Bài Giang TOÁN RỜI RẠC C3 năm 2016 (Đại học Bách Khoa)

8/29/2016

BÀI 3

BÀI TOÁN LIỆT KÊ
Giáo viên: TS. Nguyễn Văn Hiệu

Email:

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

1

1.1. Giới thiệu

Nội dung




1.1. Giới thiệu
1.2. Phương pháp sinh
1.3. Phương pháp quay lui

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

2

1

8/29/2016

1.1. Giới thiệu
Mục đích
 Đưa ra danh sách tất cả các cấu hình có
thể có

Bản chất
 Xác định một thuật toán để theo đó có
thể lần lượt xây dựng được tất cả các
cấu hình đang quan tâm.
Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

3

1.1. Giới thiệu
Nguyên tắc
 Không được lặp lại một cấu hình
 Không được bỏ sót một cấu hình
Lưu ý
 Chỉ giải với bài toán chưa có phương
pháp giải
 Phương pháp Sinh
 Phương pháp quay lui
Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

4

2

8/29/2016

1.2. Phương pháp sinh
Thường sử dụng
 Giải bài toán liệt kê tổ hợp

Điều kiện






Xác định được một thứ tự.
Có cấu hình đầu tiên
Có cấu hình cuối cùng
Xác định được thuật toán để xây dựng
cấu hình kế tiếp
Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

5

1.2. Phương pháp sinh
Bản chất

Chú thích

Generating_method(…) {

<Cấu hình ban đầu>;
stop = islastconfigure(…);
while (stop==0) {
<Cấu hình hiện thời >
<Sinh_kế_tiếp>;
}
}






Stop = =1, là cấu hình
cuối cùng
Stop == 0, chưa phải
là cấu hình cuối cùng
<Sinh_kế_tiếp> là
thuật toán sinh cấu
hình tiếp theo trên thứ
tự đã xác định trước

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

6

3


8/29/2016

1.2. Phương pháp sinh
Ví dụ





Liệt kê dãy nhị phân có độ dài n.
Liệt kê các tập con k phần tử của tập
n phần tử.
Liệt kê các hoán vị của tập n phần tử

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

7

1.2. Phương pháp sinh
Ví dụ 1:
Liệt kê các dãy nhị phân có độ dài n
Bước 1: Xác định thứ tự
nhị phân được biểu diễn:
b = (b1 b2 … bn )
thỏa mản bi €{0,1}
 Định nghĩa thứ tự từ điển:
b = (b1 b2 ... bn) và *b = (*b1 *b2 ... *bn)
thứ tự b < *b,
nếu q(b) < q(*b)
Dãy

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

8

4


8/29/2016

1.2. Phương pháp sinh
Ví dụ 1:
Liệt kê các dãy nhị phân có độ dài n
Bước 2: Cấu hình đầu
và cuối


Khi n = 4 phần tử, có 24
dãy nhị phân được liệt kê

9

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

1.2. Phương pháp sinh
Ví dụ 1:
Liệt kê các dãy nhị phân có độ dài n
Bước 2:

b
0000

0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111

q(b)
0
1
2
3
4
5
6
7

b
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111

q(b)
8

9
10
11
12
13
14
15

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

10

5


8/29/2016

1.2. Phương pháp sinh
Bước 3: xác định thuật
toán
0000

0001

0001

0010

0011

0100

0111

1000

Thuật toán
 Tìm i từ bên phải:
bi = 0.
 Gán lại bi = 1 và
bj = 0 với mọi j> i.
i= n;
while (i>=1 && b[i]==‘1’)
b[i--] = ‘0’;
b[i] = ‘1’;

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

11

1.2. Phương pháp sinh

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

12

6


8/29/2016

1.2. Phương pháp sinh

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

13

1.2. Phương pháp sinh
Ví dụ 1:
Liệt kê các dãy nhị phân có độ dài n
Kết quả

Chương trình
Result

Source Code

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

14

7


8/29/2016

1.2. Phương pháp sinh
Ví dụ 2
Liệt kê các tập con k phần tử của tập n phần tử
Chuẩn bị

Ánh xạ tập n phần tử vào tập
X = {1,2,…,n}
 Mỗi tập con k phần tử của X được biểu diễn bởi
bộ có thứ tự gồm k thành phần:
a = (a1 a2 a3 ..... ak )
thỏa mản 1≤ a1< a2 < a3 <..... < ak ≤ n


Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

15

1.2. Phương pháp sinh
Ví dụ 2
Liệt kê các tập con k phần tử của tập n phần tử
Bước 1: Xác định thứ tự


Định nghĩa thứ tự từ điển:
a = (a1 a2 a3 ...ak) và b = (b1 b2 b3 ... bk)
thứ tự a < b, nếu tồn tại j (1≤ j≤ k):
a1 = b1,...,aj-1= bj-1, aj < bj

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

16

8

8/29/2016

1.2. Phương pháp sinh
Ví dụ 2:
Liệt kê các tập con k phần tử của tập n phần tử
Bước 2:




Các tập con 3 phần tử
của tập 5 phần tử
{1,2,3,4,5}
𝑪𝟑 5 = 10

{ 1,2,3 }
{ 1,2,4 }
{ 1,2,5 }
{ 1,3,4 }
{ 1,3,5 }
{ 1,4,5 }
{ 2,3,4 }
{ 2,3,5 }
{ 2,4,5 }
{ 3,4,5 }

Cấu hình đầu

Cách sinh

Cấu hình cuối

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

17

1.2. Phương pháp sinh
Bước 3: xác định
thuật toán
i=

1 2 3

= {1, 4, 5 }

n-k+i =

3 4

{ 2, , }
{ 2, 3, 4}

Giả sử a = (a1...ak ) không là
cuối cùng.
 B1: Tìm vị trí i đầu tiên từ
bên phải của dãy:
ai ≠ n-k+i.
 B2: Thay ai bởi ai + 1.
 B3: Thay aj bởi ai - i +j,
với j = i+1,...,k



n=5, k=3
a

Thuật toán

5

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

18

9


8/29/2016

1.2. Phương pháp sinh
Thuật toán

Code

Giả sử a = (a1...ak ) không là
cuối cùng.
 B1: Tìm vị trí i đầu tiên từ
bên phải của dãy:
ai ≠ n-k+i.
 B2: Thay ai bởi ai + 1.
 B3: Thay aj bởi ai - i +j,

với j = i+1,...,k


B1:
i=k;
while (a[i]==n-k+i) i-- ;
B2:
a[i]= a[i] + 1;
B3:
for (j=i+1;j<=k;j++)
a[j]= a[i]+ j –i;

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

19

1.2. Phương pháp sinh

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

20

10


8/29/2016

1.2. Phương pháp sinh

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

21

1.2. Phương pháp sinh
Ví dụ 2
Liệt kê các tập con k phần tử từ tập n phần tử
Kết quả

Chương trình

Result

Source Code

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

22

11


8/29/2016

1.2. Phương pháp sinh
Ví dụ 3

Liệt kê hoán vị của tập n phần tử

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

23

1.2. Phương pháp sinh
Minh họa
{1,2,3,4}
{1,2,4,3}
{1,3,2,4}
{1,3,4,2}
{1,4,2,3}
{1,4,3,2}
{2,1,3,4}
{2,1,4,3}
{2,3,1,4}
{2,3,4,1}
{2,4,1,3}
{2,4,3,1}

{3,1,2,4}
{3,1,4,2}
{3,2,1,4}
{3,2,4,1}
{3,4,1,2}
{3,4,2,1}
{4,1,2,3}
{4,1,3,2}
{4,2,1,3}
{4,2,3,1}
{4,3,1,2}
{4,3,2,1}



{1,2,3,4} ?



{4,3,2,1}?



{3,4,2,1}  {4,1,2,3}?



Xây dựng thuật toán
sinh

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

24

12


8/29/2016

1.2. Phương pháp sinh
Định nghĩa

Định nghĩa

 Ánh xa tập n phần tử bất kỳ
vào tập
X = {1,2,…,n}
 Mỗi hoán vị của X được
biểu diễn bởi bộ có thứ tự
gồm n thành phần:
a = (a1 a2 ... an )
thỏa mản ai € X,
i=1,…,n , ap ≠ aq , p ≠ q.

 Thứ tự từ điển:
a = (a1 a2 a3 ...an)
b = (b1 b2 b3 ... bn)
thứ tự a < b,
nếu tồn tại j (1≤ j≤ n):
a1 = b1,...,aj-1= bj-1, aj < bj

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

25

1.2. Phương pháp sinh
Bước 3:

Thuật toán

n= 4
i=

a
k =

1 2 34

= {1 3 4 2}
1

2 3 4

a =

{ 1 3 4 2}

a =

{ , 4 , 3, }

a =

{ , , 2, 3 }

 a = (a1 a2...an ) chưa phải là cuối
cùng.
 B1: Tìm Right -> Left, j đầu
tiên:
aj ≤ aj+1
 B2: Tìm Right -> Left, k đầu
tiên:
ak > aj.

 B3: hoán vị aj và ak
 B4: Lật ngược đoạn aj+1 đến an

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

26

13


8/29/2016

1.2. Phương pháp sinh
Bước 3:
 B1: Tìm Right -> Left, j
đầu tiên:
aj ≤ aj+1
 B2: Tìm Right -> Left, k
đầu tiên:
ak > aj.
 B3: hoán vị aj và ak
 B4: Lật ngược đoạn aj+1
đến an



int j = n-1;
while(a[j]>a[j+1])j--;



int k = n;
while(a[j]>=a[k])k--;





int temp = a[j];
a[j] = a[k]; a[k] = temp;
int l = j+1;int r = n;
while(lint temp = a[l];
a[l]= a[r]; [r]= temp;
l++;
r--;
}

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

27

1.2. Phương pháp sinh

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

28

14

8/29/2016

1.2. Phương pháp sinh

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

29

1.2. Phương pháp sinh

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

30

15


8/29/2016

1.2. Phương pháp sinh
Ví dụ 2

Liệt kê các tập hoán vị của tập n phần tử
Kết quả

Chương trình

Result

Source Code

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

31

Bài toán liệt kê

Nội dung




1.1. Giới thiệu
1.2. Phương pháp sinh
1.3. Phương pháp quay lui

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

32

16


8/29/2016

Phương pháp quay lui
Nội dung
Mục đích
Khái niệm

 Phương pháp
 Mã giả
 Minh họa



Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

33

1.3. Phương pháp quay lui
Mục đích



Khái niệm

Để giải bài toán liệt kê
hoặc tối ưu tổ hợp
Đã giải:
 Bài toán mã đi tuần
 Bài toán xếp hậu
 Bài toán mê cung
 Bài toán người giao
hàng

 Backtracking
 Поиск с возвратом
 Quay lui
 Backtracking

 1950,
 D.H.Lehmer

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

34

17


8/29/2016

1.3. Phương pháp quay lui
Khái niệm


Khái niệm

Backtracking– đi tìm lời
giải cho bài toán mà
nghiệm của nó là một cấu
hình hoặc một tập cấu
hình:
 Tính chất P: xác định
cấu hình
 Tính chất Q: xác định
tính dừng của bài toán

 Một cấu hình hay một nghiệm:

s 1 s 2… s n
si ∈D

 Bài toán:
Liệt kê tất cả các cấu hình của S
S=

s 1 s 2… s n

 Bài toán con:
Giả sử đã tìm được s 1… s i , i < 𝑛
Hãy tìm cấu hình S

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

35

1.3. Phương pháp quay lui
Phương pháp

Bản chất

Giả sử có: s1…s i-1
Tìm giá trị cho s i:

 Một quy trình tìm kiếm theo chiều
sâu






Duyệt ∀ j ∈ 𝐷 đề cử cho si
Mỗ𝑖 j ∈ 𝐷 kiểm tra:
 Nếu j chấp nhận (∈ P ), si = j

Nếu i = n (∈ Q ) , được 1
cấu hình,
 Nếu i< 𝑛, tìm s i + 1.
 Nếu ∀ j không được cấp nhận
(∉ P ) (ngõ cụt) thì quay lại
bước xác định si-1

 Ví dụ tìm số có 3 chữ số đầu tiên
 D = {1,2, 3}
 P:
 (2,1,3) – chấp nhận
 (2,2,3) – không chấp nhận
123
132
213
231
312
321

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

36

18


8/29/2016

1.3. Phương pháp quay lui
Phương pháp
Giả sử có: s1…s i-1
Tìm giá trị cho s i:

Mã giả
void try (i, n){






Duyệt ∀ j ∈ 𝐷 đề cử cho si
Mỗ𝑖 j ∈ 𝐷 kiểm tra:
 Nếu j chấp nhận (∈ P ), si = j

Nếu i = n (∈ Q ) , được 1
cấu hình,
 Nếu i< 𝑛, tìm s i +1.
 Nếu ∀ j không được cấp nhận
(∉ P ) (ngõ cụt) thì quay lại
bước xác định si-1

∀j ∈ Di{

if (< chấp nhận j>){
si = j;
if (i==n)
<Ghi cấu hình S>
else try (i+1, n);
}
}

}

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

38

1.3. phương pháp quay lui
Bắt đầu

S1

D1 ( 2pt)

s2

D2 (2pt)

s3

D3 (2pt)

D4 ( 3pt)

s4
Một cấu
hình
Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

39

19


8/29/2016

1.2. Phương pháp quay lui
Ví dụ
 Liệt kê dãy nhị phân có độ dài n.
 Liệt kê hoán vị tập n phần tử.
 Bài toán Xếp Hậu.

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

40

1.3. Phương pháp quay lui
Ví dụ 1
 Liệt kê xâu nhị phân độ dài n


Biểu diễn dãy nhị phân:
b = ( b1 b2... bn ,)

bi ∈ {0,1}







Try(i,…) - xác định bi
D = {0,1}
P
i = n - được 1 cấu hình ∈ 𝑄

Mã giả
void Try(int i, char b[]){
char j;
for(j='0'; j<='1';j++){
//P – bỏ qua kiêm tra
b[i]=j;
if(i==n) Out(b);
else Try(i+1,b);
}
}

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

41

20

8/29/2016

1.3. Phương pháp quay lui
Bit 1

2

3

4

0

0

0

0  0000
1  0001

Try(1,b)

1

0  0010
1  0011

1

0

0  0100
1  0101

1

0  0110
1  0111

1

0

0

0  1000
1  1001

1

0  1010
1  1011

1

0

0  1100

Mã giả
void Try(int i, char b[]){
char j;
for(j='0'; j<='1';j++){
//P – bỏ qua kiêm tra
b[i]=j;
if(i==n) Out(b);
else Try(i+1,b);
}
}

1  1101
1

0  1110
1  1111
Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

42

1.3. Phương pháp quay lui

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

43

21


8/29/2016

1.2. Phương pháp quay lui
Ví dụ 1

Liệt kê xâu nhị phân độ dài n
Kết quả

Chương trình

Source Code

Result

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

44

1.3. Phương pháp quay lui
Ví dụ 2

Ví dụ 2

 Liệt kê các hoán vị của tập
X = {1,2,…,n}.

 Sử dụng mảng b
b = { b[1], b[2],…, b[n]}








Biểu diễn hoán vị dạng
s1 s2 ... sn
si ∈ X , sp ≠ sq , p ≠ q.
Try(i,…) - xác định si
D = {1,…,n}
Chấp nhận j ∈ 𝐷 nếu j chưa
được chọn.

b[j] =

1 , 𝑗 𝑐ℎư𝑎 𝑐ℎọ𝑛
0 , 𝑗 đã đượ𝑐 𝑐ℎọ𝑛

 Khởi tạo b[j] = 1, ∀𝑗 ∈ 𝐷
 i = n - được 1 cấu hình ∈ 𝑄

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

45

22


8/29/2016

1.3. Phương pháp quay lui
Ví dụ 2

Mã giả

 Liệt kê các hoán vị của tập
X = {1,2,…,n}.

void Try(int i,int b[],int s[]){
int j;
for(j=1;j<=n;j++){
if(b[j]==1){
s[i]=j;
b[j]=0;
if(i==n) Out(s);
else Try(i+1,b,s);
b[j]=1;
}}
}





Biểu diễn hoán vị dạng
s1 s2 ... sn
si ∈ X , sp ≠ sq , p ≠ q.
Try(i,…) - xác định si

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

46

1.3. Phương pháp quay lui

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

47

23


8/29/2016

1.3. Phương pháp quay lui

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

48

1.2. Phương pháp sinh
Ví dụ 2
Liệt kê hoán vị của tập n phần tử
Kết quả

Chương trình

Result

Source Code

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

49

24


8/29/2016

1.3. Phương pháp quay lui
Ví dụ 3

Ví dụ 3

 Liệt kê tất cả các cách xếp 8
quân Hậu trên bàn cờ 8x8 sao
cho chúng không ăn được
nhau.














Đánh số cột từ 1.. 8
Đánh số hàng từ 1.. 8
Biểu diễn cách xếp:
x1 x2 … x8
xi được xếp ở hàng i
D = {1,…,8}
 xi= j : Hậu thứ i được
xếp vào cột j
j được chấp nhận nếu ô
(i,j) được tự do

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

50

1.3. Phương pháp quay lui
Ví dụ 3


Ví dụ 3

 Mảng a – quản lý cột
ô (i,j) được tự do
a = { a[1], …, a[8]}
 Quản lý cột
 Quản lý đường chéo thuận
1 , 𝑐ộ𝑡 𝑗 𝑡ự 𝑑𝑜

 Quản lý đường chéo
a[j] =
0
, 𝑐ộ𝑡 𝑗 đã 𝑐ℎ𝑖ế𝑢
nghịch

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

51

25