CONG THUC LUONG GIAC CO BAN

Công thức chuẩn về phần lượng giác

Năm học 2015-2016

CÁC CÔNG THỨC VỀ LƯỢNG GIÁC
I. Công thức lượng giác cơ bản.
sin a
a
• sin2 a + cos2 a = 1,
• tan a = cos
• cot a = cos
a
sin a
• tan a. cot a = 1
• 1 + tan2 a = cos12 a
• 1 + cot2 a =
II. Công thức cung liên quan đặc biệt.
1. Hai cung đối nhau:(α và −α):( sin đối, cos bằng cho nên tan và cot đối).
• sin(−α) = − sin α
• tan(−α) = − tan α
2. Hai cung phụ nhau: (α và

π
2

1
.
sin2 a

• cos(−α) = cos α
• cot(−α) = − cot α

− α): ( sin góc này bằng cos góc kia cho nên tan và cot cũng vậy).

• sin( π2 − α) = cos α
• tan( π2 − α) = cot α

• cos( π2 − α) = sin α
• cot( π2 − α) = tan α

3. Hai cung kề bù: (α và π − α): ( sin bằng, cos đối cho nên tan và cot đối).
• sin(π − α) = sin α
• tan(π − α) = − tan α

• cos(π − α) = − cos α
• cot(π − α) = − cot α

4. Hai cung hơn kém pi: (α và π + α):( sin đối, cos đối cho nên tan và cot bằng)
• sin(π + α) = − sin α
• tan(π + α) = tan α

• cos(π + α) = − cos α
• cot(π + α) = cot α

⊕ Đặc biệt: Với k là số nguyên thì ta luôn có
• sin(a + k2π) = sin a
• tan(a + kπ) = tan a

• cos(a + k2π) = cos a
• cot(a + kπ) = cot a

III. Công thức lượng giác.

1. Công thức cộng:
• cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
• sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
tan a+tan b
• tan(a + b) = 1−tan
a tan b

• cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
• sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a
tan a−tan b
• tan(a − b) = 1+tan
a tan b

2. Công thức biến tổng thành tích:
cos a−b
• cos a + cos b = 2 cos a+b
2
2
a+b
• sin a + sin b = 2 sin 2 cos a−b
2

sin a−b
• cos a − cos b = −2 sin a+b
2
2
a+b
• sin a − sin b = 2 cos 2 sin a−b
2

3. Công thức biến tích thành tổng:
• cos a. cos b = 12 [cos(a − b) + cos(a + b)]
• sin a. sin b = 12 [cos(a − b) − cos(a + b)]

• sin a. cos b = 12 [sin(a − b) + sin(a + b)]

4. Công thức hạ bậc:
• sin2 a =

1−cos 2a
2

•cos2 a =

1+cos 2a
2

5. Công thức nhân đôi:

Th.S Nguyễn Tiến Trọng:

01665256779

1


Công thức chuẩn về phần lượng giác
• sin 2a = 2 sin a cos a
2 tan a
• tan 2a = 1−tan

2a

Năm học 2015-2016
• cos 2a = cos2 a − sin2 a
= 2 cos2 a − 1
= 1 − 2 sin2 a

6. Công thức đặc biệt
sin 2a = (sin a + cos a)2 − 1
= 1 − (sin a − cos a)2
√
sin a ± cos a = 2 sin(a ± π4 )
sin 3a = 3 sin a − 4 sin3 a
sin6 a + cos6 a = 1 − 34 sin2 2a

4
4
cos 2a = cos
√ a − sin a √
= ( 2 cos
√ a = 1)( 2 cos
√ a − 1)
= (1 + √2 sin a)(1 − 2 sin a)
cos a ± sin a = 2 cos(a ∓ π4 )
cos 3a = 4 cos3 a − 3 cos a
sin4 a + cos4 a = 1 − 21 sin2 2a

IV. Một số công thức bổ sung
1. Hằng đẳng thức
•

•
•
•

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
a2 − b2 = (a + b)(a − b)

• (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
• (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
• a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )

2. Phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (∗) có hai nghiệm x1 và x2 thì
•: ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ).
• x1 + x2 =√ − ab ; x1 .x2 =√ac ;
• x1 = −b+2a ∆ ; x2 = −b−2a ∆
• x21 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 . • x31 + x32 = (x1 + x2 )3 − 3x1 x2 (x1 + x2 ). • x41 + x42 = (x21 + x22 )2 − 2x21 x22 .
• x61 + x62 = (x21 + x22 )3 − 3x1 x2 (x21 + x22 )
a=0
a. Phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
= b2 − 4ac > 0
b. Phương trình (∗) có hai nghiệm trái dấu khi: a.c < 0.
c. Phương trình (∗) có hai nghiệm phân d. Phương trình (∗) có hai nghiệm phân
biệt dương khi và chỉ khi:
biệt âm khi và chỉ khi:


a=0
a=0









= b2 − 4ac > 0
= b2 − 4ac > 0


S = − ab > 0
S = − ab < 0






P = ac > 0
P = ac > 0
e. Phương trình (∗) có nghiệm dương khi
và chỉ khi: a) Phương trình (∗) có hai nghiệm
trái dấu; có nghiệm
 phân biệt dương hoặc có

 a=0
nghiệm kép dương
= b2 − 4ac = 0



S = − ab > 0

f. Phương trình (∗) có nghiệm âm khi và
chỉ khi: a) Phương trình (∗) có hai nghiệm trái
dấu; có nghiệm phân biệt âm hoặc có nghiệm
kép âm


 a=0
= b2 − 4ac = 0


S = − ab < 0

⊕Đặc biệt: • cos x = 0 ⇔ x = π2 + kπ, • cos x = 1 ⇔ x = k2π, • cos x = −1 ⇔ x = π + k2π,
k ∈ Z.
⊕Đặc biệt: • sin x = 0 ⇔ x = kπ, • sin x = 1 ⇔ x = π2 + k2π, • sin x = −1 ⇔ x = − π2 + k2π, k ∈ Z.

Th.S Nguyễn Tiến Trọng:

01665256779

2