CHUYÊN đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HAY và KHÓ

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Giải phương trình: 1 + 3 (sinx + cosx) + sin2x + cos2x = 0
Phương trình đã cho tương đương với ( 3 s inx + sin 2 x) +  3 cos x + (1 + cos2 x)  = 0
⇔ ( 3 s inx + 2s inx.cos x) + ( 3 cos x + 2cos 2 x) = 0
⇔ s inx( 3 + 2 cos x) + cos x( 3 + 2 cos x) = 0

3
cos x = −
2
⇔ ( 3 + 2 cos x)(s inx + cos x) = 0 ⇔ 
s inx = − cos x
5π

5π
x = ± + k 2π


6
 x = ± 6 + k 2π ⇔ 

 x = − π + kπ
 t anx = −1

4

,k ∈ Z

Vậy nghiệm của phương trình là: x = ±

5π
π

+ k 2π và x = − + kπ với k ∈ Z
6
4

π

2sin  − 2 x ÷+ 2sin 2 x + 3
Bài 2. Giải phương trình
.
3

= 4cos 4 x
cos x

Với điều kiện : cos x ≠ 0 , Phương trình đã cho tương đương :
3 cos 2 x + sin 2 x + 3
= 4cos 4 x
cos x
⇔

3 ( 2cos 2 x − 1) + 2sin x cos x + 3
cos x

= 4cos 4 x

⇔ 3 cos x + sin x = 2cos 4 x (vì cos x ≠ 0 )

π

⇔ cos  x − ÷ = cos 4 x (1)

6



Giải phương trình (1) và đối chiếu ĐK, kết luận nghiệm của phương trình đã cho là:
π k 2π
π k 2π
x=− +
; x= +
.
18

3

30

5

π

Bài 3. Giải phương trình: cos x + cos 3x = 1 + 2 sin  2 x + ÷


⇔ 2 cos 2x cos x = 1 + sin 2x + cos 2x

4

⇔ cos 2x(2 cos x − 1) = 1 + 2sin x cos x
⇔ (cos2 x − sin 2 x)(2 cos x − 1) = (cos x + sin x)2
 cos x + sin x = 0

⇔
(cos x − sin x)(2 cos x − 1) = cos x + sin x

(1)
(2)


π
π
π
(1) ⇔ 2 sin  x + ÷ = 0 ⇔ x + = kπ ⇔ x = − + kπ
4
4
4


π
 cos x = 0
x = + kπ


2
(2) ⇔ 2 cos x(cos x − sin x − 1) = 0 ⇔ 
⇔

π
2 cos  x + ÷ = 1 
π
π


x
+
=
±
+ k2π
4


4
4
π
4

π
2

Vậy pt có nghiệm là x = − + kπ , x = + kπ , x = k2π
Bài 4. Giải phương trình:

cos3 x − cos 2 x
= 2 ( 1 + sin x ) .
sin x + cos x

ĐK: sin x + cos x ≠ 0

2
Khi đó PT ⇔ ( 1 − sin x ) ( cos x − 1) = 2 ( 1 + sin x ) ( sin x + cos x )

⇔ ( 1 + sin x ) ( 1 + cos x + sin x + sin x.cos x ) = 0
⇔ ( 1 + sin x ) ( 1 + cos x ) ( 1 + sin x ) = 0

sin x = −1
⇔
cos x = −1

(thoả mãn điều kiện)


π

x = − + k 2π

⇔
2

 x = π + m2π

( k , m ∈ Z)
π
2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = − + k 2π và x = π + m2π ( k , m ∈ Z)
Bài 5. Giải phương trình 2sin 2 x.cos x + sin x.cos 2 x + 1 = cos 2 x + sin 2 x + sin x.
TXĐ: D= R
(1) ⇔ sin 2 x.sin x − sin 2 x + sin x.cos 2 x − cos2x - ( sin x − 1) = 0.
⇔ sin 2 x ( s inx-1) + cos 2 x ( s inx-1) − ( sin x − 1) = 0.

⇔ ( s inx - 1) ( 2sin x.cosx - 2sin 2 x ) = 0
⇔ 2sin x(cos x − sin x).(sin x − 1) = 0

sin x = 00000000 ⇔ x = kπ


cos x − sin x = 00 ⇔ x = π + kπ (k ∈ Ζ)

4

π
sin x − 1 = 00000 ⇔ x = + k 2π
2


Kết luận: ……
2 + cos 2 x − 3 sin 2 x
= 3 sin 3 x + cos 3 x
3 cos x − sin x
π
ĐK: 3 cos x − sin x ≠ 0 ⇔ tan x ≠ 3 ⇔ x ≠ + kπ . Phương trình tương đương với
3
π

2 + 2 cos 2 x + 
π
π
3



= 3 sin 3 x + cos 3 x ⇔ cos x +  = cos 3 x − 
π
6
3




2 cos x + 
6

π
π
π
⇔ x = + kπ ; x =
+k
4
24
2

Bài 6. Giải phương trình

So sánh với đk ta được nghiệm
π

4 sin x. sin  x +  + 5 3 sin x + 3(cos x + 2)
Bài 7. Giải phương trình:
3

=1
1 − 2 cos x


Điều kiện cos x ≠

1
π
⇔ x ≠ ± + k 2π . Phương trình tương đương với
2
3

π

4 sin x. sin  x +  + 5 3 sin x + 3(cos x + 2) =1 − 2 cos x
3

1
π
π 

⇔ 4. 
cos − cos2 x + 
+ 5 3 sin x + 5 cos x + 5 = 0

2
3
3 



(

)

π


⇔ −2 cos2 x +  + 5 3 sin x + cos x + 6 = 0
3

π
π


⇔ −2 cos2 x +  +10 sin  x +  + 6 = 0
3
6



π 
π

2
⇔ −2.
1 − 2 sin  x + 6 
 +10 sin  x + 6  + 6 = 0





π
π
π
π  −1





⇔ 2 sin 2  x +  + 5 sin  x +  + 2 = 0 ⇔sin  x +  = −2; sin  x +  =
6
6
6
6
2




⇔ x = π + k 2π

(1 + cos 2 x + sin 2 x) cos x + cos 2 x
= cos x
tan x + 1
ĐK: cos x ≠ 0 và tanx +1 ≠ 0 . Khi đó phương trình tương đương với
2
cos 2 x − sin 2 x + ( sin x + cos x ) cos x + cos 2 x − sin 2 x = sin x + cos x

Bài 8. Giải phương trình:

(

(

)

)

⇔ (sin x + cos x ) cos x − cos x. sin x + ( sin x + cos x ) cos x + cos x − sin x − 1 = 0
⇔

2

sin x + cos x = 0(loai )
2 cos 2 x − 1 + (cos x − sin x) = 0

⇔ cos 2 x + (cos x − sin x) = 0 ⇔ (cos x − sin x)(cos x + sin x + 1) = 0

Bài 9. Giải phương trình

(cos x + 1).(sin 2 x − sin x − cos x − 2)
= 1.
sin x.(1 − 2 cos x)

 x ≠ kπ
s inx ≠ 0


(k ∈ Z ).
*ĐK: 
π
1⇔
cosx ≠ 2
 x ≠ ± 3 + k 2π

* Ta có: (1) ⇔ (cos x + 1).(sin 2 x − sin x − cos x − 2) = sin x − sin 2 x. (2)


* Khi đó: (2) ⇔ (cos x + 1).(sin 2 x − sin x − cos x − 1) − (cos x + 1) = sin x − sin 2 x).
⇔ (cos x + 1).(sin 2 x − sin x − cos x − 1) + (sin 2 x − sin x − cos x − 1) = 0
⇔ (cos x + 2).(sin 2 x − sin x − cos x − 1) = 0
⇔ sin 2 x − sin x − cos x − 1 = 0
⇔ (sin x + cos x + 1)(sin x + cos x − 2) = 0
⇔ sin x + cos x + 1 = 0
 x = π + k 2π
π
1
⇔ cos( x − ) = −
⇔
 x = − π + k 2π
4
2

2

(k ∈ ¢ ).

π
2

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x = − + k 2π (k ∈ ¢ ).
Bài 10. Giải phương trình:

cosx + 3(sin2x + sinx) - 4cos2x.cosx - 2cos 2 x + 2 = 0

⇔ cos x + 2 cos 2 x + 3 s inx(2 cos x + 1) − 4 cos 2 x.cosx-2(2cos 2 x − 1) = 0
⇔ cosx(2cosx+1)+ 3 s inx(2 cos x + 1) − 2 cos 2 x(2 cos x + 1) = 0

Phương trình:

(

 2 cos x + 1 = 0
⇔
 cosx+ 3 s inx − 2 cos 2 x = 0
2π
+ k 2π ;
3
cosx+ 3 s inx − 2 cos 2 x = 0

+ 2 cos x + 1 = 0 ⇔ x = ±
+

⇔ cosx+ 3 s inx=2 cos 2 x
1
3
cosx+
s inx= cos 2 x
2
2
π

⇔ cos  x − ÷ = cos 2 x
3


⇔

π

 x = − 3 + k 2π ;
⇔
 x = π + k 2π ; k ∈ Z

9
3

)

⇔ ( 2 cos x + 1) cosx+ 3 s inx − 2 cos 2 x = 0

( k ∈Z)

,


Nghiệm của pt là:
x=±

2π
π
+ k 2π , k ∈ Z ; x = − + k 2π ;
3
3

Bài 11. Giải phương trình:

x=

π k 2π
+
;k ∈Z
9
3

2017π 

2 sin  x +
÷+ cos 2 x
4 

= cos x − cos x sin 3 x + sin 2 x
tan x + 1

2017π 

2 sin  x +
÷+ cos 2 x
4 

= cos x − cos x sin 3 x + sin 2 x
tan x + 1
−π
π
+ kπ ; x ≠ + k π
Điều kiện : x ≠

4
2

2017π 

2 sin  x +
÷+ cos 2 x
4 

= cos x − cos x sin 3x + sin 2 x
tan x + 1
⇔ ( 1 + cos x − sin x ) cos x = cos x − cos x sin 3x + sin 2 x

π kπ

x = 4 + 2
⇔ cos 2 x ( 1 + sin 2 x ) = 0 ⇔ 
 x = −π + kπ

4

( k ∈ Ζ)

So sánh điều kiện phương trình có nghiệm là : x =

π
+ kπ , ( k ∈ ¢ )
4

1
6

Bài 12. Giải phương trình: tan 2 x − tan x = ( sin 4 x + sin 2 x )
Giải phương trình:
1
tan 2 x − tan x = (sin 4 x + sin 2 x)(1)
6
π mπ

x≠ +

cos
2
x
≠
0


4
2 m∈Z
DK : 
⇔
cos x ≠ 0
 x ≠ π + mπ

2
(1) ⇔ 6sin x = cos 2 x cos x(sin 4 x + sin 2 x)
⇔ 6sin x = cos x cos 2 x(4sin x cos x cos 2 x + 2sin x cos x)
⇔ sin x(4 cos 2 x cos 2 2 x + 2 cos 2 x cos 2 x − 6) = 0

⇔ sin x (2 cos 2 2 x(1 + cos 2 x) + cos 2 x(1 + cos 2 x) − 6  = 0
⇔ sin x(2 cos3 2 x + 3cos 2 2 x + cos 2 x − 6) = 0
⇔ sin x(cos 2 x − 1)(2 cos 2 2 x + 5cos 2 x + 6) = 0
sin x = 0

⇔ cos 2 x = 1
⇔ x = kπ (tm)k ∈ Z
2
 2 cos 2 x + 5cos 2 x + 6 = 0(VN )

Bài 13. Giải phương trình:

sin 3 x cos 3 x
+
= 1 + cot x
sin x
cos x

kπ
2
sin 3 x cos x + cos 3x sin x sin x + cos x
sin 4 x
sin x + cos x
⇔
=
⇔
=
1
Pt
sin x cos x

sin x
sin x
sin 2 x
2
⇔ 4 cos 2 x sin x = sin x + cos x ⇔ ( sin x + cos x )( 2 sin 2 x + 2 cos 2 x − 3) = 0
tan x = −1

⇔
2 sin 2 x + 2 cos 2 x − 3 = 0 ( ptvn )
π
⇔ x = − + kπ , k ∈ Z
4

Đk: sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠

Bài 14. Giải phương trình: (tanx + 1)sin2x + cos2x + 2 = 3(cosx + sinx)sinx


π
+ kπ , k ∈ Z
2
PT ⇔ (t anx -1) sin 2 x + 3(cosx-sinx)cosx=0

ĐK: x ≠

(sinx – cosx)(2cos2x + 1) = 0

π

 x = 4 + kπ


sin x = cosx
π
⇔
⇔  x = + kπ
3
 2 cos 2 x = −1 

 x = − π + kπ

3

(k ∈ ¢ ).

π
4

π
4

Bài 15. Giải phương trình lượng giác sau: 2 sin( − x) cos 2 x. cos 6 x = 3 cos 3( x − )
Đặt t =

π
− x . Ta có pt: − 2 sin t sin 2t. sin 6t = 3 cos 3t
4

⇔ 4 sin t. sin 2t.sin 3t. cos 3t + 3 cos 3t = 0 ⇔ cos 3t = 0;4 sin t.sin 2t.sin 3t + 3 = 0

TH1: cos 3t = 0 ⇔ x =

π
π
+k
3
3

TH2: 4 sin t sin 2t sin 3t + 3 = 0 ⇔ 2( cos 2t − cos 4t ) sin 2t + 3 = 0 ⇔ sin 4t − sin 6t + sin 2t = −3
(1)
Vì sin 4t ≥ −1, sin 2t ≥ −1,− sin 6t ≥ −1 do đó (1) tương đương với sin4t=sin2t=-sin6t=-1.
Hệ này vô nghiệm. Vậy pt có nghiệm x =

Bài 16. Giải phương trình
π
6

Đặt: t = x − ⇒ 3x = 3t +

π
2

Phương trình đã cho có dạng:

π
π
+k
3
3

π


sin 3 x − 4 cos  x − ÷− 3
6

=0
sin 3 x − 1

π

sin  3t + ÷− 4 cos t − 3
cos 3t − 4 cos t − 3
2

=0 ⇔
=0
π

cos 3t − 1
sin  3t + ÷− 1
2



cos t ≠ 1

Đk: cos 3t ≠ 1 ⇔ 
1
cos t ≠ − 2

Phương trình đã cho tương đương với:


 cos t = − 1

3
3
⇔ cos3t − 4cos t − 3 = 0 ⇔ 4cos t − 7 cos t − 3 = 0 ⇔  cos t =

2

1
 cos t = −

2

Đối chiếu điều kiện, ta có cos t = −1 ⇔ t = π + k 2π ⇒ x =
KL: Phương trình có nghiệm x =
Bài 17. Giải phương trình sau

7π
+ k 2π
6

7π
+ k 2π
6
1 − 2sin x − 2sin 2 x + 2 cos x
= cos2 x − 3 ( 1 + cos x )
2sin x − 1

1 − 2sin x − 2sin 2 x + 2 cos x

= cos2 x − 3 ( 1 + cos x )
2sin x − 1
⇔

( 1 − 2sin x ) ( 1 + 2 cos x )
2sin x − 1

= 2 cos 2 x − 1 − 3 ( 1 + cos x )

⇔ −1 − 2 cos x = 2 cos 2 x − 1 − 3 ( 1 + cos x )

 x = π + k 2π
 cos x = −1

π
2

⇔ 2 cos x + 2 − 3 cos x − 3 = 0 ⇔
⇔  x = + k 2π
3
 cos x =

6


2
π
 x = − + k 2π
6


(

)

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm
x = π + k 2π ; x = −

π
+ k 2π
6

Bài 18. Giải phương trình: cosx + 3(sin2x +sinx)-4cos2x.cosx-2cos2 2x +2 = 0
⇔ cosx + 2cos2x + 3 .sinx(2cosx + 1) – 4cos2x.cosx – 2(2cos2 x – 1 ) = 0.
⇔ cosx(2cosx + 1)+ 3 .sinx(2cosx + 1)–2.cos2x(2cosx + 1) = 0


⇔ (2cosx + 1)(cosx +

Nếu: *)

3 .sinx –2.cos2x) = 0

2cosx + 1 = 0 ⇒ x = ±

2π
+ k 2π , k ∈ Z
3

1

3
**) cosx + 3 .sinx –2.cos2x = 0 ⇔ cos x +
sin x = cos 2 x
2

⇔ cos( x −

2

π
π
π k 2π
) = cos 2 x ⇔ x = − + k 2π ; x = +
;k ∈ Z ,
3
3
9
3

Nghiệm của pt là : x = ±

2π
π
π k 2π
+ k 2π , k ∈ Z ; x = − + k 2π ; x = +
;k ∈ Z
3
3
9
3

Bài 19. Giải phương trình

sin 3x + cos 3 x − 4 cos 2 x + 3
= 1.
2sin x + 1

ĐK: 2sin x + 1 ≠ 0 ⇔ sin x ≠ −

1
2

Phương trình

⇔ sin 3 x + cos 3 x − 4 cos 2 x − 2 sin x + 2 = 0
⇔ sin x − 4 sin 3 x + 3 cos x − 4 cos 3 x − 8 cos 2 x + 6 = 0
⇔ sin x(1 − 4 sin 2 x) + cos x(3 − 4 cos 2 x) + 2(3 − 4 cos 2 x) = 0
⇔ sin x(4 cos 2 x − 3) + cos x (3 − 4 cos 2 x ) + 2(3 − 4 cos 2 x) = 0

⇔ (4 cos 2 x − 3)(sin x − cos x − 2) = 0
⇔ ( 2 cos 2 x − 1) ( sin x + cos x − 2 ) = 0

♦ sinx – cosx – 2 = 0: phương trình vô nghiệm

π
π
+ kπ hoặc x = − + kπ với k ∈ Z
6
6
π

5π
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương: x = + k 2π hoặc x = + k 2π với
6
6
k∈Z

♦ 2 cos 2 x − 1 = 0 ⇔ x =

Bài 20. Giải phương trình:

2 3 sin x. ( 1 + cos x ) − 4 cos x.sin 2
2 sin x −1

x
−3
2
=0


π

x ≠ + kπ

1

6
, k , l ∈ Z (*) .
Điều kiện: sin x ≠ ⇔ 
2
 x ≠ 5π + lπ


6

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
2 3 sin x. ( 1 + cos x ) − 4 cos x.sin 2

x
−3 = 0
2

⇔ 2 3 sin x + 2 3 sin x.cos x − 2 cos x ( 1 − cos x ) − 3 = 0
⇔2
⇔

(

(

) (

)

3 sin x − cos x − 3sin 2 x − 2 3 sin x.cos x + cos 2 x = 0
3 sin x − cos x

)(

 3 sin x − cos x = 0
3 sin x − cos x − 2 = 0 ⇔ 
 3 sin x − cos x = 2

)

TH1: 3 sin x − cos x = 0 ⇔ cot x = 3 ⇔ x =

π
+ kπ , k ∈ Z
6

π
π
π


TH2: 3 sin x − cos x = 2 ⇔ 2  sin x cos − cos x sin ÷ = 2 ⇔ sin  x − ÷ = 1


⇔ x−

6

6



6

π π
2π
= + k 2π ⇔ x =

+ k 2π , k ∈ Z
6 2
3

Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm
7π
2π
+ k 2π , x =
+ k 2π , k ∈ Z
6
3
Bài 21. Giải phương trình sin 3x = cos x. cos 2 x(tan 2 x + tan 2 x).
x=

π

 x ≠ 2 + kπ
(*)
Điều kiện 
x ≠ π + k π

4
2
 sin 2 x sin 2 x 


sin
3
x
=

cos
x
.
cos
2
x
+
Phương trình được viết lại:
2
 cos x cos 2 x 

Hay cos x.sin 3x = sin 2 x. cos 2 x + cos 2 x.sin 2 x
cos x(3 sin x − 4 sin 3 x) = sin 2 x(2 cos 2 x − 1) + cos 2 x. sin 2 x
sin x (3 cos x − 4 cos x. sin 2 x − 2 sin x. cos 2 x + sin x − 2 cos 3 x ) = 0

Nên: sin x = 0 (a)


Hay: 3 cos x − 4 cos x.sin 2 x − 2 sin x. cos 2 x + sin x − 2 cos 3 x = 0 (b)
Giải (a) : sin x = 0 ⇔ x = kπ (thỏa mãn điều kiện (*)
Giải (b): Vì cos x ≠ 0 , chia hai vế cho cos 3 x , ta được phương trình
π

x = + mπ

tan
x
=
1


4
tan 3 x − tan 2 x − tan x + 1 = 0 ⇔ 
⇔
 tan x = −1  x = − π + nπ

4

lọai vì đk(*)

Kết luận : Phương trình có nghiệm : x = kπ
Bài 22. Giải phương trình: 3sin x − cos x + 2 − cos 2 x − sin 2 x = 0 .
Phương trình đã cho tương đương:
3sin x − 2sin x cos x − cos x + 2 − (1 − 2sin 2 x) = 0
<=> 2sin 2 x + 3sin x + 1 − cos x(1 + 2sin x) = 0
<=> (sin x + 1)(2sin x + 1) − cos x(1 + 2sin x) = 0
<=> (2sin x + 1)(sin x − cos x + 1) = 0
1

sin
x
=
−
(1)
⇔
2

sin x − cos x + 1 = 0 (2)

π


 x = − 6 + k 2π
(1) ⇔ 
(k ∈ Z )
 x = 7π + k 2π

6

π

(2) ⇔ 2 sin  x − ÷ = −1
4

 x = k 2π
⇔
(k ∈ Z )
 x = 3π + k 2π

2

Kết luận: Các họ nghiệm của phương trình là:
x=−

π
7π
3π
+ k 2π ; x =
+ k 2π ; x = k 2π ; x =
+ k 2π (k ∈ Z )
6
6

2


Bài 23. Giải phương trình: 2 cos 3x(2 cos 2 x + 1) = 1
PT (1) ⇔ 2 cos 3x(3 − 4 sin 2 x) = 1

(1)

Nhận xét x = kπ (voi k ∈ Z ) không là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có:
2 cos 3x (3 − 4 sin 2 x) = 1 ⇔ 2 cos3 x(3sin x − 4sin 3 x) = sin x
⇔ 2 cos 3 x sin 3 x = sin x ⇔ sin 6 x = sin x
6 x = x + m2π
⇔
6 x = π − x + m2π

2mπ

x = 5
⇔
 x = π + 2mπ

7
7

với m ∈ Z

Xét khi

2mπ
= kπ ⇔ 2m = 5k ⇔ m = 5t , với t ∈ Z

5

Xét khi

π 2mπ
+
= kπ ⇔ 1+2m = 7k ⇔ k = 2(m-3k)+1
7
7

hay k = 2l+1 ⇒ m = 7l+3, l ∈ Z
Vậy phương trình có nghiệm: x =
x=

2mπ
(với m ≠ 5t );
5

π 2mπ
+
(với m ≠ 7l + 3 ) trong đó m, t , l ∈ Z .
7
7