Phép nội suy và ứng dụng giải một số dạng toán phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

N G UYỄN T H Ị NGÂN

PHÉP NỘI SUY YÀ ỨNG DỤNG GIẢI
MỘT SỐ DẠNG TOÁN PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

N G UYỄN T H Ị NGÂN

PHÉP NỘI SUY YÀ ỨNG DỤNG GIẢI
MỘT SỐ DẠNG TOÁN PH ổ THÔNG

C huyên ngành: Toán giải tích
M ã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN H Ọ C

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYEN

HÀ NỘI, 2016

văn h ù n g

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã
định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận
văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, toàn thể
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi ữong suốt quá trình học tập tại trường.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã cổ vũ,
động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Người thực hiện

Nguyễn Thị Ngân


11

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng,
luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài Phép nội suy và ứng dụng giải
một số dạng toán p h ổ thông được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của
bản thân tác giả, không ữùng lặp với bất cứ luận văn nào khác.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những kết
quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Ngưòi thực hiện

Nguyễn Thị Ngân

I ll

Mục lục
Lòi cảm fin

i

Lòi cam đoan

ii
1
3
3

1.2

1.3

2

1 .1.1

Số gần đúng .

3

1 .1.2

Sai số thu gọn

4

1.1.3

Sai số tính toán

4

1.1.4

Sự ổn định của quá trình tính

6

1.1.5

Bài toán ngươc của sai s ố .............

6

Môt số khái niêm cơ bản của đai số . . .

.

7

1.2.1

Một số vấn đề của đại số tuyến tính

7

1.2.2

Định nghĩa và tính chất của đa thức

10

Môt số khái niêm cơ bản của giải tích . . .

11

1.3.1

Giới hạn của dãy số

11

1.3.2

Giới hạn của hàm số

12

1.3.3

Công thức Taylor .

14

Phép nội suy

15

2.1

Bài toán nội suy tổng quát

15

2.2

Công thức nội suy Lagrange

16

2.2.1

Công thức nội suy Lagrange

16

2 .2.2

Sai số của phép nội suy . .

18

iv

2.2.3
2.3

2.4

2.5

2.6
3

Mốc nội s u y ..........................................................................

18

Công thức nội suy N e w to n ................................................................

20

2.3.1

Đa thức nội suy có mốc nội suy không cách đều nhau

20

2.3.2

Đa thức nội suy có mốc nội suy cách đều n h a u ............

Các công thức nội suy trung tâm

.

23

..................................................

28

2.4.1

Công thức nội suy Gauss I

...............................................

28

2.4.2

Công thức nội suy Gauss I I ...............................................

29

Bài toán nội suy ngược

...................................................................

30

2.5.1

Sử dụng đa thức nội suy LagrangeI .................................

30

2.5.2

Trường hợp các mốc nội suy

. .

31

Hàm nội suy S p l i n e ..........................................................................

32

Xi

(ỉ — 0, rì) cách đều

ứ n g dụng của phép nội suy giải m ột số dạng toán phổ thông

39

3.1

ứng dung của công thức nôi suy Lagrange

39

3.1.1

Bài tâp áp d u n g ...................................................................

39

3.1.2

Bài toán nôi suy Lagrange . . .

53

ứng dụng của công thức nội suy Newton

55

3.2.1

Các bài toán về xác định đa thức

55

3.2.2

Tính t ổ n g ..................................................

61

ứng dụng của một số các công thức nội suy khác

63

3.3.1

Công thức nội suy T a yỉo rị.......................

63

3.3.2

Công thức nội suy H e r m ìt e ....................

66

ứng dụng Maple tính giá trị đa t h ứ c ....................

69

3.4.1

Đa thức nội suy Lagrangeị.......................

69

3.4.2

Đa thức nội suy N ew ton\...........................

73

3.2

3.3

3.4

K ết luận

78

Tài liệu tham khảo

79


1

Mỏ đầu
1. Lí do chọn đề tài
Các bài toán nội suy ra đời từ rất sớm, rất nhiều nhà toán học nổi tiếng
đã nghiên cứu về nội suy trước hết phải kể đến các công trình của Lagrange,
Newton, Hermit, ... Tuy nhiên, việc xây dựng các bài toán nội suy tổng quát, các
thuật toán tìm nghiệm của nó và những vấn đề liên quan đến nội suy vẫn đang
được các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu. Bởi nó không những như là một đối
tượng nghiên cứu trọng tâm của đại số mà còn là một công cụ đắc lực của giải
tích trong lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết nội suy, lý thuyết tối ưu, ..., nó đóng một
vai trò rất quan trọng trong việc thiết lập các đa thức thỏa mãn hệ các điều kiện

ràng buộc đặc biệt. Ngoài ra, các đặc ưưng cơ bản của nội suy còn được sử
dụng trong nhiều bài toán chẳng hạn ữong toán cao cấp, toán ứng dụng, trong
những mô hình thực tế và toán phổ thông. Tuy nhiên, ở các trường phổ thông lý
thuyết về các bài toán nội suy chưa được đề cập, có chăng chỉ là sử dụng chúng
để giải quyết các bài toán khó.
Vì vậy, việc hình thành một chuyên đề chọn lọc những vấn đề cơ bản nhất về
các bài toán nội suy, dưới góc độ toán phổ thông, đặc biệt là những ứng dụng
của nó trong quá trình giải một số dạng toán khó là rất cần thiết. Nên tôi đã lấy
tên luận văn của mình là Phép nội suy và ứng dụng giải một số dạng toán p h ổ
thông nhằm đưa khái niệm nội suy và ứng dụng của nó đến gần hơn với thầy cô
và học sinh các trường phổ thông.


2

2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống lại các phép nội suy và ứng dụng chúng giải một số bài toán phổ
thông như các bài toán về đa thức, các dạng toán khai triển, đồng nhất thức, các
bài toán xác định giới hạn của biểu thức cho trước, các bài toán về tính chia hết
của đa thức, ứng dụng vào tính giới hạn của một số dạng vô định, ... Hệ thống
lại một số dạng toán và sáng tác ra nhiều bài tập mới.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về một số bài toán nội suy cổ điển, các công thức nội suy.
ứ ng dụng các công thức nội suy vào giải một số dạng toán phổ thông.

4. Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu
Với mục đích như trên, luận văn tập trung vào nghiên cứu về các công thức
nội suy: Công thức nội suy Lagrange, công thức nội suy Taylor, khai triển Tay­
lor, công thức nội suy Newton trong phạm vi ứng dụng trong chương ữình phổ

thông, giải quyết một sô bài toán khó ữong chương ữình phổ thông.

5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu của giải tích và giải tích số.

6. Đóng góp của luận văn
Xây dựng luận văn thành tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên,
học viên cao học về ứng dụng của phép nội suy giải một số dạng toán phổ thông.


3

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Sai số
Số gần đúng

Ta nói rằng a là một số gần đúng của a* nếu như a không sai khác ữ* nhiều,
hiệu số A a = a* — a là sai số thực sự của a, nếu A a > 0 thì a là giá trị gần
đúng thiếu, còn nếu A a < 0 thì a là giá trị gần đúng thừa của a*. Vì rằng a*
chưa biết, chỉ biết a nên đại lượng A chưa thể xác định, tuy nhiên có thể thấy
tồn tại A a > 0 thỏa mãn điều kiện: \a* — a\ < A a.
Khi đó: A a được gọi là sai số tuyệt đối của a, ỗa = —7 là sai số tương đối của
\a\
a. Rõ ràng A a, ỗa càng nhỏ càng tốt.
Hai số gần đúng a của a* và b của b* có cùng sai số tuyệt đối A a = A 6, số
nào có giá trị lớn tuyệt đối lớn hơn thì sẽ chính xác hơn. Chẳng hạn a = 100,

b = 1, A a = A 6 = 0, 01 khi đó số a* € [99, 99; 100, 01], b* G [0,99; 1,01],
tức là số a sẽ chính xác hơn số b so với giá trị đúng của nó. Đại lượng nào sẽ
phản ánh độ sai số của một số, hay nói cách khác độ chính xác của phép tính
được phản ánh qua đại lượng nào. Ở ví dụ trên, nếu |a| càng lớn thì khoảng xác
định của a* càng rộng, vì vậy tỉ số ỗa = —7 có thể đặc trưng cho độ chính xác
|ữ |

của một phép đo tính toán, ổa được gọi là sai số tương đối của số a.


4

1.1.2

Sai số th u gọn

Trong quá trinh tính toán, số gần đúng a của a* đôi khi là số thập phân vô
hạn các số sau dấu phẩy, hoặc hữu hạn nhưng số lượng các chữ số sau dấu phẩy
rất lớn buộc chúng ta phải ngắt bớt một số chữ số sau dấu phẩy. Việc ngắt bớt
đó được gọi là thu gọn số a để được số ã ngắn gọn hơn và gần đúng số a.
Qui tắc thu gọn một số a như sau: Giả sử số a = A , a !a 2a 3...a¿...an, trong
đó A là phần trị nguyên, dj E 0,1, 2 , 3 , 9 (j = 1, n ) là các chữ số sau dấu
phẩy (phần thập phân). Muốn làm ữòn số ã từ số a với i chữ số sau dấu phẩy ta
làm như sau: giữ nguyên A , ữi, a2, ■.., ữj_i. Xét ữị+1
- Nếu ữị_|_i < 5 thì ã — A , a1a2a3...a i-1ai,
- Nếu ai+1 > 5 thì ã = A , a ia 2a 3...a¿_ia¡, với áị = dị + 1.

Ví dụ 1.1.1. Cho số a* = n , a = 3,141592. Khi đó số thu gọn của a là:
- Số thu gọn sau dấu phẩy 2chữ số:

ã= 3,14.

- Số thu gọn sau dấu phẩy 3chữ số:

ã= 3,141.

- Số thu gọn sau dấu phẩy 4chữ số:

ã= 3,1416.

Đặt: Ta = |a — ãỊ, Ta được gọi là sai số thu gọn của số a.

1.1.3

Sai số tín h to án

Các số dùng để tính toán vốn đã là các số gần đúng (có saisố), còn xuất hiện
thêm sai số của kết quả. Sai số này được gọi là sai số tính toán.Trong đề tài này,
tập trung nghiên cứu các giá trị gần đúng liên quan đến sai số tính toán.
Giả sử cần tính giá trị đầu ra y với các giá trị đầu vào là X\, x 2, ..., x n. Mọi
liên hệ giữa đầu vào và đầu ra được xác định bởi y* = f ( x [ , x 2,...., Æ*) ở đây
y * , x Ị , x 2,..., æ* là các giá trị đúng của giá trị hàm và các biến tương ứng. Thực
tiễn, không thể xác định được y * , x \ , x 2,

,

mà chỉ xác định được giá trị gần

đúng tương ứng của nó với các sai số tương ứng A y , A x ị. Sai số giá trị A y của
y = f ( x I , x 2, ..., x n) được gọi là sai số tính toán.

Giả sử y = f ( x i , x 2, ..., x n) là hàm khả vi, liên tục theo các biến Xị. Theo
giải tích, ta có:


5

y - y * = f ( x u 32, - , x n) - f(x l,x * 2: . . . . , < ) = E f'Xi{X)-(Xi - x*i ) ,
2—1
trong đó:

là điểm nằm giữa các điểm ( x i , x 2, ..., x n) và (x*, ^ 2,

X

X*), có

nghĩa là, ta có: |y - y*| < E 14 ( ^ ) 1 -AíCi
2—1
n

Đặt A y = E I4 (z)l-Aa^
i=1
A y là cận ữên của |y — y* I vì vậy có thể xem A y là sai số của y so với y*.
Mặt khác sai số của y là
Ay = "

ỗy =

\y\

h

4

•Ax¿ =

/(® )

E

¿=1

¿ ln/(í) .Ax¿ =

A ln |y|.

Sai số của một tổng

Xét y = Xi + ¿c2 + ... + x n.
Tacó: y^ = 1, (i = 1 , n)

E l.A x i = E
i= 1
¿=1
Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số hạng.
Ay
Sai số tương đối ỏy = —7 đăc trưng cho tính chính xác của phép đo. Nếu
\y\
Iy Ị rất nhỏ thì sai số tương đối sẽ rất lớn và như vậy tính chính xác của phép đo

nên sai số của y là A y =

không đảm bảo. Vì vậy trong tính toán gần đúng phải tránh các công thức đưa
đến việc tính hiệu của 2 số gần nhau.
Sai số của một tích

Xét y =

X ị . x 2. . . xn .

Ta có: ln ỊyI = ln

+ ... + ln \xn \

Sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của các thừa số
thành phần.
Ví dụ 1.1.2. y = x*z, trong đó X — 3,45 + 0,01 và z — 12,432 + 0,002. Hãy
tính sai số của y.
Giải.


6

SỂ 0 , 29%, Sz = f f f - = o, 016%
0,45
lz ,4 3 z
Vậy: ôy = ôx + ôz = o, 306%.
Ta có Sx =

Sai số của y = Inx

Ta có: (ln x ) = — =>■ A y — -—- = ỗx
v ’
X
\x\
Sai số tuyệt đối của y bằng sai số tương^ối của

X.

Sai số của thương
X ị X 2 ...... x p

Xét y = ----- -f—---- —
Xp+\Xp+2 — x n
Ta có
p

n

ln y = Ỹ. In x i i =1

i = p +1

s

InXi

Mặt khác sai số của InXi là ỖXị
n

Suy ra ôy =

ỒXi
i=1

1.1.4

Sự ổn đ ịnh của q u á trìn h tín h

Để tính một đại lượng có khi phải tính nhiều lần lặp đi lặp lại. Quá trình tính
gọi là ổn định nếu sai số tính toán (quy tròn số) tích lũy lại không tăng ra vô
hạn. Nếu quá ữình tính sai số đó tăng ra vô hạn thì ta nói quá trình tính là không
ổn định.
Để khắc phục điều đó thường người ta giả sử sai số chỉ xảy ra ở một bước
tính. Xem giá trị mới đó là đúng, tính bước kế tiếp. Nếu tích lũy một số bước
thấy sai số tăng đáng kể thì xem như quá trình tính không ổn định (đây là vấn
đề khó, cần nghiên cứu tiếp về sau).

1.1.5

Bài to án ngược của sai số

Giả sử cần tính y = f i x 1 , X 2 , ..... , x n) với sai số A y < a . Hãy xác định các
Axị.


7

Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán, ta phải có
n

df
A x ị < a.
Ay = Ẽ
i=1 dxi
Giả sử rằng
dĩ
A x ị = c o n stịỉ = 1, 2 ,
dxi
Khi đó nếu A x ị <

n)

( 1 .1 )

a

thì bất đẳng thức A y < a được thỏa mãn. Điều
„ ạ /
* ---------y
dxị
kiện (Ịl.lỊ) thường được gọi là nguyên lý ảnh hưởng đều.
Ví dụ 1.1.3. Một hình trụ có chiều cao h = 3m , bán kính đáy R = 2ra, hỏi
rằng lấy A h , A R , số lĩ như thế nào thì th ể tích V của hình trụ được tính chính
xác đến 0 ,lm 3.
Giải.
Ta có: V = 7ĩR2h
Từ đó:

dv

diĩ

-

= R 2h,

dv
dR

dv

2irRh, -777- = lĩR 2
ơh

Nếu ta lấy:
A lt =

3.4.3

< 0,003, A R =

3.6.27T

< 0,001, A h =

3.7T.4

< 0,003

thì yêu cầu của bài toán là thỏa mãn.

Vậy chọn A R < 0,001, A lt < 0, 003, A h < 0,003 sẽ thu được th ể tích V
chính xác đến 0 ,lm 3.

1.2
1.2.1

Một số khái niệm cơ bản của đại số
M ột số vấn đề của đại số tuyến tín h

Giả sử K là một trường.


8

Định nghĩa 1.2.1. Tập hợp y /

0 được gọi là một không gian vectơ trên K

nếu nó được trang bị hai phép toán, gồm
(i) Phép cộng vectơ
+ : V x V ^ V
(a , /3) I-4 a + Ị3
(ii) Phép nhân vectơ với vô hướng
•

-.K x V ^ V
(a, a) !->■ aa

Các phép toán này thỏa mãn những điều kiện (hoặc tiên đề) sau đây
1 ) (a + P) + 7 = a + (P + 7 ),

Va, ^ , 7 £ V

2) 30 £ V :0 + Qí = Q; + 0 =

Va £ V,

Oi,

3) Vqí £ V, 3 a' £ V : a + cc' = cc' + a = 0,
4) a + ¡3 = ¡3 + a,

Va, Ị3 £ V,

5) (a + 6) a = a a + ba,

Va, b £ X ,V a £ V,

6) a (a + (3) = aa + afi,

Va € K , Va, ¡3 £ V,

7) a (ba) = (ab) a,

Va, b £ K , \ / a £ V ,

8) l a = a,

Va G V.

Các phần tử của V được gọi là các vectơ, các phần tử của K được gọi là các vô
hướng.
Một không gian vectơ trên K còn được gọi là một K - không gian vecto, hay
đơn giản: một không gian vectơ, nếu K đã rõ.
Khi K = R, V được gọi là một không gian vectơ thực.
Khi K = c , V được gọi là một không gian vectơ phức.


9

Ví dụ 1.2.1.
a) Tập hợp cấc đa thức K [X] (của một ẩn X , với hệ số trong K ) với phép cộng
đa thức và phép nhân đa thức với vô hướng thông thường lập nên một không
gian vectơ trên trường K .
b) K là một không gian vectơ trên chính nó đối với phép cộng và phép nhân của
trưởng K . M vừa là một Q - không gian vectơ vừa là một K - không gian vectơ,
c là một không gian vectơ đồng thời trên các trường Q, M và c .
c) Tập hợp

c [a, 6] các hàm thực liên tục trên đoạn [a, 6] c

M là một không gian

vectơ thực với các phép toán thông thường
( / + 9 ) (z) = f { x ) + 9 {x ) ,
( a / ) (z) = a f (X).
Định nghĩa 1.2.2. (Tổ hợp tuyến tính, biểu thị tuyến tính)
(i) Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ « 1 ,

a n £ V là một biểu thức dạng

n

ữịữị = ữ\Oí\ + ... + ana n, trong đó a¿ £ K .
i=1
(ii) Giả s ử a = a i a i + ...+ a na n £ V . Đẳng thức đó được gọi là một biểu thức
tuyến tính của a qua các vectơ

(hoặc qua hệ vectơ ( a i , ..., a n )).

Khi có đẳng thức đó, ta nói a biểu thị tuyến tính được qua « 1 , ..., a n.
N hận xét 1.1. Một vectơ có thể có nhiều biểu thị tuyến tính khác nhau qua
một hệ vectơ. Ta nói hệ ( a i , ..., a n) biểu thị tuyến tính được qua hệ (/?1 , ..., ¡3m)
nếu mỗi vectơ a¿, trong đó 1 < ỉ < n, biểu thị tuyến tính được qua ( ¡ 3 ị , ¡ 3 m).
Giả sử ( a 1? . . . , a n) biểu thị tuyến tính được qua hệ (/3i,..., Pm), và hệ (/?!, ...,/3m)
biểu thị tuyến tính được qua hệ (7 i , ..., 7 fc). Khi đó, rõ ràng ( a i , ..., a n) cũng
biểu thị tuyến tính được qua hệ (7 1 ,..., 7 fc).
Định nghĩa 1.2.3. (Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính)
(i) Hệ ( « ! , ..., a n) được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức ữ ia i + ...
+ ana n = 0, chỉ xảy ra khi dị = ... = an = 0.
(ii) Hệ ( a l5 .. . , a n) được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập
tuyến tính.


10

1.2.2 Đ ịnh n ghĩa và tín h c h ất củ a đ a th ứ c
Định nghĩa 1.2.4. Một đa thức bậc n của ẩn X là biểu thức có dạng
p n (x) — anx n + ữn_lÆ71-1 + ... + a,ịX + ữ0,
trong đóxác hệ số an, ữn_ 1 ,..., ữo là những số thực hoặc phức và an Ỷ 0j

n ẽ l.
(i) Bậc của đa thức Pn {x) là deg Pn (æ). D o vậy deg Pn (æ) = n.
(ii) an— hệ số cao nhất của đa thức.
(iii) aữ— hệ số tự do của đa thức.
(iv) anx n- hạng tử cao nhất.
C hú ý 1.2.1. Sau đây ta thưởng chỉ xét đa thức với các hệ số của nó đều là thực
và gọi tắt là đa thức thực.
Định nghĩa 1.2.5. Cho đa thức
p n (æ) = anx n + an_!Æn_1 + ... + CLịX + aQ,
với f l „ / 0 , ữ G C , được gọi là nghiệm của đa thức Pn (x) nếu Pn (o¡) = 0.
Nếu tồn tại k E N, k > 1 sao cho Pn (æ) :(æ — a ) k nhưng Pn (x) không chia
hết cho (x — a )fc+1 thì a được gọi là nghiệm bội k của đa thức Pn (æ).
Đặc biệt khi k = 1 thì a được gọi là nghiệm đơn, k = 2 thì a được gọi là
nghiệm kép.
Định lý 1.2.1. (Gauss)
Mọi đa thức n > 1 trên trường c đều có đúng n nghiệm nếu mỗi nghiệm được
tính một số lần bằng bội của nó.
Định lý 1.2.2. Mọi đa thức với hệ số thực đều có th ể biểu diễn dưới dạng
p n (x) = a0(x - a>i)ni...(x - a r)nr(x2 + PiX + Ợi)mi...(a^2 + p sx + qs) m‘
n>i +
m i = n, PĨ - 4ợj < 0, ỉ = 1 , s,
i=1
i=1
va OLQ , OL\, Oír ỊP\ J Ợi, Ps Ị qs G f f i .
trong đó


11

Định lý 1.2.3. Mỗi đa thức bậc n đều có không quá n nghiệm thực.

Hệ quả 1.2.1. Đa thức có vô số nghiệm là đa thức không.
Hệ quả 1.2.2. Nếu đa thức có bậc < n mà nhận cùng một giá trị tại n + 1 điểm
khác nhau của đối số thì đa thức đó là đa thức hằng.
Hệ quả 1.2.3. Hai đa thức bậc < n mà nhận n + 1 giá trị bằng nhau tại n + 1
giá trị khác nhau của đối số thì đồng nhất bằng nhau.

1.3

Một số khái niệm cơ bản của giải tích

1.3.1

Giới h ạ n của dãy số

Định nghĩa 1.3.1. Cho dãy số {an, n = 1, 2, ...} (an € K ) .
Ta nói rằng dãy {an, n = 1, 2, ...} có giới hạn a , f l G l nếu
Me > 0, 3 n ữ = n 0 ( e ) , Mn > n ữ =>- Ian — a\ < E.
Khi đó ta ký hiệu: lim an = a và dãy {an} được gọi là dãy hội tụ.
n —H -o c

Nếu dãy {an} không hội tụ được gọi là dãy phân kỳ. Nếu lim an = 0 thì {ữn}
được gọi là dãy vô cùng bé khi n —>• + 00.
Các tiêu chuẩn hội tụ của dãy số

Đinh lý 1.3.1. (Nguyên lý hội tụ Cauchy)
Điều kiện cần và đủ đ ể cho dãy {ữn, n = 1 ,2 ,...} hội tụ là:
Me > 0, 3 n ữ, Mn , m > n ữ =>■ \an — am \ < e.
Định lý 1.3.2. (Nguyên lý Weierstrass)
Nếu {an} là một dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ và lim an = sup {an}
n —>+ oo

n>!

Nếu { an} là một dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ và lim an = inf {ữn} .
n—
^+ CX3
n> 1


12

Sự bảo toàn thứ tự qua giói hạn trong bất đẳng thức

Giả sử lim an = a,
ra—>+ oo

lim bn = 6, a, b e K. Khi đó

ra—>+ oo

1) Nếu 3 n 0, Vn > n 0, an < bn thì a < b.
2) lim (an ± bn) = ữ ± b.
n—
>+ oc
3) lim (an.bn) = a.b.
n —H-00
,

/

,

ữn

a
b

4) Nếu b ^ 0 thì lim ZÜL — ^
ra-H -oc On

5) Nếu 3 n 0 : Vn > n 0, an < cn < bn Yầ a — b thì dãy {cn, n = 1, 2, ...}
hội tụ và lim cn = a = b.
ra—>+ 00

Giói hạn vô cùng

Dãy {an, n = 1 ,2 ,...} được gọi là có giới hạn dương vô cùng (+ oo) nếu
VM > 0, 3 n 0, Vn > n 0 ^ an > M.
Ký hiệu là lim an = + 00.
ra—
>+ 00
Tương tự: Dãy {an, n = 1, 2 ,...} được gọi là có giới hạn âm vô cùng (—oo)
nếu
VM > 0 ,3 n 0,V n > n ữ

an < —M.

Ký hiệu là lim an = —oo.
ra—
>+ 00

Dãy {an, n = 1 ,2 ,...} được gọi là dãy vô cùng lớn nếu:
VM > 0,3 n 0,Vn > n 0

|an | > M .

Dãy {an, n = 1, 2 ,...} là dãy vô cùng lớn khi và chỉ khi dãy

1, 2 ,

là dãy vô cùng bé.

1.3.2

Giới h ạ n của h àm số

Định nghĩa 1.3.2. Cho tập con ^ 4 c l R , / : ^ 4 ^ 1 R v à a l à một điểm tụ của tập
A. Khi đó: số thực l được gọi là giới hạn của hàm số / (X) tại điểm a nếu:

Ve > 0 , 3 Ổ= ổ (ữ, e) , \/x e A :, 0 < \x — a\ < ổ

I/ (x) — Z| < e.


13

Ký hiệu: lim f (x) = l hay / (X) —> l, (x —>■a ) .
x—^a
Nếu hàm số f (x) có giới hạn tại điểm a thì giới hạn đó là duy nhất.
Nếu a (X) là hàm số xác định trên A và lim a (x) — 0 thì a (X) được gọi là
x —>a

một đại lượng vô cùng bé khi X —> a.
Sự bảo toàn tbứ tự qua giới bạn

Nếu tồn tại các giới hạn: lim / (X) = A, lim g (X) = B , A, B G R. Khi đó
1 ) lim [ / (x) ± g (x)] = lim / (X) ± lim g (x) = A ± B
x —ìa

x —ìa

x —ìa

2) lim [ / (x) .g (a;)] = lim / ( x ) . lim g (a;) = A . B
x —>a

x —>a

3) Nếu B í 0 thì lim

X—>a

f(x)

ỉ™ /í® )
= ự a
g X) lim g (X)

=

x —>a

A
B

4) Nếu / (a;) < g (x) trong một lân cận của a thì: lim / (x) < lim g ( x ) .
x —>a

x —>a

Trong thực hành ta có thể sử dụng các giới hạn cơ bản sau
,
sin X
1 ) lim —— = 1 .
x^o X
2) lim (1 + a ) “ = e.
a—
>0
ln (1 + x)
i m ------------- = 1 .
3) lim
x —>0
X
1
á
4) lim
= ln a , a > 0, a Ỷ 1 x^fữ X
"
(l + x ) m - 1
5) l im -------—--------- = m.
I->Ũ

X
So sánh các vô cùng bé

Cho

a

( x ) , /3 ( x ) là các vô cùng bé khi

1) Nếu lim a
x^ra ¡3 (x)
khi X —> a.

X

a.

=■ m Ỷ 0 thì ta nói a ( x ) , ¡3 (x) là các vô cùng bé cùng bậc

Nếu lim

) '
1 thì a ( x ) , /3 ( x ) là các vô cùng bé tương đương khi
/3 (X)
và viết: a (x) ~ ¡3 ( x ) , (khi, X —» a ) .
Chú ý rằng nếu a (x) ~ ¡3 ( x ) , ¡3 (x) ~ 7 ( x ) , (khi, X —> a) thì
a (x) ~ 7 (:r), (khi X —> a ) .

X —»• a

14

Trong việc tìm giới hạn người ta có thể thay các vô cùng bé bới các vô cùng
bé tương đương.
2) Nếu a (æ ) ~ m ( x — a ) fc, ( k > 0 ) khi X —>• a thì m ị x — a)k được gọi là
phần chính của a (x) khi X —> a.
3) Các cặp vô cùng bé tương đương đáng lưu ý: Khi X —> a ta có
sin X ~ X, tg X ~ x : arcsin X ~ X, arctg X ~ X, ln (1 + x ) ~
ax — 1 ~ Æ. In a, (1 + x ) m — 1 ~ m x .

1.3.3

Công thức Taylor

Công thức Taylor với số hạng dư Peano

Giả sử
1) Hàm số f ( x ) xác định và có đạo hàm đến cấp Tỉ—1 trong lân cận (a — ổ, a + ổ)
của điểm a ;
2) Có đạo hàm cấp n tại điểm a: f

(ữ). Khi đó trong lân cận (a — ổ, a + ổ)

hàm số f ( x ) có thể khai triển thành dạng

{( \ _
f [k) {ọ)
n
f { x ) = E — r7 ^ (z - o) + o {{x - a) )

fc=o

K-

trong đó o ((x — ữ)n) là vô cùng bé bậc cao hơn (X — a)n khi X —>a.
Khai triển Taylor của các hàm số sơ cấp cơ bản
1)

x '^
ex = 1 + X + y - + ... + —- + O (æn ) .
2!
n\
rp3

2 ) s in * = X - I

rp5

+ I

™2n 1

- ... + ( - 1 r

1 ( ¿ 1 ) ! + 0 {x2n) ■

+ ( - 1 ) ” ( 0 Ị + o (z 2”+1)

3) QOSI = 1 - ^

.
m i m — 1) 0
m (m — 1 )... (m — n + 1) „
4) (1 + x) m = 1 + m x + —
-----V + ... + — ---------—y----------------- V
2!
Tỉ!
+ 0 ( z n).
5) ln (1 + x) = X -

z

+ ... + ( - l ) n_1— + o (xn).
Tì/


15

Chương 2
Phép nội suy
2.1

Bài toán nội suy tổng quát

Giả sử hàm số y = f ( x ) được cho bởi bảng (2.1)
X Xo

Xị

x2

...

Xn

yo

yi

V2

...

yn

y

Bảng 2.1
hoặc bởi một biểu thức khá phức tạp. Ta phải tính giá trị hoặc đạo hàm của hàm
số tại một điểm bất kì sẽ gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, ta sẽ tìm một hàm dễ tính
toán và có sai số với f ( x ) là nhỏ nhất. Phép tìm một hàm như vậy gọi là phép
nội suy. Trong lớp các hàm số liên tục và khả vi thì đa thức là một hàm dễ tính
toán nhất và đặc biệt ta có kết quả của Weierstrass như sau: với hàm / (:c) liên
tục trên đoạn [a, b] và với mọi số £ > 0 đều tồn tại một đa thức xác định trên
đoạn [a, 6] sao cho I / (x) —p (x)| < £, \/x G [a, b].
Vì vậy, chúng ta hay tìm đa thức làm hàm gần đúng với / (x), đa thức như
vậy gọi là đa thức nội suy.
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử X là một không gian tuyến tính thực (hoặc phức) n
chiều. Cho trước các phiếm hàm tuyến tính Lị £ X * (i = 1, Tỉ) và các số thực
(phức) ĩji (ỉ = 1, rì). Tìm X & X sao cho

Lị (x) =Vi (i = 1, n) .

(2.1)


16

Bài toán (2.1|) được gọi là bài toán nội suy tổng quát.
Nếu Hi = 0 (i = 1, n ) thì bài toán (2A_) trở thành bài toán: Tìm X ẽ X sao
cho

Lị (X) = 0 (ỉ = 1, rì) .

(

2. 2)

Khi đó (22) được gọi là bài toán nội suy thuần nhất.
Định lý 2.1.1. Bài toán nội suy tổng quát (Ị2.1Ị) có lời giải duy nhất khi và chỉ

c X*

khi các phiếm hàm {Lị }ị

là độc lập tuyến tính.

Hệ quả 2.1.1. Bài toán (Ị2 .1 Ị) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bài toán (Ị2 .2Ị)
chỉ có nghiệm tầm thường X = 0.
Định lý 2.1.2. Giả sử các phiếm hàm {Lị}™

1) Tồn tại duy nhất các phần tử {Xj }”

c X*

c X*

độc lập tuyến tính. Khỉ đó,

sao cho:
0, ỉ ĩé j

Lị (Xj) = ỗịị (i , j = l , n ) , ỗiị

1, i = j
n

với Vx £ X , ta có X —

Lị (x) Xị;
i=l
2) Bài toán (2A I có lởi giải duy nhất X* = E

2.2

Công thức nội suy Lagrange

2.2.1

C ông th ứ c nội suy Lagrange

Vi Xị .

Giả sử, hàm số f ( x ) được cho bởi bảng (2.1). Các giá trị X0, X ị , ..., x n được
gọi là các mốc nội suy.
Để xây dựng công thức nội suy Lagrange của hàm f ( x ) trên đoạn [xo, x n],
trước hết ta xây dựng các đa thức bậc n sao cho tại các điểm x ữ, X i , ..., x n các
đa thức này thỏa mãn:
Pị (xj )

Jÿ

0, * 7é 3
M = 3


17

Đa thức

Pị

(X) có

n

Pị ( x ) = dị ( x -

nghiệm Xo, X i , ..., Xj_i, Xj+ 1 , ..., x
Xo) ( x -

Xi)

...

(x -

X ị-i) (x -

n

x

nên nó phải có dạng

i+1) ...

(x -

x n)

Mặt khác,
1=

P ị {Xị) = dị (Xị

- x 0)

(Xị

-

X\)

...

(Xị

- Xj_i)

(Xị

- x i+i ) ...

(Xị

-

x n)

(x ~ Sọ) ix - Sị ) ••• (s - a?i-i) (s - ĩị+i) ••• (s - 3+)

p r\
*

{ Xi -

X i ) ... (xj -

Xo ) ( Xị -

Xj_i) (x, - x i+ i) ... ( Xi - x n) '

Đa thức nội suy p ( x ) thỏa mãn điều kiện p (Xị) =

Ui ,

i = 0 ,n có dạng

P (x) = X) ì/i-P* (z) và khi đó
i=0

^
¿=0

(x - Xọ) ( x - X ị ) ... ( x - X j _ ị ) (x - x m ) ... {x - x n)
{ Xị -

Xo) (Xj - X i ) ... (Xj - Xj_i) ( Xị - x i+i ) ... (Xj - x n)

được gọi là công thức nội suy Lagrange.
Ví du 2.2.1. Hàm f ( x ) được cho bằng bảng sau
X

-3

-2

1

3

/(® i)

58

19

4

-1

Tìm đa thức nội suy Lagrange củaf(x)?

(x +

( x + 2) ( x — 1 ) ( x — 3)

)

( - 3 + 2) ( - 3 -

(x +

1 ) ( - 3 - 3)

3) ( x + 2) ( x - 3)

+ 4 ( 1 + 3) ( ĩ + 2) ( ĩ - 3) ”

( x + 3)

3) ( x — 1 )

( - 2 + 3) ( - 2 - 1 ) ( - 2 - 3)

(x +

2)

(x -

1)

(3 + 3) (3 + 2) (3 - ĩ )

= —— ( x 3 — 2 x 2 — 5 x + 6) + — ( x 3 — X 2 — 9 x + 9)
¿i*-.r
1U
l
1
+ - ( x 3 + 2 x 2 - 9 x - 1 8 ) - — ( x 3 + 4 x 2 + X - 6)

Vậy
r/ \
■? 23 2
5
/ ( x ) = —X3 + — X2 — -X — 6.

Jw

6

(x — 3)

6


18

2.2.2

Sai số của phép nội suy

Giả sử P (X) là đa thức nội suy bậc n của / (X) trên [ữ, 6], tức là p (Xị) =
/ (X j) , ỉ = 0 , n. Giả sử / (x) là hàm khả vi liên tục đến cấp n + 1 ký hiệu

M

=

sup

|/(n+1) (æ) Ita có công thức đánh giá sai số như sau

a
I/ (x) - P (x)| < ự Ệ iỹ |(x - Xo)... (x - x n)\.
Ví dụ 2.2.2. Hãy đảnh giá sai số của hàm f (x) = sinx tại x = 6° khi thay
hàm f (x) bởi đa thức nội suy có được từ 4 mốc

7Ĩ
Xữ

ĩĩ

7ĩĩ

36’

Xl

180’

X2

ll7T

20’

Xs

180’

Ta có f (x) = sinx; n = 3;
a = — = 5°; b = ----- = 11°; x = — = 6°;
36
180
30
’ J

(x) = sinx.
w

Do đó,
M = sup

(x) = sin 11° = 0,190809.

a
Ta có đánh giá
|s in 6° — p (6°)| <

0,190809
4!

7r 7T \ / 7T 117T
,)(^30 ~ 2 Õ J Vãõ ~ Ĩ8Õ.
V30 “ 36/ V3Ö ~ Ĩ8Õy
/ 7T

7T \ / 7T

77T

1,106.10-9 .

2.2.3

M ốc nội suy

Khi ước lượng sai số của đa thức nội suy, ta có
\P(x) - f ( x ) \ <

với Lün + 1

(x) =

n

(x -

M
(n + 1)!

K+1 (x)|

Xi ) .

i= 0

Trong mục này ta sẽ chọn các mốc nội suy Xi ẽ [a; 6] để m ax \ívn+i (x)| là
xe[a;b]

nhỏ nhất.


19

Từ giả thiết f ( x ) xác định trên đoạn [a; 6], bằng một phép đổi biến

t = —- — [2x — (a + 6)]
b —a
thì đoạn [a; 6] được chuyển thành [—1 ; 1 ] với các mốc nội suy thuộc đoạn

Đa thức Chebyshev

Xét hàm số Tn (:r) = cos (n.arccos X) với |x| < 1, n e R*. Ta có
Tị

(x) — X

T2 (x) = 2 x 2 - 1
T3 (x) = 4 x 3 — 3x
T4 ( x ) = 8a:4 — 8 x 2

+ 1, ...

Dễ dàng chứng minh được Tn+1 (x) = 2Tn (x) — Tn_ 1 (x).
Do đó, Tn (X) là đa thức đại số với bậc n và hệ số cao nhất là 2n_1. Đa thức
Tn (a?) được gọi là đa thức Chebyshev.
, ,
{2i + 1 \
N hận xét 2.1. 1) Tn (X) có đúng n nghiệm và các nghiệm là X = cos ( -------- 1
ỉ = 0 , 1 , ( n — 1). Khi đó, các nghiệm của Tn (:r) đều thuộc [—1; 1].
2) m ax \Tn (x) I = 1 khi X = Xi = cos — với ỉ = 0, n. Hơn nữa Tn (xì) = 1
*ẽ[-ĩ;l]
n
với ỉ chẵn và Tn (xỉ) = —1 với ỉ lẻ.
Chọn mốc nội suy

Ký hiệu E là tập tất cả các đa thức hệ số thực bậc 77, (n > 1) với hệ số cao
nhất là 1 trên [—1; 1]. Xét phiếm hàm íp : E —»■ R + xác định bởi: íp (p ) =
m ax Ip (x) I với mọi p (x) € E.
ze[-l; 1]