Luận văn tính giả lồi và bài toán levi

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

T R Ầ N T H Ị H IÊ N

TÍNH GIẢ LỒI VÀ BÀI TOÁN LEVI

LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC

H à N ộ i - 2016


B Ộ G I Á O D Ụ C V À Đ À O TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

T R Ầ N T H Ị H IÊ N

TÍNH GIẢ LỒI VÀ BÀI TOÁN LEVI
C h u yên ngành: T oán giải tích
M ã số: 60 46 01 02

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: T S . LÊ T À I T H U

H à N ộ i - 2016

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS. Lê Tài Thu, luận văn
chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: ’’T í n h g i ả lồi v à bài t o á n L e v i ” được
hoàn th à n h bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản th â n tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế th ừ a những kết
quả của các nhà khoa học với sự trâ n trọng và biết ơn.
Hà Nội, 05 tháng 06 năm 2016

H ọ c v iê n

T rần T h ị H iê n


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Tài Thu, người thầy đã định
hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn th à n h luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân th à n h tới Phòng Sau đại học, các thầy cô
giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ, động
viên để tôi hoàn th à n h luận văn này.
Do thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn khó trá n h khỏi những thiếu
sót. R ấ t mong được sự góp ý của thầy giáo, cô giáo và các bạn.
Hà Nội, 05 tháng 06 năm 2016

H ọ c v iê n

T rần T h ị H iê n

M ục lục

Lời m ở đầu

1

1

K iến th ứ c chuẩn bị

3

1.1

3

2

Hàm chỉnh hình nhiều b i ế n ..............................................
1.1.1

Khái niệm hàm chỉnh h ìn h .....................................

3

1.1.2

Các tính chất đơn giản của hàm chỉnh hình

. .

5

1.1.3

Miền hội tụ của chuỗi lũy t h ừ a ...........................

9

1.2

Định lý H arto g s......................................................................

13

1.3

Miền chỉnh hình và lồi chỉnh h ì n h ....................................

18

1.3.1

Miền chỉnh h ìn h .........................................................

18

1.3.2

Miền lồi chỉnh h ìn h ...................................................

22

T ín h giả lồi và bài to á n L evi

26

2.1

Miền giả l ồ i ............................................................................

26

2.1.1

Hàm đa điều hòa d ư ớ i ............................................

26

2.1.2

Bao đa điều hòa d ư ớ i...............................................

28

2.2

Bài toán Levi g ố c ..................................................................

31

2.3

Đa tạp S te in ............................................................................

32

2.4

Tập con mở Stein địa p h ư ơ n g ...........................................

34

2.5

Dãy tăng của tập con mở S t e i n .......................................

42

ii


2.6

Bài toán S erre.........................................................................

44

2.7

Biên giả lồi y ế u .....................................................................

57

2.8

Điều kiện đường

64

c o n g ........................................................

K ết luận

69

Tài liệu th a m khảo

69

iii


M ở đầu

1. Lí do chọn đề tài
Giải tích phức là một trong những hướng nghiên cứu của toán học.
Một số nhà toán học nổi tiếng nghiên cứu lĩnh vực này như Euler,
Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass và nhiều nhà toán học khác ở

thế kỷ 20. Giải tích phức hay còn gọi là lý thuyết hàm biến phức là
một nhánh của toán học nghiên cứu các hàm số một hay nhiều biến.
Giải tích phức có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác của toán
học, trong đó có lý thuyết số và toán ứng dụng.
Một trong những hướng nghiên cứu của giải tích phức là tính giả
lồi và bài toán Levi. Bài toán Levi đã được nghiên cứu khá nhiều, tuy
nhiên một vài dạng chung của bài toán Levi vẫn chưa đươc giải quyết.
Vì thế, tôi đã chọn đề tài “TÍNH GIẢ L ồ i VÀ BÀI TOÁN LEVI” để
nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ của mình. Luận văn gồm 2 chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Tính giả lồi và bài toán Levi

2. M ục đích nghiên cứu
Luận văn tìm hiểu sâu về các định lý, định nghĩa và tính chất các
vấn đề liên quan tới tính giả lồi và bài toán Levi.

1


3. N h iệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ của luận văn là thảo luận sự phát triển trong lý thuyết
hàm nhiều biến phức phát sinh từ vấn đề Levi.

4. Đ ối tượng phạm vi nghiên cứu
Miền chỉnh hình nhiều biến, miền giả lồi, điều kiện đường cong,...

5. Đ ón g góp của đề tài
Luận văn trình bày hệ thống về miền chỉnh hình, miền lồi chỉnh
hình, tính giả lồi, bài toán Levi, Serre và các tính chất liên quan.

6. Phương pháp nghiên cứu
Áp dụng một số phương pháp giải tích phức, vận dụng các kết quả
của hình học giải tích, giải tích phức nhiều biến.
Hà Nội, ngày 05/06/2016

Học viên

TRẦN THỊ HIÊN

2


Chương 1
K iến thức chuẩn bị
1.1

H àm chỉnh hình nhiều biến

1.1.1

K h ái n iệm

hàm

chỉnh hình

Đ ịn h n gh ĩa 1.1.1. Hàm l : C n — » c gọi là M - tuyến tính (tương
ứng c - tuyến tính) nếu
(a)

l ự + z") = l ( z ' ) + ỉ { z " ) z ' , z" € c n,

(b) Ỉ(Xz) — Á(z),VÁ e M (tương ứng VA e c .
Hiển nhiên hàm l : Cn — > c , M - tuyến tính là C — tuyến tính nếu
l ( i z) = ỉ ( l z ) , \ / z £ c n.

Trong trường hợp Z(Az) = X(z) ta nói

c - phản

tuyến tính.

Đ ịn h n gh ĩa 1.1.2. Hàm/ : íĩ — » c , íỉ là mở trong c n,gọi là M khả vi (tương ứng c - khả vi) tại z G íì nếu

f ( z + h) = f ( z ) + l(h) + 0(h)

(1.1)


ở đây / là R - tuyến tính (tương ứng
o(fc)

c - tuyến tính) và

0 khi h — > 0.

h

Hàm l (nếu tồn tại là duy nhất) gọi là M - đạo hàm (tương ứng c
đạo hàm của / tại z) kí hiệu là f ( z ) hay df(z). Bằng cách viết

Zj =

X j + i y ẳ \ Zj =

Xj -

iyj , j =

1 ,7 1 .

Ta có
dzj = dxj +I idĩjj
VKA,yj —
=$r■ dxj =

d,Zn —dZn
2/

dzj = dxj —idyj =>- dyj
Do

dzj + d,Zj

n

ỡ/

4f = Ẻ ( òa;,- dxA +
Ta có

ỡ /^
ỡỹ

TI

* =£ (
A ría-y

ơ aay

ỡ /_

1

2

ơ / ____• ƠJ_

ị dyj

( 1 .2 )

X ƠJL _

va

I

JL L

ơ£_

õ — 1 T,

2 dxj ^ ị dyj ’•?

’n '

Nếu tổng thứ 1 trong vế phải của (1.2) kí hiệu là ô / còn tổng thứ
2 kí hiệu là d f thì
ậf = d f + df .

(1.3)

Đ ịn h lý 1.1.1. Hàm M - khả vi tại z e c n - khả vi khi và chỉ khi
d f = 0.

4

(1.4)


Hay tương đương
ẼL = 0 i = l nm
dzj

(1.5)

Đ ịn h n gh ĩa 1.1.3.

(a)

Hàm gọi là chỉnh hình tại z £

cn nếu nó c - khả vi trong một

lân cận mở của z.
(b) / :— > c với ri là mở trong Cn gọi là chỉnh hình tại z nếu fj
chỉnh hình tại z với mọi j = 1, n, ở đây

/ = ( / i , - ,/« )•
Như trường hợp hàm một biến phức nếu / chỉnh hình tại z thì Ệịtchính là đạo hàm riêng của z theo biến Zj.

1.1.2

C ác tín h ch ất đơn giản củ a hàm chỉnh hình

Giả sử p = p ( a , r) = { z G Cn : IZj — ữj\ < r j :\/j = 1,77,} là đa đĩa
tâm a, bán kính r = ( r i,. . . , rn) và
r = { z € c n : |zj — ữj| = rj,Vj = 1,77.}.
Đ ịn h lý 1.1.2. Nếu f là hàm liên tục trên p và chỉnh hình trong p
thì
f(z) =

ị Ji0dỉ^...dỉin
\2ĩĩiJ JT
- Zi ) . . . {in - zn)

Chứng minh. Viết z = ựz , z n) G Cn_1

X

p

c đối với z £ c n.

Áp dụng công thức tính tích phân Cauchy cho hàm một biến zn —>

5


f ự z , zn) ta nhận được
f { z , z n)
Wn

ỉ(z) = ề i iy„
ỉn

(£ra — z n )

ở đây
'Yn

€

С

Iz n

ũn I

Г п }'

Với mỗi £n e 7 n cố định ta lại có

Л ^60

/- \

f

1

f \%1 1 •••■> Z n - 1 5 £ n - l 5 £ n )

= 7^— /

27Tỉ J ^ n_ x

------1----S n —1

------- —d£n-l

%n—1

Vậy do tính liên tục của / ta có

\ _ ( 1 ^ f
f
, ..., zn- 2 i £ n - l ■

>£ n )
ï ( z ) = {V27TỈ/
o - ) «/' 7 „ - i X 7 „ ^(sn-1 _ ■Zn-lAsn
vi
-^n)
Cứ thế ta nhận được (1.6).
Viết
1
£ —z
^

_

1

1

£ — a (l - f1^ ) ■■■(l - ^ ~ a")
'

ОС

= Sr b a .. ẽ.

/

|a| = 0

ỉ l —a l '

íu-du'

V

00

\

(4 sfn c ï u fn ) “ = ,, ê,

|a|=
= 0
|a|
0

(z - a)a
(fn - ôn)a+1

ở đây a + 1 = («1 + 1 , . . . , a n + 1 ) là chuỗi hội tụ đều trên mọi compact
của p . Do đó từ (1.6) ta nhận được.

□

Đ ịn h lý 1.1.3. Giả sử f là hàm liên tục trên p chỉnh hỉnh trên p .
Khi đó
00

f(z) =

CẢ Z - aT

N=0
6

(1-7)


với
C‘ = Ị< L ) ' l ụ f f ĩ r &

(1'8)

ở đẫy d£ = d £ ị . . . d£n.
Đ ịn h lý 1.1.4. Nếu f chỉnh hình trên p thì f có đạo hàm riêng mọi
cấp trên p . Các đạo hàm riêng này đồng thời chỉnh hình trên p .
Áp dụng khai triển (1.7) bằng cách đạo hàm dưới dấu tổng ta có.
Đ ịn h lý 1.1.5. Nếu f chỉnh hình tại a e C71 và (1.7) ỉà khai triển
thành chuỗi lũy thừa của f trong một lân cận của a, thì

c “

= ề r™ =

(1 9)

B ấ t đ ẳn g th ứ c C auchy. Nếu / là hàm liên tục trên p và chỉnh
hình trên p thì \Ca \ < ^r,Vaí ẽ Z", ở đây M = sup{|/(,z)Ị : z € r }.
Đ ịn h lý 1.1.6 (Tính duy nhất). Nếu f là hàm chỉnh hình trên miền
ri c Cn sao cho mọi đạo hàm riêng của f bằng không tại a G ri; thì
/ = 0.

Chứng minh. Đặt G = ị z G

: / = 0 trong một lân cận mở của z}.

Hiển nhiên G mở và bởi vì / có khai triển thành chuỗi lũy thừa trong
một lân cận của a, từ (1.9) suy ra / = 0 trong một lân cận của a. Vậy
a&G.
Bây giờ ta chứng minh G đóng trong ri. Giả sử z° G dG. Khai triển
/ thành chuỗi lũy thừa
00

ỉ i z ) = ^ Z ca { z - z ữ)a
1*1=0
7


trong một lân cận của z°.
Bởi vì
1 d af ( z °)
1 d af ( z )
= lim —— 1— = 0.
a dza
z eê G
ỏ a
dza

z° e G. Do fì liên thông G = fì có nghĩa là / = 0.

□

Đ ịn h lý 1 .1 .7 (Nguyên lý mođun cực đại). Nếu f chỉnh hình trên
miền íỉ c Cn sao cho 1/1 đạt cực đại tại a £

thì f = const trên íỉ.

Chứng minh. Chọn p > 0 đủ bé để B(a, p) c íỉ.
Khi đó như hàm của một biến £ G c : |£| < p, f = const trên
{a +

: 1^1 < p} với mọi U3 G Cn : ||tưII = 1. Vậy / = const trên

B(a, p). Định lý (1.6) suy ra / = const trên

□
Đ ịn h lý 1.1.8 (Liouville). Nếu f chỉnh hình trên Cn và bị chặn thì
f = const.
Chứng minh. Xét hàm / như hàm một biến £ G Cn thì / = const trên
{cư£ : ( g C } với mọi OJ e Cn, ||cưII = 1. Vậy / = const trên Cn.

□

Đ ịn h lý 1.1.9 (Weirstrass). Giả sử dãy hàm {/„} chỉnh hình trên ri
hội tụ đều tới hàm f trên mọi compact trong Q. Khi đó f chình hình
trong ri và ngoài ra
d af v
dza

daf
dza

đều trên mọi compact trong íĩ và mọi a €

.


Chứng minh. Do trường hợp một biến phức hàm / chỉnh hình phân
biệt trên ri. Mặt khác / liên tục vì vậy nó chỉnh hình trên ri. Ngoài
ra từ công thức tích phân Cauchy suy ra
d af v
dza

dại
dza

đều trên mọi compact trong íỉ.

1.1.3

□

M iền hội tụ củ a chuỗi lũ y th ừ a

Xét chuỗi lũy thừa
00

c„z“

(1.10)

M=o

ta xác định miền hội tụ D của chuỗi (1.10) là tập các điểm 2 Ễ C"
sao cho (1.10) hội tụ trong một lân cận của z. Kí hiệu
В = { z e c n, 3C > 0 : ịcaz a I < C, Vaj .
Hiển nhiên D С int В. Để chứng minh D — int в ta có bổ đề sau.
BỔ đ ề 1.1.1 (Abel). Nếu U) E В thì chuỗi (1-10) hội tụ chuẩn tắc
trong đa đĩa

\zj\

< \ojj\,j = 1,77,, tức là (1.10) hội tụ đều trên mọi

compact của đa đĩa này.
Chứng minh. Thật vậy, bởi giả thiết tồn tại с > 0 để
\aaũJa \ < C, Va.
Nếu К là compact trong đa đĩa

9

\zj\

< \ujj\,j = l , n thì tồn tại


о < Ti < 1 để
ZjI < rj\u)j\,\/z G K .

Vậy thì
00

00

00

a

n

= c Ỵ [ ( l - r j)-1
□
Đ ịn h lý 1.1.10. Miền hội tụ D của chuỗi (1.10) là phần trong в và
chuỗi (1.10) hội tụ chuẩn tắc tới hàm chỉnh hình trong D.
Chứng minh. Giả sử из G B ũ . Khi đó tồn tại u/ G в để \(VjI < \ùJj\,j =

□

1,71. Bổ đề 1.1.1 suy ra ÜJ G D.
Đặt
D* = {£ € Mn : ề := (e^1, . . . , eỄ») € D }
và tương tự
B* = {£ € R n : et € в } .
Đ ịn h lý 1.1.11. D* là tập lồi mở trong
nếu

TỊj <

£j , j

=

1 ,7 1 .

Ngoài

ra z e

và nếu £ e D* thì Г] G D*

D nếu và chỉ nếu

\zj\ <

e^j , j

=

1,71, với £ nào đó thuộc D*.
Chứng minh. Từ Định lý 1.1.10 suy ra D* = int-B*. Bây giờ giả sử
£,7/ € B*. Chọn С > 0 để
n

3-1

10


và

n

\aa Iexp ^

^ c , Va.
j- 1

Nếu Л, n > 0 và Л + ịi = 1 thì
n

\aa \ exp ( J 2 a Ả x£j + W j ) ) < c .
3-1

Vậy thì

+ /17} e B* là lồi. Do D* = int B* thì D* đồng thời là

lồi.

□
Định lý sau đây cho mối liên hệ giữa miền hội tụ của (1.10) và miền

Reinhardt.
Đ ịn h lý 1.1.12. Giả sử п с

cn là miền

Rienhardt liên thông bao

hàm gốc tọa độ và giả sử f G H(íì ). Khi đó tồn tại (duy nhất) chuỗi
lũy thừa (1.10) sao cho

f ( z ) = ỵ 2 CaZ<ỵ
a

mà nó hội tụ chuẩn tắc tới f .
Chứng minh. Tính duy nhất là hiển nhiên, vì bằng cách đạo hàm từng
phần ta có

c« = -V“/(
0).
a\
Để chứng minh sự tồn tại của chuỗi lũy thừa yêu cầu, với mọi £ > 0
xác định
fie = { z e Q : p(C,dfỉ) > е||<г||}.
Ta có 0 e fie và íìe là mở. Giả sử íỉ' là thành phần liên thông của
11


fỉe bao hàm 0. Hiển nhiên Q!e 'l khi £ ị 0 và do tính liên thông của íỉ
ta có

= u í ì ' . Khi X e íỉg ta đặt

r\

1Y í

f{tiZ!,...,tnzn)

ở đây
Te = {t : |íj| < 1 + £ , j = l , n } ,

d0T£ = { t : \tj I = 1 + E, j = 1, ra}.
Tích phân là xác định vì khoảng cách từ z tới (1 + è)z là e||z||, vậy
thì nếu z € ừ £, ta có (1 + è)z G ri. Bởi vì Q là miền Rienhardt điều
này suy ra rằng (tiZi, . . . , tnzn) € ri đối với mọi í e ỡ0Te. Bằng cách
đạo hàm qua dấu tích phân suy ra g là chỉnh hình trong Q!e. Nếu II2 II
đủ bé, (tịZị, . . . , t nzn) ẽ ri đối với mọi t e Tg, công thức tích phân
Cauchy suy ra f ( z ) = g(z). Do íĩ' liên thông ta có / = g trong Q'e.
Ta có
-a„-l
n

mà nó hội tụ chuẩn tắc khi t G ỡoTe. Vì (íi^i,. . . , tnzn) thuộc tập
compact trong Q nếu z thuộc tập compact trong Q'e và t € dữTs, chuỗi

/(^ ) = ^ 2 f a { z )
a

với

Ị M = ( ± r

ỉ

12


hội tụ chuẩn tắc tới / trong fì'e.
Bằng cách đạo hàm từng từ ta có

□

Từ đó ta có biểu diễn cần tìm của f ( z).

1.2

Đ ịnh lý H artogs

Ta đã biết rằng tồn tại hàm hai biến thực khả vi theo từng biến
nhưng chưa chắc đã khả vi. Ví dụ hàm f ( x , y ) cho bởi

Tuy nhiên, điều này là đúng đối với hàm

с - khả vi theo từng biến.

Đ ịn h lý 1.2.1 (Hartogs). Giả sử f : Q — »
chỉnh hình theo từng biến phân biệt trên

с

với

mở trong

Cn

Khi đó f chỉnh hình trên

íì.
Ta chứng minh định lý dựa vào bổ đề sau.
B ổ đề 1.2.1 (Bổ đề Schwartz suy rộng). Giả sử íp chỉnh hình trên

đĩa D r = { z £ С : \z\ < r } với tp(z0) = 0 và \ip\ < M khắp nơi trên
D r . Khi đó
\(p(z)\ < M r

z
Vz e D r.
Ir 2 - z 0r\

Chứng minh. Để đưa về Bổ đề 1.2.1 khi Zo = 0 ta xét phép biến đổi

13


phân tuyến tính À : D r — > Dị = D cho bởi
À(,z) = r

Đặt 'ệ =

z - z0
r2 — z ữz

1- Khi đó lị) : D — > D và -0(0) = 0. Áp dụng bổ

đề 1.2.1 ta nhận được
\ệ{z)\ < MjV2 e D.
Thay vào bất đẳng thức trên z bởi A( z ) , z e D r ta có

- ỵ \ v ( z ) \ < IM*)l,Vz e
Vậy
|y>(z)| < M r

z ^
r2 - z0r

e

□
B ổ đề 1.2.2. iVeíí / chỉnh hình theo từng biến phẫn biệt trong đa đĩa
P ( a , r ) và bị chặn, thì nó chỉnh hình trên P( a, r ) .
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh / liên tục tại mọi z ữ ẽ p( a, r ) .
Viết
№

- /( s ° ) =

n

=

• • ■>4 - 1 ’ zh ■■■’ *") “ f ( z 1°’ ■■• ’ s°’ zi+ l’ • ■■’ *")}■

và áp dụng (1.11) tới mỗi hàm

VÁzj) = / ( 21°> • • • >

• • • >zn) - f i z 11 • • • >4 ’ Zj+1’ • • • «^)

14

ta nhận được
"

\ z

If { z ) - f{zo)\ < M ^ 2 rj I 2
j = l lrj

.

-

z

0 \

I ->• 0khi 2 -*• *°zj zi\

-0

Như vậy, để kết thúc chứng minh định lý ta còn cần chỉ ra mọi hàm
phân biệt chỉnh hình / là bị chặn địa phương. Đầu tiên từ tính liên
tục phân biệt ta chỉ ra sự tồn tại tập mở khác rỗng trên đó / bị chặn.
Đó là bổ đề sau.

□

B ổ đ ề 1.2.3. Giả sử D = 'D X D n (ở đây 'D và D n là các tập mở
bị chặn trong Cn_1 và C). Nếu hàm f ( ' z , z n) liên tục theo 'z £ 'D với
mọi zn £ D n cố định và liên tục theo zn £ D n với 'z £ 'D cố định thì

tồn tại tập mở w = 'W X D n Ỷ 0 trên đó f bị chặn.
Chứng minh. Với mỗi 'z £ 'W đặt
M ự z) = s u p { \f( 'z ,z n)\ : zn e D n} < + 00.
Xét các tập
A m = {'z G 'D : M ( ' z ) < m }.

Dễ dàng kiểm tra lại do tính liên tục của / theo 'z các tập A m
là đóng trong 'D. Ngoài ra do tính liên tục của / theo 'zn và tính
compact của D n suy ra
'D = u ~=1A m.
Bởi định lý Baire tồn tại m 0 > 1 sao cho 'W = int A mo Ỷ
đó / bị chặn trên 'W X D n bởi m0.
15

Khi


Để chứng minh tính bị chặn địa phương của / tại mọi điểm thuộc
Q ta áp dụng tính chỉnh hình phân biệt và bổ đề Hartogs về dãy hàm
điều hòa dưới. Để phát biểu bổ đề ta đưa ra một số kí hiệu
'V = pựa, R), ' w = p ự a , r ) ( 0 < r < R ) ,
D n = {\zn\ < R } , V = 'V X D n, w = ' w + D n.

□
B ổ đ ề 1.2.4 (Cơ bản). Nếu hàm f ự z , z n) chỉnh hình theo 'z trong 'V
với zn £ D n cố định và chỉnh hình theo z e w thì f chỉnh hình theo
V.
Chứng minh. Có thể coi 'a = 0 . Vổi mỗi zn G D n cố định do f ựz , zn)
chỉnh hình trên đa đĩa 'V có thể khai triển nó thành chuỗi lũy thừa
của 'z (hệ số phụ thuộc vào zn).

f( z) =

cẢ zn)'za

(1.12)

|a|=0

ở đây a = (« 1, . . . , a n_i) và
ca(zn) =

1

da

Bởi vì / chỉnh hình trên w , ca (zn) chỉnh hình theo zn G D n. Và do
đó hàm ĩ^ylog |са(гп)| là điều hòa dưới trên D n.
Cố định 0 < p < R tùy ý. Bởi vì

\Ca{zn)\pịaị --- > 0
16


khi ỊaỊ —> 4-00 nên với mọi zn e D n với |a;| đủ lớn ta có
^ -lo g Ị c a(2n)| + logp < 0.
|a|

Vậy
1

1

lim s u p - 1rlog Ịca(,zn)| < l o g - .
|a|—
»00
|a|
p

(1.13)

Do / chỉnh hình trên w và bị chặn trên đó bởi M, từ bất đẳng
thức Cauchy suy ra
|c„(z„)|í>l < M ,v 2„ e D n.
Vì vậy
1

М»

T ^log |ca(zn)| < lo g - — ,\/zn G D n.
|а|

Như

г

(1.14)

vậy dãy hàm điều hòa dưới { p i log |ca(2n)Ị} thỏa mãn điều

kiện của bổ đề Hartogs về dãy các hàm điều hòa dưới. Theobổđề này
VO < ô < p, 3 k ữ,M\zn\ < ỗ : T—Tlog \ca (.2Vj) I < log ị
la l
0
hay
< 1.

(1.15)

Từ (1.14) suy ra chuỗi (1.12) hội tụ đều trên mọi hình tròn {\zn\ <
ỗ' < ố}. Bởi vì những thành phần của chuỗi làhàm liên
vì vậy
{0 < ổ' <

tục theo

tổng / của nó liên tục và do đó bị chặntrênP(0,<5'). Do
ỏ<

p < R } tùy ý chỉnh hình trên V.

□

Sau đây là chứng minh định lý Hartogs.
Chứng minh, c ố định z° € íỉ. Có thể coi z° = 0. Chọn R > 0 đủ bé
17


để p (0, R) Ta sẽ chứng minh / chỉnh hình trong lân cận nào đó của 0 bằng

quy nạp.
Với n = 1 khẳng định là đúng.
Giả sử khẳng định đã được chứng minh cho (n — 1). Đặt 'P =
P( ' 0, ỵ ). Từ giả thiết suy ra hàm f ự z , z n) liên tục theo 'z £ 'P với
zn € D n — {\zn\ < R} cố định và liên tục theo zn € D n với 'z € 'P cố
định.
Theo bổ đề 1.2.3 / bị chặn và vậy thì chỉnh hình trong đa đĩa nào

đó w = 'W X Dn, ỏ đây 'W = p ự a ,r ) c 'P. Xét V = 'V X Dn, ở
đây 'V = p ự a , I R). Hiển nhiên 0 G V c 0 (0 , R ) và vì vậy thì / chỉnh
hình theo 'z £ 'V với zn G D n.
Mặt khác do / chỉnh hình theo z G w theo bổ đề cơ bản chỉnh
hình theo z £ V mà 0 € V.

□

1.3

M iền chỉnh hình và lồi chỉnh hình

1.3.1

M iền chỉnh hìn h

Như đã thấy trong Cn với n > 1 tồn tại những miền mà mọi hàm
chỉnh hình trên đó có thể mở rộng chỉnh hình tới những miền lớn hơn.
Vì vậy mục đích chính của mục này là nghiên cứu những miền trong
Cn mà có những hàm chỉnh hình trên đó không thể mở rộng tới miền
lón hơn. Miền như vậy sau này sẽ gọi là miền chỉnh hình.
Đ ịn h n gh ĩa 1.3.1. Miền G chứa miền Q trong c n gọi là mở rộng

chỉnh hình của Q nếu mọi hàm chỉnh hình trên ri có thể mở rộng tới
18


một hàm chỉnh hình trên G.
(a)

Nếu K là compact trong íỉ, với f ì \ K liên thông thì Q là miền mở

rộng chỉnh hình của fÌ \ K nếu n > 1.
(b) Nếu G là mở rộng chỉnh hình của ri thì /(r i) = f ( G ) với mọi hàm
/ chỉnh hình trên G. Thật vậy, nếu không tồn tại hàm / chỉnh hình
trên G và và 0Jữ E f ( G) \ f ( f ì ) . Khi đó hàm

g(z) = 7 ỵ Ạ ------e
f { z ) - Lơữ
chỉnh hình trên íỉ không thể mở rộng chỉnh hình tới G.
(c) Nếu í ỉ l à bị chặn còn G là mở rộng chỉnh hình của
Thật vậy theo b) Zj(G) =

thì G bị chặn.

Vj = 1, n và vậy thì G bị chặn nếu íỉ

bị chặn.
Đ ịn h n gh ĩa 1.3.2. Miền íì c

cngọi là miền chỉnh hình hay miền tồn

tại của hàm / chỉnh hình trên íĩ nếu không thể mở rộng chỉnh hình

/ tới một một miền lớn hơn

Nói một cách chính xác khai triển của

/ thành chuỗi lũy thừa tại mọi z° G íĩ không thể hội tụ trong một đa
đĩa P( z ° , r ) với r > p(z°,dQ).

Định nghĩa 1.3.3. Miền ri c c n gọi là miền chỉnh hình nếu nó là
miền chỉnh hình của một hàm chỉnh hình nào đó trong Q.
Một trong các bài toán quan trọng đầu tiên là tìm miền đặc trưng
của hàm chỉnh hình. Đặc trưng này liên hệ chặt chẽ với các điểm biên
của íĩ. Vì vậy ta đưa ra khái niệm sau.
Đ ịn h n gh ĩa 1.3.4. Điểm £ G díì gọi là điểm chướng ngại (đối với
việc mở rộng chỉnh hình) nếu với mọi compact K c ri tồn tại hàm
19