Chuyên đề đối xứng trong khảo sát hàm số

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Cảm ơn  gửi tới www.laisac.page.tl 

C 
S
H
À
S
Á
H
Ả
Đ
K
Ố
X
R
O
N
N
Ứ
T
Đ
Ê
Y
U
H
C
S Ố 
M S 
À M 

H À 
T H 
S Á 
Á T 
O S 
Đ Ố 
Ả O 
Ố I 
H Ả 
I X 
Ứ N 
K H 
X Ứ 
R O 
N G 
T R 
O N 
N G 
Ề Đ 
G T 
G K 
Đ Ề 
N Đ 
Ê N 
Y Ê 
U Y 
H U 
C H 
Nguyễn Đình Sỹ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN :

k AB .kd  1
y y
; voi:k AB  2 1

x2  x1
Trungdiêm I  d

co

m

Cho hàm số y=f(x). có đồ thị (C)
1.Nếu f(x) là hàm số chẵn : Đồ thị của có đối xứng nhau qua trục Oy - Có nghĩa là ,trục Oy
là trục đối xứng của nó .
2. Nếu f(x) là hàm số lẻ : Đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
3. Cho hai điểm A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  và đường thẳng d : mx+ny+p=0 . Nếu A và B đối xứng
nhau qua đường thẳng d thì phải thỏa mãn hệ sau :

c.

4. Cho điểm I( x0 ; y0 ) . Nếu chuyển hệ tọa độ Oxy dọc theo phương của véc tơ OI thì công
 x  x0  X
 y  y0  y

thức chuyển trục là : 

oc
uo

Khi đó phương trình của đồ thị (C) trong hệ mới : Y=F(X;y0;x0)
B. GHI NHỚ :

- Đối với đồ thị hàm phân thức , thì giao hai tiệm cận là tâm đối xứng
- Đối với hàm số bậc ba thì tọa độ điểm uốn là tọa độ tâm đối xứng
- Đối với hàm số trùng phương thì trục Oy là trục đối xứng của đồ thị hàm số .
C. CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP

gb

I.CHỨNG MINH ĐỒ THỊ Y=F(X) CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG

CÁCH GIẢI

Có hai cách
* Cách 1.
- Giả sử trục đối xứng có phương trình : x  x0 . Gọi điểm I  x0 ;0 


 x  x0  X
y  Y

on

OI
- Chuyển  Oxy  
  IXY   

kh

- Viết phương trình đường cong (C) trong tọa độ mới : Y=F(X;x0;y0) (*)
- Buộc cho (*) là một hàm số chẵn : ( Cho hệ số các ẩn bậc lẻ bằng 0 )
- Giải hệ các ẩn số bậc lẻ bằng 0 ta suy ra kết quả cần tìm .
* Cách 2. Nếu với x  x0 là trục đối xứng thì : f( x  x0 )  f  x0  x  đúng với mọi x , thì ta
cũng thu được kết quả .
Ví dụ 1. Cho hàm số y  x 4  4 x3  7 x 2  6 x  4  C  . Chứng minh rằng đường thẳng x=1 là
trục đối xứng của đồ thị (C)
( Hoặc : Chứng minh rằng đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình của trục đối
xứng đó ? )
GIẢI
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608

Trang 1


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

- Giả sử đường thẳng x= x0 là trục đối xứng của đồ thị (C). Gọi I( x0 ;0)
 x  x0  X
y  Y



OI
- Chuyển :  Oxy  
  IXY   

- Phương trình của (C) trong hệ tọa độ mới là :

Y   x  x0   4  x  x0   7  x  x0   6  x  x0   4

4

3

2

m

 Y  X 4   4 x0  4  X 3   6 x02  5 x0  X 2   4 x03  5 x02  7 x0  6  X   x04  4 x03  7 x02  6 x0  4 

 4 x0  4  0

  4 x03  5 x02  7 x0  6  0
 x0  1
 4
3
2
 x0  4 x0  7 x0  6 x0  4  0

co

- Để hàm số là chẵn thì các hệ số của ẩn bậc lẻ và số hạng tự do bằng không :

oc
uo

c.

Chứng tỏ đồ thị hàm số có trục đối xứng , và phương trình của trục đối xứng là : x=1.
Ví dụ 2. Tìm tham số m để đồ thị hàm số : y  x 4  4 x3  mx 2  Cm  có trục đối xứng song

song với trục Oy.
GIẢI
- Giả sử đường thẳng x= x0 là trục đối xứng của đồ thị (C). Gọi I( x0 ;0)
 x  x0  X
y  Y



OI
- Chuyển :  Oxy  
  IXY   

- Phương trình của (C) trong hệ tọa độ mới là :

Y  X 4   4 x0  4  X 3   6 x02  3x0  m  X 2   4 x03  12 x02  2mx0  X  x04  4 x03  mx02

4  x  1  0
- Để là hàm số chẵn thì :  3 0 2

 x  1
 0
4 x0  120  2mx0  0 m  4

on

gb

II. Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng .
CÁCH GIẢI
Ta cũng có hai cách giải

Cách 1.
- Giả sử đồ thị (C) có tâm đối xứng là I  x0 ; y0 


 x  x0  X
 y  y0  Y

OI
- Chuyển :  Oxy  
  IXY   

kh

- Viết phương trình (C) trong hệ tọa độ mới : Y=F(X;x0;y0) (*)
- Buộc cho (*) là một hàm số lẻ : ( Cho hệ số các ẩn bậc chẵn )
- Giải hệ ( với hệ số các ẩn bậc chẵn bằng 0 ) ta suy ra kết quả .
Cách 2.
Nếu đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng thì :
f ( x0  x)  f ( x0  x)  2 y0 với mọi x

Trang 2

Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

VÍ DỤ MINH HỌA

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b. Chứng minh (C) có tâm đối xứng , tìm tọa độ tâm đối xứng đó .
GIẢI

- Phương trình (C) viết lại thành dạng : y  x  1 

1
x 1

 x  x0  X
 y  y0  Y



c.

OI
  IXY   
- Chuyển :  Oxy  

Y  y0   x0  X   1 

1
 x0  X   1

oc
uo

- Phương trình (C) trong hệ mới là :

co

a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Giả sử (C) có tâm đối xứng là I I  x0 ; y0 

m

x2
Ví dụ 1. ( ĐH-QG-98). Cho (C) : y 
x 1

 Y  X   x0  1  y0  

1
X   x0  1

 x0  1  y0  0  x0  1

 I 1; 2 
 x0  1  0
 y0  2

- Để hàm số là lẻ : 

Chứng tỏ đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(1;2).
Ví dụ 2. (ĐH-NNI-99). Cho hàm số y 

x
x 1

C 

gb

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Chứng minh giao hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị (C)
GIẢI

on

a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Hàm số viết lại : y  1 

1
x 1

- Giả sử (C) có tâm đối xứng là I  x0 ; y0 


 x  x0  X
 y  y0  Y

kh

OI
- Chuyển :  Oxy  
  IXY   

Y  y0  1 

- Phương trình (C) trong hệ mới là :

1
 x0  X   1

 Y   y0  1 

1
X   x0  1

Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608

Trang 3


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

1  y0  0  x0  1

 I  1;1
 x0  1  0  y0  1

- Để hàm số là lẻ : 

Nhận xét : Giao hai tiệm cận là (-1;1) trùng với I . Chứng tỏ giao hai tiệm cận là tâm đối
xứng của (C).

m

III. Tìm tham số m để ( Cm ) : y=f(x;m) nhận điểm I( x0 ; y0 ) là tâm đối xứng .

co

CÁCH GIẢI
1. Nếu f(x;m) là hàm số phân thức hữu tỷ :
- Tìm tọa độ giao hai tiệm cận . Giả sử giao hai tiệm cận là J(a;b)

a  x0
m
b  y0

c.

- Để I là tâm đối xứng thì buộc J trùng với I ta suy ra hệ : 
2. Nếu f(x;m) là hàm số bậc ba .

 y ''( x; m)  0  x  a

 J  a; b 
 y  f ( x; m)
y  b

oc
uo

- Tìm tọa độ điểm uốn :  

a  x0
m
b  y0

- Tương tự như trên , đẻ I là tâm đối xứng , ta cho J trùng vố I ta suy ra hệ : 
Vídụ 3. Tìm m để đồ thị hàm số y  
xứng .

x3
 3mx 2  2
m

 Cm ; m  0  nhận điểm I(1;0) là tâm đối

GIẢI

2

6x
3x
6x
 6mx  y ''    6m . Cho y''=0    6m  0;  x  m 2  xu
m
m
m
6
m
- Tính yu  y  xu ; m     3m.m4  2  2m5  2  U  m2 ; 2m5  2 
m
2
m  1
m  1
- Để I là tâm đối xứng thì : cho U trùng với I :   5
 5

 m  1
m  1
2m  2  0

on

gb

Ta có : y '  

- Vậy với m=-1 và m=1 thì I(1;0) là tâm đối xứng của đồ thị .
Ví dụ 4. (ĐH-Luật -99) .

2 x 2   m  4  x  2m  1
Cho hàm số y 
x2

 Cm 

kh

Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2;1) làm tâm đối xứng .
GIẢI

- Ta viết lại hàm số ; y  2 x  m 

1
. Chứng tỏ với mọi m đồ thị luôn có tiệm cận xiên
x2

với phương trình là : y=2x+m và tiệm cận đứng : x=2 .
- Gọi J là giao hai tiệm cận , thì J(2;m+4)
Trang 4

Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

2  2
 m  3
m  4  1

- Vậy với m=-3 thì I là tâm đối xứng của đồ thị .
Ví dụ 5.( ĐH-CĐ-2000).
Cho hàm số y  x3  3x 2  3mx  3m  4  Cm 
Tìm m để  Cm  nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng .
GIẢI

1  1
m0
6 m  2  2

co

- Tìm tọa độ điểm uốn :
Ta có : y '  3x 2  6 x  3m;  y ''  6 x  6 y ''  0  6 x  6  0 ; x  1  xu
Tính yu  y 1  1  3  3m  3m  4  6m  2;  U 1;6m  2 

c.

- Để I là tâm đối xứng thì : 

- Vậy với m=0 , thì I là tâm đối xứng của đồ thị .

m

- Để I làm tâm đối xứng thì ta buộc J trùng với I , nghĩa là ta có hệ : 

oc
uo

IV. TÌM CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ
Bài toán : Cho đồ thị (C) : y=f(x) , tìm trên đồ thị những cặp điểm M,N đối xứng nhau qua
điểm A hoặc đường thẳng d: Ax+By+C=0 ( cho sẵn )
CÁCH GIẢI

on

gb

- Giả sử M  x0 ; y0   (C )  y0  f  x0  1
- Tìm tọa độ điểm N theo x0 , y0 sao cho N là điểm đối xứng của M qua A ( hoặc qua d )
Nên ta có : yN  f  xN   2 
- Từ (1) và (2) ta tìm được tọa độ của điểm M,N .
Ví dụ 6. ( ĐH-GTVT-97)
Cho hàm số y  x3  mx 2  9 x  4 . Xác định m để trên đồ thị hàm số có một cặp điểm đối
xứng nhau qua gốc tọa độ O.
GIẢI
Giả sử M  x0 ; y0  và N  -x 0 ;  y0  là cặp điểm đối xứng nhau qua O, nên ta có :

kh

 y0  x03  mx02  9 x0  4 1

3
2
 y0   x0  mx0  9 x0  4  2 
Lấy (1) cộng với (2)vế với vế ,ta có : mx02  4  0  3

Để (3) có nghiệm khi và chỉ khi m<0 . Khi đó : x0  

4
m

Thay vào (1) ta tìm dược y0 . Vậy đáp số : m< 0 .

Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608

Trang 5


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

C 

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Tìm tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I(0;5/2)
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị

b. Giả sử M  x1 ; y1  ; N  x2 ; y2  thuộc (C) và I là trung điểm của M và N. Ta có :

co

 x1  x2  2 xI  0
 x2   x1

 N   x1 ;5  y1 

 y1  y2  2 yI  5  y2  5  y1

m

x2  x  2
Ví dụ 7. ( ĐH GQTPHCM-97) . Cho hàm số y 
x 1

M và N đều thuộc (C) nên ta có hệ :

 x12  9  x  3

- Với

oc
uo

c.


x12  x1  2

y

1
 1
x1  1
x12  x1  2 x12  x1  2


; Lấy (1) cộng với (2) ta được : 5 

2
x1  1
x1  1
5  y  x1  x1  2  2 
1

 x1  1
 5  x12  1   x1  1  x12  x1  2    x1  1  x12  x1  2 

x1  3  y1  2; M  3; 2  , N  3; 2 
x2  3  y2  7; M  3;7  , N  3; 2 

Ví dụ 8. ( ĐH-Hàng Hải -99). Cho hàm số y 

x2
x 1

C 

gb

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Tìm hai điểm A,B nằm trên (C) và đối xứng nhau qua đường thẳng d : y= x-1 .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Ta có hai cách giải .
* Cách 1.
1
. Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2    C  . Nên ta có
x 1

y  y x  x  
2
2
 2 1  2 1  1 
; k 1
  1 
x2  x1
x2  x1   x1  1 x2  1 
 x1  1 x2  1 d

on

- Viết lại phương trình (C) y  x  1 
- k AB

kh

- Nếu A,B đối xứng nhau qua d thì :

k AB .kd  11
2
 1 :1 
 1;   x1  1 x2  1  1;  x1.x2   x1  x2   2  0 (*)

x

1
x

1
I

d
2






1
2

Nếu I là trung điểm của AB thì :

Trang 6

 x1  x2  2 xI
; I  d  y1  y2  x1  x2  2 


 y1  y2  2 yI

Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

 x1  x2  2 
 4

1
1

 x1  x2  2
x1  1 x2  1

 x1  x2  2   0  4  x  x  2  0
1 2 
 x1  1 x2  1

 x1  x2  6
 x1 ; x2 là 2 n 0 pt : X 2  6 X  4  0
x
x

.
4
 1 2

Từ (*) và (**) ta có hệ : 

1

2 5

co

Vậy : X 1  3  5, X 2  3  5  Y1  4  5 

m

 x1  x2  6 (**)

Chú ý : Ta còn có cách giải khác
- Gọi d' là đường thẳng vuông góc với d suy ra d': y=-x+m ( m là tham số )
- Do A,B thuuộc d' đồng thời thuộc (C) , cho nên tọa độ A,B là nghiệm của hệ :

c.

 x2
 x  m

( có hai nghiệm khác 1)
 x 1
 y  x  m


oc
uo

 g ( x; m)  2 x 2   m  1 x  m  0 (1) ( có 2 nghiệm khác 1)

2
   m  1  8m  0
Điều kiện : 
 m 2  6m  1  0  m  3  2 2  m  3  2 2(*)
 g (1; m)  2  m  1  m  1  0

Với điều kiện (*) thì (1) có hai nghiệm khác 1 , đó cũng chính là hoành độ của A và B.
x1  x2
m 1
m 1



 xI  2
 xI  4
 xI  4


- Gọi I là trung điểm của AB tọa độ I : 
 y   x1  x2  2m
 y   m  1  m  y  3m  1
I
I
 I
4
4


2


gb

- Để A và B đối xứng nhau qua d thì I thuộc d :

3m  1 m  1

 1;  2m  2;  m  1 . Với m=-1 , thỏa mãn (*)
4
4
1
1
1

y1  
1


1
1

2
2 2

1

 x1   2
2

- Khi m=-1 (1) trở thành : 2 x 2  1  0  


1
1
1
1






x
y
1

2
2

1
2
2

 1 2  2

2

kh

on

 y I  xI  1 

Ví dụ 9.( ĐH-ThủyLợi -99) . Cho hàm số y 

x2  2 x  2
x 1

C 

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Tìm m để đường thẳng d : y=-x+m cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho A,B đối xứng nhau
qua đường thẳng d': y= x+3 .
GIẢI
A. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608

Trang 7


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

b. Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm A,B có hoành độ là nghiệm của phương trình :

co

m

x2  2x  2

  x  m 1  g ( x; m)  2 x 2   3  m  x  2  m  0  2  ( có hai nghiệm khác 1)
x 1
2
   3  m   8  2  m   0

 m 2  2m  9  o;  m  1  10  m  1  10(*)
 g (1; m)  2  3  m  2  m  1  0
x1  x2 3  m

 xI  2  4
- Gọi I là trung diểm của AB thì : 
 y   x  m  m  3  m  3m  3
I
 I
4
4

- Để A,B đối xứng nhau qua d thì I phải thuộc d :

3m  3 3  m

 3;  2m  18;  m  9
4
4

6  14
6  14
12  14
 y1  
9 

 x1 
2
2
2
- Với m=9 thì (2) trở thành :  2 x 2  12 x  11  0  

6  14
6  14
12  14
 y2  
9 
 x2 

2
2
2
3
1
Ví dụ 10. ( ĐH-Huế -2001). Cho hàm số y  x3  mx 2  m3  Cm 
2
2
a. Tìm tham số m để đồ thị Cm có CĐ, CT đồng thời các điểm CĐ,CT đối xứng nhau qua

oc
uo

c.

 y I  xI  3 

đường thẳng d : y=x
b. Tìm m để Cm cắt trục OX tại ba điểm A,B,C sao cho : AB=BC.
GIẢI
x  0
x  m

gb

a. Ta có : y '  3x 2  3mx  3 x  x  m   0  
- Để tồn tại cực đại , cực tiểu : m  0 (*)

1 3
m ) và B(m; 0) là hai điểm cực trị .
2
1
0  m3
y y
1
- Tính : k AB  A B  2   m2 ; kd  1 .
2
x A  xB
m0

on

- Gọi A(0;

kh

0m m


x A  xB
x



I

2
2
 xI  2

- Gọi I là trung điểm của AB : 

1 3
0 m
 y  y A  yB

1
2
I
 m3
 yI 
2

2
4

m2  2
 1

k AB .kd  1  m 2 .1  1 
- Để A,B đối xứng nhau qua d thì : 
 2
 1 3 m ;  m   2
I  d
 yI  xI
 m 
2
4

Thỏa mãn điều kiện (*).
Trang 8

Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

3
2

1
2

b. Nếu Cm cắt Ox tại ba điểm phân biệt A,B,C thì : x3  mx 2  m3  0 1 , có ba nghiệm.
Khi A,B,C lập thành cấp số cộng ( AB=BC) ,thì gọi hoành độ của A,B,C theo thứ tự là :
x1 , x2 , x3 . Áp dụng vi ét cho phương trình (1).

co

m

b 3

3


1
1

 x1  x2  x3   a  2 m
 x1  x3   x2  m
x2  m
x2  m



2

2
2



 x .x  x .x  x . x  c  0
x
x

x


x
.
x

0
1
1


 2  1 3 1 3

 1 2 2 3 3 1 a

  x1.x3  2 x22  2 m 2   x1.x3   m 2
2
4


 x  x .x    1 m3

d
1 3
2
1
3
m  0
 x1.x2 .x3     m

1  1 2 
1 3

2
a
2


x  x  2x
2 m  2 m    2 m




2
 1 3
 x2  x1  x3  x2

Nhưng khi m=0 ,thì đồ thị hàm số chỉ cắt trục hoành tại duy nhất một điểm .Cho nên ,
không tồn tại giá trị m nào để hàm số cắt Ox tại ba điểm lập thành cấp số cộng .
x2   m  2 x  m  1
x 1

c.

Ví dụ 11 .((HVKTQS-2001). Cho hàm số y 

 Cm 

oc
uo

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m=2

b. Tìm m để trên Cm có hai điểm A,B sao cho : 5 x A  y A  3  0;5 xB  yB  3  0 . Tìm m để A,B
đối xứng nhau qua đường thẳng x+5y+9=0.
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Từ giả thiết ta thấy tọa độ A,B thỏa mãn phương trình : 5x-y+9=0 . Có nghĩa là A,B
nằm trên đường thẳng d' : y=5x+9 .Nhưng A,B lại nằm trên Cm , cho nên A,B là giao của d'

1

gb

 x2   m  2 x  m  1
2
 5 x  3  g ( x; m)  4 x   m  10  x  m  2  0

với Cm .  

x 1
 y  5 x  3
 y  5x  3


on

  m 2  4m  68  0

 m  R .
(
1;
)

4
10
2
2
0
g

m


m


m





x1  x2 m  10

x


I

2
8
- Gọi I là trung điểm của AB : 
 yI  5 xI  3  5  m  10   3  5m  26


8
 8 

- Nếu A,B đối xứng nhau qua d : x+5y+9=0 , thì I phải thuộc d . ( Thỏa mãn tính chất d'
vuông góc với d rồi ).
m  10 5  5m  26 
34
.

 9  0;  m 
8
8
13

kh


Ví dụ 12.( CĐSPHN-2001) Cho hàm số y 

x 2  mx  2m  3
x2

 Cm 

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m=3.

Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608

Trang 9

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

x 2  3x  3
1
 x 1
. ( Học sinh tự vẽ đồ thị (C) )
x2
x2
1
1
(*)
. Gọi M  x0 ; y0   (C )  y0  x0  1 
b. Ta có : y '  1 
2
x0  2
 x  2



co

a. Khi m=3 . (C) : y 

m

b. Chứng minh rằng với một điểm M tùy ý thuộc (C), tiếp tuyến tại M cắt (C) tại hai điểm
A,B tạo với I ( là giao hai tiệm cận ) một tam giác có diện tích không đổi ,không phụ thuộc
vào vị trí của M.

c. Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại ,cực tiểu với mọi m . Tìm m để hai điểm cực
đại , cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d : x+2y+8=0 .
GIẢI


1
  x  x0   x0  1 
x0  2
  x0  2  


x
1
1
2  x0   x0  1 
 0
- Nếu   x  2 tại điểm A , thì y A  1 
2 
x0  2
x0  2
  x0  2  

x 
 A  2;  0 
x0  2 

1

2

oc
uo

c.

Tiếp tuyến với (C) tại M là  : y  1 

- Tiếp tuyến cắt tiện cận xiện y=x+1 tại điểm B.



1
1
 1 
x  x0   x0  1 
 xB  1;  xB  2 x0  2  yB  xB  1  2 x0  3
2  B
x0  2
  x0  2  
 B  2 x0  2; 2 x0  3

- Nếu I là giao hai tiệm cận , thì I có tọa độ I(-2;-1).
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên tiệm cận đứng : x=-2 suy ra H(-2; 2 x0  3 )

gb

1
2

- Diện tích tam giác AIB S  AI .BH 

S

x
1
1
y A  yI . xB  xH   0  1 2 x0  2  2
2
2 x0  2

1 2
.2 x0  2  2  dvdt 
2 x0  2

on

Chứng tỏ S là một hằng số , không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
c.Ta có : y ' 

 2 x  m  x  2    x 2  mx  2m  3 x 2  4 x  3
 x  1

0
2
2
 x  2
 x  2
 x  3

kh

Chứng tỏ y' không phụ thuộc vào m , hay với mọi m hàm số luôn có hai điểm cực trị .
- Gọi hai điểm cực trị là : M  1; m  2  ; N  3; m  6 

 m  6    m  2   2; k

1
 .
3  1
2
1  3

x

 2
J

2
Gọi J là trung điểm của MN ,  
y  m  2 m 6  m  4
 J
2

- Tính : kMN 

Trang 10

d

Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

- Để M,N đối xứng nhau qua d thì :
  1
k MN .kd  1 2.     1

   2
 m 1

J
d

2  2  m  4   8  0


m

Vậy m=1 thì hai điểm cực đại , cực tiểu đối xứng nhau qua d .

co

V. LẬP PHƯƠNG TRÌNH MỘT ĐƯỜNG CONG ĐỐI XỨNG VỚI MỘT ĐƯỜNG
CONG QUA MỘT ĐIỂM- HOẶC QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG

oc
uo

c.

A. BÀI TOÁN :
Cho đường cong (C) có phương trình y=f(x) và một điểm M  x0 ; y0  (cho sẵn)
1.Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với đường cong (C) qua điểm M.
2. Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với đường cong (C) qua đừng thẳng d:
y=kx+m .
B.CÁCH GIẢI
1. Gọi N(x;y) thuộc (C) : y=f(x) là một điểm bất kỳ .
 x '  2 x0  x 1

- Gọi N' là điểm đối xứng với N qua M thì : N '  x '; y '   C '  

 y '  2 y0  y  2 

 x  2 x0  x '
, Thay x,y tìm được vào : y=f(x) ,ta suy ra y'=g(x';x0;y0)
 y  2 y0  y '

- Từ (1) và (2) ta có : 

Đó chính là phương trình của đường cong (C').
2. Gọi A  x; y    C   y  f ( x); B  x '; y '   C '
- Nếu (C) và (C') đối xứng nhau qua d thì A,B đối xứng nhau qua d :

gb

  y ' y 
k
  1 1
k AB .kd  1   x ' x 



I  d
 y ' y  k  x  x '   b


 2
 2 

 2

kh

on

Ở (1) và (2) thì k,b là những số đã biết . Ta tìm cách khử x và y trong (1) và (2) để được
một phương trình có dạng y'=g(x') .Đó chính là phương trình của (C') cần tìm .

Ví dụ 1. Cho hàm số y 

C. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
x2  x  3
1
 x 1 
x2
x2

C 

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua điểm I(-1;1).

GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608

Trang 11


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác


b. Gọi một điểm bất kỳ A  x; x  1 
   C  ; B  x '; y '   C '
x2
1





co

 x  2 xI  x '
 x  2  x '
1
1


 2  y '  2  x ' 1 
;   y '   x ' 5 
2  x ' 2

x'
 y  2 yI  y '  y  2  y '
1
Vậy (C') có phương trình : y  x  5   C '
x
4
x
5
Ví dụ 2. Cho hàm số y   3x 2   C 
2
2

m

- Khi A chạy trên (C) qua điểm I , thì B chạy trên (C'), cho nên nếu (C') đối xứng với (C)
qua I thì A và B đối xứng nhau qua I

b. Gọi A  x; y    C   y 

x4
5
 3 x 2  ; B  x '; y '   C '
2
2

c.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua điểm I(0;2)
GIẢI

a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

oc
uo

- Nếu (C') đối xứng với (C) thì tức là A và B đối xứng nhau qua I

 x  2.0  x '
  x '  3  x ' 2  5  y '   x '4  3x '2  3
- Do đó : 
 4 y' 
 
2
2
2
2
 y  2.2  y '
x4
3
-Kết luận : phương trình của (C') : y    3x 2  , đối xứng với (C) qua I.
2
2
2
x  3x  3
1
 x 1
Ví dụ 3. Cho hàm số y 
C 
x2
x2

4

on

gb

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b.Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đường thẳng d: x-2y-1=0
GIẢI
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Gọi A(x;y) thuộc (C) và B(x';y') thuộc (C')
- Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , thì A và B đối xứng nhau qua d

kh

 y  y'  1 
.    1
 y  y '  2  x  x ' 1

 y  y '  2  x  x ' 
k AB .kd  1  x  x '  2 





1
'
2
'

2
0
x
x
y
y





'
'
x
x
y
y


y  y '   x  x ' 2  2 




I  d




 2

2

 1  0
 2
 2 
 y  2 x  y ' 2 x '
5 y  3 y ' 4 x ' 4
;


2 y  x  x ' 2 y ' 2 5 x  3 x ' 4 y ' 4
10
10
 4 x ' 3 y ' 4  4 y ' 3 x ' 4  5 
Từ phương trình hàm số : 5 y  5 x  5 
5 x  10
4 y ' 3 x ' 4  10


Trang 12

Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Ví dụ 4 . (ĐHLâm Ngiệp -2001 ). Cho hàm số y 

3x  1
x 3

C 

b. Gọi A  x; y   (C ); B  x '; y '   C ' ;  y  3 

10
x 3

co

x  x'

 xI  2
y y'
; kd  1
; Và k AB 
- Gọi I là trung điểm của AB 
y
y

'
x

x
'
y 
 I
2

m

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đừng thẳng d : x+y-3=0.
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

- Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , thì A và B phải đối xứng nhau qua d :

oc
uo

c.

 y y'
.  1  1
k AB .kd  1  x  x '
y  y'  x  x'
 y  x  y ' x '
; 



 x  y  x ' y '  6
 y  x   y ' x ' 6
I  d
x  x'  y  y' 3  0
 2
2
 y   x ' 3
10

10

  x ' 3  3 
 y' 
x'
 y ' 3  3
 x   y ' 3
10
- Vậy phương trình của (C') đối xứng với (C) : y 
x
2
x  x2
4
 x 3
Ví dụ 5. (HVKTQS-99) . Cho hàm số y 
C 
x2
x2

gb

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Viết phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đường thẳng d : y=2
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Gọi : A  x; y   (C ); B  x '  x; y '   C ' ;  y  x  3 

4
x2

on

- Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , thì A và B phải đối xứng nhau qua d :
- Ta có : y'+y=2.2. Suy ra : y=4-y' .
4
4
;  y '  1  x '
x ' 2
x ' 2
4
- Vậy phương trình của (C') đối xứng với (C) qua d : y  1  x 
x2

kh

- Do A thuộc (C) , cho nên : 4  y '  x ' 3 

Ví dụ 6. Cho hàm số y  2 x(4  x)  C 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua Ox. Chứng minh rằng (C) cắt
(C') theo một E-líp, viết phương trình E-Líp đó ?
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) .
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608

Trang 13


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

- Phương trình (*) chính là phương trình của (C') : y  2 x  4  x 
- Nếu (C) cắt (C') thì phương trình hoành dộ điểm chung :

m

b. Gọi A(x;y) là một điểm bất kỳ thuộc (C) . B(x';y') là điểm bất kỳ thuộc (C') đồng thời
đối xứng với A qua Ox. Khi đó : x=x' và y=-y'
- Do A thuộc (C) :  y '  2 x '  4  x '  y '   2 x '  4  x ' (*)

 x  2
- Vậy (C) giao với (C') bằng E-Líp :

2



y2
1
8

c.

4

co

x 4
2

 2

x  2

y2
 y  2x  4  x
2
2
2

  y  2 x  8 x  y  2  x  4 x  4   8 

 1(*)
4
8
 y   2 x  4  x 
 y 2  2 x 2  8 x


BÀI TẬP TỰ LUYỆN

oc
uo

Bài 1.( Đề 27). Cho hàm số y  x 4  4ax3  2 x 2  12ax  Ca 
Tìm a để đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với trục Oy.
Bài 2.( Đề 66). Cho hàm số y 

x 2  3x  4
2x  2

C 

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm trên (C) hai điểm A ,B đối xứng nhau qua đường thẳng d : y=x
x2  2 x  2
Bài 3.(Đề 89). Cho hàm số y 
x 1

 H  và đường thẳng d' : y=-x+m ( m là tham số )

gb

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm m để d cắt (H) tại hai điểm A,B sao cho A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d :
y=x+3.
Bài 4. ( Đề 142). Cho hàm số y  x 4   m  3 x3  2  m  1 x 2  Cm 
Tìm tham số m để hàm số có trục đối xứng song song với trục Oy ?

on

Bài 5. ( ĐH-Hàng Hải -99). Cho hàm số y 

x2
x 1

C 

kh

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm trên (C) hai điểm A,B sao cho A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d : y=x-1.

Bài 6. ( HVKTQS-99). Cho hàm số y  x  x 2  x  1  C 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Viết phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) : y 

2 x 2   m  4  x  2m  1
Bài 7. ( ĐH-Luật -99 ). Cho hàm số y 
x2

Trang 14

x2  2  2
qua đường thẳng y=2
x2

 Cm 

Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608