CHUYEN DE NHIET HOC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

1. Các đẳng quá trình .
+ Quá trình đẳng nhiệt: T = const, pV = const

p
= const
T
V
= const
+ Quá trình đẳng áp : p = const,
T

+ Quá trình đẳng tích: V = const ,

2. Phương trình trạng thái khí lí tưởng ( phương trình
Clappêrôn ) :

pV
pV
pV
= const hay 1 1 = 2 2
T1
T2
T

( áp dụng cho lượng

khí có khối lượng không đổi)
3. Phương trình Clappêrôn - Menđêlêép (phương trình C -M ):

m
RT ( áp dụng cho lượng khí có khối lượng thay đổi )

µ
n: số mol của khí (g/mol); m: khối lượng khí (g); µ : khối lượng mol của chất khí; p: áp suất của khí

pV = nRT =

trong đó:
( Pa) ; V: thể tích của khí ( m3 ), T: nhiệt độ tuyệt đối (K)
R: hằng số của các khí, R = 8,31J/mol.K
4. Nguyên lý I của nhiệt động lực học ( NĐLH ):
4.1. Nội dung: Độ biến thiên nội năng của hệ bằng tổng đại số nhiệt lượng và công mà hệ nhận được.
∆U = Q + A
4.2. Biểu thức:
trong đó: ∆U : độ biến thiên nội năng của hệ; Q, A: là các giá trị đại số
4.3. Quy ước:
+ Q > 0; A > 0: hệ nhận nhiệt lượng, nhận công .
+ Q < 0; A < 0: hệ nhả nhiệt lượng, sinh công .
- Nếu xét trong một quá trình vô cùng nhỏ thì : dU = ∂ Q + ∂ A
5. Áp dụng nguyên lý I NĐLH đối với các quá trình biến đổi trạng thái của khí lí tưởng:
5.1. Biểu thức của độ biến thiên nội năng:

∆U = nCV (T2 − T1 ) =

CV: nhiệt dung mol đẳng tích của chất cấu tạo nên vật
5.2. Công thực hiện trong một quá trình biến đổi.
+ Công nguyên tố thực hiện trong một quá trình biến đổi nhỏ:

m
CV (T2 − T1 )
µ
p

M

∂A' = pdV
Vậy : A =
'

V2

N

∫ pdV

V1

+ Công xác định theo đồ thị p -V ( hình 2): Công có giá trị bằng
diện tích phần gạch chéo trên đồ thị ( hình thang cong MNPQ)
Q
P
V
O
giới hạn bởi đường biểu diễn quá trình biến đổi và trục hoành
OV, V= V1; V = V2. Dấu của A' là dương nếu chiều từ M đến N
V2
V1
là chiều kim đồng hồ trên chu vi hình thang cong.
+ Công trong quá trình đẳng nhiệt:
Xét một lượng khí lí tưởng có nhiệt độ không đổi T và biến đổi theo quá trình cân bằng từ trạng thái có áp suất p 1,
thể tích V1 đến trạng thái có áp suất p2, thể tích V2. Lượng khí này không tăng nhiệt độ, nhưng sinh công A' :

A' =

V2

∫ pdV

V1

Để tính A' phải thay p dưới dấu tích phân bằng biểu thức của nó tính theo V. Biết rằng khí lí tưởng tuân theo đúng
định luật Bôi-lơ - Ma-ri-ốt: pV = p1V1 = p2V2
V

ta có: p =

2
V
dV
V
p1V1
'
A
=
p
V
= p1V1 ln 2 hay A' = p2V2 ln 2
. Vậy:
1 1∫
V1
V
V1

V
V1

+ Công thực hiện trong quá trình đoạn nhiệt:
Quá trình đoạn nhiệt: Là quá trình biến đổi trạng thái của khí trong đó khí không nhận nhiệt và cũng không nhả
nhiệt cho các vật xung quanh ( tức là không trao đổi nhiệt với môi trường bên ngoài ): Q = 0 ; và ta có: A = ∆U
Theo nguyên lí I NĐLH ta có:


A' = - A = - ∆U = - nCV ( T2 - T1 ) = nCV ( T1 - T2 )

(a)

i
R
R=
, p1V1 = nRT1, p2V2 = nRT2
2
γ −1
p1V1 − p2V2
'
Công A có thể viết lại như sau: A =
(b)
γ −1
với n là số mol khí, biết: CV =

A' =

hoặc nếu tính theo nhiệt độ:

p1V1  T2 
1 − ÷
γ − 1  T1 

(c)

Chú ý: Ba công thức (a), (b), (c) có thể dùng trong quá trình đoạn nhiệt bất kì, có thể không cân bằng. Nếu quá trình
đoạn nhiệt cân bằng thì công A' còn được tính như sau:
γ −1
p1V1   V1  
1 −  ÷ 
A =
γ − 1   V2  


'

5.3. Áp dụng nguyên lí I NĐLH đối với các quá trình biến đổi trạng thái của khí lí
tưởng:
5.3.1. Quá trình đẳng tích: ( hình 3 )
V = const → A = 0; Q = ∆U
Trong quá trình đẳng tích, nhiệt lượng mà khí nhận được
chỉ dùng làm tăng nội năng của khí
5.3.2. Quá trình đẳng áp : ( hình 4 )
p = const → A = - A' = - p.∆V = - p( V2 - V1)
→ Q = ∆U + A' ( A' là công mà khí sinh ra)
Trong quá trình đẳng áp, một phần nhiệt lượng mà khí
nhận vào được dùng để làm tăng nội năng của khí, phần
còn lại biến thành công mà khí sinh ra.
5.3.3. Quá trình đẳng nhiệt : ( hình 5)

T = const ; ∆U = 0 → Q = ∆U - A = - A ,
thay - A = A'
Vậy: Q = A'
Trong quá trình đẳng nhiệt, toàn bộ nhiệt lượng mà khí nhận được chuyển hết
sang công mà khí sinh ra.
5.3.4. Quá trình đoạn nhiệt: Khí không trao đổi nhiệt lượng
với môi trường bên ngoài: Q = 0. Vậy: A = ∆U
5.3.5. Chu trình: ( hình 6 ) là một quá trình mà trạng thái
cuối trùng với trạng thái đầu. Chu trình cân bằng có thể được biểu diễn trên đồ thị p V bằng một đường cong khép kín. Sau khi thực hiện chu trình, khí trở về trạng thái
ban đầu I
Theo nguyên lí I NĐLH: ∆U = Q + A = Q − A ' = 0 và
tổng đại số nhiệt lượng nhận được Q = tổng đại số công sinh ra.
* Chu trình Các - nô: để thuận lợi trong việc vận dụng nguyên lí I và II NĐLH,
người ta khảo sát một chu trình biến đổi đặc biệt gọi là chu trình Các-nô.
Chu trình Các-nô là một chu trình gồm có hai quá trình đẳng nhiệt xen kẽ với hai quá
trình đoạn nhiệt.
6. Khái niệm về nhiệt dung, nhiệt dung riêng.
6.1. Nhiệt dung của một vật: Là đại lượng vật lý có giá trị bằng nhiệt lượng cần
cung cấp cho vật để nhiệt độ của nó tăng thêm 10.
Hình 6
6.2. Nhiệt dung riêng của một chất bất kỳ là đại lượng vật lý có giá trị bằng nhiệt
lượng cần truyền cho một đơn vị khối lượng chất nói chung và một đơn vị khối lượng khí nói riêng đó để làm tăng
nhiệt độ của nó thêm 10:

dQ
dT

6.3. Nhiệt dung mol của một chất bất kỳ là đại lượng vật lý C
có =giá trị bằng nhiệt lượng cần truyền cho 1mol chất nói
chung và một mol khí nói riêng để nhiệt độ của nó tăng lên 10.

C=

dQ
dT

6.4. Nhiệt dung mol đẳng tích và đẳng áp.

Hình 6


+ Nhiệt dung mol đẳng tích: Là nhiệt lượng cần cung cấp cho một mol chất khí để nhiệt độ tăng lên 1 độ trong điều

 dQ 
÷ = const
 dT V
Theo nguyên lý I ta có: ∂Q = dU + ∂A = dU
dU i
dT i
CV =
= .R.
= .R ( i là số bậc tự do )
Vậy:
dT 2 dT 2
kiện thể tích không đổi: CV = 

+ Nhiệt dung mol đẳng áp : Là nhiệt lượng cần cung cấp cho một mol chất khí để nhiệt độ tăng lên 1 độ trong điều

 dQ 
÷ = const

 dT  P
dU + ∂A dU ∂A i
dV
=
+
= R+ p
Ta có: ∂Q = dU + ∂A vậy CP =
dT
dT dT 2
dT
dV R
i+2
= . Vậy : CP =
.R
Theo phương trình C -M, ta có:
dT p
2
kiện áp suất không đổi: CP = 

6.5. Mối quan hệ giữa nhiệt dung riêng đẳng tích và đẳng áp:
Theo nguyên lý I NĐLH cho 1mol khí quá trình đẳng áp ta có : dU = ∂Q + ∂A (1)
∂ Q = Cp.dT; dU = Cv.dT; ∂ A = pdV
Thay vào (1) ta có: Cp = Cv + p.

dV
(2)
dT

Mặt khác ta có: pV= RT hay pdV = RdT . Vậy : p.

dV
=R
dT

Từ (1) ta có: Cp = Cv + R hay Cp - CV = R : hệ thức May - e giữa Cp và CV
( Nếu khí tuân theo đúng phương trình C - M thì có nhiệt dung mol tuân theo hệ thức
May - e )

Cp

i+2
;
CV
i
5
Với khí đơn nguyên tử, i = 3 thì γ =
3

+ Hằng số Poat -xong: γ =

=

Với khí lưỡng nguyên tử, i = 5 thì γ =
Với khí đa nguyên tử, i = 6 thì γ =

7
5

8
6

7. Mối quan hệ giữa các thông số trạng thái trong quá trình đoạn nhiệt.

dV
+ nCV dT = 0
V
dT
dV
CV T + R V = 0

Có - ∂ A = - dU hay pdV + nCVdT = 0 ↔ n RT

Lấy tích phân hai vế ta có:
CV

∫

dT
dV
→ ln T + ( γ − 1) ln V
C ln T + R ln V
∫
T +R V = const hay V
= const
= const
γ
γ −1
pV = const
= const
hay T .V

8. Nguyên lý thứ II của nhiệt động lực học.
8.1. Động cơ nhiệt: là thiết bị biến đổi nhiệt lượng sang công.
8.2. Nội dung nguyên lý:
- Cách phát biểu thứ nhất: Nhiệt không tự nó truyền từ một vật sang vật nóng hơn.
- Cách phát biểu thứ hai: Không thể thực hiện được động cơ vĩnh cửu loại hai ( nói một cách khác, động cơ nhiệt
không thể biến đổi toàn bộ nhiệt lượng nhận được thành ra công)
8.3. Hiệu suất của động cơ nhiệt: H =

A Q1 − Q2
=
Q1
Q1

trong đó: Q1: nhiệt lượng nhận từ nguồn nóng; Q2: nhiệt lượng tác nhân truyền cho nguồn lạnh.


- Với động cơ nhiệt lý tưởng: H max =

T1 − T2
: hiệu suất của chu trình Các-nô
T1

trong đó: T1: nhiệt độ nguồn nóng, T2: nhiệt độ nguồn lạnh.
II- Phương pháp giải:
1. Phân tích hiện tượng bài toán.
2. Tìm quy luật biến đổi trạng thái của lượng khí cần xét.
3. Kết hợp với các kiến thức có liên quan để thành lập hệ phương trình đủ.
*Chú ý:
- Phân tích kỹ hiện tượng bài toán và sử dụng các kiến thức trên kết hợp với các kiến thức cơ học có liên

quan để giải bài toán.
- Khi sử dụng nguyên lý I NĐLH cần chỉ rõ loại khí (đơn nguyên tử hay lưỡng nguyên tử), quá trình trao đổi
nhiệt (nhận nhiệt, nhả nhiệt hoặc không trao đổi nhiệt) để sử dụng đúng kiến thức cho từng dạng bài tập.
II. BÀI TẬP
BÀI 1
Một phần của xi – lanh có chứa đầy một lượng khí lí tưởng
đơn nguyên tử ở áp suất 1 atm và nhiệt độ 300K. Có một pit – tông
nhẹ ngăn cách chất khí với phần còn lại của xi –lanh, phần này là
chân không. Có một lò xo đang ở trạng thái không biến dạng
( được giữ cố định), lò xo được nối với pit-tông và thành của xilanh. Xi-lanh cách nhiệt với môi trường bên ngoài. ( Xem hình
1.1 ). Ban đầu pit-tông được giữ cố định với xi-lanh sau đó được
thả ra. Sau khi đạt đến trạng thái cân bằng thì thể tích bị chiếm bởi
chất khí gấp đôi so với lúc đầu. Bỏ qua nhiệt dung của pit-tông,
xi-lanh và lò xo. Hãy tìm nhiệt độ và áp suất của khí lúc cân bằng
được thiết lập
LỜI GIẢI
Xét lượng khí biến đổi trạng thái từ (1) – là trạng thái ban đầu đến (2) - là trạng thái lúc
sau khi cân bằng được thiết lập trở lại
Vì hệ cách nhiệt hoàn toàn với môi trường bên ngoài nên đây là quá trình đoạn nhiệt.

Q12 = 0

2

Áp dụng nguyên lí I nhiệt động lực học ta có:

∆U12 = A12 = ∫ − pdV
1

- Trạng thái (1) và (2) có các thông số tương ứng:

 p1 = 1atm

T1 = 300 K
V
 1

và

 p2

T2
V
 2
2

Biến đổi tương đương ta có:

Cv ( T2 − T1 ) = ∫ − pdV
1

Khí sinh công có độ lớn đúng bằng độ giảm thế năng đàn hồi của lò xo.

1
A12 = − kx 2
2

( x là khoảng cách từ vị trí ban đầu của pit-tông đến vị trí cân bằng lúc sau

của pit-tông, hình 1.2 )

Từ đó ta thu được

Cv ( T2 − T1 ) =

−1 2
kx (1)
2

Điều kiên cân bằng của pit-tông lúc sau là:
Mặt khác bài cho V2

= 2V1 hay S .x = V1

kx = p2 S

(2)

(3)

Thay (2) vào (1) và chú ý đến điều kiện (3) ta được :

6
T2 = T1 = 257 K
7


Ta tính được

p2 =

3
p1 = 0,429atm
7

BÀI 2
Một bình kín hình trụ nằm ngang có chiều dài 2l
được chia thành hai phần bằng nhau bởi một pit - tông
mỏng, cách nhiệt. Mỗi phần có chứa n mol khí lí
tưởng đơn nguyên tử ở nhiệt độ T. Pit - tông được nối
với các mặt đáy bình bằng các lò xo có độ cứng k và
ban đầu chưa biến dạng. (Xem hình 2). Khi nhiệt
lượng Q được truyền cho khí ở ngăn phải thì pit - tông
dịch chuyển một đoạn

x=

l
.
2

Hãy xác định nhiệt

lượng Q’ do khí ở ngăn trái tỏa ra ở nhiệt độ T cho
một nguồn điều nhiệt gắn vào ngăn trái trong suốt quá
trình.

Hình 2

LỜI GIẢI
Khí ở ngăn phải sinh công đẩy pit - tông làm cho khí ở ngăn trái bị nén (nhận công) đồng

thời làm các lò xo biến dạ ng
Xét toàn bộ quá trình, tổng công do khí sinh ra đúng bằng tổng thế năng đàn hồi của các lò xo:
2

k l 1
A ' = 2. . ÷ = kl 2
2 2 4

Q là nhiệt lượng mà chất khí ở ngăn bên phải nhận vào, Q’ là nhiệt lượng mà chất khí ở ngăn bên trái nhả ra.
Vậy nhiệt lượng tổng cộng mà hệ nhận vào là: Q - Q’ (Q và Q’ đều mang dấu dương)
Áp dụng nguyên lí I Nhiệt động lực học cho hệ khí ở cả hai ngăn ta có:
∆U = A + (Q − Q ') .

1
A = − A ' = − kl 2 ; ∆U là độ biến thiên nội năng của hệ khí.
4
1 2
Ta viết: Q − Q ' = kl + ∆U (1)
4
Vì nhiệt độ của ngăn bên trái được giữ không đổi, nên ∆U chính là độ tăng nội năng của khí ở ngăn bên phải:
3
∆U = n.R.∆T (2)
2

Trong đó:

Độ tăng nhiệt độ của khí ở ngăn phải được tính từ điều kiện cân bằng của pit - tông:
+ Áp suất khí ở ngăn phải khi pit - tông cân bằng là:

+ Áp suất khí ở ngăn bên trái khi pit - tông cân bằng là:

Điều kiện cân bằng của pit - tông là:

2nR ( T + ∆T ) 2nRT kl
=
+
3Sl
Sl
S

Giải pt trên ta được kết quả:

∆T = 2T +

Từ (1) ; (2) ; (3) ta rút được kết quả:

5
Q ' = Q − 3nRT − kl 2
2

3kl 2
2nR

(3)

n.R.( T + ∆T )
l

S l + ÷
 2
nRT

p' =
l

S l − ÷
 2

p=


BÀI 3
Một bình cách nhiệt được ngăn thành hai phần bằng một pit-tông
cách nhiệt, có thể chuyển động không ma sát trong bình. Phần bên trái
của bình có chứa một mol khí lí tưởng đơn nguyên tử còn phần bên
phải trống rỗng. Pit-tông được nối với thành bên phải của bình qua
một lò xo, chiều dài tự nhiên của lò xo bằng chiều dài của bình (Hình
3).
Hãy xác định nhiệt dung của hệ thống. Bỏ qua nhiệt dung của bình,
của pit-tông và của lò xo
LỜI GIẢI
Đặt T 1 là nhiệt độ của khí ban đầu, T 2 là nhiệt độ của khí sau khi truyền nhiệt lượng ∆Q
Vì không có ma sát và bình cách nhiệt nên toàn bộ nhiệt lượng chuyển thành năng lượng
bên trong của hệ ∆Q = ∆W
Năng lượng bên trong hệ bằng tổng của nội năng của khí và thế năng đàn hồi tích trữ bởi
lò xo ( Vì bỏ qua nhiệt dung của lò xo, pit-tông và xilanh )
Độ tăng nội năng của một mol khí lí tưởng là
Độ tăng thế năng đàn hồi của lò xo:

∆W1 =

3

R∆T
2

1
∆W2 = k ( x22 − x12 )
2

Trong đó k là độ cứng của lò xo, x 1 và x2 là giá trị tuyệt đối của độ dịch chuyển của đầu trái của lò xo ở các
nhiệt độ T1 và T2 tương ứng.
Chúng ta hãy tìm mối quan hệ giữa các thông số của khí và độ biến dạng của lò xo
Ta có

p=

F kx
=
S S

Áp dụng phương trình C-M ta được:

V = xS

à

p=

∆W2 =

mặt khác dễ thấy:

RT
xS

Thay vào phương trình của p ta được:
Kết quả:

pV = RT

x2 =

RT
k

R
( T2 − T1 )
2

∆W = 2R ( T2 − T1 )
∆Q
Vậy nhiệt dung của hệ thống là C =
= 2R
∆Τ
Độ tăng năng lượng bên trong hệ là:

BÀI 4
Một pít tông bịt kín bình khí được giữ bằng một lò xo rất
nhỏ, trong bình có một lượng khí nhất định (hình 4.1). Khi
nhiệt độ là 27 0 C thì độ dài của lò xo là 30cm, lúc đó áp suất
trong bình bằng 1,2 lần áp suất khí quyển ngoài bình. Khi nhiệt
độ tăng lên 123 0 C thì độ dài của lò xo là 36cm. Tính độ dài tự

nhiên của lò xo.

Hình 4.1

LỜI GIẢI
Gọi S là diện tích mặt pít tông; L 1, L2 là chiều dài của lò xo, p 0 là áp
suất của khí quyển; F1, F2 là lực đàn hồi tương ứng của lò xo.
Ở trạng thái ban đầu:
p1 = p0 +

F1
= 1,2 p0 ; V1 = S.L1 ; T1 = 300K.
S

Hình 4.2


Ở trạng thái cuối:

p 2 = p0 +

F2
S

; V2 = S.L2 ; T2 = 396K .

Vì khối lượng khí không đổi nên ta có:

p1V1 p2V2
=

T1
T2

.

Thay số vào ta được p2 = 1,1p1 = 1,32p0 .
Vì áp suất do lực đàn hồi sinh ra cân bằng với độ chênh áp suất trong bình khí nên :
và

k .∆L2
= p2 − p0 = 0,32 p0
S

k .∆L1
= p1 − p0 = 0,2p0
S

(1)

(2).

Từ (1) và (2) ta được ∆L2 = 1,6 ∆L1 → L2 – L0 = 1,6( L1 – L0) .
Vậy độ dài tự nhiên của lò xo là : L0 = 20cm.
BÀI 5
Một xi-lanh thẳng đứng có tiết diện ngang S chứa 1 mol khí lí tưởng đơn nguyên tử phía
dưới một pit-tông nặng có khối lượng M. Có một máy truyền nhiệt được đặt ở phía dưới pittông, có thể truyền cho khí một nhiệt lượng q trong mỗi giây. Tại thời điểm ban đầu máy được
bật lên.
Hãy xác định vận tốc ổn định của pit-tông trong điều kiện áp suất của khí bên dưới pittông không đổi và bằng p 0 và khí cách nhiệt hoàn toàn với môi trường bên ngoài.
LỜI GIẢI
Áp dụng nguyên lí I nhiệt động lực học ta có ∆U = A + Q

Độ biến thiên nội năng của 1 mol khí lí tưởng đơn nguyên tử là ∆U

=

3
R∆T
2

A = − p∆V = − pS ∆x , trong đó ∆x là độ dịch chuyển của pit-tông
Mg
Áp suất của khí trong pit-tông là p = p0 +
S
Từ phương trình trạng thái của khí lí tưởng ta có: pV = RT . Vì áp suất không đổi, nên ta nếu lấy vi phân hai vế
phương trình trên ta được: p∆V = R∆T
Thay biểu thức của A và ∆U vào biểu thức của nguyên lí I nhiệt động lực học ta có:
3
5
Q = R∆T + pS ∆x = pS ∆x
2
2
Q
=
q
.
∆
t
Ta có
( trong đó ∆t là khoảng thời gian truyền nhiệt, và trong khoảng thời gian này pit-tông dịch
chuyển lên trên một đoạn ∆x )
Vậy ta có: ∆x = v.∆t

∆x
Hay: Q = q.
v
q 5
Mg 
=  po +
Thay vào phương trình trên ta được:
÷S
v 2
S 
2
q
Vậy vận tốc của pit-tông dịch chuyển là: v =
5 po S + Mg
Và công sinh ra bởi khí là

BÀI 6
Một pít tông có trọng lượng đáng kể ở vị trí cân bằng trong một bình hình trụ kín( hình 6). Phía trên và dưới
pít tông có cùng một loại khí, khối lượng và nhiệt độ của khí ở trên và dưới pít tông như nhau. Ở nhiệt độ T thể tích
khí ở trên gấp 3 lần thể tích khí ở phần dưới. Nếu tăng nhiệt độ lên 2T thì tỉ số 2 thể tích ấy là bao nhiêu ?


LỜI GIẢI
Khi pít tông cân bằng ta có : p1 + p = p2
(1)
với p1, p2 là áp suất của khí ở trên và dưới pít tông, p là áp suất do pít tông gây ra. Vì
khối lượng và nhiệt độ của khí ở trên và dưới pít tông như nhau, ta có :
p1.3V0 = p2.V0 → 3p1 = p2
(2).
Từ (1), (2) ta thấy : p = p2 – p1 = 2p1.

Gọi áp suất của khí ở trên và dưới pít tông khi nhiệt độ tăng lên 2T là p 3 và p4, ta vẫn có :
khi pít tông cân bằng thì p4 = p3 + 2p1, khi đó thể tích khí ở ngăn trên là V 1, thể tích khí ở ngăn
dưới là V2 . Áp dụng phương trình trạng thái cho khí ở ngăn trên và dưới, ta được :

p1.3V0 p3 .V1 ( p3 + 2 p1 ).V2
6pV
6 p1V0
=
=
→ V1 = 1 0 ;V2 =
T
2T
2T
p3
p3 + 2 p1
Mà V1 + V2 = 4V0

 1

1
2
→ 6 p1V0  +
÷ = 4V0 → p3 − p1. p3 − 3 p1 = 0
 p3 p3 + 2 p1 

Giải phương trình trên ta được :

(

)

1
p1 + 13 p1 ≈ 2,3 p1 ( loại nghiệm âm).
2
V1 p3 + 2 p1
=
≈ 1,87 .
Như vậy :
V2
p3
p3 =

BÀI 7
Một khối lượng khí lí tưởng được giam trong 1 xi-lanh kín 2
đầu, dùng 1 pít tông chia khối khí trong xi-lanh thành 2 phần có thể
tích và nhiệt độ đều bằng nhau (hình 7.1).Bình khí và pít tông không
dẫn nhiệt, giữa chúng không có ma sát. Đốt nóng khối khí trong ngăn
bên phải bằng một dây điện trở, sau một thời gian hệ thống lại trở
về trạng thái cân bằng, khi đó thể tích ngăn bên trái bằng

3
thể
4

Hình 7.1

tích ban đầu và nhiệt độ là T 1 = 300K. Tính nhiệt độ khí trong
ngăn bên phải.
LỜI GIẢI
Ban đầu trạng thái của 2 khối khí hoàn toàn giống nhau

Xét khối lượng khí trong ngăn bên trái:

3
′
pV p 4 V
=
T
T1

(1)
Hình 7.2

Xét khối lượng khí trong ngăn bên phải:

5
′ V
p
pV
= 4
T
T2

(2).

Từ (1) và (2) ta có:

5
T2 = T1 = 500 K .
3

BÀI 8
Một xi-lanh kín hình trụ chiều cao h, tiết diện S =
100cm 2 đặt thẳng đứng. Xi-lanh dược chia làm 2 phần nhờ
một pít tông cách nhiệt, mỏng, khối lượng m = 500g. Khí
trong 2 phần là cùng loại, ở cùng nhiệt độ 27 0 C và có khối
lượng m 1 , m 2 với m 2 = 2m 1 , pít tông cân bằng khi cách đáy
dưới một đoạn h 2 = 0,6h (xem hình vẽ 8.1)
a. Tính áp suất khí trong 2 phần của xi-lanh ?
b. Sau đó người ta mở van để khí trong phần 2 của xilanh thoát ra bớt một lượng ∆m 2 rồi khóa lại. Nung nóng phần
2 của xi-lanh tới nhiệt độ 37 0 C (phần còn lại giữ ở nhiệt độ
không

Hình 8.1

đổi) thì pít tông cách đều 2 đáy xi-lanh. Xác định ∆m 2 theo m 1 . Lấy gia tốc trọng trường g
=10m/s 2 .
LỜI GIẢI
a. Để xác định áp suất của khí ta dựa vào phương trình trạng thái :

m1

RT1 
µ
p1 m1 V2

=
×
 →
m2

p
m
2
2 V1
p2V2 =
RT2 

µ
p1V1 =

( Vì T1 = T2).

Hình 8.2

Mà V1 = 0,4Sh; V2 = 0,6Sh và m2 = 2m1 nên p1 = 0,75.p2
Khi pít tông cân bằng thì

p1 +

mg
= p2 →
S

0,75p2 + 500 = p2

Vậy p2 = 2000Pa và p1 = 1500Pa.
b. Khi pít tông nằm cách đều 2 đáy của xi-lanh thì :

m1


RT1 
µ
p1′ m1 T1
m .T . p′

= , × → m′2 = 1 1 2
 →
m′
p2′ m2 T2′
p1′.T2′
p2′V2′ = 2 RT2′

µ
p1′V1′ =

(1) .

Đối với khối khí ở trên pít tông do nhiệt độ không đổi nên:

p1V1 = p1′.V1′ → p1′ =
p1′ +

p1.V1 1500.0,4Sh
=
= 1200( Pa )
V1′
0,5Sh

mg
= p2′ = 1200 + 500 = 1700( Pa).

S

Thay vào (1) ta được:

m2′ =

85
m1 →
62

∆m2 =

m2 − m2′ = 2m1 −

85
39
m1 = m1
62
62

BÀI 9
Một xi-lanh cách nhiệt được chia làm 2 phần bởi một vách ngăn cố định và dẫn nhiệt (hình
9.1). Phần trên của vách ngăn chứa 1mol khí He ở nhiệt độ T 1 = 420K, dưới vách ngăn chứa
1,5mol khí He ở nhiệt độ T 2 = 400K. Pit tông cách nhiệt có khối lượng M = 100kg và có thể
chuyển động không ma sát dọc theo xi-lanh. Ban đầu pít tông đứng yên nhưng sau đó khi 2
ngăn trao đổi nhiệt thì pít tông dịch chuyển cho tới khi có cân bằng nhiệt trong xi-lanh. Hỏi
nhiệt độ khi có cân bằng nhiệt là bao nhiêu và khi đó pít tông đã dịch chuyển theo chiều nào,
một khoảng bằng bao nhiêu ? Bỏ qua áp suất khí quyển.

LI GI I
Vỡ vỏch ngn c nh v dn nhit m khớ ngn trờn cú nhit
cao hn khớ ngn di nờn khi cú cõn bng nhit thỡ nhit
ca khớ ngn trờn gim i m ỏp sut khớ ngn trờn khụng i
nờn th tớch khớ ngn trờn cng gim i hay núi cỏch khỏc : pớt
tụng i xung.

Hỡnh 9.1
Phn khớ ngn trờn bin i ng ỏp, cũn khớ ngn di
bin i ng tớch. Theo phng trỡnh cõn bng nhit thỡ :
Q t a = Q t h u n 1 .c p .(420 T) = n 2 .c V .( T- 400) (1).
Thay s ta c T = 410,5K.
dch chuyn ca pớt tụng c xỏc nh t phng trỡnh
h =

V
(2) m khớ ngn trờn bin i ng
S
V1 V1 V V1 V
V .T
= =
=
V = 1 1
T1 T T1 T T1
T1
ng

thi

ỏp

Mg n1RT1
MgV1
=
S =
S
V1
n1RT1

sut

khớ



ngn

ỏp nờn :
(3)
trờn

Hỡnh 9.2
l :

p1

=

(4) .

Thay (3), (4) vo (2) ta c

h=

n1R (T1 T )
= 8(cm) .
Mg

Vy pớt tụng i xung 8cm.

Bi 10 . Cho một lợng khí lý tởng đơn nguyên tử thực hiện chu trình
P
ABCDECA biểu diễn trên đồ thị (hình 4). Cho biết PA=PB=105Pa, PC=3.105Pa,
E
D
PE
PE =PD=4.105Pa, TA=TE =300K, VA=20lít, VB=VC=VD=10lít, AB, BC, CD, DE,
EC, CA là các đoạn thẳng.
PC
C
a) Tính các thông số TB, TD, VE.
PA
A
b) Tính tổng nhiệt lợng mà khí nhận đợc trong tất cả các giai đoạn của
B
V
O
chu trình mà nhiệt độ của khí tăng.
V
VE

VC
A
3
Hình
4
Cho ni nng ca n mol khớ lý tng n nguyờn t c tớnh : U = nR (T T0 )
2
a) áp dụng phơng trình trạng thái PAVA=nRTAnR=20/3
TB=PBVB/nR=150K, TD=PDVD/nR=600K. VE=nRTE/PE=5 lít.
b) Khí nhận nhiệt trong quá trình đẳng tích BD và một giai đoạn trong quá trình biến đổi ECA:
3
3 20
Q1=QBD=n. R (TD TB ) = . (600 150) = 4500 J
2
2 3
3
2
(V + 5V ) (2) (T đo bằng 100K)
P=V/5+5 (1) (V đo bằng lít, P đo bằng 105Pa) T=PV/nR =
20
5
T=Tmax=468,75K, khi Vm=12,5 lít, T tăng khi 12,5 lít V5, Vm ứng với điểm F trên đoạn CA.
Xét nhiệt lợng nhận đợc Q trong quá trình thể tích tăng từ V đến V+V (trên đoạn EF)
3
Q = n. RT + P.V . Từ (1), (2) ta tìm đợc: Q=(-4V/5+12,5)V. Dễ dàng nhận thấy trong giai đoạn
2
ECF luôn có Q>0
3
Trong giai đoạn này, nhiệt lợng nhận đợc là: Q2=U+A, với U=n. R (Tmax TE ) = 1687,5 J
2

A lµ diÖn tÝch h×nh thang EFVmVE=2437,5J→Q2=1687,5+2437,5=4125J
Tæng nhiÖt lîng khÝ nhËn ®îc lµ: Q=Q1+Q2=8625J
Bài 11: Một xylanh cách nhiệt kín hai đầu đặt nằm ngang, bên trong có pittông. Bên trái pittông chứa một
mol khí hyđrô, bên phải là chân không, lò xo một đầu gắn với pittông, đầu kia gắn
vào thành của xylanh như hình vẽ. Lúc đầu giữ pitông để lò xo không biến dạng, khí
hyđrô có thể tích V1, áp suất p1, nhiệt độ T1. Thả pittông nó chuyển động tự do và sau
đó dừng lại, lúc này thể tích của hyđrô là V 2 =2V1. Xác định T2 và p2 lúc này. Bỏ qua
nhiệt dung riêng của xylanh và pittông.
1
- Do xylanh cách nhiệt : Q=0 nên ∆ U = A = - kx2 (1) ……………
2
Trong đó ∆ U =5/2 R (T2 -T1) (2) ……………………….........................
- Lò xo bị nén một đoạn x : Các lực tác dụng lên pitông :
- lực đàn hồi F1= Kx
- Áp lực của khí trong xy lanh tác dụng lên pittông : F2 =P2 .S
- Phương trình trạng thái cho một mol khí hydrô:
P2V2 =R.T2 và V2=2V1 =2S.x …………………………………
R
- Suy ra F2 = T 2 …………………………………………………….
2x
R.T2
1
R.T2
Pittông đứng yên :F1=F2 ⇔ kx =
hay kx2 =
(3) ….
2x
2

4
10
- Thay (2) ,(3) vào (1) được : T2 = T1
………………………
11
- Phương trình cho 2 trạng thái : P1 .V1 =R.T1 và P2.V2 =P2.2V1=RT2
5
Suy ra : P2 = P1
11
Bài 12 : Một mol khí lí tưởng thực hiện quá trình giãn nở từ trạng thái 1
(P0, V0) đến trạng thái 2 (P 0/2, 2V0) có đồ thị trên hệ toạ độ P-V như hình
vẽ. Biểu diễn quá trình ấy trên hệ toạ độ P-T và xác định nhiệt độ cực đại
của khối khí trong quá trình đó.
.
- Vì đồ thị trên P-V là đoạn thẳng nên ta có: P = αV + β (*); trong đó α và
β là các hệ số phải tìm.
- Khi V = V0 thì P = P0 nên: P0 = αV0 + β
(1)
- Khi V = 2V0 thì P = P0/2 nên: P0 /2 = 2αV0 + β (2)
- Từ (1) và (2) ta có: α = - P0 / 2V0 ; β = 3P0 / 2
3P0
P
- 0 V
- Thay vào (*) ta có phương trình đoạn thẳng đó : P =
(**)
2
2V0
- Mặt khác, phương trình trạng thái của 1 mol khí : PV = RT
(***)
3V0

2V0 2
PP
- Từ (**) và (***) ta có : T =
R
RP0

P
P0

2

P0 / 2

- T là hàm bậc 2 của P nên đồ thị trên T-P là một phần parabol
+ khi P = P0 và P = P0/2 thì T = T1 =T2 =

1

P0 V0
;
R

+ khi T = 0 thì P = 0 và P = 3P0/2 .
3V0 4V0
′ = 0 ⇔ P = 3P0 ;
P ⇒ T(P)
R
RP0
4
3P

9V P
cho nên khi P = 0 thì nhiệt độ chất khí là T = Tmax = 0 0
4
8R

′ =
- Ta có : T(P)

- Đồ thị biểu diễn quá trình đó trên hệ toạ độ T-P là một trong hai đồ thị dưới đây :

V
V0

2V

0


T
9 V 0 P0 / 8 R
V 0 P0 / R

2

1

P
0

P0 / 2

3 P0 / 4

P0

3 P0 / 2

Bài 13: Cho 11,2lít khí O2 ở điều kiện tiêu chuẩn.
1) Xác định mật độ phân tử, khối lượng riêng của khí trên ở 270C, áp p
suất 1,2atm?
p2
2) Cho lượng khí trên thực hiện một chu trình biến đổi
trạng thái được mô tả bởi hình sau. Trong đó trạng thái (1)
có nhiệt độ t1 =-230C, trạng thái (2) và (4) cùng nằm trên
p1
đường đẳng nhiệt t, trạng thái (3) có nhiệt độ t3 = 870C.
Tính công chất khí thực hiện trong mỗi quá trình và nhiệt lượng mà khí
O
trao đổi với bên ngoài trong cả chu trình?
Giải
1) Áp dụng phương trình Clapêrôn – Menđêlêép pV = ν RT , ν = 0,5mol,
atm.lit/mol.K
=> Mật độ phân tử khí:

(2)

(1)

(3)

(4)

V1

t

V3

R = 0,082

N pN A
=
= ... = 0,294.1023 (hạt/lít) = 2,94.1025hạt/m3
V
RT
m pM
=
= ... = 1,56 g/lít =1,56kg/m3
=> Khối lượng riêng: ρ =
V RT
n=

2)

p1 p2
=
(1), A’12 = 0J
T1 T2
p2 p1
=

+ Quá trình 3,4: đẳng tích V3 =>
(2), A’34 = 0J
T3 T4
+ Quá trình 1,2: đẳng tích V1 =>

+ Quá trình 2,3 Đẳng áp p2 => A’23 = p2(V3 – V2) = νR(T3 – T2)
+ Quá trình 4,1 Đẳng áp p1 => A’41 = p1(V1 – V4) = νR(T1 – T4)
Từ (1) và (2) =>

p1 T1 T4
= = => T2.T4 = T2 = T1.T3
p2 T2 T3
=> T = T2 = T4 =

TT
= 250.360 = 300 K
1 3

=> A’23 = νR(T3 – T2) = 0,5. 8,31.(360 - 300) = 249,3J
=> A’41 = νR(T1 – T4) = 0,5. 8,31.(250 – 300) = -207,75J
Áp dụng nguyên lí I cho chu trình: ∆U = Q + A = Q – A’ = 0
=> Nhiệt khí nhận: Q = A’ = A’12+ A’23+ A’34+ A’41 = 41,55J
Bài 14: Một mol chất khí lý tưởng thực hiện chu trình ABCA trên giản đồ p-V
gồm các quá trình đẳng áp AB, đẳng tích BC và quá trình CA có áp suất p biến
đổi theo hàm bậc nhất của thể tích V (hình 2).
p(atm)
a. Với số liệu cho trên giản đồ, hãy xác định các thông số (p,V,T) còn 3
lại của các trạng thái A, B, C;
C
b. Biểu diễn chu trình ABCA trên giản đồ V-T.

Giải
1 B

O

A

V(l)
25,6
102,4
Hình 2

V


p B VB p o Vo
1.25,6
=
TB =
273 = 312K
TB
To
1.22,4

a/ p dng phng trỡnh trng thỏi:

3 pC
25,6
=
pC = 2,25atm

3
102,4
102,4 VA 1
1024
= VA =
68,3
Cng t hỡnh v:
102,4
3
15
p B pC
p
=
TC = C TB = 702K
p dng nh lut Sỏc-l [B C]:
TB TC
pB
VA VC
V
=
TA = A TB = 832K
p dng nh lut Gay-luy-sac [A B]:
TA TC
VB
b. AB l ng thng i qua gc to
V
BC l ng thng song song vi OT

T hỡnh v:

CNA l parabol:
nh N ca parabol c xỏc nh:
T th ca bi ra: quỏ trỡnh (3) (1)
c biu din theo phng trỡnh
p
p
p V
p = p M M V pV = M (VM V).V M M
VM
VM
4
du bng khi V = VM/2 (vi pM = 3atm, VM = 102,4l)
ỏp dng phng trỡnh trng thỏi
pV = RT => Tmax = 936K => TM = 936K.

A

51,2
25,6

N
B

C

T
O

312

624

936

P
Bi 15.
1
2
Cú 1g khớ Heli (coi l khớ lý tng, khi lng mol M=4g/mol) thc 2P
0
hin mt chu trỡnh 1 - 2 - 3 - 4 - 1 c biu din trờn gin P-T nh
hỡnh 3. Cho P0 = 105Pa; T0 = 300K.
1. Tỡm th tớch ca khớ trng thỏi 4.
P0
3
4
2. Hóy núi rừ chu trỡnh ny gm cỏc ng quỏ trỡnh no. V li chu
trỡnh ny trờn gin P-V v trờn gin V-T (cn ghi rừ giỏ tr bng s
v chiu bin i ca chu trỡnh).
0
T0
2T0
Quá trình 1 4 có P tỷ lệ thuận với T nên là quá trình đẳng tích, vậy thể
Hỡnh 3
tích ở trạng thái 1 và 4 là bằng nhau: V1 = V4. Sử dụng phơng trình C-M ở
trạng thái 1 ta có:

P1 V1 =

m RT1

m
RT1 , suy ra: V1 =
à P1
à

.. .
Thay số: m = 1g; à = 4g/mol; R = 8,31 J/(mol.K); T1
= 300K và P1 = 2.105 Pa ta đợc:

V1 =

1 8,31.300
= 3,12.10 3 m 3
5
4 2.10

Từ hình vẽ ta

xác định đợc chu trình này gồm các đẳng quá trình
sau:
1 2 là đẳng áp; 2 3 là đẳng nhiệt;
3 4 là đẳng áp; 4 1 là đẳng tích.

Vì thế có thể vẽ lại chu trình này trên giản đồ P-V
p
(hình a) và trên giản đồ V-T (hình b) nh sau:
1
Bi 16: Mt mol khớ lớ tng lng nguyờn t thc hin mt chu trỡnh thun nghch
c biu 2din trờn
p1

hỡnh v. Bit cụng m khớ thc hin trong quỏ trỡnh 1-2 gp n ln cụng m ngoi lc thc hin nộn khớ
trong quỏ trinh on nhit 3-1 v hiu sut ca chu trỡnh l H =25%.
a) Tớnh giỏ tr ca n
3
p
2

O

V1

V2 V

T


b) Giả sử khối khí lưỡng nguyên tử trên thực hiện một
quá trình thuận nghịch nào đó được biểu diễn trong
mặt phẳng pV bằng một đoạn thẳng có đường kéo
dài qua gốc tọa độ. Tính nhiệt dung của khối khí
trong quá trình đó.
Công mà khí thực hiện được trong quá trình đẳng áp 1-2:
A12 = p1(V2 – V1)=R(T2 –T1)
Công trong quá trình đẳng tích: A23 = 0
Theo đề bài công trong quá trình đoạn nhiệt 3-1: A31 = - A12/n
Công thực hiện trong toàn chu trình:
A = A12 + A23 + A31 = (1 – 1/n) A12 = (1 – 1/n)R(T2 –T1).
Ta lại có Q31 = 0 (quá trình đoạn nhiệt).
Trong quá trình đẳng tích 2-3:
Q23 = A23 + ∆U23 = ∆U23 = CV(T3 –T2) < 0 vì T3 < T2.

Như vậy khí chỉ nhận nhiệt trong quá trình 1-2:
Q = Q12 = A12 + ∆U12 = (CV + R)(T2 –T1)
Hiệu suất của chu trình:
1
(1 − ) R
H = A/Q =
n = 2(n − 1)
CV + R
7n
Thay số ta có: n = 8
p
b. Phương trình đoạn thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng: = const (1)
V
Phương trình trạng thái: pV = RT
(2)
5
Xét quá trình nguyên tố: dQ = dA + dU = pdV + RdT
(3)
2
1
Từ (1) và (2): pdV – Vdp = 0; pdV +Vdp = RdT → pdV = RdT
2
1
5
Thay kết quả này vào (3): dQ =
RdT + RdT = 3RdT
2
2
dQ
= 3R

Suy ra nhiệt dung: C =
dT
Bài 17: : Mộ khối khí lí tưởng đơn nguyên tử thực hiện quá trình biến đổi như hình vẽ. AB là một
đoạn thẳng. P1 = 4.105 Pa, P2 = 105 Pa = 1 atm, Tại A và B khối khí có nhiệt độ là T1 = T2 = 300K và
thể tích V1 = 5 lít.
a. Tính thể tích V2 và công mà khối khí thực hiện được trong quá trình trên.
P
b. Xác định nhiệt độ lớn nhất mà khối khí đạt được trong quá trình biến đổi.
P1
A
p1V1
= 20 (l )
.a. Thể tích của khối khí ở trạng thái 2: V2 =
(0,25 đ)
p2
Công khối khí thực hiện.

(0,25 đ)
b. Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B
(p – p1)(V2 – V1) + (V – V1)(p2 – p1) = 0
V
p = 5 − (atm)
(V đo bằng lít,)
5
Nhiệt độ của khối khí trong quá trình biến đổi
T=

P2

1

A = ( p1 + p2 )(V2 − V1 ) = 2250 ( J )
2

0

(0,25 đ)

pV
T
V2
V2
= 1 (5V − ) = 15(5V − ) (K) (V đo bằng lít)
nR p1V1
5
5

(0,25 đ)

B
V

V1

V2


Tmax = 468,75 K

Đạt khi V = 12,5 lít

(0,25 đ)

Bài 18: Một khối khí lí tưởng với chỉ số đoạn nhiệt γ (γ =Cp/CV) thực hiện
chu trình thuận nghịch gồm các quá trình đoạn nhiệt, đẳng áp và đẳng
tích như Hình 1. Tính hiệu suất của chu trình. Biết trong quá trình biến
đổi đoạn nhiệt thể tích của chất khí giảm đi n lần.
Trong chu trình:
- Nhiệt lượng khí nhận được:
Q1 = Cp(T3 – T2) ……………………………
Nhiệt lượng mà khí tỏa ra:
Q2 = Cv(T3 – T1) …………………………….
Hiệu suất của chu trình
Q − Q2
Q
H= 1
= 1− 2
Q1
Q1
T
1− 1
C (T − T )
T3
1
H = 1− v 3 1 = 1−
…………………………..
Cp (T3 − T2 )
γ 1 − T2
T3
Ta có
V2 V3 V1

γ −1
γ −1
=
=
, T1V1 = T2 V2 và theo đề V1 = V3 = nV2
T2 T3 T3
Thay vào biểu thức của H được
1
1− γ
1
n ……………………………
H = 1−
γ 1− 1
n
Bài 19: Một cột không khí chứa trong một ống nhỏ, dài, tiết
diện đều. Cột không khí được ngăn cách với khí quyển bên
ngoài bởi cột thuỷ ngân có chiều dài d = 150 mm. Áp suất khí
p0
quyển là p0 = 750 mmHg. Chiều dài của cột không khí khi ống
nằm ngang là l0 = 144 mm. Hãy tìm chiều dài của cột không khí
d
l0
khi ống:
a. Ống thẳng đứng, miệng ống ở trên.
b. Ống đặt nghiêng góc α = 300 so với phương ngang,
miệng ống ở dưới.
Coi nhiệt độ của khí là không đổi và bỏ qua mọi ma sát.
a. - Ban đầu khi ống nằm ngang.
Áp suất và thể tích của khối khí bị nhốt trong ống lần lượt là:
p1 = p0 = 750 mmHg; V1 = l0.S với S là tiết diện của ống.

- Khi ống dựng thẳng đứng và miệng ống ở trên.
Áp suất của khối khí được tính dựa vào áp suất ở đáy cột thủy ngân:
p2 = p0 + d = 750 + 150 = 900 mmHg.
Thể tích là: V2 = l2.S.
- Quá trình là đẳng nhiệt nên ta có:
p1.V1 = p2.V2
p1l0
à l2 =
= 120 mm.
p2
b. Tương tự khi ống đặt nghiêng góc α = 300 so với phương ngang và miệng ống ở dưới thì áp suất mới của
khí cũng được xác định dựa vào áp suất của đáy cột thủy ngân:
p3 = p0 - d.sin α = 675 mmHg, thể tích là V3 = l3.S.
Dùng định luật B – M tương tự ta có:
p1l0
p1.V1 = p3.V3 à l3 =
= 160 mm.
p3



Bồi dưỡng học sinh giỏi phần nhiệt học