Luận văn Điểm bất động của ánh xạ kiểu Caristi đa trị trong không gian Metric nón

B ộ G IÁ O D Ụ C VÀ ĐÀO TẠ O

T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s ư P H Ạ M H À NỘI 2

Đ I Ệ P T H Ị H Ồ N G S IN H

Đ IỂM BẤT Đ Ộ N G C Ủ A
Á N H X Ạ K IỂU C A R IST I Đ A TR Ị
TR O N G K H Ô N G G IA N M E T R IC N Ó N

LU Ậ N VĂN TH ẠC s ĩ TO ÁN HỌC


B ộ G IÁ O D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO

TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2

Đ I Ệ P T H Ị H Ồ N G S IN H

Đ IỂM BẤT Đ Ộ N G C Ủ A
Á N H X Ạ K IỂU C A R IST I Đ A TR Ị
TR O N G K H Ô N G G IA N M E T R IC N Ó N

C h u y ê n n g à n h : T o á n g iả i tíc h
M ã số: 6 0 4 6 01 02

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TO ÁN HỌC

N g ư ờ i h ư ớ n g d ẫ n k h o a h ọ c:
TS. H à Đ ức V ượng

Hà Nội - 2016


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn th àn h tại Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng.
Tác giả chân th àn h cảm ơn TS Hà Đức Vượng đã tận tình
hướng dẫn để cho tác giả hoàn thành luận văn Thạc sĩ.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô giáo và cán bộ công
nhân viên của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm giúp
đỡ tác giả trong suốt quá trìn h học tập và hoàn thành luận văn tố t
nghiệp.
Tác giả xin được cảm ơn gia đình, bạn bè, người th ân đã động
viên, cổ vũ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả học tập và hoàn
thàn h luận văn.

Hầ Nội, tháng 06 nẫm 2016
Tác giả

Đ iệp T hị H ồng Sinh


LỜI CAM Đ O A N
Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi tự làm dưới sự hướng
dẫn của TS Hà Đức Vượng.
Trong quá trìn h nghiên cứu và làm luận văn, tôi đã kế th ừ a thành
quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Các kết quả trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hầ Nội, thắng 06 năm 2016

Tác giả

Đ iệp T hị H ồng Sinh


Mục lục

B ả n g k ý h iệ u

1

M ở đầu

2

1

6

K iế n th ứ c c h u ẩ n b ị

1.1 Không gian metric

................................................

1.2 Không gian metric Hausdoríí

............................

6

18

1.3 Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Caristi
đa trị trong không gian m e tric .............................
2

28

Đ iể m b ấ t đ ộ n g c ủ a á n h x ạ k iể u C a r is ti đ a tr ị tr o n g
k h ô n g g ia n m e tr ic n ó n

34

2.1 Không gian metric n ó n .........................................

34

2.2 Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Caristi
đa trị trong không gian metric n ó n ...................

47

K ế t lu ậ n

57

T ài liệ u t h a m k h ả o

58

Bảng ký hiệu
N

Tập số tự nhiên

R

Tập số thực

€

Tập số phức

ộ

Tập rỗng

Rn

Không gian Euclide n chiều

(X ,d)

Không gian metric

(X , dp)

Không gian metric nón

K

Hằng số chuẩn tắc

E

Không gian Banach thực

in t ( P )

Phần trong của p

C [a,b}

Tập các hàm số thực liên tục trên
đoạn[a, b]


Quan hệ thứ tự theo nón p

N (X )

Họ các tập con khác rỗng của X

C B (X)

Họ các tập con đóng, bị chặn khác rỗng
của X

1


Mở đầu
1. L ý d o ch ọ n đ ề tà i
Xét ánh xạ T từ tậ p X vào họ các tập con của X ,

T : X —>• 2X . Điểm X G X thỏa mãn X E T x th ì X được gọi là
điểm bất động của ánh xạ đa trị T trên tập hợp X .
Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này đã hình th àn h nên lý
thuyết điểm bất động, gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học lớn
như Brouwer, Banach, Shauder, K akutani, Ky F a n ,...
Năm 1976, Định lý điểm bất động Caristi[l] được công bố. Sau
đó nhiều nhà toán học đã mỏ rộng kết quả này theo nhiều hướng
khác nhau.
Năm 2006, hai nhà toán học người Trung Quốc là Y. Feng và

s. Liu công bố kết quả về điểm b ất động của ánh xạ kiểu Caristi

[4].

Năm 2007, hai nhà toán học người Trung Quốc là H. L. Guang
và

z. Xian

đã giới thiệu khái niệm metric nón, bằng cách thay tập

số thực R trong định nghĩa metric bỏi không gian Banach thực [5].
Từ đó nhiều kết quả về điểm bất động cho lớp không gian này đã lần

lượt được công bố.

2


Năm 2012, các nhà toán học người Hàn Quốc là
J.

s.

Bae và K.

s.

s.

H. Cho,

Na đã mỏ rộng kết quả của Y. Feng và

s. Liu

sang không gian metric nón, kết quả được công bố trong bài báo

Fixed point theorems for multivalued contractive mappings and
multivalued Caristi type mappings in cone metric spaces [3] đó là
Định lý điểm bất động của ánh xạ co đa trị và ánh xạ kiểu Caristi
đa trị trong không gian metric nón. Đây là một kết quả khá mới về
điểm bất động.
Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về điểm b ất động, điểm

bất động của ánh xạ kiểu Caristi đa trị trong không gian metric nón,
được sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng, tôi chọn đề tài nghiên
cứu:
“Đ iể m b ấ t đ ộ n g c ủ a á n h x ạ k iể u C a r is ti đ a tr ị tr o n g
k h ô n g g ia n m e tr ic n ó n .”

2. M ụ c đ ích n g h iê n cứ u
Nghiên cứu về điểm b ất động của ánh xạ ánh xạ kiểu Caristi
đa trị trong không gian metric nón.

3. N h iệ m v ụ n g h iê n cứu
Nghiên cứu về không gian metric nón và ánh xạ kiểu Caristi đa
trị trong không gian metric nón.

3


4. Đ ố i tư ợ n g và p h ạ m v i n g h iê n cứ u
Nghiên cứu về "Điểm bất động của ánh xạ kiểu Caristi đa trị
trong không gian metric nón" dựa trên ba bài báo:
1. Fixed point theorem for multi-valued contractive mappings and

multi-valued Caristi type mappings của Y. Feng,

s. Liu

[4].

2. Cone metric spaces ang fixed point theorems of contractive
mappings của H. L. Guang, z. Xian [5].

3. Fixed point theorems for multivalued contractive mappings and

multivalued Caristi type mappings in cone metric spaces của
H. Cho, J.

s. Bae and

K.

s. Na

s.

[3],

5. P h ư ơ n g p h á p n g h iê n cứ u
Phương pháp phân tích và tổng hợp, vận dụng kiến thức về giải
tích hàm để phục vụ cho mục đích nghiên cứu.

6. D ự k iến đ ó n g g ó p củ a lu ậ n văn
Luận văn trìn h bày một cách hệ thống về điểm bất động của
ánh xạ kiểu Caristi đa trị trong không gian metric nón.
Luận văn gồm 2 chương nội dung:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

4


Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về
không gian metric, không gian metric Hausdorff. Sau mỗi khái niệm

chúng tôi đã đưa ra ví dụ để minh họa.
Tiếp theo chúng tôi trìn h bày chi tiết định lý điểm bất động Caristi.
Cuối cùng chúng tôi trìn h bày kết quả về điểm b ất động của ánh xạ
kiểu Caristi.
Chương 2. Điểm bất động của ánh xạ kiểu Caristi đa trị trong
không gian metric nón.
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản
về không gian metric nón cùng các ví dụ minh họa.
Sau đó chúng tôi trìn h bày định lý điểm bất động kiểu Caristi đa trị
trong không gian metric nón. Kết này được
K.

s. Na công bố năm

s. H.

Cho, J. B. Bae và

2012.

Hầ Nội, tháng 06 nẫm 2016
Tác giả

Đ iệp T hị H ồng Sinh

5


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

Chương này chúng tôi trìn h bày một số kiến thức cơ bản về
không gian metric, không gian metic Hausdorff cùng các ví dụ minh
họa. Sau đó chúng tôi trìn h bày định lý điểm bất động Caristi và định
lý điểm bất của ánh xạ kiểu C aristi đa trị trong không gian metric.

1.1

K h ô n g g ia n m e tr ic

Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .1 . [1] Không gian metric là một tập hợp X 7^ ộ

cùng với một ánh xạ d : X X X —> R ; thỏa mẫn các điều kiện
sau:
1. d ( x , y) > 0, d ( x , y) = 0 <í=> X = y : Va;, y e X .
2. d(x, y) = d ( y , x ) , \ f x , y e X .
3. d ( x , ỳ) < d ( x , z) + d ( z , y), Va;, y , z £ X .
Ánh xạ d gọi là metrỉc trên X , d ( x : ỳ) gọi là khoảng cách giữa
hai phần tử X và y.
6


Các phần tử của X gọi là các điểm.
Không gian metric được kí hiệu là (X , d).

V í d ụ 1 .1 .1 . Trong không gian R^ (k là một số nguyên dương),

ta xác định khoảng cách giữa hai điểm
X = {xu x 2ì x 3, x

k) và y = (yl , y 2ì 2/3,

d{x,y) =

y k) như sau:

{Xi - y i ý .

(1.1.1)

Khỉ đó d (x, y) là một metric và (R k,d) là một không gian
metric, được gọi là không gian Euclỉde k chiều.

Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .2 . [1] Cho không gian metric

(x, d), { x n} là

một dãy các phần tử của X . Dãy {a;n} được gọi là hội tụ đến
điểm Xq, nếu Ve > 0, 3 n 0 E N*; vớỉ Vn > n 0 thì d (xn, Xq) < £.
Kí hiệu lim x n = x ữ hay x n —>• x 0 khi n —> 00.
n —>00

Điểm Xq được gọi là giới hạn của dãy {Xn}.

V í d ụ 1 .1 .2 . Trong R fc ta xét metrỉc thông thường. Xét phần tử

a = ( a 1} a 2j •••; dk) và dẫy { x n} với x n = (x^, x Ị , x % ) . Ta có
d ( x k: a) =

(Xị - dị)2 > \xnị - d i ị , Vi = 1 , 2 ,..., k.

Từ đây suy ra
lim x n = a trong (R fe, d)

n —>00

lim X1
) = dị trong R , \/i = 1, 2

n —>00

7

, n.


Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .3 . [1] Cho không gian metric ( X : d). Dãy
{ x n}

c

X được gọi là dãy Cauchy (dẫy cơ bản), nếu

Ve > 0, 3 n ữ G N*, V n, m > n 0 thì d (x n, x m) < £, hay
lim

n,m —>oo

d ( x n, x m) = 0.

V í d ụ 1 .1 .3 . Cho không gian metric (C [01], d) với metric d được

định nghĩa như sau:

d(x,y)= [

Ix(t)

Jo

-y(t)\dt.

( 1. 1.2)

c Cị01] với

Xét dẫy

0

xn ( t )

= <

nt

0< t< ị
<- í —
<• 47 + n1
47 —

- £

ì4 + ìn < í —<; 1 .

Khi đó { x n} là dãy Cauchy trong không gian (C [o i],d ) .

Chứng minh. V n, ?71 G N * ,m > n ,V í G [0,1] ta có
-

xm(t)\dt

rì

f\+ ì
\xn (t ) - x m (t)\dt + /
\xn (t ) J0
JI
/

8

(í)| dt


+
/* 4

=

70

í

J 41.1
' n

\xn (t ) -

(í) d í|
r1

/* 4 + ầ

|0 —0| dt +

\xn (t) —x m (t) dtị + /

ÌU
ỈTì
4

4

r

J

|1 —l | d t

4+ n

\xn (t) - Xm (t)dt\.
4

Vì

K (í) -

(í)| < 1, Vm, n e N*, Vt e [0,1],

nên ta có

r\+ì

/

\xn (t) - x m (í)| d t <

4

rì+ì
4

dt

1

n

Suy ra

0 < d( xn:xm) <

n

Mà

lim — = 0,
77,

n —¥00

theo nguyên lý giới hạn kẹp ta có

lim d( xn, x m) = 0.

n ,m —>00

Vậy { x ny là một dãy Cauchy trong (C[o 1], d ),

□
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .4 . [1] Không gian metric ( X : d) được gọi là

không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ tới một
9


điểm thuộc X .

V í d ụ 1 .1 .4 . C[a ft] là không gian metric đầy đủ, Cịab-ị là không

gian metric không đầy đủ.
• Không gian Cịatiị là không gian metric đầy đủ.

Chứng minh. Cho {a?n} là dãy Cauchy trong Cịab] với metric d.
Điều này có nghĩa là

d (xn, xm) = m a x \xn ( t ) —xm (í)| và lim d (xn, xm) = 0.
t-»[o ,b ]

n , m —>00

Với mỗi t G [a, b] hiển nhiên ta có

\xn (t) - xm (í)| < d ( x n, x m),
suy ra { x n (í)} là dãy số thực Cauchy trong R nên dãy hội tụ.
Đ ặt X (t ) = lim xn (t ) , Vt G [a, b]. Ta còn phải chứng minh
n —>oo

X (t) E c [a, bị và lim xn — X trong C\a b].
n —» 0 0

’

Lấy £ > 0, sẽ tồn tại số tự nhiên n Qsao cho với mọi Ti, m > n Qvà
với mọi t G [a, b] ta có

\xn {t) - x m (t) I < £.

(1.1.3)

Cho m —> oo, từ biểu thức (1.1.3), ta được \xn (t ) —X (¿)| < £ ,
Vn và \/t G [a, 6].
Vậy xn (t) hội tụ đều đến X it) trên [a, b], liên tục trên [a, 6], tức là

X (t ) G Cịa b], ta có lim d ( xn, x) = 0.
Dó đó không gian Cịabị là không gian đầy đủ.

□
10


• Không gian Cị aÒỊ là không gian metric không đầy đủ.
Chứng minh. Không m ất tính tổng quát, ta xét trường hợp
[a, bị = [0, l]và xét dãy { x n (í)} như sau

0< t< \
-2 +1 —
< t <— 1
2n —

x n ( t ) = < 0,
n + l - 2

nt,

với n, m G N, m > n.
Ta có
- x m (t ) \ đ t

- x m (t ) \ d t .
2

Vì \xn (t ) - x m (í)| < 2 nên d (xn, x m) <

2dí = ị.
2

n

Mà lim - = 0 nên theo nguyên lý giới hạn kẹp ta có
n-»00 n
lim d ( x n:x m) = 0.
n, m—>00

Vậy { x n (í)} là một dãy Cauchy trong Cịa 6Ị .
Tuy nhiên ta chứng minh { x n (í)} không hội tụ trong Cịa by
T h ật vậy X (t ) là một hàm bất kì trong C[ồ iy

11


X ét h àm số gián đ oạn trê n [0,1] nh ư sau:
'

M

Ẽ

[0 , | ]

y (í)
. 0, í e
Như thế

[ Ì ,1] .

X (t) Ỷ y {t) nên phải có t 0 G [o, |] chẳng hạn để

y {to) 7^ X (tQ). Hơn nữa trên [o, ỵ\ cả hai hàm X {t) , y {t) cùng liên
tục nên ta có

0<

x{t) — y (t) \ dt.

Từ đó

0 < Í \x (t) — y (t) \ dt <
•'0

< [

J0

Ị

-'0

\x (t) - x n (t ) \ d t + [

\x (i) — y (t) \ dt

\xn (t) - y (t)\dt.

■'O

M ặt khác ta có

- yn (t)\dt =
Do lim 77 = 0 nên ta có
n—
Too 4n
lim
71—
>00

- yn {t)\dt - 0.

12

1
4n


Vì vậy với n đủ lớn

[

Jữ

Ix ( t ) - x n{t)\ d t > ^ [ 2 Ix ( t ) - y { t ) \ d t > 0
2 J0

tức là x n ( t ) không thể hội tụ về X (;t ) trong C p !Ị.

Nói cách khác, không có điểm nào trong CjQ

là giới hạn của dãy

Cauchy { x n (í)} .
Vậy không gian Cị 6j là không gian metric không đầy đủ.

□
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .5 . [1] Cho hai không gian metric ( x , d ì ) và

(y, d2). Ánh xạ T : X —> Y được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số
k e [0, 1 ) sao cho
d2 ( T x , T y ) < kdị { x : y ) , Vx, y £ X.

Đ ịn h n g h ĩ a 1 .1 .6 . [1] Cho X : Y là hai không gian Tô pô. Ánh

xạ T : X —>■Y được gọi là nửa liên tục trên tại XQ£ X nếu mọi
tập mở G

c

Y , chứa T x 0 đều tồn tại lận cận Ư của XQ trong X

sao cho T ( u )

c

G.

Nếu T là nửa liên tục trên tại mọi điểm X £ X thì T là nửa liên
tục trên trên X .

13


Đ ịn h n g h ĩ a 1 .1 .7 . [1] Cho X , Y là hai không gian tô pô. Ánh

xạ T : X —>• Y được gọi là nửa liên tục dưới tại XQG X nếu mọi
tập mở G trong Y mà G n T x ữ 7^ ộ đều tồn tại lân cận u của

XQ trong X sao cho T ( u ) n G 7^ ộ. Nếu ánh xạ T là nửa liên
tục dưới tạỉ mọi điểm X G X thì T là nửa liên tục dưới trên X .

N h ậ n x é t 1 . 1 . 1 . Ta có A = { x G X : T x < a } được gọi là tập

mức dưới (mức Oi)của ánh xạ T .

T là ánh xạ nửa liên tục dưới khi và chỉ khi Ả là tập hợp đóng.
Trong định nghĩa trên, nếu Y = R thì T được gọi là hàm nửa
liên tục dưới tại XQG X , nghĩa là \fs > 0 ; tồn tại lân cận u của
x 0 V x £ u ta có
T ( x ) > T (x 0) - £.
Đ ịn h lý 1 . 1 . 1 . [1] (Caristi, 1976 [1]) Cho ( x , d ) là một không

gian metric đầy đủ và

: X —>• ( —00, + o o ) là hàm số nửa liên

tục dưới và bị chặn dưới.
Cho ánh xạ T : X —> X thỏa mẫn điều kiện
d (x, T x ) < ip(x) —

(T x ) , Va; G X .

(1.1.4)

Khi đó T có điểm bất động trong X .

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh trong (X , d ),
mọi ánh xạ T là ánh xạ co th ì đều thỏa mãn điều kiện (1.1.4).
14


T h ật vậy, giả sử T : X —> X là ánh xạ co, tức là tồn tại k G [0,1)
sao cho

d ( T x , T y ) < k d ( x : y ) , Va;, y G X .
Vậy ta có

da Í(x
T , 7i M
x ) _- d (x
1 _’Tkx ')

k d {1x_, Tkx ) .

M ặt khác do T là ánh xạ co ta lại có d ( T x : T (T xỴ) < k d ( X , T x).
Do đó ta có

d (x,T x) <
Đ ặt ip {x) —

d(x,Tx)

d ( T x , T {Tx))

1—k

1 —k

thì ip {x) là hàm liên tục và ta có

d (x, T x ) < ( f ( x) — (f ( T x ) .
Bây giờ ta xậy dựng quan hệ thứ tự trên X như sau:

X < y <£> d (x, y) < (f (x) - (f (y ) , V z, y e X .
Hiển nhiên " < " là một quan hệ th ứ tự và ip là một hàm không tăng.
Nghĩa là nếu X < y thì

Bây giờ ta chứng minh (X , d) với quan hệ thứ tự
cực đại. Ta lấy Xị G X một cách tù y ý và đặt

15

có phần tử


s (x i) = { y G X : x x < y }
= { y e X : d ( x u y ) } < ( p O i) -

= { y e X : d ( x u y) + (p (y) <

Do metric d ( x i , .) là hàm liên tục và (f là hàm liên tục suy ra (f là
hàm nửa liên tục dưới nên ta có s (^ i) là tập hợp đóng.
Đ ặt a i = in f {(/? (y) : y G s (íCi)}.
Khi đó 3 x 2 G s ( ^ x) mà

i x 2) < ữi + 1.

Ta đặt

s 0x 2) = { y G s (rci) : x 2 < y }
= { y e s O i) : d ( x 2, y ) < y ( x 2) - ip (y)}
= { y e s (Xi) : d ( x2, y) + if (y) < if (:x 2)} .
Từ tính liên tục của d (x 2, .) và (p ta cũng suy ra tậ p s ( x2) là tập
đóng và s ( x2) c s {xi).
Đ ặt a2 = in f {(/? (y) : y G s ( z 2)}.
Khi đó 3 x 3 G s ( x2), tiếp tục quá trình như trên ta thu được một
dãy { x n} với các tính chất:
*^n+1 £ $ (*£71)

ip {xn+1) < a n 3- ị i (an = in f {if (y) : y G s ( z n)})
s ( x n) đóng và s {xn+1) c s ( xn) , n = 1, 2, 3 ,...
Ta kí hiệu dn là đường kính của tập hợp s (#„).

16


T h eo đ ịn h n g h ĩa t a có

s (x n) = {y e s On-i) : x n < y } .
Lấy

X, y tù y ý trong s (a;n), ta có xn < X,

xn < y nên ta có

d{xn,x) < (fi{xn) - ( p ( x ) .
d{xn, y ) < cp{xn) - i p ( y ) .
Vậy

d (x, y) < d (x, x n) + d( xn:y) < 2cp (xn) - [cp (x) - V? (y)].

M ặt khác, từ cách xác định các an và
( x n) ^ Q-n-1 +

xn ta có

n_ 1?

a„,
«n,

an > ữ n -ij với n = 1 ,2 ,3 ,....
Do đó

d (x, y) < 2 ^an_i + —
< 2 ( an +

71 — 1.

— 2aT

Vx, y e s ixn) .

n —1’
Ta đặt

1

_ 2ar

dn = m a x { đ ( r r , y) : x , y E s (íCn)} là đường kính của tập

s (xn) và ta có lim - 3- = 0 ta suy ra lim dn = 0.
n —>00 n

1

71—»00

Do đó {5* (íEn)} là dãy các tập đóng, th ắ t dần, lồng nhau trong X

17

là không gian đầy đủ, nên theo nguyên lý C antor ta có
00

n

s M

= M

•

n= 1

Bây giờ ta chứng minh
có

u <

V

T h ật vậy, vì
Lại vì

u=

thì

u <

u<
V

u là phần tử cực đại trong (X , < ) , tức là nếu

V.
V

nên

nên Xi <
V

V

do đó

G S i x , ) mà

Cứ tiếp tục như vậy ta có u G

ns

V

V

G

s (aq).

G S ( Xl ) nên

V

G S ( x 2).

s ( xn), Vn = 1,2,3, ..., tức là

00

V

G

i x n)

—

71—1
theo quan hệ thứ tự

hay

u=

V

và u là phần tử cực đại trong

X

Cuối cùng ta chứng minh u là điểm bất động của ánh xạ T trên X .
Theo giả th iết ta có d ( u , T ù ) < (p ( u ) — ip ( T u ) .
Khi đó theo cách xây dựng quan hệ thự tự ta có

u < Tu. Nhưng vì

u là phần tử cực đại nên ta có u — Tu.
Vậy

u là điểm bất động của ánh xạ T trên X .

□
1.2

K h ô n g g ia n m e tr ic H a u sd o r ff
Cho (X , d) là một không gian metric. Kí hiệu C B ( X ) là họ

các tậ p con khác rỗng, đóng và bị chặn của X . Ta có một số khái
niệm sau đây:

18


Đ ịn h n g h ĩa 1 .2 .1 . [1] Khoảng cách từ

A

c

X

G X đến tập hợp

X được xác định bởi:
d (x, A ) = inf { d (x, ỳ) : y G A } .

Đ ịn h n g h ĩa 1 .2 .2 . [1] Với A , B

c

c B (X ), khoảng cách từ tập

hợp A đến tập hợp B được xác định bởi:
d (A, B ) = sup { d ( x ì B ) : X e A } .

Đ ịn h n g h ĩa 1 .2 .3 . [1] Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp

A và B được xác định bởi:
H (A, B ) = max { d (A, B ) , d ( B , A ) }

= m ax

Đ ịn h lý 1 .2 .1 . [2] Cho

sup inf d ( x , y ) , sup inf d ( x , y )
ceĂ y^B

yeB xeA

( x, d) là một không gian metric,

A , B , c G C B (X ). Khi đó ta có:
1. d (A, B ) = 0 khi và chỉ khi A

2.

B

c

3. d { A

c

B.

c thì d (A, C) < d (A, B).

u B , C)

= m a x { d (i4, C ) , d (B , C)}.

ị . d (i4, B ) < d ( A , C ) + d ( C , B ) .
19


Chứng minh. 1. Nếu d (A, B ) = 0 tức là

sup { d (X, B ) : X c A } = 0.
Vậy

d ( x : B ) = 0, Va; e A.
Do

đótồn

tại dãy { y n}

c

B sao cho

lim d (x, y n) = 0.

n-¥ 00

Hay

lim yn = a;.

n—
>00

Vì -B G C-B ( X ) nên 5 là tập hợp đóng, do đó X E B. Suy ra
A c B .

Vậy

d(A,B) = O ^ A c B .
2. Giả s ử B E c B (X ), với X E X ta. cố

d (x, B ) = inf d (x, y ) ,
yeB

d (x, c ) = inf d (x, z)
zeC

Vì y E B =>- y G

c nên
20