Chinh phục bất phương trình

Chinh Phục Bất Phương Trình

Your dreams – Our mission

PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ
Trong các bài toán về bất phương trình nói riêng và dạng toán về phương trình, hệ phương trình,
bất phương trình, hệ bất phương trình nói chung, phương pháp ẩn phụ là một phương pháp quen thuộc
và rất hiệu quả. Với phạm vi phổ thông, chúng ta thường tìm hiểu về các bài toán liên quan đến dạng
toán đặt ẩn phụ hoàn toàn, tức là đặt ẩn phụ nhằm chuyển đổi hoàn toàn một bất phương trình từ ẩn này
sang ẩn khác. Điều này giúp ta có được một bất phương trình mới “gọn gàng” hơn về hình thức, dễ dàng
hơn trong định hướng và trình bày lời giải.
Tuy nhiên, trong quá trình nghiên cứu và biên soạn quyển sách này, cũng như tham khảo trong hệ thống
đề thi thử kì thi trung học phổ thông quốc gia các năm vừa qua, tôi nhận thấy phương pháp ẩn phụ được
sử dụng rộng rãi với nhiều hình thức khác nhau, không chỉ dừng lại ở dạng toán đặt ẩn phụ hoàn toàn,
mà còn xuất hiện với nhiều dạng toán khác như đặt ẩn phụ không hoàn toàn, đặt ẩn phụ chuyển bất
phương trình về hệ bất phương trình, đặt nhiều ẩn phụ, đặt ẩn phụ dạng lượng giác (phương pháp lượng
giác hóa), đặt ẩn phụ dạng vector,…
Trong phạm vi quyển sách này, tôi xin trình bày chi tiết từng dạng toán đã nêu về phương pháp ẩn
phụ để giải các bài toán về bất phương trình trong đề thi trung học phổ thông quốc gia.
Dạng 1. Đặt ẩn phụ hoàn toàn
Trong chương trình trung học phổ thông, chắc hẳn các bạn học sinh đã ít nhiều được làm quen với
dạng toán đặt ẩn phụ hoàn toàn. Dạng toán này dùng để xử lí các bài toán mang hình thức cồng kềnh, khó
nhìn và khó định hướng giải. Như đã trình bày phía trên, sau khi đặt ẩn phụ hoặc biến đổi sơ bộ rồi đặt ẩn
phụ, các bạn có thể chuyển bất phương trình đã cho từ ẩn này sang ẩn khác và dễ dàng tìm được lời giải
hoàn thiện. Để mở đầu dạng toán này, mời các bạn cùng đến với hai ví dụ sau đây:

Ví dụ 1. Giải bất phương trình x4  2 x2  3  0
Lời giải 1: (không sử dụng phương pháp ẩn phụ)
Bất phương trình đã cho tương đương với

 x 1 x

2

Vì x 2  3  0, x 

2



3  0

(*)

nên từ (*) suy ra

x  1
x 1  0  x  1  
 x  1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
S   ; 1  1;   .
2



Đặt t  x 2 (với t  0 ), bất phương trình đã cho trở
thành
t  1
t 2  2t  3  0   t  1 t  3  0  
t  3
Kết hợp điều kiện t  0 ta suy ra t  1 .
x  1

Do đó x 2  1  
.
 x  
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
S   ; 1  1;   .
Ví dụ 2. Giải bất phương trình



6 x2  2 x  4  2  x  2



1
2

Lời giải:
Điều kiện x  2 .







6 x2  2 x  4  2  x  2

Ta có

2

Lời giải 2: (sử dụng phương pháp ẩn phụ)

x2 2



2 x2  2 x  4







6 x  2x  4  2  x  2
2

 0, x  2

Do đó bất phương trình đã cho trở thành
2









x  2  2  6 x2  2 x  4  2  x  2 

1

 2 x  2  2 x  12  x  2   6 x 2

Nhận xét x  2 không là nghiệm của bất phương
trình.Khi x  2 , chia hai vế bất phương trình 1
cho

x  2  0 , ta được:
2x
 x 
2
 12  6 

x2
 x2 

Đặt t 

2

x
, bất phương trình trở thành
x2

“Đừng giới hạn thách thức. Hãy thách thức giới hạn”

Chinh Phục Bất Phương Trình

2  2t  12  6t 2
2  2t  0
t  1



2
2
2
4  8t  4t  12  6t
2  t  2   0
t 2
x
2
Với t  2 thì
x2

 x  0
 2
 x  2  2 3 (nhận)
 x  4 x  8  0
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là





S  22 3 .

Nhận xét:Sau hai ví dụ mở đầu, chắc hẳn các bạn
cũng đã phần nào nắm được tư tưởng chính của
dạng toán này. Với các bài toán đơn giản như ví dụ
1, khi các bạn giải trực tiếp hoặc sử dụng phương
pháp ẩn phụ đều đạt được kết quả tương tự nhau về
đáp số bài toán, thời gian định hướng giải và trình
bày lời giải. Tuy nhiên với các bài toán khó hơn,
phức tạp hơn như ví dụ 2, khi các bạn không sử
dụng phương pháp ẩn phụ, chắc chắn các bạn sẽ
vướng phải những khó khăn nhất định trong định
hướng giải và trình bày lời giải, dẫn đến việc các
bạn sẽ mất khá nhiều thời gian, điều mà chúng ta
không hề mong đợi trong các kì thi lớn.
Vì thế, trong nhiều trường hợp, khi gặp các bài
toán cồng kềnh và khó định hướng giải, các bạn
nên biến đổi sơ bộ, tách ghép và thêm bớt các hạng
tử sao cho chúng ta có thể nhìn nhận ra được các
yếu tố giống nhau đang ẩn chứa trong sự cồng
kềnh ấy. Và cuối cùng chỉ việc đặt ẩn phụ và hoàn
thiện lời giải thật nhanh chóng, chính xác.
Một lưu ý nhỏ cho dạng toán này, cũng như một sai
lầm thường gặp trong khi giải toán, chính là điều
kiện của ẩn phụ. Khi các bạn gặp một bất phương
trình có dạng g  f  x    0 , trước hết các bạn phải

đặt điều kiện cho bất phương trình xác định, tiếp
theo là đặt ẩn phụ t  f  x  và nhớ “đừng bao giờ
quên” điều kiện của ẩn phụ t , sau đó chúng ta sẽ

giải bất phương trình g  t   0 , khi tìm được t , ta
suy ra f  x  , tiếp theo là giải tìm x , cuối cùng là so
điều kiện và kết luận.
Với quy trình như vậy, chúng ta sẽ “tấn công” hàng loạt
các ví dụ sau đây:

Ví dụ 3. Giải bất phương trình
18 x 2  18 x x  17 x  8 x  2  0
Nhận xét:

Your dreams – Our mission

Nếu tinh ý ta có thể dễ dàng nhận thấy bất phương
trình đã cho có dạng bất phương trình bậc 4 đầy đủ
theo ẩn x .
Do đó, sau công đoạn quan trọng đầu tiên là đặt
điều kiện xác định cho bất phương trình, ta có thể
nghĩ ngay đến bước tiếp theo là đặt ẩn phụ y  x
và dễ dàng suy ra điều kiện của ẩn phụ là y  0 .
Đến đây ta có được bất phương trình mới theo ẩn y
như sau:
18 y 4  18 y3  17 y 2  8 y  2  0
Rõ ràng đây chính là bất phương trình bậc 4 dạng
đầy đủ và các hệ số khá lệch nhau nên ta không thể
xử lí theo dạng bất phương trình đẳng cấp bậc 4.
Điều này khiến ta nghĩ đến việc nhẩm nghiệm của
phương trình
18 y 4  18 y3  17 y 2  8 y  2  0
hoặc phân tích vế trái của bất phương trình mới (ẩn
y ) thành nhân tử, sau đó tiến hành giải bất phương

trình tích theo công thức hoặc bảng xét dấu quen
thuộc.
Tuy nhiên với bài toán này, việc phân tích thành
nhân tử đòi hỏi một quá trình thêm bớt, tách ghép
hạng tử khá phức tạp.
Đây là một định hướng khá quan trọng trong giải
các bài toán lien quan đến phương trình cũng như
bất phương trình bậc cao, do đó các bạn học sinh
cần luyện tập kĩ thuật này nhiều hơn!

Lời giải:
Điều kiện x  0 .
Đặt y  x (với y  0 ), bất phương trình đã cho
trở thành
18 y 4  18 y 3  17 y 2  8 y  2  0







 3 y2  4 y  2 6 y2  2 y 1  0

Vì 6 y 2  2 y  1  0, y 

nên


2  10

y 
3
3y2  4 y  2  0  

2  10
y 
3

So điều kiện y  0 và nhận thấy
suy ra y 

2  10
.
3

Do đó x 

14  4 10
(nhận).
9

NGUYỄN VĂN HƯỞNG – TRẦN DUY QUÂN – VŨ THỊ NGỌC HUYỀN

2  10
 0 ta
3


Chinh Phục Bất Phương Trình

Your dreams – Our mission

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

 14  4 10

S  
;   .
9


Ví dụ 4. Giải bất phương trình
2 x  4 x2  4 x  2
Nhận xét: Đây là một bài toán khá đơn giản,
chúng ta chỉ cần biến đổi sơ bộ, đặt ẩn phụ và xử lí
bất phương trình thu được để đi đến kết luận.
Lời giải:
Bất phương trình đã cho tương đương với
2x 1 1 

 2 x  12  1

Đặt t  2 x  1 (với t   ), bất phương trình đã cho
trở thành
t  0
t 1  t2 1  
t0
2
2
 t  1  t  1

1
Do đó 2 x  1  0  x  .
2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
1

S   ;   .
2

Ví dụ 5. Giải bất phương trình
3 4
x 2  3x  1  
x  x2  1
3
Lời giải:
Ta có

 
  x  x  1 x

vấp phải một sai lầm không hề nhỏ và ảnh hưởng
đến kết quả bài toán.
Nếu đây là một bài phương trình, thì điều kiện
y  0 cũng không ảnh hưởng gì đến kết quả bài
toán. Tuy nhiên, với một bài toán bất phương trình
thì điều kiện ấy ảnh hưởng rất nhiều!
Để tìm điều kiện của ẩn phụ, ta sẽ tìm miền giá trị
của biểu thức dưới căn. Với một biểu thức có dạng
x2  x  1
phân thức đồng bậc, chẳng hạn là 2

. Ta sẽ
x  x 1
có những phương pháp tìm miền giá trị sau đây:
Dùng phương pháp khảo sát hàm số:
x2  x  1
Xét hàm số f  x   2
, x .
x  x 1
2 x2  2
Ta tính được f '  x  
.
2
 x2  x  1

x 1
Khi đó f '  x   0  x 2  1  
 x  1
1
Ta có f 1  ; f  1  3 và
3
lim f  x   lim f  x   1 .
x 

3
 y  3.
3
Dùng phương pháp miền giá trị:
x2  x  1
Đặt k  2
. Khi đó

x  x 1

Do đó

k  x 2  x  1  x 2  x  1

2

x4  x2  1  x2  1  x2
2

Mặt khác



2



 x  1  0, x 

 



x 2  3x  1  2 x 2  x  1  x 2  x  1

 x 2  k  1  x  k  1   k  1  0

Nhận thấy đây là phương trình bậc hai ẩn x . Ta tính

được biệt thức  x theo công thức
 x   k  1  4  k  1
2

Bất phương trình đã cho tương đương với



 



 2

3 2
x  x  1 x2  x  1  0
3

x2  x  1
3 x2  x  1

 2
1  0
x2  x  1 3
x  x 1
(vì x2  x  1  0 , với mọi x )

Nhận xét:
Đến đây ta dễ dàng nhận thấy được ẩn phụ

x2  x  1
, nhưng nếu chúng ta không chú ý
x2  x  1
đến việc tìm điều kiện của ẩn phụ, mà đặt điều kiện
đơn giản nhất cho ẩn phụ là y  0 , thì chúng ta sẽ
y

2

 k 2  2k  1  4k 2  8k  4

2 x2  x  1  x2  x  1


x 

1
Vậy min f  x   và max f  x   3 .
3

 3k 2  10k  3

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi  x  0
 3k 2  10k  3  0 

1
k 3
3

3

1 x2  x  1
 y  3.
 2
 3 , hay
3
3 x  x 1
Dùng biến đổi tương đương và bất đẳng thức cổ
điển để đánh giá:
1 x2  x  1
Khi ta dự đoán được  2
 3 và dấu đẳng
3 x  x 1
thức xảy ra lần lượt tại x  1 , x  1 , ta có thể dễ
dàng chứng minh bằng phép biến đổi tương đương
hoặc dùng bất đẳng thức AM - GM để đánh giá.

Do đó

“Đừng giới hạn thách thức. Hãy thách thức giới hạn”


Chinh Phục Bất Phương Trình

Your dreams – Our mission

Trong quá trình giải toán, bạn đọc nên luyện tập cả
ba phương pháp nêu trên và chọn một phương pháp
tối ưu nhất để sử dụng trong phòng thi.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

S  1 .
Với định hướng tự nhiên này, ta có thể bỏ qua quá

x2  x  1
x2  x  1
một quá trình khá phức tạp và mất không ít thời
gian. Điều này giúp ta tiết kiệm được nhiều thời
gian hơn trong quá trình giải toán cũng như trong
phòng thi.
trình đặt điều kiện cho ẩn phụ y 

Trở lại bài toán:

x2  x  1
(với
x2  x  1
phương trình đã cho trở thành

3
 y  3 ), bất
3

y

Đặt

3
y 1  0
3

2 y2 

 6 y2  3 y  3  0  

So điều kiện
Do đó



3
3
 y
2
3

3
3
.
 y  3 ta suy ra y 
3
3

x2  x  1
3
x2  x  1 1

 2

x2  x  1 3
x  x 1 3



  x 2  x  1  x 2  x  1    x  1  0  x  1
2

Tóm lại, các bạn cần luyện tập tất cả các phương
pháp mà anh đã trình bày ở đây một cách nhuần
nhuyễn, sau đó chọn cho mình phương pháp thích
hợp và hiệu quả nhất để sử dụng trong những kì thi
quan trọng sắp tới!
Ví dụ 6. Giải bất phương trình
2
 1  3  2 x  x2
x 1  3  x
Nhận xét:
Điểm quan trọng cần chú ý trong bài toán này
chính là hai biểu thức bậc nhất trong căn ( x  1 và
3  x ) có hệ số của x là hai số đối nhau ( 1 và 1
), điều này giúp ta rút gọn được hạng tử chứa x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
S  1 .
Nhận xét:

khi bình phương đại lượng x  1  3  x .
Mặt khác khi bình phương đại lượng

Ngoài cách giải trên, ta có thể xử lí bài toán này
theo định hướng sau:

Bất phương trình đã cho tương đương với

x  1  3  x còn giúp ta tạo ra biểu thức mới

2  x 2  x  1   x 2  x  1


 x  1 3  x 

3
ab  b2  0
3

3  
3 
  a 
b   a   
 b   0
3
2


 
 

3
3
b0
b.
3

2
Do đó từ bất phương trình ta suy ra


3
3
ba
b
2
3

3
hay 0  a 
b (vì a  x 2  x  1  0 )
3
suy ra
3 2
x  x 1 
x  x 1
3
1
 x 2  x  1   x 2  x  1  2 x 2  4 x  2  0
3

đại

Lời giải:
x 1  0

 1  x  3 .

Điều kiện 3  x  0

 x 1  3  x  0

Đặt t  x  1  3  x , suy ra
t 2  4  2 3  2 x  x2
t2  2
 1  3  2 x  x2
2
Bất phương trình đã cho trở thành


2 t2  2

t
2

2





 t 3  2t  4  0   t  2  t 2  2t  2  0

 2  x  1  0  2  x  1  0  x  1  0

Vì t 2  2t  2  0 với mọi t nên suy ra t  2

 x 1

Hay

2

2

lượng

Đến đây sau khi đặt ẩn phụ t  x  1  3  x ta
có thể dễ dàng xử lí phần còn lại của bài toán và
đưa ra kết luận.

2a 2 

Vì b  x 2  x  1  0 nên

bằng

3  2x  x 2 ở vế phải của bất phương trình đã
cho.

3 2
x  x  1 x2  x  1  0
3

Đặt a  x2  x  1, b  x2  x  1 (với a, b  0 ),
ta được

đúng

x 1  3  x  2

NGUYỄN VĂN HƯỞNG – TRẦN DUY QUÂN – VŨ THỊ NGỌC HUYỀN


Chinh Phục Bất Phương Trình

Your dreams – Our mission

 4  2 x 1 3  x  
 x  1
  x 1 3  x  0  
x  3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
S  1;3 .
Nhận xét:Với một bài toán bất phương trình, ta có
thể tiếp cận, xử lí đơn thuần bằng một phương
pháp (như phương pháp tương đương, phương
pháp ẩn phụ, phương pháp lien hợp, phương pháp
hàm số, phương pháp đánh giá,…) với nhiều lời
giải khác nhau. Tuy nhiên, với một số bài toán hay
và khó, mức độ phức tạp được nâng lên thì với một
phương pháp đơn thuần ta không thể giải quyết
trọn vẹn mà chúng ta cần phối hợp khéo léo nhiều
phương pháp với nhau để có được một định hướng
ngắn gọn, chính xác và hiệu quả nhất.
Sau đây xin giới thiệu cùng bạn đọc những bài toán
bất phương trình được giải bằng sự phối hợp linh
hoạt của nhiều phương pháp mà trọng tâm là

phương pháp ẩn phụ.
Ví dụ 7. Giải bất phương trình
1  2x  x2  1  2x  x2

đọc cần chú ý đến hai đánh giá quen thuộc sau đây
để có thể giải quyết trọn vẹn bài toán:
- Với a  1  b ta luôn có a  b  1  ab ;
- Với 0  c  1 ta luôn có c  c 2 .
Phần chứng minh hai bổ đề quen thuộc trên khá đơn
giản (chỉ cần sử dụng phương pháp tương đương)
xin dành lại cho bạn đọc.

Lời giải:

2 x  x 2  0

Điều kiện 1  2 x  x 2  0  0  x  2

2
1  2 x  x  0
Đặt y  2 x  x 2  1   x  1 , suy ra
2

0  y  1

2
2
 x  1  1  y
Ta được

1  y  1  y  2 1  y 2  1  2 y 2 
2

Mặt khác
1 y  1 y  1 1 y2  2  y2

Từ đó suy ra

2 1  y 2  1  2 y 2   2  y 2
2

 2  x  1  2 x 2  4 x  1
4

Đặt z  y 2 , ta được 0  z  1

Nhận xét:

lượng thường liên quan đến biểu thức  x  1 , tức
2

là dễ dàng thêm bớt, tách ghép để đưa về biểu thức

 x  1 . Từ
2
t   x  1 .
2

và 2 1  z  1  2 z   2  z
2

Với bài toán này, chúng ta có thể nhìn thấy vẻ ngoài
của bài toán khá cồng kềnh và phức tạp, không
những vế trái chứa hai lớp căn thức, mà vế phải còn
có dạng bậc cao, nhưng hãy chú ý rằng các đại

đó ta có thể định hướng đặt ẩn phụ

Tuy nhiên, sau khi đặt t   x  1 , bất phương trình
2

đã cho trở thành

1  1  t  1  1  t  2t 2  2t 2  1
Thoạt nhìn, ta thấy bất phương trình thu được có vẻ
ngoài dễ nhìn hơn đôi chút, nhưng vấn đề hai lớp
căn và bậc cao vẫn chưa được giải quyết.
Do đó ta sẽ linh hoạt thay đổi cách đặt ẩn phụ sao
cho khử được một lớp căn thức. Tức là ta sẽ đặt

y  2x  x 2 và sau đó tiến hành xử lí bất phương
trình thu được.
Mặt khác để giải bài toán bất phương trình này,
ngoài phương pháp đặt ẩn phụ, chúng ta cần kết hợp
khéo léo với phương pháp đánh giá. Thật vậy, bạn

 z  4 z 2  10 z  7   0  z  0

(vì 4z 2 10z  7  0 )
Do đó z  0 suy ra y  0

x  0
hay 2 x  x 2  0  
x  2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
S  0;2 .

Nhận xét:
Phương pháp tương đương là một trong những
phương pháp rất quan trọng. Không chỉ có thể sử
dụng một cách độc lập để giải các bài toán về bất
phương trình mà hơn hết chính là sự hiệu quả của
nó trong sự kết hợp với các phương pháp khác.
Phương pháp tương đương đã được trình bày rất
chi tiết trong phần khác của quyển sách này, trong
phần này anh sẽ không nhắc lại toàn bộ phương
pháp mà chỉ gợi nhớ một vài công thức quan trọng
thôi!
1.


g  x  0
f  x  g  x  

 f  x  g  x

“Đừng giới hạn thách thức. Hãy thách thức giới hạn”


Chinh Phục Bất Phương Trình

Your dreams – Our mission

2.


g  x  0
f  x  g  x  

 f  x  g  x

3.

 f  x  0

f  x  g  x  g  x  0

2
 f  x    g  x  

4.

 f  x  0

f  x  g  x  g  x  0

2
 f  x    g  x  

5.

  g  x   0

 f  x   0
f  x  g  x  
  g  x   0

2
  f  x    g  x  

6.

7.

Để xử lí vấn đề đó, ta có thể đặt ẩn phụ như sau
x2
, khi đó t 2   x  1 x  2  , bất
x 1
phương trình đã cho vẫn có thể được chuyển về
dạng bất phương trình bậc 2 quen thuộc theo ẩn t .
Sau khi giải tìm giá trị t , ta hoàn toàn có thể xử lí
nốt phần còn lại của bài toán bằng những công thức
quen thuộc theo phương pháp tương đương.
t   x  1

Lời giải:

x2
0
x  1



Điều kiện  x  1
 x  2
 x  1
x2
, suy ra t 2   x  1 x  2  .
x 1
Bất phương trình đã cho trở thành
Đặt t   x  1

t 2  t  2  0  1  t  

hay

  g  x   0

 f  x   0
f  x  g  x  
  g  x   0

2
  f  x    g  x  

1   x  1

 Xét 1   x  1

f  x  g  x  h  x

x  1


x  1
 
  1  13
1  13

x
2
2

x  1

1  13
x 

 1  13

2

 x 1 

2
x  1

Ví dụ 8. Giải bất phương trình

x2
20
x 1

Nhận xét:
Với bài toán này, lỗi sai thường gặp nhất chính là sự
chủ quan về điều kiện xác định của bất phương
trình. Do đó các bạn học sinh thường hay biến đổi
tương đương bất phương trình đã cho thành dạng

 Xét  x  1

 x  1 x  2

để giải

bất phương trình.
Điều này ảnh hưởng rất lớn đến kết quả bài toán, vì
điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi x  1 , nhưng điều
kiện xác định của bất phương trình đã cho là x  1
hoặc x  2 , như thế ta vô tình đã làm mất đi
trường hợp x  2 .

x2
 2 tương đương với
x 1

x  1
x  1


  x  1
  x  1
  x  1 x  2   4

 3  x  2

x  1
x  2


1  x  2
x  1

 x  1 x  2   x  1 x  2  2  0
và sau đó là đặt ẩn phụ t 

x2
tương đương với
x 1

x  1

  x  1
 1   x  1 x  2 


 f  x  0

 g  x   0
 h x  0
 

2


  h  x
f
x

g
x




 


 x  1 x  2    x  1


x2
1   x  1
x2
x 1

2 
x 1
 x 1 x  2  2


x 1

Do đó

1  13
 x  2 và x  1 .
2

NGUYỄN VĂN HƯỞNG – TRẦN DUY QUÂN – VŨ THỊ NGỌC HUYỀN


Chinh Phục Bất Phương Trình

Your dreams – Our mission

x  1
Kết hợp điều kiện 
ta suy ra
 x  2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

 1  13
 x  2

2

1  x  2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
 1  13

S
; 2   1; 2 .
2



Ví dụ 9. Giải bất phương trình

10 x2  3x  1  1  6 x  x 2  3
Lời giải:
Bất phương trình đã cho tương đương với

 3  7 
S  
;1 .
4


Nhận xét:
Ngoài cách giải trên, ta có thể xử lí bài toán này
theo định hướng sau (phương pháp gọi số hạng
vắng – một phần của dạng đặt nhiều ẩn phụ, sẽ
được tìm hiểu chi tiết hơn trong dạng sau của
phương pháp ẩn phụ này.
Đặt a  x2  3  0, b  6 x  1 .
Ta cần tìm các hệ số m, n, p sao cho
m  x 2  3  n  36 x 2  12 x  1  p  10 x 2  3x  1

Đồng nhất hệ số ta được hệ phương trình


m  1
m  36n  10


1


12
n

3


n 
4
3m  n  p  1 

9

 p   4

9 x 2  6 x x 2  3  x 2  3  3x  x 2  3  2  0



 3x  x 2  3

   3x 
2



x2  3  2  0

Đặt t  3x  x 2  3 , bất phương trình đã cho trở
thành t 2  t  2  0  2  t  1
hay
 2  3x  x 2  3  1






 x 2  3  0

3x  2  0
 2
2
 x  3   3x  2 
2
x  3  3x  2

   3x  1  0
 2
x 2  3  3x  1
  x  3  0
  3x  1  0
  
   x 2  3   3x  12
  


2

 x   3

 
3  7
  x 
4
 
 
3  7

3  7
   x 
x 

4



4
1

x  1

 x  3

  x  1
 
3
 
1

   x  1

   4


3  7
 x 1
4

Suy ra

x

 3 

1
9
36 x 2  12 x  1   10 x 2  3x  1

4
4
Bất phương trình đã cho tương đương với
 x2  3  14  36 x2  12 x  1  94  1  6 x  x 2  3
Bất phương trình đã cho trở thành
1
9
a 2  b 2   ab
4
4
2

2

1
9
b 9

 a 2  ab  b 2    a   
4
4
2 4

3
b 3
 a 
2
2 2
hay
2

3
6x  1 3
 x  3  3x  2
 x2  3 
 
2
2
2
2


 x  3  3x  1
Đến đây ta thực hiện phép biến đổi tương đương
hoàn toàn tương tự như lời giải trên.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là



 3  7 
S  
;1 .
4



Ví dụ 10. Giải bất phương trình

 x  1
2

2

 5  x 2 x2  4

Lời giải:





Đặt t  x 2 x 2  4 , suy ra t 2  2 x 4  2 x 2 , bất

phương trình đã cho trở thành

“Đừng giới hạn thách thức. Hãy thách thức giới hạn”


Chinh Phục Bất Phương Trình

t2
 1  5  t  t 2  2t  8  0  4  t  2
2
4  x 2 x 2  4

hay 4  x 2 x2  4  2  
2

x 2x  4  2
 Xét 4  x 2 x 2  4 tương đương với
x  0
x  0


   x  0
  x  0
 16  2 x 4  4 x 2
 4  x 2  2



Your dreams – Our mission

x  0

  x  0
 2 x 4  4 x 2  4

x  0

   x  0
 1  3  x 2  1  3


x  0
x  0

   x  0

 2  x  0
  2  x  2



x  0

   x  0

  1  3  x  1  3
x  0

0  x  1  3

 x 2

 x  1  3

 Xét x 2 x  4  2 tương đương với
2

Do đó  2  x  1  3 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
S   2; 3  1



.

NGUYỄN VĂN HƯỞNG – TRẦN DUY QUÂN – VŨ THỊ NGỌC HUYỀN