CÁC đề TOÁN LUYỆN THI vào 10

Câu 1 1)Thực hiện phép tính:

ĐỀ THI VÀO 10-SỐ 1
27 − 12 + 5 3 + 2 .

2)Với giá trị nào của m thì hàm số y = (1 - 2m)x - 5 đồng biến trên R.

3x − y = 5
 x + 2y = 4
4) Cho hai đường thẳng (d1): y = 2 x + 5 ; (d2): y = −4 x − 1 cắt nhau tại I. Tìm m để đường thẳng
(d3): y = (m + 1) x + 2m − 1 đi qua điểm I.
1
x
5) (P) của hàm số y = x 2 và (D) : y = − + 2 trên cùng một hệ trục tọa độ. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và
4
2
3)Giải hệ phương trình: 

(D) ở câu trên bằng phép tính
Câu 2 Cho phương trình: x 2 − 2( m + 1) x + 2m = 0 (1)
(với ẩn là x ).
1. Giải phương trình (1) khi m =1.
2. Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
3. Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1 ; x2 . Tìm giá trị của m để x1 ; x2 là độ dàihai cạnh của một tam giác vuông có
cạnh huyền bằng 12 .
Câu 3 Hai người thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm trong 6 ngày thì xong công việc. Hai người làm cùng nhau
trong 3 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong 4,5 ngày (bốn ngày
rưỡi) nữa thì hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu.
Câu 4 Cho tam giác ABC có Â > 900. Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính AC. Đường thẳng
AB cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai là D, đường thẳng AC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E.
1) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn.

2) Gọi F là giao điểm của hai đường tròn (O) và (O’) (F khác A). Chứng minh ba điểm B, F, C thẳng hàng và FA là
phân giác của góc EFD.
3) Gọi H là giao điểm của AB và EF. Chứng minh BH.AD = AH.BD.
………………………………………………………………………………………………………….
Câu 1 1)Thực hiện phép tính: 27 − 12 + 5 3 + 2 .
2)Với giá trị nào của m thì hàm số y = (1 - 2m)x - 5 đồng biến trên R.

3x − y = 5
 x + 2y = 4
4) Cho hai đường thẳng (d1): y = 2 x + 5 ; (d2): y = −4 x − 1 cắt nhau tại I. Tìm m để đường thẳng
(d3): y = (m + 1) x + 2m − 1 đi qua điểm I.
1
x
5) (P) của hàm số y = x 2 và (D) : y = − + 2 trên cùng một hệ trục tọa độ. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và
4
2
3)Giải hệ phương trình: 

(D) ở câu trên bằng phép tính
Câu 2 Cho phương trình: x 2 − 2( m + 1) x + 2m = 0 (1)
(với ẩn là x ).
1. Giải phương trình (1) khi m =1.
2. Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
3. Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1 ; x2 . Tìm giá trị của m để x1 ; x2 là độ dàihai cạnh của một tam giác vuông có
cạnh huyền bằng 12 .
Câu 3 Hai người thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm trong 6 ngày thì xong công việc. Hai người làm cùng nhau
trong 3 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong 4,5 ngày (bốn ngày
rưỡi) nữa thì hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu.

Câu 4 Cho tam giác ABC có Â > 900. Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính AC. Đường thẳng

AB cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai là D, đường thẳng AC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E.
4) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn.
5) Gọi F là giao điểm của hai đường tròn (O) và (O’) (F khác A). Chứng minh ba điểm B, F, C thẳng hàng và FA là
phân giác của góc EFD.
6) Gọi H là giao điểm của AB và EF. Chứng minh BH.AD = AH.BD.


Hình vẽ đúng:

x
E
D
A
H
O'

O

B

F

·
Lập luận có AEB
= 900

·
Lập luận có ADC
= 900
Suy ra bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn

·
·
·
·
Ta có AFB
= AFC
= 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra AFB
+ AFC
= 1800
Suy ra ba điểm B, F, C thẳng hàng
·
·
·
·
» ) và AFD
» )
(cùng chắn AE
(cùng chắn AD
= ACD
AFE
= ABE

·
·
» của tứ giác BCDE nội tiếp)
Mà ECD
(cùng chắn DE
= EBD
·
·

Suy ra: AFE
=> FA là phân giác của góc DFE
= AFD

AH EH
=
(1)
AD ED
BH EH
=
Chứng minh được EB là phân giác ngoài của tam giác DHE và suy ra
BD ED
AH BH
=
⇔ AH.BD = BH.AD
Từ (1), (2) ta có:
AD BD
Chứng minh được EA là phân giác của tam giác DHE và suy ra

(2)

ĐỀ THI VÀO 10- SỐ 2
Câu 1
1.Cho :

A=

1
− 9+4 5
5+2

B = ( 20 + 180 −

3
80) : 5
2

a) Rút gọn A và B
b)Tính A.B
2.a) Tìm a và b để đường thẳng (d) : y = ax + b đi qua A( 2; 3 ) và B ( 1 ; 1)
b) Tìm m để (P) : y = mx2 tiếp xúc với (d) ?
Câu 2): 1.Cho phương trình x2 -2( m+1)x + m2 + 1 = 0
a) Giải phương trình với m = 2?
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 − x2 = 2
c) Viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1; x2 của phương trình không phụ thuộc vào m?
2.( 1,5 điểm) : Cho hai đường thẳng (d1): y = 2 x + 5 ; (d2): y = −4 x − 1 cắt nhau tại I. Tìm m để đường thẳng
(d3): y = (m + 1) x + 2m − 1 đi qua điểm I.

C


Câu3 Quảng đường AB dài 156 km. Một người đi xe máy tử A, một người đi xe đạp từ B. Hai xe xuất phát cùng một lúc và
sau 3 giờ gặp nhau. Biết rằng vận tốc của người đi xe máy nhanh hơn vận tốc của người đi xe đạp là 28 km/h. Tính vận tốc
của mỗi xe?
Câu 4 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm M bất kỳ nằm ngoài đường tròn tâm O. MA, MB cắt (O) lần lượt
tại C và D. AD cắt BC tại H.
a) Chứng minh tứ giác MCHD nội tiếp.
b) Chứng minh MA.MC = MB.MD
c) Kẻ MK vuông góc với AB tại K, Chứng minh 3 điểm M, H, K thẳng hàng.
d) Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCHD,

Chứng minh IC là tiếp tuyến của (O) ?
...................................................................................
Câu 1
1.Cho :

A=

1
− 9+4 5
5+2

B = ( 20 + 180 −

3
80) : 5
2

b) Rút gọn A và B
b)Tính A.B
2.a) Tìm a và b để đường thẳng (d) : y = ax + b đi qua A( 2; 3 ) và B ( 1 ; 1)
b) Tìm m để (P) : y = mx2 tiếp xúc với (d) ?
Câu 2): 1.Cho phương trình x2 -2( m+1)x + m2 + 1 = 0
a)Giải phương trình với m = 2?
b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 − x2 = 2
c)Viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1; x2 của phương trình không phụ thuộc vào m?
2.: Cho hai đường thẳng (d1): y = 2 x + 5 ; (d2): y = −4 x − 1 cắt nhau tại I. Tìm m để đường thẳng
(d3): y = ( m + 1) x + 2m − 1 đi qua điểm I.
Câu3 Quảng đường AB dài 156 km. Một người đi xe máy tử A, một người đi xe đạp từ B. Hai xe xuất phát cùng một lúc và
sau 3 giờ gặp nhau. Biết rằng vận tốc của người đi xe máy nhanh hơn vận tốc của người đi xe đạp là 28 km/h. Tính vận tốc
của mỗi xe?

Câu 4 Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm M bất kỳ nằm ngoài đường tròn tâm O. MA, MB cắt (O) lần lượt
tại C và D. AD cắt BC tại H.
a)Chứng minh tứ giác MCHD nội tiếp.
b)Chứng minh MA.MC = MB.MD
c)Kẻ MK vuông góc với AB tại K, Chứng minh 3 điểm M, H, K thẳng hàng.
d)Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCHD,
Chứng minh IC là tiếp tuyến của (O) ?

câu
1

biểu điểm
chấm

đáp án
1.a) a =

1
− 9+4 5 =
5+2
=

b = ( 20 + 180 −

5 − 2 - 5 + 2. 5.2 + 4 = 5 − 2 -

( 5 + 2) 2

5 −2- │ 5 +2│
= 5 −2 - 5 −2 = - 4

3
80) : 5 =
2

4+

3
16 = 2 + 6 – 6 = 2
36 2

b) a.b = - 4.2 = - 8
2. a) vì (d) đi qua a ( 2; 3 ) nên ta có : 2a + b = 3
vì (d) đi qua b ( 1 ; 1) nên ta có : a + b = 1

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

 2a + b = 3
giải hpt ta được ( a = 2 ; b = - 1)
a + b = 1

vậy ta có hpt 

khi đó (d) : y = 2x - 1
b) (p) và (d) tiếp xúc khi pt mx2 = 2x – 1 có nghiệm kép
 mx2 – 2x + 1 = 0 có nghiệm kép.

0,25


m ≠ 0

 

/
∆ = 0

m ≠ 0

 

2
(−1) − m.1 = 0

m ≠ 0
m ≠ 0
 
1 − m = 0
 m = 1(t / m)

 

vậy m = 1 thì (p) : y = mx2 và (d) : y = 2x – 1 tiếp xúc nhau
a) Với m = 2 phương trình đã cho có dạng : x2 – 6x + 5 = 0
Có a + b + c = 1 + ( - 6) + 5 = 0 nên x1= 1; x2= 5
Vậy với m = 2 thì pt đã cho có 2 nghiệm : x1= 1; x2= 5

0,25
0,25

∆ / =  − ( m + 1)  − 1.(m 2 + 1)
b) Ta có
2

= m2 + 2m + 1 – m2 – 1 = 2m
Phương trình đã cho có 2 ngiệm x1; x2 khi ∆/ ≥ 0  2m ≥ 0  m ≥ 0

0,25

Vậy với m ≥ 0 thì pt đã cho có 2 ngiệm x1; x2 thỏa mãn Vi-et

 x1 + x2 = 2m + 2

2
 x1.x2 = m + 1
Lại có : x1 − x2 = 2  (x1- x2)2 = 4  (x1 + x2)2 – 4 x1.x2 = 4
2

 4m2 + 8m + 4 – 4m2 – 4 = 4

1
 8m – 4 = 0  m = (t/m)
2
1
Vậy với m =
thì pt đã cho có 2 nghiệm x1; x2 tm x1 − x2 = 2

2

0,25
0,25

c) Vậy với m ≥ 0 thì pt đã cho có 2 ngiệm x1; x2 thỏa mãn Vi-et

( x1 + x2 − 2) 2 = 4m 2
 x1 + x2 = 2m + 2  x1 + x2 − 2 = 2m
 
 

2
2
2
 4 x1.x2 = 4m + 4
 x1.x2 = m + 1
 4 x1.x2 = 4m + 4
2
 ( x1 + x2 − 2) - 4 x1.x2 = 4m 2 - ( 4m 2 + 4 )

0,25
0,250

 ( x1 + x2 − 2) - 4 x1.x2 =-4
2

Hệ thức ( x1 + x2 − 2) - 4 x1.x2 = - 4 là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1; x2 của
phương trình không phụ thuộc vào m
2

3

hình vẽ đúng cho phần a được 0,5 điểm
M

I
C
H

D

j

A

O

K

ˆ = 90o ( góc nội tiếp chắn nửa (o) )
a) có ACB
ˆ = 90o ( hai góc ACB
ˆ ; MCB
ˆ kề bù )
=> MCB

ˆ = 90o ( H ∈ BC )
=> MCH
ˆ = 90o ( góc nội tiếp chắn nửa (o) )

tương tự ADB
ˆ ; MCB
ˆ kề bù )
ˆ = 90o ( hai góc ACB
=> MDA
ˆ = 90o ( h ∈ ad )
=> MDH
ˆ + MDH
ˆ = 900 + 900 = 1800
xét tứ giác MCHDcó : MCH

B

0,25
0,25
0,25


=> tứ giác MCHD nội tiếp ( tổng 2 góc đối diện bằng 180 0 )

ˆ = 1800
b) có tứ giác ABCDnội tiếp (o) nên CAB + CDB
ˆ + CDB
ˆ = 1800 ( 2 góc kề bù)
lại có : MDC
ˆ
 CAB = MDC
xét ∆MAB và ∆MCD có
Mˆ chung
ˆ (cmt)

CAB = MDC
 ∆MAB ~ ∆MCD (g.g)


MA MB
=
=> MA.MC = MB.MD
MD MC

c) xét ∆MAB có
ˆ = 90o ) nên BC là 1 đường cao của ∆ MAB
BC⊥ MA ( vì ACB
ˆ = 90o ) nên AD là đường cao thứ 2 của ∆ MAB
AD ⊥ MB ( vì ADB
mà AD và BC cắt nhau tại H nên Hlà trực tâm của ∆ MAB
=> MH là đường cao thứ 3 của ∆ MAB
=> MH⊥ AB
mà MK ⊥ AB tại K
=> MHvà MK trùng nhau => MH,K thẳng hàng.
d) I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CMHD nên ta có :
IN=IH=IK
ˆ = IMC
ˆ
vì IM=IHnên ∆ MIC cân ở C => ICM

0,25

0,25
0,25

0,25
0,25

0,25
0,25

ˆ = OCA
ˆ
∆ AOC cân ở O ( vì OA=OC = r) => OAC
ˆ + OCA
ˆ = IMC
ˆ
ˆ + OAC
=> ICM

ˆ + OCA
ˆ = AMK
ˆ
ˆ + MAK
hay ICM
mà tam giác MAKvuông ở K ( MK vuông góc với AB tại k)
ˆ = 90o
ˆ + MAK
=> AMK
ˆ + OCA
ˆ = 90o => ICO
ˆ = ICH
ˆ + HCO
ˆ = 90o
=> ICM

=> IC ⊥ OC tai Cnằm trên (o) nên IC là tiếp tuyến của (o).
a - b )2 ≥ 0
=> a - 2 ab + b ≥ 0 => a + b ≥ 2 ab
a b
b) với a và b cùng dấu và khác 0 ta có ;
>0
b a
a b
a b
nên theo kết quả phần a ta có : + ≥ 2
. ≥2
b a
b a
a b
=> + + 41 ≥ 2 + 41 =43
b a
a b
a b
vậy giá trị nhỏ nhất của + + 41 là 43 đạt được khi + = 2
b a
b a
a) với a và b không âm ta có : (

4

hay a = b

0,25
0,25

0,25

0,25


TRUNG TÂM LUYỆN THI
THANH PHƯƠNG

ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT
Năm học 2015 - 2016
Môn Toán
Thời gian 120 phút

ĐỀ 119

1
22
+ 144 − 25. 4 32 − 2 50 +
2
11
 2x − y = 3
2/ Giải hệ phương trình: a/ 
3x + y = 7
Câu I: 1/ Rút gọn: M =

2
− 3 +1
3 −1

4/ Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số bậc nhất y = (2m + 1) x − 5 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng − 5.

 mx + y = 5
 2 x − y = −2

5/Cho hệ phương trình : 

(I)

Xác định giá trị của m để nghiệm ( x0 ; y0) của hệ phương trình (I) thỏa mãn x0 + y0 = 1

 x+2 x

+
Câu II : 1 / Cho biểu thức A = 
 x−2 x
a/Rút gọn biểu thức A.

x  1
÷. x +1
x −2÷


(với x > 0; x ≠ 4 )

b/ Tìm x để A < 0.

2/ Cho hàm số y = x2 có đồ thị là (P) và hàm số y = - x + 2 có đồ thị là (D)
a) Vẽ (P) và (D) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Xác định toạ độ giao điểm của (P) và (D) bằng phương pháp đại số.
Câu III : 1/ Cho phương trình x2 – mx – 2 =0

a/Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b/Gọi x1; x2 là nghiệm của pt , Tìm các giá trị của m sao cho x12 +x22 – 3x1x2 =14
2 / Cho pt : x2 – 2(m-1)x + m2 = 0 (1) , Với giá trị nào của m thì pt(1) có nghiệm
Câu IV : 1/ Một ca nô chạy với vận tốc không đổi trên một khúc song dài 30 km, cả đi và về hết 4 giờ. Tính vận tốc của ca
nô khi nước yên lặng, biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
2 / Hai chiếc máy cày cùng làm chung thì trong 12 giờ cày xong một thửa ruộng. Nếu để mỗi máy cày riêng thì máy cày
này cày xong trước máy cày kia 10 giờ. Hỏi, nếu cày riêng thì mỗi máy cày xong thửa ruộng trong thời gian bao lâu ?
Câu V : Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB>AC) Trên cạnh AC lấy điểm M (khác A và C). Đường tròn đường kính MC
cắt BC tại E và cắt đường thẳng BM tại D ( E khác C ; D khác M).
1) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.
·
·
2) Chứng minh ABD
= MED
3) Đường thẳng AD cắt đường tròn đường kính MC tại N ( N khác D). Đường thẳng MD cắt CN tại K, MN cắt CD
tại H. Chứng minh KH song song với NE.


Câu VI Cho phương trình x2 + (2m+1)x +m = 0 ( m là tham số), giả sử phương trình có 2 nghiệm là x1 ; x 2 . Tìm giá trị của
2
2
m để biểu thức A = x1 + x 2 - x1x 2 có giá trị nhỏ nhất.

Câu VI : Tìm giá trị nhỏ nhất của : y=

x + 3 x −1 +1
;(x ≥ 1)
x + 4 x −1 + 2

---------------------HẾT-------------------

Câu I ( 3 điểm)
1/ Giải phương trình :
2x2 + 3x – 5 =0
C1: pt có dạng a+b+c= 2+3 – 5 = 0

0,5 đ

c −5
Nên ptcó 2 nghiệm x1 = 1; x2 = =
a 2

0,25đ +0,25 đ

C2: V= b 2 − 4ac = 9 + 40 = 49 ⇒ V = 7
Nên ptcó 2 nghiệm x1 = 1; x2 =

0,25 +0,25

c −5
=
a 2

0,25 +0,25

Ghi chú : nếu chỉ ghi đúng nghiệm mà không giải thích gì cho 0,5 điểm.
2/Giải hệ phương trình:

 2x − y = 3

5x = 10
x = 2
x = 2
⇔
⇔
⇔

3x + y = 7
3x + y = 7
6 + y = 7
y = 1

0,25+0,25+0,25

Trả lời
0,25
Ghi chú : nếu chỉ ghi đúng nghiệm mà không giải thích gì cho 0,5 điểm.

1
22
= 2 2 − 10 2 + 2
32 − 2 50 +
2
11
= −7 2

3/ M =

0,25 + 0,25 + 0,25

0,25
Câu II: ( 1,5 điểm)
Cho phương trình x – mx – 2 =0
1/ C1: ta có a.c = 1.(-2) = -2 <0
0,5
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
0,25
2
C2: V= m + 8 > 0∀m
0,25 +0,25
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
0,25
2/ Vì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt nên theo định lí Vi – ét ta có:
x1 +x2 = m
; x1.x2 = - 2
0,25
2
2
2
2
x1 +x2 – 3x1x2 =14 ⇔ (x1 + x 2 ) − 5x1x 2 = 14 ⇔ m + 10 = 14 0,25
⇔ m= ±2
Câu III: ( 1,5 điểm)Gọi x( km/h) là vận tốc của canô trong nước yên lặng ( đ k x>4)
0,25
Vận tốc ca nô xuôi dòng là x+4 ( km/h)
và vận tốc canô khi ngược dòng là x – 4 ( km/h)
0,25
2

0,25

30
30
(h) và thời gian ca nô ngược dòng là
(h)
x+4
x−4
30
30
+
=4
Theo đề bài ta có pt:
0,25
x+4 x−4
⇔ x2 – 15 x – 16 =0
0,25
Thời gian ca nô xuôi dòng là

Pt có 2 nghiệm x1 = -1 ( loại) x2 = 16 ( nhận)

và trả lời

0,25

0,25

Câu VI: ( 3,5 điểm)
Hình vẽ :
0,5 đ
Nếu vẽ đúng tam giác vuông ABC ( AB>AC) và đường tròn đường kính MC

Vẽ đúng phần còn lại

0,25
0,25

Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB>AC) Trên cạnh AC lấy điểm M (khác A và C). Đường tròn đường kính MC cắt BC tại
E và cắt đường thẳng BM tại D ( E khác C ; D khác M).
4) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.
·
·
5) Chứng minh ABD
= MED
6) Đường thẳng AD cắt đường tròn đường kính MC tại N ( N khác D). Đường thẳng MD cắt CN tại K, MN cắt CD
tại H. Chứng minh KH song song với NE.


K

A
M

D

H

N

O

B

C

E

1\ Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.
·
Ta có BAC
= 900 (gt)

0.25

·
MDC
= 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đk MC)
·
Hay BDC
= 900 ( B,M,D thẳng hàng)

0.25
0.25

Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BC.
·
·
2\ Chứng minh ABD
= MED

0.25

·
·
Ta có: ABD
( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD của đường tròn đkính BC)0.25
= ACD
·
·
Mà MCD
( hai góc nội tiếp cùng chắn cung MD của đường tròn đkính MC)
= MED
·
·
Hay ACD
( vì A; M; C thẳng hàng)
= MED

0.25
0,25

·
·
Suy ra ABD
0,25
= MED
3/ Chứng minh KH//EN
Trong tam giác MKC có MN ⊥ KC;CD ⊥ MK suy ra H là trực tâm của tam giac MKC ⇒ KH ⊥ MC hay KH ⊥ AC
0.25
(1)
⇒ KH / /AB ( cùng vuông góc AC)
·

·
Ta có CEN
( hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN của đường tròn đk MC)
0.25
= CDN
·
·
Mà CDN
( cùng bù với góc ADC)
= CBA

0.25

·
·
⇒ EN / /BA ( 2 góc đồng vị) (2)Từ (1) và (2) Suy ra KH//EN 0.25
⇒ CEN
= CBA

Câu V: ( 0,5

Tìm giá trị nhỏ nhất của : y=

x + 3 x −1 +1
y=
=
x + 4 x −1 + 2
=

( x − 1) + 3

2
( x − 1) + 4

x −1 + 2
1
= 1−
x −1 + 3
x −1 + 3

2

x −1 + 2
x −1 + 3

=

( x − 1 + 1)( x − 1 + 2)
( x − 1 + 1)( x − 1 + 3)


TRUNG TÂM LUYỆN THI
THANH PHƯƠNG

ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT
Năm học 2015 -2016
Môn Toán
Thời gian 120 phút

ĐỀ : 107
Bài 1 :

3 x − 5 y = 4
 x + 5y = 8

Giải hệ phương trình : 

Giải phương trình :a) x4- x2 -12 = 0
b)

x 4 + x3 − 4 x 2 + x + 1 = 0

c) x − 3 x + 2 = 0
1. Cho phương trình: x2- 4x + 3m -3 =0 (2) với m là tham số
a) giải phương trình khi m=2
2
2
b) Tìm điều kiện của m để phương trình (2) có hai nghiêm x1, x 2 thoả mãn x1 +x 2 = 8
2.Tìm giá trị của m để (d) y =2x+m tiếp xúc (P) y = x 2 . Tìm toạ độ tiếp điểm
Bài 3 .1: Một tàu thuỷ xuôi dòng một khúc sông dài 48 km, rồi ngược khúc sông ấy hết tổng thời gian 5 giờ. Tính vân tốc
thực của tàu thuỷ ( khi nước yên lặng) biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Bài 2:

Bài 3.2: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì
.Nếu chảy riêng một mình thì vòi thứ nhất chảy chậm hơn vòi hai 1giờ . Hỏi nếu
thì mỗi vòi phải mất bao lâu thì đầy bể ?

đầy

bể

sau

1giờ 12 phút
chảy riêng một mình

Bài 4 :Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng ( ∆ ) không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Từ một điểm M
trên ( ∆ ) ( M nằm ngoài đường tròn tâm O và A nằm giữa B và M ), vẽ hai tiếp tuyến MC, MD của đường tròn (O) .
(C, D ∈ (O) ) Gọi I là trung điểm của AB, tia IO cắt MD tại K .
a) Chứng minh năm điểm M, C, I, O, D cùng thuộc một đường tròn .
b) Chứng minh : KD. KM = KO .KI
c) Một đường thẳng đi qua O và song song với CD cắt các tia MC và MD lần lượt tại E và F . xác định vị trí
của M trên ( ∆ ) sao cho diện tích ∆ MEF đạt giá trị nhỏ nhất .
Bài 5(1 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol (P): y=x2, đường thẳng (d) đi qua điểm I (0;-1) và có hệ số góc k. Chứng
minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B với mọi k và tam giác OAB vuông.
BÀI LÀM

Ghi chú: Đáp án chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải
chi tiết, lập luận chặt chẽ hợp lôgic. Nếu học sinh giải cách khác đúng thì chấm điểm từng phần tương ứng.
HƯỚNG DẪN CÁC BƯỚC LÀM

THANG
ĐIỂM

Bài 1 (2điểm)

3 x − 5 y = 4

a) 

 x + 5y = 8

4 x = 12

⇔

 x + 5y = 8

0,25đ


x = 3
x = 3
⇔
⇔
5 y = 5
y = 1

0,5đ

KL: .........

0,25đ
2

x − x − 12 = 0
x 2 = t ĐK: t ≥ 0

b) PT:
Đặt :

4

(1)

0,25đ

Phương trình (1) trở thành: t 2 − t − 12

= 0 (*)
Giải phương trình (*) tìm được t1 = 4 và t2 = − 3
Giá trị t2 = − 3 (loại); giá trị t1 = 4 thoả mãn điều kiện t ≥ 0
Với t = t1 = 4 , ta có x 2 = 4 => x1 = − 2 , x2 = 2
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm: x1 = − 2 , x2 = 2 .

0,5đ

0,25đ

Bài 2 (2điểm)
a) Thay m = 2 vào pt (2) ta được:

a + b + c = 1− 4 + 3 = 0
=>Pt có 2 nghiệm x1 = 1 , x2 = 3
b) Tính: ∆ ' = 7 − 3m

0,25đ

x2 − 4x + 3 = 0

Nhận xét:

0,5đ
0,25đ

Để phương trình (2) có hai nghiệm x1 , x2 ⇔ ∆ ' ≥

0 ⇔ 7 − 3m ≥ 0 ⇔ m ≤

 x1 + x2 = 4
Theo hệ thức Vi-ét: 
 x1 x2 = 3m − 3
Ta có: x12 + x22

= 8 ⇔ ( x1 + x2 )2 − 2 x1x2 = 8

16 − 6m + 6 = 8 ⇔ − 6m = − 14 ⇔ m =
Giá trị

m=

7
3

thoả mãn điều kiện

m≤

7
3

7
7
. Vậy m =
3
3

0,25đ
là giá trị cần tìm.

0,25đ

x>4

0,25đ

x2 = −

0,75đ

(3)

Giải phương trình (3) tìm được x1 = 20 ; x2
Loại

0,25đ

0,25đ

Bài 3. (2điểm) Gọi vận tốc tàu thuỷ khi nước yên lặng là x ( km/giờ) ĐK:

Lập luận để dẫn tới phương trình:

48
48
+
=5
x+4 x−4

7
3

=−

4
5

0,5đ

4
. Vậy vận tốc tàu thuỷ khi nước yên lặng là 20 km/giờ.
5

0,5đ

Câu 4: a) ta có IA = IB (gt) ⇒ OI ⊥ AB(tính chất đường kính)
·
Do đó OIM
= 900 ⇒ Điểm I thuộc đường tròn đường kính OM (1)

·

·
Ta có OCM
= ODM
= 900 ( MC và MD là tiếp tuyến (O))
⇒ C; M thuộc đường tròn đường kính OM (2)
Từ (1) và (2) ⇒ 5 điểm O;I;C;D;M cùng thuộc đường tròn đường kính OM
·
·
µ có chung ; KDO
b) Xét ∆KOD và ∆KMI K
= KMI
= 900
Do đó ∆KOD và ∆KMI đồng dạng (g-g) ⇒
c) Ta có S ∆MEF =

KO KD
⇒ KD.KM = KO.KI
=
KM KI

1
EF .OM = OE.OM ( OE = OF do ∆MEF cân)
2

= OC.ME ( hệ thức lượng tam giác vuông)
Mà OC = R không đổi, nên diện tích ∆MEF nhỏ nhất khi ME nhỏ nhất
Ta có ME = EC + MC ≥ EC.MC ( bất đẳng thức cô si)

E
B

C
I

0,25đ

A

0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
D

O

F

0,5đ
0,25
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ

M


TRUNG TÂM LUYỆN THI
THANH PHƯƠNG

ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT
Năm học 2014-2015
Môn Toán
Thời gian 120 phút

ĐỀ : 103

Bài 1: (2 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) x 2 − 7 x + 12 = 0
b) x 2 − ( 2 + 1) x + 2 = 0
c) x 4 − 9 x 2 + 20 = 0

3 x − 2 y = 4
4 x − 3 y = 5

d) 

Bài 2: (1 điểm)
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x 2 và đường thẳng (D): y = 2 x + 3 trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.
Bài 3: (2,5 điểm)
1)Thu gọn các biểu thức sau:

A=

5+ 5
5
3 5

+
−
5+2
5 −1 3 + 5

2) Một ô tô dự định đi từ A đến B dài 80 km với vận tốc dự định. Thực tế trên nửa quãng đường đầu ô tô đi với vận
tốc nhỏ hơn vận tốc dự định là 6 km/h. Trong nửa quãng đường còn lại ô tô đi với vận tốc nhanh hơn vận tốc dự định là 12
km/h. Biết rằng ô tô đến B đúng thời gian đã định. Tìm vận tốc dự định của ô tô.
Bài 4: (1 điểm)
Cho phương trình x 2 − mx − 1 = 0 (1) (x là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1):
Tính giá trị của biểu thức : P =

x12 + x1 − 1
x1

x22 + x2 − 1
−
x2

Bài 5: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Các đường cao AD và CF của tam giác
ABC cắt nhau tại H.
·
·
a)
Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp. Suy ra AHC
= 1800 − ABC
b)

Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C) và N là điểm đối xứng của M
qua AC. Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp.
c)
Gọi I là giao điểm của AM và HC; J là giao điểm của AC và HN.
¶ = ANC
·
Chứng minh AJI
d)
Chứng minh rằng : OA vuông góc với IJ

BÀI GIẢI
Bài 1: (2 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) x 2 − 7 x + 12 = 0

∆ = 7 2 − 4.12 = 1
7 +1
7 −1
⇔x=
= 4 hay x =
=3
2
2
b) x 2 − ( 2 + 1) x + 2 = 0
Phương trình có : a + b + c = 0 nên có 2 nghiệm là :


c
= 2
a

c) x 4 − 9 x 2 + 20 = 0
⇔ x = 1 hay x =

Đặt u = x2 ≥ 0 pt thành :

u 2 − 9u + 20 = 0 ⇔ (u − 4) (u − 5) = 0 ⇔ u = 4 hay u = 5
Do đó pt ⇔ x 2 = 4 hay x 2 = 5 ⇔ x = ±2 hay x = ± 5

3 x − 2 y = 4
12 x − 8 y = 16
⇔ 
4 x − 3 y = 5
12 x − 9 y = 15

d) 

 y =1
x = 2

⇔ 

Bài 2:
a) Đồ thị:

Lưu ý: (P) đi qua O(0;0), ( ±1;1) , ( ±2; 4 )

(D) đi qua ( −1;1) , ( 3;9 )
b) PT hoành độ giao điểm của (P) và (D) là
x 2 = 2 x + 3 ⇔ x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇔ x = −1 hay x = 3 (a-b+c=0)
y(-1) = 1, y(3) = 9

Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (D) là ( −1;1) , ( 3;9 )
Bài 3:Thu gọn các biểu thức sau

5+ 5
5
3 5
+
−
5+2
5 −1 3 + 5
(5 + 5)( 5 − 2)
5( 5 + 1)
3 5(3 − 5)
=
+
−
( 5 + 2)( 5 − 2) ( 5 − 1)( 5 + 1) (3 + 5)(3 − 5)
A=

5 + 5 9 5 − 15
5 + 5 − 9 5 + 15
−
= 3 5 −5+
4
4
4
= 3 5 −5+5−2 5 = 5
x
1  
2

6 

B=
+
+
(x>0)
÷: 1 −
÷
x +3 
x x+3 x 
 x+3 x


x
1   x −2
6
= 
+
:
+
÷

÷

x +3÷
x
x ( x + 3) ÷
 x +3
 


x + 1  ( x − 2)( x + 3) + 6 
=
:
÷
÷
x + 3 
x ( x + 3)

= 3 5 −5+

= ( x + 1).

x
x+ x

=1

Câu 4:
Cho phương trình x 2 − mx − 1 = 0 (1) (x là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu
Ta có a.c = -1 < 0 , với mọi m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m.


b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1):
Tính giá trị của biểu thức :

x12 + x1 − 1

x22 + x2 − 1
2

2
P=
−
Ta có x1 = mx1 + 1 và x 2 = mx 2 + 1 (do x1, x2 thỏa 1)
x1
x2
mx1 + 1 + x 1 − 1 mx 2 + 1 + x 2 − 1 (m + 1)x1 (m + 1)x 2
−
=
−
= 0 (Vì x1.x 2 ≠ 0 )
Do đó P =
x1
x2
x1
x2

Câu 5 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Các đường cao AD và CF của tam giác
ABC cắt nhau tại H.
·
·
e)
Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp. Suy ra AHC
= 1800 − ABC
f)
Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C) và N là điểm đối xứng của M
qua AC. Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp.
g)
Gọi I là giao điểm của AM và HC; J là giao điểm của AC và HN.
¶ = ANC

·
x
Chứng minh AJI
h)
Chứng minh rằng : OA vuông góc với IJ
a) Ta có tứ giác BFHD nội tiếp do có 2 góc đối
·
F và D vuông ⇒ FHD
= ·AHC = 1800 − ·ABC

A

·
·
b) ABC
cùng chắn cung AC
= AMC

N

·
·
mà ANC
do M, N đối xứng
= AMC

·
·
F
Vậy ta có AHC

và ANC
bù nhau
H
⇒ tứ giác AHCN nội tiếp
D
c) Ta sẽ chứng minh tứ giác AHIJ nội tiếp
B
·
·
·
·
Ta có NAC
do MN đối xứng qua AC mà NAC
(do AHCN nội tiếp)
= MAC
= CHN
¶ = IHJ
¶ ⇒ tứ giác HIJA nội tiếp.
⇒ IAJ
·
·
¶ bù với AHI
·
mà ANC
bù với AHI
(do AHCN nội tiếp)
⇒ AJI
¶ = ANC
·
⇒ AJI

Cách 2 :
Ta sẽ chứng minh IJCM nội tiếp
·
·
Ta có AMJ
= ANJ
do AN và AM đối xứng qua AC.

·
·
¶ = IMJ
·
Mà ACH
= ANH
(AHCN nội tiếp) vậy ICJ
¶ = AMC
·
·
⇒ IJCM nội tiếp ⇒ AJI
= ANC

·
·
d) Kẻ OA cắt đường tròn (O) tại K và IJ tại Q ta có AJQ
= AKC
·
·
·
·
·

vì AKC
= AMC
(cùng chắn cung AC), vậy AKC
= AMC
= ANC
Xét hai tam giác AQJ và AKC :
Tam giác AKC vuông tại C (vì chắn nửa vòng tròn ) ⇒ 2 tam giác trên đồng dạng
µ = 900 . Hay AO vuông góc với IJ
Vậy Q
·
·
Cách 2 : Kẻ thêm tiếp tuyến Ax với vòng tròn (O) ta có xAC
= AMC
·
·
¶ do chứng minh trên vậy ta có xAC
·
⇒ JQ song song Ax
mà AMC
= AJI
= AJQ

J

O
Q
I

C
K

M


vậy IJ vuông góc AO (do Ax vuông góc với AO

Bài 1. a/ . Với giá trị nào của x thì biểu thức

2015 − x

có nghĩa ?

b/ Tìm giá trị của m để (d) y =2x+m tiếp xúc (P) y = x 2 . Tìm toạ độ tiếp điểm
2

c/

1− a a
 1 − a 
Chứng minh: 
+ a ÷
÷ = 1 ,với a ≥ 0, a ≠ 1
1
−
a
 1− a



Bài 2. a/ Biết đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M ( 2;

1
) và song song với đường thẳng 2x + y = 3. Tìm các hệ số a
2

và b.
b/ Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số bậc nhất y = (2m + 1) x − 5 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

− 5.
Bài 3: Một ô tô dự định đi từ A đến B dài 80 km với vận tốc dự định. Thực tế trên nửa quãng đường đầu ô tô đi với vận tốc
nhỏ hơn vận tốc dự định là 6 km/h. Trong nửa quãng đường còn lại ô tô đi với vận tốc nhanh hơn vận tốc dự định là 12
km/h. Biết rằng ô tô đến B đúng thời gian đã định. Tìm vận tốc dự định của ô tô.
Bài 4. Cho phương trình x2 - 6x + m = 0.
1) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
2) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x 1, x2 thoả mãn điều kiện x 1 - x2 = 4.
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB>AC) Trên cạnh AC lấy điểm M (khác A và C). Đường tròn đường kính MC cắt
BC tại E và cắt đường thẳng BM tại D ( E khác C ; D khác M).
7) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.
·
·
8) Chứng minh ABD
= MED
9) Đường thẳng AD cắt đường tròn đường kính MC tại N ( N khác D). Đường thẳng MD cắt CN tại K, MN cắt CD
tại H. Chứng minh KH song song với NE.
……………………………………………………………………………………………………………….
Bài 1. a/ . Với giá trị nào của x thì biểu thức 2015 − x có nghĩa ?
b/ Tìm giá trị của m để (d) y =2x+m tiếp xúc (P) y = x 2 . Tìm toạ độ tiếp điểm
2

c/

1− a a
 1 − a 
Chứng minh: 
+ a ÷
÷ = 1 ,với a ≥ 0, a ≠ 1
1
−
a
1
−
a




Bài 2. a/ Biết đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M ( 2;

1
) và song song với đường thẳng 2x + y = 3. Tìm các hệ số a
2

và b.
b/ Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số bậc nhất y = (2m + 1) x − 5 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

− 5.
Bài 3: Một ô tô dự định đi từ A đến B dài 80 km với vận tốc dự định. Thực tế trên nửa quãng đường đầu ô tô đi với vận tốc
nhỏ hơn vận tốc dự định là 6 km/h. Trong nửa quãng đường còn lại ô tô đi với vận tốc nhanh hơn vận tốc dự định là 12
km/h. Biết rằng ô tô đến B đúng thời gian đã định. Tìm vận tốc dự định của ô tô.
Bài 4. Cho phương trình x2 - 6x + m = 0.

1) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
2) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x 1, x2 thoả mãn điều kiện x 1 - x2 = 4.
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB>AC) Trên cạnh AC lấy điểm M (khác A và C). Đường tròn đường kính MC cắt
BC tại E và cắt đường thẳng BM tại D ( E khác C ; D khác M).
10) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.
·
·
11) Chứng minh ABD
= MED
12) Đường thẳng AD cắt đường tròn đường kính MC tại N ( N khác D). Đường thẳng MD cắt CN tại K, MN cắt CD
tại H. Chứng minh KH song song với NE.
……………………………………………………………………………………………………………….
Hết

HƯỚNG DẪN CHẤM
(Ghi chú: HS trình bài theo cách khác hợp lí, đạt điểm tối đa)
Nội dung

Câu
1a

x

Biểu thức

b

(

c

)(

có nghĩa khi x ≥ 0

0,75

25 = 5

)

 1− a 1+ a + a


1− a




Với a ≥ 0, a ≠ 1 , VT =
+ a

  1− a 1+ a 
1− a



2
1

= 1+ a .
= 1 = VP
2
1+ a

(

)

(

(

)(

2

0,25

)

0,25

)

 x + y = 4027
 x + y = 4027
⇔

− x + y = 1

2 y = 4028
 x + 2014 = 4027
 x = 2013
⇔
⇔
 y = 2014
 y = 2014

0,25

Ta có:

2a

0,5
0,25

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)= (2013; 2014)
Lúc đầu, gọi x (cuốn) là số sách ở giá thư nhất. Điều kiện: x là số nguyên dương,
50< x< 450), số sách ở giá thứ hai sẽ là: 450- x
Lúc sau, số sách ở giá thứ nhất là: x-50
số sách ở giá thứ hai là: 450- x+ 50= 500- x
b

0,25

Trả lời: Lúc đầu, số sách ở giá thứ nhất là 300 cuốn
số sách ở giá thứ hai là 450- 300= 150 cuốn
-2
4

-1
1

x
y= x +2

0
2

-2
0

0
0

0,25
0,25

4
( x − 50 )
5
⇔ 2500 − 5 x = 4 x − 200
⇔ 9 x = 2700 ⇔ x = 300

Theo đề, ta có phương trình: 500 − x =

x
y= x2

Điểm
0,75

1
1

0,25
2
4

0,25
0,25

0,25
a

0,25


Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): x2 =x +2

b

Suy ra:

⇔ x 2 − x − 2 = 0 , có: a − b + c = 1 − ( − 1) + 2 = 0
x1 =−1 ⇒y1 =1

0,25
0,25

x2 = 2 ⇒ y2 = 4

Giao điểm của (P) và (d) là: ( −1;1) , ( 2; 4 )

Từ câu b/, ta gọi A ( −1;1) , B ( 2; 4 )
c

 AB 2 = 32 + 32 = 18
 2 2 2
2
2
2
Ta có: OA = 1 + 1 = 2 ⇒ OB = AB + OA
OB 2 = 22 + 42 = 20

Vậy tam giác OAB vuông tại A (Theo định lý Py ta go đảo)

4a

0.5
0.5

Tứ giác AEDF là hình vuông, vì:

·
·
·
EAF
= ·AED = ·AFD = 900 , DAF

= DAE
b

c

5a

Ta có: BC = 52 + 12 2 = 13
Do AD là phân giác của góc A, nên:

BD CD
BC
BD CD 13
=
=
⇔
=
=
AB AC AB + AC
5
12 17
65
156
BD = ( cm ) ; CD =
( cm )
17
17

0.25

Do DE// AC (cùng vuông góc với AB)

0,25

Nên

12
·
·
µ . Vậy cosBDE
= co sC = .
BDE
=C
13
1 »
·
Ta có: CAD
= sđ CD
2

0.25

0,25
(góc nội tiếp

chắn cung CD)

1
= .600 = 300
2

b

0,5

Ta có ·AHE = 900 ( gt ), ·ACE = 900 (góc nội tiếp chắn nửa (O))

0,25

0,25
0,25


c

Do đó ·AHE + ·ACE = 900 + 900 = 1800
Vậy tứ giác AHEC nội tiếp được đường tròn.
Vì tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn (O), nên:
·
·
» )
(cùng chắn BD
DCB
= DAB
Vì tứ giác AHEC nội tiếp đường tròn (theo câu b), nên:
·
·
» )
(cùng chắn HE
HCB
= DAB

·
·
Từ đó, DCB
. Vậy CB là tia phân giác của
= DAB

·
HCD

0,25

0,25
0,25

 2 x + ay = −4
ax − 3 y = 5

Câu 1 Cho hệ phương trình : 

1. Giải hệ phương trình với a=1
1) Rút gọn biểu thức:

2.Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

(

)



1 
A=  1 −
÷ x + x ; với x ≥ 0.
x +1


Câu 2.Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0.
1) Chứng minh rằng : Phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
2) Tìm giá trị của m để biểu thức A = x12 + x 22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3 a)Tìm m để các đường thẳng y = 2x + m và y = x – 2m + 3 cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung.
b)Cho quãng đường từ địa điểm A tới địa điểm B dài 90 km. Lúc 6 giờ một xe máy đi từ A để tới B Lúc 6 giờ 30 phút cùng
ngày, một ô tô cũng đi từ A để tới B với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h (Hai xe chạy trên cùng một con đường đã
cho). Hai xe nói trên đều đến B cùng lúc. Tính vận tốc mỗi xe.
c)Cho đường thẳng (d) : y = ax + b .Tìm a; b để đường thẳng (d) đi qua điểm A( -1 ; 3) và song song với đường thẳng (d’) :
y = 5x + 3
Câu 4: Cho đường tròn tâm O, đường kính AC = 2R. Từ một điểm E ở trên đoạn OA (E không trùng với A và O). Kẻ dây
BD vuông góc với AC. Kẻ đường kính DI của đường tròn (O).
a) Chứng minh rằng: AB = CI.
b) Chứng minh rằng: EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = 4R2
c) Tính diện tích của đa giác ABICD theo R khi OE =

2R
3

……………………………………………………………………

 2 x + ay = −4
ax − 3 y = 5

Câu 1 Cho hệ phương trình : 

2. Giải hệ phương trình với a=1
2) Rút gọn biểu thức:

2.Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

(

)


1 
A=  1 −
÷ x + x ; với x ≥ 0.
x
+
1



Câu 2.Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0.
3) Chứng minh rằng : Phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
4) Tìm giá trị của m để biểu thức A = x12 + x 22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3 a)Tìm m để các đường thẳng y = 2x + m và y = x – 2m + 3 cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung.
b)Cho quãng đường từ địa điểm A tới địa điểm B dài 90 km. Lúc 6 giờ một xe máy đi từ A để tới B Lúc 6 giờ 30 phút cùng
ngày, một ô tô cũng đi từ A để tới B với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h (Hai xe chạy trên cùng một con đường đã
cho). Hai xe nói trên đều đến B cùng lúc. Tính vận tốc mỗi xe.
c)Cho đường thẳng (d) : y = ax + b .Tìm a; b để đường thẳng (d) đi qua điểm A( -1 ; 3) và song song với đường thẳng (d’) :
y = 5x + 3
Câu 4: Cho đường tròn tâm O, đường kính AC = 2R. Từ một điểm E ở trên đoạn OA (E không trùng với A và O). Kẻ dây

BD vuông góc với AC. Kẻ đường kính DI của đường tròn (O).
d) Chứng minh rằng: AB = CI.
e) Chứng minh rằng: EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = 4R2
f) Tính diện tích của đa giác ABICD theo R khi OE =

2R
3


Bài 4: (3,0 điểm)
a) Chứng minh rằng: AB = CI.
B

I

Ta có: BD ⊥ AC (gt)
·
= 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ BD ⊥ BI
DBI

º ⇒ AB = CI
Do đó: AC // BI ⇒ »AB = CI
b) Chứng minh rằng: EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = 4R2
Vì BD ⊥ AC ⇒ »AB = »AD nên AB = AD

A

E
O

Ta có: EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = AB2 + CD2 = AD2 + CD2 = AC2 = (2R)2 = 4R2

C

D

2R
c) Tính diện tích của đa giác ABICD theo R khi OE =
3
1
1
SABICD = SABD + SABIC = .DE.AC + .EB.(BI + AC)
2
2
2R
R
2R
5R
⇒ AE =
* OE =
và EC =
+R=
3
3
3
3
2
R 5R 5 R
R 5
R 5

⇒ DE =
* DE2 = AE.EC =
.
=
. Do đó: EB =
3 3
9
3
3
R 4R
* BI = AC – 2AE = 2R – 2.
=
3
3
1 R 5
1 R 5 4R
R 5 16 R 8 R 2 5
Vậy: SABICD = .
.2R +
.(
+ 2R) =
.
=
(đvdt)
2 3
2 3
3
3
6
9

C2.1
(1,0
điểm)

 2 x + y = −4
x − 3 y = 5
6 x + 3 y = −12
7 x = −7
⇔
⇔
x − 3 y = 5
x − 3 y = 5

0,25

Với a = 1, hệ phương trình có dạng: 

 x = −1
 x = −1
⇔
⇔
− 1 − 3 y = 5
 y = −2

0,25
0,25
0,25

 x = −1
 y = −2

Vậy với a = 1, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: 
C2.2
(1,0
điểm)

 x = −2
 2 x = −4

⇔
-Nếu a = 0, hệ có dạng: 
5 => có nghiệm duy nhất
− 3 y = 5
 y = − 3
2
a
-Nếu a ≠ 0 , hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: ≠
a −3
2
2
(luôn
đúng,
vì
với
mọi
a)
⇔ a ≠ −6
a ≥0
Do đó, với a ≠ 0 , hệ luôn có nghiệm duy nhất.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi a.



1) Rút gọn biểu thức: A =  1 −



0,25

0,25
0,25
0,25

 x +1−1 

÷ x+ x
÷ x + x = 
÷
x +1
x
+
1



x 
÷ x x + 1 = x, với x ≥ 0.
=
 x +1÷



1

(

)

(

)

(

)

Vậy với m = - 2 thì A đạt min = 2
a) Để hai đường thẳng y = 2x + m và y = x – 2m + 3 cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì m = -2m + 3 => 3m = 3 => m =
1.


Vậy với m = 1 thì hai đường thẳng y = 2x + m và y = x – 2m + 3 cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
b) Xe máy đi trước ô tô thời gian là : 6 giờ 30 phút - 6 giờ = 30 phút =

1
h.
2

Gọi vận tốc của xe máy là x ( km/h ) ( x > 0 )
Vì vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h nên vận tốc của ô tô là x + 15 (km/h)

90
( h)
x
90
( h)
Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là :
x + 15
1
Do xe máy đi trước ô tô
giờ và hai xe đều tới B cùng một lúc nên ta có phương trình :
2
90 1
90
− =
x 2 x + 15
=> 90.2.( x + 15) − x( x + 15) = 90.2 x
Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là :

⇔ 180 x + 2700 − x 2 − 15 x = 180 x
⇔ x 2 + 15 x − 2700 = 0

Ta có :

∆ = 152 − 4.(−2700) = 11025 > 0
∆ = 11025 = 105
−15 − 105
x1 =
= −60 ( không thỏa mãn điều kiện )
2
−15 + 105

x2 =
= 45 ( thỏa mãn điều kiện )
2
Vậy vận tốc của xe máy là 45 ( km/h ) , vận tốc của ô tô là 45 + 15 = 60 ( km/h ).
Câu 3. (1,5 đ)
Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0.
1) Chứng minh rằng : Phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
2

Ta có ∆′ =  −(m + 2) − m 2 − 4m − 3 = 1 > 0 với mọi m.
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
2) phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m. Theo hệ thức Vi-ét ta có :

 x1 + x 2 = 2(m + 2)

2
 x1 .x 2 = m + 4m + 3
A = x12 + x 22 = (x1 + x2)2 – 2 x1x2 = 4(m + 2)2 – 2(m2 + 4m +3) = 2m2 + 8m+ 10
Suy ra minA = 2 ⇔ m + 2 = 0 ⇔ m = - 2

= 2(m2 + 4m) + 10
= 2(m + 2)2 + 2 ≥ 2 với mọi m.