Phép nội suy và ứng dụng giải một số dạng toán phổ thông (LV01843)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGÂN

PHÉP NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG GIẢI
MỘT SỐ DẠNG TOÁN PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGÂN

PHÉP NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG GIẢI
MỘT SỐ DẠNG TOÁN PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI, 2016

i

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã
định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận
văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, toàn thể
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã cổ vũ,
động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Người thực hiện

Nguyễn Thị Ngân


ii

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng,
luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài Phép nội suy và ứng dụng giải
một số dạng toán phổ thông được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của
bản thân tác giả, không trùng lặp với bất cứ luận văn nào khác.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những kết
quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Người thực hiện

Nguyễn Thị Ngân

iii

Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i
ii

Mở đầu

1

1

3
3

Kiến thức chuẩn bị
1.1 Sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

1.3

2

1.1.1

1.1.2

Số gần đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sai số thu gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
4

1.1.3

Sai số tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.4
1.1.5

Sự ổn định của quá trình tính . . . . . . . . . . . . . .
Bài toán ngược của sai số . . . . . . . . . . . . . . . .

6
6

Một số khái niệm cơ bản của đại số . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Một số vấn đề của đại số tuyến tính . . . . . . . . . . .

7
7

1.2.2 Định nghĩa và tính chất của đa thức . . . . . . . . . . . 10

Một số khái niệm cơ bản của giải tích . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1
1.3.2

Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3

Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Phép nội suy
2.1
2.2

15

Bài toán nội suy tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Công thức nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1
2.2.2

Công thức nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 16
Sai số của phép nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . 18


iv

2.3

2.2.3 Mốc nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Công thức nội suy Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1
2.3.2

2.4

2.5

Các công thức nội suy trung tâm . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.1 Công thức nội suy Gauss I . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.2 Công thức nội suy Gauss II . . . . . . . . . . . . . . . 29
Bài toán nội suy ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.1

2.6
3

Đa thức nội suy có mốc nội suy không cách đều nhau . 20
Đa thức nội suy có mốc nội suy cách đều nhau . . . . . 23

Sử dụng đa thức nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . 30

2.5.2 Trường hợp các mốc nội suy xi i = 0, n cách đều . . 31
Hàm nội suy Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Ứng dụng của phép nội suy giải một số dạng toán phổ thông
3.1

Ứng dụng của công thức nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . 39

3.1.1 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2

3.2

3.3

Bài toán nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Ứng dụng của công thức nội suy Newton . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1 Các bài toán về xác định đa thức . . . . . . . . . . . . 55
3.2.2 Tính tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Ứng dụng của một số các công thức nội suy khác . . . . . . . . 63
3.3.1
3.3.2

3.4

39

Công thức nội suy Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Công thức nội suy Hermite . . . . . . . . . . . . . . . 66

Ứng dụng Maple tính giá trị đa thức . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.1 Đa thức nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.2

Đa thức nội suy Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Kết luận

78

Tài liệu tham khảo

79


1

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Các bài toán nội suy ra đời từ rất sớm, rất nhiều nhà toán học nổi tiếng
đã nghiên cứu về nội suy trước hết phải kể đến các công trình của Lagrange,
Newton, Hermit, ... Tuy nhiên, việc xây dựng các bài toán nội suy tổng quát, các
thuật toán tìm nghiệm của nó và những vấn đề liên quan đến nội suy vẫn đang
được các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu. Bởi nó không những như là một đối
tượng nghiên cứu trọng tâm của đại số mà còn là một công cụ đắc lực của giải
tích trong lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết nội suy, lý thuyết tối ưu, ..., nó đóng một
vai trò rất quan trọng trong việc thiết lập các đa thức thỏa mãn hệ các điều kiện
ràng buộc đặc biệt. Ngoài ra, các đặc trưng cơ bản của nội suy còn được sử
dụng trong nhiều bài toán chẳng hạn trong toán cao cấp, toán ứng dụng, trong
những mô hình thực tế và toán phổ thông. Tuy nhiên, ở các trường phổ thông lý
thuyết về các bài toán nội suy chưa được đề cập, có chăng chỉ là sử dụng chúng
để giải quyết các bài toán khó.
Vì vậy, việc hình thành một chuyên đề chọn lọc những vấn đề cơ bản nhất về
các bài toán nội suy, dưới góc độ toán phổ thông, đặc biệt là những ứng dụng
của nó trong quá trình giải một số dạng toán khó là rất cần thiết. Nên tôi đã lấy
tên luận văn của mình là Phép nội suy và ứng dụng giải một số dạng toán phổ
thông nhằm đưa khái niệm nội suy và ứng dụng của nó đến gần hơn với thầy cô

và học sinh các trường phổ thông.


2

2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống lại các phép nội suy và ứng dụng chúng giải một số bài toán phổ
thông như các bài toán về đa thức, các dạng toán khai triển, đồng nhất thức, các
bài toán xác định giới hạn của biểu thức cho trước, các bài toán về tính chia hết
của đa thức, ứng dụng vào tính giới hạn của một số dạng vô định, . . . Hệ thống
lại một số dạng toán và sáng tác ra nhiều bài tập mới.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về một số bài toán nội suy cổ điển, các công thức nội suy.
Ứng dụng các công thức nội suy vào giải một số dạng toán phổ thông.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Với mục đích như trên, luận văn tập trung vào nghiên cứu về các công thức
nội suy: Công thức nội suy Lagrange, công thức nội suy Taylor, khai triển Taylor, công thức nội suy Newton trong phạm vi ứng dụng trong chương trình phổ
thông, giải quyết một sô bài toán khó trong chương trình phổ thông.

5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu của giải tích và giải tích số.

6. Đóng góp của luận văn
Xây dựng luận văn thành tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên,
học viên cao học về ứng dụng của phép nội suy giải một số dạng toán phổ thông.


3

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Sai số
Số gần đúng

Ta nói rằng a là một số gần đúng của a∗ nếu như a không sai khác a∗ nhiều,
hiệu số ∆a = a∗ − a là sai số thực sự của a, nếu ∆a > 0 thì a là giá trị gần
đúng thiếu, còn nếu ∆a < 0 thì a là giá trị gần đúng thừa của a∗ . Vì rằng a∗
chưa biết, chỉ biết a nên đại lượng ∆ chưa thể xác định, tuy nhiên có thể thấy
tồn tại ∆a > 0 thỏa mãn điều kiện: |a∗ − a| ≤ ∆a.
∆a
Khi đó: ∆a được gọi là sai số tuyệt đối của a, δa =
là sai số tương đối của
|a|
a. Rõ ràng ∆a, δa càng nhỏ càng tốt.
Hai số gần đúng a của a∗ và b của b∗ có cùng sai số tuyệt đối ∆a = ∆b, số
nào có giá trị lớn tuyệt đối lớn hơn thì sẽ chính xác hơn. Chẳng hạn a = 100,

b = 1, ∆a = ∆b = 0, 01 khi đó số a∗ ∈ [99, 99; 100, 01], b∗ ∈ [0, 99; 1, 01],
tức là số a sẽ chính xác hơn số b so với giá trị đúng của nó. Đại lượng nào sẽ
phản ánh độ sai số của một số, hay nói cách khác độ chính xác của phép tính
được phản ánh qua đại lượng nào. Ở ví dụ trên, nếu |a| càng lớn thì khoảng xác
∆a
định của a∗ càng rộng, vì vậy tỉ số δa =
có thể đặc trưng cho độ chính xác
|a|

của một phép đo tính toán, δa được gọi là sai số tương đối của số a.


4

1.1.2

Sai số thu gọn

Trong quá trính tính toán, số gần đúng a của a∗ đôi khi là số thập phân vô
hạn các số sau dấu phẩy, hoặc hữu hạn nhưng số lượng các chữ số sau dấu phẩy
rất lớn buộc chúng ta phải ngắt bớt một số chữ số sau dấu phẩy. Việc ngắt bớt
đó được gọi là thu gọn số a để được số a
¯ ngắn gọn hơn và gần đúng số a.
Qui tắc thu gọn một số a như sau: Giả sử số a = A, a1 a2 a3 ...ai ...an , trong
đó A là phần trị nguyên, aj ∈ 0, 1, 2, 3, ..., 9 j = 1, n là các chữ số sau dấu
phẩy (phần thập phân). Muốn làm tròn số a
¯ từ số a với i chữ số sau dấu phẩy ta
làm như sau: giữ nguyên A, a1 , a2 , . . . , ai−1 . Xét ai+1
- Nếu ai+1 ≤ 5 thì a
¯ = A, a1 a2 a3 ...ai−1 ai ,
- Nếu ai+1 > 5 thì a
¯ = A, a1 a2 a3 ...ai−1 ai , với ai = ai + 1.
Ví dụ 1.1.1. Cho số a∗ = Π, a = 3, 141592. Khi đó số thu gọn của a là:
- Số thu gọn sau dấu phẩy 2 chữ số: a
¯ = 3, 14.
- Số thu gọn sau dấu phẩy 3 chữ số: a
¯ = 3, 141.
- Số thu gọn sau dấu phẩy 4 chữ số: a
¯ = 3, 1416.

Đặt: Γa = |a − a
¯|, Γa được gọi là sai số thu gọn của số a.

1.1.3

Sai số tính toán

Các số dùng để tính toán vốn đã là các số gần đúng (có sai số), còn xuất hiện
thêm sai số của kết quả. Sai số này được gọi là sai số tính toán. Trong đề tài này,
tập trung nghiên cứu các giá trị gần đúng liên quan đến sai số tính toán.
Giả sử cần tính giá trị đầu ra y với các giá trị đầu vào là x1 , x2 , ..., xn . Mọi
liên hệ giữa đầu vào và đầu ra được xác định bởi y ∗ = f (x∗1 , x∗2 , ...., x∗n ) ở đây

y ∗ , x∗1 , x∗2 , ..., x∗n là các giá trị đúng của giá trị hàm và các biến tương ứng. Thực
tiễn, không thể xác định được y ∗ , x∗1 , x∗2 , ..., x∗n , mà chỉ xác định được giá trị gần
đúng tương ứng của nó với các sai số tương ứng ∆y, ∆xi . Sai số giá trị ∆y của
y = f (x1 , x2 , ..., xn ) được gọi là sai số tính toán.
Giả sử y = f (x1 , x2 , ..., xn ) là hàm khả vi, liên tục theo các biến xi . Theo
giải tích, ta có:


5

∗

y − y = f (x1 , x2 , ..., xn ) −

f (x∗1 , x∗2 , ...., x∗n )

n

=
i=1

fxi (¯
x).(xi − x∗i ),

trong đó: x
¯ là điểm nằm giữa các điểm (x1 , x2 , ..., xn ) và (x∗1 , x∗2 , ..., x∗n ), có
n

∗

nghĩa là, ta có: |y − y | ≤
i=1

n

Đặt ∆y =
i=1

fxi (¯
x) .∆xi

fxi (¯
x) .∆xi

∆y là cận trên của |y − y ∗ | vì vậy có thể xem ∆y là sai số của y so với y ∗ .
Mặt khác sai số của y là
n f (¯

n
∆y
∂
xi x)
δy =
=
ln f (¯
x) .∆xi = ∆ ln |y|.
.∆xi =
|y|
x)
i=1 f (¯
i=1 ∂xi

Sai số của một tổng

Xét y = x1 + x2 + ... + xn .
Ta có: yxi = 1, i = 1, n

n

nên sai số của y là ∆y =

n

1.∆xi =
i=1

∆xi
i=1

Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số hạng.
∆y
Sai số tương đối δy =
đặc trưng cho tính chính xác của phép đo. Nếu
|y|
|y| rất nhỏ thì sai số tương đối sẽ rất lớn và như vậy tính chính xác của phép đo
không đảm bảo. Vì vậy trong tính toán gần đúng phải tránh các công thức đưa
đến việc tính hiệu của 2 số gần nhau.
Sai số của một tích

Xét y = x1 .x2 ...xn .
Ta có: ln |y| = ln |x1 | + ... + ln |xn |
Sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của các thừa số
thành phần.
Ví dụ 1.1.2. y = x∗ z , trong đó x = 3, 45 + 0, 01 và z = 12, 432 + 0, 002. Hãy
tính sai số của y .
Giải.


6

0, 02 ∼
0, 01 ∼
= 0, 29%, δz =
= 0, 016%
3, 45
12, 432
Vậy: δy = δx + δz = 0, 306%.
Ta có δx =

Sai số của y = lnx

1
∆x
⇒ ∆y =
= δx
x
|x|
Sai số tuyệt đối của y bằng sai số tương đối của x.

Ta có: (ln x) =

Sai số của thương

Xét y =

x1 x2 .....xp
xp+1 xp+2 ....xn

Ta có
p

n

ln xi −

ln y =
i=1

ln xi
i=p+1

Mặt khác sai số của lnxi là δxi
n

Suy ra δy =

δxi
i=1

1.1.4

Sự ổn định của quá trình tính

Để tính một đại lượng có khi phải tính nhiều lần lặp đi lặp lại. Quá trình tính
gọi là ổn định nếu sai số tính toán (quy tròn số) tích lũy lại không tăng ra vô
hạn. Nếu quá trình tính sai số đó tăng ra vô hạn thì ta nói quá trình tính là không
ổn định.
Để khắc phục điều đó thường người ta giả sử sai số chỉ xảy ra ở một bước
tính. Xem giá trị mới đó là đúng, tính bước kế tiếp. Nếu tích lũy một số bước
thấy sai số tăng đáng kể thì xem như quá trình tính không ổn định (đây là vấn
đề khó, cần nghiên cứu tiếp về sau).

1.1.5

Bài toán ngược của sai số

Giả sử cần tính y = f (x1 , x2 , ......, xn ) với sai số ∆y ≤ a . Hãy xác định các

∆xi .


7

Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán, ta phải có
n

∆y =
i=1

∂f
∆xi ≤ a.
∂xi

Giả sử rằng

∂f
∆xi = const(i = 1, 2, ..., n)
∂xi

(1.1)

a
thì bất đẳng thức ∆y ≤ a được thỏa mãn. Điều
∂f
n
∂xi
kiện (1.1) thường được gọi là nguyên lý ảnh hưởng đều.
Khi đó nếu ∆xi ≤

Ví dụ 1.1.3. Một hình trụ có chiều cao h = 3m, bán kính đáy R = 2m, hỏi
rằng lấy ∆h, ∆R, số π như thế nào thì thể tích V của hình trụ được tính chính
xác đến 0,1m3 .
Giải.
Ta có: V = πR2 h
Từ đó:

∂V
∂V
∂V
= R2 h,
= 2πRh,
= πR2
∂π
∂R
∂h
Nếu ta lấy:

∆π =

0, 1
0, 1
0, 1
< 0, 003, ∆R =
< 0, 001, ∆h =
< 0, 003
3.4.3
3.6.2π
3.π.4

thì yêu cầu của bài toán là thỏa mãn.
Vậy chọn ∆R < 0, 001, ∆π < 0, 003, ∆h < 0, 003 sẽ thu được thể tích V
chính xác đến 0,1m3 .

1.2
1.2.1

Một số khái niệm cơ bản của đại số
Một số vấn đề của đại số tuyến tính

Giả sử K là một trường.


8

Định nghĩa 1.2.1. Tập hợp V = ∅ được gọi là một không gian vectơ trên K
nếu nó được trang bị hai phép toán, gồm
(i) Phép cộng vectơ

+:V ×V →V
(α, β) → α + β
(ii) Phép nhân vectơ với vô hướng

• :K ×V →V
(a, α) → aα
Các phép toán này thỏa mãn những điều kiện (hoặc tiên đề) sau đây
1) (α + β) + γ = α + (β + γ),

∀α, β, γ ∈ V

2) ∃0 ∈ V : 0 + α = α + 0 = α,

∀α ∈ V,

3) ∀α ∈ V, ∃α ∈ V : α + α = α + α = 0,
4) α + β = β + α,

∀α, β ∈ V,

5) (a + b) α = aα + bα,

∀a, b ∈ K, ∀α ∈ V,

6) a (α + β) = aα + aβ,

∀a ∈ K, ∀α, β ∈ V,

7) a (bα) = (ab) α,

∀a, b ∈ K, ∀α ∈ V,

8) 1α = α,

∀α ∈ V.

Các phần tử của V được gọi là các vectơ, các phần tử của K được gọi là các vô
hướng.
Một không gian vectơ trên K còn được gọi là một K - không gian vecto, hay
đơn giản: một không gian vectơ, nếu K đã rõ.

Khi K = R, V được gọi là một không gian vectơ thực.
Khi K = C, V được gọi là một không gian vectơ phức.


9

Ví dụ 1.2.1.
a) Tập hợp các đa thức K [X] (của một ẩn X , với hệ số trong K ) với phép cộng
đa thức và phép nhân đa thức với vô hướng thông thường lập nên một không
gian vectơ trên trường K .
b) K là một không gian vectơ trên chính nó đối với phép cộng và phép nhân của
trường K . R vừa là một Q - không gian vectơ vừa là một R - không gian vectơ,
C là một không gian vectơ đồng thời trên các trường Q, R và C .
c) Tập hợp C [a, b] các hàm thực liên tục trên đoạn [a, b] ⊂ R là một không gian
vectơ thực với các phép toán thông thường

(f + g) (x) = f (x) + g (x) ,
(af ) (x) = af (x) .
Định nghĩa 1.2.2. (Tổ hợp tuyến tính, biểu thị tuyến tính)
(i) Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ α1 , ..., αn ∈ V là một biểu thức dạng
n

ai αi = a1 α1 + ... + an αn , trong đó αi ∈ K.
i=1

(ii) Giả sử α = a1 α1 +...+an αn ∈ V . Đẳng thức đó được gọi là một biểu thức
tuyến tính của α qua các vectơ α1 , ..., αn (hoặc qua hệ vectơ (α1 , ..., αn )).
Khi có đẳng thức đó, ta nói α biểu thị tuyến tính được qua α1 , ..., αn .
Nhận xét 1.1. Một vectơ có thể có nhiều biểu thị tuyến tính khác nhau qua
một hệ vectơ. Ta nói hệ (α1 , ..., αn ) biểu thị tuyến tính được qua hệ (β1 , ..., βm )

nếu mỗi vectơ αi , trong đó 1 ≤ i ≤ n, biểu thị tuyến tính được qua (β1 , ..., βm ).
Giả sử (α1 , ..., αn ) biểu thị tuyến tính được qua hệ (β1 , ..., βm ), và hệ (β1 , ..., βm )
biểu thị tuyến tính được qua hệ (γ1 , ..., γk ). Khi đó, rõ ràng (α1 , ..., αn ) cũng
biểu thị tuyến tính được qua hệ (γ1 , ..., γk ).
Định nghĩa 1.2.3. (Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính)
(i) Hệ (α1 , ..., αn ) được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức a1 α1 + ...

+ an αn = 0, chỉ xảy ra khi a1 = ... = an = 0.
(ii) Hệ (α1 , ..., αn ) được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập
tuyến tính.


10

1.2.2

Định nghĩa và tính chất của đa thức

Định nghĩa 1.2.4. Một đa thức bậc n của ẩn x là biểu thức có dạng

Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 ,
trong đó các hệ số an , an−1 , ..., a0 là những số thực hoặc phức và an = 0,

n ∈ R.
(i) Bậc của đa thức Pn (x) là deg Pn (x). Do vậy deg Pn (x) = n.
(ii) an − hệ số cao nhất của đa thức.
(iii) a0 − hệ số tự do của đa thức.
(iv) an xn − hạng tử cao nhất.
Chú ý 1.2.1. Sau đây ta thường chỉ xét đa thức với các hệ số của nó đều là thực
và gọi tắt là đa thức thực.

Định nghĩa 1.2.5. Cho đa thức

Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 ,
với an = 0, α ∈ C, được gọi là nghiệm của đa thức Pn (x) nếu Pn (α) = 0.
.
Nếu tồn tại k ∈ N, k > 1 sao cho Pn (x) ..(x − α)k nhưng Pn (x) không chia
hết cho (x − α)k+1 thì α được gọi là nghiệm bội k của đa thức Pn (x).
Đặc biệt khi k = 1 thì α được gọi là nghiệm đơn, k = 2 thì α được gọi là
nghiệm kép.
Định lý 1.2.1. (Gauss)
Mọi đa thức n ≥ 1 trên trường C đều có đúng n nghiệm nếu mỗi nghiệm được
tính một số lần bằng bội của nó.
Định lý 1.2.2. Mọi đa thức với hệ số thực đều có thể biểu diễn dưới dạng

Pn (x) = a0 (x − α1 )n1 ...(x − αr )nr x2 + p1 x + q1
r

s

ni + 2

trong đó
i=1

i=1

m1

mi = n, p2i − 4qi < 0, i = 1, s,

và α0 , α1 , αr ; p1 , q1 , ps , qs ∈ R.

... x2 + ps x + qs

ms


11

Định lý 1.2.3. Mỗi đa thức bậc n đều có không quá n nghiệm thực.
Hệ quả 1.2.1. Đa thức có vô số nghiệm là đa thức không.
Hệ quả 1.2.2. Nếu đa thức có bậc ≤ n mà nhận cùng một giá trị tại n + 1 điểm
khác nhau của đối số thì đa thức đó là đa thức hằng.
Hệ quả 1.2.3. Hai đa thức bậc ≤ n mà nhận n + 1 giá trị bằng nhau tại n + 1
giá trị khác nhau của đối số thì đồng nhất bằng nhau.

1.3
1.3.1

Một số khái niệm cơ bản của giải tích
Giới hạn của dãy số

Định nghĩa 1.3.1. Cho dãy số {an , n = 1, 2, ...} (an ∈ R) .
Ta nói rằng dãy {an , n = 1, 2, ...} có giới hạn a, a ∈ R nếu

∀ε > 0, ∃n0 = n0 (ε) , ∀n > n0 ⇒ |an − a| < ε.
Khi đó ta ký hiệu: lim an = a và dãy {an } được gọi là dãy hội tụ.
n→+∞

Nếu dãy {an } không hội tụ được gọi là dãy phân kỳ. Nếu lim an = 0 thì {an }

được gọi là dãy vô cùng bé khi n → +∞.

n→+∞

Các tiêu chuẩn hội tụ của dãy số

Định lý 1.3.1. (Nguyên lý hội tụ Cauchy)
Điều kiện cần và đủ để cho dãy {an , n = 1, 2, ...} hội tụ là:

∀ε > 0, ∃n0 , ∀n, m > n0 ⇒ |an − am | < ε.
Định lý 1.3.2. (Nguyên lý Weierstrass)
Nếu {an } là một dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ và lim an = sup {an }
n→+∞

n≥1

Nếu {an } là một dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ và lim an = inf {an } .
n→+∞

n≥1


12

Sự bảo toàn thứ tự qua giới hạn trong bất đẳng thức

Giả sử lim an = a,
n→+∞

lim bn = b, a, b ∈ R. Khi đó

n→+∞

1) Nếu ∃n0 , ∀n ≥ n0 , an ≤ bn thì a ≤ b.
2) lim (an ± bn ) = a ± b.
n→+∞

3) lim (an .bn ) = a.b.
n→+∞

a
an
= .
n→+∞ bn
b
5) Nếu ∃n0 : ∀n ≥ n0 , an ≤ cn ≤ bn và a = b thì dãy {cn , n = 1, 2, ...}
hội tụ và lim cn = a = b.
4) Nếu b = 0 thì lim

n→+∞

Giới hạn vô cùng

Dãy {an , n = 1, 2, ...} được gọi là có giới hạn dương vô cùng (+∞) nếu

∀M > 0, ∃n0 , ∀n > n0 ⇒ an > M.
Ký hiệu là lim an = +∞.
n→+∞

Tương tự: Dãy {an , n = 1, 2, ...} được gọi là có giới hạn âm vô cùng (−∞)

nếu

∀M > 0, ∃n0 , ∀n > n0 ⇒ an < −M.
Ký hiệu là lim an = −∞.
n→+∞

Dãy {an , n = 1, 2, ...} được gọi là dãy vô cùng lớn nếu:

∀M > 0, ∃n0 , ∀n > n0 ⇒ |an | > M.
Dãy {an , n = 1, 2, ...} là dãy vô cùng lớn khi và chỉ khi dãy

1
, n = 1, 2, ...
an

là dãy vô cùng bé.

1.3.2

Giới hạn của hàm số

Định nghĩa 1.3.2. Cho tập con A ⊂ R, f : A → R và a là một điểm tụ của tập

A. Khi đó: số thực l được gọi là giới hạn của hàm số f (x) tại điểm a nếu:
∀ε > 0, ∃δ = δ (a, ε) , ∀x ∈ A :, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − l| < ε.


13

Ký hiệu: lim f (x) = l hay f (x) → l, (x → a) .

x→a

Nếu hàm số f (x) có giới hạn tại điểm a thì giới hạn đó là duy nhất.
Nếu α (x) là hàm số xác định trên A và lim α (x) = 0 thì α (x) được gọi là
x→a
một đại lượng vô cùng bé khi x → a.
Sự bảo toàn thứ tự qua giới hạn

Nếu tồn tại các giới hạn: lim f (x) = A, lim g (x) = B, A, B ∈ R. Khi đó
x→a

x→b

1) lim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x) = A ± B
x→a

x→a

x→a

2) lim [f (x) .g (x)] = lim f (x) . lim g (x) = A.B
x→a

x→a

x→a

lim f (x)

A

f (x) x→a
=
= .
x→a g (x)
lim g (x)
B

3) Nếu B = 0 thì lim

x→a

4) Nếu f (x) ≤ g (x) trong một lân cận của a thì: lim f (x) ≤ lim g (x) .
x→a

x→a

Trong thực hành ta có thể sử dụng các giới hạn cơ bản sau
sin x
1) lim
= 1.
x→0 x
1
2) lim (1 + α) α = e.
α→0

ln (1 + x)
= 1.
x→0
x
ax − 1

4) lim
= ln a, a > 0, a = 1.
x→0
x m
(1 + x) − 1
5) lim
= m.
x→0
x

3) lim

So sánh các vô cùng bé

Cho α (x) , β (x) là các vô cùng bé khi x → a.
α (x)
1) Nếu lim
= m = 0 thì ta nói α (x) , β (x) là các vô cùng bé cùng bậc
x→a β (x)
khi x → a.
α (x)
Nếu lim
= 1 thì α (x) , β (x) là các vô cùng bé tương đương khi x → a
x→a β (x)
và viết: α (x) ∼ β (x) , (khi, x → a) .
Chú ý rằng nếu α (x) ∼ β (x) , β (x) ∼ γ (x) , (khi, x → a) thì

α (x) ∼ γ (x) , (khi x → a) .

14

Trong việc tìm giới hạn người ta có thể thay các vô cùng bé bới các vô cùng
bé tương đương.
2) Nếu α (x) ∼ m(x − a)k , (k > 0) khi x → a thì m(x − a)k được gọi là
phần chính của α (x) khi x → a.
3) Các cặp vô cùng bé tương đương đáng lưu ý: Khi x → a ta có

sin x ∼ x, tg x ∼ x, arcsin x ∼ x, arctg x ∼ x, ln (1 + x) ∼ x,
ax − 1 ∼ x. ln a, (1 + x)m − 1 ∼ mx.
1.3.3

Công thức Taylor

Công thức Taylor với số hạng dư Peano

Giả sử
1) Hàm số f (x) xác định và có đạo hàm đến cấp n−1 trong lân cận (a − δ, a + δ)
của điểm a;
2) Có đạo hàm cấp n tại điểm a: f (n) (a). Khi đó trong lân cận (a − δ, a + δ)
hàm số f (x) có thể khai triển thành dạng

f (k) (a)
(x − a)k + O ((x − a)n )
k!
k=0
n

f (x) =

trong đó O ((x − a)n ) là vô cùng bé bậc cao hơn (x − a)n khi x → a.
Khai triển Taylor của các hàm số sơ cấp cơ bản

xn
x2
+ ... +
+ O (xn ) .
2!
n!
2n−1
x3 x5
n−1 x
2) sin x = x −
+
− ... + (−1)
+ O x2n .
3!
5!
(2n − 1)!
2
4
x
x
x2n
3) cos x = 1 −
+
− ... + (−1)n
+ O x2n+1
2!
4!

(2n)!
m (m − 1) 2
m (m − 1) ... (m − n + 1) n
4) (1 + x)m = 1 + mx +
x + ... +
x
2!
n!
+ O (xn ).
n
x2
n−1 x
5) ln (1 + x) = x −
+ ... + (−1)
+ O (xn ).
2
n
1) ex = 1 + x +


15

Chương 2
Phép nội suy
2.1

Bài toán nội suy tổng quát

Giả sử hàm số y = f (x) được cho bởi bảng (2.1)

x x0 x1 x2 ... xn
y y0 y1 y2 ... yn
Bảng 2.1
hoặc bởi một biểu thức khá phức tạp. Ta phải tính giá trị hoặc đạo hàm của hàm
số tại một điểm bất kì sẽ gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, ta sẽ tìm một hàm dễ tính
toán và có sai số với f (x) là nhỏ nhất. Phép tìm một hàm như vậy gọi là phép
nội suy. Trong lớp các hàm số liên tục và khả vi thì đa thức là một hàm dễ tính
toán nhất và đặc biệt ta có kết quả của Weierstrass như sau: với hàm f (x) liên
tục trên đoạn [a, b] và với mọi số ε > 0 đều tồn tại một đa thức xác định trên
đoạn [a, b] sao cho |f (x) − p (x)| < ε, ∀x ∈ [a, b].
Vì vậy, chúng ta hay tìm đa thức làm hàm gần đúng với f (x), đa thức như
vậy gọi là đa thức nội suy.
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử X là một không gian tuyến tính thực (hoặc phức) n
chiều. Cho trước các phiếm hàm tuyến tính Li ∈ X ∗ i = 1, n và các số thực
(phức) yi i = 1, n . Tìm x ∈ X sao cho

Li (x) = yi i = 1, n .

(2.1)


16

Bài toán (2.1) được gọi là bài toán nội suy tổng quát.
Nếu yi = 0 i = 1, n thì bài toán (2.1) trở thành bài toán: Tìm x ∈ X sao
cho

Li (x) = 0 i = 1, n .

(2.2)

Khi đó (2.2) được gọi là bài toán nội suy thuần nhất.
Định lý 2.1.1. Bài toán nội suy tổng quát (2.1) có lời giải duy nhất khi và chỉ
khi các phiếm hàm {Li }n1 ⊂ X ∗ là độc lập tuyến tính.
Hệ quả 2.1.1. Bài toán (2.1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bài toán (2.2)
chỉ có nghiệm tầm thường x ≡ 0.
Định lý 2.1.2. Giả sử các phiếm hàm {Li }n1 ⊂ X ∗ độc lập tuyến tính. Khi đó,
1) Tồn tại duy nhất các phần tử {xj }n1 ⊂ X ∗ sao cho:

Li (xj ) = δij i, j = 1, n , δij =

0, i = j
1, i = j

n

với ∀x ∈ X , ta có x =

Li (x) xi ;
i=1

2) Bài toán (2.1) có lời giải duy nhất x∗ =

2.2
2.2.1

yi x i .

Công thức nội suy Lagrange
Công thức nội suy Lagrange

Giả sử, hàm số f (x) được cho bởi bảng (2.1). Các giá trị x0 , x1 , ..., xn được
gọi là các mốc nội suy.
Để xây dựng công thức nội suy Lagrange của hàm f (x) trên đoạn [x0 , xn ],
trước hết ta xây dựng các đa thức bậc n sao cho tại các điểm x0 , x1 , ..., xn các
đa thức này thỏa mãn:

Pi (xj ) = δij =

0, i = j
1, i = j


17

Đa thức Pi (x) có n nghiệm x0 , x1 , ..., xi−1 , xi+1 , ..., xn nên nó phải có dạng

Pi (x) = ai (x − x0 ) (x − x1 ) ... (x − xi−1 ) (x − xi+1 ) ... (x − xn )
Mặt khác,

1 = Pi (xi ) = ai (xi − x0 ) (xi − x1 ) ... (xi − xi−1 ) (xi − xi+1 ) ... (xi − xn )
Vậy

Pi (x) =

(x − x0 ) (x − x1 ) ... (x − xi−1 ) (x − xi+1 ) ... (x − xn )
.
(xi − x0 ) (xi − x1 ) ... (xi − xi−1 ) (xi − xi+1 ) ... (xi − xn )

Đa thức nội suy P (x) thỏa mãn điều kiện P (xi ) = yi , i = 0, n có dạng

n

P (x) =

yi Pi (x) và khi đó
i=0
n

P (x) =

yi
i=0

(x − x0 ) (x − x1 ) ... (x − xi−1 ) (x − xi+1 ) ... (x − xn )
(xi − x0 ) (xi − x1 ) ... (xi − xi−1 ) (xi − xi+1 ) ... (xi − xn )

được gọi là công thức nội suy Lagrange.
Ví dụ 2.2.1. Hàm f (x) được cho bằng bảng sau

x
−3 −2 1 3
f (xi ) 58 19 4 −1
Tìm đa thức nội suy Lagrange của f(x)?
(x + 2) (x − 1) (x − 3)
(x + 3) (x − 1) (x − 3)
f (x) = 58
+ 19
(−3 + 2) (−3 − 1) (−3 − 3)
(−2 + 3) (−2 − 1) (−2 − 3)
(x + 3) (x + 2) (x − 3) (x + 3) (x + 2) (x − 1)

+4
−
(1 + 3) (1 + 2) (1 − 3)
(3 + 3) (3 + 2) (3 − 1)
58 3
19 3
=−
x − 2x2 − 5x + 6 +
x − x2 − 9x + 9
24
15
1
1 3
x + 4x2 + x − 6
+ x3 + 2x2 − 9x − 18 −
6
60
Vậy

f (x) = −x3 +

23 2 5
x − x − 6.
6
6


18

2.2.2

Sai số của phép nội suy

Giả sử P (x) là đa thức nội suy bậc n của f (x) trên [a, b], tức là P (xi ) =

f (xi ) , i = 0, n. Giả sử f (x) là hàm khả vi liên tục đến cấp n + 1 ký hiệu
M = sup f (n+1) (x) ta có công thức đánh giá sai số như sau
a≤x≤b

|f (x) − P (x)| ≤

M
(n+1)!

|(x − x0 ) ... (x − xn )|.

Ví dụ 2.2.2. Hãy đánh giá sai số của hàm f (x) = sinx tại x = 60 khi thay
hàm f (x) bởi đa thức nội suy có được từ 4 mốc

π
7π
, x1 =
,
36
180
Ta có f (x) = sinx; n = 3;
x0 =

a=

x2 =

π
,
20

x3 =

11π
.
180

π
11π
π
= 5◦ ; b =
= 11◦ ; x =
= 6◦ ; f (4) (x) = sinx.
36
180
30

Do đó,

M = sup f (4) (x) = sin 11◦ = 0, 190809.
a≤x≤b

Ta có đánh giá

|sin 6◦ − P (6◦ )| ≤

0, 190809
4!

π
π
−
30 36

π
7π
−
30 180

π
π
−
30 20

π
11π
−
30 180

1, 106.10−9 .
2.2.3

Mốc nội suy

Khi ước lượng sai số của đa thức nội suy, ta có

|P (x) − f (x)| ≤

M
|ωn+1 (x)|
(n + 1)!

n

(x − xi ).

với ωn+1 (x) =
i=0

Trong mục này ta sẽ chọn các mốc nội suy xi ∈ [a; b] để max |ωn+1 (x)| là
x∈[a;b]

nhỏ nhất.


19

Từ giả thiết f (x) xác định trên đoạn [a; b], bằng một phép đổi biến

t=

1
[2x − (a + b)]
b−a

thì đoạn [a; b] được chuyển thành [−1; 1] với các mốc nội suy thuộc đoạn

[−1; 1].
Đa thức Chebyshev

Xét hàm số Tn (x) = cos (n.arccos x) với |x| ≤ 1, n ∈ R∗ . Ta có

T1 (x) = x
T2 (x) = 2x2 − 1
T3 (x) = 4x3 − 3x
T4 (x) = 8x4 − 8x2 + 1, ...
Dễ dàng chứng minh được Tn+1 (x) = 2Tn (x) − Tn−1 (x).
Do đó, Tn (x) là đa thức đại số với bậc n và hệ số cao nhất là 2n−1 . Đa thức
Tn (x) được gọi là đa thức Chebyshev.

2i + 1
π,
2n
i = 0, 1, ..., (n − 1). Khi đó, các nghiệm của Tn (x) đều thuộc [−1; 1].
iπ
2) max |Tn (x)| = 1 khi x = xi = cos với i = 0, n. Hơn nữa Tn (xi ) = 1
x∈[−1;1]
n
với i chẵn và Tn (xi ) = −1 với i lẻ.
Nhận xét 2.1. 1) Tn (x) có đúng n nghiệm và các nghiệm là x = cos

Chọn mốc nội suy

Ký hiệu E là tập tất cả các đa thức hệ số thực bậc n (n ≥ 1) với hệ số cao
nhất là 1 trên [−1; 1]. Xét phiếm hàm ϕ : E → R+ xác định bởi: ϕ (P ) =

max |P (x)| với mọi P (x) ∈ E .

x∈[−1; 1]

Định lý 2.2.1. Đa thức

1
2n−1

Chứng minh. Thật vậy, ϕ

Tn (x) làm cực tiểu phiếm hàm ϕ.
1

Tn (x)
2n−1

=

1
2n−1