tong hop chuyen de khao sat ham so

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

CHUYÊN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I.Kiến thức cơ bản:
1. Định lý:
* f / ( x)  0x  D  f ( x) đồng biến trên D.
* f / ( x)  0x  D  f ( x) nghịch biến trên D.

2. Định lý mở rộng:
* f / ( x)  0x  D và f / ( x)  0 tại một số hữu hạn điểm  f (x) đồng biến trên D.
* f / ( x)  0x  D và f / ( x)  0 tại một số hữu hạn điểm  f (x) nghịch biến trên D.
3. Chú ý:
* f / ( x)  0 x  a; b và f(x) liên tục trên a; b  f (x) đồng biến trên a; b .
* f / ( x)  0 x  a; b và f(x) liên tục trên a; b  f (x) nghịch biến trên a; b .
4. Điều kiện không đổi dấu trên R:
Cho f ( x)  ax 2  bx  c (a  0) .
a  0
* f ( x)  0x  R  
  0

a  0
* f ( x)  0x  R  
  0

a  0
* f ( x)  0x  R  
  0

a  0
* f ( x)  0x  R  
  0

II. Các dạng toán:
1. Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng, đoạn cho trƣớc:
Phương pháp:
* Tính y/ .
* Cho y/ = 0.
Có các cách sau
Cách 1. ( Nếu ta tìm được nghiệm của y/ )
+ Lập bảng biến thiên.
+ Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán.
Cách 2. ( Nếu ta rút ra được y/ = 0 về dạng g(x) = h(m))
+ Xét sự biến thiên của g(x).
+ Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán.
Cách 3. ( Không làm được như hai cách trên )
+ Lập bảng biến thiên dưới dạng tổng quát.
+ Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán.
Ví dụ 1. Cho hàm số y 

1 3
x   m  1 x 2   2m  1 x  6
3

a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R.
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên 2;  
c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên  3;1
Giải:

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

a. Tập xác định: D = R.

y /  x 2  2m  1x  2m  1

a  0

1  0
m  R


m0


2
/
m

0
m

0


0





Hàm số đồng biến trên R  y /  0 x  R  
b. Tập xác định: D = R.

y /  x 2  2m  1x  2m  1

x  1
y /  0  x 2  2  m  1 x  2m  1  0  
 x  2m  1
* Trường hợp 1: 2m  1  1  m  0 .
Ta có bảng biến thiên:
x 
1


y/

+

0

+


1
3

y 

Suy ra hàm số đồng biến trên R nên đồng biến trên 2;   .
Do đó m = 0 thỏa mãn.
* Trường hợp 2 : 2m  1  1  m  0 .
Ta có bảng biến thiên:
x 
1
2m+1

y/

+

0

-

0

+


y(1)
y 

y(2m+1)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên 2;  
1
( thỏa đk m>0)
2

* Trường hợp 3 : 2m  1  1  m  0 .
 2m  1  2  m 

Ta có bảng biến thiên:
x 
2m+1
y/

+

0

-

0

+


y(2m+1)
y 



1

y(1)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không có giá trị nào của m để hàm số đồng biến trên 2;  
Vậy hàm số đồng biến trên 2;   khi m = 0 hoặc m 

1
2

c. Tập xác định: D = R.
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
y /  x 2  2m  1x  2m  1

x  1
y /  0  x 2  2m  1x  2m  1  0  
 x  2m  1
* Trường hợp 1: 2m  1  1  m  0 .

Ta có bảng biến thiên:
x 
y/

+



1
0

+



1
3

y 

Suy ra hàm số đồng biến trên R nên không nghịch biến trên  3;1
Do đó m = 0 không thỏa mãn.
* Trường hợp 2 : 2m  1  1  m  0 .
Ta có bảng biến thiên:
x 
1
2m+1

y/

+

0

-

0

+


y(1)
y 

y(2m+1)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không có giá trị nào của m để hàm số nghịch biến trên

 3;1

* Trường hợp 3 : 2m  1  1  m  0 .
Ta có bảng biến thiên:
x 
2m+1
1
y/

+

0

-

0



+


y(2m+1)
y 

y(1)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên  3;1  2m  1  3  m  2 ( Thỏa
mãn điều kiện m <0 )
Vậy m  2 hàm số nghịch biến trên  3;1

1
3

Ví dụ 2. Cho hàm số y  x 3  2 x 2  mx  10
a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R.
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên 0;  
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

c. Xác định m để hàm số đồng biến trên  ;1
d. Xác định m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
Giải:
a. Tập xác định: D = R.
y /  x 2  4x  m

a  0

1  0
m  R



 m  4
4  m  0
m  4
  0

Hàm số đồng biến trên R  y /  0 x  R  

/

b. * Tập xác định: D = R.
y /  x 2  4x  m

* Hàm số đồng biến trên 0;    y /  0 x  0;  

 x 2  4 x  m  0 x  0;    x 2  4 x  m x  0;  

* Xét hàm số f ( x)  x 2  4 x trên 0;  
Ta có f / ( x)  2 x  4
f / ( x)  0  x  2 (loại)
Ta có bảng biến thiên:
x
0
f/(x)



+


f(x)
0
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  m  0
Vậy m  0 hàm số đồng biến trên 0;   .
c. * Tập xác định: D = R.
y /  x 2  4x  m

* Hàm số đồng biến trên  ;1  y /  0 x   ;1

 x 2  4 x  m  0 x   ;1  x 2  4 x  m x   ;1

* Xét hàm số f ( x)  x 2  4 x trên  ;1
Ta có f / ( x)  2 x  4
f / ( x)  0  x  2 ( nhận )

Ta có bảng biến thiên:
x



-2

1

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

4


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

f/(x)

-

0

+



f(x)

-4

5

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  m  4
d. * Tập xác định: D = R.
y /  x 2  4x  m

y /  0  x2  4 x  m  0

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1
 phương trình ý  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho x1  x2  1
/

  0



 x1  x2

2

4  m  0
m  4
 2

2
2
 1  x1  x2  2 x1 x2  1 x1  x2   4 x1 x2  1

m  4
m  4
3



3m
2
4
m
 2  4(m)  1 
4


Vậy m  

3
thỏa mãn điều kiện bài toán.

4

Ví dụ 3. Cho hàm số y  x 3  mx 2  12 x  1
a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R.
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên 1;
c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên 1; 2
d. Xác định m để hàm số nghich biến trên đoạn có độ dài bằng 2.
Giải:
a. Tập xác định: D = R.
y /  3x 2  2mx  12

Hàm số đồng biến trên R
3  0
a  0
m  R
 2

 6  m  6
 y /  0 x  R   /
 6  m  6
m  36  0
  0

b. Tập xác định: D = R.
y /  3x 2  2mx  12

* Hàm số đồng biến trên 1;  y /  0 x  1;
 3x 2  2mx  12  0 x  1;  2m 

3x 2  12

x  1;
x

3x 2  12
trên 1;
x
3x 2  12
Ta có f / ( x) 
x2
 x  2 ( n)
3x 2  12
/
f ( x)  0 

0

 x  2 (l )
x2


Xét hàm số f ( x) 

Ta có bảng biến thiên:
x

1

2



>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

5


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

f/(x)

-

0

+


15
f(x)
12

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  2m  12  m  6
Vậy m  6 thỏa mãn điều kiện bài toán.
c. Tập xác định: D = R.
y /  3x 2  2mx  12

* Hàm số nghịch biến trên 1;2  y /  0 x  1;2
 3x 2  2mx  12  0 x  1;2  2m 

3x 2  12

x  1;2
x

3x 2  12
trên 1; 2
x
3x 2  12
Ta có f / ( x) 
x2
x  2 ( l)
3x 2  12
/
f ( x)  0 

0

 x  2 (l )
x2


Xét hàm số f ( x) 

Bảng biến thiên:
x

1

f/(x)

2

-

15
f(x)
12
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  2m  12  m  6
Vậy m  6 thỏa mãn điều kiện bài toán.
d. * Tập xác định: D = R.
y /  3x 2  2mx  12

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2
 phương trình ý  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho x1  x2  2
/

  0


 x1  x2

2

2

m   ;  6  6;   
m  36  0
 2


2
2


4
x1  x2   4 x1 x 2  4
 x1  x 2  2 x1 x2  4

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

6


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
m   ;  6  6;   
m   ;  6  6;   


  2m  2
 m  6
 m 

4
.
4

4




 m  6
 3 



Vậy không có giá trị nào của m thỏa điều kiện bài toán.
Ví dụ 4. Cho hàm số y 

mx  9
.
xm

a. Xác định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên 2;   .
c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên  ;  1
a. TXĐ: D  R \  m
y/ 

Giải:

m2  9

x  m2

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định  y /  0 x  m
 m 2  9  0  m   3; 3

Vậy: m   3; 3 thỏa điều kiện bài toán.
b. TXĐ: D  R \  m
y/ 

m2  9

x  m2

Hàm số đồng biến trên 2;  

 y /  0 x  2;  và x  m

m 2  9  0
m   ;  3  3;   
m   ;  3  3;   



m3
 m  2
m  2
 m  2;   
Vậy: m  3 thỏa điều kiện bài toán.
c. TXĐ: D  R \  m
y 
/

m2  9

x  m2

Hàm số nghịch biến trên  ;  1  y /  0 x   ;  1và x  m

m 2  9  0
m   3; 3 m   3; 3




 3  m  1

m


1
m

1



m



;

1



Vậy:  3  m  1 thỏa điều kiện bài toán.

Ví dụ 5. (ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A, A1 NĂM 2013)
Cho hàm số y  x3  3x 2  3mx 1 (1) , với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) nghịch
biến trên khoảng (0; +  )
Giải:

2
Ta có y’ = -3x + 6x+3m
Yêu cầu bài toán  y’  0, x   0;  
 3x 2  6 x  3m  0 x  (0; )
 m  x 2  2 x x  (0; )

Xét hàm số g ( x)  x2  2 x với x > 0
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

7


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Ta có g / ( x)  2 x  2
g / ( x)  0  x  1

Ta có bảng biến thiên:
x

0



1

g/(x)

-

0

+


0
g(x)
-1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  m  1
Vậy m  1 hàm số nghịch biến trên (0; ) .

BÀI TẬP TỰ LÀM
1. Cho hàm số y   x3  3x2  mx  4 có đồ thị (C ) . Xác định m để hàm số nghịch biến trên
khoảng  0;    . ( ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A NĂM 2009)
2. Cho hàm số y  2x3  3(2m 1) x2  6m(m 1) x 1 có đồ thị (Cm).
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 2; .
3. (Dự bị 1 khối D 2003) Cho hàm số: y 

x2  5x  m2  4
, (1)
x3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1.
b) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng 1;   .
2 .Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức:
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:

a. sinx < x x   0; 


2


b. x  tan x x   0; 


2

c. x 4  2 x 2  0 x   1;1

Giải:
a. Ta có: sinx < x  x  sin x  0

Xét f ( x)  x  sin x Với x  0; 

 2
x

Ta có f / ( x)  1  cos x  2 sin 2  0 x  0; 
2
 2
x
x
 
f / ( x)  0  sin  0   k  x  k 2  x  0 ( Do x  0;  )
2
2
 2



Suy ra, f (x) đồng biến trên 0; 


2


Do đó, x   0; 

 2
Ta có 0  x  f 0  f ( x)  0  x  sin x  sin x  x

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

8


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Vậy: sinx < x x   0; 

 2
b. Ta có: x  tan x  x  tan x  0



Xét hàm số f ( x)  x  tan x trên 0; 
 2
Ta có f / ( x)  1 

1

 
  tan 2 x  0 x  0; 
2
cos x
 2

 
f / ( x)  0  tan x  0  x  k  x  0 ( Do x  0;  )
 2

Suy ra, f (x) nghịch biến trên 0; 
 2

Do đó, x   0; 
 2
Ta có 0  x  f 0  f ( x)  0  x  tan x  x  tan x


Vậy x  tan x x   0; 
 2
c. x  2 x  0 x   1;1
4

2

Xét hàm số f ( x)  x 4  2 x 2 với x   1;1
Ta có f / ( x)  4 x 3  4 x
x  0
f ( x)  0  4 x  4 x  0  4 x x  1  0   x  1
 x  1

/



3

Bảng biến thiên:
x

-1

f/(x)

2



0

1

+ 0 0

f(x)
-1

-1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f ( x)  x 4  2 x 2  0 x   1;1 (đpcm)
CHUYÊN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1. Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tai một điểm:
Cách 1. ( Thường dùng cho hàm đa thức )
/

 y ( x0 )  0
* f(x) đạt cực trị tại x = x0   //

 y ( x0 )  0
/

 y ( x0 )  0
* f(x) đạt cực đại tại x = x0   //

 y ( x0 )  0

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

9


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
 y / ( x0 )  0

* f(x) đạt cực tiểu tại x = x0  

 y // ( x0 )  0

Cách 2. ( Thường dùng cho hàm phân thức )
* Nếu f(x) đạt cực trị tại x = x0 thì y / ( x0 )  0 .
* Giải phương trình y / ( x0 )  0 tìm m, thay m vừa tìm được vào hàm số .

* Lập bảng biến thiên và kết luận.
Ví dụ 1. Cho hàm số y  x 3  m  1x 2  m 2  3m  2x  5 .
1
3

a. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = 0.
b. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.
c. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.
Giải:
a. TXĐ: D = R
y /  x 2  2m  1x  m 2  3m  2
y //  2 x  2m  1

m  1
/

m 2  3m  2  0
 y (0)  0


 m  2  m  2
Hàm số đạt cực trị tại x = 0   //

 2m  1  0
m  1
 y (0)  0


Vậy Hàm số đạt cực trị tại x = 0
b. TXĐ: D = R

y /  x 2  2m  1x  m 2  3m  2
y //  2 x  2m  1

Hàm số đạt cực đại tại x = 1

5 5
m 
2

 y / (1)  0
m 2  5m  5  0
5 5
  //

 
5 5  m 
2
 y (1)  0
4  2 m  0
m 
2


m  2

c. TXĐ: D = R

y /  x 2  2m  1x  m 2  3m  2
y //  2 x  2m  1

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3
/

m 2  9m  17  0
m  
 y (3)  0
  //


 m 
m

4
8

2
m

0

y
(
3
)

0




Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.
1
3

1
2

1
3

Ví dụ 2. Cho hàm số y   x 3  ax 2  bx  . Xác định a và b để hàm số đạt cực đại tại x = 1
và giá trị cực đại tại điểm đó bằng 2.
Giải:
* TXĐ: D = R
* y /   x 2  ax  b
y //  2 x  a

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và giá trị cực đại tại điểm đó bằng 2
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

 y / (1)  0
 1  a  b  0
a  2
 //
a  2



  y (1)  0   2  a  0
 b  3  
b  3
 y (1)  2
1
a  2


 ab  2
2
a  2
Vậy 
thỏa mãn điều kiện bài toán.
b  3

Ví dụ 3. Xác định m để hàm số y  x 4  2m 2 x 2  5
a. Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1
b. Hàm số đạt cực đại tại x = - 2.
Giải:
a. TXĐ: D = R
y /  4 x 3  4m 2 x
y //  12 x 2  4m 2
m  1
/
2


y
(


1
)

0

4

4
m

0


Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1   //


m  1
2


y
(

1
)

0
12

4

m

0



m   3 ; 3
m  1

m  1





b. TXĐ: D = R
y /  4 x 3  4m 2 x
y //  12 x 2  4m 2

Hàm số đạt cực đại tại x = - 2
m  2
/
2



 y (2)  0
 32  8m  0
  //


 m  2
m2
2



 y (2)  0
48  4m  0
m   ;  2 3  2 3 :  



Ví dụ 4. Xác định m để hàm số y 
TXĐ: D  R \  1
y 
/

 



x 2  2mx  5
đạt cực tiểu tại x = 3.
x 1

Giải:

x 2  2 x  2m  5

x  12

* Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 thì y / (3)  0
10  2m
0m5
16
* Với m  5 ta có
x 2  2 x  15
y/ 
x  12



>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 11


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
x  3
y/  0  
 x  5



x
y/

-5
+



3

0

-

0

+

CĐ



y 

CT

Dựa vào BBT ta thấy x = 3 là điểm cực tiểu.
Vậy m = 5 hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.
Ví dụ 5. Xác định m để hàm số y 

x 2  2x  m
đạt cực đại tại x  2 .
x 2  2x  2

Giải:
TXĐ: D = R
* y/ 

 4 x 2  4 x  2mx  2m

x

2

 2x  2



2

* Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x  2 thì y / ( 2 )  0






4 2  8  2 1 2 m

4  2 2 

2

 0  m  2 2

* Với m  2 2 ta có y / 





2

 2x  2

 4x 2  4  4 2 x  4 2

x



2

x  2
y/  0  
x  1

Bảng biến thiên:
x



y/

1
-

0



2

+

1

0

-

CĐ

y
CT

1

Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt cực đại tại x  2 .
Vậy m  2 2 thỏa mãn điều kiện bài toán.
2. Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trƣớc:
Ví dụ 1. Cho hàm số y  x 3  2m  1x 2  1  4mx  1
1
3

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 12

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

a. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
b. Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho x1  x2  4 .
c. Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho 3x1  x2  4 .
d. Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn: x12  x2 2  2.
e. Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục tung.
Giải:
a. TXĐ: D = R

y /  x 2  22m  1x  1  4m

y /  0  x 2  22m  1x  1  4m  0 (*)
Hàm số có cực đại và cực tiểu  phương (*) có hai nghiệm phân biệt
/  4m2  0  m2  0  m  0
Vậy m  0 hàm số có cực đại và cực tiểu.

b. TXĐ: D = R

y /  x 2  22m  1x  1  4m

y /  0  x 2  22m  1x  1  4m  0 (*)
* Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2  phương (*) có hai nghiệm phân biệt
 /  4m2  0  m2  0  m  0
* Với m  0 hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2
 x  x  22m  1
Ta có x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên  1 2
 x1 .x2  1  4m
Theo đề ta có x1  x2  4  x12  x2 2  2 x1 x2  16  x1  x2 2  4x1 x2  16

 m  1 (n)
2
 22m  1  4.1  4m  16  16m2  16  
 m  1 (n)

Vậy m = 1; m = -1 thỏa mãn điều kiện bài toán.
c. TXĐ: D = R

y /  x 2  22m  1x  1  4m

y /  0  x 2  22m  1x  1  4m  0 (*)
* Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2  phương (*) có hai nghiệm phân biệt
/  4m2  0  m2  0  m  0
* Với m  0 hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2

 x1  x2  22m  1 (1)
 x1 .x2  1  4m (2)

Ta có x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên 
Theo đề ta có 3x1  x2  4 (3)

4  2 x1  22m  1
 x1 4  3x1   1  4m

Từ (3)  x2  4  3x1 thay vào (1) và (2) ta được 
 x1  3  2m (3)

2
4 x1  3x1  1  4m (4)

Thay x1  3  2m vào (4) ta được 43  2m  33  2m2  1  4m
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 13


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
2

m  ( n)

 12m  32m  16  0 
3

 m  2 ( n)
2

2
3

Vậy m  ; m  2 thỏa TĐKBT.
d. TXĐ: D = R

y /  x 2  22m  1x  1  4m

y /  0  x 2  22m  1x  1  4m  0 (*)
* Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2  phương (*) có hai nghiệm phân biệt
/  4m2  0  m2  0  m  0
* Với m  0 hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2

 x1  x 2  22m  1
 x1 .x2  1  4m

Ta có x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên 

Theo đề ta có x12  x2 2  2  x1  x2 2  2 x1 x2  2  22m  12  21  4m  2
 16m 2  8m  0  0  m 

Vậy 0  m 

1
2

1
thỏa TĐKBT.
2

e. TXĐ: D = R

y /  x 2  22m  1x  1  4m

y /  0  x 2  22m  1x  1  4m  0 (*)
* Hàm số có hai điểm cực trị  phương (*) có hai nghiệm phân biệt
/  4m2  0  m2  0  m  0
* Với m  0 hàm số có hai điểm cực trị . Gọi x1 , x2 là hai điểm cực trị của hàm số.
 x  x  22m  1
Ta có x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên  1 2
 x1 .x2  1  4m

Đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục tung
 x1 .x2  0  1  4m  0  m 

1
4

Kết hợp với điều kiện m  0 ta được m  0; m 
Vậy m  0; m 

1
4

1
thỏa TĐKBT.
4

Ví dụ 2. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2
a. Xác định m để hàm số có ba điểm cực trị.
b. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân.
c. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác đều.
d. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có diện tích bằng
1.
Giải:
a. TXĐ: D = R
y /  4 x 3  4mx

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 14


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
y /  0  4 x 3  4mx  0 (*)
 x  0 (1)
 4x x 2  m  0   2

 x  m (2)
Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt
 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
m  0
m  0
 2

m0
m

0
0

m







Vậy m > 0 thỏa mãn TĐKBT.
b. TXĐ: D = R
y /  4 x 3  4mx

y /  0  4 x 3  4mx  0 (*)
 x  0 (1)
 4x x 2  m  0   2
 x  m (2)
* Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt

 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
m  0
m  0
 2

m0
m  0
0  m
* Với m  0 , ta có (2)  x   m nên đồ thị hàm số có ba diểm cực trị





A( 0; 2), B ( m ; 2  m 2 ) , C ( m ; 2  m 2 ) .
Ta có AB  m 4  m ; AC  m 4  m  AB  AC nên tam giác ABC cân tại A.
Do đó tam giác ABC vuông cân  ABC vuông tại A  AB . AC  0 (**)
Có AB   m ;  m 2  ; AC   m ;  m 2 
m  0 (l )
 m  1 ( n)

Vậy (**)   m. m  (m 2 ).(m 2 )  0  m  m 4  0  

Vậy m = 1 đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân.
c. TXĐ: D = R
y /  4 x 3  4mx

y /  0  4 x 3  4mx  0 (*)
 x  0 (1)
 4x x 2  m  0   2

 x  m (2)
* Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt
 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
m  0
m  0
 2

m0
m

0
0

m


* Với m  0 , ta có (2) (2)  x   m nên đồ thị hàm số có ba diểm cực trị





A( 0; 2), B ( m ; 2  m 2 ) , C ( m ; 2  m 2 ) .
4
4

 AB  AC
 m m  m m

 m 4  m  4m

4
 AC  BC

 m  m  4m

Tam giác ABC đều  AB  AC  BC  
m  0 (l )
 m 4  3m  0  m m 3  3  
3
 m  3 ( n)





>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 15


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Vậy m  3 3 thỏa mãn ĐKBT.
d. TXĐ: D = R
y /  4 x 3  4mx

y /  0  4 x 3  4mx  0 (*)
 x  0 (1)
 4x x 2  m  0   2
 x  m (2)
* Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt
 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

m  0
m  0
 2

m0
m  0
0  m
* Với m  0 , ta có (2) (2)  x   m nên đồ thị hàm số có ba diểm cực trị





A( 0; 2), B ( m ; 2  m 2 ) , C ( m ; 2  m 2 ) .
. BC  4m
. BC  2 m ; 0  2 m. 1; 0  vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là n  0;1
Nên BC có phương trình: y  m 2  2  0
d( A; BC)= m 2  m 2
1
2

Ta có, S ABC  .BC. d ( A; BC )  1
1
 . 4m .m 2  1  m 5  1  m  1 (n)
2

Vậy m = 1 thỏa ĐKBT.
Ví dụ 3. Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 3(m2 - 1)x - 3m2 - 1 (1)
Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều
gốc tọa độ O.

Giải:
TXĐ: D = R
y’ = –3x2 + 6x + 3(m2 - 1),
y' = 0  x2 - 2x - (m2 - 1) = 0  x = 1 - m hoặc x = 1 +m
Do đó (1) có cực đại và cực tiểu
/
 phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt  1 - m  1 + m  m  0
Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)
3
3
 A(1 + m; 2(m - 1)); B(1 - m; -2(m +1))
1
1
Ta coù : OA2 = OB2  x12  y12  x 22  y22  4m  16m3  m2  (vì m  0)  m  
4
2

Ví dụ 4. Cho hàm số y 

x 2  m  1x  m 2  4m  2
x 1

a. Xác định m để hàm số có cực trị.
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
Giải:
a. TXĐ:
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 16


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

y 
/

x 2  2 x  m 2  3m  3

x  12

 x  1 (1)
y/  0   2
2
 x  2 x  m  3m  3  0 (2)
Hàm số có cực trị  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1
/
2


  0
 m  3m  2  0
 2
 2
1 m  2
2


1  2.1  m  3m  3  0
m  3m  2  0

b. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
 y /  0 x  1  x 2  2 x  m 2  3m  3  0 x  1
1  0

 x 2  2 x  m 2  3m  3  0 x  R   /
 m 2  3m  2  0  m   ;1  2;   
  0
2
x  mx  1
Ví dụ 5. Cho hàm số y 
xm

Chứng minh rằng với mọi m để hàm số có cực trị.
TXĐ: D  R \  m
y 
/

Giải:

x 2  2mx  m 2  1

x  m2

 x  m (1)
y/  0   2
2
 x  2mx  m  1  0 (2)
Hàm số có cực trị  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
/

1  0
  0



 m R

2
2

 1  0
 m  2m.(m)  m  1  0

Vậy với mọi m hàm số luôn có cực trị.
Ví dụ 6. Cho hàm số y  x4  2( m  1 )x2  m . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có
ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc
trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
(ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC Khối B NĂM 2011)
Giải:
3
y’ = 4x – 4(m + 1)x
 x  0 (1)

y’ = 0  

2
 x  m  1 (2)

Hàm số có 3 cực trị  phương trình y/ = 0 có hai nghiệm phân biệt
 phương (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
m  1  0
 2
 m > -1
0  m  1

Khi đó đồ thị hàm số có 3 cực trị A (0; m), B ( m  1 ; -m2 – m – 1),
C (- m  1 ; -m2 – m – 1)
Ta có: OA = BC  m2 = 4(m + 1)  m = 2  2 2 (thỏa m > -1)
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 17


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

1
3

Ví dụ 7. Cho hàm số y  x3  ( m  2 )x 2  ( 5m  4 )x  3m  1 . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1,
x2 sao cho x1 < 2 < x2 .

Giải:

* TXĐ: D = R.
* y /  x2  2( m  2 )x  5m  4
y /  0  x2  2( m  2 )x  5m  4  0 (*)
* Hàm số có hai cực trị  phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
  /  ( m  2 )2  ( 5m  4 )  m2  9m  0  m  0 hoặc m  9 (1)
* Khi m  0 hoặc m  9 , hàm số đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 < 2 < x2
 ( x1  2)( x2  2)  0  x1x2  2 x1  2 x2  4  0  x1x2  2( x1  x2 )  4  0
 5m  4  2.(2)(m  2)  4  0  9m  0  m  0 (2)
Đối chiếu (1) và (2) ta được m < 0.
Vậy m < 0 thỏa điều kiện bài toán.

BÀI TẬP TỰ LÀM
1. Cho hàm số y  x 3  3(m  1) x 2  9 x  m . Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2
sao cho x1  x2  2 .

2. Cho hàm số y  (m 1) x4  (m  2) x2  3m . Xác định m để hàm số có ba điểm cực trị.
3. Cho hàm số y  x3  3x2  m (1). Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị
A, B sao cho AOB  1200 .
4. Cho hàm số y  x4  2mx2  m2  m . Xác định m để đồ thị của hàm số đã cho có ba điểm cực
trị lập thành một tam giác có một góc bằng 1200.
5. Cho hàm số y  x4  2(m2  m  1) x2  m  1 . Xác định m để đồ thị của hàm số đã cho có
khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.
3. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm cực trị và cực trị của đồ thị hàm số:
A. Kiến thức cơ bản:
a/ Cho hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d .
Thực hiện phép chia đa thức cho y cho y/ ta được: y  y / . Ax  B  Cx  D
Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó,
y1 = Cx + D và y2 = Cx + D
Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = Cx + D.
b/ Cho hàm số y 

ax 2  bx  c
.
dx  e

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Khi đó, y1 

2 x1  b
2x  b
và y 2  2
.
d
d

Suy ra, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y 

2x  b
d

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 18


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

c/ Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Khi đó,
* Đồ thị hàm số có hai điểm nằm về cùng phía so với trục hoành  y1 . y2  0
* Đồ thị hàm số có hai điểm nằm về khác phía so với trục hoành  y1 . y2  0
B. Các ví dụ:
Ví dụ 1. Cho hàm số y  x 3  mx 2  7 x  3 . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Lập phương
trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu đó.
Giải:
TXĐ: D = R
y /  3x 2  2mx  7
y /  0  3x 2  2mx  7  0 (*)

*Hàm số có cực đại và cực tiểu  phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
m   21
 /  m 2  21  0  
m  21
m   21
*Với 
hàm số có hai điểm cực trị
m  21

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Thực hiện phép chia đa thức y cho y/ ta được:
1   14 2m 2 
7
1
 x  3  m
y  y . x  m    
9  3
9 
9
3
/

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
 14 2m 2 
7
 x1  3  m

9 
9
3

Ta có: y1  

 14 2m 2 
7
 x2  3  m
y 2   
9 

9
3
 14

2m 2 

7

x  3  m
Suy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là y   
9 
9
3

Ví dụ 2. Cho hàm số y  x 3  6 x 2  3m  2x  m  6 .
a. Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu cùng dấu.
b. Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục
hoành.
c. Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục tung.
Giải:
a. Ta có y  3x  12 x  3m  6
* Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu
 phương trình y /  0 có hai nghiệm phân biệt
/

2

/  36  9m  18  0  m  2

* Với đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 19


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Chia y cho y / ta được y  y / x  2  m  22 x  1
1
3
Ta có y1  m  22 x1  1 ; y2  m  22 x2  1

Suy ra y1 . y2  m  22 2 x1  12 x2  1  m  22 4 x1 x2  2x1  x2   1
 x1  x 2  4
 x1 x 2  m  2

Do x1 , x2 là nghiệm của phương trình y /  0 nên 
Do đó y1 . y2  m  22 4m  17

17

m  
Vậy y1 và y 2 cùng dấu  y1 . y 2  0  m  2 4m  17   0  
m

m  2
17
Kết hợp với điều kiện m < 2 ta được   m  2
4
/
2

b. Ta có y  3x  12 x  3m  6
2

* Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu
 phương trình y /  0 có hai nghiệm phân biệt
/  36  9m  18  0  m  2

* Với đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu
Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Chia y cho y / ta được y  y / x  2  m  22 x  1
1
3
Ta có y1  m  22 x1  1 ; y2  m  22 x2  1

Suy ra y1 . y2  m  22 2 x1  12 x2  1  m  22 4 x1 x2  2x1  x2   1
 x1  x 2  4
 x1 x 2  m  2

Do x1 , x2 là nghiệm của phương trình y /  0 nên 

Do đó y1 . y2  m  22 4m  17
Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục hoành
m  2
17

y1 . y 2  0  
17  m  
2
m


2


Kết hợp với điều kiện m < 2 ta được m  
Vậy m  

17
2

17
thỏa mãn điều kiện bài toán.
2

Ví dụ 3. Cho hàm số y  x 3  3x 2  m . Xác định m để
a. Đường thẳng nối hai điểm cực trị đi qua điểm (2; -1)
b. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác vuông
tại O. Tính diện tích tam giác đó.
c. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Giải:
a. TXĐ: D = R
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 20


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
y /  3x 2  6 x
x  0
y/  0  
x  2

Suy ra đồ thị luôn có hai cực trị

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Thực hiện phép chia đa thức y cho y / ta được
1
1
y  y /  x    m  2x
3
3
Ta có y1  m  2 x1 ; y2  m  2 x2

Suy ra đường thẳng nối hai điểm cực trị là d: y  m  2 x
Đường thẳng d đi qua điểm (2; -1)  1  m  2.2  m  3
Vậy m = 3 thỏa yêu cầu bài toán.
b. TXĐ: D = R
y /  3x 2  6 x
x  0
y/  0  
x  2

Suy ra đồ thị luôn có hai cực trị là A( 0 ; m), B( 2; m – 4)
OA  0; m , OB  2; m  4

m  0 (l ) ( Do A  O)
m  4

Tam giác OAB vuông tại O  OA .OB  0  mm  4  0  
Vậy m =4 thỏa điều kiện bài toán.
* Với m = 4  A(0; 4) và B(2; 0)
 S OAB 

1

1
OA.OB  .4.2  4
2
2

c. TXĐ: D = R
y /  3x 2  6 x
x  0
y/  0  
x  2

Suy ra đồ thị luôn có hai cực trị là A( 0 ; m), B( 2; m – 4)
Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt y A . y B  0  m(m  4)  0
0m4
Vậy 0  m  4 thỏa điều kiện bài toán.

Ví dụ 4. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  4m3 .
a. Xác định m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua đường
thẳng y = x.
b. Lập phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu .
c. Xác định m để độ dài đoạn thẳng nối hai điểm cực trị bằng 2 5 .
Giải:
a. TXĐ: D = R
y /  3x 2  6mx
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 21


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
x  0
y /  0  3x 2  6mx  0  

 x  2m

* Đồ thị có cực đại cực tiểu
 phương trình y /  0 có hai nghiệm phân biệt
 2m  0  m  0
* Với m  0 đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu là A(0; 4m3 ) , B( 2m; 0) .

Hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x
1

m   2
 y A  x B  0  4m 3  2m  0  
1

m  2

1
1
Vậy m 
; m
thỏa điều kiện bài toán.
2
2

b. Cách 1.
TXĐ: D = R
y /  3x 2  6mx

x  0
y /  0  3x 2  6mx  0  

 x  2m

* Đồ thị có cực đại cực tiểu
 phương trình y /  0 có hai nghiệm phân biệt
 2m  0  m  0
*Với m  0 đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu là A(0; 4m3 ) , B( 2m; 0) .

Vectơ chỉ phương của AB là AB  (2m;  4m3 )
Suy ra vectơ pháp tuyến của AB là: n  (4m3 ; 2m)
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A và B là:
4m3 ( x  0)  2m( y  4m3 )  0  y  2m2 x  4m3

Cách 2. TXĐ: D = R
y /  3x 2  6mx

x  0
y /  0  3x 2  6mx  0  
 x  2m

* Đồ thị có cực đại cực tiểu
 phương trình y /  0 có hai nghiệm phân biệt
 2m  0  m  0
*Với m  0 đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu.

Thức hiện phép chia đa thức y cho y/ ta được:
m
1
y  y /  x    2m2 x  4m3
3
3

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:
y  2m2 x  4m3

c. TXĐ: D = R
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 22


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
y /  3x 2  6mx

x  0
y /  0  3x 2  6mx  0  
 x  2m

* Đồ thị có cực đại cực tiểu
 phương trình y /  0 có hai nghiệm phân biệt
 2m  0  m  0
*Với m  0 đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu là A(0; 4m3 ) , B( 2m; 0) .

Ta có AB  4m2  16m6  2 5
 4m6  m2  5  0  m2  1  m  1(n)

Ví dụ 5. Cho hàm số y 

x 2  mx  2
.
x 1

a. Xác định đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

b. Xác định m để hai cực trị cùng dấu.
c. Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về khác phía so với trục Ox.
d. Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục Oy.
Giải:
a. TXĐ: D  R \ 1
y 
/

x 2  2x  m  2

x  12

 x  1 (1)
0 2
x  1
 x  2 x  m  2  0 (2)
*Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác
/

m  3
  3  m  0
1  2

m3

m  3
1  2.1  m  2  0
y/  0 

x 2  2x  m  2

2

* Với m < 3, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.
Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Ta có y1 

2 x1  m
2x  m
; y2  2
1
1

Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = 2x – m
Vậy m < 3 , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = 2x – m
b. TXĐ: D  R \ 1
y/ 

x 2  2x  m  2

x  12

 x  1 (1)
0 2
x  1
 x  2 x  m  2  0 (2)
*Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác
/

m  3
  3  m  0

1  2

m3

m  3
1  2.1  m  2  0
y/  0 

x 2  2x  m  2
2

* Với m < 3, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.
Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 23


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
2 x1  m
2x  m
; y2  2
1
1
Nên y1 . y2  2 x1  m2 x2  m  4 x1 x2  2mx1  x2   m 2

Ta có y1 

 x1  x 2  2
 x1 x 2  m  2

Do x1 , x2 là nghiệm của phương trình y /  0 nên 

Do đó y1 . y2  4m  2  2m.2  m 2  m 2  8
Vậy, y1 và y 2 cùng dấu y1 . y 2  0  m 2  8  0  m   ;  2 2  2 2;  
c. TXĐ: D  R \ 1
y/ 

x 2  2x  m  2

x  12

 x  1 (1)

0

 2
x  12
 x  2 x  m  2  0 (2)
*Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác
/  3  m  0
m  3
1   2

m3
m

3

1

2

.
1

m

2

0


y 0
/

x 2  2x  m  2

* Với m < 3, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.
Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
2 x1  m
2x  m
; y2  2
1
1
Nên y1 . y2  2 x1  m2 x2  m  4 x1 x2  2mx1  x2   m 2

Ta có y1 

 x1  x 2  2
 x1 x 2  m  2

Do x1 , x2 là nghiệm của phương trình y /  0 nên 

Do đó y1 . y2  4m  2  2m.2  m 2  m 2  8

Vậy, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về khác phía so với trục Ox



 y1 . y 2  0  m 2  8  0  m   2 2 ; 2 2
d. TXĐ: D  R \ 1
y/ 



x 2  2x  m  2

x  12

 x  1 (1)
0 2
x  1
 x  2 x  m  2  0 (2)
*Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác
/

m  3
  3  m  0
1  2

m3

m  3

1  2.1  m  2  0
y/  0 

x 2  2x  m  2
2

* Với m < 3, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.
Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục Oy
 x1 .x2  0  m  2  0  m  2
Đối chiếu với điều kiện m  3 ta được m  2
Vậy m  2 Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục Oy
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 24


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

x2  x  m
Ví dụ 6. Cho hàm số y 
.
x 1

a. Xác định đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số .
b. Xác định m để khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số bằng 2 5
Giải:
a. TXĐ: D  R \  1
y/ 

x 2  2x  1  m

x  12

 x  1 (1)
0 2
x  1
 x  2 x  1  m  0 (2)
* Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác /

m  0
  m  0
1  2

m0
m

0




1

2
.(

1
)

1


m

0


y/  0 

x 2  2x  1  m
2

* Với m > 0, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.
Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Ta có: y1 

2 x1  1
2x  1
; y2  2
1
1

Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = 2x + 1
Vậy m >0 , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = 2x + 1
b. TXĐ: D  R \  1
y/ 

x 2  2x  1  m

x  12

 x  1 (1)

0 2
x  1
 x  2 x  1  m  0 (2)
* Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác /

m  0
  m  0
1  2

m0
m

0




1

2
.(

1
)

1

m

0



y/  0 

x 2  2x  1  m
2

* Với m > 0, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.
Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Ta có: y1 

2 x1  1
2x  1
; y2  2
1
1

Suy ra, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A( x1 ; 2 x1  1), B( x2 ; 2 x2  1)
Ta có AB  2 6  x2  x1 2  2 x2  2 x1 2  5x2  x1 2




5  x 1  x 2   4 x 1 .x 2
2

  5 2

2



 41  m 

20m

Theo đề ta có AB  2 5  20m  2 5  20m  20  m  1 (n)
Vậy m = 0 thỏa ĐKBT.
Ví dụ 7:

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 25