Điểm bất động của ánh xạ kiểu caristi đa trị trong không gian metric nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐIỆP THỊ HỒNG SINH

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA
ÁNH XẠ KIỂU CARISTI ĐA TRỊ
TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐIỆP THỊ HỒNG SINH

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA
ÁNH XẠ KIỂU CARISTI ĐA TRỊ
TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. Hà Đức Vượng

Hà Nội - 2016

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng.
Tác giả chân thành cảm ơn TS Hà Đức Vượng đã tận tình
hướng dẫn để cho tác giả hoàn thành luận văn Thạc sĩ.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô giáo và cán bộ công
nhân viên của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm giúp
đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt
nghiệp.
Tác giả xin được cảm ơn gia đình, bạn bè, người thân đã động
viên, cổ vũ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả học tập và hoàn
thành luận văn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2016
Tác giả

Điệp Thị Hồng Sinh


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi tự làm dưới sự hướng
dẫn của TS Hà Đức Vượng.
Trong quá trình nghiên cứu và làm luận văn, tôi đã kế thừa thành
quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Các kết quả trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 06 năm 2016
Tác giả

Điệp Thị Hồng Sinh

Mục lục
Bảng ký hiệu

1

Mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

6

1.1 Không gian metric

. . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Không gian metric Hausdorff

. . . . . . . . . .

6
18

1.3 Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Caristi

đa trị trong không gian metric . . . . . . . . . .
2

28

Điểm bất động của ánh xạ kiểu Caristi đa trị trong
không gian metric nón

34

2.1 Không gian metric nón . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2 Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Caristi

đa trị trong không gian metric nón . . . . . . .

47

Kết luận

57

Tài liệu tham khảo

58


Bảng ký hiệu
N

Tập số tự nhiên

R

Tập số thực

C

Tập số phức

φ

Tập rỗng

Rn

Không gian Euclide n chiều

(X, d)

Không gian metric

(X, dp)

Không gian metric nón

K

Hằng số chuẩn tắc

E

Không gian Banach thực

int (P )

Phần trong của P

C[a,b]

Tập các hàm số thực liên tục trên
đoạn[a, b]

≤p

Quan hệ thứ tự theo nón P

N (X)

Họ các tập con khác rỗng của X

CB (X)

Họ các tập con đóng, bị chặn khác rỗng
của X

1


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài

Xét ánh xạ T từ tập X vào họ các tập con của X ,

T : X → 2X . Điểm x ∈ X thỏa mãn x ∈ T x thì x được gọi là
điểm bất động của ánh xạ đa trị T trên tập hợp X .
Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này đã hình thành nên lý
thuyết điểm bất động, gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học lớn
như Brouwer, Banach, Shauder, Kakutani, Ky Fan,. . .
Năm 1976, Định lý điểm bất động Caristi[1] được công bố. Sau
đó nhiều nhà toán học đã mở rộng kết quả này theo nhiều hướng
khác nhau.
Năm 2006, hai nhà toán học người Trung Quốc là Y. Feng và
S. Liu công bố kết quả về điểm bất động của ánh xạ kiểu Caristi [4].
Năm 2007, hai nhà toán học người Trung Quốc là H. L. Guang
và Z. Xian đã giới thiệu khái niệm metric nón, bằng cách thay tập
số thực R trong định nghĩa metric bởi không gian Banach thực [5].
Từ đó nhiều kết quả về điểm bất động cho lớp không gian này đã lần
lượt được công bố.
2


Năm 2012, các nhà toán học người Hàn Quốc là S. H. Cho,
J. S. Bae và K. S. Na đã mở rộng kết quả của Y. Feng và S. Liu
sang không gian metric nón, kết quả được công bố trong bài báo
Fixed point theorems for multivalued contractive mappings and
multivalued Caristi type mappings in cone metric spaces [3] đó là
Định lý điểm bất động của ánh xạ co đa trị và ánh xạ kiểu Caristi
đa trị trong không gian metric nón. Đây là một kết quả khá mới về
điểm bất động.
Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động, điểm
bất động của ánh xạ kiểu Caristi đa trị trong không gian metric nón,

được sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng, tôi chọn đề tài nghiên
cứu:
“Điểm bất động của ánh xạ kiểu Caristi đa trị trong
không gian metric nón.”

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ ánh xạ kiểu Caristi
đa trị trong không gian metric nón.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về không gian metric nón và ánh xạ kiểu Caristi đa
trị trong không gian metric nón.

3


4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về "Điểm bất động của ánh xạ kiểu Caristi đa trị
trong không gian metric nón" dựa trên ba bài báo:
1. Fixed point theorem for multi-valued contractive mappings and
multi-valued Caristi type mappings của Y. Feng, S. Liu [4].
2. Cone metric spaces ang fixed point theorems of contractive
mappings của H. L. Guang, Z. Xian [5].
3. Fixed point theorems for multivalued contractive mappings and
multivalued Caristi type mappings in cone metric spaces của S.
H. Cho, J. S. Bae and K. S. Na [3].

5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phân tích và tổng hợp, vận dụng kiến thức về giải
tích hàm để phục vụ cho mục đích nghiên cứu.

6. Dự kiến đóng góp của luận văn
Luận văn trình bày một cách hệ thống về điểm bất động của
ánh xạ kiểu Caristi đa trị trong không gian metric nón.
Luận văn gồm 2 chương nội dung:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

4


Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về
không gian metric, không gian metric Hausdorff. Sau mỗi khái niệm
chúng tôi đã đưa ra ví dụ để minh họa.
Tiếp theo chúng tôi trình bày chi tiết định lý điểm bất động Caristi.
Cuối cùng chúng tôi trình bày kết quả về điểm bất động của ánh xạ
kiểu Caristi.
Chương 2. Điểm bất động của ánh xạ kiểu Caristi đa trị trong
không gian metric nón.
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản
về không gian metric nón cùng các ví dụ minh họa.
Sau đó chúng tôi trình bày định lý điểm bất động kiểu Caristi đa trị
trong không gian metric nón. Kết này được S. H. Cho, J. B. Bae và
K. S. Na công bố năm 2012.

Hà Nội, tháng 06 năm 2016
Tác giả

Điệp Thị Hồng Sinh

5

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về
không gian metric, không gian metic Hausdorff cùng các ví dụ minh
họa. Sau đó chúng tôi trình bày định lý điểm bất động Caristi và định
lý điểm bất của ánh xạ kiểu Caristi đa trị trong không gian metric.

1.1

Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1. [1] Không gian metric là một tập hợp X = φ
cùng với một ánh xạ d : X × X → R, thỏa mãn các điều kiện
sau:
1. d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X .
2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X .
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X .
Ánh xạ d gọi là metric trên X , d(x, y) gọi là khoảng cách giữa
hai phần tử x và y .
6


Các phần tử của X gọi là các điểm.
Không gian metric được kí hiệu là (X, d).

Ví dụ 1.1.1. Trong không gian Rk (k là một số nguyên dương),
ta xác định khoảng cách giữa hai điểm

x = (x1 , x2, x3 , ..., xk ) và y = (y1 , y2 , y3 , ..., yk ) như sau:
k

d (x, y) =

2

(xi − yi) .

(1.1.1)

i=1

Khi đó d (x, y) là một metric và (Rk , d) là một không gian
metric, được gọi là không gian Euclide k chiều.

Định nghĩa 1.1.2. [1] Cho không gian metric (X, d), {xn} là
một dãy các phần tử của X . Dãy {xn } được gọi là hội tụ đến
điểm x0 , nếu ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , với ∀n ≥ n0 thì d (xn , x0) < ε.
Kí hiệu lim xn = x0 hay xn → x0 khi n → ∞.
n→∞

Điểm x0 được gọi là giới hạn của dãy {xn}.

Ví dụ 1.1.2. Trong Rk ta xét metric thông thường. Xét phần tử

a = (a1 , a2, ..., ak ) và dãy {xn} với xn = (xn1 , xn2 , ..., xnk). Ta có
k

d(xk , a) =

i=1

2

(xni − ai) ≥ |xni − ai| , ∀i = 1, 2,..., k.

Từ đây suy ra

lim xn = a trong (Rk , d) ⇔ lim xni = ai trong R, ∀i = 1, 2, ..., n.

n→∞

n→∞

7


Định nghĩa 1.1.3. [1] Cho không gian metric (X, d). Dãy

{xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản), nếu
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀n, m ≥ n0 thì d (xn , xm) < ε, hay
lim d (xn, xm) = 0.

n,m→∞

Ví dụ 1.1.3. Cho không gian metric C[0,1], d với metric d được
định nghĩa như sau:
1

d (x, y) =

|x (t) − y (t)| dt.

(1.1.2)

0

Xét dãy {xn} ⊂ C[0,1] với

xn (t) =



0







0 ≤ t < 14
1
4

nt − n3










1
4

1

≤ t ≤ 41 + n1

+ n1 < t ≤ 1.

Khi đó {xn } là dãy Cauchy trong không gian C[0,1], d .

Chứng minh. ∀n, m ∈ N∗ , m > n, ∀t ∈ [0, 1] ta có
1

d (xn, xm) =

|xn (t) − xm (t)| dt
0

1
4

=

|xn (t) − xm (t)|dt +

0

8

1 1
4+n
1
4

|xn (t) − xm (t)| dt


1

+
1
4

=

|0 − 0| dt +

0

=

1 1
4+n
1 1

4+n
1
4
1 1
4+n
1
4

|xn (t) − xm (t) dt|
1

|xn (t) − xm (t) dt| +

1 1
4+n

|1 − 1| dt

|xn (t) − xm (t) dt|.

Vì

|xn (t) − xm (t)| ≤ 1, ∀m, n ∈ N∗, ∀t ∈ [0, 1],
nên ta có
1 1
4+n
1
4

|xn (t) − xm (t)| dt ≤

Suy ra

0 ≤ d (xn, xm) ≤
Mà

1 1
4+n
1
4

dt =

1
.
n

1
.
n

1
= 0,
n→∞ n
lim

theo nguyên lý giới hạn kẹp ta có

lim d (xn , xm) = 0.

n,m→∞

Vậy {xn } là một dãy Cauchy trong C[0,1], d .

Định nghĩa 1.1.4. [1] Không gian metric (X, d) được gọi là
không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ tới một
9


điểm thuộc X .

L
Ví dụ 1.1.4. C[a,b] là không gian metric đầy đủ, C[a,b]
là không

gian metric không đầy đủ.

• Không gian C[a,b] là không gian metric đầy đủ.
Chứng minh. Cho {xn } là dãy Cauchy trong C[a,b] với metric d.
Điều này có nghĩa là

d (xn , xm) = max |xn (t) − xm (t)| và lim d (xn , xm) = 0.
n,m→∞

t→[a,b]

Với mỗi t ∈ [a, b] hiển nhiên ta có

|xn (t) − xm (t)| ≤ d (xn, xm),
suy ra {xn (t)} là dãy số thực Cauchy trong R nên dãy hội tụ.

Đặt x (t) = lim xn (t) , ∀t ∈ [a, b]. Ta còn phải chứng minh
n→∞

x (t) ∈ C [a, b] và lim xn = x trong C[a,b] .
n→∞

Lấy ε > 0, sẽ tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi n, m ≥ n0 và
với mọi t ∈ [a, b] ta có

|xn (t) − xm (t)| < ε.

(1.1.3)

Cho m → ∞, từ biểu thức (1.1.3), ta được |xn (t) − x (t)| < ε ,

∀n và ∀t ∈ [a, b].
Vậy xn (t) hội tụ đều đến x (t) trên [a, b], liên tục trên [a, b], tức là

x (t) ∈ C[a,b] , ta có lim d (xn , x) = 0.
n→∞

Dó đó không gian C[a,b] là không gian đầy đủ.

10


L
• Không gian C[a,b]
là không gian metric không đầy đủ.

Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta xét trường hợp

[a, b] = [0, 1]và xét dãy {xn (t)} như sau

xn (t) =



1,







0≤t≤
1
2

0,









n + 1 − 2nt,

1
2

1
+ 2n
≤t≤1
1
2

1
≤ t ≤ 21 + 2n
,

với n, m ∈ N, m > n.
Ta có

1

d (xn, xm) =

|xn (t) − xm (t)| dt
0
1
1
2 + 2n

=
1

2

|xn (t) − xm (t)|dt.

Vì |xn (t) − xm (t)| ≤ 2 nên d (xn , xm ) ≤
1
n
n→∞

Mà lim

1 1
2+n
1
2

2dt = n1 .

= 0 nên theo nguyên lý giới hạn kẹp ta có
lim d (xn , xm) = 0.

n,m→∞

L
Vậy {xn (t)} là một dãy Cauchy trong C[a,b]
.
L
Tuy nhiên ta chứng minh {xn (t)} không hội tụ trong C[a,b]
.
L

Thật vậy x (t) là một hàm bất kì trong C[0,1]
.

11


Xét hàm số gián đoạn trên [0, 1] như sau:

1

 1, t ∈ 0, 2

y (t) =




0, t ∈

1
,1
2

.

Như thế x (t) = y (t) nên phải có t0 ∈ 0, 21 chẳng hạn để

y (t0) = x (t0). Hơn nữa trên 0, 21 cả hai hàm x (t) , y (t) cùng liên
tục nên ta có

1
2

0<

|x (t) − y (t)| dt.

0

Từ đó
1
2

0<

1

|x (t) − y (t)| dt ≤

|x (t) − y (t)| dt

0

0
1

≤

1

|x (t) − xn (t)| dt +
0

|xn (t) − y (t)| dt.
0

Mặt khác ta có
1
1
2 + 2n

1

|xn (t) − yn (t)| dt =
0
1
4n
n→∞

Do lim

1
2

|xn (t) − yn (t)|dt =

= 0 nên ta có
1

|xn (t) − yn (t)|dt = 0.

lim

n→∞

0

12

1
.
4n


Vì vậy với n đủ lớn
1

x (t) − xn(t)
0

1
dt ≥
2

1
2

|x (t) − y (t)| dt > 0

0

L
tức là xn (t) không thể hội tụ về x (t) trong C[0,1]
.

L
Nói cách khác, không có điểm nào trong C[0,1]
là giới hạn của dãy

Cauchy {xn (t)}.
L
Vậy không gian C[a,b]
là không gian metric không đầy đủ.

Định nghĩa 1.1.5. [1] Cho hai không gian metric (X, d1) và

(Y, d2). Ánh xạ T : X → Y được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số
k ∈ [0, 1) sao cho
d2 (T x, T y) ≤ kd1 (x, y) , ∀x, y ∈ X.

Định nghĩa 1.1.6. [1] Cho X, Y là hai không gian Tô pô. Ánh
xạ T : X → Y được gọi là nửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu mọi
tập mở G ⊂ Y , chứa T x0 đều tồn tại lận cận U của x0 trong X
sao cho T (U ) ⊂ G.
Nếu T là nửa liên tục trên tại mọi điểm x ∈ X thì T là nửa liên
tục trên trên X .

13

Định nghĩa 1.1.7. [1] Cho X, Y là hai không gian tô pô. Ánh
xạ T : X → Y được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X nếu mọi
tập mở G trong Y mà G ∩ T x0 = φ đều tồn tại lân cận U của

x0 trong X sao cho T (U ) ∩ G = φ. Nếu ánh xạ T là nửa liên
tục dưới tại mọi điểm x ∈ X thì T là nửa liên tục dưới trên X .

Nhận xét 1.1.1. Ta có A = {x ∈ X : T x ≤ α} được gọi là tập
mức dưới (mức α)của ánh xạ T .

T là ánh xạ nửa liên tục dưới khi và chỉ khi A là tập hợp đóng.
Trong định nghĩa trên, nếu Y = R thì T được gọi là hàm nửa
liên tục dưới tại x0 ∈ X , nghĩa là ∀ε > 0, tồn tại lân cận U của

x0 ∀x ∈ U ta có
T (x) ≥ T (x0) − ε.
Định lý 1.1.1. [1] (Caristi, 1976 [1]) Cho (X, d) là một không
gian metric đầy đủ và ϕ : X → (−∞, +∞) là hàm số nửa liên
tục dưới và bị chặn dưới.
Cho ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện

d (x, T x) ≤ ϕ (x) − ϕ (T x) , ∀x ∈ X.

(1.1.4)

Khi đó T có điểm bất động trong X .

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh trong (X, d),
mọi ánh xạ T là ánh xạ co thì đều thỏa mãn điều kiện (1.1.4).
14

Thật vậy, giả sử T : X → X là ánh xạ co, tức là tồn tại k ∈ [0, 1)
sao cho

d (T x, T y) ≤ kd (x, y) , ∀x, y ∈ X.
Vậy ta có

d (x, T x) =

d (x, T x) kd (x, T x)
−
.
1−k
1−k

Mặt khác do T là ánh xạ co ta lại có d (T x, T (T x)) ≤ kd (x, T x).
Do đó ta có

d (x, T x) ≤
Đặt ϕ (x) =

d(x,T x)
1−k

d (x, T x) d (T x, T (T x))
−
.
1−k
1−k

thì ϕ (x) là hàm liên tục và ta có

d (x, T x) ≤ ϕ (x) − ϕ (T x) .
Bây giờ ta xậy dựng quan hệ thứ tự trên X như sau:

x ≤ y ⇔ d (x, y) ≤ ϕ (x) − ϕ (y) , ∀x, y ∈ X.
Hiển nhiên "≤" là một quan hệ thứ tự và ϕ là một hàm không tăng.
Nghĩa là nếu x ≤ y thì

ϕ (y) ≤ ϕ (x) .
Bây giờ ta chứng minh (X, d) với quan hệ thứ tự "≤" có phần tử
cực đại. Ta lấy x1 ∈ X một cách tùy ý và đặt

15


S (x1) = {y ∈ X : x1 ≤ y}
= {y ∈ X : d (x1 , y)} ≤ ϕ (x1) − ϕ (y)
= {y ∈ X : d (x1 , y) + ϕ (y) ≤ ϕ (x1 )} .
Do metric d (x1 , .) là hàm liên tục và ϕ là hàm liên tục suy ra ϕ là
hàm nửa liên tục dưới nên ta có S (x1 ) là tập hợp đóng.
Đặt a1 = inf {ϕ (y) : y ∈ S (x1)}.
Khi đó ∃x2 ∈ S (x1) mà ϕ (x2 ) ≤ a1 + 1.
Ta đặt

S (x2 ) = {y ∈ S (x1) : x2 ≤ y}
= {y ∈ S (x1 ) : d (x2, y) ≤ ϕ (x2) − ϕ (y)}
= {y ∈ S (x1) : d (x2 , y) + ϕ (y) ≤ ϕ (x2 )} .
Từ tính liên tục của d (x2, .) và ϕ ta cũng suy ra tập S (x2) là tập

đóng và S (x2) ⊂ S (x1).
Đặt a2 = inf {ϕ (y) : y ∈ S (x2)}.
Khi đó ∃x3 ∈ S (x2 ), tiếp tục quá trình như trên ta thu được một
dãy {xn } với các tính chất:

xn+1 ∈ S (xn )
ϕ (xn+1) ≤ an + n1 , (an = inf {ϕ (y) : y ∈ S (xn )})
S (xn ) đóng và S (xn+1) ⊂ S (xn ) , n = 1, 2, 3, ...
Ta kí hiệu dn là đường kính của tập hợp S (xn).
16


Theo định nghĩa ta có

S (xn ) = {y ∈ S (xn−1) : xn ≤ y} .
Lấy x, y tùy ý trong S (xn ), ta có xn ≤ x,

xn ≤ y nên ta có

d (xn, x) ≤ ϕ (xn) − ϕ (x) .
d (xn, y) ≤ ϕ (xn) − ϕ (y) .
Vậy d (x, y) ≤ d (x, xn ) + d (xn , y) ≤ 2ϕ (xn) − [ϕ (x) − ϕ (y)] .
Mặt khác, từ cách xác định các an và xn ta có
1
ϕ (xn) ≤ an−1 + n−1
,

ϕ (x) ≥ an ,
ϕ (y) ≥ an ,
an ≥ an−1, với n = 1, 2, 3, ....

Do đó

1
− 2an
n−1
1
− 2an
≤ 2 an +
n−1
2
, ∀x, y ∈ S (xn ) .
=
n−1

d (x, y) ≤ 2 an−1 +

Ta đặt dn = max {d (x, y) : x, y ∈ S (xn)} là đường kính của tập
2
n→∞ n−1

S (xn ) và ta có lim

= 0 ta suy ra lim dn = 0.
n→∞

Do đó {S (xn)} là dãy các tập đóng, thắt dần, lồng nhau trong X

17

là không gian đầy đủ, nên theo nguyên lý Cantor ta có
∞

S (xn ) = {u} .
n=1

Bây giờ ta chứng minh u là phần tử cực đại trong (X, ≤), tức là nếu
có u ≤ v thì u = v .
Thật vậy, vì u ≤ v nên x1 ≤ v do đó v ∈ S (x1 ).
Lại vì u ≤ v nên v ∈ S (x2) mà v ∈ S (x1) nên v ∈ S (x2).
Cứ tiếp tục như vậy ta có v ∈ S (xn), ∀n = 1, 2, 3, ..., tức là

v∈

∞

S (xn ) = {u}, hay u = v và u là phần tử cực đại trong X

n=1

theo quan hệ thứ tự "≤".
Cuối cùng ta chứng minh u là điểm bất động của ánh xạ T trên X .
Theo giả thiết ta có d (u, T u) ≤ ϕ (u) − ϕ (T u) .
Khi đó theo cách xây dựng quan hệ thự tự ta có u ≤ T u. Nhưng vì

u là phần tử cực đại nên ta có u = T u.
Vậy u là điểm bất động của ánh xạ T trên X .

1.2

Không gian metric Hausdorff
Cho (X, d) là một không gian metric. Kí hiệu CB (X) là họ

các tập con khác rỗng, đóng và bị chặn của X . Ta có một số khái
niệm sau đây:

18


Định nghĩa 1.2.1. [1] Khoảng cách từ x ∈ X đến tập hợp

A ⊂ X được xác định bởi:
d (x, A) = inf {d (x, y) : y ∈ A} .
.
Định nghĩa 1.2.2. [1] Với A, B ⊂ CB (X), khoảng cách từ tập
hợp A đến tập hợp B được xác định bởi:

∂ (A, B) = sup {d (x, B) : x ∈ A} .
.
Định nghĩa 1.2.3. [1] Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp

A và B được xác định bởi:
H (A, B) = max {∂ (A, B) , ∂ (B, A)}
= max sup inf d (x, y) , sup inf d (x, y) .
x∈A y∈B

y∈B x∈A

Định lý 1.2.1. [2] Cho (X, d) là một không gian metric,

A, B, C ∈ CB (X). Khi đó ta có:
1. ∂ (A, B) = 0 khi và chỉ khi A ⊂ B .
2. B ⊂ C thì ∂ (A, C) ≤ ∂ (A, B).
3. ∂ (A ∪ B, C) = max {∂ (A, C) , ∂ (B, C)}.
4. ∂ (A, B) ≤ ∂ (A, C) + ∂ (C, B).
19


Chứng minh. 1. Nếu ∂ (A, B) = 0 tức là

sup {d (x, B) : x ∈ A} = 0.
Vậy

d (x, B) = 0, ∀x ∈ A.
Do đó tồn tại dãy {yn } ⊂ B sao cho

lim d (x, yn ) = 0.

n→∞

Hay

lim yn = x.

n→∞

Vì B ∈ CB (X) nên B là tập hợp đóng, do đó x ∈ B . Suy ra

A ⊂ B.
Vậy

∂ (A, B) = 0 ⇔ A ⊂ B .
2. Giả sử B ∈ CB (X), với x ∈ X ta có

d (x, B) = inf d (x, y) ,
y∈B

d (x, C) = inf d (x, z) .
z∈C

Vì y ∈ B ⇒ y ∈ C nên
20