Tổ hợp và xác suất nguyễn MInh đức

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
“TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC

Toå Hôïp
&
Xaùc suaát

Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung

Gmail:


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
“TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC

Sau đây, Nguyễn Minh Đức xin được giới thiệu chuyên đề nhỏ tổng hợp
một số bài toán về mảng kiến thức “ Tổ Hợp-Xác Suất”. Như một điều hiển nhiên,
“Tổ Hợp-Xác Suất” là một phần không mấy vắng mặt trong các đề thi ĐH trước năm
2015. Năm học 2015 này, các sĩ tử đứng trước một kì thi với hình thức mới gọi là kì
thì THPT Quốc gia chung. Với hình thức thi mới kèm theo đó là cấu trúc mới nhưng
“Tổ Hợp-Xác Suất” vẫn không thể thiếu trong tờ đề thi của bộ, thậm chí được xếp
vào những câu chốt và có chút làm khó thi sinh dự thi. Vậy nên, để đáp ứng nhu cầu
ôn luyện của bản thân cũng như là món quà nhỏ gửi đến các sĩ tử đang trong quá
trình ôn luyện thi THPT Quốc gia chung năm học 2015, tôi xin viết lên tài liệu này.
Trong quá trình viết không thể không gặp nhiều sai sót. Mong bạn đọc có thể đóng
góp để tài liệu được hoàn thiện hơn! Thân!
My Facebook: www.facebook.com/minhduck2pipu
PHẦN I: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN:
Bài Toán 1: (ViettelStudy-2014)
Một lớp học có 30 học sinh. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt động
12

của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là
. Tính số học sinh nữ
29
của lớp.
Hướng Dẫn Giải:



, n  28



Gọi số học sinh của lớp là n n 



Số cách chọn ra ba học sinh bất kì là: C303 cách



Số cách chọn ra ba học sinh trong đó có 2 nam và 1 nữ là: C302 nCn1 cách.



Theo bài ra ta có:

*

(1).

 n  14
C302 nCn1 12
2

  n  14  n  45  240  0  
2
3
 n  45  1065  
C30
29

2
 Từ (1) và (2) suy ra: n  14. Vậy số học sinh nữ của lớp là 14 học sinh.
Bài Toán 2: (ViettelStudy-2014)
Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt chọn từ các chữ số
0,1,2,3,4,5. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất
để số được chọn có chữ số 5.
Hướng Dẫn Giải:







Gọi a1a2 a3a4 a5 (với ai 0,1, 2,3, 4,5 , a1  0 ) là số thuộc tập S.



Xác định số phần tử của S:

- a1 có 5 cách chọn.
-

Lập a2 a3a4 a5 có A54 cách chọn.

Vậy số phần tử của S là: 5.A54

Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung

Gmail:


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
“TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC



Gọi A là biến cố số được chọn có chữ số 5. Suy ra A là biến cố số được chọn
không có số 5.

 

Vậy n A là số các số có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số

0,1, 2,3, 4 . Suy ra:

 

n A  4. A44  96 (số).



Từ đó ta có: n  A  600  96  504 (số).



Vậy suy ra:
P  A 

504 21
 .
600 25

Bài Toán 3:
Từ các chữ số 1, 2,3, 4,5,6 lập các số có 4 chữ số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một
số trong các số được lập, tính xác suất để trong số được lấy có 2 chữ số chẵn, 2 số
lẻ.
Hướng Dẫn Giải:


Đặt: S  1, 2,3, 4,5,6



Số các số có 4 chữ số được lập từ tập S là: A64 số.



Số cách chọn ra 2 chữ số chẵn trong tập S là: C32 cách.
Số cách chọn ra 2 chữ số lẻ trong tập S là:

C32 cách.

Từ 4 chữ số được chọn ta lập số có 4 chữ số khác nhau, mỗi số được lập ứng
với hoán vị của 4 phần tử. Suy ra số các số có 4 chữ số lập từ S mà trong mỗi
số có 2 chữ số chẵn, 2 chữ số lẻ là: 4!.C32 .C32 số.


Gọi A là biến cố số có 4 chữ số lập từ tập S mà trong mỗi số có 2 chữ số chẵn,
2 chữ số lẻ. Suy ra:

P  A 

4!.C32 .C32 3
 .
A64
5

Bài Toán 4:
Trong giờ Thể dục, tổ 1 của lớp 11A có 12 học sinh gồm 7 học sinh nam và 5 học
sinh nữ tập trung ngẫu nhiên thành một hàng dọc. Tính xác suất để người đứng đầu
hàng và cuối hàng đều là học sinh nam.
Hướng Dẫn Giải:



Số cách tập trung ngẫu nhiên thành một hàng dọc của tổ 1 là: 12! cách.
Gọi A là biến cố tập trung tổ 1 theo một hàng dọc mà luôn có học sinh nam
đứng đầu và cuối hàng.Khi đó ta có: n  A  A72 .10! (cách).



Vậy suy ra:

Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung

Gmail:


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
“TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC

P  A 

A72 .10! 7
 .
12!
22

Bài Toán 5:
Một hộp chứa 5 bi xanh, 7 bi đỏ và 8 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 8 viên bi từ hộp.
Tính xác suất để 8 viên bi được lấy ra có đủ ba màu.
Hướng Dẫn Giải:


8
Số cách lấy ra 8 viên bi bất kì từ hộp là: C20
cách.



Ta đi tìm số cách lấy 8 viên bi từ hộp không có đủ ba màu:
- Trường hợp 1: Lấy ra 8 viên bi chỉ có một màu.
Trường hợp này chỉ chọn được màu vàng, suy ra có: C88 = 1 cách.
-

Trường hợp 2: Lấy ra 8 viên bi có 2 màu.
a) Nếu 2 màu xanh và đỏ có: C128 cách.
b) Nếu 2 màu đỏ và vàng có: C158  C88 cách.
c) Nếu 2 màu vàng và xanh có: C138  C88 cách.




Vậy trường hợp này có: C128  C158  C88  C138  C88  8215 cách.
Suy ra số cách lấy 8 viên bi từ hộp không có đủ ba màu là: 8216 cách.
Gọi A là biến cố lấy ra 8 viên bi có đủ 3 màu. Khi đó suy ra:
8216 4529
P  A  1  8 
.
C20
4845

Bài Toán 6:
Cần chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong một lớp học có 15 nam và 10 nữ để tham gia
đồng diễn. Tính xác suất sao cho 5 học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ và số học
sinh nữ ít hơn số học sinh nam.
Hướng Dẫn Giải:


5
Số cách chọn ra 5 học sinh trong lớp học 25 học sinh là: C25
cách.



Gọi A là biến cố 5 học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ và số học sinh nữ ít
hơn số học sinh nam.
Trường hợp 1: Có 1 học sinh nữ, 4 học sinh nam.
1
 Trường hợp này có: C10
.C154 cách.
Trường hợp 2: Có 2 học sinh nữ, 3 học sinh nam.
 Trường hợp này có: C102 .C153 cách.



1
.C154  C102 .C153 (cách).
Từ đó suy ra: n  A  C10



Vậy ta có:

Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung

Gmail:

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
“TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC

P  A 

1
C10
.C154  C102 .C153 325

.
5
C25
506

Bài Toán 7: (Chuyên Vĩnh Phúc-2014)
Một chiếc hộp đựng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím và 3
cái bút màu đỏ được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên ra 4 cái bút.
Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu.
Hướng Dẫn Giải:





Số cách lấy 4 chiếc bút bất kì từ 20 chiếc bút đã cho là: C204 cách.
Gọi A là biến cố lấy được ít nhất hai bút cùng màu.
Ta đi tìm số cách lấy ra 4 bút trong đó không có 2 cái nào cùng màu với nhau:
 Trường hợp này có: C61C61.C51.C31 cách.
Vậy suy ra:
C1C1.C1.C1 287

P  A  1  6 6 4 5 3 
.
C20
323

Bài Toán 8: (Chuyên Vĩnh Phúc-2014)
Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30 . Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tìm xác suất
để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ
mang số chia hết cho 10 .
Hướng Dẫn Giải:




10
Số cách chọn ra 10 tấm thẻ từ 30 tấm thẻ là: C30
cách.
Gọi A là biến cố “5 tấm thẻ mang số lẻ,5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có
đúng 1 tấm thẻ chia hết cho 10”.
Số cách chọn 5 tấm thẻ trong 15 tấm mang số lẻ là: C155 cách.
Số cách chọn 4 tấm thẻ trong 12 tấm mang sỗ chẳn mà không chia hêt cho 10
là: C124 cách.
Số cách chọn 1 tấm thẻ trong 3 tấm thẻ còn lại (ba tấm này đều mang số chia
hết cho 10 là 10,20,30) là: C31 .

Từ đó ta suy ra: n  A  C155 C124 C31 (cách).


Vậy suy ra:

P  A 

C155 C124 C31 99

.
10
C30
667

Bài Toán 9:
Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số {0;1; 2;3; 4} và xếp
thành hàng ngang từ trái sang phải . Tính xác suất để nhận được một số tự nhiên có
3 chữ số.
Hướng Dẫn Giải:

Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung

Gmail:


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
“TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC





Đặt: S={0,1,2,3,4}.
Số cách lấy 3 chữ số khác nhau trong tập S và xếp chúng thành hàng ngang từ
trái sang phải là: A53 cách.

Gọi A là biến cố nhận được một số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau.
Giả sử số tự nhiên có 3 chữ số được tạo thành là abc  a  0; a, b, c  S  .
Khi đó: a có 4 cách chọn.
b có 4 cách chọn.
c có 3 cách chọn.
Từ đó ta suy ra: n  A  4.4.3 (số).



Vậy ta có:
P  A 

4.4.3 4
 .
A53
5

Bài Toán 10: (Vĩnh Phúc-2014)
Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. Lấy
ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được
lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng.
Hướng Dẫn Giải:




Số cách lấy ra 4 quả cầu bất kì trong hộp là: C164 cách.
Gọi A là biến cố lấy ra 4 quả cầu trong đó có đúng một quả cầu màu đỏ và
không quá hai quả màu vàng.
Ta xét 3 trường hợp sau:

- Trường hợp 1: Có 1 quả đỏ, 3 quả xanh.
 Trường hợp này có: C41 .C53 cách.
- Trường hợp 2: Có 1 quả đỏ, 2 quả xanh và 1 quả vàng.
 Trường hợp này có: C41 .C52 .C71 cách.
- Trường hợp 3: Có 1 quả đỏ, 1 quả xanh và 2 quả vàng.
 Trường hợp này có: C41 .C51.C72 cách.

Từ đó ta suy ra: n  A  C41 .C53  C41 .C52 .C71  C41 .C51.C72 (cách).


Vậy ta có:

C41 .C53  C41 .C52 .C71  C41 .C51.C72 37
P  A 
 .
C164
91
Bài Toán 11:
Gọi M là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các
chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M, tính xác suất để số được
chọn là số có tổng các chữ số là một số lẻ.
Hướng Dẫn Giải:




Đặt: S={0,1,2,3,4,5,6}.
Gọi số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ S là: a1a2 a3 .
Tính số các số có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ S:
- a1 có 6 cách. Lập a2 a3 có A62 cách.

Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung

Gmail:


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
“TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC

Từ đó suy ra: n  M   6. A62 (số).



Gọi A là biến cố số chọn ra có tổng các chữ số là một số lẻ.
Tính số các số có ba chữ số đôi một khác nhau trong M và có tổng các chữ số
là số lẻ:
- Trường hợp 1: Có 1 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn:
 Trường hợp này có: C31.C42 .3! C31.C41 .2!  84 số.
- Trường hợp 2: Có 3 chữ số lẻ:
 Trường hợp này có: 3!  6 số.
Từ đó suy ra được: n  A  90 (số).



Vậy suy ra:
P  A 

90
1
 .

2
6. A6 2

Bài Toán 12:
Một hộp chứa 11 bi được đánh số từ 1 đến 11. Chọn 6 bi một cách ngẫu nhiên rồi
cộng các số trên 6 bi được rút ra với nhau. Tính xác suất để kết quả thu được là số
lẻ.
Hướng Dẫn Giải:




Số cách rút 6 viên bi bất kì từ 11 viên bi là: C116 cách.
Gọi A là biến cố thu được là số lẻ.
Tính số cách rút 6 viên bi sao cho tổng các số trên 6 viên bi đó là số lẻ :
Ta có 3 trường hợp sau:
- Trường hợp 1: Có 1 bi mang số chẵn, 5 bi mang số lẻ.
 Trường hợp này có: C61.C55 cách.
- Trường hợp 2: Có 3 bi mang số lẻ, 3 bi mang số chẵn.
 Trường hợp này có: C63 .C53 cách.
- Trường hợp 3: Có 5 bi mang số lẻ, 1 bi mang số chẵn.
 Trường hợp này có: C65 .C51 cách.

Từ đó suy ra: n  A  C61.C55  C63 .C53  C65 .C51 (cách).


Vậy suy ra:

P  A 

C61.C55  C63 .C53  C65 .C51 118

.
C116
231

Bài Toán 13:
Trong kì tuyển sinh năm 2015, trường THPT Lê Quảng Chí có 5 học sinh gồm 3
nam và 2 nữ cùng đậu vào khoa A của một trường đại học. Số sinh viên đậu vào
khoa A được chia ngẫu nhiên thành 4 lớp. Tính xác suất để có một lớp có đúng 2
nam và 1 nữ của trường THPT Lê Quảng Chí.
Hướng Dẫn Giải:


Với mỗi học sinh có 4 cách sắp xếp học sinh đó vào 4 lớp. Do đó, số cách xếp
5 học sinh vào 4 lớp là 45 cách.

Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung

Gmail:


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
“TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC






Gọi X là biến cố chia được một lớp có đúng 2 nam và 1 nữ của trường THPT
Lê Quảng Chí.
Số cách chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ trong 5 học sinh là: C32 .C21 cách.
Ứng với mỗi cách chọn trên , có 4 cách xếp 3 học sinh đó vào một lớp và có
32 cách xếp 2 học sinh còn lại vào 3 lớp còn lại.
Vậy số cách sắp xếp có 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ của trường THPT Lê
Quảng Chí vào một lớp là: 4.32.C32 .C21 cách hay n  X   4.32 C32 .C21 (cách).
Từ đó suy ra:

P X  

4.32 C32 .C21 27

.
45
128

Bài Toán 14:
Cho tập E={1,2,3,4,5}. Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm 3
chữ số đôi một khác nhau thuộc tập E. Tính xác suất để trong hai số đó có đúng
một số có chữ số 5.
Hướng Dẫn Giải:







Số các số có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ E là: A53 =60 số.

Suy ra số cách viết 2 số lên bảng mà mỗi số có 3 chữ số đôi một khác nhau
được lập từ E là: C602 cách.
Số các số có 3 chữ số mà trong mỗi số không có mặt chữ số 5 được lập từ E là:
A43  24 (số).
 Số các số có 3 chữ số mà trong mỗi số có mặt chữ số 5 được lập từ E là:
60  24  36 (số).
Gọi A là biến cố viết lên bảng hai số mà trong hai số đó có đúng một số có
chữ số 5.
Ta có, số cách viết hai số lên bảng mà trong đó có đúng một số có chữ số 5 là:
1
1
C24
.C36
1
1
.C36
Từ đó suy ra: n  A  C24
(cách).



Vậy ta có:

P  A 

1
1
C24
.C36
144


.
2
C60
295

Bài Toán 15:
Một hộp có 5 viên bi đỏ ,3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh .Hỏi có bao nhiêu cách
lấy ra 4 viên bi trong đó số bi đỏ lớn hơn số bi vàng.
Hướng Dẫn Giải:


Ta có 6 trường hợp sau:
- Trường hợp 1: Cả 4 viên được lấy ra đều là bi đỏ.
 Trường hợp này có C54 cách.
- Trường hợp 2: Có 3 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng.
 Trường hợp này có C53 .C31 cách.

Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung

Gmail:


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
“TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC

Trường hợp 3: Có 3 viên bi đỏ, 1 viên bi xanh.
 Trường hợp này có C53 .C41 cách.
- Trường hợp 4: Có 2 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh.
 Trường hợp này có C52 .C42 cách.

- Trường hợp 5: Có 1 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh.
 Trường hợp này có C51.C43 cách.
- Trường hợp 6: Có 2 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng và 1 viên bi xanh.
 Trường hợp này có C52 .C31.C41 cách.
Từ các trường hợp trên ta suy ra, số cách lấy ra 4 viên bi thỏa mãn yêu cầu bài
toán là:
C54  C53 .C31  C53 .C41  C52 .C42  C51.C43  C52 .C31.C41  275 cách.
-



Bài Toán 16:
Trong một lớp học gồm có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu
nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả
học sinh nam và học sinh nữ.
Hướng Dẫn Giải:


Số cách chọn 4 học sinh bất kì trong lớp lên bảng là: C354 cách.




Gọi A là biến cố 4 học sinh lên bảng có cả học sinh nam và học sinh nữ.
Ta đi tính số cách gọi 4 học sinh lên bảng có cả học sinh nam và học sinh nữ:
Ta có 3 trường hợp sau:
- Trường hợp 1: Có 1 học sinh nam, 3 học sinh nữ.
1
 Trường hợp này có: C20
.C153 cách.

-

Trường hợp 2: Có 2 học sinh nam, 2 học sinh nữ.
2
 Trường hợp này có: C20
.C152 cách.

-

Trường hợp 3: Có 3 học sinh nam, 1 học sinh nữ.
3
1
 Trường hợp này có: C20
.C15
cách.

1
2
3
1
.C153  C20
.C152  C20
.C15
Từ đó suy ra: n  A  C20
(cách).



Vậy ta có:

P  A 

1
2
3
1
C20
.C153  C20
.C152  C20
.C15
4615

.
4
C35
5236

Bài Toán 17:
Cho hai đường thẳng song song d1 và d 2 . Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân
biệt, trên đường thẳng d 2 có n điểm phân biệt  n  3, n  * .Biết rằng có 2800
tam giác có đỉnh là các điểm đã cho.Tìm n.
Hướng Dẫn Giải:
Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung

Gmail:


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
“TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC



Ta có số tam giác có thể tạo từ các điểm thuộc d1 và d 2 là:
Cn310  C103  Cn3



Theo đề bài ta suy ra:
Cn310  C103  Cn3  2800

  n  10  n  9  n  8   10.9.8  n  n  1 n  2   2800.6
 n 2  8n  560  0

 n  20  Do n  3, n  *


Vậy n  20 điểm.

Bài Toán 18:
Một hộp có 5 viên bi xanh,6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5
viên bi trong hộp.Tính xác suất của biến cố 5 viên được chọn có đủ màu và số bi
đỏ bằng số bi vàng.
Hướng Dẫn Giải:




Số cách lấy ngẫu nhiên 5 viên bất kì từ hộp là: C185 cách.
Gọi A là biến cố 5 viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi đỏ bằng số bi
vàng.

Tính n  A :
- Trường hợp 1: Có 1 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng và 3 viên bi xanh:
 Trường hợp này có: C61.C71 .C53 cách.
- Trường hợp 2: Có 2 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng và 1 viên bi xanh.
 Trường hợp này có: C62 .C72 .C51 cách.
-



Từ đó suy ra: n  A  C61.C71 .C53  C62 .C72 .C51 (cách).

Vậy ta có:

P  A 

C61.C71 .C53  C62 .C72 .C51 95

.
C185
408

Bài Toán 19:
Biển số xe là một dãy gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ
cái được lấy từ 26 chữ cái từ A,B,C,…….,Z. Các chữ số được chọn từ 10 chữ số là
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Hỏi có bao nhiêu biển số xe có hai chữ số khác nhau, đồng thời
có hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đó giống nhau.
( Có phân biệt vị trí sắp xếp các chữ cái và chữ số giữa các biển số với nhau:
VD: AK 1698 và KA 1698 )
Hướng Dẫn Giải:


Chọn hai chữ số khác nhau, ta có số cách chọn là: A262 cách.



Chọn hai số lẻ giống nhau ta có 5 cách.

Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung

Gmail:


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
“TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC



Chọn 2 vị trí trong 4 vị trí để đặt 2 chữ số lẻ giống nhau, đây là cách chọn 2 vị
trí trong 4 vị trí mà không quan tâm đến thứ tự sắp xếp. Do đó có C42 cách.



Sắp xếp 2 chữ số chẵn vào 2 vị trí còn lại, đây là cách chọn 2 phần tử có thể
lặp lại trong 5 phần tử. Mỗi vị trí đều có năm cách chọn. Do đó có 52 cách.
Từ đó ta suy ra, số biển xe thỏa mãn yêu cầu đề bài là:
2
A26
.5.C42 .52  487500 (cách)



Bài Toán 20:
1
. Lớp học đủ
4
ánh sáng nếu có ít nhất 4 bòng đén sáng. Tìm xác suất để lớp học có đủ ánh sáng.

Trong lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng đèn có xác suất bị cháy là

Hướng Dẫn Giải:



Gọi A, B, C lần lượt là cách biến cố “ lớp có 6 bóng đèn sáng”, “lớp có 5 bóng
đèn sáng” và “lớp có 4 bóng đèn sáng ”.
3
Vì mỗi bóng có xác xuất sáng là . Theo công thức nhân ta có các kết quả
4
sau:
6

3
 P  A   
4

5


53 1
P

B

C
  
6 
 .
4

 4

4
2

43 1
 P  C   C6   .  

4 4



Do đó với S là biến cố lớp học đủ sáng thì:
P  S   P  A  P  B   P  C  

1701
  0,8306 
2048

Nguyễn Minh Đức
16-02-1998
K10A-Trường THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)

Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung

Gmail:


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
“TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC

PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO.
Bài Toán 21:
Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập
A, tính xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1.
Hướng Dẫn Giải:



Số các số tự nhiên có 5 chữ số là 9.104  90000 số.
Gọi số tự nhiên có 5 chữ số mà chia hết cho 7 và có chữ số hàng đơn vị bằng 1
là: a1a2 a3a41  a1  0  .



Ta có biến đổi sau:
a1a2 a3a41  3.a1a2 a3a4  1  7.a1a2 a3a4

(*)

Từ (*) ta có nhận xét: Để a1a2 a3a41 chia hết cho 7 thì 3.a1a2 a3a4  1 phải chia
hết cho 7.

7 x 1
x 1
Đặt: 3.a1a2 a3a4  1  7 x  x  *  .Suy ra: a1a2 a3a4 
 2x 
**
3
3
Từ (**) ta suy ra x  1 phải chia hết cho 3.Đặt x  1  3t  x  3t  1 t  * .





Khi đó: a1a2 a3a4  7t  2  1000  7t  2  9999  t 143,144,.....,1428 .
Vậy số cách chọn t sao cho số a1a 2 a3a41 chia hết cho 7 và có chữ số hàng


đơn vị bằng 1 là 1286 cách (ứng với mỗi t ta được một số a1a 2 a3a41 ).
Từ đó ta có xác suất cần tính là:
1286
643
P

  0, 0143
90000 45000

Bài Toán 22: (Đề Thi HSG Toán 11 cấp tỉnh-Thái Nguyên 2012)
Cho tập hợp A  1;2;3;...;18 . Có bao nhiêu cách chọn ra 5 số trong tập A sao
cho hiệu của hai số bất kì trong 5 số đó không nhỏ hơn 2.
Hướng Dẫn Giải:

Lời giải của Sở GD&ĐT Thái Nguyên (bài này khó quá mình không giải được,
tham khảo lời giải này nhé!  ):
 Ta cần tìm số phần tử của tập T sau:





T  (a1,a 2 ,...,a 5 ) : a1  a 2  ...  a 5 ; 1  a i  18; a i  a j  2


Xét tập hợp H  (b1,b2 ,...,b5 ) : b1  b 2  ...  b5 ; 1  bi  14

Xét ánh xạ f cho tương ứng mỗi bộ (a1 ,a 2 ,...,a 5 ) với bộ (b1,b2 ,...,b5 ) xác
định như sau:

b1  a1,b2  a 2  1,b3  a 3  2,b4  a 4  3,b5  a 5  4 .

Dễ thấy khi đó f là một song ánh, suy ra T  H .
Mặt khác mỗi bộ (b1,b2 ,...,b5 ) trong H là một tổ hợp chập 5 của 14 phần tử.
 Do đó
Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung

Gmail:


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
“TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC
5
H  C14

 2002 . Vậy T  2002 .

Bài Toán 23:
Từ các chữ số 0, 2, 3, 5, 6, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số
đôi một khác nhau, trong đó hai chữ số 0 và 5 không đứng cạnh nhau.
Hướng Dẫn Giải:



Đặt S={0,2,3,5,6,8}.
Gọi a1a2 a3a4 a5a6 là số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được thiết lập từ tập S.



Ta tính số cách lập thành một số a1a2 a3a4 a5a6 từ tập S.





-

a1 có 5 cách.

-

a2 a3a4 a5a6 có A55 cách.

Từ đó suy ra, có 5.A55 số gồm gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được thiết lập
từ tập S.

Ta đi tìm số các số 6 chữ số đôi một khác nhau được thiết lập từ tập S mà
trong mỗi số có hai chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau:
- Trong a1a2 a3a4 a5a6 có 5 vị trí để 0 và 5 đứng cạnh nhau trong đó vị trí đầu
bên trái chỉ có một khả năng là 50a3a4 a5a6 , các vị trí còn lại có thể hoán vị
0 và 5 cho nhau.
- Sau khi chọn được vị trí để hai chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau, ta chọn một
hoán vị của các chữ số còn lại.
Từ đó suy ra, có 9.4! số dạng a1a2 a3a4 a5a6 được lập từ S mà có hai chữ số 0
và 5 đứng cạnh nhau.
Vậy ta có 5. A55  9.4!  384 cách lập số tự nhiên có 6 chữ số từ tập S mà trong
mỗi số đó hai chữ số 0 và 5 không đứng cạnh nhau.

Bài Toán 24: (Đề nghị 30-4 2008).
Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số khác nhau đôi một, trong đó các chữ số
1,2,3,4,5 được xếp theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải nhưng các số 1,2,3,4,5,6
thì không được xếp như vậy?






Hướng Dẫn Giải:
Gọi số tự nhiên có 10 chữ số là a1a2 .....a9 a10  ai 0,1, 2,...,7,8,9 , a1  0  .
Theo yêu cầu đề bài thì các chữ số 1,2,3,4 và 6 nhất thiết phải đứng trước chữ
số 5. Do đó chữ số 5 chỉ có thể đứng ở các vị trí a6 , a7 , a8 , a9 ,a10 .
Ta xét lần lượt từng vị trí của chữ số 5 , rồi đến vị trí của chữ số 6, rồi vị trí
của bộ (1,2,3,4) và cuối cùng là vị trí của các chữ số còn lại.
Xét các trường hợp sau:
- Trường hợp a10  5 :

Chữ số 6 có 9 vị trí , bộ (1,2,3,4) có C84 vị trí và bốn chữ số 0,7,8,9 có 4!
vị trí. Như vậy có 9.C84 .4! cách sắp xếp kể cả a1  0 .

Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung

Gmail:


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
“TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC

Ta bỏ đi các trường hợp a1  0 ( có 8.C74 .3! cách sắp xếp).

 Trường hợp này có 9C84 .4! 8.C74 .3! số.



-

Trường hợp a9  5 ta có: 8.C74 .4! 7.C64 .3! số.

-

Trường hợp a8  5 ta có: 7.C64 .4! 6.C54 .3! số.

-

Trường hợp a7  5 ta có: 6.C54 .4! 5.C44 .3! số.

- Trường hợp a6  5 ta có: 5.C44 .4! số.

Từ các trường hợp trên, cộng lại ta suy ra số các số thỏa mãn đề bài là:
22680 (số).

Bài Toán 25:
Xếp 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ ngồi vào một bàn tròn 10 ghế. Tính xác suất
để không có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau.
Hướng Dẫn Giải:


Ta cố định vị trí cho một học sinh nữ, đánh các ghế còn lại từ 1 đến 9.
Khi đó ta có số không gian mẫu n     9! (cách).




Gọi A là biến cố không có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau.
Ta xét các trường hợp sau:
- Trường hợp 1: Có 1 học sinh nữ ngồi ghế số 2, 1 học sinh nữ ngồi ghế số
4, học sinh nữ còn lại ngồi các ghế vị trí 6,7,8; hoán vị 3 vị trí.
 Trường hợp này có 3.3! cách.
- Trường hợp 2: Có 1 học sinh nữ ngồi ghế số 2, 1 học sinh nữ ngồi ghế số 5
và học sinh nữ còn lại ngồi ghế số 7,8; hoán vị 3 vị trí.
 Trường hợp này có 2.3! cách.
- Trường hợp 3: Có 1 học sinh nữ ngồi ghế số 2, 1 học sinh nữ ngồi ghế số 6
và học sinh nữ còn lại ngồi ghế số 8; hoán vị 3 vị trí.
 Trường hợp này có 3! cách.
- Trường hợp 4: Có 1 học sinh nữ ngồi ghế số 3, 1 học sinh nữ ngồi ghế số 5
và học sinh nữ còn lại ngồi ghế số 7,8; hoán vị 3 vị trí.
 Trường hợp này có 2.3! cách.
- Trường hợp 5: Có 1 học sinh nữ ngồi ghế số 3, 1 học sinh nữ ngồi ghế số 6

và học sinh nữ còn lại ngồi ghế số 8; hoán vị 3 vị trí.
 Trường hợp này có 3! cách.
- Trường hợp 6: Có 1 học sinh nữ ngồi ghế số 4, 1 học sinh nữ ngồi ghế số 6
và học sinh nữ còn lại ngồi ghế số 8; hoán vị 3 vị trí.
 Trường hợp này có 3! cách.
Ứng với mỗi cách sắp xếp nữ như trên có 6 ! cách sắp xếp nam.
Từ đó suy ra:
n  A  6! 3.3! 2.3! 3! 2.3! 3! 3!  10.6!.3!
Vậy ta có:
10.6!.3! 5
P  A 
 .
9!
42




Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung

Gmail:


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
“TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC

[ Tài Liệu Tham Khảo ]
Cảm ơn các tài liệu sau đã làm nguồn đề, nguồn tài liệu cho Nguyễn Minh Đức hoàn
thành chuyên đề này:
1. Các đề thi thử đại học của Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc, Chuyên Vĩnh Phúc,

Chuyên Đại Học Vinh và một số tỉnh, trường trên cả nước.
2. Đề thi HSG cấp tỉnh Toán 11-Thái Nguyên năm học 2011-2012.
3. Một số đề thi thử của trung tâm Viettelstudy.
4. Một đề bài không rõ nguồn gốc, Nguyễn Minh Đức xin cảm ơn các tác
giả.

-The End-

Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung

Gmail: