c.
m
Chứng nh ví dụ 6 đợc
a
BC2 = AC2 + AC.AB = AC (AC+AB)
hay a2 = b2+bc = b(b+c) (*)
Ta cã a>b nªn chỉ có hai khả năng là
a=b+1 hoặc a=b+2.

b
c
2
2
Nếu a=b+1 thì tõ (*) suy ra (b+1) = b +bc
=> 2b+1=bc => b(c 2)=1, loại,
vì b=1, c=2, a=3 không là các cạnh của một tam giác.
Nếu a=b+2 thì từ (*) suy ra (b+2)2=b2+bc => 4b+4=bc => b(c – 4)=4.
XÐt b=1, 2, 4 chỉ có b=4, c=5, a=6 thoả mÃn bài toán.
-Khai thác 2:
Dùng hình phụ để đề xuất câu hỏi của một bài toán nào đó:
Ví dụ : Cho tam giác ABC , đờng phân giác AD .Tìm mối quan hệ giữa độ
dài đờng phân giác AD và độ dài 2 cạnh AB, AC:
Ta có thể phân tích nh sau:
Giả sử trên đờng thẳng CA lấy điểm M sao cho CM.CA= CB.CD


CM
CB
=
CD
CA

, suy ra CMB đồng dạng vớiCAD
m



CMB =CAD (1) BM // DA.
Vậy M đợc xác định là giao điểm

củađờng thẳng qua B
song song với AD và CA.
b


Do đó MBA =A1 (2) (so le trong)
ˆ
ˆ
Tõ (1) vµ (2) kÕt hợp với A1 =A2 (do đó AD là phân giác)


ta suy ra M =ABM do vậy AMB cân đáy DM AB=AM.

Từ CMB đồng dạng CAD

AD AC
=
MB MC

AD =

AC
CM

a

d

c

.BM

---------------------------------------------------------GV: Nguyễn Hữu Tài THCS Lí Tự Trọng

19


Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.
hay AD =

AC
AB + AC

.BM ;

Nhng thấy MB < 2AB nªn AD<

2 AC . AB
AB + AC

hay

ma

<

2 BC
B +C

.

+) Ta có bài toán : Tam giác ABC cã AB = c , AC = b. Chøng minh độ dài
đờng phân giác của góc BAC nhỏ hơn

2bc
b +c

?

+) Hơn nữa do vai trò bình đẳng của 3 phân giác trong với hai cạnh cuă góc
nên ta có thể chứng minh đợc bài toán :
Cho tam giác ABC độ dài 3 cạnh a, b, c và độ dài 3 phân giác là: AD= ma ,
BE = mb ,CF = mc . Chøng minh r»ng :

1 1 1` 1
1
1
+ + <
+
+
a b c ma mb mc

”

( §Ĩ chøng minh h·y sử dụng kết quả bài toán trên )
3. Qua đề tài này tôi rút ra đợc bài học kinh nghiệm cho chính bản thân là có
tìm đợc hình phụ thì giải toán mới nhanh, mới thoải mái và có thể thay đổi đờng phụ
đề xuất bài toán mới khi day bồi dỡng cho học sinh giỏi.
Qua cách vẽ hình phụ phát hiện tam giác đồng dạng để chứng minh đẳng thúc
hình học dạng A = B+C thì cũng có thể mở ra hớng nghiên cứu cách vẽ hình phụ để

phát hiện các cặp tam giác bằng nhau để chứng minh đẳng thức hoặc, cũng có thể vẽ
hình phụ để xuất hiện tứ giác nội tiếp để sử dụng kết quả trong giải toán hình học (ý
tởng này xuất hiện qua ví dụ của đề tài này )

Phần 3 : Kết

luận

1. Qua việc quan sát, đọc tài liệu, viết, báo cáo và dạy minh hoạ ,việc tìm cách
vễ hình phụ để phát hiện tam giác đồng dạng vận dụng vào chứng minh đẳng thức tôi
thấy đợc giá trị lí luận , ý nghĩa thực tiễn và hiệu quả của đề tài này nh sau:

---------------------------------------------------------GV: Nguyễn Hữu Tài THCS Lí Tự Träng

20


Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.
-Trong rèn luyện nghiệp vụ: Đây là một trong những hình thức tự học tự bồi dỡng của ngời giáo viên : Với giáo viên chỉ có đọc, học hỏi tích luỹ kinh nghiệm và
dạy cho học sinh mới có thể nâng cao đợc năng lực giải toán ,phơng pháp mới đợc
đổi mới sáng tạo.
Bên cạnh đố cũng có thể nói rằng đề tài này là t liệu cần thiết giúp các giáo
viên mới ra trờng tham khảo khi dạy hình học cho học sinh và giúp giáo viên dạy
toán mở hớng nghiên cứu tiếp.
-Trong thực tiễn giảng dạy: việc vẽ đợc hình phụ để giải toán đem lại hứng thú
cho ngời giải toán nhất là học sinh bởi vẻ hình phụ vẽ đợc có cơ sở mà lại tự nhiên,
các tam giác đồng dạng đợc xuất hiện để sử dụng chứng minh đẳng thức.
Vẽ hình phụ trong giải toán giúp giáo viên khai thác bài toán cho học sinh bởi
hình phụ vẽ khác nhau có thể có cách giải khác nhau ; vẽ thêm hình phụ lại đề xuất
đợc nội dung bài toán mới liên quan bởi các cặp tam giác đồng dạng xuất hiện.

-Tóm lại vẽ hình phụ để chứng minh đẳng thức hình học là không thể thiếu
trong ngời thầy để bồi dỡng phơng pháp giải toán và năng lực t duy sáng tạo cho học
sinh. Tuy đề tài dừng lại ở mảng nhỏcủ chứng minh hình học nhng phần nào làm
sáng tỏ ý nói trên đây.
2. Những tài liệu tham khảo khi xây dựng đề tài:
* Sách giáo khoa Toán lớp 8 ;9.
* Các định lí và bài toán về đoạn thẳng tỉ lệ (Tài liệu BDTX chu kỳ 972000)
* Toán nâng cao và phát triển 8 ;9 của tác giả Vũ Hữu B×nh.
* “Chøng minh h×nh häc” cđa Ngun Phóc Tr×nh.
* “500 bài toán về các phơng pháp chứng minh hình học của tác giả Vi Quốc
Dũng.
* Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8; 9 của tác giả
Nguyễn Đức Tấn.
Hơng Canh, tháng 05 năm 2008
Ngời viết

Nguyễn Hữu Tài

---------------------------------------------------------GV: Nguyễn Hữu Tài THCS Lí Tù Träng

21