Phuong trinh quy ve bac hai

Phng trỡnh quy v
phng trỡnh bc hai
Dương mạnh Duy
Lớp CĐ To¸n Lý K13

1


Ta đã biết cách giải phương trình bậc hai.
Hơm nay chúng ta cùng nghiên cứu một số
dạng phương trình có thể biến đổi đưa về
phương trình bậc hai đó là:
- Phương trình trùng phương
- Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Vậy thế nào là
- Phương trình tích
phương trình
trùng phương?


§7

Phương trình quy về phương trình bậc
hai

1. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG

a) Phương trình trùng phương là phương
trình có dạng: ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0)
Ví dụ: x4 – 13x2 + 36 = 0

5x4 – 16 = 0
4x4 + x2 = 0

Là các
phương
trình trùng
phương


Trong các phương trình sau, hãy tìm các
phương trình trùng phương:
a) x4 + 2x2 – 1 = 0
b) x4 + 2x3 – 3x2 + x – 5 = 0
c) x3 + 2x2 – 4x + 1 = 0
d) 3x4 + 2x2 = 0
e) x4 – 16 = 0
Là các phương
trình trùng
phương

Khơng là các
phương trình
trùng phương


Làm thế nào để giải phương
trình trùng phương?
b) Cách giải: để giải phương trình trùng
phương
ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0)

Đặt x2 = t ( t > 0)
Ta được phương trình bậc hai ẩn t
at2 + bt + c = 0
Giải phương trình này ta tìm được t từ đó ta
tìm được x


Ví dụ 1: Giải phương trình: x4 – 13x2 + 36 = 0
• Đặt x2 = t (t ≥ 0), (vì x2 > 0)
ta được pt: t2 –13t +36 = 0

∆=b2 – 4ac = (-13)2 – 4.36 = 25
− b + ∆ 13 + 5
t1 =
=
=9
2a
2

∆ =5

(tmđk)

− b − ∆ 13 − 5
t2 =
=
= 4 (tmđk)
2a
2

•Với t = t1 = 9 ta coù x2 = 9 ⇒ x1 = 3; x2 = -3
•Với t = t2 = 4 ta có x2 = 4 ⇒ x3 = 2; x4 = -2
Vaäy pt có 4 nghiệm: x1 =3; x2 = -3; x3 = 2; x4 = -2.


Áp dụng giải các phương trình sau:
a)4x4 + x2 – 5 = 0
b)3x4 + 4x2 + 1 = 0.
Mỗi dãy làm 1 câu
Hai dãy ngồi làm câu a)
Hai dãy trong làm câu b)


a) 4x4 + x2 – 5 = 0
Đặt x2 = t (t > 0)
Ta được phương trình:
4t2 + t – 5 = 0
Vì a + b + c = 4 + 1 – 5 = 0
Nên phương trình có nghiệm:

5
t1 = 1 (phù hợp điều kiện) ; t2 = − (loại)
4
Với t1 = 1 => x2 = 1 => x1 = 1; x2 = -1


b)3x4 + 4x2 + 1 = 0
Đặt x2 = t (t > 0)
Ta được phương trình:
3t2 + 4t +1 = 0

Vì a - b + c = 3 – 4 + 1 = 0
Nên phương trình có nghiệm:
1
t1 = -1 (loại) ; t2 = − (loại)
3
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm


2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
• Hãy nhắc lại các bước giải pt chứa ẩn ở
Bước? Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu
mẫu 2:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình;
thức;

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được;
Bước 4: Trong các giá trị vừa tìm được của ẩn,
loại các giá trị khơng thỏa mãn điều kiện
xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác
định là nghiệm của phương trình đã cho.


x − 3x + 6
1
=
2
x −9
x −3
2

?2 Giải phương trình

Điều kiện xác định (Đkxđ) x ≠± 3
x 2 − 3x + 6
1
=
x2 − 9
x −3

=> x2 –3x + 6 = x + 3
⇔ x2 – 4x + 3 = 0(*)
a+b+c=1-4+3=0
Nghieäm của pt(*) là:
x1 = 1(TMĐK); x2 = 3 (loại)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1


3/ Phương trình tích:
2: (sgk) Gi bằn ươ khi nà
• Ví dụ Một tích ải phg 0ng trình o?
(x + 1)(x2 + 2x – 3) = 0
⇔ x + 1 = 0 hoặc
x2 + 2x – 3 = 0
Một tích này ta được các
Giải các phương trình bằng khơng khinghiệm
có ít nhất
của phương trình là: một trong các
thừa số của tích –3. 0
bằng

x1 = –1; x2 = 1; x3 =


3/ Phương trình tích:
?3: (sgk) Giải phương trình
x3 + 3x2 + 2x = 0
⇔x(x2 + 3x + 2) = 0
x = 0
⇔ 2
x + 3x + 2 = 0
Giải các phương trình này ta được các nghiệm
của phương trình là:
x1 = 0; x2 = -1; x3 = –2.


Củng cố bài
- Nêu cách giải phương trình trùng phương?
- Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức cần
lưu ý các bước nào?
-Ta có thể giải các phương trình bậc cao bằng cách
nào?


Củng cố bài
a) Cách giải: để giải phương trình trùng
phương
ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0)
Đặt x2 = t ( t > 0)
Ta được phương trình bậc hai ẩn t
at2 + bt + c = 0

Giải phương trình này ta tìm được t từ đó ta
tìm được x


Củng cố bài
b) Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
cần lưu ý tìm điều kiện xác định của
phương trình.
Trong các giá trị của ẩn tìm được cần kiểm
tra điều kiện xác định của phương trình để
loại các nghiệm không phù hợp.


Củng cố bài
c) Ta có thể giải các phương trình bậc cao
bằng cách đưa về phương trình tích để hạ
bậc phương trình.


a) x4 – 5x2 + 4 = 0
Đặt x2 = t (t ≥ 0) ta cóphương trình:
t2 – 5t + 4 = 0 ⇒ t1 = 1; t2 = 4
Phương trình có 4 nghiệm là:
x1 = –1; x2 = 1; x3 = –2; x4 = 2.
b) 2x4 –3x2 –2 = 0
Đặt x2 = t (t ≥ 0) ta cóphương trình:

1
2t2 – 3t – 2 = 0 ⇒ t1 = 2; t2 = – 2 (loại)

Phương trình có 2 nghiệm là: x1 = – 2 ; x2 = 2


Hướng dẫn học ở nhà
• Học bài và làm các bài tập 35, 36 (sgk)
Các bài tập: 37, 38 (sgk)