Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (706.47 KB, 28 trang )
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
oc
uo
c.
co
m
Phạm Hồng Phong
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ
kh
on
gb
ỨNG DỤNG
WWW.ToanCapBa.Net
1
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
Hà Nội – 2012
m
MỤC LỤC
kh
on
gb
oc
uo
c.
co
CHỦ ĐỀ 1. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM ...................................................... 3
Loại 1. Khái niệm nguyên hàm ................................................................................................. 3
Loại 2. Sử dụng các công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số thƣờng gặp và tính
chất của nguyên hàm...................................................................................................................... 5
Loại 3. Phƣơng pháp đổi biến số............................................................................................... 9
Loại 4. Phƣơng pháp lấy nguyên hàm từng phần ................................................................ 11
CHỦ ĐỀ 2. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN ....................................................... 13
Loại 1. Sử dụng các công thức tính tích phân của một số hàm số thƣờng gặp và tính
chất của tích phân ......................................................................................................................... 13
Loại 2. Phƣơng pháp đổi biến ................................................................................................. 15
Loại 3. Phƣơng pháp tích phân từng phần ........................................................................... 21
CHỦ ĐỀ 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ......................................................... 22
Loại 1. Tính diện tích hình phẳng .......................................................................................... 22
Loại 2. Tính thể tích vật thể..................................................................................................... 25
WWW.ToanCapBa.Net
2
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
co
CHỦ ĐỀ 1.
m
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
Loại 1. Khái niệm nguyên hàm
A. Tóm tắt lý thuyết
. Hàm số F được gọi là một nguyên hàm của f trên K nếu
c.
* Định nghĩa: Cho f : K
F' x f x x K .
oc
uo
Nếu chỉ nói F là nguyên hàm của f (không nói rõ K là tập nào) thì ta hiểu F là nguyên hàm
của f trên tập xác định của f
* Chú ý: Khi K a;b thì các đẳng thức F' a f a và F' b f b được hiểu
F x F a
F x F b
f a và lim
f a .
x
a
xb
x a
x b
là lim
Cho hai hàm số f và F liên tục trên a;b . Nếu F là nguyên hàm của f trên a;b thì ta có thể
gb
chứng minh được F cũng là nguyên hàm của f trên a;b .
* Họ nguyên hàm: Giả sử hàm số F là một nguyên hàm nào đó của hàm số f trên K . Khi đó
+) Với mỗi hàng số C , hàm số y F x C cũng là một nguyên hàm của f trên K .
on
+) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G của f trên K đều tồn tại hằng số C sao cho
G x F x C với mọi x K .
Từ đó suy ra F x C , C
là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K . Họ tất cả các nguyên
kh
hàm của f trên K được ký hiệu là f x dx . Như vậy
f x dx F x C , C .
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau đây:
WWW.ToanCapBa.Net
3
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
f1 x x3 .
1)
f2 x 1 .
2)
f3 x 1 x .
3)
x
Giải
4
4
Ta có x4 ' 4x3 x ' x3 f1 x dx x C .
4
4
2)
Ta có
3)
Ta
có
2 x ' 1 f2 x dx 2 x C .
x
1 x 1 x ' 3 1 x
2
2 1 x 1 x ' 1 x
3
co
x ' 2 1x
f2 x dx 2 x C .
f1 x e2x .
2)
f2 x sin 3x .
3)
1)
2x
2x
Ta có e2x ' 2e2x e ' e2x f1 x dx e C .
2
2
2)
Ta có cos 3x ' 3sin 3x
3)
f3 x cos 2x .
oc
uo
Giải
c.
Ví dụ 2. Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau đây:
1)
m
1)
cos33x ' sin 3x f2 x dx cos33x C .
Ta có sin 2x ' 2cos 2x sin 2x ' cos 2x f3 x dx sin 2x C .
2
2
Giải
Ta có
gb
Ví dụ 3. Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x x 1
on
x 1 neáu x 1
f x
.
1 x neáu x 1
Xét hàm
kh
x2
2 x C neáu x 1
F x
.
2
x
x
neáu x 1
2
Ta tìm C để F là một nguyên hàm của f .
Dễ thấy F' x f x với mọi x 1 . Ta còn phải tìm C để F' 1 f 1 F' 1 0 .
WWW.ToanCapBa.Net
4
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
Để F có đạo hàm tại 1 thì trước hết F liên tục tại 1
lim F x lim F x F 1
x 1
x 1
C 1 1 C 1.
2
2
m
Với C 1 thì
co
x2
2 x 1 neáu x 1
F x
.
2
x
x
neáu x 1
2
Ta có
c.
lim
x 1
oc
uo
lim
x 1
x2
x 1 1
x2 x 1
2
F x F 1
2
2 1 lim x 1 0 1
lim
lim 2
x 1
x
1
x
1
2
x 1
x 1
x 1
x2 1
2
x
x x 1
2 2
F x F 1
2
2 1 lim x 1 0 2 .
lim
lim
x 1
x
1
x
1
2
x 1
x 1
x 1
F x F 1
x 1
x 1
Từ 1 , 2 suy ra lim
F có đạo hàm tại 1 và F' 1 0 .
x2
2 x 1 neáu x 1
Vậy f x dx F x C , với F x
.
2
x
x
neáu x 1
2
gb
C. Bài tập
Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau đây:
f x 3x2 .
2)
f x x 1
4)
f x sin x.10cos x .
5)
7)
f x 4sin2 x .
8)
on
1)
3)
f x 102x .
f x 3 x .
6)
f x x x x .
f x 1 cos 4x .
9)
f x e .
100
.
2
x2
x
2 .
kh
10) f x max 1, x
Loại 2. Sử dụng các công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số
thƣờng gặp và tính chất của nguyên hàm
A. Tóm tắt lý thuyết
WWW.ToanCapBa.Net
5
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
* Công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
0dx C .
x1
C neáu 1
.
x dx 1
ln x
neáu 1
m
Hệ quả: dx x C ( 0 ), dx 2 x C ( 1 ).
2
x
cos xdx sin x C , sinxdx cos x C ,
* Nguyên hàm của hàm hợp
f x dx F x C f ax b dx
dx
cos2 x
F ax b
C.
a
sin x
oc
uo
* Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
f x g x dx f x dx g x dx .
tan x C , dx2 cot x C .
c.
x
x
x
e dx e C , a dx lna C 0 a 1 .
co
ax
kf x dx k f x dx .
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm họ nguyên hàm của các hàm sau:
1)
f x 4x4 .
f x x .
2)
f x 1 .
x3
f x cos x . 5)
4)
2
f x sin 2x .
gb
Giải
3)
1)
4
4
4 5
4x dx 4 x dx 5 x C .
2)
2
xdx x 2 dx 3 x x C .
on
1
3)
3
x dx
4)
cos 2 dx 2sin 2 C .
C.
x
sin 2xdx
kh
5)
1
2x2
x
cos 2x C .
2
Ví dụ 2. Tìm họ nguyên hàm của các hàm sau:
1)
f x x 2 .
2
x
2)
f x x 1 x4 3x .
3)
f x sin2 x .
Giải
WWW.ToanCapBa.Net
6
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
1
1)
1
3
1
2
2
x x
x 2
1
1 x2
x2
2 x dx 2 x 2 dx 2 x 2 dx 2 . 3 2. 1 C 3 4 x C .
6
2
5
4
5
4
2
3 3x
x
x
x 1 x 3x dx x x 3x 3x dx 6 5 x 2 C .
3)
2
1 cos 2x
sin 2x
1
1
x sin 2x
sin xdx 2 dx 2 dx cos 2xdx 2 x 2 C 2 4 C .
m
2)
co
C. Bài tập
Bài 1. Tìm
2
x x 5 dx .
3
2
ĐS: x x 5x C .
2)
2x2 3x 1dx .
x3
3)
2 x x3ex 3x2
dx .
x3
c.
1)
2
ĐS: 2ln x 3 1 C .
x
ĐS:
5)
2
x 1 dx .
6)
2
1 2x dx .
7)
3
2x 3 dx .
ĐS:
8)
100
x 1 dx .
ĐS:
dx .
x 1 x
3
10)
2012
3
3
on
9)
4 ex 3ln x C .
3x x
3
ĐS: x x2 x C .
dx .
7
5
ĐS: x 2x3 12x 8x C .
gb
2x2
ĐS: 8 x 4x 2x x C .
4)
x
2
oc
uo
2 x
3
ĐS:
5
2x 3 4
8
x 1101
101
C.
C.
1 x 2014
2014
7
1 x 2013
2013
ĐS: 4ln x 1 x71
kh
4x2 x dx .
x 1 3
3
2 x 1
11)
dx
.
2
x 4x 3
ĐS: 1 ln x 3 C .
12)
4x2 6x 1 dx
.
2x 1
ln 2x 1
C.
ĐS: x2 2x
2
C.
2
C.
x 1
2
WWW.ToanCapBa.Net
7
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
13)
4x3 4x2 1 dx .
2x 1
3
2
ln 2x 1
ĐS: 2x x x
C.
14)
4x3 9x 1 dx .
9 4x2
2
ĐS: x 1 ln 2x 3 C .
3 5
3
2
2
2
4
2x 3
12
5
x xdx .
2
ĐS: 5x x C .
16)
4
4
x x 2dx .
3
ĐS: x 1 C .
17)
x 1 1 xdx .
18)
dx
.
x 2 x 3
19)
dx
.
2x 3 2x 1
ĐS: 1 2x 3 2x 3 2x 1 2x 1 C .
6
20)
dx
.
3x 4 3x 2
ĐS: 1 3x 4 3x 4 3x 4 3x 4 C .
9
21)
x 1 2xdx .
7
3x
e dx .
2)
3x
x
e e dx .
co
ĐS: 2 x 1 x 1 2 1 x 1 x C .
3
3
c.
ĐS: 2 x 2 x 2 x 3 x 3 C .
15
2
ĐS: 1 1 2x 1 2x 1 1 2x 1 2x C .
10
6
3)
x
x
e 2 e dx .
4)
3
2
6x
4x
2x
ĐS: e e e C .
6
on
gb
ex dx .
2x
x
3x
ĐS: e C .
1)
3
oc
uo
Bài 2. Tìm
2
2
ĐS: 2ex x C .
ĐS:
ex
1 ln 2 2x
5)
22x .3x .5x dx
.
10x
x
ĐS: 6 C .
6)
e2 5x 1 dx
.
ex
ĐS: e
kh
m
15)
C.
ln 6
2 6x
6
1 C.
ex
Bài 3. Tìm
1)
sin 5xdx .
ĐS: cos 5x C .
2)
cos 6xdx .
ĐS: sin 6x C .
5
6
WWW.ToanCapBa.Net
8
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
3)
sin xcos xdx .
ĐS: cos 2x C .
4)
2
sin x cos x dx .
ĐS: x cos 2x C .
6
6
sin 2x cos 2x dx .
ĐS: 3x sin 4x C .
4
4
sin x cos x dx .
4
16
ĐS: 5x 3sin 8x C .
8
7)
cos 2x 3 .cos 2x 4 dx .
8)
sin
9)
cos
64
8
12
ĐS: x sin x C .
2x
dx .
2
ĐS: x sin x C .
12
2
2
2
ĐS: 3cos x cos 3x C .
4
oc
uo
13) cos4 xdx .
2
c.
2
10) sin3 xdx .
12) sin4 xdx .
ĐS: 1 sin 4x 1 xsin C .
2x
dx .
2
11) cos3 xdx .
m
6)
2
co
5)
4
12
ĐS: 3sin x sin 3x C .
4
12
ĐS: 3x sin 2x sin 4x C .
8
4
32
ĐS: 3x sin 2x sin 4x C .
8
4
32
Loại 3. Phƣơng pháp đổi biến số
Bài 1. Tìm
gb
1) 1 3x3 x2dx .
Bài 2. Tìm
2
2) x dx .
x3 1
5)
3
6) 4x dx .
on
1) x dx .
x2 1
3
3x 2
4
dx .
kh
6
9) 7x 7 dx .
x7 7x 1
x4 1
2) 1 3x3
3)
5
dx
1 2x
2
x2dx
.
6
7) 7x dx .
x7 7
4)
dx
2 2x 3
.
3
2
8) 4x 3x dx .
x4 x 3 1
9
10
10) 10x 11x dx .
x10 x11 1
Bài 3. Tìm
3
1) x. x2 1dx .
3
2) x. 2x2 2dx .
4
3) x2 . x3 2dx .
WWW.ToanCapBa.Net
4
4) x2 . 2x3 4dx
9
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
3
9) 3x2 . x3 1dx
10) x. x2 1dx .
13)
14)
21)
x2 dx .
x3 1
1
x 1
2
x2 dx .
4 3
x 1
8) x2 . x3 1dx .
11)
2x dx .
x2 1
2
12) 3x dx .
3
15) 4x dx .
6
16) 7x dx .
x3 1
x4 4
2
18) 3x dx .
19)
3 3
x 1
x7 7
9x2 dx .
3 3
3x 4
.3 x 1 dx .
x 1
Bài 4. Tìm
20)
6x2 dx .
4 3
2x 4
c.
17)
x dx .
3 2
x 1
7) x6 . x7 7dx .
m
3
6) x3 . x4 4dx .
co
5) x2 . 1 2x3 dx .
1) cos x 1 sin xdx .
2) 1 2sin x cos xdx .
3) cos x 1 sin xdx .
4) 1 2sin x cos xdx .
5) sin5 x.cos xdx .
6) sin x 1 .cos xdx .
7) sin x dx .
2 cos x
10) cos x dx .
2 4sin x
13) sin 2x dx .
cos 2x 1
sin x 1
9)
11) sin x dx .
12) cos x dx .
14) cos 2x dx .
15) cos xdx .
17) 2cos x 3 sin xdx .
18) 1 2sin x cos xdx .
cos x 1
sin 2x 1
sin x dx .
2 cos x
20)
cos x dx .
2 sin x
21)
22)
sin x dx
.
cos x 1
23)
cos 2x dx
.
sin 2x 1
24)
on
19)
25) cos x 1 sin xdx .
2
8) cos x dx .
2 sin x
gb
3
16) cos xdx .
oc
uo
3
2
26) 1 2sin x cos xdx .
sin x dx .
2 3cos x
sin x 1
sin x 14
cos x dx .
sin x 1
sin x
5 2 3cos x
dx .
27) cos x 1 sin xdx .
2
Bài 5. Tìm
kh
1) ln x 1 dx .
x
2) dx .
ln x
3) 2ln x 1 dx .
x
4) ln x 1 dx .
x
Bài 6. Tìm
1) esin 2x cos 2xdx . 2) etgx dx .
2
cos x
3) ex 1 2ex dx .
WWW.ToanCapBa.Net
4) 1 2ex
4
exdx .
10
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
x
5) e dx .
x
x
6) e dx .
7) ex 1 3ex dx .
2x
9) e
dx .
x
10) e dx .
11) ex 1 ex dx .
e 1
e2x 1
ex 2
8)
ex dx .
ex 1
m
3ex 1
Loại 4. Phƣơng pháp lấy nguyên hàm từng phần
x
xe dx .
4)
5)
6)
7)
c.
9)
3)
oc
uo
8)
x 2 cos xdx .
2x 1 cos xdx .
xcos 2x 1 dx .
xsin xdx .
2x 1 sin xdx .
x 1 sin xdx .
xsin 2x 1 dx .
2)
co
Tìm
1) xcos xdx .
10) 2x 1 exdx .
11) x 1 e2xdx .
12) xe2x 1dx .
13) x ln xdx .
gb
14) x ln 2x 1 dx .
15) 2x 1 ln xdx .
16) 1 ex xdx .
on
17) x 1 ln x dx .
18) x 1 cos x dx .
19) x 1 sin x dx .
kh
2
20) sin xcos3 xesin xdx .
21) cos x esin x cos x dx .
22) x tan x esin x cos x dx .
23)
ln 2 x
x ln x 1
dx .
WWW.ToanCapBa.Net
11
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
1 3ln x ln x
dx .
x
kh
on
gb
oc
uo
c.
co
m
24)
WWW.ToanCapBa.Net
12
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
CHỦ ĐỀ 2.
CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Loại 1. Sử dụng các công thức tính tích phân của một số hàm số
Bài 1. Tính tích phân
0
1
3
5
4
x x x x x dx .
0
3
5
4
x 2 x 3 x 4 x 5 x dx .
x 3x 1 dx .
9
0
1
5)
0
dx
x1 x
1
6)
dx .
3x 1
1
x
x 1
2010
.
dx .
0
10
2
8)
dx
2010x 1 .
0
x2
x 1 dx .
0
2x 1
on
2
9)
10)
2
0 x x1
2 2x 2
x x1
kh
0
11)
12)
4x 3
3x 1
1
.
2011
ĐS:
ln 20101
.
2010
ĐS: ln 3 .
1 x 4
2x3 3x2 4x 5
dx .
x x 1 x 2
ĐS: 11 35ln 2
x x 4 dx .
1
2
ĐS:
ĐS: 4 ln 7 .
dx .
2 2x 3
3
ĐS: ln 7 .
dx .
2
3
ĐS: 4 2 .
gb
7)
ĐS: 4 .
oc
uo
1
20
ĐS: 20 .
0
4)
ĐS: 229 .
c.
1
3)
20
1
2)
ĐS: 71 .
co
1)
m
thƣờng gặp và tính chất của tích phân
WWW.ToanCapBa.Net
ĐS:
141
ln 3 .
4
7 149
87
ln 2 ln 3 .
2
2
2
13
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
0
13)
x 1 dx .
ĐS: 1 .
2
2
2
| x x | dx .
ĐS: 1 .
0
5
15)
x 2 x 2 dx .
ĐS: 8 .
co
3
2
16)
3
2
3
2
f x g x dx với f x 3x x 4x 1 và g x 2x x 3x 1 .
1
3m 2
khi m 1
6 ,
m3 m 1
ĐS: I
, khi 0 m 1 .
2 3
3
2 3m
khi m 0
6 ,
oc
uo
1
x x m dx .
0
18)
1 sin 2xdx .
ĐS: 2 2 .
0
1 cos 2xdx .
0
ĐS:
1
.
2
ĐS:
5
.
32
ĐS:
2
.
3
ĐS:
85 2
.
12
20)
0
ĐS: 2 2 .
on
4
gb
19)
4
4
cos x sin x dx .
4
21)
0
6
6
sin x cos x dx .
kh
2
22)
sin x sin 2xdx .
0
4
23)
ĐS:
c.
37
.
12
17)
m
14)
3
sin xdx .
0
WWW.ToanCapBa.Net
14
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
3
ĐS:
8 7 3
.
64
sin x cos x 1 .
ĐS:
.
2
0
ĐS:
1 6 3 4 3 2 17
e e e .
6
4
2
2
4
cos xdx .
0
25)
2 2cos x 1 dx
0
1
3
2x
e 1 dx .
co
26)
ex 2 dx .
2
e
0
28)
29)
4 sin x
3 dx .
0 cos x
6
cos x
sin 2 x
4
31)
ĐS:
4 sinn x
n 2 dx , với n
x
0 cos
4
30)
ĐS: 8
2x
0
4
e2
.
1
.
2
1
.
n1
dx , với n \ {1} .
ĐS:
1
.
n1
ĐS:
1
.
2010
ĐS:
1
.
2010
on
32)
e4
ĐS:
\ {1} .
2011
x tan 2009 x dx , với n \ {1} .
tan
2
2
c.
gb
27)
oc
uo
2
m
24)
2011
x cot 2009 x dx , với n \ {1} .
cot
4
kh
Loại 2. Phƣơng pháp đổi biến
b
a
1. Sử dụng công thức f u(x) u'(x)dx f (t)dt
WWW.ToanCapBa.Net
15
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
b
Diễn giải phương pháp: Xét tích phân I g(x)dx . Giả sử bằng một số biến đổi nào đó, ta thu
a
được
m
g(x)dx f u(x) u'(x)dx f u(x) d u(x) .
x3
Bài 1. Tính tích phân
0
x 2 1
x5 x 3
1
Bài 2. Tính tích phân
x 2 1
2
x8 x5
Bài 3. Tính tích phân
0
2
x3 2
2
dx .
3
dx
Bài 4. [ĐHD09] Tính tích phân
.
x
1 e 1
b
x
eb
gb
ln 5
Bài 5. [ĐHB06] Tính tích phân
dx
x
ln 3 e 2e 3
ln 2
on
Bài 6. Tính tích phân
0
x
e2xdx
(ex 1)(ex 2)
.
.
e
ln xdx
.
1 x(ln x 1)(ln x 2)
Bài 7. Tính tích phân
kh
ln 2 1
.
2
2
ĐS:
44
ln 5 .
15
ĐS: ln(e2 e 1) 2 .
f (t)dt
.
t
a
e
Chú ý: f (e )dx
a
ln 2 1
.
2
4
ĐS:
dx .
oc
uo
0
ĐS:
dx .
2
c.
1
co
u(a)
Khi đó, ta có I f (t)dt . Ở đây
.
u(b)
ĐS: ln 3 ln 2 .
ĐS: 5ln 2 3ln 3 .
ĐS: 2ln 3 3ln 2 .
e2
ln 2 x 2 ln x 1
dx .
x(ln
x
1)(ln
x
2)
1
Bài 8. Tính tích phân
2
Bài 9. [ĐHA09] Tính tích phân (cos 3 x 1)cos 2 xdx .
0
WWW.ToanCapBa.Net
ĐS: 2-2ln3+ln2 .
ĐS:
8
.
15 4
16
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
2
Bài 10. [ĐHD05] Tính tích phân (esin x cos x)cos xdx .
ĐS: e 1
0
cos xdx
.
5
2sin
x
0
Bài 11. Tính tích phân
ĐS:
4
cos 2x
dx .
0 1 2sin 2x
Bài 13. [ĐHB03] Tính tích phân
0 1 sin 2x
2 sin 2xdx
dx .
.
oc
uo
Bài 14. [ĐHB05] Tính tích phân
0 1 cos x
4
sin 2xdx
Bài 15. [ĐHA06] Tính tích phân
.
cos2 x 4sin 2 x
0
2 sin 2x cos xdx
Bài 16. [ĐHB05] Tính tích phân I
1 cos x
.
gb
0
ln 3
.
4
ĐS:
ln 2
.
2
c.
4 1 2sin 2 x
ĐS:
co
Bài 12. Tính tích phân
ln 5 ln 3
.
2
m
2
3
Bài 17. Tính tích phân sin 2 x tan xdx .
ĐS: 2 2ln 2 .
ĐS:
10 2
.
3
ĐS: 2ln 2 1 .
ĐS: ln 2
on
0
6 sin 3x sin 3 3x
Bài 18. Tính tích phân
0
1 cos 3x
kh
Bài 19. [ĐHA08] Tính tích phân I
0
4
0
ĐS:
dx .
6 tan4 xdx
cos 2x
.
4
.
Bài 20. Tính tích phân 1 tan8 x dx .
WWW.ToanCapBa.Net
ĐS:
3
.
8
ln 5 ln 3
.
2
10 3 ln 2 3
.
27
2
ĐS:
76
.
105
17
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
2 sin x cos x
Bài 22. Tính tích phân
dx .
3
sin x cos x
3
4
2
Bài 24. Tính tích phân
sin x cos x
1 sin 2x
ĐS:
dx .
cos 2x
Bài 25. Tính tích phân sin 2x 1 sin 2 x
3 1
2
.
ln 2
.
2
3
dx .
ĐS:
1
.
32
ĐS:
ln 3
.
4
kh
on
gb
0
3
dx .
oc
uo
0 (sin x cos x 3)
2
3 13
2
1
2 2
co
Bài 23. Tính tích phân
ĐS:
4 3 2
.
4
c.
2
ĐS:
m
sin x dx
4
Bài 21. [ĐHB08] Tính tích phân
.
sin
2x
2(1
sin
x
cos
x)
0
4
WWW.ToanCapBa.Net
18
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
1
oc
uo
2. Phép đổi biến t n f (x)
c.
co
m
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
Bài 1. Tính tích phân x3 x 2 3 dx .
0
1
Bài 2. Tính tích phân x5 1 x 2 dx .
0
2
Bài 3. [ĐHA04] Tính tích phân
x1
gb
1 1
xdx
x3
3
Bài 4. Tính tích phân
1 3
x1 x 3
3
xdx
on
Bài 5. Tính tích phân
0
.
dx .
x2 2 2 1 x2
.
kh
7 (x 2)dx
Bài 6. Tính tích phân 3
.
x1
0
ĐS:
6 38
.
5
ĐS:
8
.
105
ĐS:
11
4 ln 2 .
3
ĐS: 6ln 3 8 .
ĐS:
10 2 11
.
3
ĐS:
231
.
10
ĐS:
468
.
7
ĐS:
29
.
270
9
Bài 7. Tính tích phân x 3 1 xdx .
1
1
Bài 8. Tính tích phân x15 1 3x8 dx .
0
WWW.ToanCapBa.Net
19
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
x 1 2 ln x
1
dx .
2 sin 2x sin x
Bài 11. [ĐHA05] Tính tích phân
1 3cos x
ĐS:
10 2 11
.
3
ĐS:
34
.
27
oc
uo
c.
0
dx .
116
.
135
co
3 2 ln x
e
Bài 10. Tính tích phân
ĐS:
m
1 3 ln x ln xdx
.
x
1
e
Bài 9. [ĐHB04] Tính tích phân
3. Các phép đổi biến x tan t , x cot t , x sint , x cost
8
16 x2 dx .
Bài 1. [ĐHB02] Tính tích phân
ĐS: 2 4 .
0
3
2
dx
Bài 2. Tính tích phân
9 x2
3
gb
3 3
2
.
2
dx
on
Bài 3. Tính tích phân
Bài 4. Tính tích phân
2 x x2 1
3
6
dx
kh
3 2
2
2
Bài 5. Tính tích phân
0
3
Bài 6. Tính tích phân
3
3
.
x x2 9
x 2dx
1 x2
dx
1 x
2
.
.
.
WWW.ToanCapBa.Net
ĐS:
4 3
.
27
ĐS:
.
6
ĐS:
.
36
ĐS:
2
.
8
ĐS:
.
6
20
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
xdx
1 x
2
x1
3
Bài 9. Tính tích phân
3
3
.
dx
1 x2
3
.
1 x
dx .
1
x
0
1
Bài 10. Tính tích phân
3 ln x
2 ln x
1
ĐS:
1 3
.
2
2
x
3
dx .
dx .
ĐS:
3 2 ln 2
.
16
ĐS:
5e4 1
.
32
1
2x
gb
Bài 4. [ĐHD06] Tính tích phân (x 2)e dx .
0
3
Bài 5. [ĐHD04] Tính tích phân ln(x 2 x)dx .
4
27
16 .
ĐS:
3
Bài 3. [ĐHD07] Tính tích phân x2 ln 2 xdx .
1
1.
2
3 ln
oc
uo
1 x 1
Bài 2. [ĐHD08] Tính tích phân
ln 3 3
.
2
6
c.
Bài 1. [ĐHB09] Tính tích phân
ĐS:
ĐS:
Loại 3. Phƣơng pháp tích phân từng phần
3
3
.
9
m
1
Bài 8. Tính tích phân
ĐS:
co
1
dx
Bài 7. Tính tích phân
.
2
0 x x1
5 3e2
ĐS:
.
4
ĐS: 3ln 3 2 .
2
on
1
2
Bài 6. Tính tích phân x 3ex dx .
ĐS:
1
.
2
ĐS:
3e 2
.
13
0
2
kh
Bài 7. Tính tích phân e2x cos 3xdx .
0
2
Bài 8. Tính tích phân
x 2e x
0 x 2
2
dx .
WWW.ToanCapBa.Net
ĐS: 1 .
21
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
4
Bài 9. Tính tích phân x tan 2 xdx .
ĐS:
2 ln 2
.
4 32
2
ĐS:
2 ln 2 1
.
8
0
1 x4
2
.
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
gb
CHỦ ĐỀ 3.
oc
uo
c.
co
0
x7dx
m
1
Bài 10. Tính tích phân
Loại 1. Tính diện tích hình phẳng
on
y f x , y 0
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
được tính bởi công thức:
x a, x b (a b)
b
S f x dx .
a
kh
x f y , x 0
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
được tính bởi công thức:
y a, y b (a b)
b
S f y dy .
a
WWW.ToanCapBa.Net
22
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
y f x , y g x
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
( f x , g x 0
x a, x b (a b)
x a;b ) được tính bởi công thức:
b
m
S f x g x dx .
a
co
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 4x 3 và y 3 .
ĐS: 8 (đvdt).
Bài 2. [ĐHA02] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 4x 3 và
109
(đvdt).
6
oc
uo
ĐS:
c.
y x 3.
Bài 3. [ĐHB02] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 4
ĐS: 2
4
(đvdt).
3
x2
x2
và y
.
4
4 2
Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 2x và y x2 4x .
gb
ĐS: 9 (đvdt).
Bài 5. Tính diện tích của hai phần đường tròn (C) : x2 y 2 8 chia bởi parabol (P) : y 2 2x .
ĐS: 2
4
4
(đvdt) và 6 (đvdt).
3
3
on
27
x2
Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x , y
và y
.
x
8
2
ĐS: 27 ln 2 (đvdt).
kh
Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 , y
ĐS:
2
8
x2
, y
và y .
4
x
x
20 ln 2
(đvdt).
3
WWW.ToanCapBa.Net
23
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
Bài 8. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (P) : y 4x x2 và các tiếp với (P) tại
và
O(0;0)
9
(đvdt).
4
m
ĐS:
A(3;3) .
5
Bài 9. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (P) : y x2 2x và các tiếp kẻ từ M ;6
2
ĐS:
co
tới (P) .
9
(đvdt).
4
c.
Bài 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y x 1 x2 , trục hoành và đường
ĐS:
2 2 1
(đvdt).
3
oc
uo
thẳng
x 1.
Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y
1 ln x
, trục hoành và các
x
x 1,
x e.
đường
ĐS:
thẳng
2 2 2 1
3
(đvdt).
gb
Bài 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y sin | x | và y | x | .
ĐS: 4 2 (đvdt).
on
Bài 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y (e 1)x và y ex 1 x .
ĐS:
e
1 (đvdt).
2
kh
Bài 14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường C : y x
(C) ,
ĐS:
x1
và
1
2x2
, tiệm cận xiên của
x 3.
1
(đvdt).
3
WWW.ToanCapBa.Net
24
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
Bài 15. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2(y 1)2 x và (y 1)2 x 1 .
4
(đvdt).
3
on
gb
oc
uo
c.
co
m
ĐS:
Loại 2. Tính thể tích vật thể
kh
* Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f (x), y 0
xung quanh Ox là
x a, x b (a b)
b
V f 2 (x)dx .
a
WWW.ToanCapBa.Net
25
