Ước lượng phiếm hàm dạng tích phân hiệp phương sai hai quá trình ngẫu nhiên itô được quan sát tại các thời điểm rời rạc (LV01865)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
—————————————-

NGUYỄN KHẮC CƯỜNG

ƯỚC LƯỢNG PHIẾM HÀM DẠNG TÍCH
PHÂN HIỆP PHƯƠNG SAI HAI QUÁ TRÌNH
NGẪU NHIÊN ITÔ ĐƯỢC QUAN SÁT TẠI CÁC
THỜI ĐIỂM RỜI RẠC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
—————————————-

NGUYỄN KHẮC CƯỜNG

ƯỚC LƯỢNG PHIẾM HÀM DẠNG TÍCH
PHÂN HIỆP PHƯƠNG SAI HAI QUÁ TRÌNH
NGẪU NHIÊN ITÔ ĐƯỢC QUAN SÁT TẠI CÁC
THỜI ĐIỂM RỜI RẠC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS. NGÔ HOÀNG LONG

Hà Nội, 2016


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành với lòng tri ân sâu sắc mà tôi kính gửi đến các
thầy cô, bạn đồng khóa, đồng nghiệp và gia đình thân thương của tôi.
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Ngô Hoàng Long, người
thầy đã định hướng chọn đề tài, trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn
thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa
Toán cùng các thầy cô trong trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giúp
đỡ, giảng dạy, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian học tập tại trường.
Tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc đến bố mẹ - những người đã sinh thành,
nuôi dưỡng và tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho tôi. Tôi xin chân thành
cảm ơn đồng nghiệp và bạn bè đã động viên, cổ vũ tôi trong thời gian học tập và
nghiên cứu luận văn.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng khóa Cao học K18 - đợt
2 (2014 - 2016) nói chung và chuyên ngành Toán ứng dụng nói riêng đã giúp đỡ,
động viên tôi hoàn thành luận văn này.
Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ Phát triển khoa học và công nghệ Quốc
gia (NAFOSTED) trong đề tài mã số 101.03-2014.14.
Hà Nội, tháng 06 năm 2016
Học viên

Nguyễn Khắc Cường

Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của TS. Ngô Hoàng Long.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những
thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và
biết ơn.
Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ
nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 06 năm 2016
Học viên

Nguyễn Khắc Cường


3

Mục lục
Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Mở đầu

5

1 Kiến thức chuẩn bị

8

1.1 Một số khái niệm trong xác suất và thống kê . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.1

Một số dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên . . . . . . . . .

8

1.1.2

Ước lượng điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1

Khái niệm quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2

Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.3

Khai triển Doob - Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.4

Martingale bình phương khả tích . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.5

Martingale địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.6

Chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3 Tích phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3.1

Quá trình khả báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3.2

Xây dựng tích phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.3

Công thức vi phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20


4
2 Ước lượng tích phân của hiệp phương sai hai quá trình ngẫu nhiên Itô
được quan sát không đồng thời

22

2.1 Ước lượng độ biến động của quá trình ngẫu nhiên Itô một chiều .

22

2.2 Ước lượng tích phân của độ biến động của hai quá trình ngẫu
nhiên Itô được quan sát đồng thời . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3 Ước lượng tích phân của hiệp phương sai của hai quá trình ngẫu
nhiên Itô được quan sát không đồng thời. . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3.1

Ước lượng vững . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3.2

Ứng dụng trong tài chính: Mô hình Black - Scholes nhiều
chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.4 Mô phỏng trên máy tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3 Ước lượng tích phân của hiệp phương sai hai quá trình ngẫu nhiên
được quan sát không đồng thời với nhiễu

43

3.1 Phương pháp ước lượng Hayashi - Yoshida cải tiến. . . . . . . . . .

43

3.1.1

Quá trình được quan sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.1.2

Thời điểm quan sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.1.3

Dữ liệu quan sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.1.4

Lớp hàm g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.1.5

Ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.2 Đánh giá sai số của ước lượng Hayashi - Yoshida cải tiến. . . . . .

47

3.3 Mô phỏng phương pháp ước lượng Hayashi - Yoshida cải tiến. . .

60

Kết luận

63

Tài liệu tham khảo

64


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong toán tài chính, giá của cổ phiếu thường được mô phỏng bởi một quá
trình ngẫu nhiên Itô nhiều chiều có dạng:

t

t

σs dBs ,

bs ds +

Xt = X0 +
0

0

trong đó b và σ là hai quá trình ngẫu nhiên tương thích, B là một chuyển động
Brown và tích phân thứ hai ở trên là tích phân ngẫu nhiên Itô. Người ta thường
gọi b là hệ số trôi và σ là hệ số biến động của X. Trên thị trường ta không quan
sát được trực tiếp giá trị của các hệ số b và σ mà chỉ có thể quan sát được giá trị
của X tại một số thời điểm rời rạc. Tuy nhiên, khi tiến hành tính toán các tài sản
phái sinh từ X như giá của các quyền chọn, giá của các hợp đồng CDS, CDO hay
việc xác định độ rủi ro khi đầu tư vào các chứng khoán này, người ta cần phải
biết chính xác giá trị của độ biến động σs2 hay ít nhất là giá trị của phiếm hàm
tích phân dạng

t
0

h(σs2 )ds với h là một hàm nào đó. Điều này đặt ra một bài toán

ước lượng - thống kê hết sức tự nhiên và quan trọng đó là làm thế nào để xác
định được giá trị của σ hay của phiếm hàm dạng tích phân trên mà chỉ dựa vào

dãy các giá trị quan sát được từ X tại một số thời điểm rời rạc.
Do tầm quan trọng của nó, bài toán trên đã trở thành một trong những vấn đề
được quan tâm nhất trong lý thuyết thống kê các quá trình ngẫu nhiên và đã và
đang được nghiên cứu một cách sâu rộng trong những năm gần đây bởi các nhà


6
toán học hàng đầu như Jean Jacod và Paul Malliavin (Paris IV), Yacine Ait-Sahalia
(Princeton), Shigeyoshi Ogawa (Ritsumeikan), Nakahiro Yoshida (Tokyo)... Những
khó khăn lớn nhất khi xây dựng ước lượng cho σ và nghiên cứu tính chất tiệm
cận của các ước lượng đó là việc các cổ phiếu được quan sát tại các thời điểm
dày đặc nhưng lại không đồng đều và thường kèm theo nhiễu.
Với mong muốn tìm hiểu sâu về các ước lượng cho độ biến động σ, đặc biệt là
khi dữ liệu quan sát thoả mãn các điều kiện xấu trên, tôi lựa chọn đề tài nghiên
cứu: “Ước lượng phiếm hàm dạng tích phân hiệp phương sai hai quá trình
ngẫu nhiên Itô được quan sát tại các thời điểm rời rạc” cho luận văn thạc sĩ
của mình.
Tài liệu tham khảo chính của luận văn là các công trình nghiên cứu gần đây
của Takaki Hayashi - Nakahiro Yoshida [5] và người hướng dẫn luận văn [8].

2. Mục đích nghiên cứu
• Tiếp cận phương pháp ước lượng cho tích phân của hiệp phương sai hai
quá trình ngẫu nhiên được quan sát tại các thời điểm rời rạc không đều và
đánh giá tốc độ hội tụ theo nghĩa mạnh của phép xấp xỉ.
• Tiếp cận phương pháp ước lượng cho tích phân của hiệp phương sai hai
quá trình ngẫu nhiên được quan sát tại các thời điểm rời rạc không đều với
nhiễu và đánh giá tốc độ hội tụ theo nghĩa mạnh của phép xấp xỉ.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Phương pháp ước lượng cho tích phân của độ biến động của quá trình ngẫu

nhiên Itô một chiều.
• Phương pháp ước lượng cho tích phân của hiệp phương sai hai quá trình


7
ngẫu nhiên được quan sát tại các thời điểm rời rạc không đều.
• Phương pháp ước lượng cho tích phân của hiệp phương sai hai quá trình
ngẫu nhiên được quan sát tại các thời điểm rời rạc không đều và bị nhiễu.
• Mô phỏng các phương pháp ước lượng trên máy tính.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Quá trình ngẫu nhiên.
• Thống kê cho quá trình ngẫu nhiên.
• Toán tài chính.

5. Phương pháp nghiên cứu
• Nghiên cứu lý thuyết.
• Nghiên cứu thực nghiệm mô phỏng trên máy tính.

6. Đóng góp mới
Luận văn hệ thống hoá và làm rõ việc xây dựng các phương pháp ước lượng
phiếm hàm dạng tích phân của hiệp phương sai hai quá trình ngẫu nhiên Itô
được quan sát tại các thời điểm rời rạc với nhiễu. Luận văn cũng xây dựng chương
trình mô phỏng phép xấp xỉ trên máy tính.


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Một số khái niệm trong xác suất và thống kê

1.1.1

Một số dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên

Với mỗi p > 0 và biến ngẫu nhiên ξ ta kí hiệu ξ

p

= E[|ξ|p ]

1/p

. Nếu ξ

p

<

∞ thì ta nói ξ là khả tích bậc p và kí hiệu Lp là tập hợp tất cả các b.n.n. khả tích
bậc p.
Giả sử (ξn ) là dãy biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P).
Dãy (ξn ) được gọi là
• hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên ξ nếu P[ lim ξn = ξ] = 1. Kí hiệu
n→∞

h.c.c.

là ξn −→ ξ.

• hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên ξ nếu lim P[|ξn − ξ| > ] = 0 với
n→∞

P

mọi > 0. Kí hiệu là ξn −→ ξ.
• hội tụ theo trung bình bậc p, p > 0, đến biến ngẫu nhiên ξ nếu E|ξn |p < ∞
Lp

và lim E|ξn − ξ|p = 0. Kí hiệu là ξn −→ ξ. Khi p = 1, ta nói ξn hội tụ theo
n→∞

trung bình đến ξ.


9
• chặt nếu với mọi > 0, tồn tại K > 0 sao cho
sup P[|ξn | > K] ≤ .
n

Mệnh đề 1.1.1. Giả sử (ξn ) và ξ là các b.n.n. xác định trên không gian xác suất
(Ω, F, P)
Lp

h.c.c.

P

1. Nếu ξn −→ ξ hoặc ξn −→ ξ thì ξn −→ ξ.
h.c.c.

2. ξn −→ ξ khi và chỉ khi với mọi > 0, ta có
lim P sup |ξk − ξ| >
n

= 0.

k≥n

P

3. ξn −→ ξ khi và chỉ khi với mọi dãy con (nk ) của dãy các số tự nhiên, tồn tại
h.c.c.

một dãy con (mk ) của dãy (nk ) sao cho ξmk −→ ξ.
4. Nếu (ξn ) hội tụ theo xác suất thì dãy (ξn ) là chặt. Ngược lại, nếu (ξn ) là chặt
thì với mọi dãy

1.1.2

n

↓ 0, dãy ( n ξn ) hội tụ theo xác suất đến 0.

Ước lượng điểm

Giả sử (X1 , . . . , Xn ) là mẫu ngẫu nhiên quan sát được từ biến ngẫu nhiên X có
phân phối F (x; θ) trong đó tham số θ ∈ Θ. Mỗi hàm θn = θn (X1 , . . . , Xn ) không
phụ thuộc vào θ đều được gọi là ước lượng điểm của tham số θ. Ước lượng θn
được gọi là

• không chệch nếu Eθ (θn ) = θ;
P

θ
• vững nếu θn −→
θ.


10

1.2

Quá trình ngẫu nhiên

1.2.1

Khái niệm quá trình ngẫu nhiên

Cho (Ω, F, P) là không gian xác suất.
Định nghĩa 1.2.1.

• Họ {Ft }t≥0 các σ-đại số con của F gọi là một lọc nếu

Ft ⊂ Fs với mọi s ≥ t ≥ 0.
• Lọc {Ft }t≥0 được gọi là liên tục phải nếu Ft =

s>t

Fs với mọi t ≥ 0.

• Lọc {Ft }t≥0 được gọi là thỏa mãn điều kiện thông thường nếu nó là liên tục
phải và F0 chứa tất cả các tập A ⊂ Ω sao cho A ⊂ B ∈ F và P(B) = 0.
Từ đây nếu không có chú thích gì đặc biệt, chúng ta luôn xét không gian xác
suất đầy đủ (Ω, F, P) và lọc {Ft }t≥0 thỏa mãn điều kiện thông thường.
Định nghĩa 1.2.2. Họ {Xt }t∈I nhận giá trị trên Rd được gọi là một quá trình ngẫu
nhiên với tập chỉ số I và không gian trạng thái Rd . Tập chỉ số I có thể là nửa
đường thẳng thực R+ = [0, ∞) hoặc đoạn [a, b] hoặc tập hợp các số nguyên không
âm.
Khi I là (tập con của) tập các số nguyên dương thì {Xt }t∈I được gọi là quá
trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc, còn khi I là tập (con của) R+ thì {Xt }t∈I
được gọi là quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục.
Với mỗi thời điểm cố định t ∈ I, ánh xạ

Xt : Ω −→ Rd , ω −→ Xt (ω)

là một biến ngẫu nhiên và với mỗi ω ∈ Ω ta có hàm

X(ω) : I −→ Rd , t −→ Xt (ω) = X(t, ω)


11

được gọi là một quỹ đạo của quá trình X ứng với ω.
Sau đây ta nêu một số khái niệm liên quan đến quá trình ngẫu nhiên {Xt }t∈I .
Định nghĩa 1.2.3.

• Quá trình {Xt }t≥0 được gọi là liên tục (liên tục phải, liên

tục trái) nếu với hầu hết ω ∈ Ω, hàm t −→ Xt (ω) là liên tục (liên tục phải,
liên tục trái) trên đoạn [0, ∞).

• Quá trình {Xt }t≥0 được gọi là cadlag (tức liên tục phải và có giới hạn trái)
nếu nó là một hàm liên tục phải và với hầu hết ω ∈ Ω thì giới hạn trái
lims→t Xs (ω) tồn tại và hữu hạn với mọi t > 0.
• Quá trình {Xt }t≥0 được gọi là thích nghi nếu Xt là Ft -đo được.
• Quá trình ngẫu nhiên {Yt }t≥0 được gọi là bản sao của {Xt }t≥0 nếu P(Xt =
Yt ) = 1 với mọi t ≥ 0.
• Hai quá trình ngẫu nhiên {Xt }t≥0 và {Yt }t≥0 được gọi là bất khả phân biệt
nếu P(Xt = Yt với mọi t ≥ 0) = 1.
Định nghĩa 1.2.4. Biến ngẫu nhiên T : Ω → [0, ∞) được gọi là thời điểm dừng
nếu với mọi t, biến cố {T ≤ t} ∈ Ft . T được gọi là thời điểm dừng hữu hạn nếu
T < ∞. T được gọi là thời điểm dừng bị chặn nếu tồn tại K ∈ [0, ∞) sao cho
T ≤ K hầu chắc chắn.
Với mỗi quá trình ngẫu nhiên {Xt }t≥0 và thời điểm dừng T , ta kí hiệu XT (ω) =
XT (ω) (ω).
Với mỗi tập Borel A, đặt
TA = inf{t > 0 : Xt ∈ A}.
Mệnh đề 1.2.1. Giả sử lọc (Ft ) thỏa mãn điều kiện thông thường và quá trình
ngẫu nhiên (Xt ) có quĩ đạo liên tục. Khi đó:


12
1. Nếu A là tập mở thì TA là thời điểm dừng.
2. Nếu A là tập đóng thì TA cũng là thời điểm dừng.
Với mỗi thời điểm dừng T ta đặt:
FT = {A ∈ F : A ∩ {T ≤ t} ∈ Ft với mọi t > 0}.
FT là σ-đại số gồm các sự kiện xảy ra cho đến thời điểm T .

1.2.2

Martingale

Định nghĩa 1.2.5. Quá trình ngẫu nhiên (Mt )t≥0 được gọi là một martingale thời
gian liên tục ứng với lọc (Ft ) và độ đo xác suất P nếu:
1. E[|Mt |] < ∞ với mọi t;
2. Mt là Ft -đo được với mọi t;
3. E[Mt |Fs ] = Ms hầu chắc chắn với mọi t > s.
Nếu điều kiện thứ ba được thay bởi E[Mt |Fs ] ≥ Ms hầu chắc chắn với mọi t > s
thì (Mt ) được gọi là martingale dưới. (Mt ) được gọi là martingale trên nếu (−Mt )
là martingale dưới.
Ví dụ 1.2.1. Giả sử X là một biến ngẫu nhiên khả tích, (Ft ) là một lọc. Đặt Xt =
E[X|Ft ]. Khi đó (Xt ) là một martingale và được gọi là martingale chính qui.
Sau đây ta trình bày một số bất đẳng thức cho dãy martingale.
Định lý 1.2.1. Giả sử (Xn ) là martingale dưới. Khi đó với mọi a > 0 và N ∈ N,
i) aP(max Xn ≥ a) ≤ E[|XN |; max |Xn | ≥ a] ≤ E(|XN |),
n≤N

n≤N

ii) aP(min Xn ≤ −a) ≤ E(|X0 | + |XN |),
n≤N

iii) aP(max |Xn | ≥ a) ≤ 2E(|XN | + |X0 |).
n≤N


13
Định lý 1.2.2. Nếu p > 1 và X là martingale hoặc martingale dưới không âm
thỏa mãn E[|Xi |p ] < ∞ với mọi i ≤ N . Khi đó:
i) P(max |Xn | ≥ a) ≤ a−p E(|XN |p ),
n≤N

ii) E[| max |Xn |p ] ≤
n≤N

p
p−1

p

E[|XN |p ].

Trong trường hợp thời gian liên tục, ta có kết quả sau:
Định lý 1.2.3. Giả sử (Mt ) là martingale hoặc là martingale dưới không âm có
quĩ đạo liên tục phải và có giới hạn trái. Khi đó:
1. Với mọi a > 0,
P(sup |Ms | ≥ a) ≤ E[|Mt |]/a.
s≤t

2. Nếu 1 < p < ∞ thì
E[sup |Ms |p ] ≤
s≤t

p
p−1

p

E[|Mt |p ].

Định lý 1.2.4. Giả sử (Mn , Fn )n≥0 là một martingale dưới, σ và τ là hai thời điểm

dừng bị chặn hầu chắc chắn. Khi đó
E(Xτ |Fσ ) ≥ Xσ , P − hcc trên tập {τ ≥ σ}.
Định lý 1.2.5. Giả sử (Xt ) là martingale dưới liên tục phải σ và τ là hai thời điểm
dừng bị chặn hầu chắc chắn. Khi đó:
E(Xτ |Fσ ) ≥ Xσ , P − hcc trên tập {τ ≥ σ}.
Hệ quả 1.2.1. Giả sử (Xt , Ft )t≥0 là martingale liên tục phải, τ là thời điểm dừng
bị chặn. Khi đó (Mt∧τ , Ft )t≥0 cũng là martingale.
Định lý 1.2.6. Giả sử (Mn , Fn )n≥0 là martingale dưới thỏa mãn supn E[Mn+ ] < ∞,
khi đó Mn hội tụ hầu chắc chắn khi n → ∞.


14
Định lý 1.2.7. Giả sử (Mt , Ft )t≥0 là một martingale dưới liên tục phải thỏa mãn
supt≥0 E[Xt+ ] < ∞. Khi đó X∞ (w) = limt→∞ Xt (w) tồn tại với hầu chắc chắn mọi
w ∈ Ω và E[|X∞ |] < ∞.

1.2.3

Khai triển Doob - Meyer

Ta đã biết rằng kì vọng của martingale dưới tăng theo thời gian trong khi kì
vọng của martingale là không đổi. Từ đó, ta dự đoán rằng một martingale dưới
có thể tách ra làm hai phần: martingale cộng với một quá trình tăng. Sau đây
ta sẽ chứng tỏ rằng dự đoán trên là chính xác. Trước hết ta phát biểu khai triển
Doob cho martingale thời gian rời rạc.
Định lý 1.2.8. Martingale dưới (Xn )n≥0 có biểu diễn duy nhất dưới dạng:
Xn = Mn + An ,
trong đó (Mn )n≥0 là martingale và A0 = 0, An là Fn−1 đo được, An ≤ An+1 hầu
chắc chắn với mọi n ≥ 0.
Tiếp theo ta xét khai triển cho martingale dưới thời gian liên tục. Trước hết ta

cần định nghĩa quá trình ngẫu nhiên tăng.
Định nghĩa 1.2.6. Quá trình ngẫu nhiên (At )t≥0 được gọi là:
• Tăng nếu A0 = 0 và ánh xạ t → At là liên tục phải và tăng hầu chắc chắn.
• Khả tích nếu E(|At |) < ∞ với mọi t ≥ 0.
• Tự nhiên nếu với mọi martingale bị chặn (mt )t≥0 , ta có:
t

t

ms dAs = E

E
0

ms− dAs ,

∀t ≥ 0,

(1.1)

0

trong đó tích phân trong dấu kì vọng được hiểu theo nghĩa Lebesgue-Stieltjes
và ms− = limt↑s mt .


15
Đẳng thức (1.1) có nghĩa là quá trình tăng At là tự nhiên nếu nó gần như
không có cùng thời điểm nhảy với bất cứ một martingale bị chặn nào. Mệnh đề
sau đưa ra một đặc trưng khác của quá trình tăng tự nhiên.

Mệnh đề 1.2.2. Giả sử (At )t≥0 là quá trình tăng và khả tích. Khi đó (At )t≥0 là tự
nhiên nếu với mọi martingale bị chặn (mt )t≥0 đẳng thức:
t

E(mt At ) = E

ms− dAs
0

được nghiệm đúng với mọi t ≥ 0.
Định nghĩa 1.2.7. Kí hiệu ST là tập các thời điểm dừng bị chặn bởi T ≥ 0.
Martingale dưới (Xt )t≥0 được gọi là thuộc lớp (DL) nếu họ các biến ngẫu nhiên
{Xσ : σ ∈ ST } là khả tích đều với mọi T ≥ 0.
Định lý 1.2.9 (Khai triển Doob-Meyer). Giả sử (Xt )t≥0 là martingale dưới thuộc
lớp (DL). Khi đó (Xt ) có biểu diễn duy nhất dưới dạng:
Xt = Mt + At ,
trong đó (At )t≥0 là quá trình tăng, khả tích, tự nhiên và (Mt )t≥0 là martingale.

1.2.4

Martingale bình phương khả tích

Định nghĩa 1.2.8. Martingale (Mt )t≥0 được gọi là martingale bình phương khả
tích, kí hiệu là M ∈ M2 , nếu:
E(Mt2 ) < ∞,

∀t ≥ 0.

Nếu M liên tục, ta kí hiệu M ∈ M2,c .
Bổ đề 1.2.1. Nếu (Mt )t≥0 là martingale bình phương khả tích và có quĩ đạo liên

tục phải thì (Mt2 )t≥0 là martingale dưới, liên tục phải và thuộc lớp (DL).


16
Áp dụng khai triển Doob-Meyer cho martingale (Mt )t≥0 ở Bổ đề 1.2.1, tồn tại
duy nhất một quá trình tăng, tự nhiên At sao cho Mt2 − At là martingale. Ta kí
hiệu At = M t và gọi M là đặc trưng hay quá trình Meyer của martingale (Mt ).
Giả sử M, N ∈ M2 và cùng liên tục phải. Khi đó quá trình ngẫu nhiên
M, N

t

1
= ( M +N
4

t

− M − N t)

được gọi là đặc trưng tương hỗ hay quá trình Meyer của M và N .

1.2.5

Martingale địa phương

Định nghĩa 1.2.9. Quá trình ngẫu nhiên (Mt )t≥0 được gọi là một martingale địa
phương nếu tồn tại một dãy các thời điểm dừng (τn )n≥0 tăng tới ∞ hầu chắc chắn
sao cho với mọi n ≥ 0, quá trình ngẫu nhiên Mtn = Mt∧τn là một martingale.
Martingale địa phương (Mt )t≥0 được gọi là martingale bình phương khả tích

địa phương nếu E(|Mtn |2 ) < ∞ với mọi n ≥ 1, mọi t ≥ 0.
Kí hiệu tập tất cả các martingale địa phương liên tục bởi Mcloc và tập tất cả
các martingale bình phương khả tích địa phương liên tục bởi M2,c
loc .
c
Chú ý 1.2.1. Giả sử M ∈ Mloc
. Đặt

σn (w) = inf{t : |Mt (w)| ≥ n},
trong đó qui ước inf ∅ = ∞. Áp dụng Hệ quả 1.2.1 ta có với mọi n ≥ 1, quá trình
ngẫu nhiên (Mtn )t≥0 ≡ (Mt∧σn )t≥0 là một martingale liên tục bị chặn.
Định lý 1.2.10. Giả sử M ∈ Mcloc . Khi đó tồn tại duy nhất một quá trình tăng,
liên tục (At )t≥0 với A0 = 0 và Mt2 − At là martingale địa phương. Ta cũng kí hiệu
At = M t .
Sử dụng Định lí 1.2.5 ta có hệ quả sau:


17
Hệ quả 1.2.2. Giả sử X ∈ Mcloc và (σt )t≥0 là một dãy tăng của các thời điểm dừng
˜ t = Xσt và F˜t = Fσt với mỗi t ≥ 0. Giả sử X bằng
bị chặn và liên tục phải. Đặt X
˜ t , F˜t ) ∈ Mc và
hằng số trên đoạn [σt− , σt ] với mọi t > 0. Khi đó (X
loc
˜
X

1.2.6

t

= X

σt .

Chuyển động Brown

Định nghĩa 1.2.10. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất với lọc (Ft )t≥0 . Quá
trình ngẫu nhiên (Bt )t≥0 được gọi là một chuyển động Brown ứng với lọc (Ft )t≥0
nếu:
1. B0 = 0;
2. B liên tục;
3. Bt − Bs độc lập với Fs với mọi t ≥ s ≥ 0;
4. Bt − Bs có phân phối chuẩn N (0, t − s).
Định nghĩa 1.2.11. Giả sử (Bt1 ), . . . , (Btn ) là n chuyển động Brown độc lập. Khi đó
B = ((Bt1 , . . . , Btn )T , t ≥ 0) là một chuyển động Brown n chiều.

1.3
1.3.1

Tích phân ngẫu nhiên
Quá trình khả báo

Giả sử L là họ tất cả các ánh xạ đo được
X : (R+ × Ω, B(R+ ) ⊗ F) → (R, B(R)),


18
sao cho với mọi t ≥ 0, Xt : Ω → R là Ft -đo được và với mỗi w ∈ Ω, ánh xạ
t → Xt (w) là liên tục trái. Đặt

P = σ X −1 (B) : B ∈ B(R), X ∈ L ,
trong đó
X −1 (B) = {(t, w) ∈ R+ × Ω : Xt (w) ∈ B}.
Có thể hiểu P là σ-đại số bé nhất trên (R+ ×Ω, B(R+ )⊗F) sao cho với mọi X ∈ L,
ánh xạ X : (R+ × Ω, P) → (R, B(R)) là đo được.
Định nghĩa 1.3.1. Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt (w)) là khả báo nếu ánh xạ
X : (R+ × Ω, P) → (R, B(R)) là đo được.
Ví dụ 1.3.1. Cho 0 = t0 < t1 < . . . < tn . Xác định quá trình ngẫu nhiên đơn giản:
n−1

Xt (w) = X0 (w)I{0} (t) +

Xj (w)I(tj ,tj+1 ] (t).
j=0

Nếu Xj là Ftj đo được với mọi j = 0, . . . , n thì X là khả báo vì Xt là Ft -đo được
với mọi t ≥ 0 và quĩ đạo của X là liên tục trái.
Bổ đề sau cho ta một mô tả hữu dụng về σ-đại số khả báo P.
Bổ đề 1.3.1. σ-đại số P được sinh bởi tất cả các tập có dạng Γ = (u, v] × B với
B ∈ Fu và Γ = {0} × B với B ∈ F0 .

1.3.2

Xây dựng tích phân ngẫu nhiên

Kí hiệu L0 tập tất cả các quá trình ngẫu nhiên đơn giản ft có dạng
n−1

ft (w) =

fj (w)I(tj ,tj+1 ] (t),
j=1

trong đó 0 ≤ t0 < . . . < tn và fj là biến ngẫu nhiên Ftj - đo được.


19
Giả sử ta cố định một quá trình ngẫu nhiên M ∈ M2,c . Với f ∈ L0 , ta xác định
tích phân Itô như sau:
n−1

I(f ) =

fj (Mtj+1 − Mtj ).

fs dMs =

(1.2)

j=1

Sau đây là một số tính chất của tích phân ngẫu nhiên.
Mệnh đề 1.3.1. Với mọi f ∈ L0 , ta có E
2

fs dMs

E

fs dMs = 0, và

=E

fs2 d M

s

.

Để xây dựng được tích phân ngẫu nhiên cho hàm dưới dấu tích phân f tổng
quát hơn, với mỗi M ∈ M2,c , ta xác định độ đo νM trên (R+ × Ω, P) bởi
νM (A) = E

IA (t, w)d M

t

.

Áp dụng Bổ đề 1.3.1 ta thấy L0 là không gian con trù mật trong L2 (νM ). Hơn nữa,
áp dụng Mệnh đề 1.3.1 ta có:
Định lý 1.3.1. Ánh xạ I : L0 → L2 (Ω, F, P) xác định bởi đẳng thức (1.2) là đẳng
cự tuyến tính. Tức là, với mọi f, g ∈ L0 và α, β ∈ R, ta có
I(αf + βg) = αI(f ) + βI(g),

hcc,

và
E |I(f )|2 =

|f (t, w)|2 νM (dtdw).

R+ ×Ω

Do đó I có thác triển duy nhất thành một ánh xạ đẳng cự tuyến tính từ L2 (νM )
lên L2 (Ω, F, P). Ta vẫn kí hiệu thác triển đó bởi I(f ) =

fs dMs .

Bây giờ ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên là một quá trình ngẫu nhiên xác
định bởi
t

It (f ) ≡

fs dMs ≡
0

fs I[0,t] (s)dMs .


20
Định lý 1.3.2. Quá trình ngẫu nhiên (It (f ))t≥0 là martingale thuộc M2,c với quá
trình Meyer
t

fs2 d M s .

I(f ) t =
0

Tiếp theo ta xây dựng tích phân ngẫu nhiên cho M ∈ M2,c

loc .
2
Định nghĩa 1.3.2. Với mỗi M ∈ M2,c
loc , đặt Lloc (M ) là tập tất cả các quá trình ngẫu

nhiên khả báo f thỏa mãn tồn tại một dãy thời điểm dừng (σn ) tăng tới ∞ hầu
chắc chắn và

T ∧σn

ft2 d M

E

t

< ∞,

∀T > 0, n ∈ N.

(1.3)

0

Chú ý 1.3.1. Ta có thể chọn dãy (σn ) trong Định nghĩa 1.3.2 sao cho với mọi
n ∈ N, quá trình ngẫu nhiên Mtσn := Mt∧σn thuộc M2 và phương trình (1.3) được
thỏa mãn.
n
(f ). Do đó tồn tại
Đặt Itn (f ) = It (I(0,σn ] f ). Với mọi m < n, ta thấy Itm (f ) = It∧σ

m

duy nhất quá trình ngẫu nhiên It (f ) sao cho Itn (f ) = It∧σn (f ).
Định nghĩa 1.3.3. Quá trình ngẫu nhiên It (f ) được gọi là tích phân ngẫu nhiên
của f ∈ L2loc (M ) với M ∈ M2,c
loc . Ta cũng kí hiệu
t

It (f ) =

fs dMs .
0

1.3.3

Công thức vi phân Itô

Định nghĩa 1.3.4. Quá trình ngẫu nhiên d-chiều (Xt )t≥0 được gọi là semi-martingale
liên tục nếu
Xt = X0 + Mt + At ,
trong đó M 1 , . . . , M d là các martingale địa phương liên tục và A1 , . . . , Ad là các
quá trình liên tục có biến phân hữu hạn.


21
Trước khi phát biểu công thức vi phân Itô ta cần đưa ra một số kí hiệu sau. Gọi
C 2 (Rd ) là họ các hàm khả vi đến cấp hai từ Rd vào R. Với mỗi ánh xạ F ∈ C 2 (Rd ),
ta kí hiệu đạo hàm riêng của F với biến thứ i là ∂i F . Tương tự ta kí hiệu

∂2F

∂xi ∂xj

bởi

∂ij2 F.
Định lý 1.3.3 (Công thức vi phân Itô). Giả sử X là semi-martingale liên tục dchiều và F ∈ C 2 (Rd ). Khi đó
d

d

t

∂i F (Xs )dMsi

F (Xt ) = F (X0 ) +
0

i=1

+

1
2 i,j=1

∂i F (Xs )dAis

+
i=1

d

t
0

t

∂ij2 F (Xs )d M i , M j s .

(1.4)

0

Áp dụng công thức vi phân Itô ta sẽ chứng tỏ rằng đối với martingale bình
phương khả tích, quá trình Meyer sẽ đồng nhất với quá trình biến phân bậc hai.
n
n
n
Định lý 1.3.4. Giả sử M ∈ M2,c
loc . Giả sử (ti )0≤i≤n là dãy thỏa mãn 0 = t0 < t1 <

. . . < tnn = t và
max (tnj − tnj−1 ) → 0 khi n → ∞.

1≤j≤n

Khi đó giới hạn sau tồn tại theo xác suất
n

(Mtnj − Mtnj−1 )2 = M t .

lim

n→∞

j=1


Chương 2
Ước lượng tích phân của hiệp
phương sai hai quá trình ngẫu nhiên
Itô được quan sát không đồng thời
2.1

Ước lượng độ biến động của quá trình ngẫu nhiên
Itô một chiều

Giả sử at , bt , 0 ≤ t ≤ T là hai quá trình ngẫu nhiên tương thích thỏa mãn điều
kiện:
T

T

b2s ds < +∞ và E

E
0

a4s ds < +∞.

(2.1)

0

Đặt
t

X t = x0 +
iT
,i
n

as dBs , 0 ≤ t ≤ T.

bs ds +
0

Với mỗi n, đặt tni =

t
0

= 0, ..., n. Trong thực tế ta chỉ quan sát được (Xt ) tại các

thời điểm rời rạc tin và ta muốn dùng các dữ liệu này để xác định độ biến động


23
dạng tích phân của X được định nghĩa là
T

a2s ds.

IT =
0

Giá trị của IT được ước lượng dựa trên thống kê AnT được xác định như sau
n−1

AnT

(Xtni+1 − Xtni )2 .

=
i=0

Định lý 2.1.1. Giả sử điều kiện (2.1) được thoả mãn. Khi đó
P

AnT −→ IT khi n → +∞.
Chứng minh. Đặt
ξin

tn
i+1

tn
i+1

= Xtni+1 − Xtni =

as dBs .

bs ds +
tn
i

tn
i

Ta có
n−1

AnT

tn
i+1

bs ds

=

n−1

2

tn
i

i=0

i=0

tn
i

tn
i

tn
i+1

2

as dBs

as dBs +

bs ds

+2

n−1

tn
i+1

tn
i+1

i=0

tn
i

= BTn + CTn + DTn .

(2.2)

Trước hết ta ước lượng BTn . Ta có:
n−1

BTn

≤
i=0

T
n

tn
i+1
tn
i

b2s ds

T

T
=

n

P

b2s ds −→ 0 khi n → +∞.

(2.3)

0

Tiếp theo ta ước lượng CTn :
n−1

E |CTn |

≤2

tn
i+1

E
i=0

tn
i+1

bs ds
tn
i

as dBs
tn
i

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz và tính đẳng cự của tích phân Itô, ta