Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (734.69 KB, 37 trang )
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian, kết hợp với bài toán
tính thể tích các khối đa diện là nội dung quan trọng trong các kỳ thi HSG và kỳ
thi đại học cao đẳng, các dạng bài tập này thường là những câu phân loại học
sinh khá giỏi. Có nhiều tài liệu tham khảo đã trình bày một số phương pháp giải
m
các dạng bài tập trên, tuy nhiên các nội dung chưa thực sự đầy đủ các dạng bài
tập loại đó.
co
Trong chương trình hình học lớp 11 và lớp 12, phần lý thuyết nội dung này
đã được trình bày đầy đủ trong SGK, song với một số yêu cầu giải các bài tập
nâng cao, để đáp ứng yêu cầu như trên thì các bài tập trình bày của SGK chưa đáp
oc
.
ứng được, khi giải các loại bài tập này học sinh thường lúng túng và gặp rất nhiều
khó khăn. Trong các loại khoảng cách giữa các yếu tố, chúng tôi nhận thấy
khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng là quan trọng nhất và dạng bài tập
cu
này cũng xuất hiện nhiều trong các đề thi, nó đóng vai trò quan trọng trong việc
tính thể tích khối đa diện. Vì vậy, trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh
giỏi, ôn thi đại học và nghiên cứu chúng tôi đã cố gắng phân dạng và đề xuất
gb
o
thêm một số phương pháp để tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng và
một số ứng dụng của nó.
Trong bài viết này, với nội dung: “Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính
khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng”, chúng tôi đã trình bày những
kinh nghiệm định hướng cho học sinh tìm phương pháp phù hợp để giải một số
on
dạng bài tập thường gặp trong các kỳ thi. Các ví dụ cụ thể trong bài viết được
sắp xếp có trình tự từ dễ đến khó, có sự phân tích, định hướng cách giải cho mỗi
kh
dạng bài tập đó. Các nội dung chính của bài viết:
1. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng cách xác định
trực tiếp hình chiếu của điểm đó trên mặt phẳng.
2. Sử dụng quan hệ song song, tỷ số khoảng cách để tính khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng.
3. Sử dụng thể tích để tính khoảng cách.
4. Sử dụng tính chất của tứ diện vuông để tính khoảng cách.
SKKN năm học 2013- 2014
1
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
5. Dùng phương pháp toạ độ để tính khoảng cách.
6. Sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính khoảng
cách giữa các yếu tố như: Hai đường thẳng chéo nhau, đường thẳng song song
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I/ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU
co
a/ Thực trạng
m
với mặt phẳng.
Bài toán tính khoảng cách thường là bài toán khó, dùng để phân loại học
sinh khá giỏi trong các kỳ thi Đại học, học sinh giỏi . Tuy nhiên trong SGK chỉ
oc
.
mới đưa ra các khái niệm cơ bản và một số ví dụ đơn giản. Vì vậy trong các kỳ
thi học sinh rất lúng túng và gặp khó khăn khi giải các bài tập này
b/ Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
cu
- Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán về tính khoảng cách trong không
gian: khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng, khoảng cách giữa các yếu tố
trong không gian; các phương pháp dùng để tính khoảng cách trong không gian
gb
o
- Phạm vi nghiên cứu: + Bám sát nội dung chương trình Toán PTTH.
+ Mở rộng phù hợp với nội dung thi HSG và Đại học.
c/ Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Tuyển chọn, sắp xếp theo dạng, theo trình tự hợp lý để học sinh dễ tiếp
thu, dễ khai thác…Tạo được hứng thú cho học sinh.
on
+ Đưa ra một số nhận xét về cách tiếp cận lời giải cho từng loại, từng
dạng.
kh
d/ Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài
Đề tài này có khả năng áp dụng và triển khai cho học sinh trung học phổ
thông và tất cả các thầy cô dạy Toán THPT. Nhất là việc bồi dưỡng HSG, học
sinh ôn thi Đại học.
SKKN năm học 2013- 2014
2
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
III / NỘI DUNG
1. PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP
Để tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P), ta xác định hình chiếu
của A lên (P) bằng cách dựng đường thẳng d qua A và d ^(P) tại H, khi đó:
+ Nếu có đường thẳng D ^ (P), khi đó ta dựng d qua A và d // D.
m
d((A); (P)) = AH. Ta có thể xác định điểm H bằng cách:
co
+ Nếu đường thẳng D chưa xác định, khi đó ta xác định H bằng cách:
- Ta chọn trên mặt phẳng (P) một đường thẳng a
- Dựng mặt phẳng (Q) chứa A và (Q) ^ a
c.
- Tìm giao tuyến b = (P) Ç (Q)
gb
oc
uo
- Trên mặt phẳng (Q) dựng AH ^ b, (HÎb), khi đó d(A, (P)) = AH.
Ví dụ 1.1: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, AC =
a; DSAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa SC và
(ABCD) bằng 60o. Gọi I là trung điểm AB. Tính theo a khoảng cách từ I đến
mặt phẳng (SBC) ?
Hướng dẫn:
Nhận thấy, I là hình chiếu của S lên
(ABCD),
nên
Î
đường
thẳng
Þ SI ^ với mọi đường
on
SI ^(ABCD)
I
S
thẳng trên mặt đáy. Mặt bên (SBC) chứa
H A
BC ^ SI. Vì vậy ta chỉ cần qua
kh
I dựng IJ ^ BC, khi đó (SIJ) ^ (SBC).
Gọi E là trung điểm của BC, do DABC cân
D
I
B
N
J
.
E
C
tại A. Þ AE ^ BC. Mặt khác: IJ ^ BC Þ IJ / /AE .
Trong mặt phẳng(SIJ) dựng IH ^ SJ Þ IH ^ (SBC). Vậy d(I,(SBC)) = IH
SKKN năm học 2013- 2014
3
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
· Þ SCI
· = 60o . Ta có tam giác CAB là tam giác
Góc giữa SC và (ABCD) là SCI
đều cạnh a Þ CI =
a 3
· = 3a , AE = a 3 Þ IJ = AE = a 3
Þ SI = CI tan SCI
2
2
2
2
4
Trong ∆AIJ , HI là đường cao nên:
1
1
1
52
3a 13
=
+
=
Þ
d
I,(SBC)
=
(
)
26
HI2 IJ 2 IS2 9a 2
om
+ Hoàn toàn tương tự, học sinh sẽ tính được d ( I;(SCD) ) và d ( I;(SAD) )
Ví dụ 2.1: Cho lăng trụ ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
.c
cạnh bên AA’ = a, hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABCD) trùng với trung
điểm I của AB. Gọi K là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích khối chóp
oc
A’IKD và khoảng cách từ I đến mặt phẳng (A’KD) ?
B’
Gọi H = DK Ç IC,
A’
cu
Hướng dẫn:
C’
D’
gb
o
do ABCD là hình vuông cạnh a
nên IC ^ DK ; DK = IC =
a 5
;
2
E
B
Xét tam giác vuông CDK ta có :
CK.CD a 5
=
;
DK
5
on
CH =
K
C
H
I
A
D
3
3a 5
Vì ABCD là hình vuông nên IH = IC =
5
10
kh
Xét DA’AI ta có A 'I = A 'A 2 - AI 2 =
a 3
2
1
1 1
a3 3
Þ VA 'IDK = SDIDK .A 'I = . .DK.IH.A 'I =
3
3 2
16
ìDK ^ IH
Þ DK ^ ( A 'IH ) Þ ( A 'IH ) ^ ( A 'DK ) và (A’IH) Ç (A’DK)=A’H
Do í
îDK ^ A 'I
Trên ( A 'IH ) , kẻ IE ^ A’H Þ IE ^ ( A 'KD ) Þ d ( I,(A 'KD) ) = IE
SKKN năm học 2013- 2014
4
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Xét tam giác vuông A’IH ta có:
Þ IE =
1
1
1
=
+ 2
2
2
IE
A 'I IH
3a 2
3a 2
Þ d ( I,(A 'KD) ) =
8
8
co
m
Ví dụ 3.1: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’. Biết góc giữa CA’ và
(ABCD) bằng 30o. Góc giữa (A’BC) và (ABCD) bằng 45o; d ( A;(A 'CD) ) = a.
Tính VABCDA’B’C’D’ theo a ?
A’
Hướng dẫn:
H
B’
(
)
·';(ABCD) = A
·'CA = 30o
Þ CA
))
AA ' ^ (ABCD) và AB ^ BC Þ A 'B ^ BC
(
)
A
uo
Þ Hình chiếu của A’C lên (ABCD) là AC
C’
c.
Ta thấy A’A ^ (ABCD)
D’
B
D
(
C
oc
·
· ' = 45o
Þ (ABCD);(A
'BC) = ABA
Kẻ AH ^ A’D (H Î A’D). Ta chứng minh được d ( A,(A 'CD) ) =AH.
gb
Đặt AA’ = x Þ AB = x (do DA’AB vuông cân tại A)
·'CA = 30o Þ AC = x 3 ; BC = AC 2 - AB2 = x 2
Ta có: A
on
Xét tam giác vuông AA’D ta có:
a 6 a 6 a 12 3a 3 3
.
.
=
2
2
2
2
kh
Vậy VABCDA 'B 'C 'D ' =
1
1
1
a 6
=
+
Þx=
.
2
2
2
AH
AD
2
AA'
Ví dụ 4.1: Cho lăng trụ tam giác đều ABCA1B1C1 có AA1 = a 2 . Góc giữa B1C
và (ABB1A1) bằng 45o.
a) Tính VABCA B C theo a?
1 1 1
b) Tính khoảng cách từ trung điểm K của BC đến (AB1C1)
SKKN năm học 2013- 2014
5
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Hướng dẫn: Gọi M là trung điểm AB
(
)
C
A
·
· M . Nhận thấy
Þ B
C;(ABB1A1 ) = CB
1
1
M
DAB1C1 là mặt bên của hình chóp
a 2
K
E
ABCC1B1 và K chính là chân đường cao
B
( K1 Î B1C1). Ta có: (AB1C1 ^ (AKK1) .
m
của hình chóp. Kẻ KK1 ^ B1C1
A1
C1
Kẻ KE ^ AK1 Þ d ( K;(AB1C1 ) ) = KE .
co
a 3
2
B1
x 3
.
2
c.
Đặt AC = x. Ta có DABC đều Þ CM =
K1
Do DMCB1 vuông cân tại M Þ MC = MB1 =
2
uo
æx 3ö
2
2
Xét D vuông BB1C ta có B1C = x + 2a Þ 2 ç
÷ = x + 2a Þ x = 2a
è 2 ø
2
Þ VABCA B C = SDABC .AA ' = a 3 6
gb
oc
1 1 1
2
b) Xét tam giác AKK1 ta có :
Vậy d ( K;(AB1C1 ) ) =
1
1
1
a 30
=
+
Þ KE =
2
2
2
KE
KA KK1
5
a 30
5
on
Ví dụ 5.1: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,
AB=AD=2a; CD = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o. I là
kh
trung điểm AD và SI ^ (ABCD). Tính theo a khoảng cách từ I đến (SCD) ?
Hướng dẫn:
Từ I kẻ IK ^ CB ta có CB ^ SI Þ CB ^ (SIK)
Þ (SCB) ^(SIK)
Kẻ IH ^ SK Þ IH ^ (SCB). Vậy: d(I,(SCB)) = IK.
SDIBC = SABCD - SDDIC - SDAIB
SKKN năm học 2013- 2014
3a 2
=
. (1)
2
6
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Þ BC = 2a 2 + a 2 = a 5 Þ IK =
2SDIBC 3a 5
=
.
BC
5
· = 60o . Xét
Góc giữa (SBC) và (ABCD) là SKI
S
tam giác vuông SIK có :
om
· = 3a 15 .
SI = IK.tanSKI
10
Xét tam giác SIK có :
A
B
1
1
1
20
3a 15
= 2 + 2 =
Þ IH =
2
2
HI
SI
KI
27a
10
I
c.
c
Þ d(I,(SBC)) =
H
3a 15
10
K
C
D
Nhận xét: Thông qua các ví dụ trên, học sinh được rèn luyện kỹ năng tính
oc
uo
khoảng cách từ một điểm (là chân đường cao của hình chóp hoặc lăng trụ) đến
mặt phẳng là mặt bên của hình chóp.
Ví dụ 6.1: Cho hình lăng trụ ABCDA’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a 3 .
Hình chiếu của A lên (A’B’C’D’) trùng với tâm O của hình vuông A’B’C’D’.
3a
. Tính VABCDA’B’C’D’ và d ( O;(ADC'B') ) ?
4
gb
Biết d ( O;(AA 'D) ) =
Hướng dẫn:
(1)
Ta có: AO ^ A’D’
(2)
on
Từ O kẻ OM ^A’D’ (MÎ A’D’)
A
D
B
Từ (1) và (2) suy ra: A’D’ ^ (AOM)
C
kh
Kẻ OH ^ AM Þ OH ^ (AA’D).
3a
Vậy d ( O,(AA 'D) ) = OH =
4
Xét tam giác vuông AOM:
A’
K
B’
1
1
1
16
1
4
=
+
Û
=
+
OH 2 OA 2 OM 2
9a 2 OA 2 3a 2
Þ OA =
H
M
N
D’
O
C’
3a
.
2
SKKN năm học 2013- 2014
7
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Þ VABCDA 'B'C 'D ' = AO.SABCD
9a 3
=
2
+) Gọi N là trung điểm BC’, ta có ON ^ B’C’, kẻ OK ^ AN tại K.
Ta có OK ^ (ADC’B’) Þ d ( O;(ADC'B') ) = OK
1
1
1
4
4
3a
=
+
= 2 + 2 Þ OK =
2
2
2
4
OK
OA
ON
9a
3a
m
Xét tam giác vuông AON ta có:
co
2. SỬ DỤNG QUAN HỆ SONG SONG, TỶ SỐ KHOẢNG CÁCH ĐỂ TÍNH KHOẢNG
CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT MẶT PHẲNG.
c.
Để giải quyết được bài toán này, học sinh cần nắm vững một số tính chất
cơ bản sau:
Tính chất 1: Nếu đường thẳng MN // (P) thì d(M,(P)) = d(N,(P)).
d ( M,(P) ) IM
=
.
d ( N,(P) ) IN
cu
o
Tính chất 2: Đường thẳng MN Ç (P) = {I} . Khi đó:
Ví dụ 1.2: Cho hình chóp đều SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh
bo
bằng a, SA = a. Tính khoảng cách từ C đến (SAB) và tính khoảng cách từ trung
điểm M của SC đến (SAB) theo a?
Hướng dẫn: Đây là bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng chứa
on
g
mặt bên của hình chóp. Học sinh đã biết cách xác định khoảng cách từ chân
đường cao của hình chóp lên mặt phẳng chứa mặt bên của hình chóp. Từ đó dựa
vào tính chất 1 hoặc tính chất 2 để giải quyết bài toán.
Do SABCD là hình chóp đều Þ
S
kh
SO ^ (ABCD), kẻ OI ^ AB, khi đó:
(SOI)^ (SAB). Vậy OH = d ( M;(SAB) )
M.
Xét tam giác vuông SOI ta có:
Þ d ( O,(SAB) ) = a 6
SKKN năm học 2013- 2014
H
D
1
1
1
= 2+
Þ OH = a 6
2
OH
OI
OS2
I
O
C
A
B
8
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Học sinh sẽ tính d ( M;(SAB) ) dựa vào d ( O,(SAB) ) = a 6 . Vậy OM có quan hệ
như thế nào với (SAB) ?.
Nhận thấy OM // SA Þ OM // (SAB) Þ d ( M,(SAB) ) = d ( O,(SAB) ) = a 6
co
1
1
d ( M,(SAB) ) = d ( C,(SAB) ) = .2d ( O,(SAB) ) = d ( O,(SAB) )
2
2
m
+ Chú ý: Ta có thể tính d ( M;(SAB) ) bằng cách:
Ví dụ 2.2: (Khối D – năm 2011)
Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AB = 3a; BC = 4a;
c.
· = 30o . Tính khoảng cách từ B đến
(SBC) ^ (ABC). Biết SB = 2a 3; SBC
uo
(SAC) theo a?
Hướng dẫn:
Gọi H là hình chiếu của S lên BC. Do (SBC) ^ (ABC) nên SH ^ (ABC). Ta sẽ
oc
tính d ( H,(SAC) ) sau đó dựa vào tính
S
chất 2 để tính d ( B;(SAC) ) .
on
gb
Kẻ HI ^ AC tại I Þ (SHI) ^ (SAC)
Kẻ HK ^ SI tại K
Þ HK ^ (SAC).
Vậy d ( H,(SAC) ) = HK. Xét tam giác
vuông SBH
K
I
A
H
Ta có: SH = SB.sin 30o = a 3 ;
kh
BH = SB.cos30o = 3a
DCIH ~ DCBA Þ HI =
C
B
AB.CH 3a
= .
AC
5
Xét tam giác vuông SHI có:
1
1
1
3a 7
3a 7
= 2+
Þ HK =
. Vậy d ( H,(SAC) ) =
.
2
2
14
14
HK
HI
HS
Ta có: BH Ç (SAC) = {C}
SKKN năm học 2013- 2014
9
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Þ
d ( B,(SAC) ) CB
6a 7
=
= 4 Þ d ( B,(SAC) ) = 4d ( H,(SAC) ) =
7
d ( H,(SAC) ) CH
Ví dụ 3.2: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, hình chiếu
vuông góc của S lên mặt đáy trùng với trung điểm của AO. Mặt phẳng (SAD)
om
tạo với đáy một góc 600 và AB = a. Tính VSABCD và khoảng cách từ A đến
(SCD) theo a?
.c
Hướng dẫn:
a) Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD).
Kẻ HK ^ AD Þ AD ^ (SHK).
oc
S
· ,
Vậy góc giữa (SAD) và (ABCD) là SKH
cu
3
·
= 600. Ta có: HC = AC
ta có SKH
4
1
a
Þ HK = DC = . Xét tam giác vuông
4
4
VSABCD
a 3
.
4
gb
o
SHK, ta có SH = HK tan 600 =
B
M
K
A
D
N
H
O
.
I
C
1
a3 3
= SABCD SH =
3
12
b) Kẻ HN ^ CD tại N, HM ^ SN tại M. Ta có: (SHN) ^ ((SCD) và
on
d ( H,(SCD) ) = HM . Xét tam giác vuông SHN ta có:
1
1
1
64
3a
=
+
= 2 Þ HM = . Ta có AH Ç (SDC) = {C}
2
2
2
8
HM
HN
HS
9a
d ( A,(SCD) ) CA 4
=
=
d ( H,(SCD) ) CH 3
kh
Þ
4
4 3a a
Þ d ( A,(SCD) ) = .d ( H,(SCD) ) = . =
3
3 8 2
Nhận xét: Để rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến
mặt phẳng bằng cách sử dụng tính chất 1 và tính chất 2, giáo viên yêu cầu học
sinh tính d ( I,(SCD) ) (với I là trung điểm BC).
SKKN năm học 2013- 2014
10
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
1
1
Học sinh có thể nhận thấy d ( I,(SCD) ) = d ( B,(SCD) ) = d ( A,(SCD) )
2
2
1
hoặc d ( I,(SCD) ) = d ( O,(SCD) ) = d ( A;(SCD) )
2
om
Ví dụ 4.2: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D;
AB = 2DC = AD = 2a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600, gọi
I là trung điểm AD, mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD).
.c
Tính theo a khoảng cách từ A đến (SBC)?
S
ìï( SBI ) ^ ( ABCD )
Þ SI ^ ( ABCD )
í
^
SCI
ABCD
(
)
(
)
ïî
Kẻ IK ^ CB, IH ^ SK, ta có
oc
Hướng dẫn:
A
cu
(SBC) ^ (SIK). Vậy d ( I, ( SBC ) ) = IH
B
I
D
C
K
gb
o
3a 2
SDIBC = SABCD - SDICD - SDIAB =
2
3a 5
2S
BC = a 5 Þ IK = DIBC =
BC
5
H
Góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
E
kh
on
· = 600.
và (ABCD) là SKI
Xét tam giác vuông SIK
· = 3a 15 . Xét tam giác vuông SIK ta có:
ta có: SI = IK tan SKI
5
1
1
1
20 2
3a 15
=
+
=
a
Þ
d
I,(SBC)
=
IH
=
.
(
)
10
HI 2 IS2 IK 2 27
Ta có: AI Ç BC ={E}Þ AI Ç (SBC) = {E}. Do đó
d ( A,(SBC) ) EA 4
4
2a 15
=
= Þ d ( A,(SBC) ) = d ( I,(SBC) ) =
d ( I,(SBC) )
EI 3
3
5
SKKN năm học 2013- 2014
11
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Ví dụ 5.2: (Khối B – năm 2011)
Cho hình lăng trụ ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD
= a 3 . Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABCD) trùng với giao điểm của AC
Hướng dẫn: Ta thấy (A’BD) chứa
m
và BD, góc giữa (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600 . Tính d ( B',(A 'BD) ) ?
A’
D’
B’
đã biết cách tính khoảng cách từ một
I
điểm trên mặt đáy đến mặt phẳng chứa
A
đường cao của hình chóp. Để tính
E
K
D
O
C
uo
khoảng cách từ B’ đến (A’BD) ta sẽ B
C’
c.
cao của hình chóp A’ABCD). Học sinh
co
đường cao của lăng trụ (chính là đường
tính khoảng cách từ một điểm trên mặt đáy của lăng trụ (tức là trên mặt đáy hình
chóp A’ABCD) đến mặt phẳng (A’BD), sau đó dựa vào tính chất 1 hoặc tính 2
oc
để tính d ( B',(A 'BD) ) . Nhận thấy B’A Ç (A’BD) tại trung điểm I của B’A. Ta
sẽ tính d ( A,(A 'BD) )
Giải: Gọi O = AC Ç BD. Ta có A’O ^ (ABCD)
on
gb
ìOE ^ AD
Gọi E là trung điểm AD Þ í
îA 'E ^ AD
·'EO là góc giữa (ADD’A) và
Þ A
·'EO = a 3 . Kẻ AK ^ BD Þ AK ^ (A’BD)
(ABCD). Ta có A’O = OE tan A
2
Þ d ( A,(A'BD)) = AK . Xét tam giác vuông ABD có :
kh
1
1
1
a 3
= 2 + 2 Þ AK =
. Ta có: AB’ Ç (A’BD) = I (I là trung điểm AB’),
2
2
AK AB AD
d ( A,(A 'BD) ) = d ( B';(A 'BD) ) =
a 3
2
+ Chú ý: B’C //(A’BD) nên ta có thể tính d ( B',(A 'BD) ) dựa vào tính chất 1.
d ( B',(A 'BD) ) = d ( C;(A 'BD) )
SKKN năm học 2013- 2014
12
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Ví dụ 6.2: Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; AB =
a 2 . Gọi I là trung điểm BC, hình chiếu vuông góc H của S lên (ABC) thỏa
uur
uur
·
= 60o . Tính theo a VSABC và tính khoảng cách từ
mãn IA = -2IH ; SC;(ABC)
(
)
trung điểm E của SB đến (SAH)?
m
S
Hướng dẫn: Học sinh tự tính VSABC ?
E·
d ( B,(SAH) ) , từ đó suy ra d ( E,(SAH) )
.c
o
Tương tự như ví dụ 5.2, ta sẽ tính
H
B
I
Ta có: Do DABC vuông cân tại A và I là trung
C
uo
c
điểm của BC Þ BC ^ AI (1).
600
Mặt khác: BC ^ SH (2)
A
Từ (1) và (2) suy ra: BC ^ (SAH) .
Vậy d ( B,(SAH) ) = BI. Ta có: BC2 = AB2 + AC2 = 4a 2 Þ BC = 2a Þ BI = a
gb
oc
1
a
Þ d ( E,(SAH) ) = d ( B,(SAH) ) = .
2
2
Ví dụ 7.2: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA; M là trung điểm AE. Tính
d ( M,(SAC) ) theo a?
on
Hướng dẫn:
Nhận thấy EM Ç (SAC) = {A}
kh
1
Þ d ( M,(SAC) ) = d ( E;(SAC) )
2
S
E
Mặt khác: DE Ç (SAC) = {I}
I
M.
d ( E,(SAC) ) = d ( D,(SAC) ) . Vậy d ( M,(SAC) )
A
D
tính được thông qua d ( D,(SAC) ) .
Vì ABCD là hình vuông Þ BD ^ AC (1).
Mặt khác: BD ^ SD
O
B
C
(2)
SKKN năm học 2013- 2014
13
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Từ (1) và (2) suy ra : BD ^ (SAC) .
1
a 2
Vậy d ( D,(SAC) ) = DO Þ d ( M,(SAC) ) = DO =
2
2
m
3. SỬ DỤNG THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH
Có những trường hợp sử dụng các phương pháp trên khó khăn, nhưng
việc tính thể tích các khối chóp liên quan đến bài toán dễ thì ta có thể sử dụng
co
thể tích là đại lượng trung gian để tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng. Ta
dựa vào kết quả sau:
c.
Cho hình chóp SA1A2...An. Gọi V là thể tích khối chóp SA1A2...An . S là diện
uo
1
3V
tích đa giác A1A2...An ; h là chiều cao của khối chóp. Ta có : V = S.h Þ h = .
3
S
Ví dụ 1.3: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông,
AC=BC=a góc giữa A’B và (ACC’A’) bằng 300. Gọi M là trung điểm A’B’. Tính
Hướng dẫn:
oc
thể tích lăng trụ ABCA’B’C’ và d ( M,(ABC) ) theo a ?
A’
gb
ìBC ^ CA
Do í
Þ BC ^ ( ACC'A ' )
BC
^
CC'
î
·
· 'C = 30
'B;(ACC'A ') ) = ( A
'B,A 'C') = BA
( A·
.M
B’
G
o
on
DA’BC vuông tại C; BC = AC = a Þ AB = a 2 ;
C’
.K
A
B
Xét tam giác vuông A’BC ta có:
kh
A’B = 2a Þ A’B = 2a Þ AA ' = a 2
VABCA ' B 'C ' = AA '.SDABC
B’C’ // (A’BC) Þ
C
a3 2
=
2
1
d ( M,(A 'BC) ) = d ( B',(A 'BC) )
2
1
2 3
1
1 3V
a
= d ( C',(A 'BC) ) = . C ' A ' BC . Ta có: VC ' A ' BC = BC.SA 'C 'C =
2
2 SDA 'BC
3
6
SKKN năm học 2013- 2014
14
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
1
3 2
a 6
SA ' BC = a 3.a
a Þ d ( M,(A 'BC) ) =
2
2
6
Nhận xét: Học sinh có thể tính d ( M;(ABC) ) bằng cách dựa vào tỷ số khoảng
cách: Kẻ AK ^ A’C Þ AK ^ (A’CB). Vậy d ( A,(A 'BC) ) = AK.
a 6
(dựa vào tam giác vuông A’AC)
3
co
m
Ta tính AK =
Nhận thấy AM Ç (A’BC) = G (G là trọng tâm tam giác A’AB)
d ( M,(A 'BC) ) GM 1
1
a 6
=
= Þ d ( M,(A 'BC) ) = d ( A,(A 'BC) ) =
2
6
d ( A,(A 'BC) ) GA 2
c.
Ta có:
Ví dụ 2.3: Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác vuông tại A; AB = AC =
uo
a; M là trung điểm AB. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với tâm O
của đường tròn ngoại tiếp DBMC, góc giữa SB và (ABC) bằng 60o. Tính thể tích
Hướng dẫn:
oc
hình chóp SABC và d ( C;(SAB) ) theo a?
Gọi N, H lần lượt là trung điểm BC và
S
MB. Khi đó, tâm đường tròn ngoại tiếp
gb
DBMC chính là giao điểm của AN (trung
trực của BC) và đường thẳng qua H
song song với AC (trung trực của BM).
A
on
Theo giả thiết: SO ^ (ABC) nên
M.
· = 60o . Ta có DHAO
SB,(ABC) ) = SBO
(·
kh
vuông cân tại H
H
C
N
O
B
3
3a
Þ HO = HA = AB = . Trong DBHO vuông tại H có:
4
4
BO = BH 2 + HO 2 =
VSABC
a 10
a 30
Þ SO = BO.tan 60o =
4
4
1
a 3 30
= SDABC .SO =
.
3
24
SKKN năm học 2013- 2014
15
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
ìSO ^ ( ABC )
a 39
Ta có: í
Þ SH ^ AB và SH = SO 2 + OH 2 =
4
îOH ^ AB
3V
1
a 2 39
a 130
SDSAB = AB.SH =
Þ d ( C,(SAB) ) = CSAB =
2
8
S DSAB
13
Học sinh có thể tính d ( C,(SAB) ) = 2 d ( N,(SAB) ) =
m
Nhận xét:
AN
.d ( O,(SAB) )
AO
co
Nhưng học sinh chọn cách này sẽ phải tính toán nhiều hơn so với cách giải trên.
Ví dụ 4.3: Cho hình chóp SABC, có góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 60o,
c.
DABC, DSBC là tam giác đều cạnh a. Tính d ( B,(SAC) ) theo a?
VSABC
a 3
a 3
3a
; SH =
; SO = . (O là trung điểm của AH)
2
2
4
1
a3 3
= SDABC .SO =
3
16
3a 2
CM = a 16
2
gb
2
oc
Þ AH =
uo
Hướng dẫn: H là trung điểm BC. Ta có DABC và DSBC là tam giác đều
on
a 13
a 2 39
Þ CM =
; SDSAC =
4
16
3V
3V
3a 13
d ( B,(SAC) ) = BSAC = SABC =
SDSAC
SDASC
13
S
A
C
O
H
B
· = SAB
· = 60o ;
Ví dụ 5.3. Cho hình chóp SABC; SA = c; AB = a; AC = b; SAC
kh
·
BAC
= 90o. Tính khoảng cách từ B đến (SAC) theo a?
Hướng dẫn:
Gọi H là hình chiếu S lên (ABC) , A’B’ lần lượt là hình chiếu của H lên AB và
c
AC. Xét tam giác vuông SAB’ ta có: AB’ = SA.cos60o = ;
2
SKKN năm học 2013- 2014
16
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Xét tam giác vuông SAA’ ta có: AA ' = SA.cos60o =
Tứ giác AA’HB’ là hình vuông ® AH =
S
c
2
c 2
2
B’
A
H
A’
B
3V
1
a 6
SDSAC BH Þ d ( B,(SAC) ) = BSAC =
3
SDSAC
3
co
1
abc 2
1
bc 3
. SDSAC = bc.sin 60o =
SDSAB = ab Þ VSABC =
2
12
2
4
VBSAC =
C
m
c 2
DSAH vuông tại H Þ SH 2 = SA 2 - AH 2 Þ SH =
2
c.
Ví dụ 2.3: Cho hình chóp SABC có DABC vuông cân tại C. AB = 3a; SB =
a 14
.
2
uo
Gọi G là trọng tâm DABC; SG ^(ABC). Tính VSABC và d ( B,(SAC) ) ?
Hướng dẫn:
1
3a
Gọi I là trung điểm AB Þ CI = AB =
2
2
oc
S
1
Vì G là trọng tâm DABC Þ IG = IC
3
a
ta có DIGB vuông tại I
2
gb
Þ IG =
2
K
C
on
2
B
G
5a
Þ GB = IG + IB = . DSGB vuông tại G
2
2
I
A
Þ SG 2 = SB2 - GB2 = a 2 Þ SG = a .
kh
1
3a 3
VSABC = SG.SDABC =
. Kẻ GK//BC (K Î AC) Þ AC ^ (SGK) Þ
3
4
SK ^ AC. Xét tam giác vuông KGC ta có: GK= GC.sin450 =
SK2 = SG2 + GK2 Þ SK =
a 6
.
2
Trong DAIC vuông tại I, ta có AC = IA 2 + IC2 =
SKKN năm học 2013- 2014
a
;
2
3a
.
2
17
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
3VSABC
1
3a 2 3
S∆SAC = SK.AC =
Þ dB; (SAC)) =
=a 3
2
4
SSAC
Nhận xét: Học sinh có thể tính d ( B,(SAC) ) thông qua d ( G;(SAC) )
Ví dụ 6.3: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a; BC = 2a; AA’= a.
om
Lấy M Î AD sao cho AM = 3MD. Tính d ( M,(AB'C) ) theo a?
Hướng dẫn:
3
D’
C
B
I
A’
C’
B’
oc
u
1
a
VMAB 'C = BB'.SDAMC =
3
4
A
2
D
.c
Ta có: SDMAC
2
2 1
2a
= .SDADC = . a.2a =
3
3 2
3
M
oc
VMAB 'C
1
= VB' MAC = SDMAC .d ( B';(MAC) )
3
Ta có: AC2 = CB'2 = 5a Þ DCAB' cân tại C.
3V
3a 2
3a 2
a
Þ d ( M, ( AB'C ) ) = MAB'C =
CI = CA - AI =
Þ SDACB' =
2
SDAB'C
2
2
2
gb
2
4. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỨ DIỆN VUÔNG ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH
on
Ta có kết quả sau:
Cho tứ diện OABC, với OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là hình
kh
chiếu của O lên (ABC) Þ d ( O,(ABC) ) = OH và
1
1
1
1
=
+
+
OH 2 OA 2 OB2 OC2
Dựa vào kết quả trên, giáo viên hướng dẫn học sinh giải ví dụ 6.3 bằng
cách dựa vào tứ diện BAB’C.
Gọi d ( B,(AB'C) ) = h ta có:
1
1
1
1
9
2a
=
+
+
=
Þ
h
=
3
h 2 BA 2 BC2 BB'2 4a 2
BM Ç (AB’C) = I, ta tính d ( M,(AB'C) ) =
SKKN năm học 2013- 2014
IM
.d ( B,(AB'C) )
IB
18
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Ví dụ 1.4: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có các cạnh bằng a. Gọi O’ là
tâm mặt đáy A’B’C’D’, điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM =
3
BD .
4
Tính thể tích khối tứ diện ABMO’ và khoảng cách từ O’ đến (AMN)
Hướng dẫn:
A
2. Ta tìm tứ diện vuông có mặt đáy DAMN
D
om
1. Học sinh tự tính VABMO’
O
B
M
C
N.
Nhận thấy: OA, OM, ON đôi một vuông góc,
D’
c.
c
xét tứ diện vuông OAMN ta có:
A’
O’
B’
1
1
1
1
=
+
+
(với h = d(O,(AMN)),
h 2 OA 2 OM 2 ON 2
1
2
8
4 14
a
a
=
+
+
=
Þ
h
=
.
Vậy
d
O,(AMN)
=
(
)
h2 a2 a2 a2 a2
14
14
uo
tức là:
C’
a 14
14
oc
Gọi N là trung điểm OO’, ta có: d ( O ',(AMN) ) = d ( O',(AMN) )
Ví dụ 2.4:Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, J, K lần lượt là
gb
trung điểm CD, AD và DD’, O’ là tâm hình vuông A’B’C’D’. Tính d(O’,(IJK))
và tính VO’IJK ?
A
J
D
H
on
Hướng dẫn:
Ta tìm tứ diện vuông có đáy là DIJK.
I
B
Ta có: DI, DJ, DK đôi một vuông góc
C
A’
D’
kh
Þ Tứ diện DIJK là tứ diện vuông,
gọi h = d ( D',(IJK ) .
Ta có:
K
O’
B’
C’
1
1
1
1
4
4
4 12
a
=
+
+
=
+
+
=
Þ
h
=
.
h 2 DI 2 DJ 2 DK 2 a 2 a 2 a 2 a 2
12
ìA 'B / /IK
Þ ( A 'BC') / / ( IJK ) Þ O'B / / ( IJK )
í
A
'C'/
/IJ
î
SKKN năm học 2013- 2014
19
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Þ d ( O ',(IJK ) = d ( B,(IJK ) = 3d ( D,(IJK ) (vì BH Ç (IJK) = {H} và BH = 3HD)
Tức là d ( O';(IJK ) =
3a
a 3
=
. Nhận thấy DIJK là tam giác đều có cạnh
2
12
m
a 2
a2 3
1 a 2 3 a 3 a3
Þ SDIJK =
Þ VO ' IJK = .
.
=
(đvdt)
2
8
3 8
2
16
Ví dụ 5.4: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a; BC = b; AA’= a.
co
Gọi E là trung điểm A’D’. Tính khoảng cách từ E đến (BC’D) và tính VBC’DE ?
Hướng dẫn:
a 2 + b 2 ; C’D = a 2
D
a
B
uo
DBDC’ cân tại B. Gọi H = CD’ Ç C’D
b
A
c.
Ta có: BD = BC’ =
C
Þ H là trung điểm C’D và BH ^ C’D
a
2b + a
BH = a + b =
2
2
2
2
2
gb
oc
2
2
a
B’
H
E
A’
b
D’
C’
1
a a + 2b
SDBDC ' = BH.C'D =
. Trên (BCD’A’) ta có BH Ç CE = I. Ta tính
2
2
2
2
3
3
3
được : IE = IC Þ d ( E,(BC'D) ) = d ( C,(BC'D) ) = h . Xét tứ diện vuông
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
ab
=
+
+
=
+
+
Þ
h
=
h 2 CB2 CD 2 CC'2 b 2 a 2 a 2
a 2 + 2b 2
on
CBC’D ta có :
kh
Vậy VBC ' DE
1
3ab
a a 2 + 2b 2 a 2b
= .
.
=
3 2 a 2 + 2b 2
2
4
Ví dụ 3.4: Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông,
AB=BC=a; AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm BC , N là trung điểm BB’. Tính
khoảng cách từ B’ đến (AMN)?
Hướng dẫn:
Xét tứ diện BAMN ta có: BA, BM, BN đôi một vuông góc. Gọi h là khoảng
SKKN năm học 2013- 2014
20
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
cách từ B đến (AMN).
Ta có:
A
1
1
1
1
=
+
+
h 2 BA 2 BM 2 BN 2
C
a
a
M
B
1
2
4
7
a 7
= 2 + 2 + 2 = 2 Þ h=
7
a
a
a
a
A’
Do BB’ Ç (AMN) = {N} và N là trung
C’
điểm BB’ Þ d ( B',(AMN) ) = d ( B,(AMN) ) =
om
N
a 7
7
B’
.c
Ví dụ 4.4: Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông
· 'C = 30o . Tính theo a thể tích ABA’C’ là
cân tại B, biết BA=BC=a; BA
A
cu
Hướng dẫn:
oc
d ( C,(A 'BC') ?
C
B
ìBC ^ AB
Ta có: í
Þ BC ^ ( ABB'A ' )
îBC ^ BB'
I
bo
Þ DBA 'C vuông cân tại B có
A’
C’
· 'C = 30o Þ A 'B = BC = a 3
BA
tan 30o
ng
Mặt khác: AA ' = BA '2 - AB2 = a 2
B’
1
1
1
a3
VABA 'C ' = VABCA ' B 'C ' = .SDABC .AA ' = AB.BC.AA ' =
3
3
6
3 2
kh
o
CB’ Ç (A’BC’) tại trung điểm I của CB’ Þ d ( C;(A 'BC') ) = d ( B';(A 'BC') ) = h
Do B’A’; B’B; B’C’ đôi một vuông góc, xét tứ diện vuông B’A’BC’ ta có:
1
1
1
1
5
a 2
=
+
+
=
Þ
d
=
h 2 B'B2 B'A '2 B'C'2 2a 2
5
SKKN năm học 2013- 2014
21
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
5. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ HOÁ
Trong chương trình hình học lớp 12, các em đã được học phương pháp tọa
độ trong không gian. Ngoài việc vận dụng các kiến thức để giải các bài toán
trong hệ tọa độ Oxyz, chúng ta còn có thể vận dụng phương pháp tọa độ để giải
một số bài toán hình học tổng hợp.
om
Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta
cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa
vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình. Cụ thể phương pháp như sau
.c
1/ Phương pháp:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp. (Quyết định sự thành công của bài
oc
toán)
Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan.
Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán.
cu
2/ Các dạng toán thường gặp:
+ Định tính: Chứng minh các quan hệ vuông góc, song song, …
+ Định lượng: Độ dài đoạn thẳng, góc, khoảng cách, tính diện tích, thể
gb
o
tích, diện tích thiết diện, …
+ Bài toán cực trị, quỹ tích.
3/ Một số mô hình có thể dùng phương pháp tọa độ hóa
+ Hình tứ diện vuông: chọn hệ tọa độ có gốc tại đỉnh vuông, các trục là
kh
on
các cạnh
+ Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy là hình vuông
(hoặc hình chữ nhật). Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vuông.
+ Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông (hoặc hình thoi) tâm O đường
cao SO vuông góc với đáy. Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là
Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b;
0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h)
+ hình hộp chữ nhật. Ta chọn hệ tọa độ có gốc tại một đỉnh vuông, các
trục là các cạnh của hình hộp.
.....
SKKN năm học 2013- 2014
22
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
4/ Mt s vớ d
Bi 1.5. Cho hỡnh lng tr ABCDABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh
vuụng cnh a; AA = a, hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn (ABCD) trựng vi im
1. Tớnh VAIKD ?
A
D
A
om
I ca AB. Gi K l trung im BC.
2. Tớnh d(I;(AKD)) ?
B
C
Hng dn:
ổa
ử
I = O(0;0;0); B ỗ ;0;0 ữ ; M ( 0;a;0 )
ố2
ứ
I
x
B
(M l trung im CD). A ẻ Oz.
K
uo
ổ a
ử
ổ a
ử
ổa
ử
Ta cú: a ỗ - ;0;0 ữ ; D ỗ - ;a;0 ữ ; C ỗ ;a;0 ữ
ố 2
ứ
ố 2
ứ
ố2
ứ
ổ
3a 2
3a
a 3ử
ị IA ' =
. Vy A ' ỗ 0;0
ữ;
2
4
2
ố
ứ
oc
I'2 = AA '2 - IA 2 =
D
c.
c
1. Chn h trc to Oxyz sao cho
y
M
C
ổa a ử
K ỗ ; ;0 ữ
ố2 2 ứ
gb
uur ổ a a ử uur ổ a
a 3ử
ử uuur ổ
Khi ú: IK ỗ ; ;0 ữ ; ID ỗ - ;a;0 ữ ; IA ' ỗ 0;0;
ữ.
2
ố2 2 ứ
ố 2
ứ
ố
ứ
uur uur ổ
3a 2 ử
1
ộ
ự
Ta cú: ở IK, ID ỷ = ỗ 0;0;
ị VA 'IKD =
ữ
6
4 ứ
ố
3
uur uur uuur
ộ IK, ID ự .IA ' = a 3 (vtt)
ở
ỷ
16
kh
on
uuuur ổ a a a 3 ử a
a r uuuur ổ a
a 3ử a
ar
2, A'Kỗ ; ; ữ = 1;1; - 3 = .u ; A'D ỗ - ;a; ữ = -1;2; - 3 = .v
2 ứ 2
2
2 ứ 2
2
ố2 2
ố 2
r
r r
Mp(AKD) cú vộc t phỏp tuyn n = ộở u;v ựỷ = 3;2 3;3 = 3 1;2; 3 .
(
)
(
(
)
)
(
)
ổ a 3ử
3a
Phng trỡnh mp(AKD) l: 1( x - 0) + 2( y - 0) + 3 ỗ z ữ = x + 2y + 3z - = 0
2 ứ
2
ố
2x + 4y + 2 3z -
-3a
3a
3a
3a 2
= 0 ị d ( I; ( A 'KD ) ) =
=
=
2
8
4 + 16 + 12
32
SKKN nm hc 2013- 2014
23
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
ã
Bi 2.5: Cho hỡnh chúp SABCD, ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh a; ABC
= 120o ;
O = AC ầ BD ; I l trung im SA; E l trung im AB; SB ^ (ABCD);
SAC ) ; ( ABCD ) ) = 45 .
((ã
o
1. Tớnh VSACE ?
S
z
Hng dn:
I.
Bi toỏn ny hc sinh ó gii 5,
co
m
2. Tớnh d(SD,CI) ?
B
nhng tớnh toỏn tng i cng knh.
C
Oxyz sao cho O(0;0;0);
y
A
D
y
uo
ổa 3
ử
ổ a ử ổ a aử
Aỗ
;0;0 ữ ; D ỗ 0; ;0 ữ ; S ỗ 0; ' ữ .
ố 2 ứ ố 2 2ứ
ố 2
ứ
c.
O
Ta cú th t hỡnh chúp vo h to
ổa 3 a aử
Iỗ
; ; ữ
2
4 4ứ
ố
on
gb
oc
ổ a 3
ử
a ử
ổ
Ta cú: C ỗ ;0;0 ữ ; B ỗ 0; - ;0 ữ ;
2 ứ
ố
ố 2
ứ
uur ổ 3a 3 a a ử a
a r uuur ổ
aử
a
a r
CI ỗ
; ; ữ = 3 3;1;1 = .u ; SD ỗ 0; -a; - ữ = - ( 0;2;1) = - .v
4
2ứ
2
2
ố
ố 4 4 4ứ 4
(
)
Mt phng (a) cha CI v song song SD cú vộc t phỏp tuyn
r
r r
a 3
n = ộở u, v ựỷ = -1; -3 3;6 3 . Phng trỡnh (a) l: x + 3 3y - 6 3z +
=0
2
(
kh
Ta cú d ( D;(a) ) =
)
a 3
.
136
Bi 3.5: Cho lng tr ng ABCABC, DABC u cnh a, (AC;(ABC) =60o.
1. Tớnh VABCABC ?
2. Tớnh d(AB, BC) ?
SKKN nm hc 2013- 2014
24
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
1. Hc sinh t tớnh VABCABC
(
)
ã
ã 'C = 60o
2. Ta cú A
'C;)ABC = A
A
C
ị AA ' = a 3 .
A 0 ( 0;0;0 ) . Tia Ox ngc hng
vi tia BM (vi M l trung im AC).
(
)
C
c.
co
C ( 0;a;0 ) v A ' 0;0;a 3 . Khi ú
ổa 3 a ử
ổa 3 a
ử
Bỗ
; ;0 ữ ; B' ỗ
; ;a 3 ữ ; C' 0;a;a 3
ố 2 2 ứ
ố 2 2
ứ
)
uuuur ổ a 3 a
ử a
Ta cú: C'B ỗ
; - ; -a 3 ữ =
2
ố 2
ứ 2
(
)
uuuur ổ a 3 a
ử a
AB' ỗ
; ;a 3 ữ =
ố 2 2
ứ 2
)
(
B
a r
3; -1; -2 3 = .u ;
2
uo
(
M
A
m
B
Chn h trc to Oxyz sao cho:
a r
3;1;2 3 = .v . Mt phng (a) cha BC v song
2
bo
c
r
r r
song AB cú vộc t phỏp tuyn n = ộở u, v ựỷ = 0; -12;2 3 .
(
)
Phng trỡnh mt phng (a) l: -6y + 3z + 3a = 0
3a
39
=
a 39
.
13
on
g
ị d ( AB';BC') = d ( AB';(a) ) = d ( A;(a) ) =
Bi 4.5: Cho hỡnh chúp SABCD, ỏy ABCD l hỡnh vuụng; SA = a; SA
^(ABCD) Gi M, N ln lt l trung im AD, DC. Gúc gia (SBM) v (ABC)
kh
bng 45o. Tớnh khong cỏch t D n (SBM) ?
Hng dn:
(
)
ã
SBM ) ; ( ABC ) = SHA
= 45o ị AH = a . t AB = x; (x > 0)
Ta cú (ã
Xột tam giỏc vuụng ABM ta cú:
SKKN nm hc 2013- 2014
1
1
4
= 2 + 2 ị x = AB = a 5
2
AH
x
x
25
