50 bài tập về bất đẳng thức lớp 9 lên 10 có đáp án

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

50 Bài tập về bất đẳng thức
a ≥31
S= a+
a
Giải:
1 8a a 1
24
a 1 10
S = a+ = +( + )≥
+2 . =
a 9
9 a ≥a 2 1 9
9 a 3
Bài 2: Cho , tìm giá
S
=
a
+
trị nhỏ nhất của
a2
Bài 1: Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của

Giải:

1 6a a a 1
12
a a 1 12 3 9
=
+ ( + + 2 ) ≥ + 33 . . 2 = + =

2
a
8
8 8 aa + b ≤811
8 8 a
8 4 4
Bài 3: Cho a,
S
=
ab
+
b > 0 và , tìm giá trị nhỏ nhất của
ab
Giải:
Bài 4: Cho
a, b, c> 0
và

S=a+

S = ab +

1
1
15
1
15
17
= (ab +
)+

≥ 2 ab
+
=
2
ab
16ab 16ab
4
 a+b 
3 16ab
16 
a +b+c ≤
÷
 2 
2

Tìm giá trị nhỏ nhất của

S = a2 +

Giải:

1
1
1
+ b2 + 2 + c 2 + 2
2
b
c
a

Cách 1:

Cách 2:

Tương tự

Do đó:
1

S = a2 +

1
1
1
+ b2 + 2 + c 2 + 2
2
b
c
a

1
1
1
1
4
4 ) 2⇒ a12 + 1≥
4(a + )
(12 + 42 )(2 a 2 +1 2 ) ≥1 (1.a + 4.
b + 2 b≥
(b + );b c 2 + 2 ≥ b 2 (c17

+ ) b
c
c
a
a
17
17
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
S≥

1
4 4 4
1
36
(a + b + c + + + ) ≥
(a + b + c +
)
a xb+ yc+ z ≤ 117
a +b+c
17

Bài 5: Cho x,
y, z là ba số
 3 17
1 
9
135

thực
dương = 17 (a + b + c + 4(a + b + c) ) + 4(a + b + c)  ≥ 2


và . Chứng
minh rằng:
x2 +

Giải:

1
1
1
+ y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82
2
y
z
x

1
1
1
1
9
(1.x + 9. ) 2 ≤ (12 + 92 )( x 2 + 2 ) ⇒ x 2 + 2 ≥
(x + )
y
y
y
y

82
9
1
1
9
Bài 6: Cho a, TT : y 2 + 1 ≥ 1 (ay +
+ 2b);+ 3zc2 ≥+ 202 ≥
(z + )
2
b, c > 0 và
z
z
x
x
82
82
Tìm giá trị S ≥ 1 ( x + y + z + 9 + 9 + 9 ) ≥3 19 ( x 4+ y + z + 81 )
S = xa + by + cz+ +82 +
x+ y+z
82
nhỏ nhất của
a 2b c
1
80 
Giải: Dự đoán = 1 ( x + y + z +
)+
≥ 82

x + y + z x + y + z 
82 

a =2, b = 3, c
=4

12 18 16
12  
18   16 

+ + = a + 2b + 3c +  3a + ÷+  2b + ÷+  c + ÷ ≥
a b c
a 
b 
c 

20 + 3.2.2 + 2.2.3 + 2.4 = 52 ⇒ S ≥ 13
4 S = 4a + 4b + 4c +

Bài 7: Cho x, y, z > 0 và

1 1 1
+ + =4
x
y 1z
Tìm giá trị lớn nhất của
1
1
P=
+
+
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z

Giải:
Ta có
1 1
4 1 1
4
1 1 1 1
4
4
16
1
1 1 2 1
+ ≥
; + ≥
⇒ + + + ≥
+
≥
⇒
≤  + + ÷
x y x+ y y z y+z
x y y z x + y y + z x + 2y + z
x + 2 y + z 16  x y z 
TT :
1
1 2 1 1
1
1 1 1 2
≤  + + ÷;
≤  + + ÷
2 x + y + z 16  x y z  x + y + 2 z 16  x y z 
1 4 4 4

S ≤  + + ÷= 1
16  x y z 
2

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Bài 8:
Chứng minh rằng với mọi  12  x  15  x x∈20R  x
x
x
x
, ta có
 ÷ + ÷ + ÷ ≥ 3 +4 +5
5
4
3
     
Giải:
x

x

x

 12   15 
 12 
 ÷ + ÷ ≥ 2  ÷
 5  4

 5

x

x

x

x

x

 15 
 20   15 
 20   12 
.  ÷ = 2.3x ;  ÷ +  ÷ ≥ 2.5 x ;  ÷ +  ÷ ≥ 2.4 x
 4
 3   4
 3   5

Cộng các vế tương ứng => đpcm.
Bài 9:
Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 8 x + 8 y + 8z ≥ 4 x +1 + 4 y +1 + 4 z +1
6 . Chứng minh rằng
Giải:
Dự đoán x=y=z = 2 và nên:

3

8 x.8 x = 3 64 x = 4 x

8 x + 8x + 82 ≥ 3 3 8x.8 x.82 = 12.4 x ;
Cộng các kết quả trên y
8 + 8 y + 82 ≥ 3 3 8 y.8 y.82 = 12.4 y ;
=> đpcm.
8 z + 8z + 82 ≥ 3 3 8z.8 z.82 = 12.4 z
Bài 10:
8 x + 8 y + 8z ≥ 3 3 8x.8 y.8 z = 3 3 82.82.82 = 192
Cho x, y, z> 0 và xyz
= 1. Hãy chứng minh rằng
1 + x3 + y 3
1 + y3 + z3
1 + z 3 + x3
+
+
≥3 3
xy
yz
zx

Giải:
x 3 + y 3 ≥ xy ( x + y ) ⇒ 1 + x3 + y 3 ≥ xyz + xy ( x + y ) = xy ( x + y + z ) ≥ 3xy 3 xyz = 3xy
1 + x3 + y 3
3xy
=
=
xy
xy

3 yz

3 1 + y3 + z3
;
=
=
xy
yz
yz

 1
1
1 
S = 3
+
+
÷≥ 3 3
 xy
yz
zx ÷



1
2

x y2 z2

3 1 + z 3 + x3
3 zx
;
=

=
yz
zx
zx

=3 3

Bài 11:

3

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư

3
zx


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Cho x, y là hai số thực không âm
( x − y ) ( 1 − xy )
2
2
thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và P =
( 1+ x) ( 1+ y)
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giải:
2

 x + y + 1 + xy 
÷ 1

( x − y ) ( 1 − xy ) ≤ ( x + y ) ( 1 + xy ) ≤ 
2
 = ⇒ −1 ≤ P ≤ 1
P =
2
2
2
2
2
4
( 1 + x ) ( 1 + y ) ( 1 + x ) ( 1 + y ) ( x + y + 1 + xy ) 4 4
Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4
Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4
KL: Khi dấu = xảy ra.
Bài 12:
Cho a, b, c > 0. Chứng minh a 3 b3 c3
+ + ≥ ab + bc + ca
rằng:
b c a
Giải:
a 3 b3 c3 a 4 b 4 c 4 ( a 2 + b 2 + c 2 )2 ( ab + bc + ac )
+ + =
+ + ≥
≥
= ab + bc + ac
b c a ab bc ca
ab + bc + ac
ab + bc + ac
Cách 1:
2

Cách 2:

3
3
a3
2 b
2 c
+ ab ≥ 2a ; + bc ≥ 2b ; + ca ≥ 2a 2
b
c
a

a 3 b3 c 3
+ + ≥ 2(a 2 + b 2 + c 2 ) − ab − bc − ac ≥ ab + bc + ac
b c a
Bài 13:
Cho x,y > 0 và . Tìm giá trị nhỏ
3xx 2++y4≥ 42 + y 3
A=
+
nhất của
4x
y2
Giải: Dự đoán x = y = 2
3x 2 + 4 2 + y 3 3x 1 2
1 x  2 y y  x+ y 9
A=
+
=

+ + 2 + y =  + ÷+  2 + + ÷+ 
÷≥
2
4x
y
4 x y
4 4  2  2
 x 4  y
Bài 14: Cho x, y > 0 và x+y =
1
1
P
=
+
≥ 4+ 2 3
3
3
1. Chứng minh rằng
x +y
xy
Giải: Ta có

( x + y)
P=
4

3

= x 3 + y 3 + 3xy(x+y) ⇒ x 3 + y 3 + 3xy=1

x 3 + y 3 + 3xy x 3 + y 3 + 3xy
3xy
x3 + y 3
+
=
4
+
+
≥ 4+2 3
x3 + y 3
xy
x3 + y3
xy
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Bài 15: Cho x, y, z > 0 và . 1
1 11
x
yz ≤+
+
=2
Chứng minh rằng
1 + x 1 + y 81 + z
Giải:
1
1
1
1

1
y
z
= 2−
−
=1−
+1−
=
+
≥2
1+ x
1+ y 1+ z
1+ y
1+ z 1+ y 1+ z
TT :

1
≥2
1+ y

xz
1
;
≥2
( 1+ x) ( 1+ z ) 1+ z

yz
(1+ y ) (1+ z )

xy

(1+ x) (1+ y)

Nhân các vế của 3 BĐT => đpcm
Bài 16: Cho x, y, z > 0 và x + y
x
y
z
+ z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của S = x + 1 + y + 1 + z + 1
Giải:
S=

 1
x
y
z
1
1 
9
9 3
+
+
= 3−
+
+
= 3− =
÷≤ 3 −
x +1 y +1 z +1
x+ y+ z+3
4 4
 x +1 y +1 z +1 

Bài 17:
Cho a, b, c > 1. Chứng minh 4a 2 5b 2 3c 2
+
+
≥ 48
rằng:
a −1 b −1 c −1
Giải:
2
4a 2 4 ( a − 1) + 4
4
4
=
= 4 ( a + 1) +
= 4 ( a − 1) +
+ 8 ≥ 8 + 8 = 16
a −1
a −1
a −1
a −1
5b 2
5
3c 2
3
= 5 ( b − 1) +
+ 10 ≥ 20;
= 3 ( c − 1) +
+ 6 ≥ 12⇒ dpcm
b −1

b −1
c −1
c −1

Bài 18:
Cho a, b, c > 0, chứng ming rằng:

Giải:

1 1 1
1
1 
 1
+ + ≥ 3
+
+
÷
a b c
 a + 2b b + 2c c + 2a 

cộng ba bất 1 1 1
9
1 1 1
9
1 1 1
9
+
+
≥
;

+
+
≥
;
+
+
≥
đẳng
thức a b b a + 2b b c c b + 2c c a a c + 2a
=>đpcm

Bài 19:
Với a, b, c > 0 chứng minh rằng:
1 4 9
36
+ + ≥
a b c a+b+c
5

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Giải:
1 4 9 ( 1 + 2 + 3)
36
+ + ≥
=
a b c
a+b+c

a+b+c
2

Bài 20:

Cho a, b, c, d > 0 chứng minh rằng:
1 1 4 16
64
+ + + ≥
a b c d a +b+c+d

Giải:

1 1 4
16
16
16
64
+ + ≥
;
+ ≥
a b c a +b+c a +b+c d a +b+c +d
Cần nhớ:

a 2 b2 c 2 ( a + b + c )
+ + ≥
x
y z
x+ y+z

2

Bài 21:
Với a, b, c > 0 chứng 4 5 3
2
1 
 3
+ + ≥ 4
+
+
÷
minh rằng:
a b c
 a +b b+c c +a 
Giải:
1 1
4
3 3
3 1 1
4
2 2
8 1 1
4
+ ≥
⇒ + ≥
; + ≥
⇒ + ≥
; + ≥
a b a+b
a b a +b b c b+c

b c b+c c a c+a
Bài 22:
Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác , p là nửa chu vi tam giác đó.
Chứng minh rằng
Giải:

1
1
1
1 1 1
+
+
≥ 2 + + ÷
p −a p −b p −c
a b c

1
1
1
2
2
2
+
+
=
+
+
p − a p − b p − c −a + b + c a − b + c a + b − c
=

1
1
1
1
1
1
1 1 1
+
+
+
+
+
≥ 2 + + ÷
− a + b + c a − b + c a + b − c −a + b + c a − b + c a + b − c
a b c

Bài 23:
Cho x, y, z> 0 và . Tìm giá trị
xx2 + y + yx2≥ 4 z 2
P
=
+
+
nhỏ nhất của
y+z z+x x+ y
Giải:
6

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Cách1:
Cách 2:

( x + y + z ) = x + y + z = 4 = 2.
x2
y2
z2
P=
+
+
≥
y + z z + x x + y 2( x + y + z)
2
2
2

x2
y+z
y2
z+x
z2
x+ y
+
≥ x;
+
≥ y;
+
≥z

y+z
4
z+x
4
x+ y
4
Bài 24:
x+ y+z x+ y+z 4
Cho các số thực ⇒ P ≥2 xy + 3z
y ++x5− 3z + x + 5= x + 2 y +=5 =51
2.
+ 2
+ 2
2≥
dương x, y, z thỏa
1+ x
1+ 2 y
1 + 3z
7
mãn x+2y+3z =18.
Chứng minh rằng
Giải:
2 y + 3z + 5 3 z + x + 5 x + 2 y + 5
+
+
1+ x
1+ 2 y
1 + 3z
2 y + 3z + 5
3z + x + 5

x + 2y + 5
=
+1+
+1+
+1− 3
1+ x
1+ 2 y
1 + 3z
 1
1
1 
9
= ( x + 2 y + 3z + 6 ) 
+
+
−3
÷− 3 ≥ 24.
x + 2 y + 3z + 3
 1 + x 1 + 2 y 1 + 3z 
9
51
= 24. − 3 =
21
7
Bài 25:
Chứng minh bất đẳng thức:
a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b
Giải:
Nhân hai vế với 2, đưa về tổng cuuả ba bình phương.
Bài 26:

Chứng minh rằng nếu a,b,c p − a + p − b + p − c ≤ 3 p
là độ dài ba cạnh của một
tam giác có p là nửa chu vi thì
Giải:
p − a + p − b + p − c ≤ (12 + 12 + 12 )( p − a + p − b + p − c ) = 3(3 p − 2 p ) = 3 p
Bu- nhi -a ta có:

Bài 27:
Cho hai số a, b thỏa mãn: . Tìm giá a ≥ 1;1b ≥ 4 1
A = a+ +b+
trị nhỏ nhất của tổng
a
b
Giải:
Bài 28:
7

a+

1
1 15b  b 1  15.4
1 17
21
≥ 2; b + =
+  + ÷≥
+ 2. = ⇒ A ≥
a
b 16  16 b  16
4 4
4

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Chứng minh rằng

a 4 + b 4 ≥ a 3b + ab3

Giải:
( a 2 ) 2 + ( b2 ) 2  (12 + 12 ) ≥ ( a 2 + b 2 ) 2 = ( a 2 + b 2 ) ( a 2 + b 2 ) ≥ 2ab ( a 2 + b 2 ) => a 4 + b 4 ≥ a 3b + ab3


Bài 29:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
(Với x; y là các số thực
( x + y + 1) 2 xy + y + x
A
=
+
dương).
xy + y + x ( x + y + 1) 2
Giải:

Đặt Có
Bài 30:

2
1 8a ( x +a y +11) 8
a 1 8 21 10
10

a; +a 2.
> 0 ⇒. A== a ++ = ⇒ A ≥
A=a+ =
+ ( + ) ≥ = .3
a 9 xy9+ y a+ x 9
9 a 3 3a 3
3

Cho ba số thực đôi một phân biệt.
Chứng minh
a2
Giải:

a , b, c

b2
c2
+
+
≥2
(b − c) 2 (c − a ) 2 (a − b) 2
a
b
b
c
c
a
.
+
.

+
.
= −1
(Không cần chỉ ra dấu =
(b − c) (c − a ) (c − a ) (a − b) (a − b) (b − c)
xảy ra hoặ nếu cần cho a= 1,b=0 => c=-1 thì xảy VT = 

2

a
b
c 
+
+

÷ ≥0
 (b − c) (c − a ) (a − b) 

ra dấu =)
Bài 31:
Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b +

c . Chứng ming rằng
≤3
1
2009
+
≥ 670
2
2

2
a +b +c
ab + bc + ca

Giải:
1
2009
+
2
2
a + b + c ab + bc + ca
1
1
1
2007
9
2007
= 2
+
+
+
≥
+
≥ 670
2
2
2
2
a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca ( a + b + c )
( a + b + c)

3
Bài 32:
2

Cho a, b, c là các số thực dương thay a + b + c = 3
đổi thỏa mãn:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
8

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

P = a2 + b2 + c 2 +

ab + bc + ca
a 2b + b 2 c + c 2 a

Giải:
3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2
Mà a3 + ab2 ≥ 2a2b ;b3 + bc2 ≥ 2b2c;c3 + ca2 ≥ 2c2a Suy ra 3(a2 + b2 + c2) ≥ 3(a2b + b2c + c2a) > 0
2
− (+a bc
++b 2ca+ c 2 )
2
2
2 9ab
⇒ PP≥≥aa2 ++bb2 ++cc2 ++ 2 2 2 2 2 2
a a+ b+ b+ c+ c )

2(

Suy ra
t = a2 + b2 + c2, với t ≥ 3.
Suy ra ⇒ P ≥ 4
=b=c=1

a

P≥t+

9−t t 9 t 1
3 1
= + + − ≥ 3+ − = 4
2t
2 2t 2 2
2 2

Bài 33:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P=

1
1 1
+
+
16 x 4 y z

Giải:
P=

 1
1
1 1
1 1  y
x   z
x   z y  21
+
+ = ( x + y + z) 
+
+ ÷= 
+
+ ÷+ 
+ ÷+
÷+ 
16x 4 y z
 16x 4 y z   16 x 4 y   16 x z   4 y z  16

có =khi y=2x; khi z=4x;
=>P 49/16

khi z=2y

yzz ≥xy 11
++ ≥≥1
16
16
4xyx 4zy 24

Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7

Bài 34:
Cho hai số thực dương x, y 4 5
+ ≥ 23
thỏa mãn:

x

y
Tìm giá trị nhỏ nhất của
6
7
B = 8x + + 18y +
biểu thức:
x
y
Giải:
9

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

B = 8x +

6
7 
2 
2 4 5

+ 18y + =  8x + ÷+ 18y + ÷+  + ÷≥ 8 + 12 + 23 = 43
x
y 
x 
y x y

Dấu bằng xảy ra khi .Vậy Min B là
1 1
( x; y ) =  ; ÷
43 khi

 2 3

Bài 35

Cho x, y. z là ba số thực thuộc đoạn [1;2] ≤ và có tổng không vượt quá 5. Chứng minh
rằng x2 + y2 + z2 9
Giải:
x − 21 ≤ 0x ⇒
≤ 2( x⇒−x1)(−x1 −≥ 20) ≤ 0

và

x 2 ≤⇒
3x − 2
yz 2 ≤ 3zy − 2

Tương tự và
x2 + y2 + z2 3( x + y +z) – 6 3. 5 – 6 = 9

⇒
≤

Bài 36:
+ c2]≥ 0
Cho a, b, c là các số thuộc thỏa mãn a +[ b−1;
2
2
2
điều kiện a + b + c = 6. Chứng minh
rằng .
Giải:

( a + 1) ( a − 2 ) ≤ 0 ⇔ a 2 − a − 2 ≤ 0; b 2 − b − 2 ≤ 0; c 2 − c − 2 ≤ 0
Bài 37:

⇒ a + b + c ≥ a 2 + b2 + c 2 − 6 = 0

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn . a + b + c ≤ 2
Chứng minh rằng:

Giải:

a2 +

1
1
1
97
+ b2 + 2 + c 2 + 2 ≥

2
b
c
a
2

2
cộng các 
9 1   2 81  2 1 
1
4 
9 
2
vế lại
 1.a + . ÷ ≤  1 + ÷ a + 2 ÷ ⇒ a + 2 ≥
 a + ÷;
4 b 
16 
b 
b
4b 
97 

Bài 38:
1
4 
9 
1
4 
9 

2
b2 + 2 ≥
 b + ÷; c + 2 ≥
c + ÷
c
4pc 
4a 
97 
Cho
tam
p a p 97 
+
+
≥
9
giác có ba
p−a p−b p−c
cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi
là 2p. Chứng minh rằng

Giải:
hay

1
1 p 1 p
p 9
9
+
+ + ≥ +
≥9

=
p − a p − bp − ap − cp − bp − ap +− cp − b + p − c p

10

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Bài 39:
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. Chứng minh rằng:
3(a 2 + b 2 + c 2 ) + 2abc ≥ 52
Giải:
abc ≥ (−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) = (6 − 2a) ( 6 − 2b ) ( 6 − 2c ) ⇔ abc ≥ −24 +
⇔ 2abc ≥ −48 +

( a − 2)

2

8
( ab + bc + ac )
3

16  36 − (a 2 + b 2 + c 2 ) 
8
⇔ (a 2 + b 2 + c 2 ) + 2abc ≥ 48 (1)


3 

2
3


+ ( b − 2) + ( c − 2)
2

2

Có chứng minh được
không?

a 2 + b2 + c2
≥0⇔
≥ 4 (2)
3

hay

(1)and(2) ⇒ dpcm

3(a 2 + b 2 + c 2 ) + 2abc < 18

Bài 40:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của P = 4( a3 + b3 + c3 ) + 15abc
một tam giác có chu vi bằng 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Giải:
ab2 ≥ ba2 − (cb− ac)2 = (ba− cb+ ac)(ba+ cb− ac)

Có (1) , (2)

⇔
ac2 ≥ c2 − (a=
− b)2 = (c − a + b)(b
c+ a − b) =c

(3) . Dấu ‘=’ xảy ra

Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các abc≥ (a+ bcb− )( + cac− )( + ab− )vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế với vế
của (1), (2), (3) ta có: (*)
⇔a8 − 8(+
a + bb
+ c) + +
8(⇔ababc≥(2−a) 2b(− c) + c
bc + ca=
) − 9abc2≤ 0

Từ nên (*)

⇔ 8 + 9abc − 8(ab + bc + ca) ≥ 0 ⇔ 9abc − 8(ab + bc + ca) ≥ − 8 (*)

abc3+ 3+ 3= (a+ b c)3− 3(a+ b c)(ab+ c+ a)+ 3abc= 8− 6(ab+ c+ a)+ 3abc

Ta có

4(abc3+ 3+ 3)+ 15abc= 27abc− 24(ab+ c+ a)+ 32= 3[9abc− 8(ab+ c+ a)]+ 32

Từ đó (**)
Áp dụng (*) vào (**) cho ta

4(a3 + b3 + c3)+ 15abc ≥ 3.(− 8) + 32 = 8

2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
a =b =c =
3 Từ đó giá trị nhỏ
2
a
=
b
=
c
=
nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi
3
Bài 41:

11

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh 2
1
3
3
3
≤
a

+
b
+
c
+
3
abc
<
của một tam giác có chu vi 9
4
bằng 1. Chứng minh rằng .
Giải:
*P = a3 + b3 + c 3 + 3abc
Ta có a3 + b3 + c 3 − 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac )
⇔ a3 + b3 + c3 − 3abc = (a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac ) (1)
có abc ≥ (− a + b + c )(a − b + c)(a + b − c ) = (1 − 2a)(1 − 2b)(1 − 2c) =
−2 8
−1 + 4(ab + bc + ca ) − 8abc ⇔ 6abc ≥
+ ( ab + bc + ca ) (2)
3 3
2 5
(1)and(2) ⇒ a3 + b3 + c 3 + 3abc ≥ a 2 + b 2 + c 2 − + ( ab + bc + ca )
3 3
mà ab + bc + ca =
2

(

1 − a 2 + b2 + c 2
2

2

) ⇒P≥1

(a
6

2

)

+ b2 + c 2 +

1
6

2

1 
1 
1
1
1 1 1 2

2
2
2
 a − ÷ + b − ÷ + c − ÷ ≥ 0 ⇔ a + b + c ≥ ⇒ P ≥ . + =
3 
3 

3
3
6 3 6 9


*P = a3 + b3 + c 3 + 3abc
abc ≥ (− a + b + c )(a − b + c)(a + b − c ) = (1 − 2a)(1 − 2b)(1 − 2c) = −1 + 4(ab + bc + ca ) − 8abc > 0
1
⇒ ab + bc + ca ) − 2abc >
(3)
4
P = a3 + b3 + c 3 + 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac ) + 6abc
= a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac + 6abc = ( a + b + c ) − 3 ( ab + bc + ca ) + 6abc
2

1 1
= 1 − 3 ( ab + bc + ca − 2abc ) < 1 − 3. =
4 4

Bài 42:
Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 . Chứng minh rằng:
Giải:

x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx + xyz ≥ 8

Chứng minh được

12

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
xyz ≥ ( − x + y + z ) ( x − y + z ) ( x + y − z )
= (6 − 2 x)(6 − 2 y )(6 − 2 z ) = 216 − 72( x + y + z ) + 24( xy + yz + zx) − 8xyz
8
⇔ xyz ≥ −24 + ( xy + yz + zx) (1)
3
mà ( x + y + z ) = 9 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2 yz + 2xz = 9
2

⇔ x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − xz = 36 − 3xy − 3 yz − 3xz
(2)
8
Nên xyz + x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − xz + ≥ −24 + ( xy + yz + zx)+ 36 − 3xy − 3 yz − 3xz
3
1
2
⇔ xyz + x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − xz + ≥ 12 − ( xy + yz + zx) mà ( x + y + z ) ≥ 3( xy + yz + zx)
3
1 ( x + y + z)
36
⇒ xyz + x + y + z − xy − yz − xz + ≥ 12 − .
= 12 −
=8
3
3
9
Bài 43:
2

2

2

2

≥ 1342
Cho . Chứng minh rằng Dấu a 2 + ab 2≥+1342;
ab ≥ b2013
( a + b) .
đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải:
Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau:

( a − 1342 )

2

+ ( b − 1342 ) ≥ 0; ( a − 1342 ) ( b − 1342 ) ≥ 0; a − 1342 + b − 1342 ≥ 0
2

Thật vậy:
(1)
( a − 1342 ) + ( b − 1342 ) ≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 − 2.1342. ( a + b ) + 2.13422 ≥ 0
(2)
( a − 1342 ) ( b − 1342 ) ≥ 0 ⇔ ab − 1342a − 1342b + 13422 ≥ 0
⇒ a 2 + b 2 − 2.1342. ( a + b ) + 2.13422 + ab − 1342a − 1342b + 1342 2 ≥ 0
⇔ a 2 + b 2 + ab ≥ 3.1342. ( a + b ) − 3.13422 = 2.2013. ( a + b ) − 3.13422
= 2013. ( a + b ) + 2013. ( a + b ) − 2.2013.1342 = 2013. ( a + b ) + 2013. ( a + b − 1342 − 1342 ) ≥ 2013. ( a + b )

2

2

Bài 44:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = ( x − 1) + ( x − 3) + 6 ( x − 1)
4

4

2

( x − 3)

2

Giải:
Cách 1:

13

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Cách 2:
A = ( x − 1) + ( x − 3) + 6 ( x − 1)
4

4

2

( x − 3)

2

2
2 2
2
2
Bài 45:
A = ( x − 1) + ( x − 3)  + 4 ( x − 1) ( x − 3)


Cho a,b,c là các
2
2
số thực dương
A =  2x 2 − 8x + 10  + 4 ( x 2 − 4x + 3 )
thỏa
mãn
a+b+c=1. Chứng A =  2( x − 2) 2 + 2  2 + 4 ( ( x − 2) 2 − 1) 2


minh rằng:
A = 4( x − 2) 4 + 8( x − 2) 2 + 4 + 4( x − 2) 4 − 8( x − 2) 2 + 4
ab

bc
ca
1
Giải:
+
≤
A = 8( x − 2) 4 + 8 ≥ 8 +
c +1 a +1 b +1 4

Bài 46
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng:
1

14

1
1
+
+
≤1
3
3
1 + xVăn
+ y Lập1 –+ Trường
y + z THCS
1 + z3 +
x3 Lư
Trần
Yên
3

3


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Giải:
x 2 + y 2 ≥ 2xy ⇒ ( x + y ) ( x 2 + y 2 ) ≥ 2xy ( x + y ) ⇒ x 3 + y 3 ≥ xy ( x + y )
⇒ 1 + x 3 + y 3 ≥ xy ( x + y + z ) ⇒
⇒

1
1+ x + y
3

3

≤

1
1+ x + y
3

3

≤

1
xy ( x + y + z )

z

1
x
1
y
;
≤
;
≤
⇒ dpcm
3
3
3
3
x + y + z 1+ y + z
x + y + z 1+ z + x
x+ y+ z

Bài 47
Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng:
a+b
≥ 2a b + 2b a
2
a+b
1

1 
1 
2

= ( a + b )  a + b + ÷ = ( a + b )   a + ÷+  b + ÷÷ ≥ 2 ab ( a + b ) = 2a b + 2b a

( a + b) +
2
2
4 
4 


Bài 48
Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện:
Giải:

( a + b)

Giải:

1

2

+

1

+

1

≥1
1 + 8b3
1 + 8c3

1
1
2
1
=
≥
= 2
= 2
2
1 + 8a 3
( 2a + 1) ( 4a 2 − 2a + 1) 2a + 1 + 4a − 2a + 1 4a + 2 2a + 1
2
1
1
1
1
;
≥ 2 ;
≥ 2
1 + 8b3 2b + 1 1 + 8c3 2c + 1
1
1
1
9
⇒ VT ≥ 2
+ 2
+ 2
≥ 2
=1
2a + 1 2b + 1 2c + 1 2a + 1 + 2b 2 + 1 + 2c 2 + 1

1 + 8a 3
1

+

Bài 49
Với a,b,c là ba số thực dương . 3
a b3 c 3
Chứng minh rằng:
+ + ≥ a 2 + b2 + c2
Giải:
b c a
Cách 1:
2
2
2
a2 + b2 + c2 ) ( a 2 + b2 + c2 )
(
a 3 b3 c3 a 4 b 4 c 4 ( a + b + c )
+ + =
+ + ≥
=
≥ a 2 + b2 + c 2
b c a ab bc ca
ab + bc + ca
ab + bc + ca
2

Cách 2
a3

b3
c3
+ ab ≥ 2a 2 ; + bc ≥ 2b 2 ; + ca ≥ 2c 2 ⇒ VT ≥ 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) − (ab + bc + ca ) ≥ a 2 + b 2 + c 2
b
c
a
Bài 50
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
Giải:

15

x2
y2
z2
3
+
+
≥
y +1 z +1 x +1 2

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
x2
y +1
y2
z +1
z2

x +1
3
3 3
3 3
+
≥ x;
+
≥ y;
+
≥ z ⇒ VT ≥ ( x + y + z ) − ≥ .3 − =
y +1
4
z +1
4
x +1
4
4
4 4
4 2

16

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư