Sáu phương pháp giải các bài toán phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————————–

VŨ THỊ HIỀN

SÁU PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC
BÀI TOÁN PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————————–

VŨ THỊ HIỀN

SÁU PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC
BÀI TOÁN PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số : 60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Đặng Huy Ruận

Hà Nội - 2015

Mục lục
Mở đầu

1

1 Phương pháp quy nạp
1.1 Nguyên lý quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phương pháp chứng minh bằng quy nạp . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Cơ sở quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Vận dụng phương pháp quy nạp để giải một số bài toán

.
.
.
.
.

2
2
2
3
3
4

.
.
.

.

17
17
18
19
19

2 Phương pháp chứng minh phản chứng
2.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Nội dung của phương pháp phản chứng . . . . .
2.3 Trình bày lời giải của phương pháp phản chứng .
2.4 Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

3 Phương pháp suy luận trực tiếp

28
3.1 Vài nét về phương pháp suy luận trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Các ví dụ về vận dụng phương pháp suy luận trực tiếp . . . . . . 29
4 Phương pháp đồ thị
4.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản của lí thuyết đồ thị . . . . .
4.2 Phương pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Xây dựng đồ thị mô tả các quan hệ . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Dựa vào các kết quả của lý thuyết đồ thị hoặc lý luận trực
tiếp suy ra đáp án của bài toán D . . . . . . . . . . . . .
4.3 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35
. 35
. 36
. 37
. 37
. 37

5 Phương pháp bảng
53
5.1 Giới thiệu về phương pháp bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
i


MỤC LỤC

5.2

Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6 Phương pháp sơ đồ
6.1 Các bước thực hiện phương pháp sơ đồ . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Thiết lập sơ đồ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Dựa vào cấu trúc của sơ đồ mô tả quan hệ và điều kiện
đã cho trong bài toán mà suy ra đáp án . . . . . . . . . .
6.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

67
. 67
. 67
.
.
.
.

67
67
77
79


Mở đầu
Toán phổ thông chẳng những nhiều về số lượng, còn phong phú về chủng
loại.
Mỗi chủng loại đòi hỏi một phương pháp giải thích hợp. Bởi vậy có nhiều
phương pháp giải toán phổ thông.

Với khối lượng có hạn, luận văn chỉ xin phép trình bày sáu trong những
phương pháp thường dùng nhất.
Luận văn gồm phần mở đầu và sáu chương:
Chương I trình bày về phương pháp quy nạp,
Chương II trình bày về phương pháp phản chứng,
Chương III trình bày về phương pháp suy luận trực tiếp,
Chương IV trình bày về phương pháp đồ thị,
Chương V trình bày về phương pháp bảng,
Chương V I trình bày về phương pháp sơ đồ.
Mỗi phương pháp đều có phần tóm tắt cơ sở lý thuyết và phần vận dụng
phương pháp để giải bài tập.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo GS. TS
Đặng Huy Ruận. Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy.
Em xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán - Cơ - Tin học, khoa Sau
Đại học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, các
Thầy, Cô giáo đã trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho chúng em trong thời gian
học tập tại đây. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các Đồng nghiệp tại trường
Phổ Thông Hồng Đức - Hà Nội, những người đã động viên giúp đỡ tôi rất nhiều
trong quá trình hoàn thành luận văn này.
Luận văn khó tránh khỏi hạn chế và sơ xuất. Rất mong được sự chỉ bảo của
Quý thầy cô và Quý bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

1


Chương 1
Phương pháp quy nạp
Phương pháp quy nạp có vai trò vô cùng quan trọng trong toán học, khoa
học và cuộc sống. Đối với nhiều bài toán trong chương trình toán phổ thông là

những bài toán logic, tức những bài toán không mẫu mực phương pháp quy nạp
cho ta nhiều cách giải hữu hiệu.
Suy diễn là quá trình từ "tính chất" của tập thể suy ra tính chất của cá thể,
nên luôn luôn đúng, còn quá trình ngược lại, tức quá trình quy nạp: đi từ "tính
chất" của một số các thể suy ra "tính chất" của tập thể thì không phải lúc nào
cũng đúng, mà quá trình này chỉ đúng khi nó thỏa mãn một số điều kiện nào
đó, tức thỏa mãn nguyên lý quy nạp.

1.1

Nguyên lý quy nạp

Nếu khẳng định S(n) thỏa mãn hai điều kiện sau:
a) Đúng với n = k0 (số tự nhiên nhỏ nhất mà S(n) xác định).
b) Từ tính đúng đắn của S(n) đến n = t (hoặc đối với mọi giá trị của n (k0 ≤
n ≤ t)) (t ≥ k0 ), ta cần chứng minh tính đúng đắn của S(n) đối với n = t + 1, thì
khiØS(n) đúng với mọi n ≥ k0 .

1.2

Phương pháp chứng minh bằng quy nạp

Giả sử khẳng định S(n) xác định với mọi n ≥ t0 . Để chứng minh S(n) đúng
∀n ≥ t0 bằng quy nạp ta cần thực hiện theo hai bước sau:

2


Chương 1. Phương pháp quy nạp

1.2.1

Cơ sở quy nạp

Thực hiện bước này tức là ta thử xem sự đúng đắn của S(n) với n = t0 nghĩa
là xét S(t0 ) có đúng hay không?

1.2.2

Quy nạp

Giả sử khẳng định S(n) đã đúng đến n = t (hoặc đối với mọi n (t0 ≤ n ≤ t))
(t ≥ t0 ). Trên cơ sở giả thiết này ta chứng minh tính đúng đắn của S(n) đối với
n = t + 1, tức S(t + 1) đúng.
Nếu cả ba bước trên thỏa mãn, thì theo nguyên lý quy nạp S(n) đúng với
∀n ≥ t0 .
Chú ý: Trong quá trình quy nạp nếu không thực hiện đầy đủ cả ba bước: Cơ
sở quy nạp, giả thiết quy nạp và chứng minh quy nạp, thì có thể dẫn đến kết
quả sai lầm, chẳng hạn:
- Do bỏ bước cơ sở quy nạp, ta đưa ra kết luận không đúng: Mọi số tự nhiên
đều bằng nhau! Bằng cách quy nạp như sau: Giả sử các số tự nhiên không vượt
quá k + 1 đã bằng nhau. Khi đó ta có
k =k+1

Thêm vào mỗi vế của đẳng thức trên một đơn vị ta có
k+1=k+1+1=k+2

Cứ như vậy suy ra mọi số tự nhiên không nhỏ hơn k đều bằng nhau. Kết hợp
với giả thiết quy nạp: Mọi số tự nhiên không vượt quá k đều bằng nhau, đi đến
kết luận sai lầm: Tất cả các số tự nhiên đều bằng nhau!

- Do bỏ qua khâu quy nạp nên nhà toán học Pháp P.Fermat (1601-1665) đã
n
cho rằng các số dạng 22 + 1 đều là số nguyên tố.
P.Fermat xét 5 số đầu tiên:
0

Với n = 0 cho 22 + 1 = 21 + 1 = 3 là số nguyên tố.
1

n = 1

cho 22 + 1 = 22 + 1 = 5 là số nguyên tố.

n = 2

cho 22 + 1 = 24 + 1 = 17 là số nguyên tố.

n = 3

cho 22 + 1 = 28 + 1 = 257 là số nguyên tố.

n = 4

cho 22 + 1 = 216 + 1 = 65537 là số nguyên tố.

2

3

4

3


Chương 1. Phương pháp quy nạp

Nhưng vào thế kỷ 18 Euler đã phát hiện với n = 5 khẳng định trên không
đúng, bởi vì:
5

22 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

là hợp số.

1.2.3

Vận dụng phương pháp quy nạp để giải một số bài toán

Phương pháp quy nạp được sử dụng trong tính toán, trong chứng minh và
trong suy luận dưới nhiều dạng khác nhau, nhưng trong phần này chỉ trình bày
việc vận dụng phương pháp quy nạp để giải các bài toán logic, tức các bài toán
"không mẫu mực".
Ví dụ 1.2.1. Chứng minh rằng: Nếu trong túi có một số tiền nguyên (nghìn)
không ít hơn 8000đ, thì luôn luôn có thể mua vé sổ số loại 5000đ và 3000đ.
Lời giải: Ta sẽ giải quyết bài toán này bằng phương pháp quy nạp.
1) Cơ sở quy nạp. Nếu trong túi có số tiền ít nhất, tức 8000đ, thì ta mua một
vé sổ số loại 5000đ và một vé sổ số loại 3000đ. Khi đó
1 × 5000đ + 1 × 3000đ = 8000đ

và ta đã tiêu được hết số tiền có trong túi.

2) Quy nạp. Giả sử với k(k ≥ 8000) nghìn đồng ta đã tiêu hết bằng cách mua
các vé sổ số loại 5000đ và 3000đ. Nếu có thêm 1000đ nữa ta cũng có thể mua
được bằng cách sau đây:
a) Nếu trong các vé sổ số đã mua có ít nhất ba vé loại 3000đ, thì ta trả lại
ba vé loại 3000đ, đưa thêm 1000đ và lấy về hai vé loại 5000đ. Khi đó
3 × 3000đ + 1000đ = 2 × 5000đ.

b) Nếu trong các vé sổ số đã mua có không quá hai vé loại 3000đ, thì phải
có ít nhất một vé loại 5000đ. Bởi vì trong túi không ít hơn 8000đ, mà đã tiêu
hết. Khi đó đem trả lại một vé loại 5000đ, đưa thêm 1000đ và lấy về hai vé loại
3000đ, ta có
1 × 5000đ + 1000đ = 2 × 3000đ
Như vậy trong mọi trường hợp từ kết quả tiêu k nghìn đầu tiên đã suy ra
được cách tiêu nghìn thứ k + 1, nên bài toán đã được giải quyết xong.

4


Chương 1. Phương pháp quy nạp

Ví dụ 1.2.2. Em An cầm một tờ giấy và lấy kéo cắt thành 7 mảnh. Sau đó nhặt
một trong những mảnh giấy đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh. Và em An cứ tiếp
tục cắt giấy như vậy. Sau một hồi em An thu tất cả các mẩu giấy đã cắt ra và
đếm được 122 mảnh. Liệu em An đếm đúng hay sai?
Lời giải:
1) Mỗi lần cắt mảnh giấy thành 7 mảnh, tức là đã tạo ra thêm 6 mảnh giấy,
nên công thức tính số mảnh giấy sau n bước thực hiện một mảnh giấy thành 7
mảnh có dạng: S(n) = 6n + 1.
2) Tính đúng đắn của công thức S(n) được khẳng định bằng quy nạp theo n.
10 ) Cơ sở quy nạp. Với n = 1, em An cắt mảnh giấy có trong tay thành 7

mảnh, nên có
S(1) = 6.1 + 1 = 6 + 1 = 7
20 ) Quy nạp. Giả sử sau k bước em An đã nhận được số mảnh giấy là
S(k) = 6k + 1

Sang bước k + 1 em An lấy một trong những mảnh giấy nhận được trong k
bước trước và cắt thành 7 mảnh, tức em An đã lấy đi một trong S(k) mảnh và
thay vào đó 7 mảnh được cắt ra nên
S(k + 1) = S(k) − 1 + 7 = 6k + 1 − 1 + 7 = 6k + 7
= 6k + 6 + 1 = 6(k + 1) + 1

Vậy số mảnh giấy em An nhận được sau n bước cắt giấy là S(n).
3) Do S(n) = 6n + 1 ≡ 1 (mod 6), nhưng 122 = 6.20 + 2 ≡ 2 (mod 6), nên em
An đếm không đúng.
Ví dụ 1.2.3. (Chứng minh tính chất bằng quy nạp).
Cho x + x1 , x = 0 là một số nguyên. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương
n, số
T (n, x) = xn +

1
xn

cũng là số nguyên.
Lời giải: Khẳng định được chứng minh bằng quy nạp.
1) Cơ sở quy nạp. Với n = 1 có T (1, x) = x + x1 là số nguyên, theo giả thiết.
2) Quy nạp. Giả sử khẳng định đúng với mọi số nguyên k(n ≥ k ≥ 1) nghĩa
là
T (k, x) = xk +
5

1
xk


Chương 1. Phương pháp quy nạp

là số nguyên.
Với n = k + 1 số
T (k + 1, x) = xk+1 +
= x+

1
x

1
xk+1

=

xk +

1
xk

− xk−1 +

1
xk−1

1

theo giả thiết quy nạp, các số x + x1 , xk−1 + xk−1
và xk + x1k đều nguyên, nên
T (k + 1, x) là số nguyên và khẳng định đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 1.2.4. Chứng minh rằng mọi số nguyên lớn hơn 1 đều có thể viết dưới
dạng tích của các thừa số nguyên tố.
Lời giải: Ta chứng minh khẳng định bằng quy nạp theo n.
1. Cơ sở quy nạp. Với n = 2, ta có 2 = 2,
Với n = 3, ta có 3 = 3, n = 4, ta có 4 = 2 × 2
Vậy khẳng định đúng với n = 2, 3, 4.
2. Quy nạp. Giả sử với mọi số nguyên n đều phân tích được thành tích của
các thừa số nguyên tố. Ta chứng minh n + 1 cũng phân tích được thành tích của
các thừa số nguyên tố.
Thật vậy
• Nếu n + 1 là số nguyên tố thì nó bằng tích của chính n + 1.
• Nếu n + 1 là hợp số thì n + 1 = a.b với 2 ≤ a, b < n.

Theo giả thiết quy nạp, thì a, b đều phân tích được thành tích các thừa số
nguyên tố.
Suy ra, n + 1 cũng phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố.
Theo nguyên lý quy nạp, mọi số nguyên n > 1 đều phân tích được thành tích
các thừa số nguyên tố.
Ví dụ 1.2.5. (Chứng minh tính chia hết bằng quy nạp). Chứng minh rằng với
n
n
n
.
mọi số nguyên dương n số 23 + 1 chia hết cho 3n+1 23 + 1 ..3n+1 và số 23 + 1
không chia hết cho 3n+2

n

23 + 1

.. n+2
.3
.

Lời giải: Bài toán được giải quyết bằng quy nạp. Kí hiệu 23 + 1 = An .
1) Cơ sở quy nạp.
1
.
.
Với n = 1 ta có A1 = 23 + 1 = 23 + 1 = 8 + 1 = 9, nên A1 ..32 và A1 ..33 .
2
.
.
Với n = 2 ta có A2 = 23 + 1 = 513, nên A2 ..33 và A2 ..34 .
n

6


Chương 6. Phương pháp sơ đồ

nghiệp là họa sĩ, thợ may, thợ mộc, đưa thư và cắt tóc. Họ sống trong cùng một
thành phố nên có điều kiện gặp nhau thường xuyên.
Nam và Khương hay cùng đến hiệu may nơi người thợ may làm việc. Thiện
và Bình sống cùng khu tập thể với người đưa thư. Liên vừa đóng vai trò chủ hôn
cho đám cưới của Thiện lấy con gái người thợ cắt tóc. Nam với Thiện chủ nhật

thường đi chơi cờ với người họa sĩ và người thợ mộc. Khương và Bình tối thứ
bảy hay đến chơi nhà người thợ cắt tóc. Người đưa thư thích nhất là tự cắt tóc
cho mình. Bình và Khương chưa bao giờ cầm bút vẽ. Hãy xác định nghề nghiệp
của mỗi người?
Lời giải: Bài toán gồm có hai nhóm đối tượng:
• Nhóm thứ nhất gồm các bạn: Nam, Thiện, Liêm, Khương và Bình.
• Nhóm thứ hai gồm các nghề: Họa sĩ, thợ may, thợ mộc, đưa thư và cắt tóc.

Lấy một nhóm 5 điểm ghi tên 5 bạn có tên trên bằng các chữ cái đầu của
tên, nhóm đối diện ghi tên 5 nghề mà họ làm kí hiệu như sau: 1: họa sĩ, 2: thợ
may, 3: thợ mộc, 4: đưa thư, 5: cắt tóc.
Điểm tên người và điểm tên nghề được nối bằng nét liền, nếu người đó làm
đúng nghề có tên được nối, trường hợp ngược lại được nối bằng nét đứt.
1) Xác định các đường nét đứt.
Đầu tiên đưa vào các điều kiện về quan hệ đã cho để xác định các đường nét
đứt. Sau đó dựa vào các đường nét đứt để suy ra các đường nét liền. Cuối cùng
dựa vào đó để suy ra đáp án.
- Theo bài ra ta có Nam và Khương hay cùng đến hiệu may nơi người thợ
may làm việc suy ra Nam và Khương không làm thợ may, nên hai cặp điểm
(Nam, thợ may) và (Khương, thợ may) được nối bằng nét đứt.
- Thiện và Bình sống cùng tập thể với người đưa thư, chứng tỏ Thiện và Bình
không làm nghề đưa thư, nên các cặp điểm (Thiện, đưa thư) và (Bình, đưa thư)
cũng được nối bằng đoạn nét đứt.
- Liên vừa làm chủ hôn cho đám cưới của Thiện lấy con gái người cắt tóc.
Chứng tỏ Liên và Thiện không làm nghề cắt tóc, nên các cặp điểm (Liên, cắt
tóc) và (Thiện, cắt tóc) được nối bằng nét đứt.
- Nam với Thiện chủ nhật thường đi chơi cờ với người họa sĩ và người thợ
mộc, chứng tỏ Nam va Thiện không làm họa sĩ cũng không làm thợ mộc. Do đó
các cặp điểm (Nam, họa sĩ), (Nam, thợ mộc), (Thiện, họa sĩ), (Thiện, thợ mộc),
đều được nối bằng nét đứt.

75