Đề cương ôn thi cao học_Giải tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
NỘI DUNG ÔN TẬP
MÔN THI: GIẢI TÍCH
(DÀNH CHO THI TUYỂN SINH CAO HỌC
NGÀNH: TOÁN HỌC)
PHẦN I: TÍCH PHÂN
1. Tích phân Riemann và tích phân Lebesgue.
2. Định luật Lebesgue và tiêu chuẩn khả tích Riemann
3. Các định lý qua giới hạn dưới dấu tích phân Lebesgue
4. Không gian L
p
(1≤p≤+∞)
5. Định lý Fubini
PHẦN II: KHÔNG GIAN MÊTRIC VÀ KHÔNG GIAN TÔPÔ
A. Không gian Mêtric.
1. Tôpô trong không gian Mêtric: Lân cận, tập mở, tập đóng
2. Sự hội tụ trong không gian Mêtric
3. Không gian Mêtric đầy. Bổ sung đầy không gian Mêtric. Nguyên lý
Cantor về dãy hình cầu đóng thắt dẫn. Định lý Baire về phạm trù.
Định lý Banach về điểm bất động của ánh xạ co và ứng dụng của nó.
4. Không gian Compact. Tập Compact và tập hoàn toàn bị chặn. Định lý
Heine-Borel.
5. Ánh xạ liên tục giữa các không gian Mêtric. Các tính chất của hàm số
liên tục trên không gian Compact. Định lý Arzela-Ascoli
B. Không gian tôpô
1. Không gian Tôpô.
2. Một số loại không gian tôpô. Không gian Hausdorff, không gian chính
quy, không gian chuẩn tắc. Định lý Tietze. Không gian compact.
Không gian compact địa phương. Compact hoá Alecksandrov.
PHẦN III: KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN, KHÔNG GIAN

BANACH, KHÔNG GIAN HILBERT
1. Không gian định chuẩn. Không gian Banach. Không gian liên hợp với
không gian định chuẩn. Toán tử liên tục. Toán tử liên hợp
2. Các định lý cơ bản của giải tích hàm.
- Định luật Haln- Banach và định lý tách các tập lồi trong không gian
tuyến tính
- Định lý Banach về ánh xạ mở và định lý đồ thị đóng.
- Định lý Banach- Steinhaus và hệ quả
3. Toán tử Compact. Phổ của toán tử và phổ của toán tử compact. Định
lý Schauder về tính compact của toán tử liên hợp.
4. Không gian Hilbert. Hệ véc tơ trực giao, phần bù trực giao của không
gian con, tổng trực giao. Định lý Riesz về dạng của phiếm hàm tuyến
tính liên tục. Cơ sở của không gian Hilbert. Giá trị riêng và véc tơ
riêng của toán tử compact liên hợp. Định lý Hilbert Schmidt về biểu
diễn phổ.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Hoàng Tuỵ. Giải tích hiện đại, tập I,II,III (Nhà xuất bản giáo dục
1979)
2. Phạm Đức Chính. Giải tích hàm, Tập I, II (Nhà xuất bản đại học và
trung học chuyên nghiệp 1974, Nhà xuất bản giáo dục 1977-1978)
3. Kohnnogovov A.H. Femine B.V. Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích
hàm (Bản dịch của Trần Phúc Cường, Võ Tiếp, Tập I, NXBGD, 1981,
tập II NXBGD 1982)
4. Nguyễn Văn Khuê- Lê Mậu Hải- Bùi Đắc Tắc- Đỗ Đức Thái. Cơ sở
lý thuyết hàm và giải tích hàm, Tập 1 và 2, NXBGD, 2001
5. Đỗ Đức Thái, Bài tập không gian tôpô- Độ đo- Tích phân. NXB Đại
học Sư phạm-2003