Đề cương ôn thi cao học_Đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
NỘI DUNG ÔN TẬP
MÔN THI: ĐẠI SỐ
(DÀNH CHO THI TUYỂN SINH CAO HỌC
NGÀNH: TOÁN HỌC)
I. Đại số tuyến tính
1. Không gian véc tơ: Không gian véc tơ; cơ sở; chiều; hạng của hệ véc tơ, không gian
véc tơ con; Không gian con sinh bởi một tập.
2. Ánh xạ tuyến tính: Ánh xạ tuyến tính; ảnh và hạt nhân; Đơn cấu; toàn cấu, đẳng cấu;
không gian thương và Định lý về đồng cấu.
3. Ma trận: Ma trận của ánh sáng tuyến tính; vành các ma trận vuông; Nhóm tuyến tính
tổng quát (của các ma trận khả nghịch)
4. Định thức: Ánh xạ đa tuyến tính thay phiên; định thức của một ma trận vuông, của
một tự đồng cấu, của một hệ véc tơ đối với một cơ sở; Định thức về hạng của ma trận
biểu thị qua định thức.
5. Hệ phương trình tuyến tính: Hệ phương trình tuyến tính; Quy tắc Cramen; Phương
pháp khử Gaus; Định lý Kronecker-Capelli.
6. Véc tơ riêng, giá trị riêng của một tự đồng cấu
7. Dạng toàn phương: Dạng song tuyến tính; dạng toàn phương; phân loại dạng toàn
phương thực; định lý về chỉ số quán tính.
8. Không gian véc tơ Euclid: Không gian véc tơ Euclid; Cơ sở trực chuẩn; biến đổi trực
giao; Nhóm các ma trận trực giao O(n); Chéo hóa các phép biến đổi đối xứng
II. Nhóm
1. Nhóm: Nhóm; nhóm con; nhóm con sinh bởi một tập; Nhóm xyclic; nhóm con của
nhóm xyclic.
2. Nhóm con chuẩn tắc: Liên hợp; lớp kề (lớp ghép); Nhóm con chuẩn tắc; nhóm
thương.
3. Đồng cấu nhóm: Đồng cấu nhóm; ảnh và hạt nhân; định lý về đồng cấu nhóm.
4. Nhóm hữu hạn: Định lý Lagrange và các hệ quả.
5. Nhóm đối xứng: Nhóm đối xứng; Nhúng các nhóm hữu hạn vào nhóm đối xứng;

Nhóm thay phiên.
III. Vành và trường
1. Vành và iđêan: Vành; Vành con; Đặc số của vành; Iđêan; Iđêan nguyên tố và Iđêan
cực đại; vành thương.
2. Đồng cấu vành: Đồng cấu vành; ảnh và hạt nhân; Định lý về đồng cấu vành.
3. Vành và các iđêan chính: Miền nguyên; Vành các iđêan chính; Ước chung lớn nhất và
bội chung nhỏ nhất
4. Vành nhân tử hóa: Vành nhân tử hóa (Vành Gauss). Tính nhân tử hóa của vành Euclid
5. Trường: Trường; Trường và các thương (trường các phân thức)
6. Vành và trường số: Vành số nguyên; Trường số hữu tỉ; Trường số phức.
IV. Vành đa thức
1. Đa thức: Vành đa thức một ẩn (với các hệ số trong một trường); Phép chia (euclid) với
dư
2. Đa thức bất quy tắc, đa thức bất khả quy; tính nhân tử hóa của vành đa thức một ẩn
3. Nghiệm của đa thức: Nghiệm và nhân tử tuyến tính; trường phân rã của một đa thức.
4. Định lý cơ bản: Định lý cơ bản của Đại số học; Nhân tử hóa đa thức với hệ số thực.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách lý thuyết
1. S.Lang, Đại số(Tập 1,2,3), Bản dịch tiếng Việt, Nxb ĐH và THCN
2. Ngô Thúc Lanh, Đại số và số học (Tập 1,2,3), NXB GD
3. Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Giáo trình Đại số tuyến tính và hình học giải tích, NXB ĐHQG Hà
Nội
4. Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, NXB GD
Sách bài tập
1. Bùi Huy Hiển, Nguyễn Hữu Hoan, Phan Doãn Thoại, Bài tập đại số và số học (Tập 1,2),
Nxb GD
2. I.V. Proskuryakov, Bài tập đại số tuyến tính (Tiếng Nga), NXB Nauka, Moskva.