TÍCH PHÂN BỘI BA VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NÓ TRONG VẬT LÝ

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới: Ban chủ nhiệm khoa
Toán - Lý - Tin, phòng khảo thí và đảm bảo chất lượng, phòng đào tạo đại học,
các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích, đặc biệt là cô Phạm Thị Thái, người đã
định hướng nghiên cứu, hướng dẫn, cũng như động viên tôi có thêm nghị lực
hoàn thành khóa luận này.
Nhân dịp này tôi xin cảm ơn tới người thân và các bạn sinh viên lớp K53
ĐHSP Toán.
Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ, động viên của thầy cô và bạn bè đã tạo
điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa luận.
Sơn la, tháng 5 năm 2016.
Người thực hiện
Sinh viên: Trương Bá Hiệp

1


Mục lục

Mở đầu

4

1

TÍCH PHÂN BỘI BA

7

1.1

Bài toán dẫn tới khái niệm tích phân bội ba . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Định nghĩa tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Điều kiện khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Tính chất của tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5

Tích phân bội ba trong hệ tọa độ Descartes . . . . . . . . . . . . 13
1.5.1

Trường hợp miền V là hình hộp chữ nhật [a1 ; b1 ] ×

[a2 ; b2 ] × [a3 ; b3 ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.2
1.6

Trường hợp miền V là hình trụ đáy cong . . . . . . . . . 14

Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu . . . . . . 18
1.6.1

Công thức đổi biến số tổng quát . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6.2

Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ . . . . . . . . . . . . 20

1.6.3

Tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu . . . . . . . . . . . . 22

2


2

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG VẬT LÝ

25

2.1

Khối lượng vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2

Trọng tâm vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3

Mô men quán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Kết luận

42

Tài liệu tham khảo

43

3


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn khóa luận
Tích phân bội ba là một kiến thức quan trọng của Giải tích Toán học. Nó có
nhiều ứng dụng trong các môn khoa học tự nhiên, kể cả trong Vật lý. Do vậy,
chúng ta nên tìm hiểu sâu hơn các khái niệm, cách tính tích phân bội ba trong
các hệ tọa độ và tìm hiểu về một số ứng dụng của nó. Xuất phát từ những lí
do trên chúng tôi đã mạnh dạn đi vào tìm hiểu "Tích phân bội ba và một số ứng
dụng của nó trong Vật lý".
2. Mục đích, đối tượng, nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu, giới hạn phạm
vi nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Khóa luận nghiên cứu đạt được những mục đích sau:

- Nghiên cứu tích phân bội ba và cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa
độ Đề các, hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu.
- Trình bày những ứng dụng cơ bản của tích phân bội ba trong Vật lý.
2.2. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của khóa luận là Tích phân bội ba và một số ứng
dụng của nó trong Vật lý.
2.3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích như trên, tôi đã đặt nhiệm vụ tìm đọc tài liệu và trình bày lại
các vấn đề kiến thức có liên quan một cách có hệ thống và logic. Từ đó trình
4


bày một cách chi tiết về tích phân bội ba và một số ứng dụng của nó trong Vật
lý.
2.4. Phương pháp nghiên cứu
Do đặt ra nhiệm vụ như trên và do đặc thù bộ môn, tôi chọn phương pháp
sưu tầm tài liệu, hỏi ý kiến chuyên gia, giảng viên hướng dẫn. Từ đó hệ thống
lại kiến thức theo nội dung của khóa luận.
2.5. Giới hạn phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu là nghiên cứu tích phân bội ba và một số ứng dụng
của nó trong Vật lý, cụ thể trong việc: Tính khối lượng vật thể, trọng tâm vật
thể, mô men quán tính.
3. Cấu trúc khóa luận
Từ mục đích và nhiệm vụ đặt ra bố cục của khóa luận được sắp xếp như
sau: Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, nội
dung khóa luận gồm hai chương.
Chương 1. TÍCH PHÂN BỘI BA
Trình bày bài toán dẫn tới tích phân bội ba, định nghĩa tích phân bội ba,
một số điều kiện khả tích của tích phân bội ba và cách tính tích phân bội ba
trong các hệ tọa độ: Đề các, trụ, cầu.

Chương 2. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG VẬT LÝ
Trình bày một số ứng dụng của tích phân bội ba trong Vật lý: Dựa vào
định nghĩa tích phân bội ba đưa ra công thức tính khối lượng của vật thể,
5


trọng tâm của vật thể, mô men quán tính. Bên cạnh đó có ví dụ minh họa cho
những ứng dụng đó.
4. Đóng góp của khóa luận
Khóa luận trình bày một cách có hệ thống kiến thức liên quan và chi tiết
kiến thức về tích phân bội ba và một số ứng dụng của nó trong Vật lý. Khóa
luận là tài liệu tham khảo cho các sinh viên chuyên ngành toán và cũng là tài
liệu tham khảo cho sinh viên Khoa Toán – Lý – Tin trường Đại học Tây Bắc tại
thư viện của nhà trường.

6


Chương 1
TÍCH PHÂN BỘI BA
1.1

Bài toán dẫn tới khái niệm tích phân bội ba

Giả sử ta phải tính khối lượng vật thể V không đồng chất, biết mật độ
(khối lượng riêng) tại P( x, y, z) là ρ = ρ ( P) = ρ ( x, y, z) . Ta chia V một cách
tùy ý thành n miếng nhỏ không dẫm lên nhau có thể tích là ∆V1 , ∆V2 , · · · , ∆Vn .
Trong mỗi miếng thứ i lấy tùy ý một điểm Pi ( xi , yi , zi ) , và gọi đường kính của
miếng là di .
Ta có khối lượng xấp xỉ của vật thể là

n

m≈

∑ ρ ( Pi ) ∆Vi =

i =1

n

∑ ρ (xi , yi , zi )∆Vi .

i =1

Một cách tự nhiên nếu giới hạn sau tồn tại
n

lim

maxdi →0

=

∑ ρ (xi , yi , zi )∆Vi .

i =1

thì đó là khối lượng m của vật thể.
7

Trong thực tế nhiều bài toán dẫn đến việc tìm giới hạn như vậy, nên ta đã dẫn
đến định nghĩa toán học của tích phân bội ba.

1.2

Định nghĩa tích phân bội ba

Giả sử V ⊂ R3 là một tập đóng, bị chặn và đo được giới nội trong không
gian Oxyz, f ( x, y, z) là một hàm xác định trên V. Ta thực hiện một phép phân
hoạch T tùy ý, chia V ra thành hữu hạn các tập con V1 , V2 , · · · , Vn sao cho
chúng không có điểm trong chung và có thể tích tương ứng ∆V1 , ∆V2 , · · · , ∆Vn .
Trong mỗi một tập con đóng, ta lấy một điểm tùy ý Pi ∈ Vi và lập tổng tích
phân
n

σn ( f , T, Pi ) =

∑ f ( Pi )∆Vi .

(1.1)

i =1

Gọi λ( T ) là đường kính lớn nhất của các tập con Vi đó
λ( T ) = max sup P P .

(1.2)

i =1,n P ,P ∈Vi

Nếu khi các phép phân hoạch T nhỏ dần vô hạn sao cho đường kính lớn nhất
của các tập con đó dần về không (λ( T ) → 0), mà tổng σn ( f , T, Pi ) dần tới một
giới hạn I ∈ R duy nhất, không phụ thuộc vào các phép phân hoạch T, cũng
như không phụ thuộc vào cách chọn các điểm Pi ∈ Vi , thì I được gọi là tích
phân ba lớp của hàm f ( x, y, z) lấy trên miền V, được ký hiệu là
f ( x, y, z)dV,
V

8


trong đó f là hàm số dưới dấu tích phân, dV là yếu tố thể tích, tức là
n

∑ f ( Pi )∆Vi =

I = lim

λ( T )→0 i =1

f ( x, y, z)dV.
V

Khi đó hàm f ( x, y, z) gọi là khả tích trên V.

1.3

Điều kiện khả tích

Giả sử f ( x, y, z) là hàm bị chặn trên V. Với phép phân hoạch T cho trước,
đặt
Mi =

f ( x, y, z),

sup

mi =

( x,y,z)∈Vi

inf

( x,y,z)∈Vi

f ( x, y, z).

Khi đó
n

S( f , T ) =

n

∑ Mi ∆Vi ,

s( f , T ) =

i =1

∑ mi ∆Vi

i =1

lần lượt được gọi là tổng Đác bu trên và Đác bu dưới của hàm f ( x, y, z) ứng
với phép phân hoạch T.
Ta có
n

s( f , T ) ≤

∑ f ( Pi )∆Vi ≤ S( f , T ).

i =1

Định lý 1.3.1 Hàm f ( x, y, z) khả tích trên V khi và chỉ khi
lim (S( f , T ) − s( f , T )) = 0.

λ( T )→0

Định lý 1.3.2 Nếu hàm số f ( x, y, z) liên tục trên miền đóng, bị chặn và đo được V
thì nó khả tích trên đó.

9


Định lý 1.3.3 Nếu hàm f ( x, y, z) xác định, bị chặn trong miền đóng, đo được V và
chỉ gián đoạn tại hữu hạn mặt nằm trong V, có diện tích bằng không thì nó khả tích
trên miền đó.

1.4

Tính chất của tích phân bội ba

Chia miền V bởi ba họ mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ, khi
đó dV = dxdydz và
f ( x, y, z)dxdydz.

f ( x, y, z)dV =
V

(1.3)

V

Định lý 1.4.1 Nếu f ( x, y, z) ≡ 1 trên V thì

dxdydz = V (V ), V (V ) là thể tích
V

của V.
Định lý 1.4.2 Nếu chia miền V thành hai miền V1 và V2 bởi mặt phẳng song song
với một mặt phẳng tọa độ nào đó, thì
f ( x, y, z)dxdydz =
V

f ( x, y, z)dxdydz +
V1

f ( x, y, z)dxdydz.

(1.4)

V2

Chứng minh. D là hình chiếu của miền
V = {( x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, ρ1 ( x ) ≤ y ≤ ρ2 ( x ), ψ1 ( x, y) ≤ z ≤ ψ2 ( x, y)}
trên mặt phẳng (Oxy) giới hạn bởi các đường
y = ρ1 ( x ); y = ρ2 ( x ); x = a; x = b.
Một mặt phẳng song song với Oy,Oz có phương trình
x − c = 0 hay x = c( a < c < b),
10


chia miền V thành hai miền V1 , V2 ta có
b

ρ2 ( x )

Ψ2 ( x,y)

IV =

f ( x, y, z)dz dy dx
a

ρ1 ( x )

Ψ1 ( x,y)

b

Φ( x )dx

=
a
c

b

Φ( x )dx +

=
a
c

ρ2 ( x )

Φ( x )dx

c
Ψ2 ( x,y)

ρ2 ( x )

b

Ψ2 ( x,y)

f ( x, y, z)dz dy dx +

=
a

ρ1 ( x )

Ψ1 ( x,y)

f ( x, y, z)dz dy dx.
c

ρ1 ( x )

Ψ1 ( x,y)

Vậy IV = IV1 + IV2 .
Định lý 1.4.3 Nếu các hàm f ( x, y, z), g( x, y, z) liên tục trên V thì hàm f ( x, y, z) +
g( x, y, z)} khả tích trên V và
f ( x, y, z) + g( x, y, z) dxdydz
V

=

f ( x, y, z)dxdydz +
V

g( x, y, z)dxdydz.

(1.5)

V

Chứng minh. Giả sử F ( x, y, z) và G ( x, y, z) lần lượt là nguyên hàm của hàm
f ( x, y, z) và g( x, y, z) ( Cố định ( x, y) ∈ D là hình chiếu của V trên Oxy). Ta
ước lượng tích phân trong tích phân bội ba




ψ2 ( x,y)

IV =



D


[ f ( x, y, z) + g ( x, y, z)] dzdxdy

ψ1 ( x,y)
ψ2 ( x,y)



=

[ F ( x, y, z) + G ( x, y, z)]

dxdy
ψ1 ( x,y)

D

11




[ F (ψ2 ( x, y)) − F (ψ1 ( x, y))]dxdy +

=

[ G (ψ2 ( x, y)) − G (ψ1 ( x, y))]dxdy

D

D
ψ2 ( x,y)



=

 F ( x, y, z)



dxdy +

 G ( x, y, z)

ψ1 ( x,y)

D


dxdy

ψ1 ( x,y)

D

f ( x, y, z) dxdydz +

=

ψ2 ( x,y)



g ( x, y, z) dxdydz.
V

V

Định lý 1.4.4 Nếu f khả tích trên V và k là hằng số thì hàm k f cũng khả tích trên
V và
k. f ( x, y, z) dxdydz = k

V

f ( x, y, z) dxdydz,

(1.6)

V

k là hằng số.
Định lý 1.4.5 Nếu f , g khả tích trên V và
f ( x, y, z)

g ( x, y, z) ; ∀ ( x, y, z) ∈ V

thì
f ( x, y, z) dxdydz

g ( x, y, z) dxdydz.

V

(1.7)

V

Định lý 1.4.6 Nếu m và M ứng với giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số f ( x, y, z)
trong miền V, thì ta có
mV (V ) ≤

f ( x, y, z)dxdydz ≤ MV (V ).

V

V (V ) là thể tích của miền V.
Chứng minh. Thật vậy, ta có
m ≤ f ( x, y, z) ≤ M, ∀( x, y, z) ∈ V.
12

(1.8)


Dựa vào định lý (1.4.1) và định lý (1.4.5) ta có
mdxdydz ≤
V

f ( x, y, z)dxdydz ≤
V

⇔ mV (V ) ≤

Mdxdydz
V

f ( x, y, z)dxdydz ≤ MV (V ).
V

Định lý 1.4.7 (Định lý trung bình) Tích phân bội ba của hàm số liên tục f ( x, y, z)
theo miền V, bằng thể tích V (V ) của nó với giá trị hàm số tại điểm P nào đó của V,
nghĩa là
f ( x, y, z)dxdydz = f ( P)V (V ).
V

Chứng minh. Từ định lý (1.4.6), ta có
m≤

1
IV ≤ M.
V (V )

1
IV bao hàm giữa các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x, y, z)
V (V )
1
trong miền V. Do f ( x, y, z) liên tục trên V nên nó lấy giá trị bằng
IV tại
V (V )

Số

một điểm P nào đó của miền V, nghĩa là
1
IV = f ( P ) ⇔ IV = f ( P ) V ( V ) .
V (V )

1.5
1.5.1

Tích phân bội ba trong hệ tọa độ Descartes
Trường hợp miền V là hình hộp chữ nhật [a1 ; b1 ] × [a2 ; b2 ] ×

[a3 ; b3 ]

Định lý 1.5.1 (Fubini) Giả sử f ( x, y, z) là một hàm khả tích trong hình hộp chữ
nhật V = [ a1 ; b1 ] × [ a2 ; b2 ] × [ a3 ; b3 ].
13


Giả sử với mỗi ( x, y) ∈ [ a1 ; b1 ] × [ a2 ; b2 ] tồn tại tích phân đơn
b3

H ( x, y) =

f ( x, y, z)dz
a3

thì khi đó tồn tại tích phân lặp

H ( x, y)dxdy =


f ( x, y, z)dz dxdy,


a3

D xy

D xy

b3

trong đó D xy = [ a1 ; b1 ] × [ a2 ; b2 ] và ta có

b3

f ( x, y, z)dxdydz =
D xy

V

1.5.2

H ( x, y)dxdy =

f ( x, y, z)dz.

dxdy
D xy

(1.9)

a3

Trường hợp miền V là hình trụ đáy cong

Ta xét hình trụ đáy cong V có mặt bên tạo bởi các đường sinh song song
với một trục tọa độ, chẳng hạn trục Oz. Hình chiếu của V xuống mặt phẳng
Oxy là một miền phẳng D xy , không nhất thiết là mặt tròn.
Đáy dưới của hình trụ là mặt cong S1 có phương trình z = z1 ( x, y).
Đáy trên của hình trụ là mặt cong S2 có phương trình z = z2 ( x, y).
Ta nhúng hình trụ nói trên vào một hình hộp chữ nhật lớn hơn Ω = [ a1 ; b1 ] ×

[ a2 ; b2 ] × [ a3 ; b3 ], có các cạnh song song với các trục tọa độ. Khi đó đặt






 f ( x, y, z) khi ( x, y, z) ∈ V,
∗
f ( x, y, z) =




khi ( x, y, z) ∈ Ω\V,
0
thì ta dễ thấy
f ∗ ( x, y, z)dxdydz

f ( x, y, z)dxdydz =
Ω

V

14


và ta có định lý sau đây
Định lý 1.5.2 Giả sử V là miền trụ cong trong không gian R3 được xác định bởi
V = ( x, y, z) ∈ R3 | ( x, y) ∈ D xy , z1 ( x, y) ≤ z ≤ z2 ( x, y) ,
trong đó D xy là một miền phẳng hình chiếu của miền trụ V nêu trên xuống mặt
phẳng Oxy, z = z1 ( x, y), z = z2 ( x, y) là các hàm liên tục trong D xy biểu thị lần lượt

phương trình mặt cong S1 giới hạn bên dưới và S2 giới hạn bên trên hình trụ.
Giả sử f ( x, y, z) là hàm khả tích trong V và với mọi ( x, y) ∈ D xy tồn tại tích phân
z2 ( x,y)

H ( x, y) =

f ( x, y, z)dz
z1 ( x,y)

thì khi đó tồn tại tích phân lặp

z2 ( x,y)

z2 ( x,y)


f ( x, y, z)dz dxdy =



D xy



D xy

z1 ( x,y)

f ( x, y, z)dz

dxdy
z1 ( x,y)

và ta có
z2 ( x,y)

f ( x, y, z)dxdydz =
D xy

V

f ( x, y, z)dz.

dxdy
z1 ( x,y)

Nếu D xy = {( x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, y1 ( x ≤ y ≤ y2 ( x ))} là miền sao cho các
đường thẳng song song với Oy, nếu cắt D thì chỉ cắt biên của D xy tại hai điểm
thì khi đó tiếp tục tính tích phân hai lớp còn lại, ta có
y2 ( x )

b

f ( x, y, z)dxdydz =

dx
a

V

y1 ( x )

z2 ( x,y)

dy

f ( x, y, z)dz.

(1.10)

z1 ( x,y)

Ví dụ 1.5.3 Cho miền Ω giới hạn bởi các mặt x = 0; y = 1; z = 0; x + y + 2z = 2.
a) Ta viết tích phân bội ba I =

f ( x, y, z)dxdydz.
Ω

15


Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là
miền
D1 = {( x, y) : 0

x

Giới hạn trên của Ω : z = 1 −

2 − x} .

y

2; 0

x y
− .
2 2

Giới hạn dưới của Ω : z = 0.
Vậy
I=

y

1− 2x − 2

2− x

2

dx
0

f ( x, y, z)dz.

dy
0

b) Ta viết tích phân bội ba I =

0

f ( x, y, z)dxdzdy.
Ω

Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxz là miền
D2 = ( x, z) : 0

x

2; 0

z

1−

x
.
2

Giới hạn trên của Ω : y = 0 − x − 2z.
Giới hạn dưới của Ω : y = 0.
Vậy
1− 2x

2

I=

dy
0

0− x −2z

f ( x, y, z)dy.

dz
0

c) Ta viết tích phân bội ba I =

0

f ( x, y, z)dydzdx.
Ω

Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oyz là miền
D3 = (y, z) : 0

y

Giới hạn trên của Ω : x = 2 − y − 2z.
Giới hạn dưới của Ω : x = 0.
16

2; 0

z

1−

y
.
2


Vậy
y

1− 2

2

I=

2−y−2z

f ( x, y, z)dx.

dz

dy
0

0

Ví dụ 1.5.4 Tính tích phân

0

xydV, T được giới hạn bởi các mặt phẳng x =
T

0, x = 1, y = 2, y = 4, z = 5, z = 8.
Ta có
1

I=

4

dx
0

8

xydz =

dy
2

Ví dụ 1.5.5 Tính I =
Ω

1

5

4

xdx
0

8

zdz =

ydy
2

5

117
.
2

xdxdydz, trong đó Ω là miền giới hạn bởi các mặt

z = x2 + y2 ; z = 4; x = 0; y = 0.
Hình chiếu của miền Ω xuống mặt phẳng Oxy là

1
hình tròn.
4

D = ( x, y) : 0

4 − x2 .

x

2; 0

y

Mặt trên của Ω : z = 4.
Mặt dưới của Ω : z = x2 + y2 .
Vậy
√

2

I=

4− x 2

dx
0

=

dy
0
√
4− x 2

2

dy

0

2

=
0

z =4

( xz)

dy
z = x 2 + y2

4x − x3 − xy2 dy

dx
0

xdz

x 2 + y2

0
√
4− x 2

2

=

4

0

4xy − x3 y −

xy3
3

√
y = 4− x 2

dx =
y =0

17

2 2
x 4 − x2
30

3
2

dx =

65
.
15

Ví dụ 1.5.6 Tính
V

z≤

1−

x2

1
zdxdydz, V là miền xác định bởi 0 ≤ x ≤ , x ≤ y ≤ 2x, 0 ≤
4

− y2 .

Ta có

√

1
4

zdxdydz =

dx
1
4

=
0

1
=
2

=

=

=

1− x 2 − y2

zdz

dy
x

0

V

1.6

2x

1
2

1
2
1
2

0

1
dx =
2
1
4

2x

1 − x2 − y2 dy
x

y3
y − yx2 −
3

0
1
4

y=2x

dx
y= x

8
1
2x − 2x3 − x3 − x + x3 + x3 dx
3
3

0
1
4

x−
0

10 3
1
x dx =
3
2

1
5 1
− .
32 6 256

=

0

43

.
3072

Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ
cầu

1.6.1

1 2 5 4
x − x
2
6

1
4

Công thức đổi biến số tổng quát

Xét tích phân bội ba
f ( x, y, z) dxdydz,
V

18


trong đó hàm số f ( x, y, z) liên tục trên V.
Ta muốn tính tích phân trong hệ tọa độ mới (u, v, w), qua phép đổi biến







x = x (u, v, w),





(1.11)
y = y (u, v, w), (u, v, w) ∈ V









z = z (u, v, w),
Giả sử rằng:
1.V là miền trong không gian O uvw, các hàm x (u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)
là những hàm khả vi liên tục trong V .
2. Các công thức (1.11) xác định một song ánh từ miền V lên miền V của
không gian Oxyz.
3. Định thức Jacobi

J=

D ( x, y, z)
=
D (u, v, w)

∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u

∂x ∂x
∂v ∂w
∂y ∂y
∂v ∂w
∂z ∂z
∂v ∂w

=0

trong V .
Khi đó ta có công thức
f ( x, y, z) dxdydz
V

=

f [ x (u, v, w) , y (u, v, w) , z (u, v, w)]
V

19

D ( x, y, z)
dudvdw
D (u, v, w)

(1.12)


1.6.2

Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ

Hệ tọa độ trụ

Toạ độ trụ của điểm M ( x, y, z) trong không gian còn có thể biểu diễn

(r, ϕ, z), với (r, ϕ) là toạ độ cực của hình chiếu của M xuống mặt phẳng Oxy.
Ta luôn có
r

0; 0

ϕ < 2π; −∞ < z < +∞.

Mối liên hệ giữa toạ độ Descartes và toạ độ trụ:
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z.

Đổi biến trong hệ tọa độ trụ

Đặt







x = r cos ϕ





y = r sin ϕ, r ≥ 0; 0 ≤ ϕ ≤ 2π.









z = z

(1.13)

Định thức Jacobi của phép đổi biến là
cosϕ −rsinϕ 0

cosϕ −rsinϕ
J=

sinϕ

rcosϕ

0 =

= r,
sinϕ

0

0

rcosϕ

1

J = 0, r = 0. Theo công thức đổi biến (1.12), ta có
f ( x, y, z)dxdydz =
V

f (rcosϕ,rsinϕ, z)rdrdϕdz.
V

20

(1.14)

Ví dụ 1.6.1 Tính I =
Ω

( x2 + y2 )dxdydz, với Ω là miền giới hạn bởi z = x2 +

y2 ; z = 4.
Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là hình tròn
z = x2 + y2 ≤ z = 4.
Chuyển sang tọa độ trụ x = r cos ϕ; y = r sin ϕ; z = z.
Ω giới hạn bởi: 0

2π; 0

ϕ

2; r2

r

z

4.

Vậy
2π
2

I=

r rdrdϕdz =
Ω

2

dϕ
0

1

Ví dụ 1.6.2 Tính I =

x 2 + y2 + z2

V

4
3

dz =

r dr
0

r2

64π
.
3

dxdydz, V là miền hình trụ giới hạn

bởi các mặt x2 + y2 = 2y, z = 0, z = a, a > 0.
Chuyển sang tọa độ trụ, ta có
a

r2 zdrdϕdz =

I=

r2 drdϕ
0

D

V

zdz =

a2
2

r2 drdϕ,
D

trong đó D miền tròn giới hạn bởi đường x2 + y2 = 2y hay r = 2 sin ϕ.
Do đó
a2
I=

2

=

2sinϕ

2π

dϕ
0

4a2
3

0

a2
r2 dr =
2

π

0

r3
3

2sinϕ

0

4a2
dϕ =
3

π

sin3 ϕdϕ
0

π

1 − cos2 ϕ sinϕdϕ
0

4a2
=−
3

π

4a2
(1 − cos ϕ)d cos ϕ = −
3
2

0

21

cos3 ϕ
cos ϕ −
3

π
0

16a2
=
.
9


x2 + y2 + z2 dxdydz, V là miền hình nón tròn xoay

Ví dụ 1.6.3 Tính I =
giới hạn bởi các mặt

V
z2 =

x2 + y2 , z = a, a > 0.

Chuyển sang tọa độ trụ, ta có
a

r2 + z2 rdrdϕdz =

I=

r

D

V

r2 + z2 dz,

rdrdϕ

trong đó D là miền tròn giới hạn bởi đường r = a do đó
a

2π

I=

dϕ
0

a

r2 + z2 dz =

rdr
r

0
a

ar3 +

= 2π
0

1.6.3

a

2π

dϕ
0

0

z3
rdr r2 z +
3

a3 4 4
r4
r2 4 r5
− r dr = 2π a + a3 − .
r
3
4
6
3 5

z= a

z =r
a

=
0

3πa5
.
10

Tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu

Hệ tọa độ cầu

Tọa độ cầu của một điểm M ( x, y, z) là bộ 3 số (r, θ, ϕ) , với r = OM, θ là góc

−−→
−−→
giữa trục Oz và OM, ϕ là góc giữa trục Ox và OM với M là hình chiếu của
M xuống mặt phẳng Oxy.
Với mọi điểm M trong không gian thì
r

0; 0

θ

π; 0

ϕ

2π.

Mối liên hệ giữa tọa độ Descartes và
tọa độ cầu:

x = rsinθcosϕ, y = rsinθsinϕ, z = rcosθ,
22


trong đó

−
→ −−→
−
→ −−→
x2 + y2 + z2 , θ = (Oz, OM), ϕ = (Ox, OM ).

r=

Đổi biến trong hệ tọa độ cầu

Định thức Jacobi của ánh xạ là

sinθcosϕ rcosθcosϕ −rsinθsinϕ
J=

sinθsinϕ rcosθsinϕ

rsinθsinϕ

−rsinθ

cosθ

= −r2 sinθ,

0

J = 0, với r = 0 và sin θ = 0 . Theo công thức đổi biến (1.12), ta có
f ( x, y, z) dxdydz
V

f (rsinθcosϕ, rsinθsinϕ, rcosθ ) r2 sinθdrdθdϕ.

=

(1.15)

V

Đây là công thức tính tích phân bội ba của hệ tọa độ cầu.

√

Ví dụ 1.6.4 Tính I =
V

x2

+ y2

+ z2

=

1, x2

1
dxdydz, V
x 2 + y2 + z2

là miền giới hạn bởi hai mặt cầu

+ y2 + z2 = 4 .

Chuyển sang tọa độ cầu ta có
I=

rsinθ.drdθdϕ.
V

Miền V được xác định bởi
1

r

2, 0

ϕ

23

2π, 0

θ

π.


Vậy
2π

I=

2

π

dϕ
0

sinθdθ
0

1

x2

Ví dụ 1.6.5 Tính I =

+ y2

3
rdr = 2π.2. = 6π.
2

dxdydz, V là miền xác định bởi x2 + y2 +

V

z2

R2 ; z ≥ 0.

Chuyển sang tọa độ cầu, ta có
r4 sin3 θdrdθdϕ.

I=
V/

V là nửa hình cầu trên xác định bởi
r

0
do đó

R

sin3 θdθ

dϕ
0

0

π
,0
2

θ

π
2

2π

I=

R, 0

0

2π,

ϕ

4πR5

2 R5
=
.
r4 dr = 2π. .
3 5
15

x2 + y2 dxdydz , ở đây V là miền ngoài hình trụ

Ví dụ 1.6.6 Tính I =
V

x2 + y2 = a2 và trong hình cầu x2 + y2 + z2 = 4a2 .
Nếu ta dùng tọa độ cầu thì dễ thấy
π
2

2π

I=2

dϕ
0

2a

r2 sin2 θr2 sinθdr.

dθ
a

sinθ

π
6

Trường hợp này dùng tọa trụ ta sẽ thấy đơn giản hơn như sau
2π

I=2

dϕ
0

√

2a

4a2 −r2

2a
2

r3

r .rdz = 4π

dr
a

Đổi biến tích phân u = 4a2 −

0
r2 , du

4a2 − r2 dr.

a

= −2rdr ở tích phân xác định vừa nhận

được ta có
3a2

4a2 − u

I = 2π

√

3

udu = 2π 4a

0

24

2 u2
3
2

5

−

u2
5
2

3a2

=
0

44 √
3πa5 .
5


Chương 2
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI
BA TRONG VẬT LÝ
2.1

Khối lượng vật thể

Giả sử V là một vật thể trong không gian Oxyz và M ( x, y, z) là một điểm
của V. Lấy một tập hợp con đo được ∆V chứa điểm M. Giả sử ∆V có thể tích
∆V và khối lượng ∆m. Nếu tỉ số

∆m
có giới hạn khi ∆V thu dần về điểm M
∆V

thì giới hạn đó được gọi là khối lượng riêng của vật thể V tại điểm M, kí hiệu
là ρ( M ). Vậy
ρ( M) =

∆M
∆V →( M) ∆V
lim

(2.1)

ρ là một hàm số xác định trên V. Nếu vật thể V đồng chất thì ρ là một hàm
hằng.
Giả sử V là một vật thể đo được và ρ( M) là khối lượng riêng của vật thể tại
điểm M của V. Ta chỉ ra rằng có thể tính được khối lượng của vật thể V nếu
25