Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học hệ phương trình tuyến tính ở lớp 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Mỹ Dung

NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH CỦA GIÁO VIÊN
TRONG DẠY HỌC
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ở LỚP 10

Chun ngành: Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. LÊ THỊ HỒI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu,
người đã tận tình hướng dẫn, động viên tôi hoàn thành luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn:
PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS. TS. Lê Văn Tiến, TS. Đoàn Hữu Hải, TS.
Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn Ái Quốc, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, PGS.
TS. Claude Comiti, PGS. TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã nhiệt tình truyền
đạt cho chúng tôi những kiến thức Didactic quý báu.
TS. Nguyễn Xuân Tú Huyên đã giúp tôi dịch luận văn này sang tiếng Pháp.
Ban Giám hiệu và Thầy Cô Trường THPT Nguyễn Hữu Cầu, THPT Chuyên Lê
Hồng Phong, THPT Nguyễn Huệ, THTH ĐHSP, THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa,

THPT Tạ Quang Bửu, THPT Nguyễn Trãi, THPT Ngô Quyền, THPT Nguyễn Văn
Cừ, THPT Lương Thế Vinh, THPT Bùi Thị Xuân, THPT Lê Qúy Đôn TP. Hồ Chí
Minh và THPT Hoàng Lê Kha Tây Ninh đã giúp đỡ tôi hoàn thành thực nghiệm cho
luận văn này.
Ban Giám hiệu trường ĐHSP TP.HCM, Ban Chủ nhiệm khoa Toán, Lãnh đạo và
chuyên viên phòng KHCN & SĐH đã giúp đỡ, tổ chức tốt lớp học cho chúng tôi.
Các thành viên của lớp cao học Didactic khóa 16 đã động viên tôi trong quá trình
nghiên cứu.

Trần Thị Mỹ Dung


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
THPT

: Trung học phổ thông

SGK

: Sách giáo khoa

GK9

: Sách giáo khoa toán đại số 9 – tập 2 hiện hành

GKCB

: Sách giáo khoa toán đại số 10 cơ bản hiện hành

GKNC

: Sách giáo khoa toán đại số 10 nâng cao hiện hành

BT9

: Sách bài tập toán đại số 9 – tập 2 hiện hành

BTCB

: Sách bài tập toán đại số 10 cơ bản hiện hành

BTNC

: Sách bài tập toán đại số 10 nâng cao hiện hành

GV9

: Sách giáo viên toán đại số 9 – tập 2 hiện hành

GVCB

: Sách giáo viên toán đại số 10 cơ bản hiện hành

GVNC

: Sách giáo viên toán đại số 10 nâng cao hiện hành

TCTH

: Tổ chức toán học

OD

: Tổ chức didactic

Hệ (m, n)

: Hệ gồm m phương trình và n ẩn số

GV

: Giáo viên

HS

: Học sinh

PTTT

: Phương trình tuyến tính


MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài và Câu hỏi xuất phát

Trong chương trình toán ở trường phổ thông, hệ phương trình tuyến tính xuất
hiện trong cả hai phạm vi đại số và hình học, trước hết với tư cách một đối tượng
nghiên cứu, sau đó với tư cách một công cụ để giải quyết nhiều dạng toán khác nhau.

Có những hệ thống biểu đạt khác nhau đã được sử dụng để nói về đối tượng này.
Không chỉ vậy, hệ phương trình tuyến tính còn xuất hiện và giải quyết nhiều vấn đề
thuộc những lĩnh vực khoa học khác như vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế, trắc địa, tin
học, … và cả trong cuộc sống thường nhật. Chính sự phong phú và đa dạng đó đã thúc
đẩy chúng tôi tìm hiểu thật rõ về đối tượng tri thức này. Câu hỏi đầu tiên mà chúng tôi
tự đặt ra cho mình là:
Q1’: Nhìn từ góc độ tri thức toán học, có những phương pháp nào để giải hệ
phương trình tuyến tính, cơ sở lý thuyết của các phương pháp ấy là gì ? Ưu, nhược
điểm của mỗi phương pháp? Việc giải hệ phương trình tuyến tính giúp giải quyết
những vấn đề gì?
Tìm và học được một tri thức cho bản thân mình quả thực có ý nghĩa, nhưng khai
sáng tri thức cho nhiều người còn ý nghĩa hơn hàng vạn lần. Là giáo viên giảng dạy
toán, điều mà chúng tôi mong muốn nhất là có một bài giảng thật hay gắn với đối
tượng tri thức nhắm đến. Một bài giảng không phải là bài thuần lý thuyết mà là để sau
đó, học sinh còn có thể thấy được sự cần thiết phải học tri thức ấy, phải thấy rằng biết
được tri thức ấy là hé mở ra một chân trời cho nhiều ứng dụng, ích lợi cho thực tế cuộc
sống. Chính vì vậy, chúng tôi muốn nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học
hệ PTTT.
Tri thức phổ thông là nền tảng cơ bản để từ đó mỗi người có thể tự mình tìm đến
miền tri thức cao hơn, xa hơn. Với ý nghĩa đó, chúng tôi chọn thời điểm nghiên cứu
thực hành của GV trong dạy học hệ PTTT là ở lớp 10 – lớp cuối cùng mà hệ PTTT
chính thức được dạy.
Như vậy, ngoài câu hỏi Q1’, chúng tôi còn tìm kiếm những yếu tố trả lời thích
đáng cho các câu hỏi sau:
Q2’: Gắn với đối tượng hệ phương trình tuyến tính, chương trình toán phổ thông
hiện hành quy định dạy những gì và dạy như thế nào? Có sự khác biệt gì so với tri
thức toán học? Có những yếu tố nào lẽ ra có thể tồn tại nhưng nó đã không được xây
dựng?
Q3’: Trong thực tế dạy học, giáo viên đã giảng dạy tri thức ấy như thế nào? Có

sự khác biệt, tương đồng nào giữa tri thức toán học, tri thức trình bày trong sách giáo
khoa (SGK) và tri thức được dạy?
Q4’: Những sự lựa chọn của chương trình, SGK phổ thông và của giáo viên đã
ảnh hưởng như thế nào đến việc dạy, học, hiểu tri thức? Liệu có một sự lựa chọn nào
tốt hơn hay không?
Để giải đáp bốn câu hỏi nêu trên, chúng tôi tiến hành tìm kiếm các công trình
nghiên cứu đã có liên quan đến hệ PTTT. Kết quả cho thấy, có hai luận văn thạc sỹ
gắn với nội dung này. Luận văn thứ nhất của tác giả Nguyễn Thị Như Hà, nghiên cứu
về “Máy tính bỏ túi trong dạy – học toán. Trường hợp hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ở lớp
10”. Luận văn thứ hai của Nguyễn Thùy Trang, nghiên cứu về “Algorit và tham số trong
dạy – học chủ đề phương trình ở trường THPT. Trường hợp hệ phương trình bậc nhất nhiều
ẩn”. Trong cả hai luận văn này, chưa có một luận văn nào nghiên cứu hoạt động tác

nghiệp của giáo viên. Vì lẽ đó, chúng tôi chọn đề tài “Nghiên cứu thực hành của giáo
viên trong dạy học hệ PTTT ở lớp 10”.

 Thế nhưng, căn cứ vào đâu để đánh giá giáo viên theo hệ câu hỏi nêu trên?
2.

Khung lý thuyết tham chiếu

Đã từ lâu, thanh tra giáo dục thường dự giờ các tiết dạy của giáo viên, giám sát
hoạt động của họ trên lớp học rồi đưa ra những nhận xét, đánh giá. Ở cương vị một
giáo viên, chúng tôi cũng thường xuyên làm công việc này. Chúng tôi đã dựa vào đâu
mà đánh giá? Thường là: giáo viên trình bày bảng ra sao? Sử dụng các phương tiện
dạy học như thế nào? Có quản lý tốt học sinh trên lớp hay không? Đặc biệt, về kiến
thức, có sai sót gì không và về phương pháp thì giáo viên đó đã sử dụng phương pháp
gì, có phù hợp với nội dung và đối tượng dạy học hay không? Như vậy, việc đánh giá
chủ yếu chỉ dựa vào hai cơ sở: về mặt pháp lý, đó là những quy định của chương trình;

về mặt cá nhân, đó là kinh nghiệm của người dự giờ. Những cơ sở này dường như chưa
thực sự thỏa đáng, đặc biệt là yếu tố kinh nghiệm.
Chính didactic đã cung cấp những công cụ cho phép phân tích và đánh giá hoạt
động tác nghiệp của giáo viên. Trong những công cụ đó, chúng tôi giữ lại các khái
niệm cơ bản của lý thuyết nhân chủng học khi tìm kiếm các yếu tố trả lời cho bốn câu
hỏi trên. Các khái niệm đó là: Chuyển đổi didactic, Tổ chức toán học, Quan hệ thể
chế, Tổ chức didactic, Quan hệ cá nhân.
Dưới đây chúng tôi sẽ cố gắng chỉ ra tính thỏa đáng cho sự lựa chọn phạm vi lý
thuyết của mình.
 Chuyển đổi didactic
Quá trình hình thành và truyền bá một tri thức toán học gồm ba mắc xích cơ bản:
hình thành tri thức trong cộng động bác học sau đó biến tri thức ấy thành tri thức cần
dạy và từ tri thức cần dạy này biến đổi thành tri thức được dạy. Nghiên cứu thực hành


của GV là nghiên cứu ở khâu tri thức được dạy và GV đóng vai trò như một
Noosphère, người thực hiện vai trò chuyển đổi trong mắc xích thứ ba này. Như thế,
muốn hiểu xem sự chuyển đổi của GV có thỏa đáng hay không, đòi hỏi ta phải đối
chiếu tri thức được GV giảng dạy với tri thức cần dạy mà chương trình, SGK quy định
và tri thức toán học. Chính vì vậy, ta cần vận dụng khái niệm chuyển đổi didactic.
 Tổ chức toán học
Làm thế nào để phân tích độ chênh lệch của tri thức khi nhìn từ các góc độ: tri
thức toán học, tri thức cần dạy và tri thức được dạy? Chính khái niệm tổ chức toán
học là một công cụ hiệu quả để mô hình hóa các tri thức toán học, tri thức cần dạy, tri
thức được dạy đó dưới dạng các tổ chức toán học. Từ đó, tiến hành so sánh, đối chiếu
và đánh giá các tổ chức toán học này để chỉ ra sự chênh lệch (nếu có).
 Quan hệ thể chế
Theo quan điểm chuyển đổi didactic, một nghiên cứu tri thức dưới góc độ tri thức
cần dạy trong chương trình, SGK chính là một tiêu chuẩn tham chiếu để xem xét, đánh
giá tính thỏa đáng của tri thức được giáo viên giảng dạy. Do đó, ta cần phải chỉ ra

quan hệ của thể chế I đối với đối tượng tri thức O. Cụ thể, O chính là hệ PTTT và I là
thể chế dạy học toán bậc THPT hiện hành.
Để nghiên cứu quan hệ thể chế, đòi hỏi ta phải tiếp cận từ góc độ sinh thái học.
Theo cách tiếp cận này, một đối tượng tri thức O không thể tồn tại lơ lửng mà chúng
phải nằm trong một thể chế I và có mối quan hệ chằng chịt với những đối tượng khác.
O sinh ra, tồn tại và phát triển trong mối quan hệ ấy. Chevallard đã dùng thuật ngữ
quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà
thể chế I có với tri thức O.
 Tổ chức didactic. Quan hệ cá nhân
Một nghiên cứu về thực hành giảng dạy của GV đòi hỏi tất yếu phải trả lời được:
GV đã làm thế nào để truyền bá một tổ chức toán học, một tri thức toán học? Tổ chức
didactic là công cụ cho phép tìm ra các yếu tố trả lời thích đáng cho câu hỏi ấy.
Chevallar đã không nghĩ rằng mọi tổ chức toán học đều được tổ chức nghiên cứu
theo một cách thức duy nhất. Thế nhưng, Ông cũng nhận thấy rằng cho dù con đường
nghiên cứu có khác nhau thì một số kiểu tình huống nhất thiết phải có mặt, mặc dầu
dưới những hình thức rất khác nhau. Và Ông đã tìm ra được sáu thời điểm nghiên cứu.
Lý thuyết này cho phép mô tả kỹ thuật cụ thể để phân tích, đánh giá và phát triển các
tổ chức didactic.
Thông qua phân tích thực hành giảng dạy O của GV, chúng ta cũng sẽ phần nào
xác định được GV đó đã nghĩ gì về O, hiểu O như thế nào, thao tác O ra sao, … Đó
chính là các yếu tố cấu thành nên mối quan hệ của cá nhân GV đó với đối tượng tri
thức O.


3.

Mục đích nghiên cứu của luận văn

Trong khuôn khổ của luận văn này, do điều kiện về thời gian nên chúng tôi phải
gác câu hỏi Q4’ lại để tập trung vào giải quyết thỏa đáng cho ba câu hỏi Q1’, Q2’,

Q3’. Và trong phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, ba câu hỏi này được trình bày lại
như sau:


Q1: Nhìn từ góc độ một tri thức toán học

Xét trên phương diện đối tượng, có những kỹ thuật nào để giải hệ PTTT? Mỗi kỹ
thuật nẩy sinh từ nhu cầu giải quyết những kiểu bài toán nào? Đâu là các yếu tố công
nghệ, lý thuyết của từng kỹ thuật? Những hệ thống biểu đạt nào được sử dụng và nó
mang lại thuận lợi gì?
Xét trên phương diện công cụ, có những kiểu nhiệm vụ nào được giải quyết bằng
công cụ hệ PTTT? Sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt; sự mô hình hóa gắn
với hệ PTTT đã mang lại những thuận lợi gì?


Q2: Nhìn từ góc độ tri thức cần dạy ở lớp 10

Xét trên phương diện đối tượng, những kỹ thuật nào đã được khai thác để giải
hệ? Có hay không các yếu tố công nghệ, lý thuyết giải thích cho từng kỹ thuật? Tham
chiếu với tri thức toán học, kỹ thuật nào đã không có cơ hội xuất hiện? Kỹ thuật nào lẽ
ra có thể tồn tại nhưng đã không tồn tại? Tại sao? Những hệ thống biểu đạt nào đã
được sử dụng và chúng có ảnh hưởng gì? Vấn đề dạy học bằng mô hình hóa có được
thể chế quan tâm đến hay không?
Xét trên phương diện công cụ, những kiểu nhiệm vụ nào được giải quyết bằng
công cụ hệ PTTT đã được đưa vào? So với tri thức tham chiếu, những kiểu nhiệm vụ
nào đã không được khai thác? Những kiểu nhiệm vụ nào lẽ ra có thể tồn tại nhưng đã
không tồn tại? Vì sao? Sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt được tính đến như
thế nào? Vấn đề dạy học mô hình hóa được thể chế quan tâm đến như thế nào?


Q3: Nhìn từ góc độ tri thức được dạy bởi giáo viên

Xét trên phương diện đối tượng, GV đã khai thác những kỹ thuật nào để giải hệ?
Có hay không các yếu tố công nghệ, lý thuyết giải thích cho từng kỹ thuật? Vấn đề về
các hệ thống biểu đạt, dạy học bằng mô hình hóa gắn với đối tượng hệ PTTT được GV
quan tâm đến như thế nào?
Xét trên phương diện công cụ, những kiểu nhiệm vụ nào được giải quyết bằng
công cụ hệ PTTT đã được GV khai thác? Sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt;
vấn đề dạy học mô hình hóa được GV tính đến như thế nào ?
Các tổ chức didactics (OD) nào đã được GV dùng để triển khai các TCTH trên ?


So với nghiên cứu tri thức cần dạy, đã có sự khác biệt gì hay không? Vì sao?


4.

Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

Luận văn của chúng tôi nhắm đến việc tìm ra những yếu tố trả lời thích đáng cho
ba câu hỏi nêu trên.
 Đối với câu hỏi Q1, do không có điều kiện về tư liệu cũng như về thời gian
nên chúng tôi không thể dấn thân vào một nghiên cứu khoa học luận đầy đủ dựa trên
các tài liệu lịch sử toán. Vì vậy, chúng tôi sẽ phân tích một số giáo trình toán dùng ở
các trường đại học và một số giáo trình lịch sử tìm được nhằm chỉ ra các yếu tố trả lời
cho câu hỏi này. Công cụ lý thuyết mà chúng tôi sử dụng chính là mô hình Tổ chức
toán học của lý thuyết nhân chủng. Kết quả sẽ được trình bày trong chương 1 và đây
cũng chính là cơ sở tham chiếu cho các nghiên cứu tiếp theo.
 Tham chiếu những kết quả thu được từ chương 1, chúng tôi sử dụng các khái
niệm tổ chức toán học, phân tích sinh thái, quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân để tiến

hành phân tích chương trình toán trung học phổ thông và phân tích các sách giáo khoa
toán lớp 10 hiện hành để trả lời cho câu hỏi Q2. Nghiên cứu này sẽ được trình bày
trong chương 2.
 Nghiên cứu ở hai chương đầu cho phép chúng tôi dự đoán những gì có thể tồn
tại trong lớp học, những điều kiện, ràng buộc trên hoạt động dạy của giáo viên, hoạt
động học của học sinh, sự tiến triển và thời điểm quan trọng nhất của việc học, ... Đây
là cơ sở để tìm các yếu tố trả lời cho câu hỏi Q3 – tiến hành phân tích thực hành của
GV. Kết quả nghiên cứu sẽ được trình bày trong chương 3. Trong chương này, ngoài
việc chỉ ra các TCTH thực sự được GV dạy trong lớp học, chúng tôi cũng sẽ làm rõ tổ
chức didactic mà GV lựa chọn để triển khai các TCTH đó. Cụ thể, dựa vào lý thuyết
sáu thời điểm nghiên cứu trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ xác định các
thời điểm nghiên cứu cấu thành nên tổ chức didactic mà GV đã triển khai. Ngoài ra, từ
quan điểm chuyển đổi didactic, chúng tôi sẽ chỉ ra sự chênh lệch (nếu có) giữa TCTH
được GV dạy trong lớp học với TCTH cần phải dạy.
Q1

Tri thức toán học

Q2

Quan hệ thể chế

Q3

Giáo Viên

 Kết quả nghiên cứu ở ba chương đầu cho phép chúng tôi đưa ra những kết
luận gắn với thực tế dạy học và là cơ sở để phát triển tổ chức didactic. Dựa vào những
kết quả thu được từ chương 3, từ việc đánh giá các tổ chức toán học và tổ chức

didactic kết hợp với những kết quả có được từ nghiên cứu hệ PTTT nhìn từ góc độ tri
thức toán học, tri thức cần dạy, chúng tôi sẽ có cơ sở để phát triển tổ chức didactic.


Chương 1:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
NHÌN TỪ GÓC ĐỘ MỘT TRI THỨC TOÁN HỌC
Mở đầu
Nghiên cứu thực hiện ở chương này nhằm làm rõ những đặc trưng của hệ PTTT
nhìn từ góc độ một tri thức toán học. Cụ thể, qua nghiên cứu này, chúng tôi muốn tìm
những yếu tố trả lời cho câu hỏi Q1:
Xét trên phương diện đối tượng, có những kỹ thuật nào để giải hệ PTTT? Mỗi kỹ
thuật nảy sinh từ nhu cầu giải quyết những kiểu bài toán nào? Đâu là các yếu tố công
nghệ, lý thuyết của từng kỹ thuật? Những hệ thống biểu đạt nào được sử dụng và nó
mang lại thuận lợi gì?
Xét trên phương diện công cụ, có những kiểu nhiệm vụ nào được giải quyết bằng
công cụ hệ PTTT? Sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt; sự mô hình hóa gắn
với hệ PTTT đã mang lại những thuận lợi gì?
Như đã nói trong phần mở đầu, do không có điều kiện về thời gian và tư liệu,
chúng tôi không thể thực hiện một nghiên cứu gốc trên các tài liệu lịch sử toán học.
Cùng với vài tài liệu lịch sử tìm được, chúng tôi sẽ tìm kiếm câu trả lời cho những câu
hỏi trên trong một số giáo trình dành cho sinh viên toán các trường đại học sư phạm,
tổng hợp, kỹ thuật, kinh tế.
Hệ PTTT là một đối tượng xuất hiện trong nhiều phân môn toán học: đại số tuyến
tính, phương pháp tính và hình học. Chúng tôi sẽ phải xem xét giáo trình của tất cả các
phân môn này. Như thế, hệ thống tư liệu tham khảo của chúng tôi gồm 4 nhóm :
 Nhóm giáo trình đại số tuyến tính: Những giáo trình sau đã được chúng tôi xem
xét :

-

Nguyễn Viết Đông – Lê Thị Thiên Hương - Nguyễn Anh Tuấn - Lê Anh Vũ
(2003), Toán cao cấp, tập 2, NXB Giáo dục

-

Tạ Văn Hùng – Nguyễn Phi Khứ - Hà Thanh Tâm (2000), Đại số tuyến tính,
NXB Thống Kê

-

Trần Văn Hãn (1996), Đại số tuyến tính trong kỹ thuật, Tủ sách trường Đại
học Đại Cương, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp

-

V.V. Voevôđin (1983), Đại số tuyến tính, NXB Đại học và trung học
chuyên nghiệp, NXB “Mir” Hà Nội – Maxcova. Bản dịch của NXB ĐH và
THCN.


 Nhóm giáo trình hình học: Phân môn Hình học chỉ có trong chương trình dành
cho các trường đại học sư phạm và tổng hợp. Giáo trình mà chúng tôi đã tham khảo là:
-

Nguyễn Mộng Hy (2001), Hình học cao cấp, NXB Giáo dục

 Nhóm giáo trình phương pháp tính:
-

Nguyễn Chí Long (2002), Phương pháp tính, NXB ĐHQG TP.HCM

-

Trần Văn Trản (2007), Phương pháp số thực hành, tập 1, NXB ĐHQG Hà
Nội

-

Lê Văn Hạp – Lê Đình Thịnh (2000), Phương pháp tính và các thuật toán,
NXB Giáo Dục.

 Nhóm các tài liệu lịch sử: chúng tôi đã sử dụng tư liệu được đăng tải trên hai
trang web:
-

J J O'Connor and E F Robertson, “Matrices and determinants”, />
-

“A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory”,
/>
Kết quả nghiên cứu của chương được chúng tôi trình bày thành hai phần: hệ
PTTT với tư cách một đối tượng và với tư cách một công cụ toán học. Trong phần thứ
nhất, chúng tôi sẽ làm rõ những hệ thống biểu đạt được dùng để biểu diễn đối tượng hệ
PTTT và đặc biệt là lợi ích của mỗi một trong chúng đối với việc nghiên cứu các kỹ
thuật giải hệ phương trình. Trong phần thứ hai, chúng tôi sẽ chỉ ra tác động của hệ
PTTT trong hai tổ chức toán học liên quan đến hai bài toán hình học - biểu thị tuyến
tính một vectơ qua một hệ hữu hạn vectơ và nghiên cứu sự tương giao của các phẳng.
1.1.

Hệ phương trình tuyến tính xét trên phương diện đối tượng

1.1.1. Hệ PTTT và các hệ thống biểu đạt
Một hệ PTTT có thể được biểu thị ít nhất bằng ba ngôn ngữ.





 Một hệ gồm m phương trình của n ẩn số x1, x2, ..., xn m, n  * có dạng
a11x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2
(1.1)

.........................................
a m1x1  a m2 x 2  ...  a mn x n  b m

với a ij , bi  K (i  1, m; j  1, n ) , K là trường số thực hay số phức, được gọi là hệ PTTT
(m phương trình, n ẩn số) trên K.


Nghiệm của hệ (1.1) là một bộ n số sắp thứ tự (c1, c2¸..., cn)   n sao cho khi thay

xj = cj  j  1, n  vào các phương trình của hệ (1.1) ta nhận được các đồng nhất thức trên
K.
 Phương trình ma trận

 m x n

Bằng cách đưa vào các kí hiệu A  a ij

a11 a12 ... a1n 
 b1 
b 
a a ... a

21
22
2n
, B  2 ,

... 
... ... ... ...

 


 b m 
a m1 a m2 ... a mn 

 x1 
x 
X =  2  (và gọi chúng lần lượt là ma trận các hệ số của ẩn, ma trận cột hệ số tự
... 
 
 x n 

do, ma trận cột các ẩn), người ta có thể viết hệ phương trình (1.1) ở dạng AX = B
(1.2)

Cách viết này được gọi là dạng ma trận của hệ phương trình (1.1).
 Phương trình vectơ
Ta còn có thể viết hệ phương trình (1.1) dưới dạng

n

 a .x
j 1

ij

j

 bi ; i  1, m .

a1 j 
 
a2 j
Nếu kí hiệu A j    , j  1, n , thì hệ (1.1) lại được viết lại dưới dạng mới :
...
 
amj 

x1A1 + x2A2 + ... + xnAn = B

(1.3) hay

n

x A
j 1

j

j

 B.

“Ta cũng bảo cột tự do B được biểu thị tuyến tính qua hệ n cột
A1, A 2 , ..., A n  của A bởi tổ hợp tuyến tính x1A1 + x2A2 + ... + xnAn . Như vậy, mỗi
nghiệm của (1.1) cho ta một cách biểu thị tuyến tính B qua A1, A 2 , ..., A n  . Giải hệ
(1.1) tương đương với quá trình đi tìm tất cả các cách biểu thị B qua
A1, A 2 , ..., A n  ” (Nguyễn Viết Đông và các tác giả, tr. 97). Vì không gian các ma
trận cột cấp m  1 là một không gian vectơ m chiều nên phương trình (1.3) được gọi là
dạng vectơ của hệ (1.1), và giải hệ cũng có nghĩa là biểu diễn một vectơ qua hệ vectơ
đã cho.
Như thế, có ít nhất là ba hệ thống biểu đạt, hay còn gọi là ba ngôn ngữ để viết
một hệ PTTT. Để thuận tiện trong trình bày, chúng tôi gọi chúng lần lượt là ngôn ngữ
hệ, ngôn ngữ ma trận, ngôn ngữ vectơ.


Với ngôn ngữ hệ, khi giải hệ PTTT ta phải biến đổi trực tiếp trên các phương
trình (có cả hệ số và biến số). Điều đó làm cho lời giải khá cồng kềnh, đặc biệt với
những hệ có số phương trình và số ẩn tương đối lớn. Lịch sử đã chỉ ra rằng chính vì để
khắc phục nhược điểm này mà khái niệm ma trận đã nẩy sinh từ quá trình nghiên cứu
kỹ thuật giải các hệ PTTT. Có lẽ cũng vì lý do đó mà tất cả các giáo trình đại học
chúng tôi đã tham khảo đều trình bày khái niệm hệ PTTT bằng ngôn ngữ ma trận.

Lúc này, việc giải một hệ PTTT tương đương với việc giải một phương trình ma
trận. Ở đây, người ta chỉ thực hiện biến đổi trên ma trận số. Như chúng tôi sẽ chỉ ra
trong phần dưới, khi làm rõ những tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ “giải hệ
PTTT”, chính cách biểu đạt này đã mang lại nhiều lợi thế cho việc tìm các kỹ thuật
giải quyết vấn đề.
Ưu thế của cách biểu đạt hệ PTTT bằng ma trận dường như không còn giữ được
với ngôn ngữ vectơ. Tuy nhiên, loại ngôn ngữ thứ ba này lại cho thấy vai trò công cụ
của hệ PTTT đối với bài toán “biểu thị tuyến tính một vectơ qua một hệ hữu hạn
vectơ”. Vấn đề này sẽ được chúng tôi làm rõ hơn trong phần 1.2 (hệ PTTT trên
phương diện công cụ) của chương.
1.1.2. Về các kiểu nhiệm vụ con của kiểu nhiệm vụ T* “Giải hệ phương trình
tuyến t ính”
Luận văn Thạc sĩ “Algorith và tham số trong dạy - học chủ đề phương trình ở
trường THPT. Trường hợp hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” của tác giả Nguyễn
Thùy Trang (2005), ĐHSP Tp.HCM rất gần với vấn đề mà chúng tôi nghiên cứu trong
phần này. Tác giả đã đề cập đến các tổ chức toán học (TCTH) gắn với hai kiểu nhiệm
)
vụ: TR(m,n ) - giải hệ PTTT không chứa tham số và TR(m,n
 D - giải hệ PTTT có chứa tham số
(R, D tương ứng là chữ cái đầu tiên của hai từ résoudre, discuter trong tiếng Pháp. Ở
đây hai từ này được sử dụng với nghĩa “giải” và “biện luận”). Trong bảng 1.1 và
bảng 1.2 dưới đây, chúng tôi liệt kê lại những kỹ thuật mà tác giả đã chỉ ra để giải
)
quyết các kiểu nhiệm vụ TR(m,n) , TR(m,n
 D . Hệ thống ký hiệu của tác giả được chúng tôi giữ
nguyên. Để tránh sự dài dòng không cần thiết, chúng tôi sẽ không nêu ở đây các yếu tố
công nghệ và lý thuyết mà tác giả đã làm rõ.


Bảng 1.1: Các kỹ thuật giải hệ PTTT không chứa tham số

Kiểu nhiệm vụ

Kỹ thuật

 (n,n)
Cr - Kỹ thuật giải hệ Cramer
Giải
trực
tiếp

- Kỹ thuật đưa về hệ Cramer
 (m,n)
Cr

 G - Kỹ thuật Gauss

 G J - Kỹ thuật Gauss - Jordan

TR(m,n )

Giải hệ PTTT
không chứa
tham số

 Cho - Kỹ thuật Cholesky
Giải
gián
tiếp

 Rac - Kỹ thuật căn bậc hai

 Orth - Kỹ thuật trực giao
 Ite - Kỹ thuật lặp đơn

Sei - Kỹ thuật Seidel
Bảng 1.2: Các kỹ thuật giải hệ PTTT có chứa tham số
Kiểu nhiệm vụ

Kỹ thuật
)
 (m,n
- Kỹ thuật đưa về hệ Cramer
Cr

)
TR(m,n
D

Giải hệ PTTT có
chứa tham số

 Cramer - Kỹ thuật Cramer (định thức)
 G - Kỹ thuật Gauss

 G J - Kỹ thuật Gauss – Jordan
Tán thành với Nguyễn Thùy Trang, chúng tôi cũng phân kiểu nhiệm vụ T* - “giải
hệ PTTT” thành T- “giải hệ PTTT không có tham số” và Tts - “giải hệ PTTT có chứa
tham số” (ts: tham số), vì đây là cách tốt nhất để có thể làm rõ tầm ảnh hưởng của các
kỹ thuật gắn với T*. Cặp (m, n) tương ứng chỉ số phương trình và số ẩn của hệ. Để
thuận tiện, chúng tôi sẽ nói hệ (m, n) thay cho hệ PTTT gồm m phương trình, n ẩn.

Cách gọi “kỹ thuật giải hệ Cramer” do tác giả Nguyễn Thùy Trang đề nghị có lẽ
không hoàn toàn chính xác, nên chúng tôi sẽ thay bằng “kỹ thuật Cramer”. Kỹ thuật
này chỉ áp dụng được cho hệ Cramer. Vả lại, thực ra thì không có sự khác biệt nào
trong kỹ thuật giải giữa hệ (m, n) với m  n và hệ (n, n) nhưng không phải là hệ
Cramer. Rõ ràng, sự khác biệt ấy nằm ở chỗ hệ phương trình có phải là hệ Cramer hay


không. Vì hai lý do này mà chúng tôi sẽ tách T thành hai kiểu nhiệm vụ con là TC “giải hệ phương trình Cramer không chứa tham số” và TC - “giải hệ không có tham
số và không phải là hệ Cramer”.

Đối với kiểu nhiệm vụ Tts thì thay cho kỹ thuật Cramer (bảng 1.2) chúng tôi sẽ
nói đến “kỹ thuật định thức”. Cách gọi này bao trùm cả kỹ thuật Cramer. Nó chỉ một
kỹ thuật có thể dùng để giải không chỉ hệ Cramer mà còn là mọi hệ (n, n) (có số
phương trình và số ẩn bằng nhau). Như chúng tôi sẽ chỉ ra trong phần dưới, cách phân
các hệ PTTT có chứa tham số thành hai dạng, tùy thuộc vào chỗ số phương trình và số
ẩn có bằng nhau hay không, sẽ thuận lợi hơn cho việc nghiên cứu sách giáo khoa cũng
như phân tích thực hành của giáo viên sau này.
Sơ đồ dưới đây trình bày cách phân loại các kiểu nhiệm vụ của chúng tôi.
T*- Giải hệ PTTT

T - Giải hệ PTTT
không có tham số

TC - Giải hệ không có
tham số
(không phải hệ Cramer)

Tts - Giải hệ PTTT
có tham số

TC - Giải hệ Cramer

Tts(m,n ) - Giải hệ (m, n)

không có tham số

có tham số (m  n)

T ts( n , n ) - Giải hệ (n, n) có
tham số

1.1.3. Về các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ T

Như bảng 1.1 đã chỉ ra, Nguyễn Thùy Trang phân các kỹ thuật giải quyết kiểu
nhiệm vụ T (giải hệ PTTT không có tham số) thành 2 nhóm - nhóm kỹ thuật giải trực
tiếp và nhóm kỹ thuật giải gián tiếp. Tác giả giải thích cơ sở cho sự phân nhóm các kỹ
thuật là: nhóm phương pháp trực tiếp (nhóm phương pháp giải đúng) có đặc điểm
chung là sau một số hữu hạn phép tính sẽ có kết quả và nhóm phương pháp gián tiếp
là phương pháp giải “gần đúng” hay phương pháp lặp. Nhưng thực ra các kỹ thuật
Cholesky, căn bậc hai và trực giao cũng có thể cho kết quả đúng. Hơn thế, về nguyên
tắc thì kỹ thuật Gauss luôn cho nghiệm đúng, nhưng trong thực tế, nếu chuyển từ phân
số sang cách viết thập phân thì nó lại có thể tạo ra sai số. Vì những lý do này chúng tôi
sẽ không phân biệt các kỹ thuật thành hai nhóm như bảng 1.1. Ngoài ra, do mục đích
nghiên cứu có gắn với hệ PTTT xét trên phương diện công cụ và sau đó gắn với hoạt
động tác nghiệp của giáo viên, chúng tôi sẽ phân tích sâu hơn kỹ thuật Gauss. Cụ thể,
để thấy được sự quan tâm đến sai số trong bản thân kỹ thuật Gauss, chúng tôi phân nó
thành Gauss nguyên thủy, Gauss với phép chọn bán phần, Gauss với phép chọn toàn
phần. Hơn thế, đối với từng kỹ thuật, chúng tôi cũng sẽ cố gắng chỉ rõ nguồn gốc nẩy
sinh, ưu điểm, hạn chế hay nói cách khác là đánh giá tầm ảnh hưởng của nó.

Cần phải nói thêm rằng, do số trang hạn chế của luận văn, chúng tôi sẽ không
trình bày chi tiết từng kỹ thuật. Ngoài ra, vì các yếu tố công nghệ, lý thuyết của những
kỹ thuật này đều là kiến thức về hệ phương trình tương đương và ma trận nên chúng
tôi cũng sẽ không nhắc lại chúng ở đây. Bạn đọc có thể tìm thấy một phân tích chi tiết
trong luận văn của Nguyễn Thùy Trang.
1.1.3.1. Các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ TC (giải hệ PTTT không có tham số
và không phải là hệ Cramer)

Như Nguyễn Thùy Trang đã chỉ ra, gắn với kiểu nhiệm vụ TC có 3 kỹ thuật có
thể được sử dụng: kỹ thuật đưa về hệ Cramer  Cr , kỹ thuật Gauss – Jordan  G J , kỹ
thuật Gauss  (m,n)
.
G
 Kỹ thuật đưa về hệ Cramer  Cr

Xét hệ PTTT viết ở dạng ma trận AX = B. Gọi A  [ A | B] là ma trận hệ số mở
rộng của hệ phương trình, có được bằng cách ghép thêm cột tự do B vào bên phải A.
Kỹ thuật này gồm các bước:
 Tính các định thức con của A, A để tìm ra định thức con D(r), D(r’) khác

không có cấp cao nhất của A, A (định thức con cơ sở): rank(A) = r và rank ( A ) = r’
 Nếu r < r’ thì hệ phương trình vô nghiệm
 Nếu r = r’ thì hệ phương trình có nghiệm
 Từ một định thức con cơ sở D(r),
 Xác định các phương trình chính: hàng hệ số của phương trình chính
chứa 1 dòng của D(r). Bỏ các phương trình không chính.
 Xác định các ẩn số chính: cột hệ số của ẩn chính chứa 1 cột của D(r).
Các ẩn còn lại gọi là ẩn tự do, được chuyển sang vế phải và xem như là tham số.

Ta thu được hệ Cramer đối với r ẩn chính.
 Giải hệ (r, r) bằng công thức Cramer x j 

Dj
D

, j  1, r hoặc dùng ma

trận nghịch đảo X '  A '1 B'
 Nhận xét

Trong lịch sử, có nhiều bài toán thực tế mà lời giải bao hàm một hệ PTTT. Kỹ
thuật đưa về hệ Cramer trong một thời gian dài được sử dụng vì về nguyên tắc nó cho
phép giải mọi hệ PTTT. Kỹ thuật này có điểm thuận lợi về phương diện nghiên cứu lý
thuyết (công thức nghiệm đưa ra rõ ràng) nhưng lại bất tiện trên phương diện thực
hành (phải tính rất nhiều định thức khi hệ phương trình có kích cỡ chỉ mới vừa đủ lớn
(số phương trình hay số ẩn lớn) hay các hệ số là số lẻ). Chính vì vậy, kỹ thuật này


không được các giáo trình ứng dụng (phương pháp tính, phương pháp số) mô tả. Điều
này cũng xẩy ra trong lịch sử, khi mà những câu hỏi về thiên văn và trắc địa học đã
dẫn đến các hệ phương trình với số phương trình rất lớn. Hạn chế này của  Cr được
khắc phục dần với kỹ thuật Gauss- Jordan và Gauss.
 Kỹ thuật Gauss – Jordan  G J
Ở đây người ta tìm rank(A) và rank ( A ) (bằng cách tính các định thức con) và
làm tương tự như kỹ thuật  Cr . Riêng với trường hợp hệ phương trình có nghiệm,
sau khi đưa được về hệ Cramer đối với r ẩn chính, thay vì dùng công thức Cramer, kỹ
thuật này sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận hệ số các ẩn chính về
dạng chính tắc (ma trận đơn vị cấp r). Từ đó, thu được nghiệm tổng quát của hệ đã cho
theo (n - r) ẩn tự do.

 Nhận xét

So với kỹ thuật đưa về hệ Cramer, khi dùng kỹ thuật Gauss - Jordan ta không
phải tính định thức khi hệ có nghiệm mà thay vào đó bằng việc thực hiện các phép
biến đổi sơ cấp trên ma trận. Tuy nhiên, kỹ thuật  G J vẫn còn điểm bất tiện là việc
tính các định thức vẫn cần phải trải qua để xác định rank(A) và rank( A ). Do đó, kỹ
thuật này vẫn gây khó khăn khi hệ phương trình có kích cỡ lớn.
 Kỹ thuật Gauss  G :
Yếu điểm của hai kỹ thuật trên được khắc phục bởi kỹ thuật Gauss. Bằng các
phép biến đổi sơ cấp dòng song song với việc tính hạng A và A , kỹ thuật  G đồng thời
đưa hệ đã cho về dạng đơn giản vừa cho biết hệ vô nghiệm hay không và nếu có thì
cũng dễ dàng tìm được nghiệm. “Số phép tính nhân cần thực hiện theo kỹ thuật Gauss
nhỏ hơn số phép tính nhân theo qui tắc Cramer là rất lớn. Cũng với hệ (30,30) và
cũng bằng máy tính như trước, chúng chỉ mất có 0,54 phần tỷ giây để giải bằng
phương pháp Gauss thay vì 378.080 tỷ năm bằng qui tắc Cramer.” (Trần Văn Trản,
tr.181). Kỹ thuật này được mô tả như sau :
 Lập ma trận mở rộng A =[A|B]. Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

của ma trận A để đưa A về dạng bậc thang dòng A ' =[A’|B’].
 Căn cứ vào hạng của A’ và hạng của A ' để kết luận về số nghiệm của hệ
phương trình. Cụ thể:
 Nếu rank(A’) < rank ( A ' ) thì hệ vô nghiệm
 Nếu rank(A’) = rank ( A ' ) = n thì hệ có nghiệm duy nhất
 Nếu rank(A’) = rank ( A ' ) = r < n thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc (n
– r) tham số. Trường hợp này trong dạng bậc thang dòng của A’ tồn tại định thức con


cấp r, Dr  0 , Dr được gọi là định thức con cơ sở. Tính các ẩn chính theo các tham số
(ẩn tự do) ta được nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho.
Ý tưởng cơ bản của kỹ thuật Gauss là khử dần các ẩn số. Từ trên xuống dưới, số

các ẩn chính trong các phương trình sẽ giảm dần, cho đến khi phương trình cuối
(không kể các phương trình ứng với những dòng bằng không bị bỏ đi) chỉ còn đúng
một ẩn chính.
Tùy thuộc vào phép biến đổi sơ cấp dòng được lựa chọn để đưa ma trận mở rộng
A về dạng bậc thang dòng A ' mà ta có các kỹ thuật thuộc loại Gauss nguyên thủy

 G a , Gauss với phép chọn bán phần  G a , Gauss với phép chọn toàn phần  G a .
ii

*j

ij

Nói cách khác, các kỹ thuật này chỉ khác nhau ở khâu đưa A về dạng bậc thang. Vì
thế, chúng tôi chỉ mô tả phép biển đổi sơ cấp mà mỗi kỹ thuật lựa chọn cho khâu này.
 Phép biến đổi sơ cấp trong kỹ thuật Gauss nguyên thủy  G a :
ii

- Ở bước khử đầu tiên, lấy dòng 1 của A lần lượt nhân với đại lượng 

a i1
a11

(giả thiết a11  0 ) rồi cộng vào dòng thứ i, sẽ khử được biến x1 trong các PT thứ i (với
i  2, m )

- …..
- Bằng cách tương tự, ở bước khử thứ k, ta lấy dòng thứ k của ma trận A /k
(ma trận A sau bước biến đổi thứ k) lần lượt nhân với 

a ik
(giả thiết a kk  0 ) rồi cộng
a kk

vào dòng thứ i, ta sẽ lần lượt khử được xk trong phương trình thứ i.
Thực hiện tối đa qua m-1 bước khử, hệ phương trình đã cho được đưa về hệ
tương đương có dạng bậc thang.
 Nhận xét : “Kỹ thuật Gauss nguyên thủy có hai yếu điểm. Một là, ở bước khử
nào đó, nếu phần tử trên đường chéo bằng không thì công việc bị dừng lại. Hai là, nếu
phần tử trên đường chéo khác không nhưng có trị tuyệt đối nhỏ hơn các phần tử khác
cùng cột thì khi chia cho nó sẽ làm tăng sai số tương đối, và do đó khuếch đại sai số
làm tròn số, dẫn đến lời giải bị biến dạng mạnh.” (Trần Văn Trản, tr.182). Hai nhược
điểm này có thể khắc phục dần bằng thuật toán khử kết hợp với phép chọn bán phần,
phép chọn toàn phần sau.
 Phép biến đổi sơ cấp trong kỹ thuật Gauss với phép chọn bán phần
 Ga

*j

Ngay từ bước 1, người ta chọn phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất trên cột 1. Nếu
phần tử đó nằm ở dòng k  k  1 thì đổi vị trí dòng đó cho dòng 1 rồi thực hiện tiếp các
thủ tục khử ở bước khử đầu tiên như trong kỹ thuật Gauss nguyên thủy. Đến bước 2,


cũng lại chọn phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất ở cột hai (từ dòng 2 trở xuống), làm
phép đổi vị trí của dòng chứa phần tử đó với dòng 2 (nếu cần thiết) và thực hiện phép
khử ở bước khử thứ hai như trong kỹ thuật Gauss nguyên thủy. Cứ như vậy, ở tất cả
các bước khử ta đều thực hiện phép chọn phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất trên cột
tương ứng và hoán đổi vị trí dòng trước khi tiến hành phép khử.
 Phép biến đổi sơ cấp trong kỹ thuật Gauss với phép chọn toàn phần

 Ga

ij

Ở đây, ngay từ bước khử đầu tiên, ta không chọn phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất
trên cột 1 mà chọn phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất trong tất cả các phần tử
a ij (i  1, m, j  1, n) của toàn ma trận. Giả sử đó là phần tử apq nằm ở dòng thứ p và cột

thứ q. Ta gọi dòng p là dòng trội. Lần lượt ta nhân dòng này với thừa số mi  

a iq
a pq

 i  p  rồi cộng kết quả vào dòng thứ i. Bằng cách này, ta đã loại bỏ được ẩn xq ra khỏi
các phương trình của hệ, trừ phương trình thứ p. Loại dòng trội và cột q ra khỏi hệ
phương trình vừa biến đổi, ta thu được hệ gồm m-1 phương trình. Tiếp tục thực hiện
bước khử kế tiếp với hệ mới này. Ta chỉ cần thực hiện tối đa là (min(m,n)-1) bước khử
sẽ có hệ phương trình bậc thang gồm các dòng trội ở các bước khử .
1.1.3.2. Các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ TC (Giải hệ Cramer không có tham
số)

Hệ Cramer là hệ PTTT có số phương trình bằng số ẩn và ma trận các hệ số của ẩn
không suy biến (ma trận có định thức khác không). Đối với các hệ phương trình này,
hai kỹ thuật Gauss – Jordan  G J và Gauss  G đều có thể sử dụng. Thay cho kỹ thuật
đưa về hệ Cramer  Cr là kỹ thuật Cramer  Cr , ở đó chỉ cần áp dụng công thức
Cramer để tìm nghiệm. Ngoài ra, do ma trận các hệ số của ẩn không suy biến nên
người ta còn có thể giải quyết kiểu nhiệm vụ TC bằng ba nhóm các kỹ thuật khác:
nhóm kỹ thuật phân rã, nhóm các kỹ thuật trực giao và nhóm kỹ thuật lặp. Chúng tôi
sẽ không trình bày chi tiết các nhóm kỹ thuật này, chỉ giới thiệu ý đồ của chúng. Bạn
đọc quan tâm có thể tìm hiểu qua giáo trình tham khảo (sẽ được giới thiệu tương ứng).

 Nhóm kỹ thuật phân rã  ... :
Nhóm kỹ thuật này ra đời từ nhu cầu giải các bài toán thực tế về công nghiệp và
kinh doanh. Ở đây người ta phải giải một chuỗi hệ phương trình có ma trận các hệ số
của ẩn giống nhau: AX = B1, AX = B2, …, AX = Bp.
Tư tưởng chung của nhóm kỹ thuật này là phân rã ma trận A thành tích hai ma
trận tam giác đặc biệt S, V. Sau đó, thay vì giải hệ phương trình ban đầu AX = B, ta
chỉ việc giải hai hệ PTTT dạng tam giác đặc biệt : SY= B và VX = Y.


Việc phân tích A thành tích S.V chỉ cần thực hiện một lần nhưng lại được dùng
để giải nhiều hệ PTTT có cùng ma trận các hệ số của ẩn. Đây chính là ưu điểm của kỹ
thuật này so với các kỹ thuật trước đó.
Có ít nhất là ba cách phân tích ma trận A thành tích S.V như vậy. Chúng được
gọi là kỹ thuật Cholesky   Cho , kỹ thuật phân rã LU   LU , kỹ thuật căn bậc hai


.
 Kỹ thuật Cholesky   Cho :

Phân tích: A = SV, trong đó S là ma trận tam giác dưới, và V là một ma trận tam
giác trên với các phần tử chéo bằng 1. Người ta đã tìm ra công thức xác định các phần
tử của ma trận S và V và từ đó có công thức tìm nghiệm của hệ phương trình (tham
khảo Nguyễn Chí Long, tr. 127).
 Kỹ thuật căn bậc hai  

Đây là trường hợp đặc biệt của kỹ thuật Cholesky khi ma trận A là ma trận đối
xứng, nghĩa là a ij  a ji (i, j  1, n ) (tham khảo Nguyễn Chí Long, tr. 131).
 Kỹ thuật phân rã LU   LU

Tương tự như kỹ thuật Cholesky, nhưng phân rã A thành tích 2 ma trận L và U,

trong đó L là ma trận tam giác dưới với các phần tử chéo bằng 1 và U là ma trận tam
giác trên (tham khảo Trần Văn Trản, tr.190).
 Nhóm các kỹ thuật trực giao
Đối với một hệ Cramer bất kỳ AX=B, ưu điểm của kỹ thuật Cramer là có thể đưa
ngay công thức nghiệm X=A-1B. Tuy nhiên, việc tìm ma trận nghịch đảo A 1 của một
ma trận A không đặc biệt không phải là đơn giản. Nhưng, nếu A là ma trận trực giao
thì A 1  A T (chuyển vị của ma trận A). Như vậy, nghiệm X  A T B của hệ sẽ được tìm
một cách dễ dàng. Kết hợp tư tưởng này với tư tưởng phân rã ma trận hệ số A (nhóm
kỹ thuật phân rã), nhóm kỹ thuật trực giao tiến hành phân tích ma trận hệ số A thành
tích hai ma trận đặc biệt: một ma trận là ma trận trực giao hoặc gần như là trực giao
(có các cột trực giao, các hàng trực giao) và một ma trận tam giác.
 Kỹ thuật trực giao hóa các cột  cot :

Phân tích ma trận A thành tích hai ma trận S, V, với S là ma trận có các cột trực
giao, V là ma trận tam giác trên có các phần tử chéo bằng 1. Người ta đã tìm ra công
thức cho phép xác định S, V và sau đó là nghiệm của hệ phương trình (tham khảo Trần
Văn Trản, tr. 275)