QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE

Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin gởi đến Thầy – TS DƯƠNG TÔN ĐẢM lòng biết ơn
sâu sắc về sự hướng dẫn và giúp đỡ của Thầy đối với tôi trong suốt thời gian học
tập cũng như trong việc hoàn thành luận văn này. Thầy đã truyền đạt cho tôi
những ý tưởng, cảm hứng về đề tài này. Thầy không những giúp đỡ tôi về chuyên
môn mà còn giúp tôi về tinh thần trong những lúc tôi gặp khó khăn.
Tôi cũng chân thành cảm ơn :
* Các thầy cô trong bộ môn Xác Suất Thống Kê đặc biệt các Thầy PGS. TS
NGUYỄN BÁC VĂN, TS TÔ ANH DŨNG, GS. TSKH NGUYỄN VĂN THU
đã giảng dạy và truyền đạt cho tôi những kiến thức trong những năm học cao học..
* Quý Thầy Cô thuộc Khoa Toán - Tin trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
TPHCM đã tận tình hướng dẫn cung cấp tài liệu, trang bị nhiều kiến thức cần thiết
cho tôi trong suốt thời gian học lớp cao học.
* Tất cả các thầy trong hội đồng chấm luận văn đã dành cho tôi thời gian quý
báu và những nhận xét cho buổi bảo vệ luận văn.
* Các bạn học viên cao học Khóa 16 đã hổ trợ rất nhiều cho tôi về mọi mặt
trong thời gian qua.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn bè đã động viên,
giúp đỡ và hỗ trợ tinh thần cho tôi trong suốt thời gian qua.

TP Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2009
TRẦN THỊ VÂN ANH


1
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

LỜI MỞ ĐẦU

Xác Suất Thống Kê là lĩnh vực Toán học ứng dụng, nó đòi hỏi một cơ sở
toán học sâu sắc. Ngày nay các mô hình Xác Suất đã thực sự được ứng dụng rộng
rãi trong Khoa Học Tự Nhiên cũng như Khoa Học Xã Hội.
Trong luận văn này, nghiên cứu về khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên.
Về mặt lý thuyết chúng có nhiều tính chất thú vị liên hệ với các quá trình ngẫu
nhiên khác. Về mặt ứng dụng chúng trở thành công cụ toán học có hiệu lực cho
nhiều vấn đề trong các lĩnh vực khác nhau như toán học, vật lý, sinh học, cơ học,
khoa học trái đất, kinh tế …
Luận văn này gồm 3 chương :
Chương 1 : “MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN “
Trong chương này nghiên cứu và nhắc lại kiến thức cơ bản cần cho luận
văn này, cần đọc kỹ các khái niệm và nắm vững các kết quả như được mở đầu
bằng việc giới thiệu không gian Hilbert gồm các biến ngẫu nhiên bình phương khả
tích với vô hướng là hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên, dùng phép chiếu
trực giao để xây dựng phép xấp xỉ tuyến tính và lập phương trình dự đoán, tiếp
theo nêu khái niệm kỳ vọng có điều kiện và chứng tỏ rằng kỳ vọng có điều kiện là
dự đoán tốt nhất. Khai triển chính tắc của quá trình ngẫu nhiên cũng được nghiên
cứu trong chương này. Ngoài ra còn nghiên cứu quá trình Wiener và tích phân Ito
là hai khái niệm quan trọng khi nghiên cứu về quá trình ngẫu nhiên. Đây là những
khái niệm cơ bản và là cơ sở để nghiên cứu những vấn đề tiếp theo.
Chương 2 : “ ĐA THỨC HERMITE VÀ KHAI TRIỂN FOURIER –
HERMITE “


2
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

Chương này nghiên cứu các định nghĩa, các tính chất và bổ đề của đa thức
Hermite và tính chất của khai triển Fourier – Hermite. Một vài bổ đề ứng dụng

được chứng minh trong chương này là công cụ chính để ta sử dụng tiếp cho
chương sau.
Chương 3 : “ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE ”
Chương này mở rộng đa thức Hermite của chương 2 đó là nghiên cứu quá
trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Bắt đầu khái niệm về quá trình ngẫu nhiên dạng
Hermite. Sau đó mở rộng khái niệm là xác định hàm Hermite chuẩn suy rộng, sử
dụng chúng để thu được tập trực chuẩn đầy đủ trong
( )
2
L R
và
( )
2 n
L R
. Cuối
cùng nghiên cứu và nêu được một số đặc tính của vi phân ngẫu nhiên đối với quá
trình ngẫu nhiên dạng Hermite.



3
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn ……………………………………………………………….
1
Lời nói đầu ………………………………………………………………. 2
Mục lục …………………………………………………………………... 4

CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN………………………. 7
§1.1 Không gian
2
( , , )L F PΩ
…………………………………….. 7
1.1.1 Biến ngẫu nhiên ……………………………………… 7
1.1.2 Định nghĩa …………………………………………… 7
1.1.3 Định nghĩa ………………………………………….... 8
1.1.4 Tính chất ……………………………………………… 9
1.1.5 Định lý (Định lý về phép chiếu trong không gian Hilbert) 9
1.1.6 Tính chất của phép chiếu ………………………………... 12
1.1.7 Phép xấp xỉ tuyến tính trong L
2
………………………… 12
1.1.8 Phương trình dự đoán ………………………………… . 13
1.1.9 Kỳ vọng có điều kiện và dự đoán tốt nhất trong L
2
……… 14
§1.2 Khai triển chính tắc của quá trình ngẫu nhiên ………………….16
1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên biểu diễn dưới dạng tổng các hàm ngẫu
nhiên cơ bản……………………………………………… 16


4
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

1.2.2 Khai triển chính tắc quá trình ngẫu nhiên ……………… 18
1.2.3 Đưa quá trình ngẫu nhiên về dạng chính tắc…………… 20
1.2.4 Mốt số khai triển chính tắc đặc biệt…………………… 22

§1.3 Cơ sở trực giao và trực chuẩn trong không gian Hilbert………… 25
1.3.1 Định nghĩa (Trực giao và trực chuẩn) ………………25 1.3.2
Định nghĩa ( Cơ sở ) …………………………………… 25
1.3.3 Định nghĩa ( Cơ sở trực giao và trực chuẩn ) ………… 26
1.3.4 Định nghĩa ( Phép chiếu trực giao ) ………………………26
§1.4 Quá trình Wiener ……………………………………… 27
1.4.1 Định nghĩa ( Quá trình Wiener )………………………… 27
1.4.2 Các tính chất quá trình Wiener và độ đo …………………27
1.4.3 Quá trình Wiener n - chiều ……………………………… 37
§1.5 Tích phân Ito … ……………………………………………… 39
1.5.1 Định nghĩa ……………………………………………….. 39
1.5.2 Các tính chất cơ bản của tích phân Ito …………………… 40
1.5.3 Tích phân Ito nhiều chiều ……………………………… 43
1.5.4 Vi phân ngẫu nhiên của hàm hợp, công thức Ito …......... 44
CHƯƠNG 2 ĐA THỨC HERMITE VÀ KHAI TRIỂN FOURIER –
HERMITE
§2.1 Đa thức Hermite …………………………………………………..48
2.1.1 Định nghĩa ………………………………………………..48
2.1.2 Liên hệ giữa đa thức trực giao và đa thức Hermite ………49
2.1.3 Đạo hàm của đa thức Hermite ……………………………50
2.1.4 Các bổ đề của đa thức Hermite ………………………… 53
§2.2 Khai triển Fourier – Hermite của hàm biến ngẫu nhiên Gauss 57
2.2.1 Khai triển Fourier – Hermite …………………………57
2.2.2 Tính chất ……………………………………………… 58


5
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

CHƯƠNG 3 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE… 60
§3.1 Khái niệm về quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite……………… 60
3.1.1 Định nghĩa ………………………………………………..60
3.1.2 Các ví dụ ………………………………………………… 60
§3.2 Tập trực chuẩn đầy đủ trong
( )
2
L R
và
( )
2 n
L R
…………… ... 62
3.2.1 Định nghĩa ……………………………………………… 62
3.2.2 Các tính chất …………………………………………… 62
3.2.3 Định nghĩa ………………………………………………. 64
3.2.4 Tính chất ………………………………………………… 65
§3.3 Một số đặc tính của vi phân ngẫu nhiên ………………………… 66
3.3.1 Định nghĩa ………………………………………………..66
3.3.2 Định lý ……………………………………………………67
3.3.3 Bổ đề …………………………………………………… 67
3.3.4 Hệ quả …………………………………………………… 69
3.3.5 Các tính chất của quá trình dạng Hermite……………… 70
KẾT LUẬN …………………………………………………… 74
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………….. 75


6
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
§1.1 KHÔNG GIAN
2
( , , )L F PΩ
Phần này giới thiệu không gian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích
L
2
(
, ,F PΩ
)
1.1.1 BIẾN NGẪU NHIÊN
Biến ngẫu nhiên là đại lượng mà giá trị của nó phụ thuộc vào kết quả của
thí nghiệm . Ta định nghĩa chính xác biến ngẫu nhiên là :
Xét phép thử ngẫu nhiên với tập
Ω
và
σ
- đại số F các biến cố
Biến ngẫu nhiên là ánh xạ
( )
: ,X RΩ→ = −∞ + ∞
sao cho:
( )
( )
( )
{ }
\ F,X x X x x R
τ τ τ

≤ = ∈Ω ≤ ∈ ∀ ∈
hoặc :
( ) ( )
{ }
1
\ ,X B X B F
τ τ
−
= ∈Ω ∈ ∈

B∀

∈
B
với B là tập các tập Borel trong R .


7
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

Ta chỉ xét những tập B sao cho
( )
1
X B
−
là biến cố, tức
∈
F, khi đó lớp tất
cả các biến cố

( )
1
X B
−
là lớp biến cố cảm sinh bởi biến số ngẫu nhiên
( )
X
τ
.
1.1.2 ĐỊNH NGHĨA
Ta xét không gian xác suất
( )
, ,F PΩ
và lớp các biến ngẫu nhiên bình
phương khả tích được định nghĩa trên
Ω
và thỏa mãn điều kiện :

2 2
( ) ( )EX X P d
τ τ
Ω
= < ∞
∫

Khi đó, ta có :
( )
2
2 2
, ,E cX c EX c R X

ξ
= ∀ ∈ ∀ ∈
Mặt khác:
( )
2
2 2
2 2X Y X Y+ ≤ + <∞
Nên , ta cũng có :
( )
2
2 2
X +Y 2 2 , ,E EX EY X Y
ξ
≤ + < ∞ ∀ ∈
Kí hiệu
( )
2
, ,L F PΩ
là không gian Hilbert các đại lượng ngẫu nhiên X sao cho
2
EX < ∞
.
Với hai phần tử
,X Y
ta định nghĩa tích vô hướng trong
( )
2
, ,L F PΩ
là
, : ( . ) ( ) ( ) ( )X Y E X Y X Y P d

τ τ τ
Ω
< > = =
∫
. (1.1)
Không gian
2
( , , )L F PΩ
là tập các lớp tương đương với tích vô hướng
được định nghĩa theo công thức (1.1), mặt khác vì mỗi lớp tương đương được xác
định duy nhất bằng cách lấy một phần tử bất kì nào đó của lớp làm đại diện nên ta
vẫn dùng kí hiệu X, Y để chỉ các phần tử của
( )
2
, ,L F PΩ
, ta có thể dùng ngắn
gọn
2
L
và vẫn gọi đó là những biến ngẫu nhiên bình phương khả tích và ta chú ý


8
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

rằng nếu chỉ có X thì hiểu rằng X là đại diện cho cả một lớp các biến ngẫu nhiên
tương đương với X.
1.1.3 ĐỊNH NGHĨA
Sự hội tụ trong L

2
là sự hội tụ bình phương trung bình viết là
2
L
n
X X→

nghĩa là, dãy các phần tử
{ }
n
X
,
{ }
2
n
X L∈
được gọi là hội tụ đến X nếu và chỉ nếu
:
2
2
: 0
n n
X X E X X
− = − →
khi
n → ∞
Để xây dựng tính đầy của L
2
là không gian Hilbert ta còn phải xây dựng
tính đầy của L

2
nghĩa là nếu
2
0
m n
X X− →
khi
,m n
→ ∞
thì tồn tại
2
X L∈
sao
cho:
2
L
n
X X→
Ta xét tính chất :
1.1.4 TÍNH CHẤT
Nếu
2
n
X L∈
và
1
2
n
n n
X X

−
+
− ≤
; n = 1, 2, 3… thì tồn tại một biến ngẫu
nhiên X trên
( , , )F PΩ
sao cho
2
L
n
X X→
.
Chứng minh:
Chọn
0
X
= 0
Đặt X
n
: =
1
1
j j
j
X X
∞
−
=
−
∑

, khi đó theo bất đẳng thức Cauchy – Schward, ta có :
, .X Y X Y< > ≤
E (
1
1
j j
j
X X
∞
−
=
−
∑
) =
1
1
j j
j
E X X
∞
−
=
−
∑
1
1 1
2
j
j j
j j

X X
∞ ∞
−
−
= =
≤ − ≤ < ∞
∑ ∑


9
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

Từ đó, suy ra tồn tại
1
1
lim
n
j j
n
j
X X
−
→∞
=
−
∑
và giới hạn đó hữu hạn.
Như thế

1
1
lim ( ) lim
n
j j n
n n
j
X X X
−
→∞ →∞
=
− =
∑
tồn tại.
1.1.5 ĐỊNH LÝ (Định lý về phép chiếu trong không gian Hilbert)
Nếu A là một không gian con đóng của không gian Hilbert H và
x H∈

thì:
a) Tồn tại duy nhất một phần tử
'
x A∈
sao cho
' inf
y A
x x x y
∈
− = −
b)
'x A∈

và
' inf
y A
x x x y
∈
− = −
nếu và chỉ nếu
'
x A∈
và
( )
'
x x A
⊥
− ∈

x’ được gọi là chiếu (trực giao) của x lên A, viết là
'
:
A
x P x=
Định lý này được gọi là định lý về phép chiếu trực giao.
Chứng minh:
a) Nếu
2
y A
: infd x y
∈
= −
thì tồn tại một dãy

{ }
n
y
,
n
y A∈
sao cho
2
0
n
y x− →
.
Hơn nữa, với k, l bất kì thuộc không gian Hilbert, theo quy tắc đường chéo hình
bình hành ta có :
2
2 2 2
2k l k l k l
 
− + + = +
 
Do đó, xét
,
m n
y x A y x A− ∈ − ∈
Ta có:
2 2 2 2
2
m n m n m n
y x y x y x x y y x y x
 

− + − + − + − = − + −
 
tức là:


10
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

2 2 2 2
2 2
m n m n m n
y y x y y y x y x
 
+ − + − = − + −
 
Mặt khác, vì:
( )
,
2
m n
y y
A
−
∈
( )
2
2 2
2
0 4 2

2
m n
m n m n
y y
y y x y x y x
−
 
≤ − = − − + − + −
 ÷
 

( )
2 2
4 2 0
m n
d y x y x≤− + − + − →
khi
,m n → ∞
Từ đó theo tiêu chuẩn Cauchy,
'x H∃ ∈
sao cho
' 0
n
y x− →
và vì A đóng nên
'x A∈
và vì tính liên tục của tích vô hướng nên :
2
2
' lim

n
n
x x x y d
→∞
− = − =
Để chứng minh tính duy nhất của x’ ta giả sử có
'y A∈
sao cho:
2 2
' 'x y x x d− = − =
khi đó dùng tính chất hình bình hành ta có :
2
2 2 2
' '
0 ' ' 4 2 ' '
2
4 4 0
x y
x y x x x y x
d d
 
 
+
 ÷
≤ − = − − + − + −
 ÷
 ÷
 
 
≤ − + =

' 'y x⇒ =
b) Nếu
'x A∈
và
( ')x x A
⊥
− ∈
thì x’ là phần tử duy nhất của A được định
nghĩa trong a) vì với bất kỳ
y A∈
có :


11
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

2
2 2 2
' ' , ' '
' ' '
x y x x x y x x x y
x x x y x x
− = − + − − + −
= − + − ≥ −
dấu “ = “ đạt được khi và chỉ khi
'y x=
.
Ngược lại, nếu

'x A∈
và
( ')x x A
⊥
− ∉
thì x không là phần tử của A và có
phần tử x’’ :

2
'' '
ay
x x
y
= +
với x’’ gần x’ hơn x, với y là phần tử bất kỳ của A sao cho:
'', 0x x y< − > ≠
và
',a x x y= < − >
Thật vậy,
2
'' ' ' '', ' ' ''x x x x x x x x x x− = < − + − − + − >

2
2
' ' ' ''
2
2 ,
a
x x x x x x
y

= − − + < − − >

2
2 2
2
' '
a
x x x x
y
= − − ≤ −
1.1.6 TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU
i)
( )
A A A
P x y P x P y
α β α β
+ = +
.
ii)
( )
2
2 2
A A
x P x I P x= + −
trong đó I là phép đồng nhất.
iii)
x H∀ ∈
tồn tại duy nhất một biểu diễn:

12
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên


( )
A A
x P x I P x= + −

A i
P x A∈
;
( )
A
I P x A
⊥
− ∈
iv)
A n A
P x P x→
khi và chỉ khi
0
n
x x− →
v)
x A∈
khi và chỉ khi
A
P x x=
.

vi)
x A
⊥
∈
nếu và chỉ nếu
0
A
P x =
.
vii)
1 2
A A⊆
nếu và chỉ nếu
1 2 1
,
A A A
P P x P x x H= ∀ ∈
.
1.1.7 PHÉP XẤP XỈ TUYẾN TÍNH TRONG L
2

Giả sử X
1
, X
2
và Y là những biến ngẫu nhiên trong L
2
, nếu chỉ có thể quan
sát được X
1

, X
2
mà ta ước lượng giá trị của Y bằng cách dùng tổ hợp tuyến tính:
1 1 2 2
'Y X X
α α
= +
,
1 2
, R
α α
∈
sao cho sai sót M dưới đây có trung bình bình
phương đạt giá trị nhỏ nhất, nghĩa là sao cho:
( )
2
2
1 1 2 2
: 'M E Y Y E Y X X
α α
= − = − + =
2
1 1 2 2
Y X X
α α
− − ÷
min
Ta có thể viết :
2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2

2 ( ) 2 ( ) ( )M EY EX EX E YX E YX E X X
α α α α α α
= + + − − +
.
Lấy đạo hàm riêng của M lần lượt đối với
1
α
,
2
α
, dẫn đến hệ phương trình
cho nghiệm tối ưu
1 2
,
α α

2
1 1 2 1 2 1
2
1 2 1 2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
E X E X X E YX
E X X E X E YX
α α
α α

+ =



+ =


(1.4)
Ngoài ra, ta có thể dùng định lý hình chiếu trong không gian Hilbert L
2
.
Ta đặt vấn đề tìm phần tử Y’ trong tập đóng A :

{ }
2
1 1 2 2
: \ :A X L X a X a X= ∈ = +
với
1 2
,a a R∈
,
sao cho :
' inf
X A
Y Y X Y
∈
− = −
với
X A∈
.


13
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh

Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

Như vậy, theo định lí chiếu trong không gian Hilbert
'Y A∈
và Y’ thỏa điều
kiện trên khi và chỉ khi
'Y A∈
và
'Y Y A
⊥
− ∈
và do đó

1 1 2 2
, 0Y X X X
α α
< − − >=
,
tức là :
1 1 2 2 1
1 1 2 2 2
, 0
, 0
Y X X X
Y X X X
α α
α α
< − − >=



< − − >=

Áp dụng tính chất của tích vô hướng đã định nghĩa ở trên ta suy ra (1.4).
1.1.8 PHƯƠNG TRÌNH DỰ ĐOÁN
Cho không gian Hilbert
2
L
, một tập con đóng
2
A L⊆
và một phần tử
2
X L∈
, định lý chiếu trong không gian Hilbert khẳng định rằng tồn tại duy nhất
một phần tử
'X A∈
sao cho:

', 0,X X Y Y A< − > = ∀ ∈
(1.5)
Phương trình (1.5 ) gọi là phương trình dự đoán và phần tử
' :
A
X P X=
là dự
đoán tốt nhất của X trong A. Hay ta có thể nói dự đoán tốt nhất của X trong A là
chiếu của X trong A.
1.1.9 KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ DỰ ĐOÁN TỐT NHẤT TRONG L
2
Như ta đã nói ở trên, nếu

2
n
X L∈
,
2
X L∈
thì
2
L
n
X X→
khi và chỉ khi:
2 2
0
n n
X X E X X− = − →
khi
n→∞

 Một số tính chất của sự hội tụ theo nghĩa bình phương trung bình
Nếu
2
L
n
X X→
thì khi
n→∞

i)
2

n
EX ,1 ,1 EX
L
n
X X=< > →< > =
ii)
2
2 2
, ,
L
n n n
E X X X X X E X=< > →< > =
iii)
( )
2
, , , ,
L
n n n n
E X Y X Y X Y E X Y=< > →< >= < >


14
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

 Định nghĩa 1 : ( Dự đoán bình phương trung bình tốt nhất của Y)
Nếu A là một không gian con đóng của
2
L
thì dự đoán bình phương tốt

nhất của Y trong A được định nghĩa là phần tử
'
Y A∈
sao cho :
2
2 2
'
Z A Z A
: inf infY Y Y Z E Y Z
∈ ∈
− = − = −
 Định nghĩa 2 : ( Kỳ vọng có điều kiện
A
E X
)
Nếu A là một không gian con đóng trong L
2
và chứa các hàm hằng, nếu
2
X L∈
thì ta định nghĩa kỳ vọng có điều kiện của X với A cho trước là
phép chiếu
A A
E X P X=
Mặt khác, vì toán tử
A
E X
là toán tử chiếu trên L
2
nên

A
E
có các tính chất
phép chiếu :
i)
( )
, ,
A A A
E aX bY a E X b E Y a b R+ = + ∈
ii)
2
L
A n A
E X E X→
nếu
2
L
n
X X→
iii)
( )
1 2 1A A A
E E X E X=
nếu
1 2
A A=
1.1
1.2
1.3
1.4

1.5
1.6
1.7
1.8


15
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

§1.2 KHAI TRIỂN CHÍNH TẮC CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
1.2.1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN BIỄU DIỄN DƯỚI DẠNG TỔNG CÁC
HÀM NGẪU NHIÊN CƠ BẢN
 Định nghĩa ( Hàm ngẫu nhiên cơ bản )
Hàm ngẫu nhiên cơ bản là hàm có dạng :
( ) ( )
.t C t
δ θ
=
(1.6)
trong đó :
C là một đại lượng ngẫu nhiên
( )
t
θ
là hàm không ngẫu nhiên của biến số
t T∈
 Các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên cơ bản
i) Kỳ vọng :
( ) ( ) ( )

. .
C C
E t E t t E
δ
θ θ
= =
trong đó :

C
E
là kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên C
* Nếu
0
C
E =
thì
( )
0E t
δ
=



16
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

* Khi xét các hàm ngẫu nhiên cơ bản có kỳ vọng bằng không , ta kí hiệu là
( )
0

t
δ
=>
( )
0
0E t
δ
=
ii) Hàm tự tương quan của hàm ngẫu nhiên cơ bản
( )
t
δ
:
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
' ' ' '
, . . . . .
C
K t t E t t t t E C t t D
δ
δ δ θ θ θ θ
 
= = =
 

 
trong đó :
C
D
là phương sai của đại lượng ngẫu nhiên C
iii) Đối với các hàm ngẫu nhiên cơ bản, ta có các phép biến đổi tuyến tính
+ Phép toán đạo hàm :
( ) ( )
'
'
.t C t
δ θ
=
+ Phép toán tích phân xác định :
( ) ( )
0 0
.
T T
t dt C t dt
δ θ
=
∫ ∫
iv) Nếu G là một toán tử tuyến tính , ta có :
( )
{ }
( )
{ }
G t C G t
δ θ
=

 Định nghĩa ( Quá trình ngẫu nhiên theo các hàm cơ bản)
Cho quá trình ngẫu nhiên :
( ) ( ) ( )
1
.
n
i i
i
t E t C t
χ
χ θ
=
= +
∑
(1.7)
trong đó :
i
C
là các đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng bằng 0,
1,i n=

( )
E t
χ
là kỳ vọng của
( )
t
χ
.
Biểu thức (1.7) được gọi là khai triển của quá trình ngẫu nhiên

( )
t
χ
theo
các hàm cơ bản.


17
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

với : + các đại lượng ngẫu nhiên
( )
i
C t
,
1,i n=
được gọi là hệ số khai
triển.
+ các hàm không ngẫu nhiên
( )
i
t
θ
,
1,i n=
được gọi là các hàm tọa
độ.
 Đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên theo các hàm cơ bản
Giả sử

( )
t
χ
biểu diễn được dưới dạng (1.7) , khi đó :
Xét một toán tử tuyến tính G tác động lên
( )
t
χ
, ta sẽ có :
`
( ) ( )
{ }
( )
{ }
( )
{ }
1
n
i i
i
t G t G E t C G t
χ
ξ χ θ
=
= = +
∑
Đặt
( )
{ }
( )

G
G E t E t
χ
=
và
( )
{ }
( )
i i
G t t
θ
=Ψ
Khi đó :

( ) ( ) ( )
1
n
G i i
i
t E t C t
ξ
=
= + Ψ
∑
Ta thu được
( )
t
ξ
theo các hàm cơ bản với các hệ số
1 2

, ,....,
n
C C C
.
Như vậy, nếu quá trình ngẫu nhiên
( )
t
χ
khai triển dưới dạng tổng các hàm
cơ bản, qua phép biến đổi tuyến tính G thì các hệ số khai triển không thay
đổi, còn kỳ vọng và các hàm tọa độ bị tác động theo phép biến đổi tuyến
tính.
1.2.2 KHAI TRIỂN CHÍNH TẮC CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU
NHIÊN
Giả sử quá trình ngẫu nhiên khai triển dưới dạng :
( ) ( ) ( )
1
.
n
i i
i
t E t C t
χ
χ θ
=
= +
∑
,

18
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

trong đó :
, 1,
i
C i n=
là các đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng bằng 0 và ma
trận tương quan
i j
k
.
Xét hàm tự tương quan và phương sai của
( )
t
χ
( )
( )
( )
0 0
' '
, ,K t t E t t
χ
χ χ
 
=
 
 
trong đó :

( ) ( )
0
1
n
i i
i
t C t
χ θ
=
=
∑
( ) ( )
0
' '
1
n
i i
i
t C t
χ θ
=
=
∑
Khi đó :
( )
( )
( )
( )
( )
( )

' ' '
1
1
, . ,
n
i j i j i j i j
i i j
j
K t t E C C t t E C C t t
χ
θ θ θ θ
=
=
 
 
= =
 
 
 
∑ ∑
với :
( )
[ ]
2
i i i i
E C C E C D= =
(
i
D
được gọi là phương sai của

i
C
)
( )
( )
, , , 1,
i j ij
E C C k i j i j n= ≠ =
Như vậy :

( )
( )
( )
( )
( )
' ' '
1
, .
n
i i i i j i j
i i j
K t t t t D t t k
χ
θ θ θ θ
= ≠
= +
∑ ∑
(1.8)
Đặt t = t
’

ta có phương sai của
( )
t
χ
:
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
n
i i i j i j
i i j
D t t D t t k
χ
θ θ θ
= ≠
=   +
 
∑ ∑
(1.9)
* Chú ý :


19
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

Nếu các hệ số
i
C

( )
1,i n=
không tương quan với nhau , nghĩa là
i j
k
= 0 (
i j≠
) . Khi đó ta nói (1.7) là khai triển chính tắc của hàm ngẫu nhiên
( )
t
χ
 Nhận xét
* Khai triển chính tắc của quá trình ngẫu nhiên
( )
t
χ
là khai triển có dạng :
( ) ( ) ( )
1
.
n
i i
i
t E t C t
χ
χ θ
=
= +
∑
trong đó :

( )
E t
χ
là kỳ vọng của quá trình ngẫu nhiên
( )
t
χ

( )
( )
1,
i
t i n
θ
=
là các hàm tọa độ

( )
1,
i
C i n
=
là các đại lượng ngẫu nhiên không tương quan với nhau và đều
có kỳ vọng bằng 0
* Nếu
( )
t
χ
có khai triển chính tắc thì hàm tự tương quan của nó có
dạng là

( )
( )
( )
' '
1
,
n
i i i
i
K t t t t D
χ
θ θ
=
=
∑
* Nếu
( )
t
χ
có khai triển chính tắc thì phương sai của
( )
t
χ
có dạng là :
( ) ( )
( )
2
1
n
i i

i
D t t D
χ
θ
=
=
∑
1.2.3 ĐƯA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
Cho quá trình ngẫu nhiên
( )
t
χ
biểu diễn dưới dạng :
( ) ( )
1
.
n
i i
i
t M t
χ ψ
=
=
∑
(1.10)


20
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

trong đó :
( )
( )
1,
i
t i n
ψ
=
là các hàm không ngẫu nhiên
i
M
là các đại lượng ngẫu nhiên tương quan có ma trận tương quan :
1 12 1
2 2
.... ....
....
....
n
n
M
n
D k k
D k
K
D
 
 
 
=

 
 
 
với :
( )
( )
0, , 1, ,
i j i i j j
k E M E M E i j n i j
 
= − − ≠ ∀ = ≠
 
và
0
i i
EM E= ≠
Biểu thức dạng (1.10) của
( )
t
χ
chưa phải là dạng chính tắc , do đó ta cần
đưa nó về dạng chính tắc.
Ta viết biểu thức(1.10) dưới dạng :
( ) ( )
( )
( )
1 1
n n
i i i i i
i i

t E t M E t
χ ψ ψ
= =
= + −
∑ ∑
Đặt :
0
i i i
M M E= −
,
( ) ( )
.
i i
E t E t
χ
ψ
=
,
1,i n=
Khi đó:
( ) ( ) ( )
0
1
n
i i
i
t E t M t
χ
χ ψ
=

= +
∑
Biểu thức trên còn có thể viết dưới dạng :
( ) ( )
* *
.
T
t M t
χ ψ
=
(1.11)
với :
( ) ( ) ( )
*
t t E t
χ
χ χ
= −
và
( )
*
,M t
ψ
là các ma trận cột và T biểu diễn
phép chuyển vị của ma trận


21
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

Ma trận tương quan được viết dưới dạng :
*
*
T
M
K E M M
 
=
 
 
Chọn ma trận A sao cho vectơ :
*
.C A M=
có các thành phần
i
C
,
1,i n=
là
các đại lượng ngẫu nhiên không tương quan
* *
* *
.
T T T T T
C
T
M C
K E C C E AM M A AE M M A
AK A D

   
 
= = =
   
 
   
= =
(1.12)
với :
C
D
là ma trận đường chéo mà các phần tử trên đường chéo là phương sai
của
i
C
,
1,i n=
1
2
0 ... 0
0 ... 0
... .... ... ...
0 0 0
n
C
C
C
C
D
D

D
D
 
 
 
=
 
 
 
 
Biểu thức ( 1.12) ta thấy ma trận A đã chuyển ma trận tương quan
C
K
về
dạng đường chéo
Ma trận
M
K
là đối xứng và thực , vì vậy tồn tại ma trận trực giao A thỏa :
i j n n
A a
×
=
Ta có :
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
*
* * *
1 1

T T
T
T T
t M t A AM t AM A t C t
χ ψ ψ ψ θ
− −
   
= = = =
 ÷  ÷
   
với :
*
C AM=



22
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

( )
( )
( )
( )
( ) ( )
1
T T
T
t A t A t A t
θ ψ ψ ψ

−
= = =
(do A là ma trận trực giao nên
1 T
A A
−
=
)
Như vậy ta có quá trình ngẫu nhiên được đưa về dạng chính tắc :
( ) ( ) ( )
1
.
n
i i
i
t E t C t
χ
χ θ
=
= +
∑
1.2.4 MỘT SỐ KHAI TRIỂN CHÍNH TẮC ĐẶC BIỆT
 Khai triển Karhunen – Loéve
Quá trình Wiener
( )
{ }
W t ,0 1t≤ ≤
khai triển theo công thức :
( ) ( ) ( )
t

0
W
i i
i
X t
ω ω θ
∞
=
=
∑
trong đó :
i
X
là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn :

i
EX 0=
,
( )
2
1
, 0,1,2,...,
2 1
2
i
DX i n
i
π
= =
 

+
 
 

( )
i
t
θ
là các hàm không ngẫu nhiên xác định bởi :
( ) ( )
2 sin 2 1 , 0,1,2....
2
i
t i t i
π
θ
 
= + =
 
 
* Dãy hàm
( )
{ }
i
t
θ
có thể xem như một hệ trực chuẩn đầy đủ trong
[ ]
2
0,1L

với :

( )
( ) ( )
1
0
, 0
i j i j
t t dt
θ θ θ θ
= =
∫
,
i j≠

( ) ( )
0
min( , )
i j
i
s t s t
θ θ
∞
=
=
∑


23
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh

Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

* Mặt khác, dãy hàm
( )
{ }
i
t
θ
có thể xem như hàm riêng của toán tử B
được xác định bởi công thức:
( ) ( ) ( )
1
0
,B t B s t t ds
θ θ
=
∫
với
( )
, min( , )B s t s t=
Các giá trị riêng của toán tử B là :
( )
2
2 1
2
i
i
π
λ
 

= +
 
 
, i = 0, 1, 2 ….
 Khai triển theo các hàm Schauder
Xác định các hàm Haar bởi các biểu thức sau :
( )
1
1 0 1I t t= ≤ ≤
( )
2
1
1 0
2
1
1 1
2
khi t
I t
khi t

≤ <


=


− ≤ <



……………………….
( )
( )
1
2
1
2
2 1
2 0 2
2 2 2
0 2 1
n
n
n
n
n
n
n
khi t
I
khi t
khi t
− +
− +
−
+
−

≤ <




=
− ≤ <




≤ <

( )
2 2 1
1
1,2,,....,2
2
n n
n
n
i
i
I t I t i
+ +
−
 
= − =
 ÷
 


24

Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên


Các hàm Haar
( )
{ }
n
I t
tạo nên một hệ trực chuẩn đầy đủ trong
[ ]
2
0,1L
.
Tích phân các hàm Haar ta được các hàm Schauder
( ) ( )
0
T
k k
Z t I x dx=
∫
Cho
1 2
, ....
n
ξ ξ ξ
là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối
chuẩn
( )
0,1N

. Khi đó quá trình ngẫu nhiên xác định bởi
( )
t
1
W
i i
i
Z t
ξ
∞
=
=
∑

sẽ là một chuyển động Brown tiêu chuẩn với
0 1t≤ ≤

§1.3 CƠ SỞ TRỰC GIAO VÀ TRỰC CHUẨN TRONG KHÔNG
GIAN HILBERT
1.3.1 ĐỊNH NGHĨA ( Trực giao, trực chuẩn )
Hai phần tử x, y của không gian Hilbert được gọi là trực giao,
x y⊥
nếu:

, 0x y =
.


25
Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh