Lý thuyết và bài tập phương trình lượng giác cơ bản

Lý thuyết và bài tập phương trình
lượng giác cơ bản
Phương trình lượng giác thường xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp và đại
học. Mức độ của bài toán này tương đối dễ. Tuy nhiên để giải được chúng ta
phải nắm vững được các dạng cơ bản nhất. Khi giải mọi phương trình lượng
giác ta đều đưa về các dạng này.
Phương trình lượng giác cơ bản là những phương trình có dạng f(x) = a. Trong đóf(x) là
một trong bốn hàm số sinx, cosx, tanx, cotx và a là một số thực. Ta sẽ lần lượt xét bốn
phương trình này.

Phương trình sinx = a


Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1≤a≤1.



Với a thỏa điều kiện trên, ta có công thức nghiệm của phương trình:

sinx=a⇔[x=α+k2πx=π−α+k2π(k∈Z)
(với α là một góc lượng giác thỏa sinα=a)
Lưu ý: Với sinα=a và α∈[−π2;π2] thì ta ký hiệu α=arcsina. Vậy phương trình sinx
= a có công thức nghiệm:

sinx=a⇔[x=arcsina+k2πx=π−arcsina+k2π(k∈Z)
Ví dụ:
a. sinx=12⇔sinx=sinπ6⇔[x=π6+k2πx=π−π6+k2π⇔[x=π6+k2πx=5π6+k2

π(k∈Z)
b. sinx=13⇔[x=arcsin13+k2πx=π−arcsin13+k2π(k∈Z)
c. sinx=2√ : phương trình vô nghiệm vì 2√>1.

Phương trình cosx = a


Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1≤a≤1.



Với a thỏa điều kiện trên, ta có công thức nghiệm của phương trình:

cosx=a⇔[x=α+k2πx=−α+k2π(k∈Z)
(với α là một góc lượng giác thỏa cosα=a)
Lưu ý: Với cosα=a và α∈[0;π] thì ta ký hiệu α=arccosa. Vậy phương trình cosx =
a có công thức nghiệm:

cosx=a⇔[x=arccosa+k2πx=−arccosa+k2π(k∈Z)
Ví dụ:
a. cosx=−12⇔cosx=cos2π3⇔[x=2π3+k2πx=−2π3+k2π(k∈Z)
b. cosx=23⇔[x=arccos23+k2πx=π−arccos23+k2π(k∈Z)
c. cosx=−2√ : phương trình vô nghiệm vì −2√<−1.

Phương trình tanx = a


Phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.



Công thức nghiệm của phương trình:

x=tana+kπ(k∈Z)
Lưu ý: Với tanα=a và α∈(−π2;π2) thì ta ký hiệu α=arctana. Vậy phương trình tanx
= a có công thức nghiệm:

tanx=a⇔x=arctana+kπ(k∈Z)
Ví dụ:
a. tanx=3√⇔tanx=tanπ3⇔x=π3+kπ(k∈Z)
b. tanx=−4⇔x=arctan(−4)+kπ(k∈Z)


Phương trình cotx = a


Phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.



Công thức nghiệm của phương trình:

x=cota+kπ(k∈Z)
Lưu ý: Với cotα=a và α∈[0;π] thì ta ký hiệu α=arccota. Vậy phương trình cotx = a
có công thức nghiệm:

cotx=a⇔x=arccota+kπ(k∈Z)
Ví dụ:
a. cotx=−3√⇔cotx=cot(−π6)⇔x=−π6+kπ(k∈Z)
b. cotx=3⇔x=arccot3+kπ(k∈Z)
Một số lưu ý


Hạn chế sử dụng arcsina,arccosa,arctana,arccota nến a là giá trị lượng giác của
các cung đặc biệt.



Trong các công thức nghiệm, không được sử dụng đồng thời hai đơn vị độ và radian.



Các công thức nghiệm cần nhớ:

sinu=sinv⇔[u=v+k2πu=π−v+k2π(k∈Z)
cosu=cosv⇔[u=v+k2πu=−v+k2π(k∈Z)
tanu=tanv⇔u=v+kπ(k∈Z)
cotu=cotv⇔u=v+kπ(k∈Z)

Một số bài tập phương trình lượng giác cơ bản
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. sin2x=−2√2

b. cos(x−300)=12


c. tan(x4)=−3√

d. cot(−3x)=2

Giải
a. sin2x=−2√2⇔sin2x=sin(−π4)⇔[2x=−π4+k2π2x=π+π4+k2π(k∈Z)

⇔[x=−π8+kπx=5π4+kπ
b. cos(x−300)=12⇔cos(x−300)=cos600⇔[x−300=600+k3600x−300=−

600+k3600(k∈Z)
⇔[x=900+k3600x=−300+k3600
c. tan(x4)=−3√⇔tan(x4)=tan(−π3)⇔x4=−π3+kπ(k∈Z)

⇔x=−4π3+k4π
d. cot(−3x)=2⇔−3x=arccot2+kπ(k∈Z)⇔x=−13arccot2−kπ3
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a. sin(2x−π5)=cos3x

b. tan(4x+200)=−cotx

Giải
a. sin(2x−π5)=cos3x⇔sin(2x−π5)=sin(π2−3x)

⇔[2x−π5=π2−3x+k2π2x−π5=π−(π2−3x)+k2π(k∈Z) (bạn đọc tự giải tiếp)
b. tan(4x+200)=−cotx⇔tan(4x+200)=−tan(900−x)

⇔tan(4x+200)=tan(x−900)⇔4x+200=x−900+k1800(k∈Z) (bạn đọc tự
giải tiếp)

Bài tập đề nghị
Giải các phương trình lượng giác cơ bản sau:


1.sinx=sin(2x+π3)2.cos(x+π3)=cos(3π2−2x)3.sin5x=sin7x4.tanx=tan(
π3+3x)5.sin(π3−3x)=sin(π2+x)6.cos(6x+2π3)=cosx7.tan(3x−1)=tanx8

.cot(5π6−x)=cot(π+x)9.sin(7x3−π2)=sin2x10.cos(2x3−π)=cosx311.sin(x
+150)=sin(300−2x)12.cos(x+450)=cosx13.tan(3x−π4)=tanπ614.cot(x
2−300)=cot30015.sin(8x+1)=sin(x−2)16.cos(200−3x)=cos(2x+100)
17.cot(x+π3)=cot(−x)18.sin(7x+280)=sin(x−80)19.cos(80+x)=cos2x
20.tan(x+450)=tan15021.cos4x=1222.sin(x+π3)=3√223.sin(x−π2)=12
4.cos3x=−3√225.2sin(4x+π3)=126.tan(2x+3)=−3√27.cot(150−x)=12
8.2sin2x−5=029.2cos(4x+300)+2√=030.2sin(3x+2π3)+3√=031.cos(
x3+π6)=032.sin(8x+π2)=−1