Bài giảng tích phân phạm kim chung
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (877.48 KB, 24 trang )
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
Sở GD & Đt nghệ an
Trờng THPT Đặng thúc hứa
sin4x + cos2x
6
co
6
m
sin x + cos x dx
oc
uo
c.
tích phân
6
6
dx
1 ( x +1) - ( x -1)
I= 8
=
dx = ...
x +1 2
x 8 +1
Tổ : Toán
kh
on
gb
Giáo viên : Phạm Kim Chung
Năm học : 2007 - 2008
"
12
bài giảng tích phân
Phạm Kim Chung
om
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa
2007
.c
Thực ra trên mặt đất lm gì có đờng, ngời ta đi lắm thì thnh đờng thôi !
- Lỗ Tấn -
=
6
2
(x
4
2
6
+ 1) - ( 2x
2
1
x2 + 1
dx +
4
2 x + 2x 2 + 1
(
)
2
2 2
)
2 -1
2
gb
oc
u
dx
x8 + 1
Thử giải một bi toán khó... nhng cha thật hi lòng !
1 ( x + 1) - ( x - 1)
1 ( x + 1) ( x - 2x + 1) + ( 2 - 1) x
1 (x
=
dx =
dx +
4
4
2
(x
( x + 1) x
4
2
(x
oc
Viết một cuốn ti liệu rất khó, để viết cho hay cho tâm đắc lại đòi hỏi cả một đẳng cấp thực sự ! Cũng may tôi không có t tởng lớn của
một nh viết sách, cũng không hy vọng ở một điều gì đó lớn lao vì tôi biết năng lực về môn Toán l có hạn .. Khi tôi có ý tởng viết ra những điều
tôi gom nhặt đợc tôi chỉ mong sao qua từng ngy mình sẽ lĩnh hội sâu hơn về môn Toán sơ cấp..qua từng tiết học những học trò của tôi bớt băn
khoăn, ngơ ngác hơn.. V nếu còn ai đọc bi viết ny nghĩa l đâu đó tôi đang có những ngời thầy, ngời bạn cùng chung một niềm đam mê sự
diệu kì Toán học .
2
+ 1) - ( 2x
2
)
2 2
2
)(
)
- 2x 2 + 1 x 4 + 2x 2 + 1
dx +
2
2
(
) (
)
- 1) x 4 - 2x 2 + 1 + 2 + 1 x 2
dx
2
4
2 2
x
+
1
2x
(
) ( )
1
x2 - 1
dx +
4
2 x + 2x 2 + 1
(
)
2 +1
2
(x
(x
4
2
- 1) x 2
)(
)
- 2x 2 + 1 x 4 + 2x 2 + 1
1
1
1
1
1+ 2
1- 2
1+ 2 dx
1 - 2 dx
2 -1
2
+
1
1
1
x
x
x
x
=
dx +
+
dx +
2
2
1 2
1 2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
x + - 2 + 2 x + - 2 - 2
x - + 2 - 2 x - + 2 + 2
x - +2+ 2
x + - 2- 2
x
x
x
x
x
x
1
1
1
1
1
1
dx -
dx -
dx +
dx +
dx +
dx -
2
1
2
1
2
+
1
2
+
1
1
1
x
x
x
x
x
x
+
+
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
4
2
4
2
4
2
1
1
1
1
1
1
x - + 2 - 2
x - + 2 + 2
x + - 2 + 2
x + - 2 - 2
x + - 2- 2
x - +2+ 2
x
x
x
x
x
x
(
)
(
)
(
kh
)
(
1
1
x + - 2- 2
x + - 2+ 2
2+ 2
2- 2
2- 2
2
+
2
x
x
=
u+
v+
ln
+
ln
+C
1
1
8
8
16
16
x + + 2- 2
x + + 2+ 2
x
x
_____________________________
)
(
(
)
on
(
(
Tháng 12 năm 2007
(
Với x -
)
)
(
)
(
(
1
= 2 + 2 tgu = 2 - 2 tgv
x
)
)
)
(
)
)
(Nếu dùng kết quả ny để suy ngợc có tìm đợc lời giải hay hơn ?.. )
__________________________________
(Trang
1
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
12
Phạm Kim Chung
bài giảng tích phân
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa
2007
Phần lý thuyết
b
Công thức Newton Laipnit :
f ( x )dx =
F (x)
1
2
x dx =
Ví dụ :
0
co
a
b
= F(b) F(a)
a
x3 1 1 3
1
= (1 03 ) =
3 0 3
3
b
f ( x )dx
chỉ phụ thuộc v f, a v b m không phụ thuộc vo kí hiệu biến số tích phân . Vì vậy ta
a
b
có thể viết : F(b) F(a) =
f ( x )dx =
b
b
a
a
f ( t )dt = f ( u )du ...
a
a
f ( x )dx = 0
1.
a
b
a
a
b
f ( x )dx = - f ( x )dx
2.
b
oc
uo
Các tính chất của tích phân .
c.
Chú ý : Tích phân
m
Định nghĩa : Giả sử f(x) l một hm số liên tục trên một khoảng K, a v b l hai phần tử bất kì của K, F(x) l
một nguyên hm của f(x) trên K . Hiệu số F(b) - F(a) đợc gọi l tích phân từ a đến b của f(x) v đợc kí hiệu l
b
b
a f ( x )dx . Ta dùng kí hiệu F ( x ) a để chỉ hiệu số : F(b) F(a)
b
b
a
a
f ( x ) g ( x )dx = f ( x )dx g ( x )dx
3.
a
e
e
e
e
e
3
1
VD : 2x + dx = 2 xdx + 3 dx = x 2 + 3 ln x = ( e2 1) + 3 (1 0 ) = e2 + 2
1
1
x
x
1
1
1
c
b
c
a
gb
f ( x )dx = f ( x )dx + f ( x )dx
4.
a
b
1
VD :
1
0
x dx =
1
1
0
1
0
1
0
x dx + x dx = xdx + xdx =
x2 0 x2 1
+
=1
2 1 2 0
b
on
5. f(x) 0 trên đoạn [a ; b]
f ( x )dx
b
6. f(x) g(x) trên đoạn [a ; b]
kh
b
f ( x )dx g ( x )dx
a
a
VD : Chứng minh rằng :
7.
0
a
2
2
0
0
sin2xdx 2 sinxdx
b
m f(x) M
trên đoạn [a ; b] m(b a) = m dx
a
b
b
a
a
f ( x )dx M dx = M(b a)
2
1
5
VD : Chứng minh rằng : 2 x + dx
x
2
1
5
1
trên đoạn [1; 2] ta có : max y = ; min y = 2
HD . Khảo sát hm số y = x +
[1;2]
[1;2]
2
x
ê 0974.337.449
___________________________
Tháng 12 năm 2007
___________________
Trang
2
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
12
Phạm Kim Chung
bài giảng tích phân
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa
2007
2
2
2
2
2 2
1
5 2
1
5
1
5
Do đó : 2 dx x + dx dx 2x x + dx x 2 x + dx
1
1
x
2
x
2
x
2
1
1
1
1
1
m
Phần phơng pháp
b
b
a
a
c.
co
Phơng pháp đổi biến số : t = v(x) .
1
x
dx
VD . Tính tích phân : I = 2
0 x +1
Đặt : t = x 2 + 1 . Khi x= 0 thì t=1, khi x=1 thì t=2 .
dt
Ta có : dt = 2xdx
= xdx . Do đó :
2
1
2
2 1
x
1 dt 1
I= 2
dx = = ln t = ln 2
1 2
21 t 2
0 x +1
f ( x )dx = g ( v ( x ) )v' ( x ) dx
Quy trình giải toán .
oc
uo
Bớc 1 . Đặt t = v(x) , v(x) có đạo hm liên tục, đổi cận .
Bớc 2 . Biểu thị f(x)dx theo t v dt : f(x)dx = g(t)dt
v ( b)
Bớc 3 . Tính
g ( t )dt .
v(a)
Bi tập rèn luyện phơng pháp :
Tính các tích phân sau :
e2
1.
e
2
2.
dx
( 2x 1)
3.
2
1
1
dx
sin3 x
6.
gb
5.
2
dx
x ln x
x 2 dx
0 x 3 + 1
dx
( 2x + 1)
x +1
0
3
1
4.
2
4
7.
dx
x (1 +
1
4
x
xdx
4
1
x
)
Phơng pháp đổi biến số : x = u(t) .
on
sinx
O
kh
1
VD . Tính tích phân :
cosx
1 x 2 dx
0
Đặt x = sint t ; . Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì t=
2
2 2
Vậy với x = sint thì x 0;1 t 0; v dx = costdt .
2
1
Do đó : 1 x dx =
2
0
2
0
1 sin t cos tdt =
2
2
2
cos t cos tdt = cos
0
2
tdt =
0
2
1 + cos 2t
1 1
dt = t + sin 2t 2 =
=
2
2 2
0 4
0
b
Quy trình giải toán .
f ( x )dx
a
Bớc 1 . Đặt x = u(t), t ; sao cho u(t) có đạo hm liên tục trên đoạn ; , f(u(t)) đợc xác định trên đoạn
; v u ( ) = a; u ( ) = b .
ê 0974.337.449
___________________________
Tháng 12 năm 2007
___________________
Trang
3
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
12
Phạm Kim Chung
bài giảng tích phân
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa
2007
Bớc 2 . Biểu thị f(x)dx theo t v dt : f(x)dx = g(t)dt
g ( t )dt
Bớc 3 . Tính
.
1
2
1
dx
1.
1
+
x2
0
2.
1 x
3.
2
x
0
5
2
1
2
1 x 2 dx
5. x
0
3
2
1 + x 2 dx
6.
0
5+x
dx ( Đặt x=5cos2t)
5x
0
Phơng pháp đổi biến số : u(x) = g(x,t)
1
VD1 . Tính tích phân : I =
dx
+ x +1
co
4. x
0
1
1
dx
m
Bi tập rèn luyện phơng pháp :
Tính các tích phân sau :
1 + x 2 dx
c.
0
t2 1
2t
t2 + 1
Khi x =0 thì t= -1, khi x=1 thì t= 1 2 v dx =
dt . Do đó :
2t 2
1 2
1 2 4
1 2
1 2
1 2
1
t + 2t 2 + 1
1
1
1
t2 1 t2 + 1
I=
. 2 dt =
dt
tdt
2
dt
dt =
=
+
+
3
2t
2t
4 1
t
4 1
t
t 3
1
1
1
Đặt
=
1 + x 2 = x - t 1 = -2xt + t 2 x =
oc
uo
Cách (1)
1 2
1
t2 1 2 1
1 1 2
= ln
ln t
+ 2
8 1
2
8t
2
1
1
(
)
2 1 +
2
2
Cách (2) : Đặt x=tgt , do x 0;1 nên ta có thể chọn t 0; . Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì t =
4
4
1
dt . Do đó :
v dx=
cos2 t
1 + x 2 dx =
0
4
0
1
1 + tg 2 t
dt =
cos 2 t
4
2
0
4
4
1
1
1
cos t
dt
dt
dt =
=
=
2
3
4
cos t cos t
0 cos t
0 cos t
gb
1
4
0
d ( sin t )
(1 sin t )
2
2
=
2
1
1 4 (1 sin t ) + (1 + sin t )
14
1
=
+
d ( sin t ) =
d ( sin t ) =
4 0 (1 sin t )(1 + sin t )
4 0 (1 sin t ) (1 + sin t )
on
4
2
d ( sin t )
1
1
1
1 4 d (1 sin t ) 1 4
1 4 d (1 + sin t )
=
=
+
+
+
d ( sin t ) =
2
4 0 (1 sin t ) (1 + sin t )
4 0 (1 sin t )
2 0 (1 sin t )(1 + sin t ) 4 0 (1 + sin t )2
1
2
1 1
1
1 1 + sin t
1 sin t
1 1 + sin t
= ln 2 1 +
= .
.
ln
+
=
+
ln
4
4
4
4
2
2
2
4 1 sin t 1 + sin t 0 4 1 sin t 0 2 cos t 0 4 1 sin t 0
)
kh
(
Bình luận : Bi toán ny còn giải đợc bằng phơng pháp tích phân từng phần . Còn với 2 cách giảI trên rõ rng
khi bắt gặp cách 1) ta nghĩ rằng nó sẽ chứa đựng những phép tính toán phức tạp còn cách 2) sẽ chứa những phép
tính toán đơn giản hơn. Nhng ngợc lại sự suy đoán - cách 2) lại chứa những phép tính toán di dòng v nếu quả
thật không khá tích phân thì cha hẳn đã l đợc hoặc lm đợc m lại di dòng hơn .
1
VD2 . Tính tích phân : I =
0
ê 0974.337.449
___________________________
1
1 + x2
dx
Tháng 12 năm 2007
___________________
Trang
4
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
12
Phạm Kim Chung
bài giảng tích phân
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa
2007
t2 1
2t
t2 + 1
dt . Do đó :
Khi x =0 thì t= -1, khi x=1 thì t= 1 2 v dx =
2t 2
1 2
1 2
2t t 2 + 1
1
I= 2
.
dt
=
dt =
2
t + 1 2t
t
1
1
1 2
= ln t
1
= ln
(
m
1 + x 2 = x - t 1 = -2xt + t 2 x =
Đặt
Cách (1)
)
2 1
0
1 + x2
dx =
0
4
4
4
cos t
1
1
cos t
dt =
dt =
dt =
dt =
2
2
2
2 cos t
cos
t
cost
cos
t
1 + tg t
0
0
0
1
=
4
d ( sin t )
(1 sin t )
2
0
=
1 1 sin t
ln
4 = ln
2 1 + sin t 0
(
c.
Do đó :
4
1
)
2 1 .
oc
uo
1
co
Cách (2) : Đặt x=tgt , do x 0;1 nên ta có thể chọn t 0; . Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì t =
4
4
1
dt .
v dx=
cos2 t
Bi tập rèn luyện phơng pháp :
Tính các tích phân sau :
2
1.
1
1
2
4.
1+
0
2
x 2 1dx
2.
x 4x + 3
2
x2 1
1
1
dx
x2
5.
1+
2
dx
3.
1
dx
1 2x x
6.
2
x+
0
0
x 2 + 2x + 2dx
1
xdx
x2 1
gb
Chú ý : Khi đứng trớc một bi toán tích phân, không phải bi toán no cũng xuất hiện nhân tử để chúng ta sử dụng
phơng pháp đổi biến số . Có nhiều bi toán phải qua 1 hay nhiều phép biến đổi mới xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ (
sẽ nói đến ở phần Phân Loại Các dạng Toán )
on
Phơng pháp tích phân từng phần .
kh
Nếu u(x) v v(x) l hai hm số có đạo hm liên tục trên đoạn [a; b] thì :
b
b b
u
x
v'
x
dx
=
u
x
.v
x
- v ( x )u' ( x ) dx
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
a
a a
VD1. Tính
hay
b
u ( x )dv = ( u ( x ) .v ( x ) )
a
b b
- v ( x )du
a a
2
x cos xdx
0
du = dx
u=x
Đặt
, ta có :
dv = cos xdx
v = sin x
ê 0974.337.449
___________________________
Tháng 12 năm 2007
___________________
Trang
5
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
12
Phạm Kim Chung
bài giảng tích phân
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa
2007
2
2
0 x cos xdx = ( x sin x ) 2 0 sin xdx = 2 + cosx 2 = 2 1
0
0
u = cosx
dv = xdx
có đợc không ?
2
Ta hãy thử :
x2
12 2
=
x
cos
xdx
cosx
2 + x sin xdx , rõ rng tích phân
0
2
0 20
2
x
2
m
Nhận xét : Một câu hỏi đặt ra l đặt
sin xdx còn phức tạp hơn tích
0
co
phân cần tính . Vậy việc lựa chọn u v dv quyết định rất lớn trong việc sử dụng phơng pháp tích phân từng phần . Ta
hãy xét một VD nữa để đi tìm câu trả lời vừa ý nhất !
2
ln x
VD2. Tính 5 dx
x
1
1
u = 5
Ta thử đặt :
x
dv = ln xdx
c.
rõ rng để tính v= ln xdx l một việc khó khăn !
1
du = x
ta có :
v = 1 dx = 1
x5
4x 4
2
2
ln x
ln 2 1 1
ln x 2 1 dx
+
Do đó : 5 dx = 4 + 5 =
1
x
4x
4
x
64 4 4x 4
1
1
oc
uo
u = ln x
Giải . Đặt
1
dv = x 5 dx
2 15 ln 2
1=
256 64
Nhận xét : Từ 2 VD trên ta có thể rút ra một nhận xét ( với những tích phân đơn giản ) : Việc lựa chọn u v dv
phải thoả mãn :
1 du đơn giản, v dễ tính .
2 Tích phân sau
( vdu ) phải đơn giản hơn tích phân cần tính ( udv ) .
1
x
xe dx
1.
0
2
gb
Bi tập rèn luyện phơng pháp :
Tính các tích phân sau :
3x
2 . xe dx
7. e x cosxdx
on
6 . x sin xdx
3.
0
2
2
2
1
0
( x 1)cosxdx
4.
0
e
5.
2
e
10.
x e
2 x
dx
0
0
5
1
( 2 x ) sin 3xdx
9. 2x ln ( x 1)dx
8. ln xdx
1
0
6
( ln x ) dx
2
1
kh
Mỗi dạng toán chứa đựng những đặc thù riêng của nó !
Phần phân loại các dạng toán
Tích phân của các hm hữu tỷ
A. Dạng : I =
P (x)
dx
ax + b
ê 0974.337.449
( a 0)
___________________________
Tháng 12 năm 2007
___________________
Trang
6
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
12
bài giảng tích phân
Phạm Kim Chung
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa
2007
Công thức cần lu ý : I =
dx = ln ax + b + C
ax + b
a
P (x)
dx
ax + bx + c
( a 0)
2
c.
B. Dạng : I =
co
m
Tính I1 = x + 1 dx
x 1
2
Tính I2 = x 5 dx
x +1
x3
Tính I3 =
2x + 3 dx
Phơng pháp : Thực hiện phép chia đa thức P(x) cho nhị thức : ax+b, đa tích phân về dạng :
dx ( Trong đó Q(x) l hm đa thức viết dới dạng khai triển )
I = Q ( x ) dx +
ax + b
1. Tam thức : f ( x ) = ax 2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt .
Tính I =
x
2
u' ( x )
u ( x ) dx = ln u ( x ) + C
oc
uo
Công thức cần lu ý : I =
2
dx
4
Cách 1. ( phơng pháp hệ số bất định )
A + B = 0
2
A
B
=
+
2 (A + B) x + 2(A B)
2
x 4 x 2 x +2
A B = 1
x
2
1 x 2
2
1
1
1
1
+C
dx =
dx -
dx = ln
2 x+2
4
2 x 2
2 x+2
gb
Do đó : I =
1
A = 2
B = 1
2
kh
on
Cách 2. ( phơng pháp nhảy tầng lầu )
2
1 2x
2x 4 1
dx = 2
dx 2
dx = ln x 2 4 ln x + 2 + C
Ta có : I = 2
x 4
2 x 4
x 4 2
dx
< Tổng quát >Tính I = 2
x a2
2x
Tính I =
dx
9 x2
3x + 2
Tính I = 2
dx
x 1
x2
Tính I = 2
dx
x 5x + 6
Tính I =
3x 3
x 2 3x + 2 dx
Phơng pháp :
Khi bậc của đa thức P(x) <2 ta sử dụng phơng pháp hệ số bất định hoặc phơng pháp nhảy
tầng lầu.
Khi bậc của đa thức P(x) 2 ta sử dụng phép chia đa thức để đa tử số về đa thức có bậc < 2 .
ê 0974.337.449
___________________________
Tháng 12 năm 2007
___________________
Trang
7
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
12
Phạm Kim Chung
bài giảng tích phân
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa
2007
Công thức cần lu ý : I =
Tính I =
d ( x 2)
1
1
dx =
=
+C
2
x 2 4x + 4
x
2
( x 2)
4x
2
4x
dx .
4x + 1
oc
uo
c.
dt
dx=
Đặt : 2x 1 = t
2 , lúc đó ta có :
2x = t + 1
t +1
dt
dt
2
I = 2 2 dx = 2 + 2 2 = 2 ln t + C
t
t
t
t
2
x 3
Tính I = 2
dx
x 4x + 4
x3
Tính I = 2
dx
x + 2x + 1
co
Tính I =
u' ( x )
1
+C
dx =
2
u(x)
(x)
u
m
2. Tam thức : f ( x ) = ax 2 + bx + c = ( x + )2 có nghiệm kép .
Phơng pháp : Để tránh phức tạp khi biến đổi ta thờng đặt : x + = t x =
trên tử số .
t
v thay vo biểu thức
3. Tam thức : f ( x ) = ax 2 + bx + c vô nghiệm .
Tính I =
x
2
1
dx
+1
Đặt : x = tg dx =
1
d , ta có :
cos2
1
cos ( tg + 1) d = d = + C
gb
I=
2
2
< Tổng quát > Tính I =
1
dx
x + a2
2
, với
. HD Đặt
( tg = x )
x = atg dx =
a
d , ta có :
cos 2
d
= +C
a
a
2
x 2 + 2x + 2 dx
2x + 1
x 2 + 2x + 5 dx
x2
x 2 + 4 dx
x3
x 2 + 9 dx
on
I=
Tính I =
kh
Tính I =
Tính I =
Tính I =
C. Dạng : I =
P (x)
dx
ax + bx 2 + cx + d
3
(a 0)
1. Đa thức : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d có một nghiệm bội ba.
ê 0974.337.449
___________________________
Tháng 12 năm 2007
___________________
Trang
8
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
12
Phạm Kim Chung
bài giảng tích phân
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa
2007
1
1
1
( x 1)
3
dx = ( x 1) d ( x 1) =
3
( x 1)
Nếu x < 1 , ta có : I =
3
1
(1 x )
dx =
3
1
2 ( x 1)
2
3
Tính I =
x2 4
( x 1)
dx
3
dx
x3
( x 1)
Tính I =
x4
( x + 1)
3
+C=
(1 x )
2
2
+C
1
= x m , với x > 0
xm
dx
3
2
2
3
Đặt : x 1 = t ta có : I =
Tính I =
( n 1)
t +1
1 1
dt = 2 + 3
t3
t
t
1
2 ( x 1)
2
+C .
+C =
1
2 ( x 1)
2
+C
oc
uo
x
( x 1)
( x 1)
dx = (1 x ) d (1 x ) =
Chú ý :
Tính I =
1
+C
( n 1) x n 1
dx
3
Nếu x > 1 , ta có : I =
Vậy : I =
dx =
co
( x 1)
n
c.
Tính I =
1
x
m
Công thức cần lu ý : I =
1 1
dt = 2 + C
t 2t
dx
gb
2. Đa thức : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d có hai nghiệm .
1
dx
Tính I =
2
( x 1)( x + 1)
Đặt : x + 1 = t , ta có : I =
1
t ( t 2 ) dt = t
2
3
dt
2t 2
on
Cách 1 < Phơng pháp nhảy tầng lầu >
1
3t 2 4t 1 3t 2 4t 4 3t 2 4t 1 3t + 2 3t 2 4t 1 3 2
=
+
Ta có : 3
=
=
t 2t 2 t 3 2t 2 4 t 3 2t 2 t 3 2t 2 4 t 2 t 3 2t 2 4 t t2
3t 2 4t
1 3 2
3
1
3
2
t3 2t2 dt 4 t + t2 dt = ln t 2t 4 ln t + 2t + C .
Cách 2 < Phơng pháp hệ số bất định >
kh
Do đó : I =
1
B = 2
2B = 1
1
1
At + B
C
2
=
+
1 ( A + C ) t + ( 2A + B ) t 2B 2A + B = 0 A =
3
2
2
4
t 2t
t
t2
A+C =0
1
C=4
Do đó :
t
3
ê 0974.337.449
1
1 t + 2
1
1 1 2
1
1
2
dt = 2
dt = + 2
dt = ln t ln t 2 + C
2
2t
4 t
t 2
4t t
t 2
4
t
___________________________
Tháng 12 năm 2007
___________________
Trang
9
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
12
bài giảng tích phân
Phạm Kim Chung
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa
2007
Tính I =
m
Phơng pháp nhảy tầng lầu đặc biệt có hiệu quả khi tử số của phân thức l
một hằng số .
Phơng pháp hệ số bất định : bậc của đa thức trên tử số luôn nhỏ hơn bậc
mẫu số 1 bậc .
2x + 1
x ( x 2 ) dx
2
x2
( x 1) ( x + 2 )
2
dx
Sử dụng phơng pháp hệ số bất định :
=
Ax + B
( x 1) ( x + 2 ) ( x 1)
2
( x + 2 )( Ax + B ) + C ( x 1)
2
2
+
C
x+2
oc
uo
Do đó : x 2
x2
c.
Tính I =
co
Để sử dụng phơng pháp nhảy tầng lầu ta sẽ phân tích nh sau :
2x + 1
2
1
=
+
x2 ( x 2) x ( x 2) x2 ( x 2)
x=-2, suy ra : C =
Cho :
4
9
x=0 , suy ra : B =
2
9
5
9
Phơng pháp trên gọi l phơng pháp gán trực tiếp giá trị của biến số để tìm A, B, C.
x3 1
Tính I = 3
dx
x + 2x 2 + x
x=1, suy ra : A =
gb
3. Đa thức : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d có ba nghiệm phân biệt .
Tính I =
x (x
1
2
1)
dx
1 3x 2 1 3x 2 3 1 3x 2 1 3
3
= 3
x ( x 1) 2 x x x ( x 2 1) 2 x x x
1 3x 2 1 3
1
3
dx = ln x 3 x ln x + C
Do đó : I = 3
2 x x x
2
2
1
A
B
C
Cách 2 . Ta có :
= +
+
1 A ( x 2 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x 1)
x ( x 2 1) x x 1 x + 1
kh
on
Cách 1. Ta có :
ê 0974.337.449
1
2
=
Cho
x=0, suy ra A = -1 .
1
x=1, suy ra B =
2
1
x=-1, suy ra C =
2
1
2
Do đó : I = ln x + ln x 1 + C
2
___________________________
Tháng 12 năm 2007
___________________
Trang
10
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
12
bài giảng tích phân
Phạm Kim Chung
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa
2007
x +1
dx
2
4)
x (x
x2
dx
( x 2 1) ( x + 2 )
x3
dx
1) ( x 2 )
Tính I =
(x
Tính I =
( 2x + 1) ( 4x
2
dx
2
+ 4x + 5 )
Đặt : 2x + 1 =t dx =
dt
, ta có :
2
1
dt
1 3t 2 6
3t 2 18
1
=
dt
dt =
ln t 3 6t 3 ln t + C
3
2
2
2 t ( t 6 ) 24 t 6t
24
t
t
6
(
)
c.
I=
m
Tính I =
co
Tính I =
gb
1
oc
uo
4. Đa thức : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d có một nghiệm (khác bội ba)
1
Tính I = 3
dx
x 1
Đặt x 1 = t dx = dt , ta có :
1 dt
t+3
dt
1 t 2 + 3t + 3
t 2 + 3t
dt =
I= 2
= 2
dt 2
dt = 2
3 t
t + 3t + 3
t ( t + 3t + 3 ) 3 t ( t + 3t + 3 )
t ( t + 3t + 3 )
1 dt 1
2t + 3
3
dt
= 1 ln t 1 ln t 2 + 3t + 3 3 + C ( Với x = 3 tg )
dt
= 2
2
3 t 2 t + 3t + 3
2
2
3
2
3
3
t + +
2
4
1
Tính I =
dx
2
x ( x + 1)
x (x
Tính I =
2
+ 2x + 2 )
dx
x2
x 3 + 1 dx
x3
Tính I = 3
dx
x 8
1
Tính I = 3
dx
x 3x 2 + 3x 2
on
Tính I =
kh
Tóm lại : Ta thờng sử dụng hai phép biến đổi :
Tử số l nghiệm của mẫu số .
Tử số l đạo hm của mẫu số .
v phân thức đợc quy về 4 dạng cơ bản sau :
1
1
1
dx = ln ax + b + C
{
ax + b ứng với ax + b
a
u'
u'
dx = ln u + C
{
u ứng với u
ê 0974.337.449
___________________________
Tháng 12 năm 2007
___________________
Trang
11
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
12
bài giảng tích phân
Phạm Kim Chung
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa
2007
Q (x)
dx < P(x) l đa thức bậc cao> V một số kĩ thuật tìm nguyên hm .
P (x)
co
D. Dạng : I =
m
u'
u'
1
+C
(n 2)
{ n dx = un
u
n
1
(
) un-1
ứng với
1
1
a
dx = + C , với x + d = atg
{
2
2
2
2
a
( x + d ) + a ứng với ( x + d ) + a
1. Kĩ thuật biến đổi tử số chứa nghiệm của mẫu số .
dx
Tính I =
x ( x 1) ( x + 7 ) ( x + 8 )
HD : I =
x ( x 1) ( x + 7 ) ( x + 8 ) dx
Tính I =
x
4
x
6
dx
+ 10x 2 + 9
Tính I =
oc
uo
2
2
dx
1 ( x + 9 ) ( x + 1)
HD : I = 2
=
( x + 1)( x 2 + 9 ) 8 ( x 2 + 1)( x 2 + 9 )
c.
x ( x + 7 ) ( x 1)( x + 8 )
dx
+ 6x 4 13x 2 42
dx
HD : I =
(x
Tính I =
5x
5
x
7
dx
10x 3
Tính I =
(x
2
Tính I =
x
Tính I =
( x + 1) ( x
2
3 )( x 2 + 2 )( x 2 + 7 )
dx
+ 20x
4
4
1
dx
1 ( x + 4) x
HD : I =
=
5 x ( x 4 + 4 ) 20 x ( x 4 + 4 )
gb
Tính I =
4
4
dx
1 x ( x 10 )
=
x 3 ( x 4 10 ) 10 x 3 ( x 4 10 )
dx
kh
on
HD : I =
8
2 )( 2x 2 + 1)( 3x 2 4 )
dx
10x 6 + 35x 4 50x 2 + 24
dx
4
+ 4x 3 + 6x 2 + 4x 9 )
x 2 dx
x4 1
x 4 dx
Tính I = 4
x 1
x 4 dx
Tính I = 4
x +1
x 4 dx
Tính I = 6
x 1
Tính I =
ê 0974.337.449
___________________________
Tháng 12 năm 2007
___________________
Trang
12
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
12
Phạm Kim Chung
bài giảng tích phân
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa
2007
x 6 dx
x6 1
dx
Tính I = 100
3x + 5x
dx
Tính I =
2
x ( 2x 50 + 7 )
(1 x ) dx
x (1 + x )
2000
2000
2. Kĩ thuật đặt ẩn phụ với tích phân có dạng : I =
Tính I =
x3 + x + 1
( x 2)
30
P(x)
( ax + b )
dx
3
+t+3
t 30
Tính I =
x4
( x 3)
Tính I =
45
dt =
t 3 + 6t 2 + 13t + 11
1
1
1
1
+ C =
dt =
+6
+ 13
+ 11
30
26
27
28
t
27t
28t
29t 29
26t
oc
uo
( t + 2)
( 1)
c.
dx = dt
Đặt x 2 = t
, ta có :
x = t + 2
I=
dx
co
Tính I =
m
Tính I =
dx
3x 4 5x 3 + 7x 8
( x + 2)
50
dx
Chú ý : Với loại toán ny trong cuốn Tích Phân T.Phơng đã sử dụng phơng pháp khai triển
Taylor nhng tôi cảm thấy cách lm ny không nhanh hơn lại gây nhiều phức tạp cho học sinh nên đã
không nêu ra .
gb
3. Kĩ thuật biến đổi tử số chứa đạo hm của mẫu số .
xdx
4
1
Đặt x 2 = t 2xdx = dt
x 3 dx
Tính I = 4
x +1
2
x 1
Tính I = 4
dx
x +1
1
1
d x +
1 2
2
x 1
x
x dx =
I= 4
dx =
1 2
1
x +1
2
x + 2
x + 2
x
x
2
x +1
Tính I = 4
dx
x +1
x2
Tính I = 4
dx
x +1
( x 2 1)
dx
Tính I = 4
x 5x 3 4x 2 5x + 1
( x 2 + 1)
dx
Tính I = 4
x + 2x 3 10x 2 2x + 1
x
( )
=
2
1
2 2
ln
x2 x 2 + 1
x2 + x 2 + 1
+C
kh
on
Tính I =
ê 0974.337.449
___________________________
Tháng 12 năm 2007
___________________
Trang
13
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
12
Phạm Kim Chung
bài giảng tích phân
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa
2007
Tính I =
(x
2
2)
x 4 3x 3 + 11x 2 6x + 4
( x2 + 3)
dx
Tính I =
co
m
dx
x 4 2x 3 2x 2 + 6x + 9
dx
Tính I = 4
x + x2 + 1
dx
Tính I = 4
x 3x 2 + 4
Bình luận : Loạt bi toán ny lm tôi khá ấn tợng với phép chia cả tử số v mẫu số cho
x 2 . Quả thật tôi luôn cố gắng tìm tòi xem liệu mình có thể nghĩ ra một phơng pháp no
Tính I =
(x
oc
uo
c.
khác hay hơn chăng, nhng bó tay.com . Thế mới hiểu toán học : luôn tiềm ẩn những vẻ
đẹp lm ngời ta sửng sốt.
x5
Tính I = 6
dx
x +1
x
Tính I = 6
dx
x 1
1
dt
Đặt x 2 = t 2xdx = dt , ta có : I = 3
2 t 1
x3
Tính I = 6
dx
x 1
x4 + 1
Tính I = 6
dx
x +1
3
2
1 d(x ) 1 d(x )
x3 + x
+ 6
Tính I = 6
dx HD : I = 6
3 x +1 2 x +1
x +1
3
1
x2
x
d ( x2 )
Tính I = 6
HD : I =
dx
2 ( x 2 )3 + 1
x +1
+ 1)( x 2 + 2x 1)
2
on
gb
dx
x 6 14x 3 1
1
1
1
1 + 2 x + 2
x + 2
1
x
x
x
dx =
HD : I =
dx
3
x
3 1
1
1
x + 3 x 14
x 3 14
x
x
x
19
x
dx
Tính I =
2
( 3 + x10 )
kh
HD . I =
x10 .10x 9
(3 + x )
10 2
Tính I =
Tính I =
ê 0974.337.449
dx =
x 99
( 2x
50
3)
7
x 2n 1
( ax
n
+ b)
k
1
x10
d ( x10 )
10 ( 3 + x10 )2
dx
dx
___________________________
Tháng 12 năm 2007
___________________
Trang
14
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
12
Phạm Kim Chung
bài giảng tích phân
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa
2007
4. Kĩ thuật chồng nhị thức .
Cơ sở của phơng pháp :
a b
c d
ax + b
dx , ta dựa vo cơ sở :
=
2
cx + d ( cx + d )
m
v phân tích biểu thức dới dấu tích phân về dạng :
dx
ax + b
ax + b ax + b
I = k f
= k f
d
2
cx
+
d
( cx + d )
cx + d cx + d
VD . Tính
10
3x 5
dx =
x+2
10
dx
( x + 2)
2
=
11
1 3x 5
1 3x 5
3x 5
d
=
+C
11 x + 2
x
+
2
121
x+2
c.
( 3x 5 )
12
( x + 2)
10
I=
(7x 1)
dx
101
( 2x + 1)
Tính I =
dx
( x + 3)
5
oc
uo
99
Tính I =
m
( ax + b )
( cx + d )
,
co
Để tìm nguyên hm có dạng : I =
n
( x + 5)
3
( x + 3) ( x + 5)
1
1
5
5
6
2
5
6
2 x +3
x+5
8
x +3
x + 3 ( x + 5) ( x + 5)
x
5
+
(
)
x +5
x +5
x +5
Để tránh sự đồ sộ trong tính toán ta có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ nh sau :
1
dt
dx =
2
2
x+3
( x + 5)
=t
, nên ta có :
Đặt
x+5
x + 5 2 = t 1 = 1 t
x + 5
x+5
2
dx
=
1
1
gb
HD . I =
on
( x + 3) ( x + 5)
1
1
5
6
2 x+3
x+5
x+5
Tính I =
Tính I =
kh
Đặt
dx
6
=
dx
( x + 5)
2
1 ( t 1) dt
27
t5
6
dx
( x + 5)
6
2
=
dx
( 3x 2) ( 3x + 4 )
7
3
dx
( 2x 1) ( 3x 1)
3
4
3x 1
1
1
=t
dx = dt v
= 2t 3
2
2x 1
2x 1
( 2x 1)
Do đó ta có : I =
ê 0974.337.449
dx
( 2x 1) ( 3x 1)
3
4
=
dx
( 2x 1)
___________________________
7
3x 1
2x 1
4
=
( 2t 3 )
5
dt
t4
Tháng 12 năm 2007
___________________
Trang
15
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
12
Phạm Kim Chung
bài giảng tích phân
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa
2007
Tích phân của các hm lợng giác
cos
2
xdx =
m
A. Sử dụng thuần tuý các công thức lợng giác .
1 cos2x
1 + cos2x
Công thức hạ bậc : sin2 x =
; cos 2 x =
2
2
VD . Tìm họ nguyên hm : cos2 xdx
1 + cos2x
1
1
1
1
dx = dx + cos2xd ( 2x ) = x + sin 2x + C
2
2
4
2
4
Bi tập . Tìm họ nguyên hm :
sin
2
2 . cos 4 xdx
xdx
2
4. sin 5xdx
co
1.
3. cos 4 3xdx
4
4
6 . cos x sin xdx
5 . sin 5xdx
2
1.
sin
6
c.
sin 3x + 3 sin x
cos3x + 3cosx
Công thức hạ bậc : sin3 x =
; cos 3 x =
4
4
Bi tập . Tìm họ nguyên hm :
2 . cos6 3xdx
xdx
3.
cos
6
4xdx
oc
uo
Công thức biến đổi tích thnh tổng :
1
sin a.sin b = cos ( a b ) cos ( a + b )
2
1
cosa.cosb = cos ( a + b ) + cos ( a b )
2
1
sin a.cosb = sin ( a + b ) + sin ( a b )
2
VD . Tìm họ nguyên hm : sin 2x.cosxdx
1
1
1
1
1
sin 2xcosxdx = 2 [ sin 3x + sin x ] dx = 6 sin 3xd ( 3x ) + 2 sin xdx = 6 cos3x 2 cosx + C
Bi tập . Tìm họ nguyên hm :
sinxcos3xdx
2 . cosx.cos2x.cos3xdx
gb
1.
3.
cos4x.sin 5x.sin xdx
Công thức cộng :
cos ( a + b ) = cos a cos b sin a sin b
cos ( a b ) = cos a cos b + sin a sin b
on
sin ( a + b ) = sin a cos b + sin b cos a
sin ( a b ) = sin a cos b sin b cos a
kh
VD .
Bi tập :
=
1.
dx
cos ( x + 5 ) ( x 5 )
1
1
sin 2x sin10x = 2cos10 cos ( x + 5 ) cos ( x 5 ) = 2cos10 cot g ( x 5 ) + tg ( x + 5 )dx
sin ( x 5 )
1
+C
ln
2cos10 cos ( x 5 )
dx
sin 2x sin x
2.
dx
sin x + sin 3x
3.
dx
1 sin x
B. Tính tích phân khi biết d(ux)) .
2
VD . Tính
sin x.cosxdx
2
0
ê 0974.337.449
___________________________
Tháng 12 năm 2007
___________________
Trang
16
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
12
Phạm Kim Chung
bài giảng tích phân
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa
2007
Đặt t=sinx, t 0; 1 . Khi x=0 thì t=1, khi x=
1
0
0
2
2
sin x.cosxdx = t dt =
t3 1 1
=
3 0 3
m
2
thì t=1 v dt = cosxdx . Do đó :
2
Với loại tích phân ny học sinh có thể tự sáng tạo ra một loạt các bi toán, tôi thử đa ra
một vi phơng án :
Biết d(sinx)
cosxdx .
2
2
0
co
1. sin n x.cosxdx
4
4. ( sin 3x )
10
( cos3x )
5
dx
4
1. cos x.sin xdx
n
0
4. ( sin 2x ) ( cos2x )
7
dx
4
0
1
dx
cos 4 x
d(cotgx)
sin x
2.
dx
3
0 cos x
5.
1. ( cotg 3 x + cotgx ) dx
4
on
1
4. 4 dx
sin x
Biết d( sinx cosx )
kh
0
xdx
3.
4
sin3 x
dx
5
x
0
cos
( cos x sin x )
sin x + cosx
4
dx
cos2n x
3.
6.
( tg
5
( tg3x )
0 ( cos3x )6 dx
7
x + tg 4 x + tg3 x + tg2 x + 1) dx
1
dx .
sin 2 x
gb
2
1.
sin x
2.
dx ( n N * , n 1)
n
cos
x
0
sin xdx
5.
cos3 x 1
4
1. ( tg x + tgx ) dx
3
4
3
4
cosxdx
x + 3 sin x + 2
oc
uo
100
2
tg
1
dx .
cos2 x
Biết d(tgx)
Biết
sin
3.
c.
2
4.
5.
sinxdx .
Biết d(cosx)
2
cosx
2. n dx ( n N * , n 1)
sin x
2
( cotg5x )
( cos5x )8
10
cosx
dx
5
sin
x
2.
3.
4
dx
5. 2n
sin x
( cosx sinx) dx
6.
( cotg
5
x + cotg 4 x + cotg 3 x + cotg 2 x ) dx
2
dx
2cosx 3 sin x
dx
4.
2 sin x 3cosx + 1
dx
cos2x
dx
+ sin 2x
1
2.
4
5.
Biết d ( a sin2 x bcos2 x c sin 2x d )
3.
cos2x
( sin x + cosx )
3
dx
( sin 2x + 2cos4x ) dx
cos2x sin 4x
(a b c) sin2xdx
sin 2x
sin 2x
dx
2.
3 sin2 x + cos 2 x
2 sin2 x 4 sin xcosx + 5cos 2 x
Biết d(f(x)) với f(x) l một hm lợng giác bất kì no đó .
1
cos3 + 1
=
VD . Chọn f(x) = sinx + tgx d ( f ( x ) ) = cosx +
2
cos x
cos2 x
1.
ê 0974.337.449
___________________________
Tháng 12 năm 2007
___________________
Trang
17
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
12
Phạm Kim Chung
bài giảng tích phân
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa
2007
Nh vậy ta có thể ra một bi toán tìm nguyên hm nh sau :
( sin x + tgx ) ( cos3 x + 1)
dx
cos2 x
Để tăng độ khó của bi toán bạn có thể thực hiện một vi phép biến đổi ví dụ :
( sin x + tgx ) ( cos3 x + 1)
sin x (1 + cosx ) ( cos3 x + 1)
1
= sin x (1 + cosx ) 1 +
cos x
cos x
cos3 x
1
Từ đó ta có bi toán tìm nguyên hm : sin x (1 + cosx ) 1 +
dx
cos3 x
Dĩ nhiên để có một bi tìm nguyên hm nhìn đẹp mắt lại phụ thuộc vo việc chọn hm f(x) v khả năng
biến đổi lợng giác của bạn !
1
1
4
+
=
VD . Tôi chọn hm số : f(x) = tgx cotgx d ( f ( x ) ) =
, nh vậy tôi có thể ra một bi
cos2 x sin2 x sin2 2x
=
3
( tgx - cotgx )2007
sin 2 2x
Nếu thấy cha hi lòng ta thử biến đổi tiếp xem sao ?
dx
c.
toán nhìn tạm đợc nh sau : Tìm họ nguyên hm :
co
m
2
cos 2 x sin2 x 2cos2x
( tgx - cotgx )
22007 cos2007 2x
=
=
2
sin x.cosx
sin 2x
sin 2x
sin2009 2x
cos2007 2x
dx .. Có thể bạn sẽ thấy buồn khi bi toán ny lại
Vậy bạn sẽ có một bi toán mới : Tìm họ nguyên hm :
sin 2009 2x
có cách giải ngắn hơn con đờng chúng ta đi !
Nhng dẫu sao cũng phải tự an ủi mình : Thực ra trên mặt đất lm gì có đờng ..
Chng l chỳng ta khụng thu lm c iu gỡ chng ? Nhng tụi li cú suy ngh khỏc, bit õu nhng
nh vit sỏch li xut phỏt t nhng ý tng nh chỳng ta ???
Hóy th xột sang mt dng toỏn khỏc :
2007
oc
uo
Ta có : tgx cot gx =
C. Tạo ra d(u(x)) để tính tích phân .
4
VD . Tính tích phân :
dx
cosx
gb
0
Rõ rng bi toán không xuất hiện dạng :
f ( u ( x ) )u'( x ) dx = f ( u )du
on
Vậy để lm đợc bi toán, một phơng pháp ta có thể nghĩ đến l tạo ra d( u(x)) nh sau :
6
6
dx
cosxdx 6 d ( sin x ) 1 1 sin x
1 1
0 cosx = 0 cos2 x = 0 1 sin2 x = 2 ln 1 + sin x 6 = 2 ln 3
0
kh
Bạn có nghĩ rằng mình cũng có khả năng sáng tạo ra dạng toán ny !
Tạo d(sinx)
cosxdx .
dx
1. 4
sin xcosx
sin2 x
dx
4.
cosx
Tạo d(cosx)
dx
1.
sin xcosx
tg 4 x
dx
cosx
cos2 xdx
5.
cos3x
2.
3.
dx
cos
3
x
6.
dx
3
5
sin xcosx
sinxdx .
dx
2. 3
sin x
2
3.
cos3 x
sin5 x dx
4
ê 0974.337.449
___________________________
Tháng 12 năm 2007
___________________
Trang
18
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
12
Phạm Kim Chung
bài giảng tích phân
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa
2007
dx
5.
sin x ( cos3 x 1)
4 sin3 x
1 + cosx
3.
( sin x )
4
sin2 x
dx
2
0 1 + cos x
2.
4. tg 8 xdx
5.
0
d(cotgx)
2
1. cotg 3 xdx
4
1
dx
sin 4 x
6.
3.
dx
2n
( cotg5x )
( sin 5x )8
x
d( tg
x
)
2
oc
uo
1 1
x
dx . < Phép đặt ẩn phụ t= tg > .
x
2 cos2
2
2
dx
1
dx
1.
2.
3.
2cos3x + 7 sin 3x
3 sin x + cosx
7 sin x 5cosx
sin x cosx + 1
dx
4.
5.
2
sin x + 2cosx + 3
3
( sin x + 4cosx )
Tạo
1
( sin x 2cosx )
2
dx
10
1
dx
sin2 x 2cos 2 x
sin
5.
( cosx )3
dx
2 sin2 x 5 sin xcosx 3cos2 x
1
dx .
sin 2 x
2.
dx
3
co
1. tg 3 xdx
m
4
4.
6.
1
dx .
cos2 x
Tạo d(tgx)
Tạo
dx
sin xcos 6 x
dx
c.
4.
dx
2 sin x + 5cosx + 3
D. sáng tạo bi tập
gb
Nếu đợc phép hỏi, tôi sẽ hỏi rằng bạn có cảm thấy nhàm chán khi bạn cứ suốt ngày ôm lấy một cuốn sách tham khảo và làm hết
bài tập này đến bài tập khác, mà đôi lúc bạn vẫn cảm giác rằng khả năng giải toán của mình không giỏi lên. Còn tôi đam mê môn Toán từ
khi tôi biết thế nào là sáng tạo .. Bạn có muốn thử xem mình có khả năng sáng tạo hay không ?
Dù khả năng sáng tạo bài tập đợc xuất phát từ những bản chất rất sơ đẳng, có thể bạn sáng tạo một bài toán mà bạn đã bắt gặp ở
một cuốn sách nào đó.. nhng dẫu sao nó vẫn mang dáng dấp của bạn .
Tôi mạn phép t duy để cùng tham khảo cho vui !
on
Tôi sẽ lấy một hm số f(x) no đó m tôi thích, rồi đạo hm để tìm d(f(x)) .
h Tôi chọn : f ( x ) = sin4 x + cos4 x , f' ( x ) = 4 ( sin3 xcosx cos3 x sin x ) = 2.sin 2x ( sin2 x cos 2 x ) = sin 4x
2
Một bi toán đơn giản đợc tạo ra : Tính
sin4x
sin x + cos xdx
4
4
0
kh
Một bi toán nhìn khá đẹp mắt, bạn đã gặp ở đâu cha ? Nếu gặp bi toán ny trớc khi bạn biết sáng tạo bạn
giải quyết nó nh thế no ?
Để tăng khả năng đánh lừa trực giác bạn có thể tạo mẫu số thnh một hm số hợp no đó quen thuộc , ví dụ :
Tính các tích phân sau :
1.
2
0
2
sin4x
4
4
sin x + cos x
ê 0974.337.449
dx
2.
0
2
sin4x
( sin x + cos x )
4
___________________________
4
2007
dx
3.
sin4x
cos 2 ( sin x + cos x )dx
4
4
0
Tháng 12 năm 2007
___________________
Trang
19
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
12
Phạm Kim Chung
bài giảng tích phân
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa
2007
2
4.
sin4x
tg ( sin x + cos x )dx
4
4
0
2
Tính :
m
Biết đâu một lúc no đó có ai hỏi tôi về cách giải các bi toán trên tôi lại quên ..!!!!!
Tôi biết bạn sẽ nghĩ t duy kiểu ny cũ rích . Vậy sao ta không thử t duy một kiểu no đó cho hơi lạ một tý :
1
1 1
2
2
Bi toán ny sẽ xuất phát từ đâu ?
f ( x ) = sin 4 x + cos 4 x = 1 2 sin 2 xcos2 x = 1 ( sin 2x ) = + ( cos2x ) ..
2
2 2
sin2x + cos2x
sin x + cos x dx
4
4
co
0
oc
uo
c.
i Nếu nh xuất phát từ lợng giác để tạo ra các bài toán tích phân của hàm lợng giác nghe có vẻ hiển nhiên quá, ta hãy xuất phát
từ hàm phân thức hữu tỷ xem sao ?
dx
Tôi sẽ xuất phát từ bi toán tìm nguyên hm : I = 2
.
x 1
1
1+ tg 2 x
dt = (1 + tg2 t ) dt và ra mắt bài toán : I =
dx
Tôi sẽ đặt : x=tgt dx =
2
cos t
1 tg 2 x
Bạn sẽ suy nghĩ rằng quá đơn giản .. nhng bạn sẽ cho cách giải thế nào với bài toán này :
d ( tgx )
1
1
..hãy nhờng chỗ cho
I=
dx , phải chăng bạn sẽ nghĩ I =
dx =
1 tg 2 x
1 tg 2 x
(1 tg2 x )(1+ tg2 x )
kh
on
gb
những lời giải thông minh hơn ..!!!
a Bạn đang ôn thi đại học, bạn đọc khá nhiều tài liệu.. đôi khi bạn sẽ gặp những bài toán khó hay những lời giải dài dòng hơn bạn..
bạn thấy mình đang từng ngày tiến bộ . Đôi khi bạn gặp một phơng pháp nào đó với tên gọi làm bạn hoảng hốt . Hãy dừng lại v t duy, bạn
sẽ tìm ra lời giải đáp !
Tôi đơn cử một ví dụ .. Khi bạn đọc tài liệu bạn thấy cụm từ tích phân liên kết có thể bạn bỏ qua vì nghĩ rằng quá khó
cosxdx
VD . Tính E =
sin x + cosx
sin x
dx
Lời giải : Xét tích phân liên kết với E là E1 =
sin x + cosx
sin x + cosx
E + E1 =
dx = dx = x + C1
sin x + cosx
Ta có :
.
E E = sin x cosx dx = d ( sin x + cosx ) = ln sin x + cosx + C
1
2
sin x + cosx
sin x + cosx
1
E = 2 ( x + ln sin x + cosx ) + C
Giải hệ phơng trình suy ra :
E = 1 ( x ln sin x + cosx ) + C
1 2
Bình luận : Sự đồ sộ lm bạn hoảng hốt, nhng hãy suy nghĩ xem thực chất nó cũng chỉ l một phép tách đơn
giản :
1 ( cosx + sin x ) + ( cosx sin x ) dx 1
1 d ( cosx + sin x ) 1
= dx +
= x + ln sin x + cosx + C
E =
2
sin x + cosx
2
2 cosx + sin x
2
Nếu cha thực sự tin bạn có thể thử với một loạt các bi toán khác tơng tự :
sin x
sin 3x
sin4 x
dx
dx
dx
1.
2.
3. 4
3cosx + 7 sin x
2cos3x 5 sin 3x
sin x + cos 4 x
Việc đa ra bi toán trên chỉ l sự đúc rút kinh nghiệm không phải l sự sáng tạo, nhng nó giúp chúng ta lí giải
đựơc một điều quan trọng trong sáng tạo bi tập : l muốn có một bi tập hay bạn cần kết hợp nhiều phép biến đổi v dĩ
nhiên đòi hỏi bạn phải kiên trì v một chút yếu tố may mắn .
d Tôi thử lấy hàm số : f ( x ) = 2 sin2 x 2 sin2x + 5cos2 x và tách nó thành 2 kiểu khác nhau :
Kiểu1. f ( x ) = 2 sin2 x sin 2x + 5cos 2 x = ( sin 2 x + cos 2 x ) + ( sin x + 2cosx ) = 1 + ( sin x + 2cosx ) = 1 + u 2
2
ê 0974.337.449
___________________________
Tháng 12 năm 2007
2
___________________
Trang
20
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
12
Phạm Kim Chung
bài giảng tích phân
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa
2007
Kiểu2. f ( x ) = 2 sin 2 x sin 2x + 5cos 2 x = 6 ( sin 2 x + cos 2 x ) ( cosx 2 sin x ) = 6 ( cosx 2 sin x ) = 6 v 2
2
2
v ' = sin x 2cosx u'+ v ' = 3 ( sin x + cosx )
sin x + cosx
dx
Vậy phải chăng bi toán ny sẽ rất khó :
2
2 sin x 2 sin 2x + 5cos2 x
Tôi nhìn thấy bạn đang cời chế diễu bởi bạn đã bắt gặp nó..nhng có 2 điều tôi
muốn nói với bạn :
- Hãy giải bi toán ny bằng một cách thật thông minh .
- Hãy mợn tạm t duy ny để ra bi tập .
dx
Bạn đã quá quen với bi toán ny : 6
nhng tôi khẳng định bạn sẽ có một chút băn khoăn với bi toán :
sin x
sinxcosx ( sin4 x + sin2 x + sinx + 1)
Tìm họ nguyên hm : I =
dx
sin6 x - 1
Giải
2
sin xcosx ( sin 4 x + sin 2 x + 1) 1 d ( sin3 x )
sinxcosx ( sin4 x + sin2 x + sinx + 1)
sin 2 xcosx
1 d ( sin x )
dx
=
+
=
+
sin6 x 1
sin6 x - 1
sin6 x 1
3 ( sin3 x )2 1 2 sin 2 x 1
1 cos2 x 1
2
ln
+ ln ( cos x ) + C .. bạn tìm lời giải nhanh hơn nhé !
6 sin2 x + 1 2
oc
uo
=
c.
I=
co
m
ở kiểu1. u' = cosx 2 sin x v kiểu2
Bi toán trên bị lộ ý tởng giải toán khi xuất hiện : sin4 x + sin2 x + 1 nhng bi toán ny bạn hãy giải quyết dùm
sinxcosx ( sinx + 1)
dx
Tìm họ nguyên hm : I =
sin6 x - 1
Với ý tởng ny bạn có thể ung dung nghĩ rằng : ngời khác sẽ đau đầu vì bi toán của bạn ! Hãy thử
theo ý tởng của bạn, đảm bảo tôi sẽ bó tay . com .vn !!!
dùng đồ của ngời khác cảm zác không thoải máinhng .. dùng mi mà ngời ta không bắt trả lại thì
thành của mình ! < .. triết lí không ? >
Đêm khuya lắm rồi, tạm chia tay với tích phân hm lợng giác ! Nhờng lại sân chơi cho các bạn !
sin4x + cos2x
gb
on
Tìm họ nguyên hm :
sin x + cos x dx
6
6
( Với giá dùng thử chỉ có 4 dấu = )
Vỡ ủụứi phuù kieỏp taứi hoa
Vỡ ngửụứi gian dớu hay ta ủa tỡnh .. ?!
Tích phân của các hm chứa dấu giá trị tuyệt đối
2
kh
VD . Tính
0
1
2
1
2
0
1
0
1
x 1 dx = x 1 dx + x 1 dx = ( x 1) d ( x 1) + ( x 1) d ( x 1)
1
2
= (1 x ) + ( x 1) = 2
0
1
Tích phân của hm chứa dấu giá trị tuyệt đối không khó lắm, nó phụ thuộc hon ton vo khả năng xét dấu của
hm số trong dấu giá trị tuyệt đối .
Khi xét dấu của hm đa thức chứa trong dấu giá trị tuyệt đối bạn cần lu ý một mẹo vặt : Đa thức có n
nghiệm thì ta xét trên (n+1) khoảng. Đa thức bậc n có n nghiệm thì đan dấu trên các khoảng, khác n nghiệm thì
mất tính đan dấu .
ê 0974.337.449
___________________________
Tháng 12 năm 2007
___________________
Trang
21
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
12
Phạm Kim Chung
bài giảng tích phân
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa
2007
3
VD1 . Tính
x 2 1 dx
2
-2
+
0
-1
m
x =1
( tam thức bậc 2 có 2 nghiệm )
Nháp : x 2 1 = 0
x = 1
xét dấu :
co
_
3
+
1
Thử một số bất kì trong khoảng bất kì
1
3
x 2 1 dx =
2
1
x 2 1 dx +
2
1
1
x
VD2. Tính
3
3
x 2 1 dx + x 2 1 dx =
1
(x
2
2
1) dx
1
(x
x 2 dx
1
1
3
2
1
oc
uo
Giải .
c.
Đan dấu
1) dx + ( x 2 1) dx =
1
28
3
Chúng ta thờng nhầm lẫn khi xét dấu l đa thức có 2 nghiệm v đan dấu trên 3 khoảng sẽ cho kết
quả sai ! Hãy lm nh sau :
1
x 3 x 2 dx =
1
Các bi tập rèn luyện :
2
x
3
x dx
1
2
1
0
1
2
2
2
x x 1dx = x x 1 dx + x x 1 dx =
1
x 1dx
gb
1.
2
1
2.
3.
1
0
9x 2 6x + 1dx
4.
3
4
4
0
1 + cos2xdx
2
5.
cos3 x cos2 xdx
2
on
Tích phân từng phần
b
1. Tích phân dạng :
P ( x ) sin xdx ,
a
b
P ( x ) cosxdx
a
Đặt u = P(x) để giảm bậc của P(x) .
kh
VD . Tính
x
2
sin xdx
0
2
du = 2xdx
u = x
Đặt
. Do đó :
v = cosx
dv = sin xdx
2
2
2
x
sin
xdx
x
cosx
2xcosxdx
2
=
+
=
+
(
)
0
0 xcosxdx
0 0
Ta sẽ tính tích phân :
xcosxdx
0
ê 0974.337.449
___________________________
Tháng 12 năm 2007
___________________
Trang
22
Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
12
Phạm Kim Chung
bài giảng tích phân
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa
2007
du = dx
u=x
Đặt
. Do đó :
dv = cosxdx
v = sin x
xcosxdx
x.sin
x
=
sin xdx = cosx = 2
0
0 0
0
x
2
sin xdx = 2 4
0
Bi tập tự luyện :
1.
xcos xdx
2
6
2.
0
x cosxdx
3
3.
x sin xcos xdx
2
0
0
2
4.
2
3
x cos xdx 5.
0
b
2. Tích phân dạng :
P ( x ) ln xdx
a
dv = P(x)dx để dễ tìm v .
x
3
sin3
x
dx
2
0
kh
on
gb
oc
uo
c.
Đặt
co
2
m
Vậy
ê 0974.337.449
___________________________
Tháng 12 năm 2007
___________________
Trang
23
