Lược đồ sai phân khác thường giải một số phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

HOÀNG MẠNH TUẤN

LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG GIẢI
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

HOÀNG MẠNH TUẤN

LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG GIẢI
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS. TS. Đặng Quang Á

Hà Nội - 2015


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới GS. TS Đặng Quang Á, người đã dành nhiều thời gian, công
sức để hướng dẫn và tận tình chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện luận
văn.
Em xin phép được gửi lời cảm ơn đến ban lãnh đạo và các thầy cô giáo,
các anh/chị cán bộ trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung và khoa Toán
- Cơ - Tin học nói riêng vì đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất, giúp đỡ em
trong thời gian em học tập, nghiên cứu tại trường.
Em xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các anh chị và các bạn trong chuyên
nghành Toán ứng dụng vì những động viên và những ý kiến trao đổi quí báu
đối với bản thân em trong thời gian qua.
Lời cảm ơn sâu sắc và đặc biệt nhất xin được gửi đến gia đình và những
người thân vì những điều tốt đẹp nhất dành cho tôi trong cuộc sống, trong
học tập và nghiên cứu khoa học.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian có hạn và năng lực của
bản thân còn nhiều hạn chế, vì thế, bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn.
Hà Nội, ngày 16 tháng 01 năm 2015.
Học viên
Hoàng Mạnh Tuấn

1


Mục lục

LỜI CẢM ƠN

1

Mở đầu

4

1 Lược đồ sai phân khác thường

8

1.1

Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

Rời rạc hóa phương trình phân rã tuyến tính . . . . . . . . .

17

1.3

Rời rạc hóa hệ động lực học . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.4

Lược đồ sai phân chính xác . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.5

Lược đồ sai phân khác thường . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải phương trình vi
phân
2.1

44

Xây dựng lược đồ sai phân khác thường dựa trên rời rạc hóa
không địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.1.1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.1.2

Các lược đồ bảo toàn các tính chất đơn điệu . . . . . .

46

2.1.3

Xây dựng một vài lược đồ sai phân khác thường . . .

49

2.1.4

Xây dựng lược đồ sai phân khác thường chính xác cấp
hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

2.3

53

Lược đồ sai phân khác thường cho phương trình vi phân có
ba điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.2.1

Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.2.2

Xây dựng các lược đồ sai phân khác thường . . . . . .

60

Xây dựng các lược đồ sai phân khác thường bằng cách tái
chuẩn hóa mẫu số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2

64


2.3.1

Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

2.3.2

Một số ứng dụng

69

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải hệ phương trình
vi phân
3.1

3.2

72

Lược đồ sai phân khác thường bảo toàn tính chất ổn định cho
hệ động lực học nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

3.1.1

Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

3.1.2

Thử nghiệm số trong trường hợp hai chiều . . . . . . .

75

3.1.3

Thử nghiệm số trong trường hợp ba chiều . . . . . . .

82

Xây dựng lược đồ sai phân khác thường chính xác cấp hai . .

90

3.2.1

Xây dựng hệ điều kiện cho lược đồ chính xác cấp hai .

90

3.2.2

Lược đồ sai phân khác thường chính xác cấp hai cho
hệ Lotka - Voltera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.3

92

Các thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Tài liệu tham khảo

116

3


Mở đầu

Việc nghiên cứu các phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân là
một trong những vấn đề quan trọng của Toán học nói chung và Toán học
tính toán nói riêng. Do nhu cầu của thực tiễn và sự phát triển của lý thuyết
toán học, các nhà toán học đã tìm ra rất nhiều những phương pháp giải gần
đúng phương trình vi phân.
Một trong những kỹ thuật truyền thống được sử dụng rộng rãi trong việc
giải gần đúng phương trình vi phân, đặc biệt là các phương trình vi phân đạo
hàm riêng là sử dụng các lược đồ sai phân bình thường (Standard Difference
Scheme). Các lược đồ sai phân bình thường được xây dựng dựa trên việc rời
rạc hóa các đạo hàm xuất hiện trong phương trình vi phân bằng các công
thức sai phân. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp hạn chế của các lược đồ
sai phân bình thường là không bảo toàn được các tính chất của nghiệm của
phương trình vi phân tương ứng. Hiện tượng nghiệm của phương trình sai
phân (thu được từ các lược đồ sai phân) không phản ánh chính xác, hay
chính xác hơn là không bảo toàn được các tính chất của nghiệm của phương
trình vi phân tương ứng được gọi chung là hiện tượng không ổn định số
(Numerical Instabilities, xem [13, 16]).
Chẳng hạn, ta xét hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số

x (t) = −y(t),

x(0) = r,

y (t) = x(t),

y(0) = 0.

Trong trường hợp này, ta dễ dàng chỉ ra rằng nghiệm của hệ có tính chất

x2 (t) + y 2 (t) = r2 ,

∀t,

tức là, quỹ đạo tương ứng với đường tròn tâm O(0, 0), bán kính r2 . Nếu sử
dụng các lược đồ sai phân bình thường như các lược đồ thu được từ phương
4


pháp Euler hiển, Euler ẩn, hình thang ẩn thì chúng ta thấy rằng: Phương
pháp Euler hiển cho lời giải tương ứng với đường xoắn ốc ra, phương pháp
Euler ẩn cho lời giải tương ứng với đường xoắn ốc vào. Chỉ có phương pháp
hình thang bảo toàn tính chất bất biến của bài toán. Đây là một ví dụ đơn
giản cho hiện tượng bất ổn định số. Các phân tích cũng cho thấy rằng, hiện
tượng không ổn định số cũng xảy ra khi ta sử dụng các kỹ thuật tinh vi hơn
để xây dựng các lược đồ sai phân bình thường, chẳng hạn sử dụng phương
pháp Taylor hoặc phương pháp Runge - Kutta.
Nhìn chung, các lược đồ sai phân bình thường chỉ bảo toàn được các tính
chất nghiệm của phương trình vi phân khi ta sử dụng bước lưới h nhỏ. Tức
là, hiện tượng không ổn định số sẽ xảy ra khi bước lưới h được chọn lớn hơn
giá trị h∗ nào đó. Thông thường giá trị h∗ rất nhỏ. Vì thế, việc sử dụng các
lược đồ sai phân bình thường không có lợi thế khi giải các phương trình vi
phân trên đoạn tìm nghiệm lớn, chẳng hạn như đối với các hệ động lực học,
thời gian có thể tiến ra ∞.
Các phân tích cũng chỉ ra rằng, hiện tượng không ổn định số xảy ra khi
phương trình sai phân (rời rạc) không bảo toàn được các tính chất ổn định
tuyến tính cho các điểm bất động hay còn gọi là nghiệm hằng hoặc điểm cân
bằng của phương trình vi phân (liên tục). Chẳng hạn, phương trình sai phân
và phương trình vi phân không có cùng tập hợp điểm bất động. Các phương
pháp Runge - Kutta hoặc phương pháp Taylor thường sinh ra thêm các điểm
bất động giả (phụ thuộc vào bước lưới). Trong trường hợp phương trình sai

phân và phương trình vi phân có cùng tập hợp điểm bất động thì xảy ra
trường hợp có thể y(t) ≡ y¯ là điểm ổn định tuyến tính của phương trình vi
phân nhưng yk ≡ y¯ lại không phải điểm ổn định tuyến tính của phương trình
sai phân tương ứng.
Tổng quát hơn, hiện tượng bất ổn định số xảy ra khi nghiệm của phương
trình sai phân không thỏa mãn các điều kiện mà nghiệm của phương trình
vi phân thỏa mãn. Các tính chất chúng ta quan tâm ở đây là tính chất đơn
điệu, tính bị chặn, tính dương, tính tuần hoàn và các tính chất bất biến. . . Nói
chung, khi sử dụng cỡ bước lớn thì các lược đồ sai phân bình thường không
bảo toàn được các tính chất này. Trong các phần trình bày của luận văn,
5


chúng ta sẽ phân tích rõ hơn vấn đề này.
Lược đồ sai phân khác thường được được đề xuất bởi R. E. Mickens vào
năm 1980. Lược đồ sai phân khác thường là lược đồ sai phân được xây dựng
dựa trên một bộ quy tắc xác định, các quy tắc này được đưa ra bởi R. E.
Mickens dựa trên các phân tích hiện tượng không ổn định số xảy ra khi sử
dụng các lược đồ sai phân bình thường. Hai quy tắc quan trọng trong việc
xây dựng các lược đồ sai phân khác thường là
1. Các đạo hàm xuất hiện trong phương trình vi phân nên được rời rạc hóa
bằng công thức phức tạp hơn các công thức rời rạc hóa thông thường,
chẳng hạn, như công thức sai phân tiến, sai phân lùi, sai phân trung
tâm . . .
2. Các số hạng phi tuyến xuất hiện trong vế phải của phương trình vi phân
nên được rời rạc hóa không địa phương, tức là rời rạc hóa hàm số dựa
trên giá trị của hàm tại một số điểm trên lưới rời rạc thay vì rời rạc hóa
địa phương trong các lược đồ sai phân bình thường.
Đây là sự khác biệt lớn nhất giữa các lược đồ sai phân bình thường và các
lược đồ sai phân khác thường.

Ưu thế của các lược đồ khác thường so với lược đồ bình thường là bảo
toàn tính chất nghiệm của bài toán với mọi cỡ bước h > 0. Tuy nhiên, nhược
điểm của các lược đồ khác thường là khó có thể đưa ra các lược đồ có cấp
chính xác cao như các lược đồ bình thường và thời gian thực hiện tính toán
có thể lâu hơn vì đạo hàm và hàm vế phải được rời rạc hóa phức tạp hơn.
Vì thế, việc sử dụng các lược đồ khác thường có lợi thế khi chúng ta giải các
bài toán trên đoạn tìm nghiệm lớn và cần bảo toàn chính xác các tính chất
nghiệm của bài toán.
Hiện nay, các lược đồ sai phân khác thường được các nhà toán học xây
dựng và sử dụng rộng rãi cho cả phương trình vi phân đạo hàm riêng cũng
như phương trình đạo hàm thường và các bài toán biên. Tuy nhiên, trong
khuôn khổ của luận văn, chúng ta chủ yếu tập trung vào việc xây dựng các
lược đồ sai phân khác thường cho bài toán giá trị ban đầu đối với phương
trình vi phân thường. Nội dung chính của luận văn hệ thống lại các kết quả
6


tiêu biểu của các tác giả nước ngoài trong vòng 20 năm trở lại đây. Cấu trúc
của luận văn bao gồm ba chương.
Chương 1: Lược đồ sai phân khác thường.
Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản về phương
trình vi phân và phương pháp số giải phương trình vi phân. Trên cơ sở
kết hợp việc phân tích hiện tượng không ổn định số xảy ra khi sử dụng
các lược đồ sai phân bình thường và việc xây dựng các lược đồ sai phân
chính xác (exact scheme) chúng ta đưa ra các quy tắc tổng quát để xây
dựng các lược đồ sai phân khác thường.
Chương 2: Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải phương trình vi
phân.
Chương này đề cập việc xây dựng các lược đồ sai phân giải một số
phương trình vi phân trong trường hợp một chiều. Các lược đồ được

xây dựng dựa trên cả hai cách rời rạc hóa không địa phương và lựa chọn
cách rời rạc hóa đạo hàm phù hợp.
Chương 3: Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải hệ phương trình
vi phân.
Chương cuối này, dành cho việc xây dựng các lược đồ sai phân khác
thường bảo toàn các tính chất của hệ động lực học. Các mô hình được
xét đến là mô hình thú - mồi (predator - prey system), mô hình Vắc Xin (Vaccination model) và hệ Lotka - Volterra. Trong các phần trình
bày đều có các thử nghiệm số đi kèm để minh họa cho tính hiệu quả
của các lược đồ được xây dựng.
Mặc dù bản thân đã cố gắng hết sức nhưng do thời gian thực hiện có hạn
và năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nên trong luận văn chắc chắn không
thể tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Em rất mong nhận được những góp
ý và sự chỉ bảo của các thầy cô. Em xin chân thành cảm ơn!

7


Chương 1
Lược đồ sai phân khác thường
1.1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong phần trình bày của luận văn, ta chủ yếu nghiên cứu việc giải gần
đúng bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình vi phân cấp một, hay còn
gọi là bài toán Cauchy

dy

Dy =

= f (t, y), t0 ≤ t ≤ T,
dt


y(t0 ) = y0 , y, f ∈ Rn ,

(1.1)

trong đó hàm y(t) : [t0 , T ] → Rn là hàm số cần xác định, giá trị ban đầu

y0 ∈ Rn và hàm vế phải f : [t0 , T ] × Rn → Rn cho trước. Ta giả thiết rằng
thời gian ban đầu t0 là hữu hạn, nhưng thời gian T có thể tiến đến vô cùng
đối với hệ động lực học. Để đơn giản, ta giả sử rằng t0 = 0.
Trong trường hợp f = f (y) thì phương trình được gọi là dừng (autonomous). Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết một phương trình
là dừng. Vì nếu phương trình không ở dạng dừng thì ta đưa thêm biến phụ
yn+1 = t và đặt yˆ = (y1 , y2 , . . . , yn+1 ). Khi đó phương trình được viết lại
dưới dạng
T
yˆ = fˆ(ˆ
y ), fˆ(ˆ
y ) = f (y), 1 .
(1.2)
Các kết quả liên quan đến bài toán giá trị ban đầu (1.1) như sự tồn tại
và duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ liệu ban đầu
. . . được trình bày trong hầu hết các giáo trình về phương trình vi phân (xem
[3, 9, 10]) nên chúng ta không trình bày lại ở đây. Từ giờ cho tới hết phần

8

Tài liệu tham khảo
[1] R. Anguelov, J. M. -S Lubuma, ”Nonstandard finite difference method by
nonlocal approximations”, Mathematics and Computers in Simulation,
61 (2003), pp. 465 − 475.
[2] A. J. Arenas, G. G. Parra, M. B. Chen - Charpentier, ” A nonstandard
numerical scheme of predictor - corrector type for epidemic models”,
Computers and Mathematics with Applications, 59 (2010), pp. 3740 −

3749.
[3] U. M. Ascher, L. R. Petzold, ”Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations”, (1998) Philadelphia.
[4] F. Brauer , C. Castillo - Chavez, ”Mathematical Models in Population
Biology and Epidemiology”, (2001) Springer, New York.
[5] T. D. Dimitrov, H. V. Kojouharov, ”Stability - Preserving Finite - Difference Methods For General Multi - Dimensional Autonomous Dynamical
Systems”, International Journal Of Numerical Analysis And Modeling,
Volume 4, Number 2, pp. 280 − 290.
[6] T. D. Dimitrov, H. V. Kojouharov, ”Nonstandard finite difference
schemes for general two - dimensional autonomous dynamical systems”,
Applied Mathematics Letters, 18(2005), pp. 769 − 774.
[7] T. D. Dimitrov, H. V. Kojouharov, ”Positive and elementary stable nonstandard numerical methods with applications to predator - prey models”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 189(2006),
pp. 98 − 108.
116


[8] K. F. Gurski, ”A simple construction of nonstandard finite - difference
schemes for small nonlinear systems applied to SIR models”, Computers
and Mathematics with Applications, 66(2013), pp. 2165 − 2177.
[9] E. Hairer, G. Wanner, ”Solving Ordinary Differential Equation I, Nonstiff
Problems”, (1991) Springer-Verlag, Berlin.
[10] E. Hairer, P. S. Norsett, Wanner G, ”Solving Ordinary Differential Equation II, Stiff and Differential - Algebraic-Problems”, (1991) SpringerVerlag, Berlin.
[11] H. Kojouharov , B. Welfert, ” A nonstandard Euler schemes for y +

g(y)y + f (y)y = 0, Journal Computational and Applied Mathematics,
151(2003), pp.335 − 353.
[12] R. E. Mickens, ” Difference Equations; Theory ans Applications”, (1990)
New York.
[13] R. E. Mickens, ”Nonstandard Finite Difference Models of Differential
Equations”, (1994) World Scientific, Singapore.
[14] R. E. Mickens, ” Finite - Difference Schemes Having the Correct Linear
Stability Properties for All Finite Step - Sizes III ”, Computers Math.
Applic ”, Vol. 27(1994), No. 4, pp. 77 − 84.
[15] R. E. Mickens, ” Discretizations of nonlinear differential equations using
explicit nonstandard methods ”, Journal of Computational and Applied
Mathematics, 110(1999), pp. 181 − 185.
[16] R. E. Mickens, ”Applications of Nonstandard Finite Difference Schemes”,

(2000) World Scientific, Singapore.
[17] R. E. Mickens, ” Numerical Study Of A Non - Standard Finite - Difference Scheme For The Van Der Pol Equation”, Journal of Sound and
Vabration, (2000)250(5), pp. 955 − 963.

117


[18] R. E. Mickens, ” Analytical And Numerical Study Of A Non - Standard
Finite Difference Scheme For The Unplugged Van Der Pol Equation”,
Journal of Sound and Vabration, (2001)245(4), pp. 757 − 761.
[19] R. E. Mickens, ” Step - Size Dependence Of The Period For A Forward
- Euler Scheme Of The Van Der Pol Equation”, Journal of Sound and
Vabration, (2002)258(1), pp. 199 − 202.
[20] R. E. Mickens, ” A nonstandard finite - difference scheme for the Lotka
Volterra system”, Journal of Sound and Vabration, (2003)45, pp. 309 −

314.
[21] R. E. Mickens, ” A numerical integration technique for conservative
oscillators combining nonstandard finite - difference methods with a
Hamilton’ s principle ”, Journal of Sound and Vabration, (2005)285,
pp. 477 − 482.
[22] R. E. Mickens, ” Exact finite difference scheme for second - order, linear
ODEs having constant coefficients ”, Journal of Sound and Vabration,

(2005)287, pp. 1052 − 1056.
[23] S. M. Moghadas, M. E. Alexander, B. D. Corbett, ” A nonstandard
numerical scheme for a generalized Gauss - type predator - prey model”,
PHYSICA D, 188(2004), pp.134 − 151.
[24] B. Nuriyev, T. Ergenc, ” Exact solution of two - dimensional Lotka Volterra equations, Department of Mathematics, METU, 06531, Ankara,
Turkey.
[25] L. -I. W. Roeger, ” Exact nonstandard finite-difference methods for a
linear system—the case of centers ”, Journal of Difference Equations
and Applications, 14(2008), pp. 381 − 389.
[26] L. -I. W. Roeger, ” Exact finite - difference schemes for two - dimensional
linear systems with constant coefficients”, Journal of Computational and
Applied Mathematics ”, 219(2008), pp. 102 − 109.

118


[27] L. -I. W. Roeger, ” General nonstandard finite - difference schemes for
differential equations with three fixed - points”, Computers and Mathematics with Applications, 57(2009), pp. 379 − 383.
[28] L. -I. W. Roeger, ”Nonstandard finite difference schemes for differential equations with n + 1 distinct fixed - points”, Journal of Difference
Equations and Applications, 15(2009), pp. 133 − 151.
[29] L. -I. W. Roeger, ” Dynamically Consistent Discrete - Time Lotka Volterra Competition Models”, Journal of Computational and Applied

Mathematics ”, (2009), pp. 650 − 658.
[30] A. M. Stuart, A. R. Humphries ” Dynamical Systems and Numerical
Analysis”, Journal of Computational and Applied Mathematics ”, (1998),
Cambridge University Press, New York.
[31] J. F. Solis, B. C. Charpentier, ” Nonstandard Discrete Approximations
Preserving Stability Properties of Continuous Mathematical Models”,
Mathematical and Computer Modeling, 40(2004), pp.481 − 490.

119