50 bài tập về bất đẳng thức

Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

50 Bài tập về bất đẳng thức:
Bài 1: Cho a  3 , tìm giá trị nhỏ nhất của S  a 
Giải: S  a 

1
a

1 8a a 1
24
a 1 10
 (  )
2 . 
a 9
9 a
9
9 a 3

1
a2
1 6a a a 1
12
a a 1 12 3 9
 (   2 )   33 . . 2   
Giải: S  a  2 
a
8
8 8 a

8
8 8 a
8 4 4
1
Bài 3: Cho a,b >0 và a  b  1 , tìm giá trị nhỏ nhất của S  ab 
ab
1
1
15
1
15
17
Giải: S  ab 
 (ab 
)
 2 ab


2
ab
16ab 16ab
16ab
4
 ab
16 

 2 
1
1
1

3
Bài 4: Cho a,b,c>0 và a  b  c  . Tìm giá trị nhỏ nhất của S  a 2  2  b 2  2  c 2  2
b
c
a
2
Giải:
Cách 1:

Bài 2: Cho a  2 , tìm giá trị nhỏ nhất của S  a 

Cách 2:
S  a2 

1
1
1
 b2  2  c2  2
2
b
c
a

(12  42 )(a 2 

1
1
1
1
4

)  (1.a  4. ) 2 a 2  2 
(a  )
2
b
b
b
b
17

Tương tự
1
1
4
1
1
4
b2  2 
(b  ); c 2  2 
(c  )
c
c
a
a
17
17
Do đó:
1
4 4 4
1
36

S
(a  b  c    ) 
(a  b  c 
)
a b c
a bc
17
17
 3 17
1 
9
135
(a  b  c  4(a  b  c) )  4(a  b  c)   2
17 

Bài 5: Cho x,y,z là ba số thực dương và x  y  z  1 . Chứng minh rằng:


1


Gia sư Thành Được

x2 

www.daythem.edu.vn

1
1
1

 y 2  2  z 2  2  82
2
y
z
x

Giải:
1
1
1
1
9
(1.x  9. ) 2  (12  92 )( x 2  2 )  x 2  2 
(x  )
y
y
y
y
82
1
1
9
1
1
9

( y  ); z 2  2 
(z  )
2
z

z
x
x
82
82
1
9 9 9
1
81
S
(x  y  z    ) 
(x  y  z 
)
x y z
x yz
82
82

TT : y 2 



1 
1
80 
( x  y  z  x  y  z )  x  y  z   82
82 


Bài 6: Cho a,b,c>0 và a  2b  3c  20 . Tìm giá trị nhỏ nhất của S  a  b  c 

3 9 4


a 2b c

Giải: Dự đoán a=2,b=3,c=4
12 18 16
12  
18   16 

4S  4a  4b  4c     a  2b  3c   3a     2b     c   
a b c
a 
b 
c 

20  3.2.2  2.2.3  2.4  52  S  13
1
1
1
1 1 1


Bài 7: Cho x,y,z> 0 và    4 . Tìm giá trị lớn nhất của P 
2x  y  z x  2 y  z x  y  2z
x y z
Giải:
Ta có
1 1

4 1 1
4
1 1 1 1
4
4
16
1
1 1 2 1
 
;  
    



    
x y x y y z yz
x y y z x  y y  z x  2y  z
x  2 y  z 16  x y z 
TT :
1
1 2 1 1
1
1 1 1 2
    ;
    
2 x  y  z 16  x y z  x  y  2 z 16  x y z 
1 4 4 4
    1
16  x y z 
Bài 8

S

x

x

x

 12   15   20 
Chứng minh rằng với mọi x  R , ta có          3x  4 x  5x
5 4  3 
Giải:
x

x

x

x

x

x

x

x

 12   15 
 12   15 

 15 
 12 
x  20 
x  20 
x
      2   .    2.3 ;       2.5 ;       2.4
 5  4
 5  4
 3   4
 3   5
Cộng các vế tương ứng => đpcm.
Bài 9:
Cho x,y,z>0 và x+y+z =6 . Chứng minh rằng 8x  8 y  8z  4x 1  4 y 1  4z 1

Giải: Dự đoán x=y=z = 2 và

3

8x.8x  3 64 x  4 x nên :

2


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

8x  8x  82  3 3 8 x.8 x.82  12.4 x ;
8 y  8 y  82  3 3 8 y.8 y.82  12.4 y ;
8z  8z  82  3 3 8 z.8 z.82  12.4 z

8x  8 y  8z  3 3 8 x.8 y.8z  3 3 82.82.82  192
Cộng các kết quả trên => đpcm.
Bài 10:
Cho x,y,z>0 và xyz = 1. Hãy chứng minh rằng
1  x3  y 3
1  y3  z3
1  z 3  x3


3 3
xy
yz
zx
Giải:
x 3  y 3  xy  x  y   1  x 3  y 3  xyz  xy  x  y   xy  x  y  z   3xy 3 xyz  3xy
1  x3  y 3
3xy


xy
xy

3 yz
3 1  y3  z3
;


xy
yz
yz

 1
1
1 
S  3


3 3
 xy
yz
zx 


1
2

x y2 z2

3 1  z 3  x3
3 zx
;


yz
zx
zx

3
zx

3 3

Bài 11
Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 x  y 1  xy 
P
2
2
1  x  1  y 
Giải:
2
 x  y  1  xy 

 x  y 1  xy    x  y 1  xy   
2
  1  1  P  1
P 
2
2
2
2
2
4
1  x  1  y  1  x  1  y   x  y  1  xy  4 4
Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4
Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4
KL: Khi dấu = xảy ra.
Bài 12
Cho a,b,c >0 . Chứng minh rằng:

a 3 b3 c 3
   ab  bc  ca
b c a

Giải:
a3 b3 c3 a 4 b 4 c 4 (a 2  b 2  c 2 )2  ab  bc  ac 
  
  

 ab  bc  ac
b c a ab bc ca
ab  bc  ac
ab  bc  ac
3
3
a3
2 b
2 c
 ab  2a ;  bc  2b ;  ca  2a 2
Cách 2:
b
c
a
2

Cách 1:

a 3 b3 c 3
   2(a 2  b 2  c 2 )  ab  bc  ac  ab  bc  ac
b c a

3x 2  4 2  y 3

Bài 13. Cho x,y >0 và x  y  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A 
4x
y2
Giải: Dự đoán x=y=2

3


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

3x 2  4 2  y 3 3x 1 2
1 x  2 y y  x y 9
A


  2  y     2   

2
4x
y
4 x y
4 4  2  2
 x 4  y
1
1


 42 3
Bài 14: Cho x,y>0 và x+y = 1. Chứng minh rằng P  3
3
x y
xy
Giải: Ta có

 x  y

3

 x 3  y 3  3xy(x+y)  x 3  y 3  3xy=1

x3  y 3  3xy x3  y 3  3xy
3xy
x3  y 3


4


 42 3
x3  y 3
xy
x3  y 3
xy
1
1
1
1



 2 . Chứng minh rằng xyz 
Bài 15: Cho x,y,z >0 và
1 x 1 y 1 z
8
Giải:
1
1
1
1
1
y
z
yz
 2

 1
1


2
1 x
1 y 1 z
1 y
1 z 1 y 1 z
1  y 1  z 
P=

TT :

1
2
1 y

xz
1
;
2
1  x 1  z  1  z

xy
1  x 1  y 

Nhân các vế của 3 BĐT => đpcm
Bài 16: Cho x,y,z>0 và x+y+z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của S 
Giải: S 

x
y
z


x 1 y 1 z 1

 1
x
y
z
1

1 
9
9 3


 3


 3 
  3
x 1 y 1 z 1
x y z 3
4 4
 x 1 y 1 z 1 

Bài 17:
Cho a,b,c >1. Chứng minh rằng:

4a 2 5b 2 3c 2


 48
a 1 b 1 c 1

Giải:

2
4a 2 4  a  1  4
4
4


 4  a  1 
 4  a  1 
 8  8  8  16
a 1
a 1
a 1
a 1
5b 2
5
3c 2
3
 5  b  1 
 10  20;
 3  c  1 
 6  12 dpcm
b 1
b 1
c 1
c 1
Bài 18
Cho a,b,c >0, chứng ming rằng :
1 1 1
1
1 
 1
   3




a b c
 a  2b b  2c c  2a 
Giải:
1 1 1
9
1 1 1
9
1 1 1
9
  
;   
;   
cộng ba bất đẳng thức =>đpcm
a b b a  2b b c c b  2c c a a c  2a
Bài 19
Với a,b,c >0 chứng minh rằng:
1 4 9
36
  
a b c abc

1 4 9 1  2  3
36
  

Giải:
a b c
a bc
abc
Bài 20:

Cho a,b,c,d>0 chứng minh rằng :
2

4


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

1 1 4 16
64
   
a b c d a bcd
1 1 4
16
16
16
64
;
 
Giải:   
a b c a bc a bc d a bcd

Cần nhớ:
a 2 b2 c2  a  b  c 
  
x
y z
x yz

2

Bài 21
Với a,b,c>0 chứng minh rằng:

4 5 3
2
1 
 3
   4



a b c
 a b bc ca 

Giải.
1 1
4
3 3
3 1 1
4
2 2
8 1 1
4
 
  
;  
  

;  
a b ab
a b ab b c bc
b c bc c a ca
Bài 22
Với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác , p là nửa chu vi tam giác đó.
1
1
1
1 1 1
Chứng minh rằng


 2   
p a p b p c
a b c
Giải:
1
1
1
2
2
2





p  a p  b p  c a  b  c a  b  c a  b  c
1

1
1
1
1
1
1 1 1





 2   
a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c
a b c
Bài 23
x2
y2
z2


Cho x,y,z>0 và x  y  x  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 
yz zx x y


Giải:

 x  y  z   x  y  z  4  2.
x2
y2
z2




Cách1: P 
y  z z  x x  y 2 x  y  z
2
2
Cách 2:
x2
yz
y2
zx
z2
x y

 x;

 y;

z
yz
4
zx
4
x y
4
x yz x yz 4
 P  x y x

  2.

2
2
2
Bài 24
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z =18. Chứng minh rằng
2 y  3z  5 3 z  x  5 x  2 y  5 51



1 x
1 2 y
1  3z
7
Giải:
2

5


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

2 y  3z  5 3z  x  5 x  2 y  5


1 x
1 2 y
1  3z
2 y  3z  5

3z  x  5
x  2y  5

1
1
1 3
1 x
1 2 y
1  3z
 1
1
1 
9
  x  2 y  3z  6  


3
  3  24.
x  2 y  3z  3
 1  x 1  2 y 1  3z 
9
51
 24.  3 
21
7
Bài 25
Chứng minh bất đẳng thức:
a 2  b2  1  ab  a  b
Giải:
Nhân hai vế với 2, đưa về tổng cuuả ba bình phương.

Bài 26
Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì
p  a  p  b  p  c  3p
Giải:
Bu- nhi -a ta có :
p  a  p  b  p  c  (12  12  12 )( p  a  p  b  p  c )  3(3 p  2 p )  3 p
Bài 27
1
1
Cho hai số a, b thỏa mãn : a  1; b  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng A  a   b 
a
b
1
1 15b  b 1  15.4
1 17
21
Giải: a   2; b  
   
 2.   A 
a
b 16  16 b  16
4 4
4
Bài 28
Chứng minh rằng a 4  b4  a3b  ab3
Giải:
 a 2 2  b2 2  (12  12 )  a 2  b2 2  a 2  b2 a 2  b2  2ab a 2  b2  a 4  b4  a3b  ab3


Bài 29

   



 







Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

( x  y  1) 2 xy  y  x
A

(Với x; y là các số thực dương).
xy  y  x ( x  y  1) 2
Giải:
( x  y  1) 2
1
 a; a  0  A  a  Có
Đặt
xy  y  x
a
Aa

1 8a a 1 8

a 1 8 2 10
10

 (  )  .3  2. .     A 
a 9
9 a 9
9 a 3 3 3
3

Bài 30
Cho ba số thực a , b, c đôi một phân biệt.

a2
b2
c2
Chứng minh


2
(b  c)2 (c  a)2 (a  b) 2
Giải:
6




Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

a
b
b
c
c
a
.

.

.
 1
(b  c) (c  a) (c  a) (a  b) (a  b) (b  c)
2

 a
b
c 
VT  


 0
(
b

c
)
(
c


a
)
(
a

b
)


(Không cần chỉ ra dấu = xảy ra hoặ nếu cần cho a= 1,b=0 => c=-1 thì xảy ra dấu =)
Bài 31
Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c  3 . Chứng ming rằng
1
2009

 670
2
2
a b c
ab  bc  ca
2

Giải:

1
2009

2
2
a  b  c ab  bc  ca

1
1
1
2007
9
2007
Bài 32:
 2





 670
2
2
2
2
a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b  c 
a  b  c
3
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a  b  c  3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2

P  a 2  b2  c 2 

ab  bc  ca
a 2b  b 2 c  c 2 a

Giải:
3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2
Mà a3 + ab2  2a2b ;b3 + bc2  2b2c;c3 + ca2  2c2a Suy ra 3(a2 + b2 + c2)  3(a2b + b2c + c2a) > 0

9  (a 2  b2  c 2 )
ab  bc  ca
2
2
2
Pa b c 
Suy ra P  a  b  c  2
2(a 2  b 2  c 2 )
a  b2  c2
2

2

2

t = a2 + b2 + c2, với t  3.
Suy ra P  t 

9t t 9 t 1
3 1
     3   4  P  4
2t
2 2t 2 2
2 2

a=b=c=1

Bài 33
Ch x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z = 1. tìm giá trị nhỏ nhất của
1
1 1


P=
16 x 4 y z
Giải:
 1
1
1 1
1 1  y
x   z
x   z y  21
P=

   x  y  z

 

 
 

16x 4 y z
 16x 4 y z   16 x 4 y   16 x z   4 y z  16
z
y
y

x 1
z
x 1

 có =khi y=2x;
  1 khi z=2y
  khi z=4x;
=>P  49/16
4y z
16 x 4 y 4
16 x z 2
Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7
Bài 34
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:

4 5
  23
x y

7


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B  8x 

6
7

 18y 
x
y

Giải:

6
7 
2 
2 4 5
 18y    8x    18y        8  12  23  43
x
y 
x 
y x y
1 1
1 1
Dấu bằng xảy ra khi  x; y    ;  .Vậy Min B là 43 khi  x; y    ; 
 2 3
 2 3
B  8x 

Bài 35
Cho x, y. z là ba số thực thuộc đoạn [1;2] và có tổng không vượt quá 5. Chứng minh rằng x2 + y2 + z2
9
Gải:
1  x  2  x  1  0 và x  2  0  (x  1)( x  2)  0
 x 2  3x  2
Tương tự y 2  3y  2 và z 2  3z  2
2

2
2
 x + y + z  3( x + y +z) – 6  3. 5 – 6 = 9
Bài 36
Cho a,b,c là các số thuộc  1; 2 thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2 = 6. Chứng minh rằng a  b  c  0 .
Giải:
 a  1 a  2   0  a 2  a  2  0; b2  b  2  0; c 2  c  2  0
 a  b  c  a 2  b2  c2  6  0
Bài 37
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a  b  c  2 . Chứng minh rằng:
1
1
1
97
a 2  2  b2  2  c2  2 
b
c
a
2
Giải:
2

9 1   2 81  2 1 
1
4 
9 

2
1.a  .    1   a  2   a  2 
 a  ;

4 b 
16 
b 
b
4b 
97 

1
4 
9 
1
4 
9 
2
b2  2 
b  ; c  2 
c  
c
4c 
a
4a 
97 
97 
Bài 38

cộng các vế lại

Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi là 2p. Chứng minh rằng

p

p
p


9
p a p b p c

Giải:
p
p
p
1
1
1
9
9


 9 hay




p a p b p c
p a p b p c p a  p b p c p
Bài 39
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. Chứng minh rằng:
3(a 2  b2  c 2 )  2abc  52
Giải:

8


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

abc  ( a  b  c)(a  b  c)(a  b  c )  (6  2a)  6  2b  6  2c   abc  24 
 2abc  48 

8
 ab  bc  ac 
3

16  36  (a 2  b 2  c 2 ) 
8
 (a 2  b 2  c 2 )  2abc  48 (1)


3 
2
3


a 2  b2  c2
 4 (2)
(1)and(2)  dpcm
3
Có chứng minh được 3(a 2  b2  c 2 )  2abc  18 hay không?
Bài 40

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 3
P

4
(
a

bc
)1

5
a
b
c
.
Giải:
2 2
2
2 2
2

a

(
b

c
)


(
a

b

c
)
(
a
b

c
)

b

(
c

a
)

(
b

c

a
)
(

b
c

a
)
Có a
(1) , b
(2)
2 2
2
c

ca

(

b
)

(
c

a

b
)
(
c
a


b
)
(3) . Dấu „=‟ xảy ra abc
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế với vế của (1),
b
ca

(
b

c
)
(
b
c

a
)
(
c
a

b
)
(2), (3) ta có : a
(*)

a
b
c


(
2

2
a
)
(
2

2
b
)
(
2

2
c
)
8

8
(
a

b

ca
)


8
(
b

b
c

c
a
)

9
a
b
c

0
a

b

c

2
Từ
nên (*)

8

9

a
b
c

8
(
a
b

b
c

c
a
)

0

9
a
b
c

8
(
a
b

b
c


c
a
)


8
(*)
3
3
3
3

b

c

()
a

b

c

3
()
a

b


c
(
a
b

b
c

c
a
)

3
a
b
c

8

6
(
a
b

b
c

c
a
)


3
a
b
c
Ta có a
3
3
3
(
a

b

c
)

1
5
a
b
c

2
7
a
b
c

2

4
(
a
b

b
c

c
a
)

3
2

3
9
a
b
c

8
(
a
b

b
c

c

a
)

3
2


Từ đó 4
(**)

 a  2  b  2   c  2
2

2

2

0

3 3 3
(
a

b

c
)

1
5

a
b
c

3
.
(

8
)

3
2

8
Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc .
3
2
Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi abc
3

Bài 41
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng
2
1
 a3  b3  c3  3abc  .
9
4

Giải:
*P  a 3  b3  c3  3abc
Ta có a 3  b3  c3  3abc  (a  b  c )(a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac )
 a 3  b3  c3  3abc  (a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac) (1)
có abc  (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (1  2a)(1  2b)(1  2c) 
2 8
  ab  bc  ca  (2)
3 3
2 5
(1)and(2)  a3  b3  c3  3abc  a 2  b 2  c 2    ab  bc  ca 
3 3
1  4(ab  bc  ca )  8abc  6abc 

mà ab  bc  ca 
2



1  a 2  b2  c2
2
2

P1

a
6

2



 b2  c2 

2

1
6

1 
1  1
1
1 1 1 2

2
2
2
 a    b    c    0  a  b  c   P  .  
3 
3 
3
3
6 3 6 9


9


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

*P  a 3  b3  c3  3abc
abc  (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (1  2a)(1  2b)(1  2c)  1  4(ab  bc  ca)  8abc  0
 ab  bc  ca )  2abc 

1
4

(3)

P  a3  b3  c3  3abc  (a  b  c)(a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac)  6abc
 a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac  6abc   a  b  c   3  ab  bc  ca   6abc
2

1 1
 1  3  ab  bc  ca  2abc   1  3. 
4 4

Bài 42
Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 . Chứng minh rằng:

x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  xyz  8
Giải:
Chứng minh được

xyz    x  y  z  x  y  z  x  y  z 

 (6  2 x)(6  2 y )(6  2 z )  216  72( x  y  z )  24( xy  yz  zx)  8xyz
8
 xyz  24  ( xy  yz  zx) (1)

3
mà  x  y  z   9  x 2  y 2  z 2  2xy  2 yz  2xz  9
2

 x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz  36  3xy  3 yz  3xz

(2)

Bài 43

8
Nên xyz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz   24  ( xy  yz  zx)+ 36  3xy  3 yz  3xz
3
1
2
 xyz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz   12  ( xy  yz  zx) mà  x  y  z   3( xy  yz  zx)
3
1  x  y  z
36
 xyz  x  y  z  xy  yz  xz   12  .
 12 
8
3
3
9
Cho a  1342; b  1342 . Chứng minh rằng a 2  b2  ab  2013  a  b  . Dấu đẳng thức xảy ra
2

2

2

2

khi nào?
Giải:
Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau:

 a  1342    b  1342 
2

2

 0;  a  1342  b  1342   0; a  1342  b  1342  0

Thật vậy:

(1)
 a  1342    b  1342   0  a 2  b 2  2.1342. a  b   2.13422  0
(2)
 a  1342  b  1342   0  ab  1342a  1342b  13422  0
 a 2  b 2  2.1342.  a  b   2.13422  ab  1342a  1342b  13422  0
 a 2  b 2  ab  3.1342.  a  b   3.13422  2.2013.  a  b   3.13422
 2013.  a  b   2013.  a  b   2.2013.1342  2013.  a  b   2013.  a  b  1342  1342   2013. a  b 
2

2

10

Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Cách 2 :
A   x  1   x  3  6  x  1  x  3
4

4

2

2

2

2
2
2
2
A   x  1   x  3   4  x  1  x  3



A   2x 2  8x  10   4  x 2  4x  3
2

A   2( x  2) 2  2   4  ( x  2) 2  1
2

2

2

A  4( x  2) 4  8( x  2) 2  4  4( x  2) 4  8( x  2) 2  4
A  8( x  2) 4  8  8

Bài 45:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
ab
bc
ca
1



c 1 a 1 b 1 4

Giải:

Bài 46
Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1. Chứng minh rằng:
1
1 x  y
3

3



1
1

1
3
3
1  y  z 1  z 3  x3

Giải:
11


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

x 2  y 2  2xy   x  y   x 2  y 2   2xy  x  y   x 3  y 3  xy  x  y 
 1  x 3  y 3  xy  x  y  z  


1
1 x  y
3

3



1

1 x  y
3

3



1
xy  x  y  z 

z
1
x
1
y
;

;

 dpcm
3
3
3
3
x  y  z 1 y  z
x  y  z 1 z  x
x y z

Bài 47
Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng :

 a  b

2



ab
 2a b  2b a
2

2



ab
1

1 
1 

  a  b   a  b     a  b    a     b     2 ab  a  b   2a b  2b a Bài
2
2
4 
4 



Giải:

 a  b

48
Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện:
1
1  8a 3



1

1



1  8b3

1  8c3

1

Giải:
1
1  8a 3
;

1





1

 2a  1  4a 2  2a  1
1

1



1
2
1
 2
 2
2
2a  1  4a  2a  1 4a  2 2a  1
2

1

1  8c3 2c  1
1
1
1
9
 VT  2
 2

 2
 2
1
2a  1 2b  1 2c  1 2a  1  2b 2  1  2c 2  1
1  8b3

2b  1

;



2

2

Bài 49
a 3 b3 c 3
Với a,b,c là ba số thực dương . Chứng minh rằng :    a 2  b 2  c 2
b c a

Giải:
Cách 1:
2
2
2
a 2  b2  c 2  a 2  b2  c 2 

a 3 b3 c 3 a 4 b 4 c 4  a  b  c 
  

  

 a 2  b2  c 2
b c a ab bc ca
ab  bc  ca
ab  bc  ca
2

Cách 2
3
3
a3
2 b
2 c
 ab  2a ;  bc  2b ;  ca  2c 2  VT  2  a 2  b 2  c 2   (ab  bc  ca )  a 2  b 2  c 2 Bài 50
b
c
a

Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
x2
y2
z2
3



y 1 z 1 x 1 2

Giải:

x2
y 1
y2
z 1
z2
x 1
3
3 3
3 3

 x;

 y;

 z  VT   x  y  z    .3  
y 1
4
z 1
4
x 1
4
4
4 4
4 2

12