Đề thi chọn lớp khối 10 môn Toán trường THPT Yên Lạc 2, Vĩnh Phúc năm học 2016 - 2017

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2
——————

ĐỀ CHỌN LỚP KHỐI 10 NĂM HỌC 2016 -2017
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
Đề thi gồm: 01 trang.
———————

Câu 1 (1,5 điểm).
x  y  6
1. Không sử dụng máy tính cầm tay hãy giải hệ phương trình: 
 2 x  5 y  24

2. Tìm m để hàm số y  (m  1) x  2m  1 đồng biến trên R.
Câu 2 (2,0 điểm). Cho phương trình x2  2 1  m  x  2m  10  0

(1)

1. Giải phương trình (1) với m  1.
2. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 sao cho 10 x1 x2  x12  x22  76  0 .
Câu 3 (1,0 điểm). Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x.

x  0
x  x 
x  5 x  x2  9
A  4
với 
 4 


x  1 
x 5  x3
 x  25


Câu 4 (1,0 điểm). Tổ trưởng của một khu phố A đưa kế hoạch vệ sinh đường phố quanh nơi
ở của các em thiếu nhi trong khu, để giúp các em nâng cao ý thức giữ gìn đường phố xanh sạch - đẹp. Tổ trưởng của khu đã chia các em thiếu nhi trong khu làm hai đội. Nếu cả hai đội
cùng tham gia vệ sinh các con đường của khu phố thì mất 4 giờ. Nếu làm riêng thì đội 1 làm
nhanh hơn đội 2 là 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu sẽ xong việc.
Câu 5 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại A , có trọng tâm G. Gọi E, H lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A; I là giao điểm của đường
thẳng AB với đường thẳng CD, gọi K là trung điểm của BI.
1. Chứng minh AKH  AID .
2. Chứng minh tứ giác AGCI nội tiếp.
3. Chứng minh IG. AB  BK .DE .
Câu 6 (0,5 điểm). Giải phương trình: 1  2 x  1  x  x  4
Câu 7 (1,0 điểm). Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  x  6  y  6  y . Tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y .
----------Hết---------Họ và tên thí sinh:……….……….….….; Số báo danh:……………
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.


SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2
———**———

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHỌN LỚP KHỐI 10
NĂM HỌC 2016 -2017
MÔN: TOÁN
Đề thi gồm: 01 trang.

———————

I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học
sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với
phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu Ý Nội dung trình bày
1

1

Điểm

x  y  6
Giải hệ phương trình 
 2 x  5 y  24
x  y  6
2 x  2 y  12


2 x  5 y  8
2 x  5 y  8
y  4

x  2

0.5

0.5

Vậy nghiệm của hệ phương trình là
2

1,0

 x; y    2;4 

Tìm m để hàm số y  (m  1) x  2m  1 đồng biến trên R

0,5

để hàm số y  (m  1) x  2m  1 đồng biến trên R  m  1  0

0.25

 m 1
Vậy m>1 thỏa mãn đề
Cho phương trình x2  2  m  1 x  2m  10  0

2

0.25

(1)

1. Giải phương trình (1) với m  1
2. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 sao cho

2,0

10 x1 x2  x12  x22  76  0
1

Giải phương trình (1) với m  1

1,0

Với m  1 ta được phương trình: x 2  4 x  8  0

0.5

x  2  2 3

 x  2  2 3

0.5
x  2  2 3
Phương trình có hai nghiệm 
 x  2  2 3
(1) có hai nghiệm x1; x2 sao cho 1,0
2 Tìm m để phương trình


10 x1 x2  x12  x22  76  0
Phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2   '  0  m 2  11  0 luôn
đúng với m  R
 x  x2  2m  2

Khi đó  1
 x1. x2  2m  10
Ta có :
10 x1 x2  x12  x22  76  0

0.25
0.25

0.25

  x1  x2   8 x1 x2  76  0
2

  2m  2   8  2m  10   76  0
2

m  0
 4m2  24m  0  
 m  6
m  0
Vậy 
thỏa mãn đề bài
m


6

3

Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x.


x  0
x  x 
x  5 x  x2  9
A  4
4

với 


x  1 
x 5  x3
 x  25








A 4 x 4 x 





x2  9
x3

1,0

0.25



A  4 x 4 x  x3

0.25

 

2
A   42  x   x  3


A  16  x  x  3  13
Vậy biểu thức sau không phụ thuộc vào x.

4

0.25

0.25
0.25

Tổ trưởng của một khu phố A đưa kế hoạch vệ sinh đường phố
quanh nơi ở của các em thiếu nhi trong khu, để giúp các em nâng
cao ý thức giữ gìn đường phố xanh - sạch - đẹp. Tổ trưởng của khu
đã chia các em thiếu nhi trong khu làm hai đội. Nếu cả hai đội cùng 1,0

tham gia vệ sinh các con đường của khu phố thì mất 4 giờ. Nếu làm
riêng thì đội 1 làm nhanh hơn đội 2 là 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm một
mình thì bao lâu sẽ xong việc.
Gọi thời gian đội 1 làm một mình vệ sinh các con đường là x (giờ)
 x  4
Khi đó thời gian đội 2 làm một mình vệ sinh các con đường là x  6
(giờ)
Trong 1 giờ đội 1 vệ sinh được

1
( các con đường )
x

0.25

0.25


1
( các con đường )
x6
1
Trong 1 giờ cả 2 đội vệ sinh được (các con đường )
4
x  6
1
1
1
0.25
  x 2  2 x  24  0  

Ta có phương trình: 
x x6 4
 x  4
Kết hợp điều kiện ta có:
Thời gian đội 1 làm một mình vệ sinh các con đường là 6 (giờ)
0.25
Thời gian đội 2 làm một mình vệ sinh các con đường là 12 (giờ)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A , có trọng tâm G. Gọi E, H lần
Trong 1 giờ đội 2 vệ sinh được

5

lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H
qua A; I là giao điểm của đường thẳng AB với đường thẳng CD, gọi
K là trung điểm của BI.

3,0

1. Chứng minh AKH  AID .
2. Chứng minh tứ giác AGCI nội tiếp.
3. Chứng minh IG. AB  BK .DE .
B

H

E
G

K

M

A

C
I
D

1

Chứng minh AKH  AID .

2

KH là đường trung bình của BIC  KH / / DC
 KHA  IDA (so le trong)
KAH  IAD 

KHA  IDA   AKH  AID
AH  AD 

Chứng minh tứ giác AGCI nội tiếp.

AKH  AID  AK  AI
Mà BK  KI (1)
2
Nên BK  2 AK  BK  BA
3

1,0

0.5

0.5

1,0

0.25


Gọi M là trung điểm của AC
BK BG 2

  KG / / AC  KG  AB (2)
BA BM 3

0.25

Từ (1) và (2) suy ra GBI cân tại G
Ta có GB=GC=GI nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp CBI
 IGC  2 IBC  900  IG  GC

tứ giác AGCI nội tiếp đường tròn đường kính IC
3 Chứng minh IG. AB  BK .DE
KH là đường trung bình của BIC  KH 

1
IC
2

2

KH  DI  IC  DC
3
2
GC  EC
3
IG 2
 IG / / DE 

DE 3
BK GI 2
Khi đó

  IG. AB  BK .DE
BA DE 3
6

Giải phương trình: 1  2 x  1  x  x  4
ĐK: 4  x 

0.25
0.25
1,0

0.25

0.25

0.5
0,5

1
2

1  2x  1  x  x  4

0.25

 2 x 2  3x  1  2 x  1

7

1

x   2


2 x  1  0
2 x  1  0

  x  0  x  0
 2
 2
2
0.25
2 x  7 x  0


2 x  3x  1   2 x  1
7
 x  

2

Vậy nghiệm của phương trình là x=0
Cho các số thực x, y thỏa mãn x  x  6  y  6  y . Tìm giá trị
1,0
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y
 x  6
ĐK: 
 y  6
x x6  y6  y  x y  x6  y6  x y 0 P  0

0.25

x y  x6  y6
  x  y   x  y  12  2 x  6 y  6
Áp dụng bất đẳng thức côsi
2

0.25


2 x  6 y  6  x  6  y  6  x  y  12
  x  y   2  x  y   24
2

P2  2P  24  P2  2P  24  0   P  6  P  4   0  P  6 vì
P0
Giá trị lớn nhất của P là 6 khi x=y=3
x6 y6 0

0.25

  x  y   x  y  12  2 x  6 y  6  x  y  12
2

 P 2  P  12   P  3 P  4   0  P  4

0.25

 x  6; y  10
Giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi 
 y  6; x  10

Người ra đề

Nguyễn Thu Hà

Người ký duyệt đề