Tong hop kien thuc toan cap III full

GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

TỔNG HỢP KIẾN THỨC TỐN ƠN THI ĐẠI HỌC
NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
A.x = B

B
x
=
• A ≠ 0 : phương trình có nghiệm duy nhất
A
• A = 0 và B ≠ 0 : phương trình vô nghiệm
• A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm
Ax > B
B
• A>0: x>
A
B
x
<
• A<0:
A
• A = 0 và B ≥ 0 : vô nghiệm
• A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm
NHỚ 2 : PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT ẨN
ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)
∆ = b2 – 4ac
∆>0
−b− ∆

−b+ ∆
=
x
x1 =
, 2
2a
2a
b
∆=0
Nghiệm kép x1 = x 2 = −
2a
∆<0

Vô nghiệm

∆/ = b/ 2 – ac
∆/ > 0
∆/ = 0
∆/ < 0

− b / + ∆/
− b / − ∆/
x1 =
, x2 =
a
a
b/
Nghiệm kép x1 = x 2 = −
a
Vô nghiệm

Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 1


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)
♥ Chú ý:

Tài liệu Tốn THPT

a+b+c=0:

c
nghiệm x1 = 1, x2 =
a

a–b+c=0:

c
−
nghiệm x1 = –1, x2 =
a

NHỚ 3 : DẤU NHỊ THỨC f(x) = ax + b ( a ≠ 0)
x

−

–∞

f(x)

Trái dấu a

NHỚ 4 : DẤU TAM THỨC

b
a

+∞

0

cùng dấu a

f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0)

(Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG)
Nếu
Thì
∆ < 0
f(x) > 0, ∀x

a > 0
∆ < 0

f(x) < 0, ∀x
a < 0

∆ = 0


a > 0
∆ = 0

a < 0
x
∆>0

f(x)

f(x) > 0,

b
−
∀x ≠
2a

f(x) < 0,

∀x ≠ −

–∞

x1

Cùng dấu a

0

Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 2

trái dấu a

b
2a
x2

+∞

0

Cùng dấu a


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

NHỚ 5 : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Cho: f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) và α, β là hai số thực
1/. Muốn có
x1 < α < x2
ta phải có a.f(x) < 0

∆ > 0

af (α ) > 0
ta phải có 
2/. Muốn có x2 > x1 > α
S
 −α > 0

2

∆ > 0

af (α ) > 0
3/. Muốn có
x1 < x 2 < α
ta phải có 
S
 −α < 0
2
4/. Muốn có

x1< α < β < x2

5/. Muốn có

x1< α < x2 <β

6/. Muốn có

 x1 < α < x 2 < β
α < x < β < x
1
2


7/. Muốn có

α < x1 < x2 <β

 Chú ý:
1/. Muốn có

x1 < 0 < x 2

2/. Muốn có

x2 > x 1 > 0

3/. Muốn có

x1 < x 2 < α

Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 3

af (α ) < 0
ta phải có af ( β ) < 0

af (α ) < 0
ta phải có af ( β ) > 0


ta phải có f (α ) f ( β ) < 0

∆ > 0
af (α ) > 0

af ( β ) > 0
ta phải có 

α < S < β

2
ta phải có

P<0
∆ > 0

P>0
ta phải có 
S > 0


∆ > 0

P>0
ta phải có 
S < 0



GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

NHỚ 6 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
B ≥ 0
A = B
A=B⇔
A

B
=
⇔

và
2
A
B
=
 A ≥ 0 (hayB ≥ 0)

NHỚ 8 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
A ≥ 0

A < B ⇔ B > 0
A < B


 B < 0

A ≥ 0
A > B ⇔ 
B ≥ 0

 A > B

và

NHỚ 8 : PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
 A = B


B ≥ 0
A = B
A =B⇔
B
A
=
⇔
 A = − B
 A = −B
và


 B ≥ 0

Chú ý:

 f ( x) = g ( x)

x ≥ 0
f ( x ) = g ( x) ⇔ 
 f (− x) = g ( x)

 x ≤ 0

NHỚ 9 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

− B < A < B
AB > 0

;

A > B ⇔ A2 > B 2

NHỚ 10 : BẤT ĐẲNG THỨC
1/. Đònh nghóa
Dạng : A > B, A ≥ B , A < B, A ≤ B
2/. Tính chất :
a > b
b) b > c ⇒ a > c
a) a > b ⇔ b < a


Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 4


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)
c) a > b ⇔ a + c > b + c

a > b
e) c > d ⇒ a + c > b + d


Tài liệu Tốn THPT

ac > bc, c > 0
a
>
b

⇔

d)
ac < bc, c < 0
a > b > 0
f) c > d > 0 ⇒ ac > bd


3/. BĐT Cô Si : Cho n số tự nhiên không âm a1, a2, a3,......, an

a1 + a 2 + a 3 + ....... + a n
≥ n a1 a 2 a 3 .......a n
n
n
 a1 + a 2 + a3 + ....... + a n 
a a a .......a n ≤ 

hay 1 2 3
n



Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a1 = a2 = a3 = ......... = an
NHỚ 11 : CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
A. HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức )
Sinx
Sin 2 x + Cos 2 x = 1
Tanx =
Cosx
Cosx

Cotx =
Tanx.Cotx = 1
Sinx
1
1
1 + Cot 2 x =
1 + Tan 2 x =
2
Sin 2 x
Cos x
Điều kiện tồn tại :
• Tanx là x ≠ π/ 2 + kπ , k ∈ Z
• Cotx là x ≠ kπ
,k∈Z
• Sinx là
– 1 ≤ Sinx ≤ 1
• Cosx là – 1 ≤ Cosx ≤ 1
2

2

2

Chú ý : a + b = (a + b) –
B. CÔNG THỨC CỘNG

2ab và a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

sin(=
a ± b) sin a.cos b ± cos a.sin b

cos(a ± b) =
cos a.cos b  sin a.sin b
tan a ± tan b
tan(a ± b) =
1  tan a.tan b
Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 5


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

C. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI :

sin 2u = 2sin u.cos u
cos 2u = cos 2 u − sin 2 u = 2 cos 2 u − 1 = 1 − 2sin 2 u
2 tan u
tan 2u =
1 − tan 2 u
D. HẠ BẬC : ( 4 công thức)
1 − Cos 2a
2
Sin 2 a =
⇒ 1 − Cos 2a = 2 Sin a
2
1 + Cos 2a
2
Cos 2 a =
⇒ 1 + Cos 2a = 2Cos a
2

E. TỔNG THÀNH TÍCH :

a+b
a −b
.cos
2
2
a+b
a −b
−2sin
cos a − cos b =
.sin
2
2
a+b
a −b
sin a + sin b =
2sin
.cos
2
2
a+b
a −b
sin a − sin b =
2 cos
.sin
2
2
cos a + cos b =
2 cos

F. TÍCH THÀNH TỔNG :

1
[cos(α + β ) + cos(α − β )]
2
1
sin α .sin β =
− [cos(α + β ) − cos(α − β )]
2
1
sin α .cos
=
β
[sin(α + β ) + sin(α − β )]
2
1
=
β
cos α .sin
[sin(α + β ) − sin(α − β )]
2
cos α .cos
=
β

Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 6


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

G. CUNG LIÊN KẾT :
Cos(–α) = Cosα ; Sin(–α) = – Sinα
Cos đối
Sin bù

Sin(π – α) = Sinα ; Cos(π – α) = – Cosα

Phụ chéo

Sin(π/2 – α) = Cosα ; Cos(π/2 – α) = Sinα

Khác π Tan

Tan(π + α) = Tanα ; Cot(π + α) = Cotα

Sai kém π/ 2 Sin(π/2 + α) = Cosα ; Cos(π/2 + α) = – Sinα

NHỚ 13 : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
A. CƠ BẢN :
Sinu = Sinv

u = v + k 2π
⇔
k∈Z
u = π − v + k 2π

Sinu = 1

⇔ u = ±v + k 2π
⇔ u = v + kπ
⇔ u = v + kπ
⇔ u = kπ
⇔ u = π / 2 + k 2π

Sinu = –1

⇔ u = −π / 2 + k 2π

Cosu = Cosv
Tanu = Tanv
Cotu = Cotv
Sinu = 0

Cosu = 0
Cosu = 1
Cosu = – 1

⇔ u = π / 2 + kπ
⇔ u = k 2π
⇔ u = π + k 2π

B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos
Dạng

( a2 + b2 ≠ 0 )

a.sinx + b.cosx = c

2
2
2
☻ phương trình có nghiệm ⇔ a + b ≥ c

☻ phương trình vơ nghiệm ⇔ a + b < c
2

Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 7

2

2


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)
Phương pháp : Chia hai vế cho
Đặt :

a
a +b
2

2

= Cosα

Ta có Sin( x + α ) =

;
c
a2 + b2

Tài liệu Tốn THPT

a2 + b2
b
a +b
2

2

= Sinα

(*)

C. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:
1/. Đối với một hàm số lượng giác: Giả sử a ≠ 0

aSin 2 x + bSinx + c = 0

( đặt t = Sinx , t ≤ 1 )

aCos 2 x + bCosx + c = 0

(đặt t = Cosx , t ≤ 1 )
π
( đặt t = Tanx , x ≠ + kπ )
2

( đặt t = Cotx , x ≠ kπ )

aTan 2 x + bTanx + c = 0
aCot 2 x + bCotx + c = 0

2/. Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx
Dạng:
Hay

aSin 2 x + bSinxCosx + cCos 2 x = 0 (1)

aSin 3 x + bSin 2 xCosx + cSinxCos 2 x + dCos 3 x = 0 (2)

Phương pháp :
♣ Kiểm x = π/ 2 + kπ có phải là nghiệm của phương trình ?
♣ Chia hai vế cho Cos2x ( dạng 1), chia Cos3x ( dạng 2) để đưa phương
trình đã cho về dạng phương trình bậc hai, bậc ba đối với tanx
3/. Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx:
Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)
Phương pháp:

Đặt : t = Sinx + Cosx = 2 Sin( x +

Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 8

π
4

),

t ≤ 2


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

t 2 −1
(*) ⇔ at + b
+c =0 ⇒
2

Chú ý: Dạng

t

Tài liệu Tốn THPT

( nếu có) ⇒

x

a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)
giải tương tự :

π

t ≤ 2
Đặt : t = Sinx − Cosx = 2 Sin( x − ),
4
1− t2
+ c = 0 ⇒ t ? ( nếu có) ⇒ x ?

(*) ⇔ at + b
2

D. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT :
1/. Tổng bình phương :
• A2 + B2 + ........+ Z2 = 0
⇔
A = B = ......= Z = 0
• A ≥ 0, B ≥ 0,......, Z ≥ 0
Ta có : A + B + .... + Z = 0 ⇔
A = B = .....= Z = 0
2/. Đối lập :
Giả sử giải phương trình A = B (*)

A ≤ K

B ≥ K

Nếu ta chứng minh

A = K
(*) ⇔ 
B = K
NHỚ 14: HỆ THỨC LƯNG
Tam giác thường ( các đònh lý)
• a = b + c − 2bcCosA
2

Hàm số Cosin

Hàm số Sin

2

b2 + c2 − a2
• CosA =
2bc
a
b
c
=
=
= 2R
•
SinA SinB SinC
• a = 2 RSinA,

Trung tuyến

2

•

ma

2

SinA =

a

2R

2(b 2 + c 2 ) − a 2
=
4

Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 9


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)
• S=
Diện tích

Tài liệu Tốn THPT

1
1
1
aha = bhb = chc
2
2
2

1
1
1
S
=
bcSinA
=

acSinB
=
abSinC
•
2
2
2
•

S = pr

abc
=
S
•
4R
• S = p ( p − a )( p − b)( p − c)
Chú ý:

S
A
B
C
r
=
=
(
p
−
a

)
Tan
=
(
p
−
b
)
Tan
=
(
p
−
c
)
Tan
•
p
2
2
2
abc
a
b
c
R
=
=
=
=

•
4S
2 SinA 2 SinB 2 SinC
•
•
•
•
•

a, b, c :
A, B, C:
ha:
ma:
R, r :

• p=

cạnh tam giác
góc tam giác
Đường cao tương ứng với cạnh a
Đường trung tuyến vẽ từ A
Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác.

a+b+c
Nữa chu vi tam giác.
2

NHỚ 15: HỆ THỨC LƯỢNG TAM GIÁC VNG
•

AH 2 = BH .CH
AH .BC = AB. AC
1
1
1
=
+
AH 2 AB 2 AC 2

•

AC 2 = CH .CB ;
AB 2 = BH .BC

•

BC 2 = AB 2 + AC 2

•

Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 10

A

B
H

C

GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

NHỚ 16 : HÀM SỐ LIÊN TỤC
Đònh nghóa 1:
Hàm số y = f (x) gọi là liên tục tại điểm x = a nếu :
1/. f (x) xác đònh tại điểm x = a

f ( x) = f (a)
2/. lim
x→a
Đònh nghóa 2:
f (x) liên tục tại điểm x = a ⇔ lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f (a )
x→a

x→a

Đònh lý :
Nếu f (x) liên tục trên [a, b] và f (a ). f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất một
điểm c∈ (a, b) sao cho f (c) = 0

NHỚ 17 : HÀM SỐ MŨ
1/. Đònh nghóa : Cho a > 0, a ≠ 1 ( cố đònh). Hàm số mũ là hàm số xác
( x ∈ R)
đònh bởi công thức :
y = ax
2/. Tính chất :
a) Hàm số mũ liên tục trên R
b) y = ax > 0

mọi x ∈ R
c) a > 1 :
Hàm số đồng biến

a x1 < a x2 ⇔ x1 < x 2

d) 0 < a < 1 :

Hàm số nghòch biến

a x1 < a x2 ⇔ x1 > x 2
Chú ý :
3/. Đồ thò :

a x1 < a x2 ⇔ x1 = x 2

a>1

Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 11

(0 < a ≠ 1)

0

GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

NHỚ 18 : HÀM SỐ LOGARIT

1/. Đònh nghóa :
a) Cho a > 0, a ≠ 1, N > 0
Logarit cơ số a của N là số mũ M sao cho : aM = N
Ký hiệu :
logaN = M
b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a ≠ 1 ) của đối số x là hàm số
được cho bởi công thức: y = logax ( với x > 0, a > 0, a ≠ 1)
2/. Tính chất và đònh lý cơ bản về logarit :
Giả sử logarit có điều kiện đã thỏa mãn

TC1 :

logaN = M ⇔ aM = N

TC2 :

loga aM = M ,

TC3 :

loga 1 = 0, loga a = 1

TC4 :

loga (MN) = loga M + loga N

TC5 :

log a

TC6 :

log c N
N
log
=
a
Đổi cơ số
log c a

a log a M = M

M
= log a M − log a N
N

log a b =

;

3/. Đồ thò :
(a> 1)

y

0

y

( 0 < a < 1)

1

x

1
log b a

0

1

x

4/. Phương trình Logarit :

log a f ( x) = log a g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x)
( f(x) hoặc g(x) > 0 , 0 < a ≠ 1 )
5/. Bất phương trình Logarit : log a f ( x) < log a g ( x)
Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 12

(*)


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

 f ( x) > 0
a >1
(*) ←→



 f ( x) < g ( x)
 g ( x) > 0
0< a <1
(*) ←
→
 f ( x) > g ( x)
NHỚ 19 : ĐẠO HÀM
I/. Đònh nghóa đạo hàm :
Cho hàm số y = f(x) , xác đònh trên ( a, b) , x0 ∈ ( a, b). Ta nói f(x)
∆y
khi ∆x → 0 tồn tại.
có đạo hàm tại x0 nếu giới hạn
∆x

f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
∆y
= lim
∆x →0 ∆x
∆x →0
∆x

f ' ( x0 ) = lim

∆y
( tồn tại )
∆x →0 ∆x
∆y
+

'
f
x
=
(
)
lim
( tồn tại )
∗ Đạo hàm bên phải :
0
∆x→0+ ∆x
 Cho y = f(x) xác đònh trên (a, b)
y = f(x) có đạo hàm tại x0 ∈ (a, b) ⇔ f ‘(x0+) = f ’(x0–)
II/. Qui tắc tính đạo hàm :
∗ Đạo hàm bên trái :

−

f ' ( x0 ) = lim−

(u ± v) ' =u '± v ';
(u ± v ± w) ' = u '± v '± w '
(k .U ) = k .U '
(u.=
v) ' u '.v + v '.u
 u  u '.v − v '.u
 ' =
v2
v
v'

1
'
=
−
 
v2
v
(với k là hằng số )

Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 13


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

III/. Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản :
Cơng thức hàm cơ bản
Cơng thức hàm mở rộng ( u)

(C)' = 0
(x)' = 1

(u 2 )' = 2u.u '

(x )' = 2x
2

(x )' = n.x
n

(u n )' = n.u n −1.u '
1
u'
( )' = − 2
u
u

n −1

1
1
( )' = − 2
x
x
( x )' =

1

( u )' =

2 x

.u '

2 u
(sin u)' = u '.cos u
(cos u)' = −u '.sin u

(sin x)' = cos x

(cos x)' = − sin x

1
(tan x)' =
1 + tan x =2
cos x
2

(cot x)' =−(1 + cot 2 x) =−

1

1
sin 2 x

1
(tan u)' =
u '.(1 + tan 2 u) = 2 .u '
cos u
1
(cot u)' =
−u '.(1 + cot u) =
− 2 .u '
sin u

(e x )' = e x

(e u )' = u '.e u

(a x )' = a x .ln a

(a u )' = u 'a u .ln a
1
(ln u)' = .u '
u
1
(log a u)' =
.u '
u ln a

(ln x)' =

1
x

1
(log a x)' =
x ln a

Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 14


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

NHỚ 20 : ĐỊNH LÝ LAGRĂNG
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn
tại ít nhất một điểm x = c , c ∈ (a, b)
f(b) – f(a) = f ’(c)(b – a)

NHỚ 21 : BẢNG TÍCH PHÂN
1/. Công thức NewTon _ Leibnitz :
b

∫

f ( x)dx = [F ( x)]a = F (b) − F (a )
b

a

với F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a, b}
2/. Tích phân từng phần :
b

b

∫ udv = [u.v] − ∫ vdu
b
a

a

a

với u, v liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a, b]
3/. Đổi cơ số :
b

∫

a

β

f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )].ϕ ' (t )dt
α

với x = ϕ(t) là hàm số liên tục và có đạo hàm ϕ’(t) liên tục
trên [a, b] , α ≤ t ≤ β
a = ϕ(α), b = ϕ(β), f[ϕ(t)] là hàm số liên tục trên [α,β ]
4/. Tính chất :
a)

b

a

a

b

∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx
a

b)

∫ f ( x)dx = 0
a

Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 15

GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

c)

b

c

b

a

a

c

Tài liệu Tốn THPT

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
b

b

b

a

a

a

d) ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
b

e)

b

∫ Kf ( x)dx = K ∫ f ( x)dx
a

,K ∈R

a

f) Nếu

m ≤ f(x) ≤ M thì
b

m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a )
a

5/. Bảng tích phân :
TT
1
2
3

4
5
6
7

α
∫ x dx =

Công thức
x

α +1

(α ≠ −1)

1 (ax + b) α +1
∫ (ax + b) dx = a . α + 1 + c
1
1
dx
=
−
+ c (α ≠ 1)
∫ xα
(α − 1) x α −1
dx
1
=
−
∫ (ax + b)α a(α − 1)(ax + b)α −1 + c

dx
∫ x = Ln x + c
1
dx
=
∫ ax + b a Ln ax + b + c
∫ Kdx = Kx + c , K ∈ R

∫e

9

ax + b
∫ e dx =

11

+c

α

8

10

α +1

x

dx = e x + c

1 ax +b
e
+c
a
ax
x
∫ a dx = Lna + c
∫ Sinxdx = −Cosx + c

Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 16

(α ≠ 1)


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

12

1
Sin
(
ax
+
b
)
dx
=
−
Cos (ax + b) + c

∫
a

13

∫ Cosxdx = Sinx + c

14

∫ Cos(ax + b)dx =

15

dx
∫ Cos 2 x = Tanx + c
dx
∫ Sin 2 x = −Cotx + c
dx
∫ x 2 + 1 = arcTanx + c
dx
1
x
=
arcTan
+c
∫ x2 + a2 a
a
dx
1
x−a

=
Ln
∫ x 2 − a 2 2a x + a + c
1
dx
a+x
Ln
=
∫ a 2 − x 2 2a a − x + c
dx
x
arcSin
=
+c
( a > 0)
∫ a2 − x2
a

16
17
18
19
20
21

∫

22
23

∫

24

∫

dx
x2 + h

Tài liệu Tốn THPT

1
Sin(ax + b) + c
a

= Ln x + x 2 + h + c

x
a2
x
2
2
a − x dx =
a −x +
arcSin + c
a
2
2
x
h

x 2 + h dx =
x 2 + h + Ln x + x 2 + h + c
2
2
2

2

(a > 0)

NHỚ 22 : HOÁN VỊ _ TỔ HP _ CHỈNH HP
1/. Hoán vò :

Pn = n!

2/. Tổ hợp :

C nK =

n!
K !(n − K )!

n− K

 Cn = Cn
K

n
0
 Cn = Cn = 1

Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 17


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

K
K −1
K
 C n −1 + C n −1 = C n

0
1
n
n
 C n + C n + ...... + C n = 2
n!
K
3/. Chỉnh hợp : An = (n − K )!

NHỚ 23 : SỐ PHỨC
1/. Phép tính :
∗ Cho z = a + bi z’ = a’ + b’i
z ± z’ = ( a ± a’) + ( b ± b’)i
z.z’ = (a.a’ – b.b’) + ( a.b’ + a’.b)i
∗
z = r.(Cosα + i.Sinα)
z, z’ ≠ 0

z’ = r’(Cosβ + i.Sinβ)
z.z’ = r.r’[Cos(α + β) + i.Sin(α + β)]

z r
= [Cos (α − β ) + iSin(α − β )]
z' r '
2/. MoaVrơ :
[r (Cosα + iSinα )]n = r n (Cosnα + iSinnα )
3/. Căn bậc n của số phức z = r.( Cosα + i.Sinα) :
α + K 2π
α + K 2π
)
Z K = n r (Cos
+ i.Sin
n
n
với K = 0, 1, 2,......, n – 1

NHỚ 24 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
A. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :
→

→

→

• M ( x, y ) ⇔ OM = xe1 + ye2
• Cho A( xA, yA )
B( xB, yB )
→

1). AB = ( x B − x A , y B − y A )
2
2). AB = ( x B − x A , y B − y A )

x A + xB

x
=

2

3). Tọa độ trung điểm I của AB : 
y A + yB
y
=

2
Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 18


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

4). Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ 1 :
→

x A − k .x B


x
=

1− k

 y = y A − k. y B

1− k

→

• Phép toán : Cho a = (a1 , a 2 ) ; b = (b1 , b2 )
→
→
a1 = b1
a
=
b
⇔

1).
a 2 = b2
→

→

2). a ± b = (a1 ± b1 , a 2 ± b2 )
→

3). m. a = (ma1 , ma 2 )

→→

4). a b = a1b1 + a 2 b2
→

5). a = a1 + a 2
2

→

2

→

6). a ⊥ b ⇔ a1b1 + a 2 b2 = 0
a1b1 + a 2 b2
→ →
,
b
Cos
a
=


7).
2
2
2
2



a1 + a 2 . b1 + b2
B. ĐƯỜNG THẲNG
Vectơ chỉ phương

→

a = (a1 , a 2 )

 x = x0 + a1t
1/. Phương trình tham số :  y = y + a t
0
2

2/. Phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 ( A2 + B2 ≠ 0)
• Pháp vectơ

→

n = ( A, B)
→

→

• Vectơ chỉ phương a = (− B, A) ( hay a = ( B,− A) )
A
K
=
−
( B ≠ 0)

• Hệ số góc
B
3/. Phương trình pháp dạng :

A
A +B
2

2

x+

B
A +B
2

2

y+

C
A +B
2

2

=0

4/. Phương trình đường thẳng qua M( x0, y0) có hệ số góc K :

y − y 0 = K ( x − x0 )

Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 19


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

5/. Phương trình đường thẳng qua A(xA, yA) và B(xB, yB) :
(x – xA)(yB – yA) = (y – yA)(xB – xA)

x − xA
y − yA
=
hay x − x
yB − y A
B
A
6/. Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( đọan chắn)

x y
+ =1
a b
x − x0 y − y 0
=
7/. Phương trình chính tắc :
a
b
→



 M ( x0 , y 0 ), a = (a, b) 


• Quy ước :

x − x0 y − y 0
=
⇔ x − x0 = 0
0
b

x − x0 y − y 0
=
⇔ y − y0 = 0
0
a
8/. Khoảng cách từ một điểm M(x0, y0) đến Ax + By + C = 0 :
Ax0 + By 0 + C
d(A;d) =
A2 + B 2
9/. Vò trí tương đối của hai đường thẳng : d1: A1x + B1y + C1 = 0
d2:
A2x + B2y + C2 = 0
D=

A1
A2

− C1 B1
A1 − C1
D
=
=
D
; x −C B ; y A −C
B2
2
2
2
2
B1

* d1 cắt d2 ⇔ D ≠ 0

D = 0
D = 0
d
//
d
⇔

2
hay  D ≠ 0
* 1
Dx ≠ 0
 y
* d1 ≡ d 2 ⇔ D = D x = D y = 0
Chú ý : A2, B2, C2 ≠ 0

A1 B1
⇔
≠
d1 cắt d2
A2 B2
A
B
C
d1 // d 2 ⇔ 1 = 1 ≠ 1
A2 B2 C 2

Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 20


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

d1 ≡ d 2 ⇔

Tài liệu Tốn THPT

A1 B1 C1
=
=
A2 B2 C 2

11/. Góc của hai đường thẳng d1 và d2 :
Xác đònh bởi công thức :

Cosϕ =

A1 A2 + B1 B2
A12 + B12 A22 + B22

12/. Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d1 và d2 :
A1 x + B1 y + C1
A12 + B12

=±

A2 x + B2 y + C 2
A22 + B22

* Chú ý :
→ →
Phương trình đường
Dấu của n1 n2
phân giác góc nhọn
tạo bởi d1, d2
–
t1 = t2
+
t1 = – t2

Phương trình đường phân
giác góc tù tạo bởi d1, d2
t1 = – t2
t1 = t2

C. ĐƯỜNG TRÒN :
1/ Phương trình:

a. Phương trình tổng qt của đường tròn:
Cho đường tròn (C) tâm I(a; b)
bán kinh R có dạng tổng qt :

(x − a) 2 + (y − b) 2 =
R2
b. Phương trình khai triển của đường tròn:
Ngồi ra còn có thể viết PT đường tròn dưới dạng khai triển:

x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c =
0

trong đó

R = a 2 + b 2 − c.

0 là phương trình
☻ Ngược lại phương trình x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c =
đường tròn khi và chỉ khi

a 2 + b2 − c > 0 .

Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 21


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)
2/ Phương trình tiếp tuyến tại M(x0; y0):

(x0 – a).(x – a) + (y0 – b).(y – b) = R2

Tài liệu Toán THPT

( Daïng 1)

x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = 0 ( Daïng 2)
3/ Lập phương trình đường tròn
Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâmI (a; b)
và bán kính R của (C). Khi đó phương trình đường tròn (C) là:

(x − a) 2 + (y − b) 2 =
R2
Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A.
– Bán kính R = IA.
Dạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng ∆.
– Bán kính R = d(I, ∆) .
Dạng 3: (C) có đường kính AB.
– Tâm I là trung điểm của AB.
– Bán kính R =

AB
.
2

Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng ∆.
– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
– Xác định tâm I là giao điểm của d và ∆.
– Bán kính R = IA.
Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng ∆.
– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
I ∈ d

.
d(I,
∆
)
=
IA


– Tâm I của (C) thoả mãn: 

– Bán kính R = IA.
Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại điểm B.
– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
– Viết phương trình đường thẳng ∆′ đi qua B và vuông góc với ∆.
– Xác định tâm I là giao điểm của d và ∆′.
– Bán kính R = IA.
Dạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2.
d(I, ∆1 )= d(I, ∆ 2 )
IA
d(I, ∆1 ) =

– Tâm I của (C) thoả mãn: 
– Bán kính R = IA.

Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 22

(1)
(2)

GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

Chú ý: Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định
bởi ∆1 và ∆2 hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến ∆1 và ∆2.
Nếu ∆1 // ∆2, ta tính R =

1
d(∆1 , ∆ 2 ) , và (2) được thay thế bới IA = R.
2

Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1, ∆2 và có tâm nằm trên đường
thẳng d.
d(I, ∆1 )= d(I, ∆ 2 )
.
I
∈
d


– Tâm I của (C) thoả mãn: 

– Bán kính R = d(I, ∆1 ) .
Dạng 9 (hay gặp) : (C) đi qua ba điểm khơng thẳng hàng A, B, C (đường
tròn ngoại tiếp tam giác).

0 (*).
– Phương trình của (C) có dạng: x + y + 2ax + 2by + c =
– Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình.

– Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c ⇒ phương trình của (C).
2

2

D. ELIP

PT chính tắc
Lý thuyết
Trục lớn, độ dài
Trục nhỏ, độ dài
Liên hệ a, b, c
Tiêu điểm
Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 23

x2
y2
+ 2 =
1
a2
b
(a 2 > b 2 )
Ox, 2a
Oy, 2b
c2 = a 2 – b 2
F1(– c, 0), F2( c, 0)


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT
A1,2( ± a, 0)
B1,2(0, ± b)

Đỉnh

c
a
a
x= ±
e
e=

Tâm sai
Đường chuẩn

MF1 = a + ex
MF2 = a – ex
x0 x y0 y
1
+ 2 =
a2
b

Bán kính qua tiêu
Pt tiếp tuyến tại M(x0 , y0)
Pt hình chữ nhật cơ sơ ûMNPQ

 x = ±a


 y = ±b

A 2a2 + B 2b 2 = C 2

Điều kiện tiếp xúc với Ax + By + C = 0

NHỚ 25 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :
•
•
•


→

→

→

→

M ( x, y, z ) ⇔ OM = x e 1 + y e 2 + z e 3
→

→

→

→

→

a = (a1 , a2 , a3 ) ⇔ a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3

Cho A( x A , y A , z A ), B ( xB , yB , z B )

→

( xB − x A , y B − y A , z B − z A )
1). AB =
Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 24


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)
2). AB =

( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2

3). Tọa độ trung điểm I của AB :

x A + xB

x
=

2

y A + yB

y

=

2

z A + zB

z
=

2


x A + kxB

x
=

1− k

y A + kyB

y =
1− k

z A + kz B

z
=

1− k



4). Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ 1 :

•

Tài liệu Tốn THPT

Phép toán :

→

→

Cho a = ( a1 , a2 , a3 ) ; b = (b1 , b2 , b3 )

a1 = b1

a=
b ⇔ a2 =
b2
1).
a = b
 3 3
→

→

→

→

2). a ± b = (a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 )
→

3). m a = (ma1 , ma2 , ma3 )
→→

4). a b = a1b1 + a2b2 + a3b3
→

5). a =
→

a12 + a22 + a32
→

0
6). a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 =
a1b1 + a2b2 + a3b3
→ →
Cos
a
b
=
,


7).



a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32

 → →   a2 a3 a3 a1 a1 a2 
8). Tích vô hướng của hai Vectơ  a , b  =  b b , b b , b b 

  2 3 3 1 1 2 
Điều kiện đồng phẳng :

Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 25