So sánh tốc độ hội tụ của sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong ứng dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hyđro

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD: TS. NGUYỄN VĂN HOA
SVTH: PHẠM THỊ MAI

TP. HỒ CHÍ MINH-THÁNG 5/2010


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

LỜI CẢM ƠN
Em xin cảm ơn giáo viên hướng dẫn, TS. Nguyễn Văn Hoa, đã định
hướng giúp em tiếp cận vấn đề nghiên cứu trong khóa luận này; động viên và
giúp đỡ em hoàn thành khóa luận.
Em xin cảm ơn PGS.TSKH Lê Văn Hoàng đã đóng góp nhiều ý kiến quý
báu cho khóa luận.
Em xin cảm ơn thầy Lữ Thành Trung đã giúp đỡ em rất nhiều về thuật
toán trong ngôn ngữ lập trình.
Em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý đã tận tình dạy bảo em
trong suốt bốn năm đại học, để em có được những kiến thức như ngày hôm
nay.
Em xin cảm ơn các bạn lớp Lý khóa 32 và những người thân đã giúp đỡ em
trong suốt thời gian làm khóa luận.
Em xin cảm ơn ba mẹ luôn bên cạnh và tạo mọi điều kiện tốt nhất giúp em
hoàn tất khóa luận.

Sinh viên thực hiện
Phạm Thị Mai

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 1


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Mục lục
MỞ ĐẦU

.................................................................................................. 3

NỘI DUNG .................................................................................................. 7
Chương 1 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử Hydro.............. 7
1.1 Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro........................................ 7
1.2 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hidro ................................. 12
1.3 Sử dụng phương pháp toán tử tính năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro
khi chưa có bổ chính..................................................................................... 16
1.4 Nhận xét ................................................................................................ 17
Chương 2 Sử dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn tính các bổ chính năng
lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ............................................................18
2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn ...................................................................... 18
2.2 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu
loạn bằng phương pháp toán tử..................................................................... 20

2.3 Nhận xét ..................................................................................................25
Chương 3 Sử dụng sơ đồ vòng lặp tính các bổ chính năng lượng cơ bản
của nguyên tử Hydro...................................................................................26
3.1 Mục đích sử dụng sơ đồ vòng lặp ........................................................... 26
3.2 Thiết lập sơ đồ vòng lặp.......................................................................... 26
3.3 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ứng với theo sơ đồ
vòng lặp
................................................................................................ 28
3.4 Nhận xét ................................................................................................ 30
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN .................................................... 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 32
PHỤ LỤC .....................................................................................................34
Phụ lục 1 Các toán tử sinh – hủy một chiều .................................................. 34
Phụ lục 2 Dạng chuẩn (Normal) của một số biểu thức trong luận văn ........... 37
Phụ lục 3 Toán tử thế năng ........................................................................... 40
Phụ lục 4 Tính các yếu tố ma trận của Hˆ ..................................................... 46
Phụ lục 5 Biểu thức của bổ chính bậc cao theo lí thuyết nhiễu loạn ............. 48
Phụ lục 6 Một số chương trình viết bằng ngôn ngữ lập trình Fortran ........... 52
SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

MỞ ĐẦU
1) Tình hình nghiên cứu
Ngày nay, Vật lý thực nghiệm đã có những bước phát triển mạnh mẽ,

đòi hỏi phải có những tính toán lý thuyết chính xác. Trong khi đó, phương
pháp gần đúng chủ yếu sử dụng cho hệ vi mô là phương pháp nhiễu loạn
không sử dụng được cho bài toán không có nhiễu loạn.
Trước tình hình đó, việc tìm ra một phương pháp mới hiệu quả, có
phạm vi áp dụng rộng rãi rất được quan tâm trong những năm gần đây.
Và phương pháp toán tử với những tính toán thuần đại số, được xây dựng
cho nhóm các bài toán nguyên tử là một phương pháp đang được các nhà
Vật lý lý thuyết quan tâm nghiên cứu.
Ý tưởng về phương pháp toán tử xuất hiện vào những năm
1979. Tuy nhiên phương pháp toán tử (Operator Method) được đưa ra đầu
tiên vào năm 1982 do nhóm nghiên cứu của giáo sư Kamarov L. I. thuộc
trường đại học tổng hợp Belarus và được áp dụng thành công cho một
nhóm các bài toán trong vật lý chất rắn, vật lý nguyên tử, lý thuyết
trường,…
Qua việc nghiên cứu và khai thác trong nhiều bài toán cụ thể, phương
pháp toán tử đã tỏ ra là một phương pháp nổi trội hơn hẳn phương pháp
truyền thống như:
Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông
thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt. Trong suốt quá trình tính
toán, ta sử dụng các phép biến đổi đại số và những chương trình tính toán
như Maple, Mathematica,…để tự động hóa quá trình tính toán.
Cho phép giải các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất
kỳ.
Với phương pháp toán tử, bước đầu đã giải quyết một phần những
khó khăn về phương pháp của Vật lý lý thuyết, góp phần vào sự phát triển
không ngừng của nền khoa học kỹ thuật toàn cầu.
2) Lí do chọn đề tài
Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán mà chúng ta
có lời giải chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái
SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 3


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

dừng, đó là: bài toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và
bài toán về nguyên tử hydro (chuyển động của hạt trong trường xuyên
tâm). Đây là các hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tự nhiên. Việc nghiên
cứu các hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các
phương pháp của cơ học lượng tử. Ngoài ra các kết quả thu được có một
tầm quan trọng đặc biệt, vì trong một sự gần đúng nào đó, chúng phản ánh
những tính chất của hệ thực tương ứng.
Trong đó bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán quan trọng của
vật lý lượng tử. Mặc dù là một bài toán có lời giải chính xác nhưng bài toán
về nguyên tử hydro là một bài toán khá phức tạp. Để giải được bài toán này,
ban đầu phải xây dựng một hệ thống kiến thức về toán tử momen xung
lượng trong hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và hàm riêng của toán tử
momen xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hóa không gian, sự
phân bố electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu…
Bằng cách biểu diễn tất cả các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lí
qua các toán tử sinh hủy có chứa thông số biến phân, phương pháp toán tử đã
cho kết quả bước đầu đáng tin cậy và có thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị
nào của trường ngoài, nếu kết hợp với phương pháp nhiễu loạn.
Tính năng lượng của nguyên tử hydro bằng phương pháp toán tử kết hợp
áp dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn dẫn đến kết luận: chuỗi các bậc bổ chính là
hội tụ. Nếu muốn tăng độ chính xác của năng lượng, chúng ta có thể điều
chỉnh thông số biến phân trong các toán tử sinh hủy hoặc thêm các bổ chính

bậc cao hơn cho đến khi đạt kết quả chính xác. Tuy nhiên, tốc độ hội tụ chậm
vì các bổ chính bậc càng cao thì càng giảm nhanh.
Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm ra một phương pháp để thu được năng
lượng hội tụ về giá trị chính xác nhanh hơn bằng tính số trên máy tính, mà
không cần phải tính đến các bổ chính bậc cao cũng như sự điều chỉnh thông số
biến phân. Chúng tôi đi tới ý tưởng xây dựng một sơ đồ vòng lặp, mà cứ sau
mỗi vòng lặp thu được một giá trị năng lượng gần đúng, lại tiếp tục cho lặp lại,
để được một giá trị gần đúng hơn nữa. Quá trình lặp cứ tiếp, cho tới khi giá tri
sau khác giá trị ngay trước đó trong khoảng sai khác mong muốn thì dừng lại.
Kết quả cuối cùng thu được hội tụ về một giá trị, chính là giá trị năng lượng
cần tìm.
SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 4


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Do thời lượng nghiên cứu và kiến thức còn hạn chế, nội dụng bài nghiên
cứu này chỉ dừng lại ở mức độ khảo sát tính ưu việt giữa hai hướng tiếp cận:
lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc
tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro.
3) Mục tiêu của đề tài
Trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận phương pháp toán tử như một
công cụ mới với mục tiêu cụ thể là:
Tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu
điểm… Kết hợp phương pháp toán tử và lý thuyết nhiễu loạn để tính mức
năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro.

Xây dựng sơ đồ vòng lặp để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử
hidro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn
và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản
của nguyên tử hydro. Từ đó nhận định xem hướng tiếp cận nào tốt hơn để lựa
chọn cho những bài toán có phức tạp hơn.
4) Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được
Từ những khó khăn của lý thuyết nhiễu loạn khi giải quyết bài
toán nguyên tử hydro trong trường ngoài trung bình và những ưu điểm vượt
trội của phương pháp toán tử so với phương pháp nhiễu loạn, nên phương
pháp toán tử là phương pháp chính được sử dụng trong quá trình thực hiện
luận văn này.
Lập trình bằng ngôn ngữ fortran theo sơ đồ vòng lặp để tính mức năng
lượng cơ bản của nguyên tử hidro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng
tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử
cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.
5) Cấu trúc của luận văn
Từ mục tiêu và dự kiến kết quả đạt đuợc, em xây dựng cấu trúc luận
văn gồm 3 phần chính:
Phần mở đầu: Nêu lên tình hình nghiên cứu vấn đề, lý do chọn đề tài,
phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt đuợc.
Phần nội dung: gồm 4 chương
Chương 1: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ
SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 5


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

HYDRO
Chương này trình bày những kết quả mà cơ học luợng tử đã đạt đuợc về
bài toán nguyên tử hydro: năng lượng, hàm sóng…
Giới thiệu về phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hidro và
dùng phương pháp toán tử kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn tính mức
năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro khi chưa có bổ chính.
Chương 2: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC
BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO
Xây dựng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn.
Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu
loạn bằng phương pháp toán tử.
Chương 3: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH
NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO
Nêu mục đích của sơ đồ lặp.
Thiết lập sơ đồ vòng lặp.
Dùng sơ đồ vòng lặp tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro.
Nhận xét kết quả thu được.
Phần kết luận: tóm tắt lại kết quả đã đạt đuợc của luận văn, huớng phát
triển sắp tới của đề tài.

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 6


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

NỘI DUNG
1

Chương 1
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN
TỬ HYDRO
Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro [2],[4]

1.1
1.1.1

Phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro

Thế năng của một hạt khối lượng mo chuyển động trong một trường lực
đối xứng xuyên tâm chỉ phụ thuộc khoảng cách r từ hạt đến tâm lực: U=U(r).
Do đó hamilton của hạt có dạng:
 2 2
Hˆ 
  U (r )
2mO

(1.1)

Trong nguyên tử hiđrô, thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân chỉ
phụ thuộc vào khoảng cách r1  r2 giữa chúng. Như đã biết từ trong cơ học
giải tích, bài toán chuyển động hai hạt với định luật tương tác U ( r1  r2 ) rút về
bài toán chuyển động của một hạt có khối lượng rút gọn  trong trường lực
U(r). Trong trường hợp nguyên tử hiđrô  

me .m p

me  m p

. Vì m p  me nên   me .

Nếu bỏ qua kích thước của prôtôn, nguyên tử hiđrô sẽ được coi như gồm hạt
electron chuyển động trong trường Coulomb gây bởi một tâm đứng yên.
Chọn gốc thế năng tại tâm hạt nhân và gọi r là khoảng cách từ tâm hạt
nhân đến electron thì thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân là:
U (r )  

Ze2
(CGS)
r

(1.2)

Trong đó:
Ze là điện tích của hạt nhân.

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 7


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

U(r) chỉ phụ thuộc vào r, không phụ thuộc vào thời gian nên đối với
nguyên tử hiđrô phương trình Schrodinger là phương trình dừng.

Do tính đối xứng xuyên tâm, để tiện lợi ta giải bài toán trong tọa độ cầu.
Phương trình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hạt trong trường hợp
này có dạng:
 

2 me
 E  U (r )  0
2

(1.3)

Trong tọa độ cầu, toán tử  có dạng
1
 ,
r2
1    
r  2  r 2 
r r  r 
  r 

 ,

1  
 
1 2

 sin 
 2
sin   
  sin   2

   r 

1 1  

 sin 
2
r sin   


(1.4)

1 2



2
2
 sin  

Thay (1.4) vào (1.3) ta được:
1  2 
1
2m
(r
)  2  ,  2 e  E  U (r )   0
2
r r
r
r



Do  ,  

(1.5)

Lˆ2
nên ta viết lại (1.5) như sau:
2

2m
1  2 
Lˆ2
(
r
)

  2 e  E  U (r )   0
2
2 2
r r
r
r


(1.6)

Trước hết chúng ta chứng minh rằng, đối với chuyển động trong trường
đối xứng xuyên tâm, ngoài định luật bảo toàn năng lượng, còn hai định luật
bảo toàn nữa, đó là định luật bảo toàn mômen xung lượng toàn phần và định

luật bảo toàn của hình chiếu mômen theo trục z định hướng tùy ý trong không

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 8


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

gian. Muốn vậy ta xét các điều kiện giao hoán của các toán tử Lˆ2 và Lˆz với Hˆ .
Trong trường hợp này Hˆ có dạng:
 2 1  2 
Lˆ2
Hˆ  
(
r
)

 U (r )
2  r 2 r
r
2me r 2
ˆ ˆ2  Lˆ2 Hˆ  0 ; HL
ˆ ˆ2  Lˆ2 Hˆ  0
HL
Z
Z

Ta thấy

(1.7)

(1.8)

Vì các toán tử và chỉ tác động lên các biến góc  ,  nên giao hoán với
các toán tử lấy vi phân theo r.
Như vậy cũng giống như trong cơ học cổ điển, đối với chuyển động trong
trường đối xứng xuyên tâm có ba đại lượng bảo toàn: năng lượng, bình
phương mômen Lˆ2 và hình chiếu mômen Lˆ Z . Do đó chúng ta sẽ khảo sát các
trạng thái với giá trị đã cho của ba đại lượng này. Một cách tương ứng ta, ta
viết nghiệm của phương trình dưới dạng
(1.9)

 nlm ( r , , )  Rn ( r ).Yl ,m ( ,  )

Năng lượng của hạt được đặc trưng bằng số lượng tử chính n, còn các trị
riêng của các toán tử và được đặc trưng bằng các số lượng tử quĩ đạo l và số
lượng tử từ m. Thay (1.2) và (1.6) vào phương trình (1.9) và chú ý rằng
ˆ   2l (l  1)Y ta đi tới phương trình cho thành phần xuyên tâm R ( r ) của
LY
lm
lm
nl

hàm sóng  nlm (r , , ) :
1 d  2 dR  2me 
Ze 2  2 l  l  1 
r


E



 R (r )  0


r 2 dr  dr   2 
r
2me r 2 

1.1.2

(1.10)

Năng lượng của nguyên tử hiđrô

Từ kết quả của cơ học lượng tử ta có công thức tính năng lượng của
nguyên tử hiđrô
En   E  

SVTH: Phạm Thị Mai

me4 Z 2
2 2 n 2

(CGS)

(1.11)

Trang 9


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Trong hệ không thứ nguyên m  e    1 thì:
En   E  

Z2
2n2

(1.12)

Công thức (1.11) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử
hiđrô. Theo (1.11) thì năng lượng này gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình
phương các số nguyên. Tính gián đoạn này là hệ quả của điều kiện hữu hạn
đối với hàm sóng ở vô cực.
Ứng với n = 1, năng lượng có giá trị thấp nhất E1  13, 6eV .
Khi n càng tăng thì các mức En liên tiếp càng gần nhau hơn. Khi n   thì
En  0 .

Một số mức năng lượng kích thích E2  3, 4eV ; E3  1, 5eV ;...
Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên
kết, bắt đầu ứng với năng lượng 

m Z 2e 4
và kết thúc ứng với năng lượng 0.

2 2

Ứng với một giá trị đã cho của n (số lượng tử chính) thì l có thể có những
giá trị l = 0, 1, 2,... , n- 1. Như vậy có tất cả n giá trị của l ; l gọi là lượng tử số
quỹ đạo và nó xác định độ lớn moment xung lượng
L  l  l  1 

(1.13)

Ba số nguyên n, l, m duy nhất xác định một hàm riêng
 nlm  r , ,    Rnl  r  Ylm  ,   gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ.

Ứng với một giá trị đã cho của l thì m có thể nhận các giá trị
m  l , l  1,..., 1, 0,1,..., l  1, l . Tất cả có  2l  1 giá trị của m. Lượng tử số m

xác định độ lớn hình chiếu moment xung lượng trên trục z
Lz  m

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 10


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Như vậy, ứng với một mức năng lượng En có nhiều trạng thái khác
nhau  nlm , ta nói có sự suy biến. Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái
suy biến có cùng giá trị năng lượng En là

n 1

  2l  1  n

2

(1.14)

l 0

Nếu không tính đến spin, mức năng lượng cơ bản E1 không suy biến, mức
kích thích thứ nhất E2 suy biến bậc 4, mức kích thích thứ hai E3 suy biến bậc
9...
Nếu tính cả spin có hai giá trị thì tổng số trạng thái suy biến trên bằng
2 n2 .

1.1.3

Hàm sóng của nguyên tử hiđrô

Hàm sóng chuẩn hóa của nguyên tử hiđrô có dạng:
 nl m  r, ,   Rnl  r  Ylm  , 

Với



2Zr
2
và ao  2

nao
me

(1.15)

a0: là bán kính Bohr thứ nhất
Bảng 1.1 Hàm sóng toàn phần  nl m  r , ,   của các hệ giống hydro ứng với
các giá trị n=1, 2, 3,…
n

l

m

1

0

0

SVTH: Phạm Thị Mai

 nl m  r , ,  
1



( Z / a 0 ) 3 / 2 exp(  Zr / 2 a 0 )

Trang 11

Khóa luận tốt nghiệp

2

0

0

2

1

0

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

1

( Z / a 0 ) 3 / 2 (1  Z r / 2 a 0 ) exp(  Z r / 2 a 0 )

2 2
1

( Z / a 0 ) 3 / 2 ( Z r / a 0 ) exp(  Z r / 2 a 0 ) cos 

4 2

2

1

1

3

0

0



1
8 
1

3 3

( Z / a 0 ) 3 / 2 ( Zr / a 0 ) exp(  Zr / 2 a0 ) sin  exp(  i )

(Z / a0 )3/ 2 (1  2Zr / 3a0  2 Z 2 r 2 / 27a02 ) exp( Zr / 3a0 )

3

1

0

2 2

( Z / a0 )3/ 2 (1  Zr / 6a0 )( Zr  a0 ) exp(  Zr / 3a0 ) cos 
27 

3

1

1



3

2

0

3

2

1

2
(Z / a0 )3/ 2 (1  Zr / 6a0 )(Zr / a0 )exp(Zr /3a0 )sin  ei
27 
1

81 6


1
81 
1

3

2

2

162 

( Z / a 0 )3 / 2 ( Z 2 r 2 / a 02 ) exp(  Zr / 3a 0 )(3 cos 2   1)

( Z / a0 )3/ 2 ( Z 2 r 2 / a02 ) exp(  Zr / 3a0 ) sin  cos  e  i

( Z / a 0 ) 3 / 2 ( Z 2 r 2 / a 02 ) exp(  Zr / 3a 0 ) sin 2  e  2 i

1.2
Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử
[12]
hidro
Xét bài toán nguyên tử hydro, phương trình Schrödinger viết cho nguyên
tử đồng dạng hydro trong hệ SI có dạng:


2

Ze2



Δψ(r ) 
 (r )  E (r )
2m
4 0 r

(1.16)

Trong đó m, e – lần lượt là khối lượng và điện tích của điện tử; Z là số
điện tích.
SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 12


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Ta sẽ viết phương trình trên theo hệ đơn vị nguyên tử, đặt x  a0 x ,
y  a0 y , z  a0 z với a0  4 0  2 / me 2 là bán kính Bohr. Khi đó phương

trình (1.17) có dạng không thứ nguyên:
Z 

 1
  Δ   ψ(r )   ( r )
r
 2

(1.17)

Với tọa độ và năng lượng lần lượt có đơn vị là a0 và ma02 /  2 . Ta có thể
viết dưới dạng tường minh như sau:
Hˆ ( x, y, z )    ( x, y, z )

Với:

1  2
2
2 
Z
Hˆ    2  2  2  
2  x y z 
x2  y2  z 2

(1.18)

(1.19)

Ta định nghĩa các toán tử sinh huỷ dưới dạng:

 
1  
a  
  
,
2 
  


 
1  
a  
  

2 
  

(1.20)

với   x, y , z , trong đó  là các tham số thực dương, ta sẽ xác định nó sau
Dễ dàng thấy rằng

 a  , a    1



(1.21)

(Phụ lục1trang 46)
Các giao hoán này chính là công cụ chính cho các tính toán đại số. Ta

 trong biểu thức (1.19) qua biểu
viết lại các thành phần trong Hamiltonian H
diễn các toán tử sinh huỷ này.
1.2.1

Toán tử động năng

2
2
2
T   1      
H

2  x 2 y 2 z 2

SVTH: Phạm Thị Mai


1
2




2   2


(1.22)

Trang 13


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Từ (1.20) ta có:

2 

a   a  


Suy ra

2


2


 
a   a 
2







 




   
a  a

2







 a  a   2  a  a   1  2a a  (1.23)








2

2











Ta thay (1.25) vào (1.24) ta được

Đặt

1
Hˆ T      aˆ2  aˆ2   1  2aˆ aˆ  
4 

(1.24)

Aˆ  aˆ2 ,

(1.25)

Aˆ  aˆ2 , Nˆ   aˆ aˆ

Thay (1.27) vào (1.26), ta được:

1
1
Hˆ T    1  2 Nˆ       Aˆ  Aˆ 
4 
4 

(1.26)

với   x, y, z

1.2.2

Toán tử thế năng

Với số hạng liên quan đến tương tác Culông thì các toán tử sinh huỷ sẽ
nằm ở mẫu số và trong dấu căn cho nên cần phải đưa về dạng chuẩn để có thể
sử dụng trong tính toán. Dùng phép biến đổi Laplace ta có thể viết thành phần
thế năng dưới dạng:

Hˆ U  

Z
x2  y 2  z 2

Z









0

dt

1

et ( x

2

2

2

 y z )

t

(1.27)

(Phụ lục 2 trang 37)
Từ đó ta có thành phần thế năng được viết dưới dạng:
Z
Hˆ nU,k  

SVTH: Phạm Thị Mai





0

dt

1

Sˆ    Sˆ


t
0





'




(1.28)
Trang 14


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

với:
0
0
Sˆx  : là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử S x  khi tác dụng

lên vector trạng thái sẽ thu được trạng thái không đổi.


m
2i m
1    1 m ˆ m  1 2i ˆ i ˆi   1
2i m ˆ i ˆ m ˆ i 
Sx 
x Nx   2x Ax Ax   2 x x Ax Nx Ax 
1 
1 2x  m1 m!
i1  i!
i,m1  i! m!

 il
l i
ˆ0

(1.29)

Sˆx' : là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử Sˆ x' khi tác dụng lên
vector trạng thái sẽ làm thay đổi trạng thái đang xét.

   1ml l m m l   1l l l   1i i i
1
Sˆ 
xx Nˆ x Aˆx  x Aˆx   x Aˆx

1 2x ml, 1 m!l!
l1 l!
i1 i!
'

x




i,l1
li

1.2.3

il

 1



xil Aˆxi Aˆxl  

i!l!

im

 1

i,m1

i!m!



xi xmAˆxi Nˆ xm  

i,l,m1
li


il m ˆ i ˆ m ˆl 
x x Ax Nx Ax 
i!l!m!

ilm

(1.30)

 1

Toán tử hamilton
Thay (2.31), (2.33) vào biểu thức Hˆ  Hˆ T  Hˆ U , ta được:

1
1
Z  1
0
Hˆ   12Nˆ   Aˆ  Aˆ   dt Sˆ  Sˆ'
0
4
4

t 







1
1
Z  1
 12Nˆ   Aˆ  Aˆ  0 dt Sˆx0 Sˆy 0 Sˆz0 Sˆx0 Sˆy 0 Sˆz' Sˆx 0 Sˆy' Sˆz0

4
4

t


Sˆ  Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ  Sˆ  Sˆ Sˆ  Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ  Sˆ Sˆ Sˆ 
0 ' '
x y z

' 0 0
x y z

' 0 '
x y z

' ' 0
x y z

(1.31)

' ' '
x y z

Toán tử Hamilton trong bài toán nguyên tử hydro được chia thành hai
thành phần:
Hˆ  Hˆ 0  Vˆ
(1.32)
Thành phần toán tử chứa các toán tử trung hòa, xem như loại toán tử
Hamilton Hˆ trong bài toán không nhiễu loạn, với:
0

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 15


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

1
Z
Hˆ 0    (2 Nˆ   1) 
4   x, y , z





0

1 ˆ (0) ˆ (0) ˆ (0)
( S x S y S z ) dt
t

(1.33)

Thành phần toán tử chứa các toán tử không trung hòa, xem như loại toán
tử nhiễu loạn Vˆ , với:
' 0 '
' ' 0
0 0 '
0 ' 0
' 0 0
' ' '
 0 ' '
1
 2  2 Z Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ
Vˆ    a   a    x y z x y z x y z x 1y z x y z x y z x y z dt
4 
 0
t2

 



(1.34)

Dùng các toán tử aˆ , aˆ  , Aˆ , Aˆ  , Nˆ và qua quá trình tính toán ta tính được
các yếu tố ma trận của Hˆ :

H nk  n Hˆ k


2i
(-1) m m m  1 2 i 2i-1
Sˆn(0)

{1+

k


[
(
k


)
(k  2i   )]1/2


 

2   
 , k
m=1 m!

i=1 (i!)
 =0
 =1
2i

 n ,k
(-1) 2i 2 i 2i-1
(-1)m
1/2


[
(
k


)
(
k

2
i


)]
(k  2i) m }


  


2
1  2
i=1 (i!)
m=1 m!
 =0
 =1


(1.35)


(-1)m  (-1)l 2l-1
Sˆ' { m l [(k )]1/2(k 2l)mn ,k 2l
 
m=0 m!
l=1 l!
 =0
2i

(-1)i  (-1)m
 i  mkm[(k )]1/2n ,k 2i
 
i=1 i!
m=0 m!
 =1

(1.36)

2i


(-1)i  (-1)m  (-1)l 2l-1
1
 i  m l [(k )]1/2(k -2l)m[(k 2l )]1/2n ,k 2l2i }
 
1+2
i=1 i!
m=0 m!
l=1 l!
 =0
 =1

1.3
Sử dụng phương pháp toán tử tính năng lượng cơ
bản của nguyên tử hidro khi chưa có bổ chính
1
E0(0)  000 Hˆ 0 000  000
  2 Nˆ   1 000
4   x, y, z

000 Sˆx0 Sˆ y0 Sˆz0 000
Z

dt
1
 0 2
1/ 2
t  (1  2 )





 x, y,z

Do tính chất đối xứng x y z nên biểu thức năng lượng bậc
không trở thành:
SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 16


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

3
Z
E0(0)   
4


Ta đã đặt  




0

1
3

 
t  
t 1   
    

3
Z
t
 dt  2 d  E0(0)   
4
2


1
2

dt



2


0

1
1
2

3
2

d

 (1
 2 )



2

3
2 
E0(0)   
4


Suy ra

(1.37)

Để so sánh tính ưu việt của các hướng tiếp cận, nên không sử dụng
phương pháp biến phân, tức là chọn thông số biến phân   1 . Suy ra :
E 0   0.37837915139550750

1.4

(1.38)

Nhận xét
Sử dụng phương pháp toán tử, ta tính được năng lượng cơ bản của

nguyên tử Hydro khi chưa có bổ chính là E0  0.37837915139550750 , giá trị
này còn sai khác nhiều với giá trị chính xác. Để thu được kết quả tốt hơn, ta
tính các bổ chính năng lượng cơ bản.
Tính bổ chính năng lượng của nguyên tử theo lí thuyết nhiễu loạn là cách
làm phổ biến và khá hiệu quả.

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 17


Khóa luận tốt nghiệp

2

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Chương 2

SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH
CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN
TỬ HYDRO
2.1

Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn[10],[6]

Phương trình Schrodinger là phương trình vi phân tuyến tính với các đạo

hàm riêng phần và các hệ số biến đổi. Nghiệm chính xác của nó có thể tìm
được trong một số tương đối nhỏ các trường hợp đơn giản nhất như: nguyên tử
hydro, bài toán dao động tử điều hòa, chuyển động trong hố thế vuông góc,…
Sự phức tạp của việc giải phụ thuộc vào dạng của thế năng và số chiều của
không gian trong bài toán cần giải. Phần lớn các bài toán của cơ học lượng tử
dẫn tới những phương trình rất phức tạp về mặt toán học, và không thể giải
được một cách chính xác. Do đó thường phải ứng dụng những phương pháp
gần đúng để giải bài toán, nghĩa là phải tìm một cách gần đúng các trị riêng và
hàm riêng của nó. Một trong những phương pháp gần đúng rất quan trọng để
giải bài toán cơ học lượng tử là lý thuyết nhiễu loạn. Nội dung của phương
pháp nhiễu loạn như sau:
Xét phương trình Schrodinger:
Hˆ  ( x )  E  ( x)

(2.1)

ta tách toán tử Hamilton của bài toán thành hai thành phần:

Hˆ  Hˆ 0  Vˆ

(2.2)

Trong đó:
Thành phần Hˆ 0 là toán tử Hamilton có nghiệm riêng chính xác

Hˆ 0 n   n n

SVTH: Phạm Thị Mai

(2.3)

Trang 18


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Thành phần Vˆ còn lại được gọi là thế nhiễu loạn, điều kiện áp dụng lý
thuyết nhiễu loạn là thành phần nhiễu loạn Vˆ phải “nhỏ” so với Hˆ 0 ,
Vˆ  Hˆ 0 . Khi đó, nghiệm của phương trình (2.3) sẽ gần với nghiệm của

phương trình (2.1). Lúc này chúng ta xem  n và  n là nghiệm gần đúng bậc
zero của (2.1), các nghiệm gần đúng bậc cao hơn sẽ được tính bằng cách xét
đến ảnh hưởng của Vˆ thông qua các bổ chính năng lượng và hàm sóng. Ở đây
ta đưa vào tham số nhiễu loạn  để mặc định thành phần nhiễu loạn là nhỏ và
dễ dàng nhìn thấy các bậc nhiễu loạn trong sơ đồ tính toán qua số mũ của  .
Ta giả thiết rằng các trị riêng của Hˆ là không suy biến và có phổ gián
đoạn, hệ hàm riêng  của Hˆ là đầy đủ và trực giao ứng với năng lượng  ,
n

0

n

với n  0,1, 2,... . Khi đó, chúng ta tìm nghiệm của (2.1) dưới dạng khai triển
theo các hàm riêng của Hˆ 0 như sau:


 ( x )   Ck  k ( x )

(2.4)

k 0

Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết hàm sóng cho trạng thái n
như sau:


 n ( x)   n ( x) 

C

k

 k ( x)

(2.5)

k 0
(k n)

Ta ký hiệu En (0) , C j (0) là năng lượng và hệ số gần đúng bậc zero, còn
En ( s ) , C j ( s ) , s  1 là các bổ chính vào năng lượng và hệ số hàm sóng. Biến
đổi toán học, ta được

En (0)  H nn , C j (0)  0 ,
En (1)  Vnn , C j (1) 

SVTH: Phạm Thị Mai

V jn
En

(0)

 H jj

( j  n) ;

Trang 19