Bước đầu nghiên cứu về sự ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Một số kiến thức cơ bản về ph-ơng trình vi phân

3
5

1

Tính chất tổng quát nghiệm của hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . .

5

2

Công thức Ostrogratski-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3

Ph-ơng pháp biến thiên hằng số Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

4

Bổ đề Growall-Bellman và Bihari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2 Các khái niệm cơ bản về lý thuyết ổn định

13

1

Các khái niệm cơ bản về lý thuyết ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2

Các định lý tổng quát về sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3

Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

4

Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

5

Tiêu chuẩn Hurwits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3 Nghiên cứu ổn định bằng số mũ Liapunov

26

1

Số mũ đặc tr-ng của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2

Số mũ đặc tr-ng của ma trận hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3

Phổ của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4

Hệ cơ bản chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

5

Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận của hệ vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . .

44

6

Bất đẳng thức Vazevski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

7

Bất đẳng thức Liapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

8

Hệ khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

9

Tính khả quy về hệ tuyến tính với ma trận không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

10

Hệ chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

1


11

§Þnh lý Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

12

TÝnh chÝnh quy cña hÖ tuyÕn tÝnh tam gi¸c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

13

LÝ thuyÕt Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

14

TÝnh kh¶ quy cña hÖ tuyÕn tÝnh tuÇn hoµn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

2


Mở đầu
I. Lí do chọn đề tài của khóa luận
Lí thuyết ổn định toán học là một lý thuyết nghiên cứu định tính ph-ơng trình vi phân th-ờng. Do hầu hết
các quá trình có tính chất biến đổi đều có thể mô tả bởi một hệ ph-ơng trình vi phân (PTVP), trong khi, về mặt
lịch sử, việc giải tìm nghiệm chính xác của một hệ PTVP là điều rất khó thực hiện, kể cả khi đã có sự trợ giúp
của máy tính điện tử. Chính vì vậy, các nhà toán học đã tập trung vào giải quyết các bài toán định tính trong
nghiên cứu các quá trình thông qua các hệ PTVP mô tả các quá trình đó. Đó là việc nghiên cứu để biết rõ
các tính chất của nghiệm của một hệ PTVP chỉ dựa trên các yếu tố đầu vào thể hiện trong bản thân hệ ph-ơng
trình. Với ý nghĩa nh- vậy, lý thuyết ổn định, ban đầu đ-ợc hiểu mặc nhiên là sự ổn định của các chuyển động
cơ học thuần túy, trong quá trình phát triển nó đ-ợc hiểu một các rộng rãi là sự ổn định của các quá trình biến
đổi nói chung, bao gồm từ các quá trình vật lý đến các quá trình kinh tế, biến đổi môi tr-ờng, sinh thái học và
nhiều lĩnh vực khác. Với lí do đó, lý thuyết ổn định đã và đang đ-ợc nghiên cứu và phát triển mạnh cả về lí
thuyết và ứng dụng trong suốt nhiều thập kỷ qua.
Là một sinh viên ngành S- phạm Toán học, trong quá trình học tập học phần Ph-ơng trình vi phân và lý
thuyết ổn định, với thời l-ợng chủ yếu của học phần tập trung vào nghiên cứu các tính chất cơ bản của PTVP
và chỉ giới thiệu hết sức khái l-ợc về lý thuyết ổn định, nên bản thân tôi đã quyết định tìm hiểu, nghiên cứu
một cách sâu sắc, có hệ thống về lý thuyết ổn định thông qua việc đăng ký làm khóa luận tốt nghiệp với tên
đề tài của khóa luận là "B-ớc đầu nghiên cứu về sự ổn định nghiệm của hệ ph-ơng trình vi phân". Bên cạnh

đó, thông qua việc thực hiện khóa luận, tôi kỳ vọng với sự h-ớng dẫn của các thầy, cô giáo, tôi có thể trang bị
thêm cho mình những kỹ năng tự học, tự nghiên cứu để sử dụng nh- một công cụ hữu hiệu trong suốt quá trình
học tập, công tác tiếp theo.
II. Mục đích và nhiệm vụ
1. Mục đích
Khóa luận đặt ra 2 mục tiêu:
1. Nghiên cứu tài liệu, hệ thống hóa các kiến thức về lý thuyết ổn định, bao gồm các khái niệm cơ và
các định lý cơ bản về ổn định; nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính bằng ph-ơng pháp số mũ
Liapunov, từ đó tìm hiểu các kết quả về tính ổn định của các hệ gần tuyến tính và các hệ có nhiễu tác động
th-ờng xuyên.
2. Thông qua quá trình thực hiện khóa luận để có điều kiện rèn luyện kỹ năng tự học, tự nghiên cứu tài
liệu. Đó là quá trình tìm hiểu, lựa chọn học liệu, nghiên cứu để tập hợp và hệ thống hóa, vận dụng và trình bày
lại những kiến thức cơ bản một cách hệ thống theo mục tiêu đặt ra.
2. Nhiệm vụ
Nhiệm vụ cơ bản khi thực hiện khóa luận là: Lựa chọn tài liệu, học liệu, nghiên cứu về đề tài của khóa
luận; Xây dựng đề c-ơng tổng quát và đề c-ơng chi tiết; Thực hiện các nội dung nghiên cứu của khóa luận:
Trình bày các khái niệm, các định lí có chứng minh chi tiết có liên quan.
III. Ph-ơng pháp nghiên cứu
Ph-ơng pháp nghiên cứu lí thuyết, tập hợp, s-u tầm, nghiên cứu tài liệu, so sánh, đối chiếu và sử dụng các

3


kiến thức toán học đã biết để nhất quán hóa và trình bày hoàn chỉnh những nội dung kiến thức liên quan trên
thành một chủ đề trọn vẹn. Trong quá trình thực hiện luận án có thảo luận, xin ý kiến các thầy cô giáo và thực
hiện sự chỉ đạo trực tiếp của giảng viên h-ớng dẫn.
IV. Cấu trúc của khóa luận Khóa luận bao gồm phần mở đầu, ba ch-ơng nội dung chính và phần kết luận.
Nội dung chính cụ thể là: Ch-ơng 1: Một số kiến thức cơ bản về ph-ơng trình vi phân: Trình bày vắn tắt những
kiến thức cơ bản nhất về lý thuyết PTVP có sử dụng trong ch-ơng 2 và ch-ơng 3 của Khóa luận. Ch-ơng 2:
Các khái niệm cơ bản về lý thuyết ổn định: Trình bày một cách hệ thống các khái niệm và các kết quả cơ bản

của lý thuyết ổn định. Ch-ơng 3: Nghiên cứu tính ổn định bằng ph-ơng pháp số mũ Liapunov: Ch-ơng này
trình bày ph-ơng pháp thứ nhất còn gọi là ph-ơng pháp số mũ Liapunov và một số ví dụ minh họa. Phần kết
luận tổng kết những kiến thức đã trình bày trong khóa luận.

4


Ch-ơng 1

Một số kiến thức cơ bản về ph-ơng trình
vi phân
1

Tính chất tổng quát nghiệm của hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính.
Xét hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính:
dyj
=
dt

n

ajk(t)yk + fj (t) (j = 1, n)

(1.1)

k=1

Trong đó ajk (t), fj (t) C(I + ) với I + = (a; +). Chúng ta luôn giả thiết ajk(t), fj (t) R có nghiệm
yj (t) C. Với ký hiệu A(t) = [ajk (t)]nìn , y(t) = col [y1 , ..., yn] , f(t) = col [f1 (t), ..., fn(t)], hệ (1.1) đ-ợc
viết d-ới dạng ma trận sau:

dy
= A(t)y + f(t)
dt

(1.2)

Hệ (1.2) với A(t), f(t) C(I + ) luôn thoả mãn điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy:
Với mọi (t0 , y0 ) I + ì Kn hệ (1.2) có duy nhất nghiệm y(t) xác định trong I + và thoả mãn y(t0 ) = y0.
Xét hệ thuần nhất t-ơng ứng với hệ (1.2):
dx
= A(t)x
dt

(1.3)

Cho xj (t) = col [x1j (t), x2j (t), . . . , xnj (t)] , j = 1, n là n nghiệm của (1.3) trên khoảng I + , khi đó:
Định nghĩa 1.1. Ma trận X(t) = [x1(t) x2(t) . . . xn(t)] là ma trận vuông cấp n lập nên bởi n nghiệm đó sao
cho mỗi cột thứ j là cột toạ độ của nghiệm xj (t) đ-ợc gọi là ma trận nghiệm của hệ (1.3). Nếu hệ nghiệm
{xj (t)} là hệ nghiệm cơ bản (tức là hệ n nghiệm độc lập tuyến tính trên I + ), thì X(t) đ-ợc gọi là ma trận
nghiệm cơ bản.
Mệnh đề 1.2. Ma trận nghiệm X(t) bất kì của hệ (1.3) thoả mãn ph-ơng trình ma trận sau:

X(t)
= A(t)X(t)

(1.4)

Mệnh đề 1.3. Nếu X(t) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.3) thì mọi nghiệm của hệ đều đ-ợc biểu diễn d-ới
dạng:
x(t) = X(t)c, c = col(c1, . . . , cn) Kn là ma trận cột hằng số nào đó

5

(1.5)


Thật vậy, vì các hàm số xjk(t) thoả mãn ph-ơng trình thứ j của hệ (1.3) nên:
dxjk
=
dt

n

ajs(t)xsk (t)

(1.6)

s=1

Theo quy tắc nhân ma trận ta đ-ợc:
dxjk

X(t)
=
=
dt

n

ajs(t)xsk (t) A(t)X(t).
s=1

Ng-ợc lại bằng cách nhân lần l-ợt hai vế của hệ (1.4) với các vector ei trong cơ sở chính tắc của Kn ta
đ-ợc: Nếu X(t) là ma trận bất kì thoả mãn ph-ơng trình (1.4), thì mỗi cột của nó là một nghiệm của hệ (1.3).
Hơn nữa nếu định thức det X(t) = 0 thì X(t) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ.
Giả sử x = x(t) là nghiệm thoả mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0. ta đ-ợc x(t0) = X(t0 )c. Do đó
c = X 1 (to )x(to ). Vì vậy:
x(t) = X(t)X 1 (t0 )x(t0)

(1.7)

Định nghĩa 1.4. Ta gọi ma trận K(t, t0 ) = X(t)X 1 (t0 ) là ma trận Cauchy của hệ (1.3).
Ta thấy, mọi nghiệm của hệ đều có dạng: x(t) = K(t, t0)x(t0 ). Đặc biệt, nếu ma trận nghiệm cơ bản X(t)
chuẩn tắc tại t0 , tức X(t0 ) = E, thì công thức (1.7) có dạng:
x(t) = X(t)x(to )

(1.8)

Ma trận Cauchy không phụ thuộc vào việc chọn ma trận nghiệm cơ bản X(t). Thật vậy, giả sử X(t) là một
ma trận cơ bản khác của (1.3) thì ta có X(t) = X(t)C, trong đó C là ma trận hằng không suy biến. Do đó:
K(t, t0) = X(t)X 1 (t0) = X(t)CC 1 X 1 (t0 ) = K(t, t0 ).

Nếu y(t) là một nghiệm nào đó của hệ không thuần nhất (1.2), thì nghiệm tổng quát của hệ (1.2) có thể viết
d-ới dạng: y(t) = y(t) + X(t)c, trong đó y(t) là một nghiệm riêng nào đó của hệ và c là ma trận cột hằng số.
Nếu y(t0 ) = 0 thì c = X 1 (t0 )y(t0 ). Do đó:
y(t) = y(t) + K(t, t0)y(t0 ).

2

Công thức Ostrogratski-Liouville
Giả sử X(t) = [xjk (t)] là ma trận cơ bản của hệ vi phân thuần nhất (1.3). Định thức W (t) = det X(t)

đ-ợc gọi là định thức Wronski của hệ:
W (t) = det X(t)

(2.1)

áp dụng quy tắc lấy đạo hàm định thức, ta đ-ợc:

dW (t)
=
dt

n

j=1

x11(t)
..
.
xj1(t)
..
.
xn1(t)

...
..
.
ããã
..
.

ããã
6

x1k (t)
..
.
xjk (t)
..
.
xnk(t)

...
..
.
ããã
..
.
ããã

x1n(t)
..
.
xjn(t) .
..
.
xnn(t)


Do xjk(t) =

n
s=1 ajs (t)xsk (t)

dW (t)
=
dt

n

(j, k = 1, n) và do tính chất của định thức ta đ-ợc:

n

x11(t)
..
.

n

j=1 s=1

xsk (t)
..
.

...
..
.
ããã
..

.

x1n(t)
..
.

ajs(t) xs1(t)
..
.

...
..
.
ããã
..
.

xn1(t)

ããã

xnk (t) ã ã ã

xnn(t)

n

=

x1k (t)

..
.

xsn(t) .
..
.

n

ajs(t)js W (t) = W (t)
j=1 s=1

ajj (t) = Sp A(t)W (t).
j=1

Lấy tích phân ph-ơng trình sau cùng trên [t0; t] I + ta đ-ợc công thức Ostrogratski-Liouville sau đây:
t

Sp A( )d
t0

W (t) = W (t0 ).e

(2.2)

Sau đây chúng ta nêu ra một công thức tìm ma trận nghiệm cơ bản trong tr-ờng hợp không tìm đ-ợc hệ
nghiệm cơ bản. Đó là công thức cho phép tìm ma trận nghiệm cơ bản thông qua tổng của một chuỗi ma trận
khi chỉ biết một nghiệm không tầm th-ờng của hệ.
Xét hệ PTVP tuyến tính thuần nhất:
dx

= A(t)x,
dt

A(t) C(I + )

(2.3)

Giả sử t0 I + và x = x(t) là một nghiệm của hệ (2.3) xác định bởi điều kiện đầu:
x(t0 ) = x0

(2.4)

Để biểu diễn giải tích nghiệm x(t), ta dùng ph-ơng pháp xấp xỉ liên tiếp: Hệ (2.3) với điều kiện đầu (2.4)
t-ơng đ-ơng với ph-ơng trình tích phân:
t

x(t) = x(t0 ) +

A(t1 )x(t1)dt1 .
t0
t1

Thay thế x(t1) trong ph-ơng trình trên bởi x(t1 ) = x(t0 ) +

A(t2 )x(t2 )dt2 ta đ-ợc:
t0

t

x(t) = x(t0) +

t

A(t1 )x(t0 )dt1 +
t0

t1

A(t1 )dt1
t0

A(t2 )x(t2)dt2
t0

Lặp lại quá trình đó vô hạn lần ta sẽ đ-ợc công thức biểu diễn nghiệm:
t

x(t) = x(t0) +

t1

t

A(t1 )x(t0)dt1 +
t0

A(t1 )dt1
t0

A(t2 )x(t2 )dt2 + . . .

t0

Kí hiệu:
t

tt0

=E+

A(t1 )dt1 +
t0

t1

t

A(t1 )dt1
t0

7

A(t2 )dt2 + . . .
t0

(2.5)


Định nghĩa 2.1. Ma trận tt0 gọi là ph-ơng trận của hệ vi phân (2.3).
Ta có:
x(t) = tt0 x(t0)

(2.6)

Chuỗi vế phải (2.5) hội tụ tuyệt đối và hội tụ đều trên mọi đoạn [, ] I + . Thật vậy
t

tt0

E +

t1

t

A(t1) |dt1| +
t0

A(t1) |dt1|
t0

A(t2) |dt2| + . . .

(2.7)

t0

Giả sử [, ] [t0 A, t0 + B] I + , C = max(A, B), M =

max

t0 A t t0 +B

A(t) . Với t [, ], ta có

các đánh giá sau:
t

A(t1 ) dt1

M | t t0 |,

t0
t1

t

A(t1 ) dt1
t0

Vì |t t0 |

t

M2

A(t2 ) dt2
t0

|t1 t0 |dt1

M2
|t t0 |2, . . .
2!

t0

C nên chuỗi vế phải của (2.7) đ-ợc làm trội bởi chuỗi số d-ơng hội tụ
E

+M C +

M C2
+... = E
2

1 + exp(M C).

(2.8)

Do đó nhờ dấu hiệu Weierstrass, chuỗi hàm (2.7) hội tụ đều trên [, ] I + . Vì vậy chuỗi ma trận (2.5)
cũng hội tụ tuyệt đối và hội tụ đều trên [, ].
Lấy vi phân từng số hạng của chuỗi (2.5), ta nhận đ-ợc chuỗi hội tụ đều trên [, ] :
dtt0
= A(t) + A(t)
dt

t

t2

t

A(t2 )dt2 + A(t)
t0

A(t3 )dt3 + . . . A(t)tt0 ,

A(t2 )dt2
t0

t0

Ngoi ra tt00 = E nên ph-ơng trận tt0 l ma trận cơ bản chuẩn tắc của hệ vi phân thuần nhất (2.3) và một
nghiệm x(t) bất kì của hệ đó đ-ợc biểu diễn theo công thức:
x(t) = tt0 x(t0 ) K(t, t0 )x(t0 )
Nhờ tính chất duy nhất nghiệm ta nhận đ-ợc tính chất cơ bản của ph-ơng trận:
tt1 tt10 = tt0

3

với (t0, t1) I + .

Ph-ơng pháp biến thiên hằng số Lagrange
Xét hệ vi phân không thuần nhất:
dy
= A(t)y + f(t)
dt

(3.1)

Hệ vi phân sau gọi là hệ thuần nhất t-ơng ứng với hệ (3.1):
dx
= A(t)x
dt
8

(3.2)


Chúng ta sẽ tìm nghiệm của hệ bằng ph-ơng pháp biến thiên hằng số Lagrange. Giả sử hệ (3.1) có nghiệm
y(t) dạng:
y(t) = X(t)u(t)

(3.3)

ở đó X(t) là ma trận cơ bản của hệ thuần nhất t-ơng ứng v u = u(t) là hàm vector mới ch-a biết. Thay y(t)
trong (3.3) vào (3.1) ta đ-ợc:
X(t)

du

+ X(t)u
= A(t)X(t)u + f(t)
dt
t

du

Vì X(t)
= A(t)X(t) nên X(t)

= f(t). Do đó u(t) = c + X 1 (t1 )f(t1 )dt1. Kết hợp với (3.3) có:
dt
t0
t

y(t) = X(t)c +

K(t, t1)f(t1 )dt1

(3.4)

t0

Trong đó K(t, t1 ) = X(t)X 1 (t1 ) l ma trận Cauchy của hệ (3.2). Để xác định vector hằng c ta thay t = t0
vo công thức (3.4) ta đ-ợc: c = X 1 (t0 )y(t0 ). Từ đó:
t

y(t) = K(t, t0 )y(t0 ) +

K(t, t1)f(t1 )dt1

(3.5)

t0

Đặc biệt, nếu X(t) chuẩn tắc tại t0, thì từ công thức (3.5) ta có:
t

y(t) = X(t)y(t0 ) +

K(t, t1 )f(t1 )dt1
t0

Từ công thức (3.5) ta suy ra hệ không thuần nhất (3.1) có một nghiệm riêng:
t

y(t) =

K(t, t1)f(t1 )dt1
t0

thoả mãn điều kiện ban đầu y(t0 ) = 0
Chú ý rằng ma trận A(t) = A l ma trận hằng số và X(t0 ) = E thì:

X(t)X 1 (t1) v X(t t1 + t0)
đều là ma trận cơ bản của hệ thuần nhất (3.2) và chúng bằng nhau khi t = t1 . Do vậy:
X(t)X 1 (t1 ) X(t t1 + t0 )
Nếu đặt t0 = 0 thì ta nhận thấy hệ vi phân:
dy
= Ay + f(t)
dt

(3.6)

Trong đó A l ma trận hằng số, có nghiệm tổng quát:
t

y(t) = X(t)y(0) +

X(t t1)f(t1 )dt1

t0

9

(3.7)


Đặc biệt, khi y(0) = 0, thì hệ không thuần nhất (3.6) có một nghiệm riêng:
t

X(t t1)f(t1 )dt1.

y(t) =
0

4

Bổ đề Growall-Bellman và Bihari
1.Bổ đề Growall-Bellman

Bổ đề 4.1. (Growall-Bellman). Giả sử u(t)
Nếu

0, f(t)

0 với t

t0 và u(t), f(t) C[t0, +).

t

u(t)

c+

f( )u( )d với t

t0 (c là hằng số d-ơng)

(4.1)

t0

Thì

t

u(t)

c exp

f( )d,

(4.2)

t0

Chứng minh. Từ các bất đẳng thức (4.1) ta nhận đ-ợc:
u(t)
c+

f(t)u(t)

1

t

f( )u( )d

c+

t0

Chú ý 1.

(4.3)

f( )u( )d
t0

t
d
c + f( )u( )d = f(t)u(t) nên khi lấy tích phân bất đẳng thức (4.3) từ t0 đến t ta đ-ợc:
dt
t0

t

ln[c +

f(t)

t

t

f( )u( )d ] ln c

f( )d

t0

t0
t

Từ đó ta có u(t)

c+

t

f( )u( )d

c exp

t0

f( )d.
t0

Chú ý 2. Nếu chuyển qua giới hạn các công thức (4.1) và (4.2) khi c +0, ta thấy rằng Bổ đề vẫn đúng nếu
hằng số c bằng 0.
2.Bổ đề Growall-Bellman mở rộng
Bổ đề 4.2. Giả sử u(t) liên tục, d-ơng trên khoảng (a; b) và thoả mãn điều kiện:
t

u(t)

u(t1 ) + |

f( )u( )d |, t1, t (a; b)

(4.4)

t1

trong đó f(t) C(a; b). Khi đó, với a < t0

t < b ta có:

t

u(t0) exp[

t

f( )d ]

u(t)

t0

u(t0 ) exp[
t0

10

f( )d ]

(4.5)


t

Chứng minh. Với t

t1 điều kiện (4.4) trở thành: u(t)

u(t1 ) +

f( )u( )d . Từ đó, theo Bổ đề Growallt1

Bellman có:

t

u(t)

u(t1) exp

f( )d

(4.6)

t1
t1

Với t

t1 điều kiện (4.4) trở thành: u(t)

u(t1) +

f( )u( )d. Do đó:
t

u(t)
u(t1 ) +

f(t)u(t)

1

t1

f( )u( )d

f(t)

t1

u(t1 ) +

f( )u( )d

t

t

Lấy tích phân bất đẳng thức cuối cùng từ t đến t1 ta đ-ợc:
t1

t1

ln u(t1 ) ln[u(t1) +

f( )u( )d ]



f( )d

t

t

Suy ra:
t1

u(t)

u(t1 ) +

t1

f( )u( )d

u(t1) exp

f( )d

t

t
t

Thay đổi vai trò của t và t1 với t

t1 ta đ-ợc: u(t1 )

u(t) exp

f( )d. Suy ra
t1

t

u(t)

u(t1 ) exp

f( )d .

(4.7)

t1

Trong (4.6) và (4.7) thay t1 bởi t0 thì khi a < t0

t < b ta có điều phải chứng minh (4.5).

Bổ đề 4.3. (Bihari). Giả sử u(t), f(t) liên tục, không âm trong khoảng [t0, +) và thoả mãn điều kiện:
t

u(t)

c+

f( )(u( ))d

(4.8)

t0

trong đó c là hằng số d-ơng và (u) là hàm d-ơng, liên tục, tăng trên khoảng 0 < u

u, (u

) và giả sử:

u

du1
, (0 < u < u).
(u1 )

(u) =

(4.9)

c

Nếu:

t

f( )d < (u 0), (t0

t < ),

(4.10)

t < )

(4.11)

t0

Thì:

t

u(t)

1 [

f( )d ], (t0

t0
1

trong đó

(u) là hàm ng-ợc của hàm (u). Đặc biệt, nếu u = và () = , thì điều kiện (4.10) luôn

thoả mãn cho nên (4.11) cũng luôn thoả mãn.
11


Chøng minh. Xem trong [2]
HÖ qu¶ 4.4. NÕu Φ(u) = u th× cã bÊt ®¼ng thøc Growall- Bellman (4.2).
HÖ qu¶ 4.5. NÕu Φ(u) = um , (m > 0, m = 1), tøc lµ ta cã gi¶ thiÕt:
t

f(τ )[u(τ )m ]dτ víi t

u(t)

0

t0

Th×
1
1−m

t

u(t)

c1−m + (1 − m)

f(τ )dτ

víi 0 < m < 1

t0

vµ
c

u(t)

1
m−1

t

1 − (m −

1)cm−1

f(τ )dτ
t0

t

víi m > 1 vµ

f(τ )dτ <
t0

1
, (t0
(m − 1)cm−1

t)

12

(4.12)


Ch-ơng 2

Các khái niệm cơ bản về lý thuyết ổn
định
1

Các khái niệm cơ bản về lý thuyết ổn định

Xét hệ PTVP

dyj
(1.1)
= fj (t, y1, y2 , ..., yn) (j = 1, n)
dt
trong đó t là biến độc lập, y1 , ..., yn là các hàm số phải tìm, fj (t, y1 , ..., yn) là các hàm xác định trong
miền Z = It+ ì Dy , It+ = (a < t < +), với a R hoặc a = , Dy l tập mở trong Kn , (K = R hoặc
K = C). Kí hiệu:



y1
y2

y = . ,
..
yn




f1 (t, y)
f2 (t, y)


f(t, y) = . ,
.
.
fn (t, y)

dy1
dt
d
y2

dy
dt
=


.
dt
.
.
dy


n

dt

thì hệ ph-ơng trình (1.1) đ-ợc viết d-ới dạng ma trận sau:
dy
= f(t, y)
dt

(1.2)

Hàm vector y = y(t) Dy Kn thuộc lớp C 1 trên khoảng (a, b) It+ nào đó và thoả mãn ph-ơng
trình (1.2) trên khoảng đó gọi là nghiệm của ph-ơng trình (1.1).
0,1
Sau này ta th-ờng giả thiết rằng f(t, y) Ct,y
(Z), tức là f liên tục theo t và có đạo hàm riêng cấp

một liên tục theo các biến y1 , ..., yn trong miền Z. Nếu xét hệ (1.2) với yt Dy Rn thì các đạo hàm
đ-ợc hiểu theo nghĩa thông th-ờng. Tr-ờng hợp y(t) Dy Cn thì có thể giả thiết rằng hàm f(t, y) giải
fj
tích theo các biến y1 , ..., yn. Khi đó các đạo hàm
(t, y1, ..., yn) là đạo hàm hàm số phức.
yk
Chú ý 3. Với các giả thiết đã cho hệ (1.2) thoả mãn điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm của định lí Cauchy. Sau
này chúng ta luôn giả thiết hệ (1.2) thoả mãn điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm.
Nghiệm y = y(t) có thể xem nh- quỹ đạo của không gian Rn hoặc Cn , trong đó t đóng vai trò tham số.

13


Nếu hệ (1.2) thoả mãn điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm và vế phải liên tục thì nghiệm của hệ có tính chất
liên tục tích phân, nghĩa là, nếu y(t) là nghiệm của hệ (1.2) trên khoảng (a, b) thì với mọi > 0 cho tr-ớc, và
với mọi đoạn [; ] (a, b) luôn tồn tại > 0 sao cho mọi nghiệm z(t) trong lân cận của [; ] thoả mãn
điều kiện z() = z0 và ||z() y()|| < đều là nghiệm của hệ (1.2) trên [; ] và thoả mãn ||z(t) y(t)|| <
với mọi t [; ].
Định nghĩa 1.1. Nghiệm (t) của hệ (1.2) trên (a, +) của hệ (1.2) đ-ợc gọi là ổn định theo Liapunov khi
t nếu với mọi số d-ơng cho tr-ớc và với mọi t0 (a, +), đều tồn tại = (, t0) > 0 sao cho mọi
nghiệm y(t) của hệ (1.2) đều thoả mãn điều kiện ||y(t0 )(t0 )|| < đều xác định trong khoảng (t0

t < +)

(nghĩa là y(t) Dy với mọi t [t0; +)) và thoả mãn y(t) (t) < với mọi t [t0; +).

Hình 2.1:
Nhận xét 1. Nghiệm (t) là ổn định nếu tại bất kì thời điểm ban đầu t0 các nghiệm y(t) của hệ (1.2) đủ gần
với nó đều nằm trong hình cầu B((t), )
f(t, 0) 0 trên It+ thì hệ ph-ơng trình (1.2) có nghiệm tầm th-ờng (hay trạng thái cân bằng) (t) 0 trên
It+ . Trong tr-ờng hợp này nghiệm tầm th-ờng (t) 0 đ-ợc gọi là ổn định Liapunov khi t nếu với mọi
số d-ơng và với mọi t0 (a; +), tồn tại số = (, t0 ) > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) của hệ () thoả mãn
điều kiện y(t0 ) < xác định trong khoảng t0

t < + và thoả mãn y(t) < với mọi t [t0; +).

Định nghĩa 1.2. Nghiệm (t) của hệ (1.2) trong khoảng (a; +) đ-ợc gọi là ổn định đều theo t0 khi t +
nếu với mọi số d-ơng cho tr-ớc và với mọi t0 (a; +) luôn tồn tại số = () > 0 sao cho mọi nghiệm
y(t) của hệ () thoả mãn điều kiện y(t0 ) (t0 ) < đều xác định trong khoảng t0

t < + và thoả mãn

y(t) (t) < với mọi t [t0; +).
Định nghĩa 1.3. Nghiệm (t) của hệ (1.2) trong khoảng (a; +) không ổn định Liapunov khi t nếu
0 > 0 và t0 (a; +) sao cho với mọi > 0 đều tồn tại ít nhất nghiệm y(t) của hệ (1.2) và tồn tại thời
điểm t1 > t0 sao cho y(t0 ) (t0 ) < nh-ng y(t1 ) (t1 )

0 .

Định nghĩa 1.4. Nghiệm (t) trên khoảng (a; +) của hệ (1.2) gọi là ổn định tiệm cận khi t + nếu nó
ổn định theo Liapunov khi t và thoả mãn điều kiện: Với mọi t0 (a; +) đều tồn tại = (t0 ) > 0
sao cho mọi nghiệm y(t) trên [t0; +) của hệ (1.2) mà y(t0 ) (t0 ) < ta đều có y(t) (t) 0 khi
t
Nghiệm tầm th-ờng (nếu có) (t) 0 trên khoảng (a, +) của hệ (1.2) là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định

theo Liapunov khi t và thoả mãn điều kiện: Với mọi t0 (a; +) đều tồn tại = (t0) > 0 sao cho
mọi nghiệm y(t) của hệ (1.2) trên khoảng [t0 ; +) m y(t0 ) < ta đều có y(t) 0 khi t +
14


Hình 2.2:
Định nghĩa 1.5. Giả sử hệ (1.2) xác định trong không gian = It+ ì Kn . Khi đó nghiệm y(t) của hệ (1.2) trên
khoảng (a; +) gọi là ổn định tiệm cận trong toàn thể nếu nó ổn định tiệm cận khi t + và mọi nghiệm
y(t) trong khoảng [t0 ; +) của hệ (1.2) đều thoả mãn y(t) (t) 0 khi t +
Xét hệ vi phân có nhiễu tác động th-ờng xuyên sau đây đồng thời với hệ (1.2):
dy
= f(t, y) + (t, y)
dt

(1.3)

Luôn giả thiết:
(0,1)

(0,1)

f(t, y) C(t,y) (Z), (t, y) C(t,y) (Z).
Định nghĩa 1.6. Nghiệm (t) trong khoảng (a; +) của hệ (1.2) đ-ợc gọi là ổn định với nhiễu tác động th-ờng
xuyên (t, y) nếu với mọi > 0 cho tr-ớc và với mọi t0 (a; +) đều tồn tại số (; t0 ) > 0 sao cho khi
(t, y) < thì mọi nghiệm y(t) của hệ (1.3) thoả mãn điều kiện y(t0 ) (t0 ) < đều xác định trong khoảng
[t0; +) và thoả mãn điều kiện y(t) (t) < với mọi t [t0; +).
Nếu nghiệm (t), t It+ của hệ (1.2) với vế phải liên tục ổn định tại thời điểm t0 It+ thì cũng ổn
định tại thời điểm t0 It+ . Do đó ta có thể giới hạn việc kiểm tra tính ổn định cũng nh- tính ổn định tiệm
cận của nghiệm chỉ đối với thời điểm ban đầu t0 đã cho nào đó. Từ đó ta cũng có thể suy ra rằng nghiệm
(t), (a < t < b) không ổn định đối với thời điểm ban đầu t0 It+ thì nó cũng không ổn định đối với thời

điểm bất kì t0 It+ .

2

Các định lý tổng quát về sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính
Xét các hệ vi phân tuyến tính:
dy
= A(t)y + f(t),
dt

A(t), f(t) C(I + )

(2.1)

và hệ thuần nhất đối với nó:
dx
= A(t)x
dt

(2.2)

Định nghĩa 2.1. Hệ (2.1) đ-ợc gọi là ổn định (không ổn định) nếu tất cả các nghiệm của hệ đều ổn định (không
ổn định) Liapunov khi t +.
15


Chú ý 4. Các nghiệm của hệ vi phân tuyến tính hoặc tất cả đều ổn định hoặc tất cả đều không ổn định. Đối
với hệ vi phân phi tuyến có thể có cả nghiệm ổn định và nghiệm không ổn định.
Định lý 2.2. Hệ (2.1) ổn định với mọi f(t) C(I + ) khi và chỉ khi nghiệm tầm th-ờng (t) 0 của hệ thuần
nhất t-ơng ứng (2.2) ổn định Liapunov khi t +.

Chứng minh. (Điều kiện cần). Giả sử (t) (t0

t < +) l nghiệm ổn định nào đó của hệ không thuần nhất

(2.1). Theo định nghĩa: Với mọi > 0 cho tr-ớc và với mọi t0 I + , > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) của hệ
(2.1) đều xác định trên khoảng (t0

t < +), nếu thoả mãn
y(t0 ) (t0) <

(2.3)

ta đều có
y(t) (t) < , (t

t0 )

(2.4)

Do z(t) = y(t) (t) là nghiệm của hệ thuần nhất (2.2) và ng-ợc lại mọi nghiệm của hệ thuần nhất (2.2)
đều biểu diễn d-ới dạng z(t) = y(t) (t), trong đó y(t) là nghiệm của hệ không thuần nhất (2.1), nên ta suy
ra > 0 cho tr-ớc và với mọi t0 I + , > 0 sao cho mọi nghiệm z(t) của hệ thuần nhất (2.2) nếu thoả mãn
điều kiện z(t0 ) < , ta đều có z(t) < , t

t0 . Điều này chứng tỏ nghiệm tầm th-ờng của hệ (2.2) ổn

định.
(Điều kiện đủ.) Giả sử nghiệm tầm th-ờng z(t) 0 của hệ thuần nhất (2.2) ổn định Liapunov khi t +.
Theo định nghĩa: ( > 0 cho tr-ớc , t0 I + , > 0) sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ thuần nhất
xác định trên [t0, +) nếu thoả mãn x(t0) < , ta đều có x(t) < , (t

t0 ). Do hiệu hai nghiệm

bất kì của hệ không thuần nhất (2.1) là nghiệm của hệ thuần nhất (2.2) nên ta suy ra: Nếu (t) l một
nghiệm bất kì của hệ không thuần nhất (2.1) thì với mọi nghiệm y(t) của hệ đó, nếu ||y(t0 ) (t0 )|| < thì
||y(t) (t)|| < , (t

t0 ). Điều này chứng tỏ mọi nghiệm của hệ không thuần nhất (2.1) ổn định nên hệ đó

ổn định .
Chú ý 5. Trong chứng minh trên ta thấy tính ổn định của nghiệm tầm th-ờng của hệ thuần nhất đ-ợc suy ra từ
tính ổn định của ít nhất một nghiệm của hệ không thuần nhất t-ơng ứng với số hạng tự do f(t) bất kì.
Hệ quả 2.3. Hệ vi phân tuyến tính ổn định nếu có ít nhất một nghiệm ổn định, không ổn định nếu có một
nghiệm không ổn định.
Hệ quả 2.4. Hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định khi v chỉ khi hệ vi phân tuyến tính thuần nhất
t-ơng ứng ổn định.
Với hệ quả trên, sau này để nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính ta chỉ cần nghiên cứu tính
ổn định của nghiệm tầm th-ờng của hệ thuần nhất t-ơng ứng.
Định nghĩa 2.5. Hệ PTVP tuyến tính (2.1) ổn định đều nếu tất cả các nghiệm của hệ đó ổn định đều đối với
t0 It+ khi t +.
Định lý 2.6. Hệ PTVP tuyến tính (2.1) ổn định đều khi v chỉ khi nghiệm tầm th-ờng x(t) 0 của hệ thuần
nhất t-ơng ứng (2.2) ổn định đều khi t +.
Việc chứng minh định lý (2.6) t-ơng tự chứng minh định lý (2.2)
16


Định nghĩa 2.7. Hệ PTVP tuyến tính (2.1) đ-ợc gọi là ổn định tiệm cận khi t + nếu tất cả các nghiệm
của hệ đó ổn định tiệm cận khi t +.
Định lý 2.8. Hệ PTVP tuyến tính (2.1) ổn định tiệm cận khi v chỉ khi nghiệm tầm th-ờng x(t) 0 của hệ
thuần nhất t-ơng ứng (2.2) ổn định tiệm cận khi t +.

Việc chứng minh định lý (2.8) đ-ợc suy ra trực tiếp từ chú ý hiệu hai nghiệm bất kì của hệ không thuần
nhất là nghiệm của hệ thuần nhất t-ơng ứng.
Hệ quả 2.9. Hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất (2.1) ổn định tiệm cận khi v chỉ khi hệ vi phân tuyến
tính thuần nhất t-ơng ứng (2.2) ổn định tiệm cận.

3

Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất
Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất:
dx
= A(t)x(t),
dt

A(t) C(I + )

(3.1)

Định lý 3.1. Hệ PTVP tuyến tính thuần nhất (3.1) ổn định khi v chỉ khi mọi nghiệm x(t) với (t0
của hệ đều bị chặn trên nửa trục t0

t < +)

t < +

Chứng minh. (Điều kiện đủ.) Giả sử X(t) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ, X(t) chuẩn tắc tại t0. Do mọi
nghiệm x(t) của hệ (3.1) bị chặn nên ma trận nghiệm cơ bản X(t) bị chặn, tức tồn tại hằng số d-ơng M sao
cho:
(t0

X(t)

M (t

t0). Vì X(t) là ma trận nghiệm cơ bản nên mọi nghiệm x(t) của hệ (3.1) trên khoảng

t < +) đều biểu diễn đ-ợc d-ới dạng: x(t) = X(t)x(t0 ). Từ đó ta có:
x(t) = X(t)x(t0 )

X(t)

ã

x(t0 )

M

x(t0)

.

Vì thế > 0, chọn = M 1 thì với mọi nghiệm x(t) thoả mãn x(t0) < ta luôn có x(t) < ,

t

t0 ,

nghĩa là nghiệm tầm th-ờng của hệ (3.1) ổn định Liapunov khi t + và do đó hệ ổn định.
(Điều kiện cần). Giả sử hệ (3.1) ổn định nh-ng có ít nhất một nghiệm z(t) không bị chặn trên [t0, +), rõ
z(t)

rng z(t0 ) = 0. Cố định hai số d-ơng , v xét nghiệm x(t) =
thì x(t0 ) = < . Theo giả thiết z(t)
z(t0)2
2
không bị chặn nên tồn tại thời điểm t1 > t0 sao cho:
x(t1 ) =

z(t1)
>
z(t0 )2

Điều này chứng tỏ nghiệm tầm th-ờng x 0 của hệ (3.1) không ổn định. Và do đó hệ không ổn định, trái
với giả thiết.
Hệ quả 3.2. Nếu hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định thì mọi nghiệm của nó hoặc đều bị chặn hoặc
đều không bị chặn khi t +.
dy
= 1 + t y có nghiệm không bị chặn y0 = t. Bởi vì mọi nghiệm của hệ
dt
t
đều có dạng: y(t) = t + y(0)e
nên |y(t) y0 (t)| 0 khi t +. Chứng tỏ nghiệm y0 (t) ổn định

Ví dụ 1. Ph-ơng trình vô h-ớng
tiệm cận khi t +.

17


Chú ý 6. Với hệ vi phân tuyến tính thì từ tính bị chặn của các nghiệm không suy ra đ-ợc tính ổn định của hệ.
Ví dụ 2. Xét ph-ơng trình:

dx
= sin2 (x). Tích phân ph-ơng trình đó, ta có:
dt
x = arctan(c tan x0 t) với x0 = k

(3.2)

x = k với x0 = k, k = 1, 2, . . .

(3.3)

và

Tất cả các nghiệm của (3.2), (3.3) đều bị chặn nh-ng x 0 không ổn định khi t +, vì với x0 (0, )
bất kì ta có: lim x(t) = .
t+

Định lý 3.3. Hệ PTVP tuyến tính thuần nhất (3.1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi mọi nghiệm x(t) với
(t0

t < +) của hệ đều dần tới 0 khi t + hay lim x(t) = 0.
t+

Chứng minh. (Điều kiện cần). Giả sử hệ (3.1) ổn định tiệm cận khi t +, khi đó nghiệm tầm th-ờng
x0(t) 0 ổn định tiệm cận khi t +, vì thế, với mọi t0 It+ thì mọi nghiệm y(t) nếu thoả mãn điều kiện
y(t0 ) < với > 0 no đó ta đều có lim

t+

y(t) = 0 lim y(t) = 0.
t+

Xét một nghiệm x(t) tuỳ ý thoả mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 = 0. Đặt y(t) =

x(t)
. Ta có
2 x(t0)

y(t0 ) < nên lim y(t) = 0. Suy ra lim x(t) = 0.
t+

(Điều kiện đủ ). Giả sử x(t) (với t0

t+

t < +) l nghiệm bất kì thoả mãn x(t) 0 khi t +. Do

x(t) liên tục trên [t0; +) v x(t) 0 khi t + nên x(t) bị chặn trên [t0 ; +). Nh- vậy mọi nghiệm của
hệ (3.1) đều bị chặn nên hệ ổn định Liapunov khi t +. Hơn nữa, theo giả thiết mọi nghiệm x(t) đều thoả
mãn lim

t+

x(t) 0 = 0 nên nghiệm tầm th-ờng của hệ ổn định tiệm cận khi t +. Suy ra hệ ổn định

tiệm cận khi t +.
Hệ quả 3.4. Hệ vi phân tuyến tính ổn định tiệm cận thì ổn định tiệm cận trên ton thể khi t +.
Chú ý 7. Đối với hệ vi phân phi tuyến mà tất cả các nghiệm dần tới không không suy ra đ-ợc nghiệm tầm
th-ờng ổn định .

dx
dy
x
y
= t2 xy2 ,
= có nghiệm tầm th-ờng x = 0, y = 0. Tích phân hệ ph-ơng trình trên ta
dt
t
dt
t
C2
2
đ-ợc x(t) = C1(t) exp(C2 ), y(t) =
. Nếu chọn t0 = 1 ta sẽ có: x(t) = x(t0)t exp(y2 t0 (t 1)), y(t) =
t
y(t0 )
. Rõ rng x(t) 0, y(t) 0 khi t + ta sẽ có x 1 + 12 > e1 . Do đó nghiệm (x, y) (0, 0)
t
không ổn định v do đó không ổn định tiệm cận khi t +.

Ví dụ 3. Hệ

4

Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng
Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất với ma trận hệ số hằng A = [ajk]nìn:
dx
= Ax
dt

(4.1)

Định lý 4.1. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4.1) với ma trận hằng số A là ổn định khi và chỉ khi tất cả các
giá trị riêng j của ma trận A đều có phần thực Re j

0 v các j với Re j = 0 là nghiệm đơn của đa thức

đặc tr-ng A.
18


Chứng minh. (Điều kiện đủ.) Giả sử j = j + ij , j = 1, p là tất cả các nghiệm đặc tr-ng của ma trận A có
phần thực j

0 v k = ik , k = 1, q là tất cả các nghiệm đặc tr-ng của ma trận A có phần thực bằng 0.

Hơn nữa p + q = m l số ô jordan chuẩn tắc của ma trận A. Khi đó nghiệm x(t) bất kì của (4.1) có dạng:
p

q
j t

x(t) =

e

(cos j t + i sin j t)Pj (t) +

j=1

(cos k t + i sin k t)ck

(4.2)

k=1

trong đó Pj (t) l đa thức vector hm có bậc nhỏ hơn bội của nghiệm đặc tr-ng j . Còn ck l các vector cột
hằng số. Bởi vì j < 0 nên lim ej t Pj (t) = 0. Ngoi ra | cos k t + i sin k t| = 1 nên từ công thức (4.2) ta
t+

suy ra mỗi nghiệm x(t) của hệ (4.1) bi chặn trên nửa trục (t0

t < +). Theo định lý (3.1), hệ (4.1) ổn định.

(Điều kiện cần). Giả sử hệ (4.1) ổn định. Tr-ớc hết ta chứng tỏ tất cả các nghiệm đặc tr-ng j của ma
trận A có phần thực không d-ơng. Thật vậy, Giả sử có một giá trị riêng s = + i của ma trận A m
Re s = > 0. Khi đó hệ (4.1) có nghiệm không tầm th-ờng (t) = es t c, với c = 0 l vector hằng. Do đó
(t) = |est | c = et c +

khi t +

Nh- vậy nghiệm (t) không bị chặn, điều đó mâu thuẫn với tính ổn định của hệ. Vậy nếu (4.1) ổn định thì
tất cả các nghiệm đặc tr-ng j của ma trận A phải có Re j

0 với mọi (j = 1, . . . , n).

Bây giờ ta chứng tỏ mỗi nghiệm đặc tr-ng j với Re j = 0 l nghiệm đơn của đa thức đặc tr-ng A. Thật
vậy, giả sử rằng ma trận A đ-ợc chuyển về dạng jordan:
A = S 1 diag[j11 , . . . , jm m ]S
trong đó det S = 0. Hơn nữa, giả sử ng-ợc lại, A có nghiệm đặc tr-ng no đó với phần thực bằng không

s = iàs l nghiệm bội es > 1. Khi đó s ứng

s
0

..
.

0
0

với ô jordan js (s ) có hạng es > 1 sau đây:

1 ... 0
0
s . . . 0
0

.. . .
..
..
.
.
.
.

0 . . . s 1
0 . . . 0 s

thì (t) = S 1 diag[0, . . ., etjs(s ) , . . . , 0]S sẽ l một ma trận nghiệm của hệ (4.1).

Thật vậy, do
(t) = S 1 diag[0, . . ., js (s )etjs(s ) , . . . , 0]S
= S 1 diag[j1(1 ), . . . , js (s ), . . . , jm (m )]SS 1 diag[0, . . ., etjs(s ) , . . . , 0]S
= A(t).
Từ biểu thức của (t) ta có: diag[0, . . ., etjs(s ) , . . . , 0] = S(t)S 1 . Suy ra:
diag[0, . . ., etjs(s ) , . . ., 0] = etjs (s)
Do

etjs(s )


1


s t 0
=e

..
.
0

t
1!

...

1

...

..
.
0

..

19

.
...

S

(t)


tes1
(es 1)!

tes2

,
(es 2)!


..

.
1

S 1 .

(4.3)


nên với t

0 ta có: etjs (s)

(t)

eRe s t

slant

tes 1
tes 1
=
. Kết hợp với (4.3) ta đ-ợc:
(es 1)!
(es 1)!

etjs (s)
S S 1

tes 1
+ khi t +.
(es 1)! S S 1

Nh- vậy, (t) + khi t +. Điều này không xảy ra đối với hệ ổn định. Định lý đ-ợc chứng

minh.

5

Tiêu chuẩn Hurwits
Một trong những ph-ơng pháp chứng minh tính ổn định tiệm cận của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4.1)

l phải chỉ ra đ-ợc tất cả các nghiệm 1 , . . . , n của ph-ơng trình đặc tr-ng det(A E) = 0 đều có phần
thực âm. Trong mục ny chúng ta sẽ đ-a ra điều kiện cần v đủ để ph-ơng trình đại số với hệ số thực có các
nghiệm với phần thực âm.
Xét đa thức bậc n

1 : f(z) = a0 + a1z + . . . + an z n ,

z = x + iy C; a0 , a1, . . ., an K.

Định nghĩa 5.1. Đa thức f(z) bậc n > 1 đ-ợc gọi l đa thức Hurvits nếu tất cả các nghiệm 1 , . . . , n của nó
đều có phần thực âm. tức: Re(j ) < 0 j = 1, . . ., n.
Đa thức f(z) với các hệ số thực a0 , a1, . . . , an R v a0 > 0 đ-ợc gọi l đa thức chuẩn bậc n.
Định lý 5.2. Nếu đa thức chuẩn bậc n l đa thức Hurvits thì tất cả các hệ số của nó đều d-ơng.
Chứng minh. Giả sử zj = j + ij l các nghiệm phức (j = 0), j = 1, . . ., p v zk = k (k = 1, . . ., q)
l các nghiệm thực của đa thức chuẩn Hurvits f(z) = a0 + a1 z + . . . + anz n . Vì f(z) l đa thức Hurvits nên
j > 0, k > 0. Gọi j l bội của nghiệm zj . Khi đó, do các hệ số của f(z) l thực nên nghiệm liên hợp
p

q

zj = j ij cũng có bội l j . Gọi sk l bội của nghiệm thực k . Rõ rng

2j +

j=1

sk = n khai triển
k=1

đa thức f(z) thnh nhân tử:
n

f(z) = a0 + a1 z + . . . + an z n an

(z + j ij )j
j=1
q

(z + j + ij )j

(z + k )sk

(5.1)

k=1
q

n

(z 2 + 2j z + 2j + j2 )j

an
j=1

(z + k )sk
k=1

Các hệ số trong khai triển vế phải của (5.1) cùng dấu với an . So sánh v đồng nhất các hệ số với vế trái
ta suy ra các hệ số a0 , a1, . . . , an của f(z) trong vế trái của (5.1) đ-ơng nhiên phải cùng dấu v cùng dấu với
a0 > 0. Do vậy a0 > 0, a1 > 0, . . ., an > 0.
Chú ý 8. Dễ dàng thấy rằng đa thức chuẩn bậc hai f(z) = a0 + a1 z + a2z 2 l đa thức Hurwitz khi v chỉ khi
tất cả các hệ số của nó đều d-ơng. Đối với đa thức chuẩn bậc cao hơn 2 có tất cả các hệ số đều d-ơng không
suy ra đ-ợc đa thức đó l đa thức Hurwitz. Chẳng hạn đa thức f(z) = 30 + 4z + z 2 + z 3 có các nghiệm l 3,
1+3i, 1-3i nên không l đa thức Hurwitz.
20


+

Kí hiệu Hn(n = 1, 2, . . .) l tập hợp tất cả các đa thức chuẩn Hurwitz bậc n, H =

Hn l tập tất cả các
n=1

đa thức chuẩn Hurwitz. Chúng ta sẽ tìm tiêu chuẩn để đa thức f(z) H.
Định nghĩa 5.3. Ta gọi đa thức F (z) = (1 + z)f(z) + f(z) l đa thức liên kết với đa thức f(z). Kí hiệu l
Sf(z).
Bổ đề 5.4. Đa thức liên kết với đa thức chuẩn Hurwitz l đa thức chuẩn Hurwitz, tức l
f(z) Hn Sf(z) Hn+1
Xem trong 2.
Bổ đề 5.5. Đối với mỗi đa thức chuẩn Hurwitz bậc n + 1 > 1 đều tồn tại một đa thức chuẩn Hurwitz bậc n
nhận đa thức đã cho l đa thức liên kết. Tức l, Nếu F (z) Hn+1 thì luôn có f(z) Hn v số > 0 sao cho
F (z) = Sf(z) = (1 + z)f(z) + f(z)

(5.2)

Chứng minh. Từ (5.2), thay z bởi (z) ta đ-ợc:
F (z) = (1 z)f(z) + f(z).

(5.3)

khử f(z) từ hai ph-ơng trình (5.2) v (5.3) ta đ-ợc
2 z 2f(z) = (1 z)F (z) + F (z)

(5.4)

Giả sử F (z) = A0 + A1 z + . . . + An+1z n+1 thì F (z) = A0 A1z + . . . + (1)n+1 An+1 z n+1 , trong đó
2A1
các Ak > 0. Chọn =
> 0 thay vo (5.4) thì hm số f(z) xác định bởi (5.4) rõ rng l đa thức bậc n.
A0
Dễ dng kiểm tra thấy F (z) = Sf(z). Bây giờ chứng minh f(z) Hn. Xét đa thức:
à (z) = (1 z)F (z) + àF (z)
(1 à)A0 + [A0 (1 à)A1 ]z + [A1 (1 à)A2]z 2 + . . . +
(5.5)

+ An1[1 à(1)n ]Anz n + . . .
+ An1[1 à(1)n ]Anz n + . . .

trong đó số đ-ợc xác định bởi công thức (5.4) v tham số à [0; 1]. Các nghiệm zj = zj (à) của à (z) l
hm liên tục, bị chặn của tham số à trên[0; 1]. Khi à = 0 một trong những nghiệm đó l zn+2 =

1

nằm trong

nửa mặt phẳng bên phải Re z > 0 của mặt phẳng phức v n + 1 nghiệm zj còn lại nằm trong nửa mặt phẳng
bên trái Re z < 0. Tính chất phân bố nghiệm nh- vậy trong nửa mặt phẳng phức của à (z) vẫn còn đúng với
à [0; 1]. Thật vậy nếu một trong các nghiệm zj đi từ nửa mặt phẳng ny sang nửa mặt phẳng kia khi à thay
đổi trên [0; 1] thì đ-ờng cong zj = zj (à) phải cắt trục ảo trong đoạn [Ri, Ri] tại điểm i khi à = à [0; 1]
no đó. Nói cách khác với một à [0; 1] no đó, đa thức à (z) có nghiệm i nằm trên trục ảo, tức:
(1 i )F (i ) + àF (i ) = 0
Vậy
|1 i | ã |F (i)| = à|F (i)|.

(5.6)

Mặt khác, do à (0) = A0 (1 à) = 0 với mọi à [0; 1] v à (i ) = 0 nên = 0. Lại do F (z) l đa
thức chuẩn Hurwitz nên |F (i)| = |F (i)| = 0. Vì thế từ (5.6) ta có: |1 i | = à. Suy ra 1 + 2 2 = à2.
21


Điều ny không thể xảy ra với > 0, R

= 0 v à [0; 1]. Từ công thức (5.5), ta suy ra rằng với à = 1,

đa thức à (z) có nghiệm không bội 2. Giả sử các nghiệm zp (à) 0 v zq (à) 0 khi à 1 . Theo hệ
n+2
1
A1
thức đã biết giữa các nghiệm v các hệ số của đa thức với 0 slantà 1, ta nhận đ-ợc:
. So

=
A0
j=1 zj (à)
sánh phần thực hai vế ta đ-ợc:
n+2
1
A1
Re
.
(5.7)
=
z
(à)
A0
j
j=1
Từ đó suy ra một trong các nghiệm zp (à), zq (à) với 0

slantà < 1 phải có phần thực d-ơng, vì trong



tr-ờng hợp ng-ợc lại khi à 1 , vế trái của đẳng thức (5.7) dần tới trong khi vế phải bị chặn v d-ơng
không thể bằng vế trái. Lại vì zn+2 (à) l nghiệm duy nhất với phần thực d-ơng khi 0

slantà < 1, cho

nên nếu đặt phần thực Re zp > 0, lim zp (à) = 0 ta nhận đ-ợc p = n + 2. Không mất tính tổng quát có
à1

thể lấy q = n + 1, khi đó lim zn+1 (à) = 0. Lại do A1 (1 à)A2 A1 = 0 khi à 1 nên
à1

lim
à(10)

zj (à) = cj , Re cj < 0, j = (1, . . ., n). Từ (5.4) v (5.5) với à = 1, ta có 1 (z) = 2z 2 f(z), nên các

cj (j = 1, . . ., n) l nghiệm của đa thức f(z). Điều ny chứng tỏ f(z) Hn.
Chú ý 9. Nếu F (z) = A0 + A1 z + . . . + An+1 z n+1 l đa thức chuẩn Hurwitz bậc n + 1 thì tồn tại một đa thức
chuẩn f(z) bậc n xác định bởi công thức (5.4) v (5.5) sao cho: Sf(z) = F (z).
Từ các bổ đề trên suy ra: Tập hợp H tất cả các đa thức chuẩn Hurwitz có thể xây dựng từ tập hợp H1 các
đa thức chuẩn Hurwitz bậc 1 bằng cách áp dụng phép toán S tìm đa thức liên kết. Cụ thể l:


H2 = SH1 ; H3 = SH2 = S 2 H1, . . . , Hn+1 = S n H1, . . . , H =

S p H1
p=0

Bây giờ xét đa thức chuẩn:
f(z) = a0 + a1 z + . . . + an z n, (aj R), a0 > 0
Thiết lập ma trận Hurwitz cỡ (nìn) sau đây:

a0
0
a1
a3
a
a

2
1

Mf = .
..
..
..
.
.
a2n1 a2n2 a2n3

0
a0
..
.
a2n4

...
...
..
.


0
0

.. , as = 0, khi s < 0, s > n
.

(5.8)

(5.9)

. . . an

Định lý 5.6. (Hurwitz). Muốn cho đa thức chuẩn (5.8) l đa thức chuẩn Hurwitz thì điều kiện cần v đủ l tất
cả các định thức con chéo chính của ma trận Hurwitz d-ơng.



= a1 > 0

1



= a1 a0 > 0
2
a3 a2



.
.
.




n = an1n1

(5.10)

Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử f(z) Hn, ta chứng minh bằng quy nạp theo bậc n của f(z) rằng điều
kiện Hurwitz (5.10) đ-ợc thoả mãn:
Với n = 1, ta có f(z) = a0 + a1z. Vì f(z) Hn nên a0 > 0, a1 = 0. Rõ rng điều kiện Hurwitz
1 = a1 > 0 thoả mãn.
22


Giả sử điều kiện Hurwitz (5.10) đúng với tất cả các đa thức chuẩn Hurwitz f(z) Hn bậc n v F (z) Hn+1
l đa thức chuẩn Hurwitz bậc n + 1 bất kì. Ta chứng minh điều kiện Hurwitz đúng với F (z): Theo bổ đề (5.4),
Fz l đa thức liên kết của đa thức fz Hn no đó, tức l:
F (z) = (1 + 2cz)f(z) + f(z), = 2c > 0

(5.11)

Đặt f(z) = a0 + a1 z + . . . + anz n , với a0 > 0, a1 > 0, . . ., an > 0. Khi đó:
n+1

Fz = 2

[cak1 +
k=0

1 + (1)k
ak ]z k
2

ở đó a1 = an+1 = 0. Thiết lập định thức con chéo chính cấp k của ma trận Hurwitz đối với đa thức Fz ta có:

D1 = 2ca0 > 0 v Dk+1 = 2k+1

ca0
ca0
..
.

a0
ca1 + a2
..
.

ca2k

ca2k1 + a2k

0
ca0
..
.

0
a0
..
.

0
...

...
ca2k2 ca2k3 + ca2k2 . . .

Từ đó đ-a thừa số c ra ngoi định thức đối với cột lẻ (cột 1, cột 3, . . .), sau đó trừ các phần tử của cột chẵn
(cột 2, cột 4, . . .) với các phần tử t-ơng ứng còn lại ở các cột lẻ v lại đ-a thừa số c ra ngoi dấu định thức đối
với các phần tử đã biến đổi ở các cột chẵn, ta sẽ đ-ợc:

Dk+1 = 2k+1ck+1

a0
a2
..
.

0
a1
..
.

0
a0
..
.

a2k

a2k1

a2k2

0
0
..
.

...
...
.. = ak+1 a0k , (k = 1, n)
.

a2k3 . . .

trong đó k l định thức con chéo chính của ma trận Hurwitz Mf của đa thức f(z). Vì f(z) Hn nên theo giả
thiết quy nạp k > 0, (k = 0, 1, . . ., n). Lại vì a0 > 0, > 0 suy ra Dk+1 = ak+1a0 k > 0, (k = 0, 1, . . ., n).
Nh- vậy điều kiện Hurwitz đúng với đa thức chuẩn Hurwitz bậc n + 1.
Kết luận: Mọi đa thức chuẩn Hurwitz bậc n

1 đều thoả mãn điều kiện Hurwitz (5.10).

(Điều kiện đủ.) Giả sử fz l đa thức chuẩn thoả mãn điều kiện Hurwitz (5.10) thì f(z) Hn. Ta chứng
minh quy nạp theo bậc n của đa thức fz .
Với n = 1, rõ rng định lý đúng, bởi vì nếu fz = a0 + a1z, trong đó a0 > 0 v 1 = a1 > 0 thì nghiệm
a0
của đa thức l z1 = . Mọi nghiệm của fz có phần thực âm nên fz H1 .
a1
Bây giờ giả sử mệnh đề đúng với n: Mọi đa thức chuẩn thoả mãn điều kiện Hurwitz (5.10) đều l đa thức
Hurwitz. Ta chứng minh mệnh đề đúng với n + 1: Giả sử F (z) = A0 + A1 z + . . . + An+1 z n+1 l một đa thức
chuẩn bậc n + 1 no đấy thoả mãn điều kiện Hurwitz (5.10): A0 > 0, D1 = A1 > 0, . . . , Dn+1 > 0. Theo
chứng minh của Bổ đề (5.4), ta có thể xem F (z) l đa thức liên kết của đa thức chuẩn fz bậc n no đó:
f(z) = a0 + a1 z + . . . + an z n, (a0 > 0, an = 0).

chứng minh nh- điều kiện cần của định lý ta thấy rằng: Các định thức con chéo chính k của ma trận Hurwitz
Mf thoả mãn các hệ thức Dk+1 = k+1a0 k , trong đó > 0 do đó: k > 0, (k = 0, 1, . . ., n). Tức l
đa thức chuẩn Hurwitz thoả mãn điều kiện Hurwitz. Theo giả thiết quy nạp rằng định lý đúng với mọi đa
thức chuẩn bậc n nên f(z) Hn. Do F (z) l đa thức liên kết với đa thức Hurwitz fz nên theo Bổ đề (5.3)
f(z) Hn+1.
23


Chú ý 10. Nếu:
f(z) = a0 + a1z + . . . + an z n ,
1
l đa thức chuẩn Hurwitz thì f(z) = z n g( ), trong đó:
z
g(z) = a0z n + a1z n1 + . . . + an

(5.12)

(5.13)

cũng l đa thức chuẩn Hurwitz v ng-ợc lại: Thật vậy nếu zj , (j = 1, . . ., n) l các nghiệm của đa thức f(z)
1
1
Re zj 2
v Re zj < 0 thì , (j = 1, . . . , n) l các nghiệm của đa thức g(z). Khi đó Re
=
< 0. Do đó điều
zj
zj
|zj |
kiện Hurwitz đối với đa thức f(z) có thể viết d-ới dạng:

0 = an > 0





1 = an1 > 0




an1
an
(5.14)
2 =
>0

a
a
n3
n2





...

n = a0n1
Chú ý 11. Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất với ma trận A = [ajk ] hằng số thực:
dx
= Ax
dt

(5.15)

Ph-ơng trình đặc tr-ng det(E A) = 0 khai triển đ-ợc thnh:
n A1 n1 + A2n2 + . . . + (1)n An = 0,
trong đó
A1 =

a = Sp A, A2 =


<

a
a

a
, . . . , An = det A
a

Muốn cho hệ (5.15) ổn định tiệm cận thì phải thoả mãn các điều kiện sau đây:
A1 > 0, A2 > 0, . . . , (1)n An > 0
Đặc biệt phải có Sp A < 0, (1)n det A > 0 . Nếu hệ (5.15) l vi phân bậc hai thì điều kiện ny cũng l
điều kiện đủ để hệ ổn định tiệm cận.

Trong tr-ờng hợp tổng quát muốn hệ (5.15) ổn định tiệm cận thì điều kiện cần v đủ l hệ phải thoả mãn
điều kiện Hurwitz:



1 =




=
2



...




n =

A1 > 0
1
A1
= A1 A2 + A3 > 0
A3 A2
(1)n Ann1 > 0.

Ví dụ 4. Xét đa thức f(z) = z 3 + pz 2 + qz + r, trong đó p, q, r R, điều kiện Hurwitz l:

r>0





1 = q > 0
q r

2 =
>0


1 p




3 = 1 ã 2 > 0.
0 < q, r < 0 < pq
24


Ví dụ 5. Xác định miền ổn định tiệm cận theo tham

dx

dt =


dy
=
dt



dz =
dt

số v của hệ:
x + y
x y + z
y z

Ph-ơng trình đặc tr-ng của (5.16) có dạng:
+ 1
0

+ 1 = 0 ( + 1)[2 + 2 + (1 ) = 0
0

+1
Do đó hệ sẽ ổn định tiệm cận nếu: 1 > 0 <

25

1

2

(5.16)