Bài tập xác suất thống kê thái bảo khánh, nguyễn đình ai

p.1

Bài Tập Xác suất & Thống kê

p.2

Bài Tập Xác suất & Thống kê

PHẦN XÁC SUẤT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG
BỘ MÔN TOÁN

Bài tập chương 1
(Xác suất cổ điển)
1.1 Ba xạ thủ, mỗi người bắn một phát. Gọi Ai là biến cố người
thứ i bắn trúng. Hãy biểu diển Ai qua các biến cố sau:

BÀI TẬP
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT &
THỐNG KÊ TOÁN

Biên soạn:
Nguyễn Đình Ái
Thái Bảo Khánh

a. A : chỉ có người thứ nhất bắn trúng.
b. B : người thứ nhất bắn trúng còn người thứ hai bắn trật.
c. C : có ít nhất một người bắn trúng.
d. D : cả 3 người đều bắn trúng.
e. E : có ít nhất hai người bắn trúng.

f. F : chỉ có hai người bắn trúng.
g. G : không có ai bắn trúng.
h. H : không có hơn 2 người bắn trúng.
i. I: người thứ nhất bắn trúng, hoặc người thứ hai và
người thứ ba cùng bắn trúng.
j. K:người thứ nhất bắn trúng hay người thứ hai bắn trúng.
1.2.Một túi đựng 12 quả cầu, trong đó có 7 quả màu xanh, 5 quả
vàng. Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) từ túi ra 4 quả cầu.
a) Tính xác suất để có 2 quả cầu xanh trong 4 quả cầu lấy
ra từ túi.
b) Tính xác suất để trong 4 quả cầu lấy ra có ít nhất 1 quả
cầu xanh.
ĐS.a) C72C52 / C124

Nha trang tháng 05/2012

b) 1  C54 / C124

1.3.Một người gọi điện thoại quên mất hai chữ số cuối của số điện
thoại cần gọi và chỉ nhớ là hai chữ số đó khác nhau và chữ số cuối
cùng là 1, 4, hoặc 5 gì đó.Tìm xác suất để xãy ra biến cố A: quay
ngẫu nhiên một lần thì trúng ngay số điện thoại đó.ĐS. 1/27.


p.3
Bài Tập Xác suất & Thống kê
1.4.Một hộp có 10 sản phẩm (trong đó có 3 phế phẩm).Lấy ngẫu
nhiên (không hoàn lại) từ hộp ra 5 sản phẩm.Tính xác suất để có
không quá 1 phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra.
5

ĐS. (C75  C74C31 ) / C10

1.5.Một kiện hàng có 12 sản phẩm, trong đó có 8 chính phẩm và 4
phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ kiện hàng. Tìm xác suất để
trong 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 chính phẩm.
3
ĐS.P(A) = 1  P( A )= 1  C43 / C12
.

1.6 Gieo đồng thời hai con xúc xắc được chế tạo cân đối, đồng
chất. Tìm xác suất để:
a. Tổng số nốt là 7.
b. Tổng số nốt là 8.
ĐS.a)1/6
b)5/36
1.7 Trên giá sách có 50 cuốn sách, trong đó có 3 cuốn sách của
cùng một tác giả. Tìm xác suất để 3 cuốn đó không đứng cạnh
nhau.
1.8 Một dãy ghế trong hội trường rạp chiếu phim có 20 chổ ngồi,
xếp 20 người vào ngồi một cách ngẫu nhiên, trong đó có Lan và
Tuấn. Tính xác suất để:
a. Lan được ngồi ở một trong hai đầu dãy ghế.
b. Lan và Tuấn được ngồi gần nhau.
ĐS. a) 1/10
b)1/10
1.9 Một công ty cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn (
trong đó có 4 nữ và 2 nam ). Giả sử khả năng trúng tuyển của 6
người là như nhau. Tính xác suất để:
a. cả 2 người trúng tuyển đều là nam.
b. cả 2 người trúng tuyển đều là nữ.

c. có ít nhất một nữ trúng tuyển.

p.4
ĐS. a)1/15

b) C42

/ C62

Bài Tập Xác suất & Thống kê
c)11/15 = …

1.10 Trong một lớp có 25 sinh viên, trong đó có 10 nam và 15 nữ.
Chọn ngẫu nhiên một nhóm gồm 8 sinh viên để đi chiến dịch sinh
viên tình nguyện. Tính xác suất để:
a. Có 4 nam trong số 8 sinh viên được chọn?
b. Có nhiều nhất 3 sinh viên nam được chọn?
c. Không có sinh viên nam trong 8 sinh viên được chọn?
d. Có ít nhất 1 sinh viên nam trong 8 sinh viên được chọn?
8
ĐS.a) C104 C154 / C25

b)1

P(A)

=

…

8
8
c)P(C)= C15
/ C25

c)P(D)=1P(C)
1.11 Trong 30 đề thi, trong đó có 10 đề khó, 20 đề trung bình. Tìm
xác suất để:
a. Một học sinh bốc 1 đề, gặp đề trung bình.
b. Một học sinh bốc 2 đề, gặp ít nhất một đề trung bình.
ĐS.a)20/30 = …

2
b) 1  C102 / C30

1.12 Một công ty có 60 nhân viên, trong đó có 20 nam và 40 nữ.
Tỷ lệ nhân viên nữ có thể nói tiếng Anh lưu loát là 15% và tỷ lệ
này đối với nam là 20%
a. Gặp ngẫu nhiên một nhân viên của công ty. Tìm xác suất
để gặp được nhân viên nói tiếng Anh lưu loát?
b. Gặp ngẫu nhiên hai nhân viên của công ty. Tìm xác suất
để có ít nhất một người nói tiếng Anh lưu loát trong số 2 người
gặp?
HD&ĐS. Số nhân viên giỏi tiếng Anh là 10 và kém là 50
a)10/60 = 1/6

2
2
b) 1  C50
/ C60

Công thức cộng và công thức nhân xác suất
1.13.Trong một vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh gan là 9%, bệnh
sốt rét là 12% và mắc cả hai bệnh là 7%. Chọn ngẫu nhiên một người


p.5
Bài Tập Xác suất & Thống kê
trong vùng. Tính xác suất để người đó không mắc bệnh nào trong 2
bệnh. Giả sử vùng dân cư khoảng 100.000 người. Số người không
mắc bệnh nào trong 2 bệnh khoảng chừng bao nhiêu ?
ĐS. 0,86;
86000 (người)
1.14.Biết trong lớp 100 học sinh có 15 em giỏi môn toán và 20 em
giỏi Ngoại ngữ, trong đó có 5 em giỏi cả Toán lẫn Ngoại ngữ. Quy
định giỏi ít nhất một môn thì được thưởng. Chọn ngẫu nhiên một
em trong lớp. Tính xác suất để em đó được thưởng.Suy ra tỉ lệ học
sinh được thưởng của lớp.
ĐS.30/100=… ;
30%
1.15 Ba xạ thủ A, B, C độc lập với nhau cùng nổ súng vào một

mục tiêu. Xác suất bắn trúng của xạ thủ A, B, C tương ứng là 0,4;
0,5 và 0,6. Tính xác suất để:
a. Chỉ có duy nhất một xạ thủ bắn trúng.
b. Ít nhất một xạ thủ bắn trúng.
HD. Gọi các biến cố xạ thủ A, B, C bắn trúng lần lượt là A1,
B1, C2.
E : biến cố có duy nhất một xạ thủ bắn trúng.
F : biến cố có ít nhất một xạ thủ bắn trúng.

a) E  A1 B1 C1  A1 B1 C1  A1 B1C1 …

b) F  A1 B1 C1 ,…

1.16.Một phân xưởng có 3 máy. Xác suất các máy 1, 2, 3 bị hỏng
trong ngày tương ứng là 0,1; 0,2 và 0,15. Tính các xác suất của các
biến cố sau
a)A: có một máy bị hỏng trong ngày.
b)B: có ít nhất một máy bị hỏng trong ngày.
HD. Gọi các biến cố máy 1, máy 2, máy 3 hỏng lần lượt là A1, A2,
A3.
a)A = A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 b) B  A1 A2 A3

p.6
Bài Tập Xác suất & Thống kê
1.17.Một bộ đề thi vấn đáp gồm 10 đề, trong đó có 4 đề về câu hỏi lý
thuyết và 6 đề bài tập tính toán. Có 4 sinh viên lần lượt vào thi, mỗi
sinh viên chỉ lấy một đề và không hoàn lại. Tìm xác suất để xãy ra
biến cố A : sinh viên vào lần 1 gặp đề bài tập và 2 sinh viên kế tiếp
gặp đề lý thuyết và sinh viên thứ tư gặp đề bài tập.
6 4 3 5
ĐS. . . .
10 9 8 7
1.18 Có hai túi đựng các quả cầu. Túi thứ nhất đựng 3 quả trắng, 7
quả đỏ và 15 quả xanh. Túi thứ hai đựng 10 quả trắng, 6 quả đỏ và
9 quả xanh. Từ mỗi túi chọn ngẫu nhiên một quả cầu. Tính xác
suất để 2 quả cầu được chọn đều có cùng màu.
HD.Gọi các biến cố lấy được ở túi i quả cầu là trắng, đỏ , xanh
lần lượt là Ti , Đi , Xi , i = 1, 2. Khi đó A = T1T2 Đ1Đ2 X1X2
1.19 Chị Lan có một chùm chìa khóa gồm 9 chiếc bề ngoài rất

giống nhau nhưng trong đó chỉ có 2 chiếc mở được cửa tủ. Chị
Lan thử ngẫu nhiên từng chìa ( chìa nào không đúng thì bỏ ra).
Tìm xác suất để chị Lan mở được cửa ở lần thử thứ 3.
7 6 2
ĐS. . .
9 8 7
1.20 Có 3 sinh viên nhưng chỉ có 2 vé đi xem phim. Họ làm 3 lá
thăm, trong đó có 2 thăm có đánh dấu. Mỗi người lần lượt rút một
thăm. Nếu ai rút được thăm có đánh dấu thì được vé đi xem phim.
Hãy chứng minh sự công bằng của cách làm này.
HD.Goi các biến cố sinh viên thứ i lấy được thăm có dấu là A1,
A2, A3.

A2 = A1 A2  A1 A2 ,… , A3 = A1 A2 A3  A1 A2 A3
Công thức Bernoulli
1.21.Cho một lô hạt giống với tỉ lệ hạt nảy mầm là 90 %.
a)Nếu 10 hạt thì xác suất để có 3 hạt nảy mầm là bao nhiêu?


p.7
Bài Tập Xác suất & Thống kê
b)Lấy một mẫu để kiểm tra. Để xác suất mẫu có ít nhất một hạt lép
không bé hơn 0,9, cần lấy một mẫu cỡ bao nhiêu hạt?
HD.a)Coi việc kiểm tra 10 hạt là 10 phép thử Bernoulli với xác suất

p.8
Bài Tập Xác suất & Thống kê
8
8
2

9
9
P(A1) = C10 .0, 7 .0,3  C10 .0, 7 .0,3  0, 710 = 0,3828

3 3 7
nảy mầm trong mỗi phép thử là p = 0,9.  P(A) = C10
p q =…

8
9
P(A3) = C10
.0,98.0,12  C10
.0,99.0,1  0,910 = 0.9298

b)Giả sử mẫu kiểm tra có n hạt.
Coi việc kiểm tra n hạt là n phép thử Bernoulli với xác suất nảy mầm
trong mỗi phép thử là p = 0,9.

P(B)=1  P A1 A 2 A3 =…

Gọi B là biến cố có ít nhất 1 hạt nảy mầm  B là biến cố không có
hạt nảy mầm.  P(B) = … = 1  0,9 n .
Yêu cầu: P(B)  0,9  … 0,9 n  0,1  n.lg 0,9  lg 0,1

 n1/lg 0,9 = 21,8543.KL. Mẫu phải có số hạt n1  22
1.22 Có 3 lô hàng với số lượng sản phẩm rất lớn. Tỷ lệ sản phẩm
loại I của lô hàng 1, 2, 3 lần lượt là: 70%, 80% và 90%. Lấy từ
mỗi lô ra 10 sản phẩm để kiểm tra (không hoàn lại). Nếu trong 10
sản phẩm lấy ra kiểm tra có từ 8 sản phẩm loại I trở lên thì mua lô
hàng đó.

a. Tìm xác suất để lô hàng 1 được mua?
b. Tìm xác suất để có ít nhất một lô hàng được mua?
c.Nếu chỉ có một lô hàng được mua. Tìm xác suất để đó là
lô hàng 1?
HD&ĐS. Các lô hàng có số lượng sản phẩm rất lớn. Do đó trong
quá trình lấy các sản phẩm trên, tỉ lệ sản phẩm loại I của các lô
hàng coi như không đổi.
Coi việc kiểm tra 10 sản phẩm là 10 phép thử Bernoulli với xác
suất được sản phẩm loại I trong mỗi phép thử là
+ p=0,7 đối với lô 1 + p=0,8 đối với lô 2
+ p=0,9 đối
với lô 3
a)Gọi A1, A2, A3 là các biến cố lô hàng 1, 2, 3 được mua.

8
9
b)Tương tự P(A2) = C10
.0,88.0, 22  C10
.0,89.0, 2  0, 710 = 0,6778





c)Gọi C là biến cố chỉ có một lô hàng được mua.
C = A1 A 2 A3  A1A 2 A 3  A1 A 2 A3 …
P(A1/C)=

P(A1C) P(A1 A 2 A3 )


…
P(C)
P(C)

1.23 Một phân xưởng có 3 máy. Xác suất để mỗi máy sản xuất ra
sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật lần lượt là 0,9 ; 0,8 và 0,7. Trong
một giờ mỗi máy sản suất được 5 sản phẩm. Tìm xác suất để trong
một giờ cả 3 máy sản xuất được ít nhất 14 sản phẩm đạt tiêu chuẩn
kỷ thuật?.
HD.Coi việc kiểm tra 5 sản phẩm là 5 phép thử Bernoulli với xác
suất đạt tiêu chuẩn trong mỗi phép thử là
+p=0,9 đối với máy 1 +p=0,8 đối với máy 2 +p=0,7 đối với máy 3
Gọi biến cố trong 1 giờ, máy 1, máy 2, máy 3 sản xuất được k sp
tốt lần lượt là Ak, Bk, Ck. Gọi D là biến cố cần tìm xác suất. Ta có
D = A5.B5.C5  A4B5C5 A5B4C5 A5B5C4…
P(D) = 0.161
Công thức xác suất đầy đủ và xác suất điều kiện.
1.25 Trong hồ có 10 con cá cảnh (trong đó có 3 cá có đuôi màu
đỏ và 7 cá có đuôi màu xanh). Bắt ngẫu nhiên từ hồ ra một con cá.
Nếu bắt ra cá có đuôi màu đỏ thì bỏ vào hồ một con cá có đuôi
màu xanh. Nếu bắt ra cá có đuôi màu xanh thì bỏ vào một cá có
đuôi màu đỏ. Sau đó từ hồ bắt tiếp ra một con cá.


p.9
Bài Tập Xác suất & Thống kê
a. Tính xác suất để cá được bắt lần sau có đuôi màu đỏ?
b. Nếu hai con cá được bắt ra (lần 1 và lần 2) có đuôi cùng màu.
Tính xác suất để hai con cá này có đuôi cùng màu xanh?.
HD&ĐS.Gọi biến cố cá bắt lần đầu đuôi đỏ là A1.

kê
c)Giả sử người đó không viêm họng. Tìm xác suất để
người đó nghiện thuốc lá.
HD.Gọi A1 : biến cố người đó nghiện thuốc lá.

Hệ biến cố A1, A1 là đầy đủ và xung khắc.

Hệ biến cố A1, A1 là đầy đủ và xung khắc.

a)P(A)=…0,34 b)B= A1A  A1 A , P( A1 A /B) = …=7/8

a)P(A) =…=0, b) P(A1/A) =…=0,0849
c)P(A1/ A )=0,0152
1.28 Có hai hộp sản phẩm, biết rằng:
Hộp thứ 1: có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm.
Hộp thứ 2 : có 5 chính phẩm và 3 phế phẩm.
Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm ở hộp thứ 1 bỏ vào hộp thứ 2 rồi
sau đó từ hộp thứ 2 lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm thì được chính
phẩm.
Tính xác suất để sản phẩm lấy ra từ hộp từ hộp thứ 2 là sản phẩm
của hộp thứ nhất bỏ vào.
HD.Gọi A1 : biến cố người đó nghiện thuốc lá.

1.26 Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng sản xuất một loại sản
phẩm. Phân xưởng 1 sản xuất 25%; phân xưởng 2 sản xuất 25% và
phân xưởng 3 sản xuất 50% sản phẩm của toàn nhà máy. Tỷ lệ phế
phẩm của các phân xưởng 1, 2 và 3 lần lượt là: 1%, 5% và 10%.
Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng do nhà máy sản xuất.
a. Tìm xác suất để lấy được phế phẩm? nêu ý nghĩa thực tế

của xác suất này?
b. Nếu lấy được một phế phẩm, khả năng cao nhất sản
phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất?
c. Nếu lấy được một chính phẩm, khả năng cao nhất sản
phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất?
HD.a) Gọi Ai là biến cố sản phẩm lấy được do phân xưỡng i sản
xuất, i= 1, 2, 3. Gọi B : biến cố sản phẩm đó là phế phẩm.
a)P(B) = 0,065, …b)do phân xưỡng 3
c)Do phân xưỡng 3
1.27.Cho tỉ lệ người dân nghiện thuốc lá ở một vùng là 3%. Biết tỉ
lệ người viêm họng trong số người nghiện thuốc lá là 60% và tỉ lệ
người viêm họng trong số người không nghiện lá thuốc là 20%.
Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng.
a)Tìm xác suất để người đó viêm họng. Suy ra tỉ lệ người
viêm họng trong vùng.
b)Giả sử người đó viêm họng. Tìm xác suất để người đó
nghiện thuốc

p.10

Bài Tập Xác suất & Thống

Hệ biến cố A1, A1 là đầy đủ và xung khắc.
Gọi B : biến cố sản phẩm lấy lần 2 là phế phẩm. P(B) = …=
57/90
C : biến cố sản phẩm lấy từ hộp 2 là do từ hộp 1 bỏ vào.
P( C ) = …= 7/57

BÀI TẬP TỔNG HỢP
1.Một phân xưởng có 3 máy hoạt động độc lập với xác suất bị

hỏng trong thời gian một năm làm việc của các máy 1, 2, 3 theo
thứ tự là 0,2; 0, 3; 0,4. Biết rằng cuối năm có hai máy bị hỏng.
Tìm xác suất để hai máy bị hỏng là máy 1 và máy 2.
HD.Gọi các biến cố máy 1, 2, 3 bị hỏng trong năm lần lượt là A1,
A2 , A3
2.Một nhân viên bán hàng mỗi năm đến bán hàng ở một công ty
nọ. Xác suất để lần đầu bán được hàng là 0,8. Nếu lần trước bán


p.11

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
được hàng thì xác suất để lần sau bán được hàng là 0,9; còn nếu
lần trước không bán được hàng thì xác suất để lần sau bán được
hàng là 0,4.
a)Tìm xác suất để cả ba lần đều bán được hàng.
b)Tìm xác suất để có đúng hai lần bán được hàng.
ĐS.a)0,648;
b)0,176
3.Tại một siêu thị, hệ thống tự động phun nước tự động được lắp
liên kết với một hệ thống báo động hỏa hoạn. Khả năng hệ thống
phun nước bị hỏng là 0,1. Khả năng hệ thống báo động bị hỏng là
0,2. Khả năng để hai hệ thống cùng hỏng là 0,04. Tìm xác suất để
a)Có ít nhất một hệ thống hoạt động bình thường.
b)cả hai hệ thống đều hoạt động bình thường.
ĐS.a)0,96;
b)0,74.
4.Trong một kho rượu số lượng chai rượu loại A và loại B như

nhau.Lấy ngẫu nhiên 1 chai rượu và đưa cho 4 người sành rượu
nếm thử để xác định đây là loại rượu nào.Khả năng đoán đúng của
mỗi người là 80%.Có 3 người kết luận chai rượu là loại A và 1
người kết luận chai rượu là loại B. Tìm khả năng chai rượu đó là
loại A.
ĐS.0,9412
5.Trong một cửa hàng bán giày lớn, tỉ lệ đôi giày có 0 , có 1 hoặc
có 2 chiếc bị hỏng lần lượt là 80%, 18% hoặc 2%. Lấy ngẫu nhiên
một đôi giày và lấy ngẫu nhiên 1 chiếc thì biết nó bị hỏng.
Tìm xác suất để chiếc kia cũng hỏng.
6.Hai cửa hàng I và II cung cấp đĩa mềm cho một trung tâm tin
học với tỉ lệ 3 / 2. Tỉ lệ đĩa bị hỏng của cửa hàng I và II lân lượt là
1% và 2%. Một sinh viên thực tập ở trung tâm chọn ngẫu nhiên
một hộp gồm 20 đĩa và từ đó rút ngẫu nhiên ra 1 đĩa.
a)Tìm xác suất để đĩa đó bị lỗi.

p.12

Bài Tập Xác suất & Thống
kê
b)Biết đĩa bị lỗi.Tính xác suất để đĩa đó của cửa hàng I.

7.Tỉ lệ phế phẩm của máy I là 1% và của máy II là 2%. Một lô sản
phẩm gồm 40% sản phẩm của máy I và 60% sản phẩm của máy II
.Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm để kiểm tra.
a)Tìm xác suất để có ít nhất một sản phẩm tốt trong 2 sản
phẩm đó.
b)Giả sử 2 sản phẩm kiểm tra đều là tốt. Khả năng lấy tiếp
được 2 sản phẩm tốt nữa là bao nhiêu?
8.Ba anh công nhân cùng sản xuất một loại sản phẩm. Xác suất để

người thứ nhất và thứ hai làm ra chính phẩm là 0,9, con người thứ
hai là 0,8.Một người trong số đó làm ra 8 sản phẩm, trong đó có 6
chính phẩm. Cho người đó làm tiếp 8 sản phẩm. Tìm xác suất để
trong 8 sản phẩm mới lại có 6 chính phẩm.
ĐS.  0,23
9.Một nhà máy có hai dây chuyền cùng sản xuất một loại sản
phẩm năng suất như nhau với tỉ lệ phế phẩm lần lượt 1% và 2%.
Một người mua 2 sản phẩm của nhà máy. Tìm xác suất để có đúng
1 phế phẩm.
10.Tỉ lệ phế phẩm của một máy là 5%. Người ta lắp đặt một thiết
bị kiểm tra tự động. Thiết bị này vẩn còn sai sót. Tỉ lệ kết luận sai
khi gặp chính phẩm là 4%, còn khi gặp phế phẩm là 1%.
a)Tìm tỉ lệ sản phẩm bị thiết bị đó kết luận sai.
b)Tìm tỉ lệ sản phẩm là phế phẩm trong số các sản phẩm bị
kết luận sai. Tìm tỉ lệ sản phẩm là chính phẩm trong số các sản
phẩm kết luận sai.
ĐS.a)3,85%
b)1,3%; 98,7%.
11.Một công nhân đi về nhà theo hai cách: đi đường ngầm hoặc
qua cầu. Biết rằng anh ta đi đường ngầm trong 1/3 trường hợp về


p.13

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
nhà. Nếu đi lối ngầm thì 75% trường hợp anh về nhà trước 6 giờ.
Nếu đi qua cầu thì có 70% trường hợp anh về nhà trước 6 giờ.Biết
Anh ta về nhà sau 6 giờ. Tìm xác suất để anh ta có qua cầu lúc về.

12 Tủ của ông A có 3 ngăn kéo: 1 ngăn có 2 đồng tiền vàng, 1
ngăn có 2 đồng tiền bạc và 1 ngăn có 1 đồng tiền vàng và 1 đồng
tiền bạc. Rút ngẫu nhiên một ngăn kéo và lấy ngẫu nhiên ra 1
đồDng tiền. Giả sử được 1 đồng tiền vàng. Tính xác suất để ngăn
kéo được rút ra là ngăn kéo chứa 2 đồng tiền vàng?
13 Lan và Hoa cùng ăn cơm trưa tại căn tin nhà trường. Cuối bữa
ăn, họ thay phiên nhau tung một đồng xu (cân đối) để quyết định
xem ai sẽ là người trả tiền bữa ăn theo quy tắc:
Nếu ai tung được mặt sấp trước thì người đó phải trả tiền. Giải sử
Lan là người tung đồng xu trước. Tính xác suất Hoa phải trả tiền.
14(Ngành bảo hiểm). Một công ty bảo hiểm oto có 20000 người
đăng ký bảo hiểm. Những người đăng ký bảo hiểm được công ty
phân loại theo 3 tiêu chuẩn:
i) Trẻ hay già,
ii) Đàn ông hay đàn bà,

p.14

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
15 Giả sử một công ty du lịch ở Nha trang thường nhận các hợp
đồng qua Fax từ một trong hai nơi: Trong thành phố Nha trang
hoặc ngoài thành phố Nha trang. Xác suất để công ty nhận một
Fax trong thành phố nha trang là 0.75. Một ngày kia, công ty nhận
được 10 Fax biết rằng có ít nhất 6 Fax trong thành phố Nha trang.
Tính xác suất chỉ có 1 Fax đến từ ngoài thành phố Nha trang?
17 Có ba hộp bi: Hộp 1 có 10 bi trong đó có 3 bi đỏ; hộp 2 có 15
bi trong đó có 4 bi đỏ; hộp 3 có 12 bi trong đó có 5 bi đỏ. Gieo
một con xúc sắc, nếu xuất hiện mặt 1 chấm thì chọn hộp 1, nếu

xuất hiện mặt 2 chấm thì chọn hộp 2, nếu xuất hiện các mặt còn lại
thì chọn hộp 3. Từ hộp đã chọn lấy ngẫu nhiên 1 bi.
a) Tính xác suất để được bi đỏ.
b) Giả sử lấy được bi đỏ. Tính xác suất để bi đỏ này thuộc hộp 2.
18 Gieo một con xúc sắc. Tính xem cần gieo bao nhiêu lần thì xác
suất có ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm không nhỏ hơn 0.9
19 Giả sử một người xuất phát từ A bầng cách chọn ngẫu nhiên
các con đường trước mặt theo sơ đồ sau:
a) Tính xác suất để người này đến được B.

iii) Có gia đình hay độc thân.
Được biết, trong số những người đăng ký bảo hiểm, có 6300 người

b) Giả sử người này đã đến B. Tính xác suất để người này đến từ
A1

trẻ, 9600 đàn ông, 13800 người có gia đình, 2700 đàn ông trẻ,
6400 đàn ông có vợ, 2900 người trẻ có gia đình, 1100 người là đàn

20 Một test kiểm tra sự hiện diện của virus H5N1 cho kết quả
dương tính nếu bệnh nhân thực sự nhiểm virus H5N1. Tuy nhiên
test này cũng có sai sót, đôi khi cho kết quả dương tính đối với

ông trẻ có vợ. Hỏi xác suất để một người đăng ký bảo hiểm oto
của hãng được chọn một cách ngẫu nhiên là một phụ nữ trẻ độc
thân bằng bao nhiêu?

người không thực sự nhiễm vius, tỷ lệ sai sót là 1/20000. Gỉa sử

p.15

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
cứ 10000 người thì có 1 người bị nhiễm vius H5N1. Tìm tỷ lệ
người có kết quả dương tính thực sự nhiễm H5N1.
21 Người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 500 khách hàng về một sản
phẩm định đưa ra thị trường và thấy có:
100 người trả lời “sẽ mua”
150 người trả lời “ có thể sẽ mua”
250 người trả lời “không mua”
Theo kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khách hàng thực sự mua sản
phẩm tương ứng với những cách trả lời trên là 40%; 20% và 1%
a) Hãy đánh giá thị trường tiềm năng của sản phẩm đó (theo
nghĩa tỷ lệ người thực sự mua sản phẩm đó)
b) Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm đó có bao
nhiêu phần trăm trả lời “không mua” ?
22 Điền các giá trị thích hợp vào ô trống

P(A)

P(B)

3
4

P( A  B)

P(AB)

9
10

1
5
2
3

1
5

1
2

5
17

3
17

P( A / B)

P( B / A)

8
9

4
5

1
20

1
17

Bài Tập chương 2

p.16

Bài Tập Xác suất & Thống
kê

(Đại lượng ngẫu nhiên)
2.1 Một dây chuyền gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau.
Xác suất trong thời gian 1 tuần các bộ phận bị hỏng tương ứng là
0,4; 0,2 và 0,3. Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong thời gian 1 tuần
a. Lập bảng phân phối xác suất của ĐLNN X
b. Tìm hàm phân phối xác suất và vẽ đồ thị của nó.
c. Tính xác suất trong 1 tuần có không quá 2 bộ phận bị
hỏng.
d. Tính E(X), D(X), giá trị tin chắc nhất của X
HD.
X
P

0
0,336

1

0,452

2
0,188

3
0,024

c) P(X ≤ 2) = 0,976; d)E(X) = 0,9; D(X)= 0,61;Mod(X)= 1
2.2 Có hai lô sản phẩm.
Lô 1: Có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm
Lô 2: Có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm
Từ lô thứ nhất lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm bỏ sang lô thứ hai, sau
đó từ lô thứ hai lấy ra 2 sản phẩm
Tìm qui luật phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra.
HD.
X
0
1
2
P
190/2970
1303/2970
1477/2970
2.3 Có hai kiện hàng, mỗi kiện có 5 sản phẩm.
Kiện thứ nhất: Có 2 sản phẩm loại A
Kiện thứ hai : Có 3 sản phẩm loại A
Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kiện một bỏ vào kiện hai, sau đó
từ kiện hai lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm bỏ vào kiện một. Lập bảng
phân phối xác suất của số sản phẩm loại A trong kiện một?

p.17

Bài Tập Xác suất & Thống

p.18

Bài Tập Xác suất & Thống

kê

kê

X
1
2
3
4
P
2/75
25/75
39/75
9/75
2.4 Có hai hộp đựng bi:
Hộp thứ nhất: có 2 bi xanh và 4 bi vàng
Hộp thứ hai : có 4 bi xanh
Rút ngẫu nhiên 2 bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, sau đó
từ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên 1 bi bỏ vào hộp thứ nhất. Gọi
X 1 , X 2 lần lượt là số bi xanh có ở hộp thứ nhất, thứ hai sau khi

X2
0
1
2
P
59/300
162/300
79/300
2.6 Lãi suất thu được trong một năm (tính theo %) khi đầu tư vào
công ty A, công ty B tương ứng là các ĐLNN X và Y (X và Y độc
lập).
Cho biết qui luật phân phối xác suất của X và Y như sau:
X
4
6
8
10
12
P
0,05
0,1
0,3
0,4
0,15

HD.

thực hiện phép thử. Tìm qui luật phân phối xác suất của X 1 , X 2 .
ĐS.

X1
1
2
3
X2
3
4
5
P
11/90 55/90 24/90
P
24/90 55/90 11/90
2.5 Có 3 kiện hàng.
Kiện thứ nhất: Có 8 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại B
Kiện thứ hai : Có 5 sản phẩm loại A và 5 sản phẩm loại B
Kiện thứ ba : Có 3 sản phẩm loại A và 7 sản phẩm loại B.
a. Chọn ngẫu nhiên một kiện rồi từ kiện đã chọn lấy ngẫu
nhiên không hoàn lại ra 2 sản phẩm thì được 2 sản phẩm loại A.
Lấy tiếp từ kiện đã chọn ra 2 sản phẩm. Tìm qui luật phân phối
xác suất của số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm lấy ra lần
sau?.
b. Chọn ngẫu nhiên 2 kiện rồi từ 2 kiện đã chọn lấy ngẫu
nhiên không hoàn lại mỗi kiện 1 sản phẩm.Tìm qui luật phân phối
xác suất của số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm lấy ra?
ĐS.
X1
0
1
2
P

149/1092 493/1092 450/1092

Y
-4
2
8
10
12
16
P
0,1
0,2
0,2
0,25
0,15
0,1
a. Đầu tư vào công ty nào có lãi suất kỳ vọng cao hơn?
b. Đầu tư vào công ty nào có mức độ rủi ro ít hơn? Vì sao?
ĐS.a)E(X)=9; E(Y)=7,5  … b) D(X)= 4,2; D(Y)=31,15 …
2.7 Số tiền lời trong năm tới (tính theo đơn vị: triệu đồng) thu
được khi đầu tư 100 triệu đồng vào hai nghành A và B tùy thuộc
vào tình hình kinh tế trong nước và cho ở bảng sau:
Tình hình Kém phát triển ổn định
Phát triển
kinh tế
Số tiền lời
Ngành A
10
40
80

Ngành B
-30
70
110
Dự báo xác suất
0,25
0,45
tình hình kinh tế
a. Số tiền lời kỳ vọng ngành nào là cao hơn?
b. Mức độ rủi ro ngành nào là ít hơn?

0,3


p.19

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
ĐS.Gọi X(triệu đồng), Y(triệu đồng) lần lượt là tiền lời khi đầu tư
100 triệu tương ứng vào ngành A, nghành B.
Lập các bảng phân phối xác suất của X , của Y và suy ra
a)E(X) = 44,5; E(Y) = 57  … b)D(X)=684,75; D(Y) = 2811 
2.8 X (ngàn sản phẩm) là nhu cầu hàng năm về một loại hàng A là
một ĐLNN liên tục có hàm mật độ xác suất
 k  30  x  , x   0, 30 
f  x  
, x   0, 30 
0
a. Tìm k

b. Tìm nhu cầu trung bình hàng năm của loại
hàng A.
c. Tìm xác suất để nhu cầu về mặt hàng A không vượt quá 12000
sản phẩm trong năm?
ĐS.a)k= 1/450
b)E(X)=…
c)P(X ≤ 12) = …
2.10 ĐLNN X liên tục và có hàm mật độ xác suất như sau:
 sin x
,

f  x   2
0 ,

x   0,  
x   0,  

a. Tìm hàm phân phối xác suất F  x 



b.Tìm P  0  X  
4

c.Tìm E  X  , var  X  .
HD.a)Hàm phân phối của X là F(x) =
0
, khi x  ( , 0]

(1  cos x) / 2, khi x  [0, ]

1
, khi x  [, )


b)P(0 < X < /4) = F(/4)  F(0) = … c)E(X) = …= /2; …

p.20

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
2.11 Bắn 5 viên đạn vào mục tiêu. Xác suất trúng đích của mỗi lần
bắn là như nhau và bằng 0,2. Muốn phá hủy mục tiêu phải có ít
nhất 3 viên đạn trúng mục tiêu.Tìm xác suất mục tiêu bị phá hủy.
HD. Gọi X là số viên đạn bắn trúng mục tiêu. … X ~ B(5; 0,2)
P(X ≥ 3) = … = 0,0579
2.12 Trong cuộc thi nâng cao tay nghề mỗi công nhân chọn ngẫu
nhiên 1 trong 2 máy. Với máy đã chọn sản xuất ra 6 sản phẩm.
Nếu số sản phẩm hỏng nhiều nhất là 2 thì đạt yêu cầu. Giả sử với
công nhân Đậu, xác suất sản xuất sản phẩm hỏng khi dùng máy
M 1 là 0,2 và khi dùng máy M 2 là 0,4. Tìm xác suất để anh công
nhân Đậu thi đạt yêu cầu.
HD.Coi việc kiểm tra 6 sản phẩm là 6 phép thử Bernoulli với xác
suất bị hỏng là + p=0,2 khi dùng máy 1+p=0,4 khi dùng máy 2.
Gọi X là số sản phẩm hỏng trong 6 sản phẩm.
+X~B(6; 0,2) khi dùng máy 1
+X~B(6; 0,4) khi dùng máy
2.
Gọi Ai : bc anh Đậu chọn máy Mi , i=1, 2. Hệ bc A1, A2 đầy đủ&x/
khắc

P(X ≤ 2) = …= (1/2).0,9011+(1/2).0.5443 = 0,7227
2.13 Chị A nuôi 160 con vịt đẻ cùng loại. Xác suất để 1 con vịt đẻ
trứng trong ngày là 0,8.
a. Tìm xác suất để chị A có được ít nhất 130 trứng trong ngày?
b. Nếu mỗi quả trứng bán được 900 đồng, tiền cho vịt ăn trong
ngày là 300 đồng. Tính số tiền lãi trung bình chị A thu được trong
ngày là bao nhiêu?.
HD. Gọi X(trứng) là số trứng vịt đẻ trong ngày. … X ~ B(160;
0,8)


p.21

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
a)Trong tính toán coi X có phân phối chuẩn với =E(X)=np = 128
và 2=D(X)=npq= 25,6 ,  = 5,0596, ta có
 130  128 
P(X ≥ 130) = (+∞ )   
 = …= 0,4217
 0, 0596 
b)Tiền lãi mỗi ngày: U = 900X  160×300 … E(U) =... 67200
(đồng)
2.14 Một lô hàng có 10000 sản phẩm ( trong đó có 4000 sản
phẩm loại A). Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ lô hàng đó ra 10
sản phẩm để kiểm tra. Tìm xác suất để có ít nhất 2 sản phẩm loại
A trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra.
ĐS. 0,9536
2.17 Một trung tâm bưu điện nhận được trung bình 4 cuộc gọi

trong 1 phút, biết rằng các cuộc điện thoại gọi đến xuất hiện ngẫu
nhiên và độc lập với nhau. Tìm xác suất để:
a. Không có cuộc điện thoại nào trong khoảng thời gian 30 giây
b. Có ít nhất 1 cuộc điện thoại trong khoảng thời gian 30 giây.
c)Có nhiều nhất 3 cuộc gọi trong khoảng thời gian 30 giây.
ĐS. a)0,1353
b)0,8647
c)0,8571
2.18 Lãi suất X (%) đầu tư vào một dự án được xem như một
ĐLNN phân phối theo qui luật chuẩn. Theo đánh giá của ủy ban
đầu tư thì lãi suất cao hơn 20% có xác suất là 0,1587 và lãi suất
cao hơn 25% có xác suất là 0,0228. Vậy khả năng đầu tư mà
không bị thua lỗ là bao nhiêu?.
HD.+Tìm  , . + Tính P( X ≥ 0) = …
2.19 Một đại lý Điện thoại di động dự định sẽ áp dụng một trong 2
phương án kinh doanh:
X1, X2 (triệu đồng/ tháng) là lợi nhuận thu được khi áp dụng
phương án thứ nhất,phương án thứ hai.

p.22

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
Giả sử X1 ~N(140; 2500) và X2 ~N(200; 3600). Nếu biết rằng để
đại lý tồn tại và phát triển thì lợi nhuận thu được từ kinh doanh
điện thoại phải đạt ít nhất 80 (triệu/ tháng). Theo bạn công ty nên
áp dụng phương án nào để kinh doanh điện thọai di động? vì sao?
HD. P(X1 ≥ 80) = …= 0,8849; P(X2 ≥ 80) = … = 0,9772  …

p.23

Bài Tập Xác suất & Thống
kê

BÀI TẬP TỔNG HỢP
1.Biết thời gian X (giây) phải chờ trước trụ giao thông khi gặp đèn
đỏ là ĐLNN phân phối đều trên (0, 20). Thời gian trung bình chờ
trước trụ giao thông mỗi khi gặp đèn đỏ khoảng bao nhiêu giây?
Mỗi ngày, một người đi xe đến chổ làm phải qua 4 ngã tư với xác
suất gặp đèn đỏ ở các ngã tư lần lượt là 0,5 ; 0,3 ; 0,6 và 0,4. Tìm
thời gian trung bình dừng xe chờ các đèn đỏ mỗi khi người đó đi
làm.ĐS.18 (giây)
2.Theo thông kê, tỉ lệ để một người độ tuổi 40 sống thêm ít nhất 1
năm nữa là 99,5%. Một công ty nhân thọ bán bảo hiểm 1 năm cho
mỗi người độ tuổi đó với giá 10(ngàn đồng) và trường hợp người
mua bảo hiểm chết sẽ có số tiền bồi thường là 1 triệu đồng. Tìm
lợi nhuận trung bình của công ty bảo hiểm khi bán mỗi thẻ bảo
hiểm loại này. ĐS.5(ngàn)
3.Trong một tuyến bay người ta thống kê được 0,5% hành khách
bị mất hành lý và trung bình số tiền bồi thường cho mỗi khách mất
hành lý là 600(ngàn đồng). Công ty hàng không muốn tăng giá vé
để bù cho số tiền bồi thường do khách mất hành lý. Giá vé phải
tăng thêm là bao nhiêu?ĐS.3(ngàn)
4.Xác suất để máy hỏng trong một ngày làm việc là 1%. Mỗi lần
máy hỏng, chi phí sữa chữa hết 1(triệu đồng). Vậy có nên ký hợp
đồng bảo dưỡng 100(ngàn đồng/ tháng ) để giảm xác suất hỏng
của máy đi một nữa không và nếu ký thì hiệu quả TB mang lại
mỗi năm là bao nhiêu? ĐS.825(ngàn)

5.Thời gian bảo hành mỗi sản phẩm được qui định là 3 năm. Nếu
bán được một sản phẩm thì cửa hàng lãi 150(ngàn ). Còn nếu sản
phẩm bị hỏng trong thời gian bảo hành thì cửa hàng phải chi
500(ngàn) cho bảo hành. Biết tuổi thọ X(năm) của mỗi sản phẩm

p.24

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
là ĐLNN phân phối chuẩn với tuổi thọ trung bình là 4,2 năm và độ
lệch chuẩn là 1,8 năm.
a)Tìm tiền lãi trung bình cửa hàng thu được sau khi bán mỗi sản
phẩm.
b)Nếu muốn số tiền lãi trung bình cho mỗi sản phẩm bán ra là
50(ngàn đồng) thì phải qui định thời gian bảo hành là bao nhiêu?
c)Nếu qui định thời gian bảo hành là 4 năm thì tỉ lệ sản phẩm phải
bảo hành là bao nhiêu?
d)Nếu muốn tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành là 10% thì phải qui định
thời gian bảo hành là bao nhiêu? ĐS.a)24,3(ngàn) b)2,688 năm
6.Độ dài chi tiết X (cm) do một máy sản suất là biến ngẫu nhiên
phân phối chuẩn với độ lệch là 9 (cm).Biết 84,13% chi tiết do máy
sản xuất có độ dài không vượt quá 84 (cm). Lấy ngẫu nhiên 3 chi
tiết. Tìm xác suất có ít nhất 1 chi tiết có độ dài không dưới
80(cm). ĐS.0,6409
7.Một người cân nhắc giữa việc mua nhà bây giờ hay gửi tiết kiệm
lãi suất 12% một năm để chờ năm sau sẽ mua.
Biết mức tăng giá nhà sau một năm X(%) là ĐLNN phân phối
chuẩn với E(X) = 8(%) và (X) = 10(%). Giả sử người đó quyết
định gửi tiền vào tiết kiệm.Tìm khả năng để quyết định đó là sai

lầm. ĐS.0,3446
8.Thời gian hoạt động tốt ( không phải sữa chữa) X (giờ) của một
loại TV là một ĐLNN phân phối chuẩn N( , 2) với  = 4300
(giờ) và =250 (giờ). Giả thiết mỗi ngày trung bình người ta dùng
TV 10 (giờ) và thời hạn bảo hành miễn phí là 360 ngày.
a)Tìm tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành.


p.25

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
b)Phải nâng thời gian hoạt động tốt lên bao nhiêu để tỉ lệ bảo hành
vẩn như cũ nhưng thời gian bảo hành lên đến 720 ngày.
ĐS.a)0,26% b)7900 (giờ)
9.Tuổi thọ X (giờ) của một trò chơi điện tử là một biến ngẫu nhiên
có hàm mật độ

  x /100 , khi x  0
f(x) =  k.e
, với k là hằng số.
, khi x<0
0
a)Tìm xác suất để tuổi thọ trò chơi trong khoảng từ 50 đến 100
giờ.
b)Tìm xác suất để tuổi thọ trò chơi ít hơn 80 giờ.
10.Một hãng quảng cáo tuyên bố trung bình cứ 5 bác sĩ thì có 2
bác sĩ chỉ định cho bệnh nhân loại thuốc mà hãng đó quảng cáo.
a)Giả sử tuyên bố của hãng là đúng, tìm xác suất để chọn ngẫu

nhiên 20 bác sĩ có đúng 1 bác sĩ chỉ định loại thuốc đó.
b)Đi kiểm tra ngẫu nhiên 20 bác sĩ ta thấy chỉ có 1 bác sĩ chỉ định
loại thuốc đó. Bạn sẽ kết luận thế nào về tuyên bố của hảng quảng
cáo.
11.Một máy bay bay dọc theo cầu dài10m, rộng 4m và ném 2 quả
bom. Chọn hệ trục Oxy sao cho Ox là trục đối xứng của cầu theo
phương ngang và Oy là trục đối xứng theo phương dọc. Biết rằng
hoành độ và tung độ của vị trí rơi của mỗi quả bom là các biến độc
lập có phân phối chuẩn với giá trị trung bình bằng 0 và các độ lệch
chuẩn lần lượt là 4m và 6m. Tìm xác suất để cầu bị trúng bom.
12.Một xí nghiệp cung cấp nguyên vật liệu gửi 5 giấy đòi nợ đến
xí nghiệp yêu cầu thanh toán cho 5 đợt giao hàng số lượng như
nhau. Mỗi giấy cho một đợt.Trong 5 giấy đó có 2 giấy ghi sai số
tiền nợ. Do đến hạn trả nợ cho ngân hàng, công ty yêu cầu xí
nghiệp phải trả ngay cho 3 giấy đòi nợ chọn ngẫu nhiên. Công ty

p.26

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
đã thỏa thuận với xí nghiệp như sau: trong 3 giấy đòi nợ đó nếu có
giấy nào ghi sai số tiền thì hoãn trả nợ cho đợt giao hàng đó. Mỗi
giấy bị hoãn sẽ gây thiệt hại cho công ty khoảng 5 triệu đồng vì
phải trả nợ quá hạn cho ngân hàng.
Tìm số tiền thiệt hại trung bình công ty phải chịu do cách làm trên.
13. Tỉ lệ phế phẩm trong một lô sản phẩm do một công ty sản xuất
là 0,4%. Lô sản phẩm sẽ được mua nếu kiểm tra ngẫu nhiên 200
sản phẩm, có không quá 2 phế phẩm. Tìm xác suất để lô hàng
được mua.

14.Tổng đài điện thoại phục vụ 1000 máy điện thoại.Xác suất
trong mỗi phút , mỗi máy gọi đến tổng đài là 0,002.
a)Tìm số máy gọi đến tổng đài trung bình trong một phút.
b)Tìm xác suất để có 3, 4 máy gọi đến tổng đài trong một phút.
15.Gọi X(KWh) là lượng điện tiêu thụ mỗi tháng của mỗi hộ gia
đình ở miền Trung. Biết X có phân phối chuẩn với trung bình 100
(KWh) và độ lệch chuẩn là 50 (KWh).
Giả sử trong 50 (KWh ) đầu tiên phải trả 1 (ngàn) cho mỗi
(KWh)điện. Những (KWh) điện tiêu thụ tiếp theo phải trả 2(ngàn)
cho mỗi (KWh)điện..
Gọi Y (ngàn) là số tiền điện phải trả mỗi tháng của mỗi hộ gia
đình.
a)Tìm tỉ lệ hộ gia đình tiêu thụ dưới 80(KWh) trong 1 tháng.
b)Tìm tỉ lệ hộ gia đình trả tiền điện trong 1 tháng nhiều hơn
300(ngàn)
c)Tìm hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của Y.
16.Gọi X (mm) là chiều dài mỗi sản phẩm do một phân xưởng sản
xuất.X có phân phối chuẩn với độ lệch là 0,5(mm). Sản phẩm gọi
là đạt chất lượng cao nếu chiều dài sản phẩm sai lệch chiều dài
trung bình (chiều dài qui định) không quá 0,1 (mm).


p.27

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
a)Tìm tỉ lệ sản phẩm đạt chất lượng cao của phân xưởng
b)Lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm. Tìm xác suất để có ít nhất 2 sản
phẩm đạt chất lượng cao.

p.28

Bài Tập Xác suất & Thống
kê

PHẦN THỐNG KÊ
Bài tập chương III
(Lý thuyết ước lượng-kiểm định)
*Một số suy diễn từ các thống kê X , F.
3. 1.Xét ĐLNN X trên một tổng thể. Cho E(X) =  và D(X) = 2.
Lập mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …,Xn) kích thước n của ĐLNN X.
. Cho X có phân phối chuẩn. CM: X có phân phối chuẩn N( ,
X 
có phân phối chuẩn tắc.
/ n
3.2.Xét một tổng thể với tỉ lệ có tính chất A nào đó là p. Lấy mẫu
ngẫu nhiên n phần tử của tổng thể (với n đủ lớn, chẳng hạn np>5
và n(1p)>5) Biết tỉ lệ mẫu F là biến ngẫu nhiên có phân phối xấp
xỉ phân phối chuẩn N(p, p(1p)/n).Chứng minh
Fp
ĐLNN K 
có phân phối xấp xỉ chuẩn tắc.
p(1  p) / n

2/n) và ĐLNN K =

3.3 Trọng lượng của một loại gia cầm trong đàn gia cầm là biến
ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình là 2,5 kg mỗi con. Biết
với xác suất 0,9973 thì trọng lượng của loại gia cầm này nằm

trong khoảng sai lệch so với trọng lượng trung bình là 0,3 kg.
Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên từ đàn ra 25 con thì trọng lượng
trung bình của chúng nằm trong khoảng 2,4 kg đến 2,6 kg.
3.4 Trọng lượng gạo đóng bao xuất khẩu là ĐLNN phân phối
chuẩn với trung bình (trọng lượng qui định) là 50kg và độ lệch
chuẩn cho phép 0,5kg. Nếu từ một lô gạo xuất khẩu đem cân ngẫu
nhiên 16 bao thì với xác suất 0,95 trọng lượng trung bình của
chúng chỉ được phép sai lệch so với trọng lượng qui định tối đa là
bao nhiêu?


p.29

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
3.5 Kích thước chi tiết trong các lô chi tiết gia công là ĐLNN
phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn cho phép là 0,1 cm. Đem kiểm
tra ngẫu nhiên 10 chi tiết từ lô chi tiết mới gia công. Với xác suất
0,99, độ sai lệch tối đa kích thước trung bình chúng so với kích
thước qui định là bao nhiêu để có thể chấp nhận được lô hàng đó.
3.6 Biết tỉ lệ người dân mua bảo hiểm nhân thọ trong nướclà 25%.
Lấy một mẫu điều tra gồm 200 người của một thành phố lớn.
a)Tìm xác suất để hơn 28% người mua bảo hiểm nhân thọ
trong.mẫu đó.
b)Với mẫu nói trên, với xác suất 0,1 thì tỉ lệ mẫu có thể lớn hơn tỉ
lệ tổng thể một lượng tối thiểu là bao nhiêu?
c)Với xác suất là 0,9, tìm tỉ lệ mẫu tối thiểu là bao nhiêu để có thể
kết luận thành phố đó có lượng người mua bảo hiểm nhân thọ 
25%.

Lý thuyết mẫu và ước lượng
1.Đo chiều cao và đường kính của
Chiều cao
Đường kính
một loại cây có cùng độ tuổi. Ta
(cm)
(cm)
được kết quả cho ở bảng
104
11
99
105
103
102
106

13
15
14
12
12

Tính trung bình và phương sai mẫu
của chiều cao và đường kính.
HD. Gọi X (cm) và Y (cm) lần lượt là chiều cao và đường kính
mỗi cây cùng độ tuổi của loài cây đó.
ĐS. x = 103,1667 (cm); s X2 =6,1584; y =12,8333(cm); sY2 =2,1677
2.Quan sát về thời gian cần thiết để sản xuất một chi tiết máy, ta
thu được các số liệu cho ở bảng

p.30

Bài Tập Xác suất & Thống
kê

Khoảng thời
Khoảng thời
Số quan sát
Số quan sát
gian (phút)
gian (phút)
20-25
2
40-45
14
25-30
14
45-50
8
30-35
26
50-55
4
35-40
32
Ước lượng thời gian trung bình để sản xuất một chi tiết máy với
độ tin cậy 95%.
ĐS. x =36.6, s = 6.7187 , ( x  , x +) = (35.2831 ; 37.9167)
3. Điều tra năng suất của 100 hecta lúa ở một vùng, người ta thu
được kết quả cho ở bảng

Năng suất
(tạ/ha)
30-35
35-40
40-45
45-50

Diện tích
(ha)
7
12
18
27

Năng suất
(tạ/ha)
50-55
55-60
60-65
65-70

Diện tích (ha)
20
8
5
3

Tính trung bình mẫu và phương sai mẫu, độ lệch mẫu cụ thể?
Ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng đó với độ tin cậy
95%.

ĐS. x =47.5, s = 8.3182 , ( x  , x +) = (45.8696; 49.1304)

4. Để nghiên cứu nhu cầu của một loại hàng hóa ở một khu vực,
người ta tiến hành khảo sát 800 gia đình. Kết quả cho ở bảng dưới
Nhu cầu
Số gia đình
Nhu cầu
Số gia đình
(kg/tháng)
(ni)
(kg/tháng)
(ni)


p.31

Bài Tập Xác suất & Thống
kê
30-35
35-40
40-45
45-50
50-55

25
48
83
159
189

55-60
60-65
65-70
70-75

142
94
50
10

Tính giá trị trung bình mẫu và độ lệch chuẩn mẫu?
Ước lượng nhu cầu trung bình mỗi gia đình với độ tin cậy 95%.
Ước lượng tỉ lệ gia đình có nhu cầu hơn 60 (kg/tháng) với độ tin
cậy 90%.
ĐS. x =52.1938; s = 8.7516 ; ( x  , x +) = (51.5873; 52.8003);
f = 0,1925 ;  = 0,0229; ( f, f +) = ( 0,1696; 0,2154)
5. Thống kê số hàng hóa bán được mỗi ngày và số ngày bán được
lượng hàng tương ứng, ta có bảng số liệu sau:
Lượng hàng
bán trong
ngày (kg)
100-200
200-250
250-300
300-350
350-400

Số ngày (ni)
5
12

56
107
75

Lượng hàng
bán trong
ngày (kg)
400-450
450-500
500-550
550-600

số ngày (ni)
70
35
30
10

Tính trung bình mẫu và cho biết ý nghĩa thực tế của nó?
Ước lượng lượng hàng bán trung bình mỗi ngày với độ tin cậy
95%.
Ước lượng tỉ lệ ngày bán được nhiều hơn 500 (kg) với độ tin cậy
90%.

p.32

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
ĐS. x =374,0625; s =85,9894; ( x , x +) = (365,6355;

382,4895)
f = 0,1;  = 0,0247; (f, f+) = (0,0753; 0,1247)
6.Điều tra năng suất lúa trên 81 ha lúa được chọn ngẫu nhiên của
một vùng lớn, người ta tính được trung bình mẫu cụ thể x = 40
tạ/ha và độ lệch mẫu cụ thể s = 2,1 tạ. Hãy ước lượng năng suất
lúa trung bình cả vùng với độ tin cậy 95%.
ĐS.  = 0,4573; ( x , x +) = (39.5427; 40.4573)
7.Lấy ngẫu nhiên 25 sản phẩm do một công ty sản xuất ra. Ta tính

được trung bình mẫu cụ thể 995,8 g và phương sai mẫu cụ thể là
0,144. Giả thiết trọng lượng các sản phẩm là ĐLNN X (g) có phân
phối chuẩn.
Hãy ước lượng trọng lượng trung bình của các sản phẩm do công
ty sản xuất với độ tin cậy 95%.
ĐS.  = 0,0594; ( x , x +)=(995,7406; 995,8594)
8.Để định mức thời gian gia công một chi tiết máy người ta theo
dõi ngẫu nhiên thời gian gia công 25 chi tiết và thu được bảng số
liệu sau đây:
Thời gian (phút)
Số chi tiết

14
2

16
6

18
11

20
4

24
2

Với mức tin cậy 0.95, hãy ước lượng thời gian gia công trung bình
tối đa với loại chi tiết trên. Cho biết thời gian X (phút) để gia công
chi tiết đó tuân theo quy luật chuẩn.
ĐS. x = 18; s = 2,4495;  =1,0111 ; 19,0111 (ph)
9. Năng suất ngô của một vùng A được báo cáo lên qua 25 điểm
thu hoạch là:


p.33

Bài Tập Xác suất & Thống
kê

Năng suất (tạ/ha)
Số điểm thu hoạch
Với mức tin cậy là 0.95,
thiểu của vùng này. Cho
chuẩn.

7
9
11
13
17

2
7
12
3
1
hãy tính năng suất trung bình ngô tối
biết năng suất ngô tuân theo quy luật

ĐS. x =10,6 ; s = 2,0817;  = 0,8593;
9,7407 (tạ/ha)
10. Chọn ngẫu nhiên 36 công nhân của một xí nghiệp thì thấy
lương tháng trung bình là 380.000 đồng.Giả sử lương công nhân X
( ngàn đồng) tuân theo quy luật chuẩn, với độ lệch chuẩn
 =14(ngàn đồng). Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng mức lương
trung bình của công nhân trong toàn xí nghiệp trên.
ĐS.  = 4,7355; (375,4267; 384,5733)
11. Giả sử điểm trung bình X (điểm) môn toán của 100 thí sinh thi
vào ĐHNT là 5, với độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh là 2.5.
a)Ước lượng điểm trung bình môn toán của toàn thể sinh viên với
độ tin cậy 95%.
b)Với độ chính xác là 0.25 điểm, hãy xác định độ tin cậy.
ĐS. a)  = 0,49 ; (4,51; 5,49) b)1 = 68,27%.
12. Tuổi thọ X (giờ) của một loại bóng đèn được biết theo quy luật
chuẩn với độ lệch chuẩn =100 (giờ).
a)Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm, thấy trung bình tuổi
thọ mỗi bóng là 1000 giờ. Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của
bóng đèn xí nghiệp A sản xuất với độ tin cậy 95%.
b)Với độ chính xác 15 giờ, hãy xác định độ tin cậy.
c)Với độ chính xác 25 giờ và độ tin cậy 95% thì cần thử nghiệm
bao nhiêu bóng.

ĐS. a)(980,4 ; 1019,6) b)1 = 86,64% c)62 (bóng)

p.34

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
13. Trọng lượng một loại chi tiết là một biến số ngẫu nhiên quy
theo quy luật chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn là 1.2 kg. Phải chọn ít
nhất bao nhiêu chi tiết để điều tra, nếu muốn độ chính xác của ước
lượng không vượt quá 0.3 và mức tin cậy của ước lượng là 0.95.
ĐS. 62 (chi tiết)
14. Chiều dài của một loại sản phẩm A do một máy tự động sản
xuất là một biến số ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn với độ
lệch tiêu chuẩn là 3cm. Phải chọn ít nhất bao nhiêu chi tiết để đo,
nếu muốn độ dài khoảng tin cậy không vượt quá 0,6 và mức tin
cậy của ước lượng là 0,99.
ĐS. n1 = 664 (chi tiết)
15.Nghiên cứu nhu cầu tiêu dùng một mặt hàng ở một thành phố,
người ta điều tra trên 1000 người được chọn ngẫu nhiên của thành
phố và thấy có 400 người có nhu cầu.Hãy ước lượng tỉ lệ người có
nhu cầu về mặt hàng đó trong toàn thành phố với độ tin cậy 95%.
ĐS.  = 0,0304 ; 36,96%  43,04%
16. Để điều tra số cá trong một hồ, người ta đánh bắt 1000 con cá,
đánh dấu rồi thả xuống hồ. Lần sau bắt lại 200 con thì được 40 con
đánh dấu.
Với độ tin cậy 95% hãy:
a)
Ước lượng tỷ lệ cá được đánh dấu trong hồ.
b)

Ước lượng số cá trong hồ.
ĐS. a) = 0,0554 ; 14,46%  25,54% b)3916 con  6916 con.
17. Gieo 400 hạt giống thì có 20 hạt giống không nảy mầm. Tỷ lệ
hạt giống không nảy mầm tối đa là bao nhiêu? Yêu cầu kết luận
với mức tin cậy 0.95.
ĐS.  = 0,0214; 7,14%


p.35

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
18. Cơ quan cảnh sát giao thông kiểm tra hệ thống phanh của 500
chiếc xe tải trên đường quốc lộ. Họ phát hiện ra 40 chiếc có phanh
chưa đảm bảo an toàn. Tìm khoảng tin cậy 98% cho tỉ lệ xe tải có
phanh chưa an toàn.
ĐS.  = 0,0282;
5,18%  10,82%
19. Trong đợt vận động bầu cử tổng thống người ta phỏng vấn
ngẫu nhiên 1600 cử tri thì được biết 960 người trong số đó bỏ
phiếu cho ứng cử viên A. Với mức tin cậy 0.99, ứng cử viên A
chiếm được tối thiểu bao nhiêu phần trăm số phiếu.
ĐS.  = 0,0315; 56,85%
20. Tỷ lệ nảy mầm của một loại hạt giống trong mẫu 400 hạt là
90%. Cần ước lượng tỷ lệ nảy mầm của loại hạt giống đó với mức
tin cậy 0.95. Với độ dài khoảng tin cậy không vượt quá 0.02, thì
phải gieo bao nhiêu hạt?
ĐS. a) = 0,0294; 87,06%  92,94% b) n1 = 3458 (hạt)
21. Để xác định tỷ lệ người mắc chứng bướu cổ do thiếu hụt iode

ở một khu vực dân cư nào đó, cần khám bao nhiêu người nếu
muốn cho khoảng ước lượng có độ chính xác không vượt quá 0.04
với mức tin cậy 0.95.
ĐS. n  600,25  n  601(người)
22.Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của một kho đồ hộp, người ta
kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp thấy có 11 hộp xấu.
a)Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp với độ tin cậy
94%.
b)Với sai số cho phép (độ chính xác) 3%, hãy xác định độ tin cậy.
ĐS.a)  = 0,0589; 5,11%  16,89% b) Z/2=0,9588;
1=66,23%

p.36

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
23.Nghiên cứu nhu cầu tiêu dùng một mặt hàng ở một thành phố,
người ta điều tra trên 2400 người của thành phố và biết tỉ lệ người
trong thành phố có nhu cầu về mặt hàng này là 48% đến 52% với
độ tin cậy là 95%.
a)Với khoảng tin cậy như trên, muốn tăng độ tin cậy lên 96% thì
số người phải điều tra thêm là bao nhiêu?
b)Với khoảng tin cậy như trên và số người đã điều tra là 3000
người, độ tin cậy là bao nhiêu? ĐS .a) Điều tra thêm 236 b)
1 = 97,15%
24.Để ước lượng trọng lượng trung bình sản phẩm của nhà máy,
người ta điều tra 100 sản phẩm , được phương sai mẫu cụ thể s2 =
9 và trung bình mẫu cụ thể là 98 kg. Ước lượng với độ chính xác
là 1kg thì độ tin cậy là bao nhiêu? ĐS. Z/2 = 3,3333; 1 =

0,9991
Kiểm định
25.Trọng lượng X(kg) bao hàng do một máy đóng bao sản xuất là
ĐLNN phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình qui định là 50
kg.
a)Cân thử 25 bao hàng và tính được x = 49,8 kg và s = 0,25 kg.
b)Cân thử 100 bao hàng và tính được x = 49,8 kg và s = 0,4 kg.
c)Cân thử 200 bao hàng và tính được x = 50,1 kg và s = 0,25 kg.
Với mức ý nghĩa 5%, trọng lượng trung bình các bao hàng so với
qui định là ra sao theo ý bạn?
HD.a)k = 4 <K = 1,7109 b) k = 5 <K =1,6449 c) k =
5,6569
26. Để tìm hiểu hiệu quả của việc giảng dạy một vấn đề nào đó
theo phương pháp cũ và mới, người ta làm một bảng kiểm tra trên


p.37

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
15 sinh viên và có kết quả tính bằng điểm số
100 cho bởi bảng sau đây:
Sinh viên
1
2
3
4
5
P/p

54
79
91 75 68
Điểm cũ
p/p
66
85
83 88 93
mới

với điểm tối đa là
6
43

7
33

8
85

40

38

91

Sinh viên
9
10
11

12
13
14
15
Điểm Cũ
22
56
73
63
29
75
87
Mới
44
82
59
81
64
83
81
Với mức ý nghĩa 0.05 có thể xem việc học theo phương pháp mới
có
hiệu quả hơn được không (theo ý nghĩa điểm trung bình của sinh
viên học theo phương pháp mới cao hơn điểm trung bình của sinh
viên khi học theo phương pháp cũ)? Cho biết điểm số của sinh
viên tuân theo quy luật chuẩn.
HD: Đặt U = Y – X, nhận xét ĐLNN U có phân phối chuẩn. Đưa
bài toán về bài toán kiểm định giá trị TB: H0 : E(U) = 0, H1: E(U)
>0
n= 15; u =9,6667; su = 13,9164; k = 2,6903; K = 1,6449

27.Tỉ lệ phế phẩm của một dây chuyền sản xuất là 5%. Sau khi
tiến hành một thay đổi kỹ thuật người ta kiểm tra ngẫu nhiên
a)4000 sản phẩm thì thấy có 175 phế phẩm.
b)3000 sản phẩm thì thấy có 175 phế phẩm.
c)1000 sản phẩm thấy có 58 phế phẩm
Với mức ý nghĩa 0,05 hãy kết luận việc thay đổi kỹ thuật có thay
đổi tỉ lệ phế phẩm như thế nào?

p.38

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
HD.a) k = 1,8282 ; b) k = 2,0943 c) k = 1,1608
28. Một đảng chính trị dự đoán rằng trong cuộc bầu cử tổng thống
sắp tới ứng viên đảng mình sẽ giành được 45% số phiếu bầu. Chọn
ngẫu nhiên 200 cử tri để thăm dò ý kiến cho thấy 80 người nói
rằng họ sẽ bỏ phiếu cho ứng viên của đảng đó. Với mức ý nghĩa
5%, nhận định như thế nào về dự đoán của đảng đó?
HD.k=1,4213; K = 1,6449
29. Tỉ lệ học sinh tốt nghiệp phổ thông năm ngoái của tỉnh A là
88%. Trong kỳ thi năm nay trong 100 em được chọn ngẫu nhiên
có 82 em thi đỗ. Với mức ý nghĩa 5%, có thể kết luận rằng tỉ lệ
hoc sinh thi đỗ năm nay thấp hơn năm ngoái hay không?
HD.k=1,8464; K = 1,6449


p.39

Bài Tập Xác suất & Thống

p.40

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
30.Trọng lượng một loại sản phẩm do hai nhà máy sản xuất ra là
ĐLNN X, Y (kg) có phân phối chuẩn và có cùng độ lệch tiêu
chuẩn là  = 0,5(kg). Cân thử 29 sản phẩm của nhà máy thứ nhất

kê
33. Nghiên cứu trọng lượng X (kg), Y(kg) các trẻ sơ sinh của 2
nhóm mẹ nghiện thuốc lá và mẹ không hút thuốc lá, ta có kết quả
(kg)

ta có x = 50 kg và cân thử 30 sản phẩm của nhà máy thứ hai ta có

i). Nhóm với mẹ không hút thuốc lá: n1=15; x =3,66; s x =0,2791.

y = 49,7 kg.

ii). Nhóm với mẹ nghiện thuốc lá: .n2=14; y =3,2029; sy = 0,4923

Với mức ý nghĩa  = 0,05, hãy kết luận xem trọng lượng trung
bình của sản phẩm do hai nhà máy sản xuất ra có như nhau không?
HD.k = 2,304; K/2 = 1,96
31.Trọng lượng một loại sản phẩm do hai nhà máy sản xuất ra là
ĐLNN X, Y có phân phối chuẩn và có cùng độ lệch tiêu chuẩn.

Với mức ý nghĩa 0.05 có thể nói trẻ sơ sinh của nhóm mẹ nghiện

thuốc lá nhẹ cân hơn trẻ sơ sinh của nhóm mẹ không hút thuốc lá
được không?
Cho biết trọng lượng trẻ sơ sinh của 2 nhóm trên tuân theo quy
luật chuẩn và có cùng phương sai.

Cân thử 25 sản phẩm của nhà máy thứ nhất ta có x = 20 kg là

HD. s*2 =0,1571; k=3,1034; K = 1,7033 (tra bảng phân vị 2 bậc

s X2 =1 ; cân thử 36 sản phẩm của nhà máy thứ hai ta có y = 20,6

27)
34. Kiểm tra chất lượng của 2 lô sản phẩm, người ta thấy trong lô
thứ nhất có 50 phế phẩm trên tổng số 500 sản phẩm kiểm tra và lô
thứ hai có 60 phế phẩm trên tổng số 400 sản phẩm kiểm tra. Với
mức ý nghĩa 0.05,có thể xem lô hàng thứ nhất chất lượng tốt hơn
lô thứ hai không?
HD.k=2,2756;
K=
1,6449. Nhà máy số sp được kiểm tra số phế phẩm
1000
25
35.Kiểm tra các A
B
1000
20
sản phẩm chọn
ngẫu nhiên do hai nhà máy sản xuất. Ta có bảng bên
Với mức ý nghĩa = 0,05, có thể kết luận: tỉ lệ phế phẩm nhà máy
A là lớn hơn không?

HD.k=0,7539; K = 1,6449
Kiểm định và ước lượng

kg và sY2 =1,01
Với mức ý nghĩa =0,02, hãy kết luận trọng lượng trung bình sản
phẩm nhà máy thứ nhất sản xuất có nhỏ hơn của nhà máy thứ hai
không?
HD.k = 2,2979 < K = 2,1002
32. Đường kính một loại chi tiết do hai nhà máy sản xuất ra là hai
ĐLNN X , Y (mm). Kiểm tra ngẫu nhiên 200 chi tiết do nhà máy
thứ nhất sản xuất, ta được x = 10,1 (mm) và s 2X = 0,1 và kiểm tra
ngẫu nhiên 300 chi tiết của nhà máy thứ hai sản xuất, ta được y =
10,05 (mm) và s 2Y = 0,12. Người ta nói đường kính trung bình của
chi tiết nhà máy thứ nhất lớn hơn của chi tiết nhà máy thứ hai.
Với mức ý nghĩa 2%, bạn hãy cho ý kiến của mình.
HD.k=1,6667 ; K = 2,0537


p.41

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
36. Một trại chăn nuôi A xuất chuồng 200 con lợn, trọng lượng
hơi tính bằng (Kg), ta có bảng số liệu sau:
Trọng lượng
(xi)
Số lợn (ni)

45-55 55-65 65-75

10

30

45

75-85

85-95

80

30

95105
5

a)Tính trung bình mẫu và phương sai mẫu ứng với bộ số liệu trên.
b)Ước lượng trọng lượng lợn (hơi) trung bình của trại chăn nuôi A
với độ tin cậy 95%.
c)Nếu chủ trại chăn nuôi A thông báo trọng lượng (hơi) trung bình
của trại chăn nuôi là trên 77 kg thì có chấp nhận được không với
mức ý nghĩa 10%.
d)Lợn có trọng lượng từ 85 kg trở lên được gọi là lợn chóng lớn,
hãy ước lượng tỷ lệ lợn chóng lớn của trại chăn nuôi với độ tin cậy
99%.
HD.a)75,25; 130,5905 b)=1,5838; (73,6662; 76,8338)
c)Ho: E(X) ≥ 77 ; H1: E(X) < 77 với  = 0,1 ; k = 2,1657
d)=0,0692; 10,58%  24,42%
37. Điều tra năng suất lúa ở 1 một vùng trong vụ hè thu năm 2007,

người ta thu được bảng số liệu sau:
N/ suất
63-4 4-4.5 4.5-5 5-5.5 5.5-6
6.5-7 7-8
(tấn/ha)
6.5
Diện
5
10
25
30
28
12
6
4
tích(ha)
a)Những thửa ruộng có năng suất trên 6 tấn/ha là những thửa
ruộng có năng suất cao. Ước lượng diện tích lúa có năng suất cao
vùng này với độ tin cậy 95%. Biết diện tích lúa gieo trồng ở vùng

p.42

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
này là 8000 ha.
(HD: Tính khoảng (p 1;p2) sau đó nhân với
8000 ha).
b)Điều tra sơ bộ vụ hè thu năm 2006 thì thấy năng suất lúa ở vùng
này là 5 tấn/ha và phương sai mẫu hiệu chỉnh là 0,49. Vụ hè thu

năm 2007 người ta áp dụng 1 biện pháp kỹ thuật mới. Hãy xét về
tác dụng của biện pháp kỹ thuật mới này với mức ý nghĩa 5%.
HD.a)n=200; f =22; 6,66%  15,34%; 532,8  1227,2(ha)
b) x * =5,3563; s* = 0,8346;
Ho : E(X*) = 5; H1: E(X*) > 5 với  = 0,05; k = 6,0374
38.Điều tra năng suất lúa trên 100 hécta trồng lúa chọn ngẫu nhiên
của một vùng, ta thu được bảng số liệu sau:
Năng suất (tạ/ha) (xi)
Số ha có năng suất
tương ứng (ni)

41

44

45

46

48

52

54

10

20

30

15

10

10

5

1)Tính trung bình mẫu x và phương sai mẫu s 2 ứng với số liệu
trên
2)Ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng đó với độ tin cậy
95%?
3)Ước lượng năng suất lúa trung bình tối đa và tối thiểu của vùng
đó với độ tin cậy 90%?
4)Những thửa ruộng có năng suất từ 48 tạ/ha trở lên là những thửa
có năng suất cao.
a)Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của những thửa có
năng suất cao trong vùng đó với độ tin cậy 99%.
b)Hãy ước lượng tỷ lệ diện tích có năng suất cao trong vùng
đó với độ tin cậy 95%.


p.43

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
Với khoảng tin cậy đó, nếu muốn độ tin cậy lên đến 99%
thì phải điều tra thêm bao nhiêu ha lúa nữa?

HD.1)n=100; x =46; s=3,3029
3)45,4567 tạ  46,5433

2)=0,6474 (45,3526; 46,6474)

(24)
4.a)n = 25; x * =50,8; s*2 =6; K/2 = t0,005
= 2,7969;

(49,4289 ;

52,1702)
4.b)f = 0,25; n =100;  = 0,0849; (16,51%  33,49% )
Kiểm định Khi bình phương
38. Nghiên cứu tình trạng hôn nhân trước ngày cưới của 542 cặp
vợ chồng được chọn ngẫu nhiên, ta có số liệu:
TTHN của
Chưa kết hôn
vợ
Ly hôn
Goá
lần nào
TTHN của chồng
Chưa kết hôn lần nào
180
34
36
Ly hôn
58
76

54
Goá
43
34
27
Với mức ý nghĩa   0.05 , ta có thể coi tình trạng hôn nhân trước
ngày cưới của vợ chồng là có ảnh hưởng nhau?
HD. 2 = 80,0019;  2 = 9,4877
39. Nghiên cứu về màu tóc và giới tính của 422 người được chọn
ngẫu nhiên, ta có số liệu sau
Giới tính
Màu tóc
Đen
Hung
Nâu

Nam

Nữ

56
37
84

32
66
90

p.44

Bài Tập Xác suất & Thống
kê
Vàng

19

38

Với mức ý nghĩa   0.01 , có thể coi giữa màu tóc và giới tính có
mối quan hệ với nhau?
(Với mức ý nghĩa  = 0.01, có thể nói tỉ lệ tóc đen, hung, nâu,
vàng của nam và nữ khác nhau không?)
HD.2 = 19,2151;  2 = 11,3449
40. Phỏng vấn ngẫu nhiên 200 người thuộc các vùng địa lý khác
nhau về tiêu dùng một loại sản phẩm nào đó ta thu được kết quả
sau:
Vùng địa lý
Tiêu dùng

Thành thị

Nông thôn

Miền núi

Có tiêu dùng
26
48
24
Không tiêu dùng

51
43
8
Với mức ý nghĩa   0.05 , có thể coi yếu tố địa lý và việc tiêu
dùng loại sản phẩm nói trên có ảnh hưởng nhau?
(Với mức ý nghĩa  = 0.05, có thể nói tỉ lệ tiêu dùng sản phẩm đó
ở thành thị, nông thôn và miền núi là khác nhau không?)
HD.2 = 16,3181;  2 = 5,9915
41.Một công ty xuất khẩu gạo nói gạo của họ ở các kho 1, 2, 3 là
cùng chất lượng hạt. Lấy mẫu cụ thể các hạt gạo ở các kho, ta có
số liệu
Kho
Chất lượng hạt
Còn nguyên hạt
Còn hơn 2/3 hạt

Kho 1

Kho 2

Kho 3

800
170

760
200

850
100

p.45

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
Còn dưới 2/3 hạt
30
40
Với mức ý nghĩa  = 0.05, bạn hãy cho ý kiến?
HD. 2 = 11.3027 ;  2 = 9.4877 ( bậc 4), …

50

p.46

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
41. Để kiểm tra con súc sắc có công bằng hay không, người ta
tung nó 125 lần và có bảng
Số chấm
Số lần xuất
hiện

1

2

3

4

5

6

18

23

16

21

18

29

Với mức ý nghĩa =0,01 có thể xem con súc sắc công bằng được
không?
2

HD.2 = 5,32 ;   = 15,0863
42.Kiểm tra ngẫu nhiên 200 thùng đồ hộp, người ta thu được số
liệu
Số hộp bị hỏng/thùng
Số thùng

0
116

1
56

2
22

3
4

4
2

Với mức ý nghĩa  = 0,02, kiểm tra số hộp bị hỏng của mỗi thùng
có
là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối Poisson không?
HD. Coi   x = 0,6, số tham số phải xấp xỉ r = 1…
Biến cố Ai

Xác suất Pi

T/số lthuyết nPi T/số thực tế Ni

(X=0)
(X=1)

0.5488
0.3293

109.7600
65.8600

116
56

(X=2)
(X=3)

0.0988
0.0198

19.7600
3.9600

22
4

(X4)

0.0033

0.6600

2

2 = 4,8058;  2 = 9,8374 (bậc tự do kr1 = 3)

p.47

Bài Tập Xác suất & Thống

p.48

Bài Tập Xác suất & Thống

kê

kê

43.Xét ĐLNN X trên một tổng thể. Cho bảng số liệu sau đây:
51525354565-75
Khoảng
55-65
15
25
35
45
55
Tần số
45
195
308
212
198
22
20
2

Biết nếu X có phân phối chuẩn N(34.69, (12.9501) ) thì ta có:
[65;  )
X

(-∞;15)

[15;25)


P

0.0642

0.163 0.2824 0.2775 0.1546 0.0488

[25;35)

[35;45)

[45;55)

Bài tập chương IV
(Tương quan hồi quy)
4.1. Trên một sàn giao dịch chứng khoán có hai loại cổ phiếu
KHP và ACB được bán và lãi suất tương ứng của chúng là hai
ĐLNN X và Y.Giả sử  X , Y  có bảng phân phối xác suất như sau

[55;65)

Y -2

Với mức ý nghĩa =0.02, có thể coi X có phân phối chuẩn không?

2 = 67,8734;  2 (4) =9,4877

5

10

X

0.0096

HD.Coi   x = 34.69; coi   phương sai mẫu hiệu chỉnh =
12.9501.
số tham số phải xấp xỉ r = 2
Lập bảng tần số …

0

0

0

0,05

0,05

0,1

4

0,05

0,1

0,25

0,15

6

0,1

0,05

0,1

0

a. Để đạt lãi suất kỳ vọng cao nhất thì nên đầu tư vào cả hai loại cổ
phiếu theo tỷ lệ nào?.
b. Để hạn chế rủi ro lãi suất đến mức thấp nhất thì đầu tư hai loại
cổ phiếu theo tỷ lệ nào?.
HD.E(X)=3,7; D(X)=4,11; E(Y)=4,2; D(Y)=17,96
4.2. Điều tra thu nhập hàng năm (đơn vị triệu đồng) của các cặp
vợ chồng đang làm việc tại một nhà máy thu được kết quả sau:
(X- thu nhập của chồng; Y- thu nhập của vợ).
Y

10

20

30

40

10

0,2

0,04

0,01

0

20

0,1

0,36

0,09

0

30

0

0,05

0,10

0

40

0

0

0

0,05

X


p.49

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
a. Tìm phân phối xác suất thu nhập của chồng và thu nhập của vợ.
b. Tìm phân phối thu nhập của những người vợ có chồng thu nhập
20 triệu/ năm.
d. Tính thu nhập trung bình của các bà vợ có chồng thu nhập ở

mức 20triệu/ năm.
e. Thu nhập của chồng và vợ có phụ thuộc nhau không?
HD.d)E(Y / (X=20) ) = 19,8182

p.50

Bài Tập Xác suất & Thống

kê
4.5. Tiến hành quan sát về hai chỉ tiêu X và Y trên một tổng thể, ta
thu được mẫu số liệu
X

0.25

0.37

0.44

0.55

0.60

0.62

0.68

0.70

Y

2.57

2.31

2.12

1.92

1.75

1.71

1.60

1.51

X

0.73

0.75

0.92

0.84

0.87

0.88

0.90

0.95 1

Y

1.50

1.41

1.33

1.31

1.25

1.20

1.19

1.15 1

e)Cov(X, Y) = 49 ≠ 0  Thu nhập của chồng và vợ là phụ thuộc

a)Tính: x ; y ; xy ; s X2 ; sY2 và r

nhau
4.3. Một kiện hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm loại

b)Viết phương trình đường hòi qui tuyến tính của Y theo
X.

A. Một máy sản xuất sản xuất sản phẩm với xác suất sản suất ra
sản phẩm loại A là 0,2. Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) từ kiện ra

HD. x =0.6025; y =1.3415; xy =0.8762; s X2 =0.1065; sY2 =0.4958;

2 sản phẩm và cho máy sản xuất ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản
phẩm loại A trong 4 sản phẩm đó.Lập bảng phân phối xác suất của

Y=0.6717(X0.6025)+1.3415 = 0.6717X+0.9368

X và tính E[X] và D[X].
4.4. Điều tra thu nhập của 10 cặp vợ chồng (đơn vị triệu/năm) thu
được kết quả sau:
Thu nhập chồng (X)

20 30 30 20 20 30 40 30 40 40

Thu nhập vợ

15 35 25 25 25 15 25 25 35 25

(Y)

a. Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của (X,Y).
b. Lập bảng phân phối xác suất biên của X, tính E[X] và D[X].
c. Lập bảng phân phối xác suất biên của Y, tính E[Y] và D[Y].
d. Tính cov(X,Y), X và Y có độc lập với nhau không?

e. Giả sử thu nhập sau thuế W của các cặp vợ chồng được xác
định bởi biểu thức: W = 0,6 X + 0,8 Y.
Tính E[W] và D[W].
HD.E(X) = 30; D(X)=60; E(Y)=25; D(Y)=40; cov(X, Y) = 20

r=0.3113
4.6. Nghiên cứu về thu nhập và tỉ lệ thu nhập chi cho giáo dục của
các hộ gia đình ở một vùng. Điều tra 400 hộ, ta thu được số liệu
X

10

20

30

40

20

10

250-350

60

40

10

350-450

20

70

60

10

20

Y
150-250

450-550

40

50

40

Trong đó: X ( %) là tỉ lệ thu nhập chi cho giáo dục ,
Y (USD /tháng) là thu nhập bình quân của một người trong gia đình.

Tìm hệ số tương quan mẫu giữa X và Y.
Lập phương trình đường hồi quy tuyến tính của Y theo X.
HD. xy =11425; r = 0.786; Y= 6.7778(X29.75)+355