23 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán thcs

Chuyên đề 1: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT
Bài 1: Cho ab = 1. CMR: a + b = ( a + b ) ( a + b ) − (a + b)
5

5

3

3

2

2

Bài 2: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3 a 2 + 3 b 2 = 10ab. Tính giá trị của biểu thức: P =
Bài 3: Cho x > y > 0 và 2 x 2 + 2 y 2 = 5xy. Tính giá trị của biểu thức: E =

x+ y
x− y

a −b
a+b

1 1 1
ab bc ca
+ + = 0 . Tính giá trị của biểu thức: P = 2 + 2 + 2
a b c
c
a
b
c

 a  b 
Bài 5: Cho a 3 + b3 + c3 = 3abc . Tính giá trị của biểu thức: A =  1 + ÷1 + ÷ 1 + ÷
 b  c  a 
2
2
2
Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a + b + c = 14. Tính giá trị của biểu thức: B = a 4 + b 4 + c 4

Bài 4: Cho

Bài 7: Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn: ab + bc + ca = 1. Tính giá trị của biểu thức:
( a 2 + 2bc − 1)(b 2 + 2ca − 1)(c 2 + 2ab − 1)
( a − b) 2 (b − c) 2 (c − a ) 2
1
1
Bài 8: Cho x > 0 thỏa mãn: x 2 + 2 = 7 . CMR: x5 + 5 là một số nguyên. Tìm số nguyên đó.
x
x
1
Bài 9: Cho x ≠ 0 và x + = a là một hằng số. Tính theo a các biểu thức:
x
1
1
1
A = x3 + 3 ; B = x 6 + 6 ; C = x 7 + 7
x
x
x
Bài 10: Cho ba số x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 0 và x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .
Tính x 4 + y 4 + z 4 theo a

1 1 1
Bài 11: Cho a + b + c = 1 và + + = 0 . CMR: a 2 + b 2 + c 2 = 1.
a b c
Bài 12: Cho các số x = by + cz, y = ax + cz, z = ax + by và x + y + z ≠ 0.
1
1
1
+
+
Tính giá trị của biểu thức: Q =
1+ a 1+ b 1+ c
4
4
x
y
1
+
=
; x 2 + y 2 = 1 . CMR:
Bài 13: Cho:
a
b
a+b
x 2000 y 2000
2
a) b x 2 = a y 2
b) 1000 + 1000 =
a
b
( a + b)1000

1 1 1
1
Bài 14: CMR nếu a, b, c là ba số thỏa mãn: a + b + c = 2000 và + + =
thì một
a b c 2000

a) A =

( a + b) 2 (b + c) 2 (c + a ) 2
(1 + a 2 )(1 + b 2 )(1 + c 2 )

b) B =

trong ba số a, b, c có một số bằng 2000.
2
1 2
a + b2 + c 2
2
5
5
5
2
2
2
Bài 16: CMR, nếu x + y + z = 0 thì 2 x + y + z = 5 xyz x + y + z

Bài 15: Cho a + b + c = 0. CMR: a 4 + b 4 + c 4 =

(

(

)

)

(

)

Bài 17: Cho a, b, c là ba số khác nhau. CMR:

b−c
c−a
a −b
2
2
2
+
+
=
+
+
(HSG HCM 78 – 79)
(a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) (c − a )(c − b) a − b b − c c − a
1
1
1
+
+

= 1 (PTNK ĐHQG 97- 98)
Bài 18: CMR nếu : xyz = 1 thì:
1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + zx

Bài 19: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

Trang

1


a) a 2 (b − c) + b 2 (c − a) + c 2 (a − b)
b) a 3 + 4a 2 − 29a + 24
c) x 4 + 6 x 3 + 7 x 2 − 6 x + 1
d) x3 + 6 x 2 + 11x + 6
e) ( x + 1)( x + 3)( x + 5)( x + 7) + 15
f) ( x − y )3 + ( y − z )3 + ( z − x)3
g) x 4 + 2000 x 2 + 1999 x + 2000
Bài 20: Tìm biểu thức ngắn gọn hơn cho tích sau đây:


4 
4
 4  4 
Pn =  1 − ÷1 − ÷ 1 − ÷........ 1 −
2 ÷
 1  9  25 
 (2n − 1) 
Biết rằng nó đúng với n ≥ 1 và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

a −b
b−c
c−a
; y=
; z=
Bài 21: CMR, nếu : x =
thì
a+b
b+c
c+a

(1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 – x)(1 – y)(1 – z)

Bài 22: Cho a, b, c là ba số thực khác nhau. CMR:

a+b b+c a+c b+c a+c b+a
.
+
.
+
.
= −1
a −b b−c c−a b−c c −a a −b

Bài 23: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Tính giá trị của biểu thức:

ab
bc
ca
+

+
(b − c)(c − a ) (c − a )( a − b) (a − b)(b − c )
Bài 24: Đơn giản biểu thức: A = (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) (HSG HCM 87)
Bài 25: Cho a, b, c. CMR: a 3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a 2 + b2 + c 2 − ab − bc − ca )

Bài 26: Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn điều kiện:
a 2 + b 2 + (a − b) 2 = c 2 + d 2 + (c − d ) 2 . CMR: a 4 + b 4 + (a − b) 4 = c 4 + d 4 + (c − d ) 4
a+b−c b+c−a c+a−b
=
=
.
c
a
b
 b  c  a 
Tính giá trị của biểu thức: P =  1 + ÷1 + ÷ 1 + ÷
c
 a  b 
1
1
1
Bài 28: Cho x, y, z thỏa mãn: x + = a; y + = b; xy + = c
x
y
xy
CMR: a 2 + b 2 + c 2 = abc + 4
x + y + z = 1
 2
2
2

Bài 29: Cho  x + y + z = 1 . CMR: x1 + y 2 + z 3 = 1.
 x3 + y 3 + z 3 = 1


Bài 27: Cho a, b, c là các số thỏa mãn:

Bài 30: Cho ba số x, y, z thỏa mãn: by + cz = a; ax + cz = b; ax + by = c; trong đó a, b, c
1
1
1
+
+
không phụ thuộc vào a, b, c
x +1 y +1 z +1
1 1 1
1
1
1
Bài 31: CMR, nếu: + + = 2 và a + b + c = abc thì ta có: 2 + 2 + 2 = 2
a b c
a
b
c

là các số dương cho trước. CMR:

Bài 32: Cho a, b, c là ba số thực đôi một khác nhau và khác 0 thỏa mãn:
1
1
1

= b + = c + . CMR: abc = 1 hoặc abc = – 1
b
c
a
x
+
y
=
a
+b

xn + y n = an + bn
Bài 34: Cho  2
2
2
2 . CMR, với mọi số nguyên dương n ta có:
x
+
y
=
a
+
b

Bài 35: Cho x và y thỏa mãn: x + y = a; x 2 + y 2 = b; x3 + y 3 = c. CMR: a 3 + 2c = 3ab.
Bài 36: Cho ba số x, y, z thỏa mãn đồng thời: x 2 + 2y + 1 = 0; y 2 + 2z + 1 = 0; z 2 + 2x +1 = 0
Tính giá trị của biểu thức: A = x 2000 + y 2000 + z 2000
a+

Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

Trang

2


 xy + x + y = 3

Bài 37: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn:  yz + y + z = 8
 zx + z + x = 15


Tính giá trị của biểu thức: P = x + y + z
Bài 38: Cho hai số x, y thỏa: xy + x + y = – 1;
Tính giá trị của biểu thức: P = x3 + y 3

2
x 2 y + x y = – 12

 x 2 − yz = a
 2
Bài 39: Cho biết :  y − zx = b (x, y, z ≠ 0). CMR: ax + by + cz = (x + y + z)(a + b + c)
 z 2 − xy = c

Bài 40: Cho a, b, c là các số khác 0 thỏa mãn: a 3b3 + b3 c3 + c3 a 3 = 3a 2 b 2 c 2 .
c
 a  b 
Tính giá trị của biểu thức: A =  1 + ÷1 + ÷ 1 + ÷
 b  c  a 
 x + xy + y = 1


Bài 41: Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn:  y + yz + z = 3 . Tính M = x1 + y 2 + z 3
 z + zx + x = 7

ay − bx cx − az bz − cy
=
=
c
b
a
2
2
2
2
2
2
2
y
CMR: (ax + by + cz) = ( x + + z )( a + b + c )
 ax + by = c

Bài 43: Cho x, y là hai số thỏa mãn: bx + cy = a . CMR: a 3 + b3 + c3 =3abc.
cx + ay = b


Bài 42: Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa mãn:

Bài 44: Cho ba số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn: abc = 1 và

a

b
c b2 c2 a2
+
+
=
+ +
a
b
c
b2 c2 a 2

CMR trong ba số a, b, c phải có một số bằng bình phương của số còn lại.
Bài 45: Cho x, y, z là ba số thỏa mãn: xyz = 1 và x + y + z =

1 1 1
+ + .
x y z

Tính giá trị của biểu thức: P = ( x19 − 1)( y 5 − 1)( z1980 − 1)
Bài 46: Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn:

a
b
c
+
+
=0
b−c c−a a −b

CMR trong ba số a, b, c phải có một số âm, một số dương.

Bài 47: CMR không tồn tại các số a, b, c thỏa mãn đồng thời:
b
c
 a
 a − b + b − c + c − a = 0 (1)
 a
b
c

+
+
= 0 (2)
2
2
(b − c)
(c − a ) 2
 (a − b)

Bài 48: Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. CMR:
1
1
1
+
+
là bình phương của một số hữu tỉ.
2
2
( a − b)
(b − c )
(c − a ) 2

a −b b−c c−a
c
a
b
+
+
+
+
Bài 49: Cho a + b + c = 0. Đặt P =
; Q=
c
a
b
a −b b−c c −a
N=

CMR: P.Q = 9
Bài 50: Cho a + b + c + d = 0. CMR: a 3 + b3 + c3 + d 3 = 3(c + d)(ab – cd)
Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

Trang

3


a + b = c + d
. CMR: c = d
 ab + 1 = cd

Bài 51: Cho 4 số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: 


x + y + z = a
 2
2
2
2
Bài 52: Cho  x + y + z = b . Tính x3 + y 3 + z 3 theo a, b, c
1 1 1 1
 + + =
 x y z c

a + b + c = 1
 2
2
2
Bài 53: Cho a + b + c = 1 . Tính giá trị của biểu thức: P = xy + yz + zx
x y z
 = =
a b c
a + b + c = 1
 2
2
2
Bài 54: Cho a + b + c = 1 . Tính giá trị của biểu thức: P = a1998 + b1999 + c 2000
 a 3 + b3 + c 3 = 1

a
b
c

+
+
=0
Bài 55: Cho a, b, c đôi một khác nhau và
b−c c−a a −b
a
b
c
+
+
Tính giá trị của biểu thức:
2
2
(b − c )
(c − a )
( a − b) 2
a
b
c
+
+
=1
Bài 56: Cho a, b, c khác 0 thỏa mãn:
b+c c+a a+b
a2
b2
c2
+
+
Tính giá trị của biểu thức: Q =

b+c c+a a+b
a
b c
x y z
x2 y 2 z 2
+
+
=
0
+
+
=
1
Bài 57: Cho
và
. Tính giá trị của biểu thức: A = 2 + 2 + 2
x y z
a b c
a
b
c

Bài 58: Cho ba số a, b, c thỏa mãn abc = 2000. Tính giá trị của biểu thức:
P=

2000a
b
c
+
+

ab + 2000a + 2000 bc + b + 2000 ac + c + 1

Bài 59: Cho a, b, c khác 0 và a + b + c = 0.
Tính giá trị của biểu thức: Q =

1
1
1
+ 2
+ 2
2
2
2
2
a +b −c
b +c −a
a + c2 − b2
2

Bài 60: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Tính giá trị của biểu thức:
a2
b2
c2
P=
+
+
( a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) (c − b)(c − a )

a 2 + (a − c) 2 a − c
=

Bài 61: Cho ba số a, b, c thỏa mãn: b ≠ c và a + b ≠ c. CMR: 2
b + (b − c) 2 b − c
1
Bài 62: Cho biết ax + by + cz = 0; a + b + c =
2000
2
2
2
ax + by + cz
= 2000
CMR:
2
bc ( y − z ) + ac ( x − z ) 2 + ab( x − y ) 2

Bài 63: Gọi a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác, cho biết : a 3 + b3 + c3 – 3abc = 0
Hỏi: Tam giác này la tam giác gì ?
Bài 64: Cho a, b, c đôi một khác nhau.
Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

Trang

4


CMR: P = a 4 (b − c) + b 4 (c − a ) + c 4 (a − b) luôn khác 0
Bài 65: Cho a, b, c thỏa mãn:

(HSG Nam Tư 1978)

(a + b − 2c) 2 + (b + c − 2a) 2 + (c + a − 2b) 2 = (a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a ) 2 . CMR: a = b = c

Bài 66: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Biết : (a + b)(b + c)(c + a ) = 8abc

CMR: Tam giác đã cho là tam giác đều
1981
Bài 67: Cho a 2 + a + 1 = 0. Tính giá trị của biểu thức: P = a +

Bài 68: Cho a, b ≠ 0 thỏa mãn: a + b = 1. CMR:

1

(chuyên LHP 81)

1981

a

a
b
2(ab − 2)
a
b
2(b − a )
+ 3
= 2 2
− 3
= 2 2
b) 3
b −1 a −1 a b + 3
b −1 a −1 a b + 3
2

2
2
a 2 − bc b 2 − ca c 2 − ab
x − yz y − zx z − xy
=
=
=
=
Bài 69: Cho
. CMR:
x
y
z
a
b
c

a)

3

Chuyên đề 2: BIẾN ĐỔI CĂN THỨC
Bài 1: Rút gọn
a) A = 8 − 2 15 − 8 + 2 15

b) B = 4 + 7 − 4 − 7

c) C = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5

d) D = 4 + 15 + 4 − 15 − 2 3 − 5

Bài 2: CMR: 4 49 + 20 6 + 4 49 − 20 6 = 2 3
Bài 3: CMR các số sau đây đều là các số nguyên:
a) A =

b) B =

5 − 3 − 29 − 12 5

9 3 − 11 2

d) D = 2 3 + 5 − 13 + 48

c) C = 4 + 5 3 + 5 48 − 10 7 + 4 3
e) E = ( 3 − 1) 6 + 2 2. 3 −

(5 + 2 6)(49 − 20 6) 5 − 2 6

6+ 2

2 + 12 + 18 − 128

Bài 4: Trục căn thức ở mẫu:
a) A =

2

b) B =

23 2 + 2 + 3 4

6

c) C =

23 2 − 2 + 3 4

2
3

4+ 3 2+2

Bài 5: Tìm x biết x = 5 + 13 + 5 + 13 + ...... . Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi
lặp lại cách viết căn thức có chứa 5 và 13 một cách vô hạn lần
Bài 6: Tính giá trị của biểu thức: A = (3 x + 8 x + 2)
3

2

1998

với x =

( 5 + 2) 3 17 5 − 38
5 + 14 − 6 5

(HSG QG)

Bài 7: Rút gọn:
a) A = 3 182 + 33125 + 3 182 − 33125

c) C =

(

)(

x − 4 x +1

)(

)

x + 4 x +1 x − x +1

Bài 8: CMR: x = 3 3 + 9 +

19 + 6 10 5
. 3 2 −2 5
2

b) B = 10
d) D =

(

6

25 + 4 6 − 3 1 + 2 6

)

3

1− 2 6

125 3
125
là một số nguyên
− −3 + 9 +
27
27

Bài 9: Cho số x = 3 9 + 4 5 + 3 9 − 4 5
Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

Trang

5


a) CMR x là nghiệm của phương trình: x3 – 3x – 18 = 0
Bài 10: Đặt x = 3 a +

b) Tính x

1
a + 1 8a − 1 3
a + 1 8a − 1
. CMR, ∀ a > thì x nguyên dương.
+ a−

8
3
3
3
3

3
2
2
3
2
2
Bài 11: Tính giá trị của biểu thức: A = 3 x − 3x + ( x − 1) x − 4 + 3 x − 3x − ( x − 1) x − 4

2

Tại x = 1995
Bài 12: Chứng minh các đẳng thức sau:
a) 3 2 + 5 + 3 2 − 5 = 1
b)

2

3

c) 3 5 2 + 7 − 3 5 2 − 7 = 2
e)

3 3

2 −1 =

1 32 34
−
+
9
9
9

3

d)
f)

3
3
4

20 + 14 2 − 3 14 2 − 20 = 4
2 + 3 20 − 3 25 = 3

5 +1

=

4

3

5−34

3 + 24 5

5 −1
3 − 24 5
1 1 1
Bài 13: CMR nếu a x3 = b y 3 = c z 3 và + + = 1 thì 3 ax 2 + by 2 + cz 2 = 3 a + 3 b + 3 c
x y z
4

Bài 14: Rút gọn:
4

a) A =

8+

2 −1 −
4

4

8−

8−

2 −1

2 +1

(1− a )
3

b) P =

(1+ a )
3

1 + 3 a + 3 a2

−

1 − 3 a + 3 a2

Bài 15: Cho a = xy + (1 + x 2 )(1 + y 2 ) ; b = x 1 + y 2 + y 1 + x 2 .
Trong đó xy > 0. Tính b theo a
Bài 16: Cho x, y, z > 0 thỏa : xy + yz + zx = 1. Tính giá trị của biểu thức:
(1 + y 2 )(1 + z 2 )
(1 + z 2 )(1 + x 2 )
(1 + x 2 )(1 + y 2 )
P=x
+y
+z
1 + x2
1 + y2
1 + z2

Bài 17: Rút gọn:
S=

1
2 1 +1 2

+

1
3 2 +2 3

+ ...... +

Bài 18: Trục căn thức ở mẫu: B =
+

1

1999 1998 + 1998 1999
4

+

1
2000 1999 + 1999 2000

3+ 5 + 2+ 2 5

5
1
3
−
=

2
3 3 2
3 12
6
2
Bài 20: Cho a > 0, b > 0 và a – b ≥ 0. CMR:

Bài 19: CMR:

1

1

+

1

a + a2 − b
a − a2 − b
a + a2 − b
a − a2 − b
b)
a+ b =
+
a− b =
−
2
2
2
2

2+ 3
2− 3
+
c) Áp dụng rút gọn: P =
(HSG QG 90 – 91)
2 + 2+ 3
2 − 2− 3
Bài 21: CMR, nếu : b + 1 + c + 1 = 2 a + 1 thì b + c ≥ 2a
1 + 2x
1 − 2x
+
Bài 22: Tính giá trị của biểu thức: A =
1 + 1 + 2x 1 − 1 − 2x

a)

Bài 23: Cho A =

x − 2 x −1 + x + 2 x −1 
1 
1 −
÷
2
x −1

x − 4( x − 1)

a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa

b) Rút gọn A

Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

Trang

6


Bài 24: Rút gọn:

 a − 4 a 1+ a
B = 
+ 4
4
a
 1− a

2


÷
÷ −


1+

2
a

+

1
a với a > 0 và a ≠ 1.

1+ a

Bài 25: Cho 0 < a < 1. Rút gọn biểu thức:

 1
1+ a
1− a
1
P = 
+
−
1
−
÷
÷
2
÷
a÷
1 + a2 + a − 1   a

 1+ a − 1− a

Bài 26: Cho biểu thức : A = x 2 + 2 x 2 − 1 − x 2 − 2 x 2 − 1
a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa
b) Tính giá trị của A khi x ≥
Bài 27: Rút gọn:

a) A = 2 x − 1 + 2 x 2 − x + 2 x − 1 − 2 x 2 − x với x ≥ 1

2

1
147
7
 a + a  a − a 
c) C =  1 −
÷
÷1 − a − 1 ÷
÷ (với a ≥ 0 và a ≠ 1)
a
+
1



1
x +1
:
Bài 28: Cho A = 2
x − x x x +x+ x

b) B = 48 − 2 75 + 108 −

a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa

b) Rút gọn A
1

1
1
+
+
là một số hữu tỉ
2
2
( a − b)
(b − c)
(c − a ) 2

Bài 29: Cho a, b, c là các số hữu tỉ. CMR:

1
2

Bài 30: Tính giá trị của biểu thức: A = x 2 + x 4 + x + 1 với x =

x + 4 − x = a . Tính giá trị của biểu thức: A =

Bài 31: Cho x > 2 và
3
2

Bài 32: Cho − ≤ x ≤
Bài 33: Cho B =

2+

3

và
2
1

x + x −1

3 + 2 x − 3 − 2 x = a . Tính A =
1

−

x − x −1

−

a) Tìm điều kiện của x để B có nghĩa

1
2
−
8
8
2 − 4 x − x 2 theo a
x−2

6 + 2 9 − 4x 2 theo a (x ≠ 0)
x

x3 − x
1− x

b) Tìm x để B > 0

(

)(

 2x − 1 + x 2x x + x − x  x − x 1 − x
+
÷
÷.
1
−
x
1
+
x
x
2 x −1



Bài 34: Cho biểu thức: E = 1 − 

a) Tìm điều kiện của x để E có nghĩa

)

b) Rút gọn E

1 a
b
+
÷, trong đó a > 0, b > 0.
2 b
a÷


Bài 35: Cho x = 

Tính giá trị của biểu thức: A =

2 x2 − 1
x − x2 − 1

Bài 36: Tính giá trị của biểu thức: P =

xy − x 2 − 1. y 2 − 1
xy + x 2 − 1. y 2 − 1

Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

Trang

7


1

1

1

1

Với x =  a + ÷ và y =  b + ÷ với a, b ≥ 1
2
a
2
b





1 + xy 1 − xy
−
Bài 37: Cho E =
. Tính giá trị của biểu thức E, biết:
x+ y x− y
x = 4 + 8. 2 + 2 + 2 . 2 − 2 + 2 và y =

Bài 38: Tính P = 1 + 19992 +

3 8 − 2 12 + 20
3 18 − 2 27 + 45

2

1999

1999
+
2
2000
2000

Bài 39: CMR:
A=

1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ....... + 2 +
+
+ 2 +
+
2
2
2
2
1 2
3
1 3

4
1 1998 1999
1 1999
20002

Là một số hữu tỉ.
Bài 40: CMR: E =

(

3

)

2 +1

3
3

2 −1
là một số nguyên.
2

 a 3 − b3  a 2 − b 2
÷: −1
÷ a − b −1
a
−
b




Bài 41: Cho A = 

a) Tìm điều kiện của a, b để A có nghĩa
Bài 42: CMR:

2
4 − 3 5 + 2 5 − 125
4

4

= 1+ 4 5

b) Rút gọn A

(PTNK HCM 98 – 99)

(HSG Moscow 82)

Chuyên đề 3: XÁC ĐỊNH ĐA THỨC
Bài 1: Tìm một đa thức bậc hai, biết: P(0) = 19, P(1) = 5, P(2) = 1995
Bài 2: Tìm một đa thức bậc ba, biết: P(0) = 10, P(1) = 12, P(2) = 4, P(3) = 1
Bài 3: Tìm một đa thức bậc ba P(x), cho biết khi x P(x) chia cho các đa thức : (x – 1),
(x – 2), (x – 3) đều được dư là 6 và P(– 1) = – 18
Bài 4: Cho đa thức bậc 4 P(x) thỏa mãn: P(– 1) = 0 và P(x) – P(x – 1) = x(x + 1)(2x + 1)
a) Xác định P(x)
b) Suy ra giá trị của tổng sau đây: S = 1.2.3 + 2.3.5 + ………+ n(n + 1)(2n + 1)
Bài 5: Cho biết đa thức bậc hai P(x) có ba nghiệm số phân biệt α , β , γ . CMR: P(x) = 0, ∀ x

Bài 6: Cho đa thức P(x) = a x 2 + bx + c (a, b, c ≠ 0). Cho biết 2a + 3b + 6c = 0
1

a) Tính a, b, c theo P(0), P  ÷, P(1)
2
1
 

b) CMR: P(0), P  ÷, P(1) không thể cùng âm hoặc cùng dương
2
c) CMR: Đa thức P(x) có một nghiệm dương bé hơn 1
Bài 7: Tìm một đa thức bậc hai biết : P(0) = 19, P(1) = 85, P(2) = 1985
Bài 8: Cho đa thức: P(x) = x 4 + x3 – x 2 + ax + b và Q(x) = x 2 + x – 2
Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x)
Bài 9: Xác định a và b sao cho đa thức P(x) = a x 4 + b x3 +1 chia hết cho Q(x) = (x – 1)2.
Bài 10: Cho đa thức: P(x) = 6 x 4 – 7 x3 + a x 2 +3x + 2 và Q(x) = x 2 – x + b
Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x)
Bài 11: Cho biết đa thức P(x) thỏa mãn:
P(x) chia cho đa thức x + 3 còn dư là 1, P(x) chia cho đa thức x – 4 còn dư là 8
Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

Trang

8


P(x) chia cho đa thức (x + 3)(x – 4) thì được thương là 3x và còn dư
Bài 12: Cho đa thức: P(x) = x 4 + a x 2 + 1 và Q(x) = x3 + ax + 1
Xác định a để đa thức P(x) và Q(x) có nghiệm chung
Bài 13: CMR, không tồn tại một đa thức với hệ số nguyên P(x) thỏa : P(1) = 19, P(19) = 85

Bài 14: Cho đa thức: P( x) = 1 + x 2 + x 4 + ..... + x 2 n − 2 và Q( x) = 1 + x + x 2 + ..... + x n −1
Tìm số nguyên dương n sao cho P(x) chia hết cho Q(x)
Bài 15: Xác định dư của phép chia đa thức: P( x) = x + x 3 + x 9 + x 27 + x81 cho Q(x) = x – 1
Bài 16: Xác định dư của phép chia đa thức: P( x) = x + x 3 + x 9 + x 27 + x81 cho Q(x) = x 2 – 1
Bài 17: Xác định dư của phép chia đa thức: P( x) = 1 + x + x 9 + x 25 + x 49 + x81 cho Q(x) = x3 – x
Bài 18: Với giá trị nào của a và b thì đa thức: x3 + a x 2 +2x + b chia hết cho x 2 + x + 1

Chuyên đề 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
 2 x + my = 1 (1)
 mx + 2 y = 1 (2)

Bài 1: Cho hệ phương trình : 

a) Giải và biện luận theo tham số m
b) Tìm các số nguyên m sao cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên
 mx + 4 y = 10 − m
(m là tham sô)
 x + my = 4

Bài 2: Cho hệ phương trình : 

a) Giải và biện luận theo tham số m
b) Với giá trị nào của số nguyên m , hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dương
(m − 1) x − my = 3m − 1
(m là tham sô)
2 x − y = m + 5

Bài 3: Cho hệ phương trình : 

Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà S = x 2 + y 2 đạt

giá trị nhỏ nhất
(m + 1) x + my = 2m − 1

Bài 4: Cho hệ phương trình : 

2
 mx − y = m − 2

(m là tham sô)

Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà P = xy đạt giá trị lớn
nhất
 mx + y = 2m
(m là tham sô)
 x + my = m + 1

Bài 5: Cho hệ phương trình : 

a) Giải hệ khi m = – 1
b) Tìm m để hệ có vô số nghiệm, trong đó có nghiệm : x = 1, y = 1
 mx + 2 y = m + 1 (1)
(2)
 2 x + my = 3

Bài 6: Giải và biện luận hệ phương trình sau đây theo tham số m : 
(1)
 x + my = 1
 mx − 3my = 2m + 3 (2)

Bài 7: Cho hệ phương trình : 

a) Giải hệ khi m = – 3

b) Giải và biện luận hệ đã cho theo m
 x + my = 2
 mx − 2 y = 1

Bài 8: Cho hệ phương trình : 

a) Giải hệ khi m = 2
b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0 và y < 0
c) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên.
Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

Trang

9


2 x + y = m
(m là tham sô nguyên)
3 x − 2 y = 5

Bài 9: Cho hệ phương trình : 

Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0 và y < 0
 mx + 2my = m + 1 (1)
 x + (m + 1) y = 2 (2)

Bài 10: Cho hệ phương trình : 

a) CMR nếu hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thì điểm M(x; y) luôn luôn thuộc một đường
thẳng cố định khi m thay đổi
b) Xác định m để điểm M thuộc góc vuông phần tư thứ nhất
c) Xác định m để điểm M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 5
 mx + 4 y = m + 2 (1)
có nghiệm
(2)
 x + my = m

Bài 11: Với giá trị nào của số nguyên m, hệ phương trình : 
duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên
 2 x + my = 1
 mx + 2 y = 1

Bài 12: Cho hệ phương trình : 

a) Giải và biện luận theo tham số m
b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên
c) CMR khi hệ có nghiệm duy nhất (x, y), điểm M(x; y) luôn luôn chạy trên một đường
thẳng cố định
d) Xác định m để điểm M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng

2
2

Bài 13: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
 2m2 x + 3(m − 1) y = 3
a) 
 m( x + y ) − 2 y = 2

x − 2 y = m + 1
x + y = 2 − m

b) 

 x − my = 1
x − y = m

c) 

 −2mx + y = 5
 mx + 3 y = 1

Bài 14: Cho hệ phương trình : 

a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m
 mx − y = 1
(m là tham sô)
− x + y = −m

Bài 15: Cho hệ phương trình : 

a) CMR hệ phương trình có vô số nghiệm khi m = 1
b) Giải hệ lúc m khác 1
 x − y 2x + y
 7 + 17 = 7 (1)
Bài 16: Giải hệ phương trình : 
(Chuyên Lê Hồng Phong HCM 90)
 4 x + y + y − 7 = 15 (2)

 5
19

Bài 17: Giải hệ phương trình :
x + y + z = 1

a)  x + 2 y + 4 z = 8
 x + 3 y + 9 z = 27


 x + 2 y + 3z = 11

b) 2 x + 3 y + z = −2
3 x + y + 2 z = 3


Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

 3
 2x + y + z = 2

c) 2 y − 3z = 4
 2
3

−y=
2
 2 x + y

Trang

10


Bài 18: Tìm các nghiệm nguyên dương của hệ phương trình :

 x + y + z = 100

z

5 x + 3 y + 3 = 100

Bài 19: Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của x và y thỏa: 5x + 7y = 112 (HSG HCM 86)
Bài 20: Tìm nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình:
a) 16x – 25y = 1
b) 41x – 37y = 187
Bài 21: Tìm nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của hệ phương trình:
x = 5y + 3
 x = 11z + 7

 x + 2 y + 3 z = 20
3 x + 5 y + 4 z = 37

a) 

b) 

Bài 22: Cần đặt một ống nước dài 21m bằng hai loại ống: ống 2m và ống 3m. Hỏi mỗi loại
cần mấy ống.
Bài 23: Một trường THPT dùng 100.000 đ để mua một số thiệp hoa làm tặng phẩm cho các

HSG. Trong số thiệp hoa này, loại 2000 đ/cái ít hơn 10 lần loại 1000 đ/cái, số thiệp hoa còn
lại là loại 5000 đ/cái. Hỏi nhà trường mua mỗi loại thiệp hoa bao nhiêu cái ?
Bài 24: Giải hệ phương trình :
x + y + z = 6

a) 2 x − 3 y − 5 z = −19
 4 x + 9 y + 25 z = 97


x + y + z = 2

b)  x + 2 y + 2 z = 3
 x + 3 y + 3z = 4


 x + y + z + t = 14
 x + 2 y + 3z = 0
 x + y − z − t = −4


c)  x − y + 5 z = 4 d) 
x + 8 y − z = 6
x − y − z + t = 0

 x − y + z − t = −2

Bài 25: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số a:
 x + ay + a 2 z = a 2

2

2
b)  x + by + b z = b
 x + cy + c 2 z = c 2


 ax + y + z = 1

a)  x + ay + z = a
 x + y + az = a 2


+ x2000 = 1
 x1 + x2 + x3 + .....
x
+ x3 + x4 + .....
+ x2000 = 2
 1
+ x4 + .....
+ x2000 = 3
Bài 26: Giải hệ phương trình :  x1 + x2
...........................................................

 x1 + x2 + x3 + x4 + ..... + x1999 = 2000

Chuyên đề 5: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ĐỊNH LÝ VIÈTE
Bài 1: Cho phương trình : x 2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m.
2
2

b) Tìm m sao cho nghiệm số x1 , x2 của phương trình thỏa mãn điều kiện : x1 + x2 ≥ 10
Bài 2: Cho phương trình bậc hai có ẩn x : x 2 − 2mx + 2m − 1 = 0
a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1 , x2 với mọi m
b) Đặc A = 2 ( x1 + x2 ) - 5x1 x2
i)
Chứng minh A = 8 m 2 -18m+9
ii)
Tìm m sao cho A= 27
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia.
2

2

Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

Trang

11


Bài 3 : Cho phương trình : (m − 1) x 2 + 2(m − 1) x − m = 0
a) Định m để phương trình có nghiệm kép . Tính nghiệm kép này .
b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm
Bài 4 : Cho phương trình : x 2 − (2m − 3) x + m 2 − 3m = 0
a) Chứng minh rằng , phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi .
b) Định m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa : 1 < x1 < x2 <6
x 2 + ax+1=0 (2)
Bài 5 : Cho hai phương trình : x 2 + x + a = 0 (1) ;
Tìm các giá trị của a để hai phương trình :
a) Tương đương với nhau

b) Có ít nhất một nghiệm chung
Bài 6 : a) Chứng minh hằng đẵng thức : (m 2 + m − 1) 2 + 4m2 4m = (m 2 + m + 1) 2
b) Cho phương trình : mx 2 − (m 2 + m + 1) x + m + 1 = 0 (1)
Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1
Bài 7 : Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình : x 2 + px + 1 = 0
Gọi c,d là hai nghiệm của phương trình : y 2 + qy + 1 = 0
Chứng minh hệ thức : (a – c)(a – d)(b – c)(b – d) = ( p − q) 2
Bài 8 : Giả sử a và b là hai nghiệm của phương trình x 2 + px + 1 = 0
Giả sử c và d là hai nghiệm của phương trình x 2 + qx + 1 = 0
2
2
Chứng minh hệ thức : (a – c)(b – c)(a + d)(b + d) = q − p
Bài 9 : Cho phương trình : (m + 2) x 2 − (2m − 1) x − 3 + m = 0
Chứng minh rằng ; phương trình có nghiệm với mọi m .
Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và khi đó
hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia .
Bài 10 : Cho phương trình : x 2 − 4 x + m + 1 = 0
a) Định m để phương trình có nghiệm .
b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn : x12 + x22 = 10
Bài 11 : Cho phương trình : x 2 − 2mx + m + 2 = 0
a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm không âm .
b) Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức : E= x1 + x2 theo m
Bài 12 : Cho phương trình : 3 x 2 − mx + 2 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm
thỏa mãn : 3 x1 x2 = 2 x2 − 2 .
Bài 13: Cho phương trình : x 2 – 2(m – 1)x – m = 0
a) CMR: phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m.
b) Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thỏa: y1 = x1 +

1
1

; y2 = x2 +
x2
x1

Bài 14: Cho phương trình : 3 x 2 – 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm
2
2
thỏa mãn: x1 − x2 =

5
9

Bài 15: Cho phương trình : x 2 – 2(m + 4)x + m 2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có hai
nghiệm x1 , x2 thỏa mãn:
2
2
a) A = x1 + x2 – 3 x1 x2 đạt GTLN
b) B = x1 + x2 − x1 x2 đạt GTNN
c) Tìm hệ thức giữa x1 , x2 không phụ thuộc m.
Bài 16: Cho phương trình : x 2 – 4x – ( m 2 + 3m) = 0
a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m.
Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701
Trang 12


b) Xác định m để : x1 + x2 = 4( x1 + x2 )
c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 , y2 thỏa mãn:
2

y1 + y2 = x1 + x2 và

2

y1
y
+ 2 =3
1 − y2 1 − y1

Bài 17: Cho phương trình : x 2 + ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có hai nghiệm x1 ,
2

2

x  x 
x2 thỏa mãn:  1 ÷ +  2 ÷ > 7
 x2   x1 
Bài 18: Cho phương trình : 2 x 2 + 2(m + 2)x + m 2 + 4m + 3 = 0
a) Xác định m để phương trình có nghiệm x1 , x2
2


2
b) CMR các nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1 + x2 + 3x1 x2 ≤ 1 +
÷
2 ÷


2
Bài 19: Cho phương trình : a x + bx + c = 0 (a ≠ 0). CMR điều kiện cần và đủ để phương
trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là: 9ac = 2 b 2

Bài 20: Cho phương trình : a x 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). CMR điều kiện cần và đủ để phương
trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là: (k + 1)2ac = k b 2 ( k > 0)

Bài 21: CMR phương trình : (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có
nghiệm với mọi a, b, c.
Bài 22: Cho 2 phương trình : x 2 + mx +2 = 0
(1) ;
x 2 + 2x + m = 0 (2)
a) Tìm m đề hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung
b) Tìm m để hai phương trình tương đương
c) Tìm m để phương trình : ( x 2 + mx +2)( x 2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 23: Cho 2 phương trình : (2a + 1) x 2 – (3a – 1)x + 2 = 0 (1)
(b + 2) x 2 – (2b + 1)x – 1 = 0 (2)
Tìm a, b để hai phương trình có hai nghiệm chung
Bài 24: Với giá trị nào của tham số k , hai phương trình sau có nghiệm chung:
2 x 2 + (3k + 1) x − 9 = 0;

6 x 2 + (7 k − 1) x − 19 = 0

Bài 25: Với giá trị nào của số nguyên p, các phương trình sau đây có nghiệm chung:
3 x 2 – 4x + p – 2 = 0;
x 2 – 2px + 5 = 0
Bài 26: Cho phương trình : a x 2 + bx + c = 0 (a, b, c là các số hữu tỉ). Cho biết phương trình
này có một nghiệm là 1 + 2 . Tìm nghiệm còn lại.
Bài 27: Tìm tất cả các số nguyên k để phương trình : k x 2 – (1 – 2k)x + k – 2 = 0 luôn luôn
có nghiệm số hữu tỉ.
Bài 28: Cho phương trình : 3 x 2 +4(a – 1)x + a 2 – 4a + 1 = 0. Xác định a để phương trình có
hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa:

x1 + x2

1 1
= +
2
x1 x2

Bài 29: Cho biết phương trình : x 2 + px + 1 = 0 có hai nghiệm là a và b; phương trình :
x 2 + qx + 2 = 0 có hai nghiệm là b và c. CMR: (b – a)(b – c) = pq – 6
Bài 30: Cho các phương trình : x 2 – 5x + k = 0 (1);
x 2 – 7x + 2k = 0 (2)
Xác định k để một trong các nghiệm của phương trình (2) lớn gấp hai lần một trong các
nghiệm của phương trình (1).
Bài 31: Cho 2 phương trình : 2 x 2 + mx – 1 = 0 (1);
m x 2 – x + 2 = 0 (2)
Tìm m để phương trình (1) và phương trình (2) có nghiệm chung.
Bài 32: Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: 3 x 2 – cx + 2c – 1 = 0
Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

Trang

13


Tính theo c giá trị của biểu thức: S =

1
1
+ 3
3
x1 x2

Bài 33: Xác định a để hai phương trình : x 2 + ax + 8 = 0 và x 2 + x + a = 0 có nghiệm chung.
Bài 34: Tìm tất cả các số nguyên k để các phương trình bậc hai sau:
2 x 2 + (3k – 1)x – 3 = 0 và 6 x 2 – (2k – 3)x – 1 = 0
a) Có nghiệm chung
b) Tương đương với nhau
2
Bài 35: Cho phương trình : 2 x + 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phương trình
có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa:

x1 x2
+
≥2
x2 x1

Bài 36: Cho biết x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt khác 0 của phương trình : a x 2 + bx + c = 0
1

1

(a ≠ 0, a, b, c ∈ R). Hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là: x 2 , x 2
1
2
2
x
x
Bài 37: Biết rằng 1 , 2 là hai nghiệm của phương trình : a x + bx + c = 0. Hãy lập một
3
3
phương trình bậc hai có các nghiệm là: x1 và x2
Bài 38: Cho f(x) = x 2 – 2(m + 2)x + 6m + 1

a) CMR phương trình : f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình :
f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.
Bài 39: Cho phương trình : x 2 – (2m + 1)x + m 2 + m – 6 = 0
a) Định m để phương trình có hai nghiệm đều âm.
3
3
b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: x1 − x2 = 50
Bài 40: CMR phương trình : (x + 1)(x + 3) + m(x + 2)(x + 4) = 0 luôn có nghiệm số thực
với mọi m.
Bài 41: Cho phương trình : x 2 – 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phương trình có
3
3
hai nghiệm x1 , x2 thỏa: x1 + x2 = 72
Bài 42: Giả sử a và b là hai số khác nhau. CMR nếu phương trình : x 2 +ax + 2b = 0 (1) và
x 2 + bx + 2a = 0 (2) có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm số còn lại của (1) và (2) là
nghiệm của phương trình : x 2 + 2x + ab = 0
Bài 43: Cho 2 phương trình : x 2 + ax + bc = 0 (1) và x 2 + bx + ac = 0 (2) (a, b, c đôi một
khác nhau và khác 0). Cho biết (1) và (2) có đúng một nghiệm chung. CMR hai nghiệm còn
lại của (1) và (2) là nghiệm của phương trình : x 2 + cx + ab = 0
Bài 44: Cho phương trình : x 2 – (m – 1)x – m 2 + m – 2 = 0
a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
2
2
b) Tìm m để E = x1 + x2 đạt GTNN
2
2
Bài 45: Cho 2 phương trình : x + a1 x + b1 = 0 (1) và x + a2 x + b2 = 0 (2)
Cho biết a1a2 ≥ 2(b1 + b2 ) . CMR: ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 46: Cho 3 phương trình : a x 2 + 2bx + c = 0; b x 2 + 2cx + a = 0; c x 2 + 2ax + b = 0

(a, b, c khác 0). CMR: ít nhất một trong ba phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 47: Cho phương trình : x 2 – 2(m – 1)x + m 2 – 3m + 4 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa:

1 1
+
=1
x1 x2

b) Lập một hệ thức giữa x1 , x2 độc lập với m.
Bài 48: Cho phương trình : x 2 + (m + 1)x + m = 0
Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

Trang

14


a) CMR: phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m.
2
2
b) Tìm m để E = x1 + x2 đạt GTNN
Bài 49: Cho phương trình : (m + 2) x 2 – 2(m – 1)x + 3 – m = 0
2
2
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: x1 + x2 = x1 + x2
b) Lập một hệ thức giữa x1 , x2 không phụ thuộc m.
c) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là: X 1 =

x1 − 1

x −1
và X 2 = 2
x1 + 1
x2 + 1

Bài 50: Cho phương trình : (a – 3) x 2 – 2(a – 1)x + a – 5 = 0
a) Giải phương trình khi a = 13
b) Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 51: Cho phương trình : 2 x 2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0
a) CMR: phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho : – 1 < x1 < x2 < 1
d) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Hãy lập hệ thức giữa
x1 , x2 không phụ thuộc m.
Bài 52: Cho phương trình : x 2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0.
a) CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.
Bài 53: Cho phương trình : x 2 + ax + b = 0. Xác định a và b để phương trình có hai nghiệm
3
3
phân biệt x1 và x2 thỏa: x1 – x2 = 5 và x1 − x2 = 35 . Tính các nghiệm đó.
Bài 54: Giả sử phương trình : a x 2 + bx + c = 0 (a, b, c ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt trong đó
có đúng một nghiệm dương x1 thì phương trình bậc hai ct 2 + bt + a = 0 cũng có hai nghiệm
phân biệt trong đó có t1 > 0 thỏa x1 + t1 ≥ 2
Bài 55: Cho 2 phương trình : a x 2 + bx + c = 0 (1) và c x 2 + bx + a = 0 (2) (a, b, c ≠ 0)
CMR nếu (1) có hai nghiệm dương x1 , x2 thì (2) cũng có hai nghiệm dương x3 , x4 . Ngoài
ra các nghiệm đó thỏa: x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 4
Bài 56: Không giải phương trình : 3 x 2 + 17x – 14 = 0 (1)
Hãy tính: S =

3 x12 + 5 x1 x2 + 3x22
4 x1 x22 + 4 x12 x2

( x1 , x2 là hai nghiệm của (1))

Bài 57: Cho phương trình bậc hai : x 2 + ax + b = 0. Xác định a và b để phương trình có các
nghiệm là a và b.
Bài 58: a) Không giải phương trình, hãy tính hiệu các lập phương của các nghiệm lớn và
nghiệm nhỏ của phương trình: x 2 −

85
5
+1 = 0
4
16

b) Với giá trị nào của số nguyên a, các nghiệm của phương trình ax 2 + (2a − 1) x + a − 2 = 0
là các số hữu tỉ ?
Bài 59: Cho phương trình : 2 2 x 2 − (2m + 1) x + m 2 − 9m + 39 = 0
a) Giải phương trình khi m = 9
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. Tìm
các nghiệm đó.
Bài 60: Cho f ( x) = (4m − 3) x 2 − 3(m + 1) x + 2(m + 1)
Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

Trang

15

a) Khi m = 1; Tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0
b) Xác định m để f(x) viết được dưới dạng một bình phương
c) Giả sử phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Lập một hệ thức giữa x1
, x2 không phụ thuộc m.
Bài 61: Cho x, y > 0 thỏa:

x ( x + y ) = 3 y ( x + 5 y ) (1) . Tính E =

2 x + xy + 3 y
x + xy − y

Bài 62: Cho phương trình x 2 − 2(m − 1)x − 3 − m = 0
a) CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Xác định m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa: x12 + x22 ≥ 10
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: E = x12 + x22 đạt GTNN
Bài 63: Giả sử phương trình : x 2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương. Chứng minh
rằng a 2 + b 2 là một hợp số.
Bài 64: Giả sử phương trình : x 2 − 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
Xác định m để biểu thức E = x12 + x22 + x1 x2 đạt GTNN. Tìm minE
Bài 65: Cho phương trình : x 2 − (a − 1)x +1 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 , xác định a để biểu
thức M = 3x12 + 5 x1 x2 + 3x22 đạt GTNN. Hãy tìm nghiệm trong trường hợp M đạt GTNN.
Bài 66: Cho phương trình : x 2 + px − 1 = 0 (p là số lẻ) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
CMR: nếu n là số tự nhiên thì : x1n + x2n và x1n+1 + x2n+1 đều là các số nguyên và chúng nguyên
tố cùng nhau.
Bài 67: Cho phương trình : x 2 – 2(m + 1)x + 4m = 0.
a) CMR: ∀ m, phương trình luôn luôn có nghiệm. Tìm m để phương trình có nghiệm
kép. Tìm nghiệm kép đó.
b) Xác định m để phương trình có một nghiệm x = 4. Tính nghiệm số còn lại.
Bài 68: Cho phương trình : x 2 – mx + m – 1 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 . Với giá trị nào của m

biểu thức R =

2 x1 x2 + 3
đạt GTLN. Tìm GTLN đó.
x + x22 + 2(1 + x1 x2 )
2
1

Bài 69: Cho a là số thực khác – 1. Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 , x2
thỏa hệ thức: 4 x1 x2 + 4 = 5( x1 + x2 ); ( x1 − 1)( x2 − 1) =

1
a +1

Bài 70: Cho a ≠ 0. Giả sử x1 , x2 là các nghiệm của phương trình : x 2 − ax −

1
= 0 . Chứng
2a 2

minh rằng: x14 + x24 ≥ 2 + 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bài 71: Cho a ≠ 0. Giả sử x1 , x2 là các nghiệm của phương trình : x 2 − ax −

1
= 0 . Tìm
a2

GTNN của E = x14 + x24
Bài 72: Cho phương trình : x 2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0
a) Tìm a để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó

b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn – 1.
Bài 73: Cho phương trình: x 2 – ax + a – 1 = 0 có hai nghiệm là x1 , x2 .
a) Không giải phương trình, hãy tính: M =

3 x12 + 3x22 − 3
x12 x2 + x1 x22

b) Tìm a để P = x12 + x22 đạt GTNN.
Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

Trang

16


Bài 74: Cho phương trình : x 2 – (2m + 1)x + m 2 + m – 1 = 0
a) CMR: phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) CMR có một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc m.
Bài 75: Cho phương trình : ax 2 + (ab + 1) x + b = 0
a) CMR: ∀ a, b phương trình đã cho đều có nghiệm
b) Muốn phương trình đã cho có nghiệm duy nhất bằng

1
thì a và b phải bằng bao
2

nhiêu ?
Bài 76: Cho phương trình : x 2 – 2mx – m 2 – 1 = 0 (1)
a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m.
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m.

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa:

x1 x2
5
+ =−
x2 x1
2

Bài 77: Cho phương trình : (m – 1) x 2 – 2(m + 1)x + m = 0 (1)
a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m.
b) Khi phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 :
a. Tìm hệ thức giữa x1 , x2 độc lập với m.
b. Tìm m sao cho x1 − x2 ≥ 2
Bài 78: Cho phương trình : x 2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0
a) CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm không âm
c) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm. Xác định m để E = ( x1 + 1) x2 đạt GTLN
Bài 79: Cho phương trình : x 2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0
a) CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Xác định m để phương trìnhluôn có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1 = x22
Bài 80: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình : x 2 – 3x + a = 0
Gọi t1 , t2 là hai nghiệm của phương trình : t 2 − 12t + b = 0
Cho biết :

x1 x2 t1
=
= . Tính a và b.
x2 t1 t2

Chuyên đề 6: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

Bài 1: CMR nếu phương trình bậc ba: ax3 + bx 2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) có ba nghiệm x1 , x2 , x3
b

 x1 + x2 + x3 = − a

c

thì ta có các hệ thức :  x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 =
a

d

 x1 x2 x3 = − a


Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) x3 − 2 x 2 − x + 2 = 0

b) x 4 − 3 x 3 + 6 x 2 + 3 x + 1 = 0

c) ( x − 2) 4 + ( x − 3) 4 = 1

d) x 6 + x 4 − x 2 = 0

e) ( x 2 − 3 x + 1)( x 2 − 3 x + 2) = 2

f) 2 x3 − 5 x 2 + 8 x − 3 = 0

Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

Trang

17


Bài 3: Cho phương trình : x3 − (2m − 1) x 2 + (m 2 − 3m − 2) x + 2m 2 + 2m = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) có nghiệm x = – 2 với mọi m.
b) Xác định m để phương trình (1) có đúng hai nghiệm.
2
2
2
c) Xác định m để phương trình (1) có ba nghiệm x1 , x2 , x3 sao cho: S = x1 + x2 + x3 đạt
giả trị nhỏ nhất.
2 x2 + 1
x
7 x −1
+
=
3x
2x −1
6
3
2
2
2
Bài 5: Cho phương trình : x − (2m + 1) x − (3m − 6m + 2) x + 3m − 4m + 2 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) luôn có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , trong đó x1 = 1, ∀ m
b) Xác định m để : E = x1 + x2 − x3 đạt GTNN. Tìm minE và các nghiệm x1 , x2 , x3

Bài 4: a) Tính (6 x 2 + x − 1)( x − 2)

b) Giải phương trình :

tương ứng
Bài 6: a) Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp sao cho lập phương của một số bằng tổng các lập
phương của ba số kia.
b) Có thể tìm được 5 số tự nhiên liên tiếp sao cho lập phương của số này bằng tổng các
lập phương của bốn số kia ?
Bài 7: Cho phương trình : x3 − (4a + 3) x 2 + 4a(a + 2) x − 4(a 2 − 1) = 0 (1)
a) Giải phương trình khi a = −

1
2

b) Giải và biện luận phương trình theo tham số a

Bài 8: Cho phương trình : x3 – 2 x 2 + (m + 1)x – m = 0
a) CMR phương trình luôn luôn có nghiệm x = 1, ∀ m.
b) Giải và biện luận phương trình đã cho theo tham số m.
Bài 9: Giải các phương trình sau:
a ) x 4 − 3x 3 + 4 x 2 − 3x + 1 = 0

b) x 4 + 2 x 3 − 6 x 2 + 2 x + 1 = 0

c ) x 4 + 10 x 3 + 26 x 2 + 1 = 0

d) ( x + 2) 2 + ( x + 3)3 + ( x + 4) 4 = 2

e) x 4 + 5 x 3 − 12 x 2 + 5 x + 1 = 0

f) ( x 2 − x + 1) 4 + 5 x 4 = 6 x 2 ( x 2 − x + 1) 2

Bài 10: Cho phương trình : x3 + 2ax 2 − (a + 1) 2 x − 2a(a + 1) 2 = 0
a) Giải phương trình khi a = 1
b) Với giá trị nào của a, phương trình có nghiệm nhỏ nhất ? Tìm nghiệm nhỏ nhất đó
Bài 11: Giải và biện luận phương trình : x3 + 3ax 2 + 3(a 2 − bc ) x + a 3 + b3 + c 3 − 3abc = 0 (1)
Bài 12: Cho phương trình : x 4 − 10 x3 − 2(a − 11) x 2 + 2(5a + 6) x + 2a + a 2 = 0
a) Giải phương trình khi a = – 2
b) Giải và biện luận phương trình theo a, b
4
Bài 13: Cho phương trình : x + 2(2a + 1) x 2 – 3a = 0
a) Giải phương trình khi a = – 3
b) Xác định a để phương trình có 4 nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn:
x4 – x3 = x3 – x2 = x2 – x1
Bài 14: Cho phương trình : (a + b + x)3 − 4(a 3 + b3 + x 3 ) − 12abx = 0
a) Giải phương trình khi a = 1 và b = 2
b) Giải và biện luận phương trình theo a và b.
Bài 15: Cho phương trình : ( x + a + b)( x + b + c )( x + c + a )(a + b + c) = abcx
a) Giải phương trình khi a = 2, b = 3, c = 4
b) Giải và biện luận phương trình theo a, b, c
Bài 16: Giải các phương trình sau:

Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

Trang

18


a ) ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) = 3

b) ( x 2 + 3x − 4)( x 2 + x − 6) = 24

c ) x 2 + 2 x + 7 = ( x 2 + 2 x + 4)( x 2 + 2 x + 3)

d) (8 x + 7) 2 (4 x + 3)( x + 1) = 3,5

e) (2 − x 2 ) 2 + 3(2 − x 2 ) + 2 = 0

f) ( x − 4)( x − 5)( x − 6)( x − 7) = 1680

g ) ( x − 5) + ( x − 2) = 17

h) x 4 + 10 x 3 + 26 x 2 + 10 x + 1 = 0

4

4

Bài 17: Cho phương trình : x3 + a x 2 + bx + c = 0
a) Giải phương trình khi a = 1; b = c = – 8
b) Cho biết phương trình có ba nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa mãn hệ thức: x1 . x3 = x22
CMR: ca 3 = b3
Bài 18: Cho phương trình : ( x 2 + 3x + 1)( x 2 + 3x − 1) = m 2 − 1
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Xác định m để phương trình có nghiệm
Bài 19: Giải các phương trình sau:
a) x 2 +

1

1
+ y2 + 2 = 4
2
x
y

b) 4 x 2 − 4 xy + 5 y 2 + 4 y + 1 = 0

2

 2x −1 
 2x −1 
c) 
÷ − 4
÷+ 3 = 0
 x+2 
 x+2 
e) ( x 2 + 4 x + 21) 2 = ( x + 3) 4

d) x 2 − 12 +

36
24
− 4x +
=5
2
x
x

f) x 4 + 4 x + 3 = 0

g ) ( x − 1)( x + 5)( x − 3)( x + 7) = 297

h) x 4 + ( x − 1) 4 = 97

i) x 4 + x3 − 4 x 2 + x + 1 = 0

j) ( x 2 + 10 x + 8) 2 = (8 x + 4)( x 2 + 8 x + 7)

k ) x 4 − 10 x 2 + 9 = 0

l) x 4 − 3 x 2 − 4 = 0

m) 3 x 4 + 5 x 2 − 2 = 0

n) x 4 + 2 x3 + 5 x 2 + 4 x − 12 = 0

o) x 4 − 4 x 3 − 10 x 2 + 37 x − 14 = 0
q) x 4 − x3 − x + 1 = 0

p) ( x 2 − 5 x) 2 + 10( x 2 − 5 x) + 24 = 0
r) x 5 − 5 x 4 + 4 x 3 + 4 x 2 − 5 x + 1 = 0
2

2

3
 x   x +1 
s) 
÷ −

÷ =
2
 x +1   x 
4
2
2
2
2
2 2
Bài 20: Giải và biện luận phương trình : x − 2(a + b ) x + (a − b ) = 0

Bài 21: Tìm điều kiện của a và b để phương trình sau đây có ba nghiệm phân biệt:
x 4 − 2(a 2 + b 2 − 1) x 2 + ( a 2 − b 2 + 1) 2 − 4a 2 = 0

Chuyên đề 7: HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
Bài 1: Giải hệ phương trình :
 2 x 2 − xy + 3 y 2 = 13
a)  2
2
 x + 4 xy − 2 y = −6

 x 2 − y 2 + x − y = 5
b)  3
2
2
3
 x − x y − xy + y = 6

Bài 2: Giải hệ phương trình : x + y – z = y + z – x = z + x – y = xyz
( x + y )( y + z ) = 187


Bài 3: Giải hệ phương trình : ( y + z )( z + x) = 154 ( x, y, z > 0 )
( z + x)( x + y ) = 238

x + y = 2

Bài 4: Tìm x, y, z thỏa hệ phương trình : 

(1)

2
 xy − z = 1 (2)
Bài 5: Với giá trị nào của x, y, z ta có đẳng thức sau: 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 − 4 x − 6 y − 8 z + 3 = 0

Bài 6: Giải các hệ phương trình :
Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

Trang

19


 x 3 + 2 y 2 − 4 y + 3 = 0
a)  2
2 2
 x + x y − 2 y = 0

 x 2 + xy + y 2 = 4
b) 
 x + xy + y = 2

 x 2 + 1 = 3 y
c)  2
 y + 1 = 3 x

 x 3 + y 3 = 1
d)  4
4
 x + y = 1

x + y = 1
e)  5
5
 x + y = 31

x + y + z = 1
f)  4
4
4
 x + y + z = xyz
 x − y 2 − yz − z = 0
x + y + z = 1


g )  x2 + y2 + z 2 = 1
h)  x − y − y 2 − z 2 = 0
 x3 + y 3 + z 3 = 1
 x + y − y3 − z = 0



 x 4 + y 2 ≤ 1
a
)
Bài 7: Tìm tất cả các giá trị x, y thỏa mãn:
 4
3
 x + y ≥ 1

 x 4 + y 2 ≤ 1
b)  5
3
 x + y ≥ 1

Bài 8: Giải các hệ phương trình :

x + y + z = 1

1

b)  xy + yz + zx =
2

1
1
 1
 x +1 + y +1 + z +1 = 2


x + y + z = 9


1 1 1
a)  + + = 1
x y z
 xy + yz + zx = 27
 x 2 + 8 y 2 = 12
c)  3
2
 x + 2 xy + 12 y = 0

Bài 9: Giải các hệ phương trình :
 2 x2
=y

2
1
+
x

 2 y2
a) 
=z
2
1 + y
 2z2
=x

1 + z 2

1


x − y = 1

1

b)  y − = 1
z

 1
z − x = 1


1 1 1
 + + =2
x y z
c) 
 2 − 1 =4
2
 xy z

 x+y+z+t=22
 xyzt=648

1 1 7
d)  + =
 x y 12
1 1 5
 + =
 z t 18

Bài 10: Giải các hệ phương trình :

 xy + x + y = 19
a)  2
2
 x y + xy = 84
 x 2 y + xy 2 = 6
d) 
 xy + x + y = 5
 x 4 + y 4 = 97
g) 
2
2
 xy ( x + y ) = 78
 2 x 2 + y 2 − 4 x + 2 y = 1
i)  2
2
3 x − 2 y − 6 x − 4 y = 5

 x 2 + y 2 = 10
b) 
x + y = 4
x + y = 5

e)  x y 13
y + x = 6


 x 2 + y 2 = 65
c) 
( x − 1)( y − 1) = 18
3

3
 x + y = 2
f)  2
2
 x y + xy = 2

 y 2 − xy + 1 = 0
h)  2
2
 x + 2 x + y + 2 y + 1 = 0
 x 2 − 4 xy + y 2 = 3
j)  2
 y − 3xy = 2

Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

Trang

20


 x 2 + y 2 = 25
Bài 11: Với giá trị nào của m, hệ phương trình : 
có nghiệm kép
 mx − y = 3m − 4

Bài 12: Tìm tất cả các số nguyên k sao cho hệ phương trình sau có nghiệm:
 x ( x + 2 y − 4) + 4k 2 = 8 + 4 y − y 2 = 0
 2
2

 y − 2 y + 2 = 4 x( y − x − 1) + 2k + 2k
 x 2 + y 2 = 2a
Bài 13: Cho hệ phương trình : 
. Xác định a để hệ có hai nghiệm phân biệt. Tìm
 2 xy + 1 = 2a

các nghiệm đó.
Bài 14: Giải các hệ phương trình :
 x + y 2 + z 3 = 14

 x y − 2 x + y = 0
a)  2
b)  1
(x, y, z > 0)
1
1  x y z 
3
 2 x + 3 y + 6 z ÷ 2 + 3 + 6 ÷ = 1
2 x + 3 = 4 x − y



 x 2 + 4 yz + 2 z = 0
x + y + z = 6


c)  x + 2 xy + 2 z 2 = 0
d)  x 2 + y 2 + z 2 = 18
2 xz + y 2 + y + 1 = 0



 x+ y+ z =4
1 4
1 4 9
 2 x 2 − y 2 = 1
 + ≤3
 + + =3
e) 
f)  x y
(x, y > 0)
g)  x y z
(x, y , z > 0)
2
 xy + x = 2
x + y = 3
 x + y + z ≤ 12


xy
yz
zx
x2 + y2 + z 2
=
=
= 2
Bài 15: Giải hệ phương trình : a)
ay + bx bz + cy cx + az a + b 2 + c 2
2

2

2

2
 x + y + xy = a + 2a
b)  4
(a là tham sô (a ≥ 0))
4
4
 x + y = 2a

Bài 16: Giải các hệ phương trình :
x + y = 3
 xz + yt = 4

a)  2
2
 xz + yt = 6
 xz 3 + yt 3 = 10


x + y + z = 1

b)  x 2 + y 2 + z 2 = 1
 x3 + y3 + z 3 = 1


Bài 17: Tìm tất cả các số nguyên dương x1 , x2 ,…….., xn thỏa mãn hệ phương trình :
 x1 + x2 + ............... + xn = 9


1
(n nguyên dương)
1 1
+
+
..............
+
=1
x x
xn
2
 1

Bài 18: Với giá trị nào của số tự nhiên n thì tồn tại các số dương x1 , x2 ,…….., xn thỏa mãn
 x1 + x2 + ............... + xn = 3

1
hệ phương trình :  1 1
. Tìm các số đó (nếu có)
+
+
..............
+
=3
x x
xn
2
 1

Bài 19: Giải các hệ phương trình :

Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

Trang

21


 x + xy + y = 1

a )  y + yz + z = 3
 z + zx + x = 7


x + y + z = 7

b)  x 2 + y 2 + z 2 = 21
 xz = y 2


1

2 x1 = x2 + x
2

1

2 x2 = x3 + x
3


d ) ..................

1
2 x1999 = x2000 +
x2000


1
2 x2000 = x1 +
x1


 x 2 + y 2 + xy = 37

c)  x 2 + z 2 + xz = 28
 y 2 + z 2 + yz = 19


 x1 + x2 + x3 + ............ + x2000 = a
 2
2
2
2
2
 x1 + x2 + x3 + ............ + x2000 = a
e) 
........................................
 x 2000 + x 2000 + x 2000 + ............ + x 2000 = a 2000
2
3

2000
 1

Bài 20: Giải các hệ phương trình :
( x + y ) 4 − 6 x 2 y 2 = −215
a) 
2
2
 xy ( x + y ) = −78

 x + y + xy = 3
b) 
 x + y − xy = 1
(2 x + y ) 2 − 5(4 x 2 − y 2 ) + 6(2 x − y ) 2 = 0

d) 
1
2 x + y + 2 x − y = 3

4y

 x − 3 y = x
f) 
 y − 3x = 4 x
y


 x + xy + y = 2 + 3 2
c)  2
2

 x + y = 6
 x + xy + y = 1

e)  y + yz + z = 4
 z + zx + x = 9


x + y = 4
h) 
2
( x + 1) y + xy = 4( y + 2)

 x3 − y 3 = 7
g) 
 xy ( x − y ) = 2

x y
 + =m
Bài 21: Cho hệ phương trình :  y x
. Tìm m để hệ có nghiệm kép.
x + y = 8

x − y = m

Bài 22: Cho hệ phương trình : 

2
2
x + y = 1

. Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm

nghiệm đó.
Bài 23: Giải các hệ phương trình :

Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

Trang

22


8

7 x + y − x 2 = 0
c) 
7 y + x − 82 = 0
y

 x 3 + y 3 = 1
f)  5
5
2
2
 x + y = x + y

x + y + x + y = 8
a) 
 xy ( x + 1)( y + 1) = 12

 x( x + y ) = 10 y
b) 
2
2
2 y ( x − y ) = 3 x

 x 2 + xy + y = 1
d) 
2
 x + xy + y = 1

 x 2 y + 2 = y 2
e)  2
2
 xy + 2 = x

x + y = 1
g)  3
3
2
2
x + y = x + y

2 x 2 + xy = 1

h)  9 x 2
3 xy
 2(1 − x ) 4 = 1 + 2(1 − x) 2


3
 x = 2 x + y
i)  3
 y = 2 y + x

 x 2 − 2 y 2 = 2 x + y
j)  2
2
 y − 2 x = 2 y + x

2 x − y = 5
k)  2
2
 x + xy + y = 7

x + 2 y = 4
l)  2
2
 x − xy + 3 y + 2 x − 5 y − 4 = 0

2

2

 x + y = −1

m)  3
3
3
 x − y = 4 ( x − y )

2

2

 2x2
=y
 2
 x +1
 3 y3
o)  4
=z
2
 y + y +1

4z4
=x
 6
 z + z4 + z2 +1

5
 2
 3x − y − x − 3 y = 3

n) 
 1 + 2 =3
 3 x − y x − 3 y 5

Bài 24: Giải các hệ phương trình :
 x 2 − 3 xy + y 2 = −1

a)  2
2
3 x − xy + 3 y = 13
2
2
 x − xy − y = −11
d)  2
2
( x − y ) xy = 180

 y 2 − 3 xy = 4
b)  2
2
 x − 4 xy + y = 1

3x 2 − 8 xy + 4 y 2 = 0
c)  2
2
5 x − 7 xy − 6 y = 0

 xy ( x + 1)( y + 1) = 72
e) 
( x − 1)( y − 1) = 2

 x+yz=2

f)  y+zx=2
 z+xy=2


2
2
 x + 2 y = 17
i)  2
 x − 2 xy = −3
2
2
( x + 1)( y + 1) = 10
 x + y = y + x
j) 
l)  2
 y + x = 6
( x + y )( xy + 1) = 25
4
1
 5
+ 2
=−
4
 4
2
2
2

 x + y − 2 x + 3 y = 9
6
x+ y + x− y =3
 x − xy y − xy
m)  2
n)

o)


2
2 x + 2 y + x − 5 y = 1
( x + y ) 2 + ( x − y ) 2 = 20
 7 + 3 =6

 x 2 − xy y 2 − xy 5

4 x 2 + 9 y 2 = 10
g) 
2 xy = 1

2
2
2 x − 3 xy + y = 3
h)  2
2
 x + 2 xy − 2 y = 6
( x − y )( x 2 + y 2 ) = 5
k) 
2
2
( x + y )( x − y ) = 9

x + y + z = 0

p ) 2 x + 3 y + z = 0
( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 + ( z + 3) 2 = 14


x + y + z = 2

r ) 2 x + 3 y + z = 0
 x 2 + ( y + z ) 2 + ( z − 1) 2 = 9


x + y + z = 3

q)  x + 2 y − z = 2

 x + yz + zx = 3
x + y + z = 6

s)  x ( y + z ) = 5
 y( x + z ) = 8


Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

Trang

23


Bài 25: Cho x, y, z ∈ R thỏa: x + y + z = 3 và

1 1 1 1
+ + =
x y z 3

a) CMR ít nhất một trong ba số x, y, z bằng 3
x + y + z = 3

1 1 1 1
b) Áp dụng: Giải hệ phương trình :  + + =
x y z 3
 y + 2z 2 = 1

3
3
ux + vy = 14
 2
ux + vy 2 = 5
Bài 26: Giải hệ phương trình : 
ux + vy = 2
u + v = 1

 xy + x + y = 71

Bài 27: Cho x, y ∈ Z + thỏa: 

 x y + xy = 880
2

2

. Tính giá trị của biểu thức: M = x 2 + y 2

Chuyên đề 8: BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 1: a) Cho a ≥ 1, b ≥ 1. CMR: a b − 1 + b a − 1 ≤ ab
(a + b) 2 (b + c) 2 (c + a ) 2
+
+
≥2
b) Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau. CMR:
(a − b) 2 (b − c) 2 (c − a ) 2

Bài 2: a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x 1 − y 2 + y 1 − x 2 = 1 (1)
CMR: x 2 + y 2 = 1 (2)
b) Từ đẳng thức (2) có thể suy ra được đẳng thức (1) được hay không ?
Giải thích rõ câu trả lời
(PTNK ĐHQG TP.HCM 1999)
a + b + c > 0

Bài 3: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: ab + bc + ca > 0
 abc > 0


Bài 4: Cho biểu thức: S = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ac + bd , trong đó: ad – bc = 1
a) CMR: S ≥ 3
b) Tính giá trị của tổng (a + c) 2 + (b + d ) 2 khi S = 3
(HSG QG 1994)
Bài 5: a) Cho x và y dương. CMR:

1 1
4
+ ≥
. Dấu “=” xảy ra khi nào ?
x y x+ y

b) Trong tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b, c là độ dài ba cạnh)
CMR:

1
1
1
1 1 1
+
+
≥ 2 + + ÷
p −a p −b p −c
a b c

Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra lúc ∆ ABC có đặc điểm gì ?
abc
≥ ( p − a)( p − b)( p − c)
8
x + y + z = 5
7
Bài 7: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điểu kiện:  2 2 2
CMR: 1 ≤ x, y, z ≤
3
x + y + z = 9
x
≥2
Bài 8: a) CMR; với x > 1 ta có:
x −1

Bài 6: Cho ∆ ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c , chu vi 2p. CMR:

Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

Trang

24


b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của biểu thức: E =

a2
b2
+
b −1 a −1

Bài 9: CMR bất đẳng thức sau đây đúng với x, y là các số thực bất kì khác 0
 x y
x2 y 2
+ 2 + 4 ≥ 3 + ÷
2
y
x
 y x

(HSG QG 1995)

Bài 10: Xác định k để bất dẳng thức : 25 x 2 + 25 y 2 + kxy − x − y +

1
≥ 0 (1) được thỏa mãn

100

với mọi cặp (x, y) là tọa độ của điểm M nằm trên mỗi đường thẳng y = x và y = – x
y − x − m = 0

Bài 11: a) Tìm m sao cho hệ sau đây có nghiệm (x; y): 

2
2
x + y − 2x −1 ≤ 0

b) Dùng hình vẽ để kiểm tra lại kết quả trên
Bài 12: Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: a + b + c = 1. CMR: b + c ≥ 16abc
Bài 13: Cho a, b, c là các số thuộc đoạn [– 1; 2] thỏa mãn: a + b + c = 0.
CMR: a 2 + b 2 + c 2 ≤ 6
Bài 14: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a 4 + b 4 ≥ a 3b + ab3 , ∀a, b
b) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
c) a 2 + b 2 ≥

1
với a + b ≥ 1
2

d)

a
b
− a≥ b−
( a > 0, b > 0)

b
a

Bài 15:
a) CMR: ∀ x ∈ R, ta có: 3x 2 + 6 x + 12 + 5 x 4 − 10 x 2 + 9 ≥ 5
b) Giải phương trình: 3x 2 + 6 x + 12 + 5 x 4 − 10 x 2 + 9 = 3 − 4 x − 2 x 2 (ĐHTH HCM)
Bài 16: Cho ba số thực x, y, z
a) CMR: ( x − y ) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x) 2 ≤ 3( x 2 + y 2 + z 2 )
b) Gọi m là GTNN trong ba số : ( x − y ) 2 , ( y − z ) 2 , ( z − x) 2 . CMR: m ≤

x2 + y 2 + z 2
2

(chuyên toán PTNK ĐHQG HCM 1998)
Bài 17: Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR; có ít nhất một BĐT sau là sai:
2a (1 − b) > 1
3b(1 − c ) > 2
8c (1 − d ) > 1
32d (1 − a ) > 3

Bài 18: Chứng minh các BĐT sau:
a) a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b, ∀ a, b ∈ R
b)

2 ab
≤ 4 ab với a, b > 0
a+ b

(Lê Hồng Phong TP HCM 1997)

Bài 19: Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện: x 2 = y 2 + z 2
a) CMR: x3 − y 3 − z 3 = y 2 ( x − y ) + z 2 ( x − z ) . Từ đó suy ra: x3 > y 3 + z 3
b) So sánh: x và y + z
(HSG Long An, TP HCM 1982)
3

a 3 + b3  a + b 
≥
Bài 20: CMR:
(HSG HCM 1986 – 1987)
÷ , trong đó a > 0, b > 0
2
 2 
Bài 21: a) Cho các số x, y, z ≥ 0 và x + y + z = 1. CMR: x + 2y + z ≥ 4(1 – x)(1 – y)(1 – z)
a
b
c
3
+
+
≥
(HSG HCM 1988 - 1989)
b) CMR: nếu a, b, c > 0 thì
b+c c+a a +b 2

Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701

Trang

25