Đẳng thức bất đẳng thức ptoleme

Môn: PP bồi dưỡng HSG môn hình học
Lớp: N01
Nhóm 14: Dương Thu Dương, Nguyễn Thu Trang

ĐỀ TÀI:
ĐẲNG THỨC PTOLEME VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
PTOLEME
1. Đẳng thức Ptomele
Định lý Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme là một đẳng thức trong hình học
Euclid miêu tả quan hệ giữa độ dài bốn cạnh và hai đường chéo của một tứ
giác nội tiếp. Định lý này mang tên nhà toán học và thiên văn học người Hy
Lạp cổ đại Ptolemy (tức Claudius Ptolemaeus).
Nếu A, B, C, và D là 4 đỉnh của tứ giác nội tiếp đường tròn thì:
với dấu gạch ngang kí hiệu độ dài của các cạnh.
Định lý này cũng có thể phát biểu thành định lý
thuận và đảo:
Thuận: Nếu một tứ giác nội tiếp trong
một đường tròn thì tích của hai đường
chéo bằng tổng các tích của các cặp
cạnh đối diện.
Đảo: Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện
tổng các tích của các cặp cạnh đối diện bằng tích của hai đường chéo
thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.
Chứng minh
Gọi ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Trên cung nhỏ BC, ta có các góc nội tiếp
, và trên cung AB,


Lấy 1 điểm K trên AC sao cho
Từ

+

=

=

+

, suy ra

Do vậy tam giác △ABK △DBC, và tương tự có △ABD
Suy ra:

△KBC.

, và

Từ đó

Cộng các vế của 2 đẳng thức trên:

Hay:
Mà AK+CK = AC, nên AC.BD = AB.CD + BC.DA (dpcm)
2. Bất đẳng thức Ptolemy
Bất đẳng thức Ptolemy là trường hợp tổng quát của định lý Ptolemy đối với
một tứ giác bất kỳ. Nếu ABCD là tứ giác bất kỳ thì
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và
trở thành định lý Ptolemy.
Dựng điểm M sao cho tam giác BCD đồng dạng với tam giác BMA. Khi đó,

theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có
Suy ra
BA.CD = MA.BD
(3)
Mặt khác, hai tam giác MBC và ABD cũng đồng dạng do có


Từ đó

Suy ra
AD.BC = MC.BD
(4)
Cộng (3) và (4) ta suy ra
AB.CD + AD.BC = BD.(MA+MC)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra AB.CD + AD.BC ≥ AC.BD.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, M, C thẳng hàng, tức là khi A và D cùng
nhìn BC dưới 1 góc bằng nhau, và khi đó tứ giác ABCD nội tiếp.
Chứng minh định lý Ptolemy sử dụng đường thẳng Simson
Hạ DA1 vuông góc với BC, DB1 vuông góc với AC và DC1 vuông góc với
AB thì B1, A1, C1 thẳng hàng và B1A1 + A1C1 = B1C1 (6).
Áp dụng định lý hàm số sin cho các đường tròn đường kính DC, DB, DA và
các dây cung A1B1, A1C1 và B1C1 tương ứng, ta có
A1B1 = DC.sinC, A1C1 = DB.sinB, B1C1 = AD.sinA
Lại áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác ABC, ta có
sinC = AB/2R, sinB = AC/2R, sinA = BC/2R
Thay vào đẳng thức (6) và rút gọn, ta thu được
AB.CD + AD.BC = AC.BD (đpcm)