Chuyen de ham so

Chuyên đề hàm số

Luyện thi đại học

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Vấn đề 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
16
3x
y = x 4 − 2 x3 + 2 x + 1
y = 16 x + 2 x 2 − x 3 − x 4
y= 2
3
x +1
x−2
y=
4
2
y = x + 8x + 5
x+2
y = x2 + 2x + 3
2x
x2 − x + 2
y= 2
y=
x −9
− x2 − 2 x + 3
2− x
y
=
x
x2 − 2x + 3

x +1
y= 2
y=
2
x +1
x +1
x − 8x + 9
y=
x2 − 5x + 3
y = x ( x − 1) ( x > 0)
x−5
y=
1
1
x−2
y
=
−
2
x
+
y= 2
x +1
x − 4x + 3
y = 25 − x 2
2
3 − 2x
2 x + 3x
1
y=

y=
y = x 4 + x3 − x + 5
x+7
2x +1
2
x 2 − 3x + 2
7
y = x2 − 2x + 3
y= 2
y = 9 x 7 − 7 x 6 + x 5 + 12
2x + x −1
6
y = 4 − x2
2
x +1
y = −2 x + 4 x + 1
y=
y = 2x − x2
3 x
Vấn đề 2: Xác định tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến)
I. Cơ sở lý thuyết
1. Cho hàm số y = f ( x) xác định và có đạo hàm trên D
* Hàm số đồng biến trên (a, b) ⊂ D khi f '( x ) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b)
* Hàm số nghịch biến trên (a, b) ⊂ D khi f '( x ) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b)
2. Xét tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c , a ≠ 0
a > 0
2
* ax + bx + c ≥ 0 ⇔ 
∆ ≤ 0
a < 0

2
* ax + bx + c ≤ 0 ⇔ 
∆ ≤ 0
II. Bài tập áp dụng
A – HÀM ĐA THỨC
Cho hàm số y = x 3 − 3( m − 1) x 2 + 3m(m − 2) x + 1 . Tìm m để hàm số
a. Đồng biến trên R
b. Nghịch biến trên R
Lời giải:
y ' = 3x 2 − 6(m − 1) x + 3m(m − 2)
TXĐ: D = R.
a. Hàm số đồng biến trên R khi y ' ≥ 0, ∀x

Phạm Minh Tứ - 0968.469.299
1


Chuyên đề hàm số
a = 3 > 0
⇔
 ∆ ' = 6m + 9 ≤ 0

Luyện thi đại học

3
2
b. Hàm số nghịch biến trên R khi y ' ≤ 0, ∀x
a = 3 < 0
⇔
(vô nghiem)

 ∆ ' = 6m + 9 ≤ 0
Vậy: Khơng có giá trị nào để hàm số nghịch biến trên R
⇔m≤−

Cho hàm số y = x 2 (m − x) − m . Tìm m để hàm số nghịch biến trên R
Lời giải: TXĐ: D = R
y ' = − x 3 + mx 2 − m
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi y ' ≤ 0, ∀x
⇔ − x 3 + mx 2 − m ≤ 0, ∀x
 a = −1 < 0
⇔
2
∆ = m ≤ 0
⇔m=0
Vậy: Với m = 0 thì yêu cầu bài toán được thỏa
Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + (m − 1) x + m + 3 . Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R. y ' = 3x 2 − 4 x + m − 1
Hàm số đồng biến trên R khi y ' ≥ 0, ∀x
⇔ 3 x 2 − 4 x + m − 1 ≥ 0, ∀x
a = 3 > 0
⇔
∆ ' = −3m + 7 ≤ 0
7
⇔m≥
3
7
Vậy: Với m ≥ thì yêu cầu bài toán được thỏa
3
Cho hàm số y = x 2 (m − x) − mx + 6 . Tìm m để hàm số ln nghịch biến

Lời giải:
TXĐ: D = R. y ' = −3 x 2 + 2mx − m
Hàm số nghịch biến trên R khi y ' ≤ 0, ∀x
⇔ −3 x 2 + 2mx − m ≤ 0, ∀x
 a = −3 < 0
⇔
2
∆ = m − 3m ≤ 0
⇔0≤m≤3
Vậy: Với 0 ≤ m ≤ 3 thì điều kiện bài tốn được thỏa
Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3(2m − 1) x + 1 . Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải: TXĐ: D = R
Phạm Minh Tứ - 0968.469.299
2


Chuyên đề hàm số
y ' = 3x 2 − 6mx + 3(2m − 1)
Hàm số đồng biến trên R khi y ' ≥ 0, ∀x
⇔ 3 x 2 − 6mx + 3(2m − 1) ≥ 0, ∀x

Luyện thi đại học

a = 1 > 0
⇔
2
 ∆ ' = m − 2m + 1 ≥ 0
⇔ m =1
Vậy: Với m = 1 thì điều kiện bài tốn được thỏa
1 3

2
Cho hàm số y = − x + (m − 1) x + (m + 3) x + 4 . Tìm m để hàm số luôn luôn giảm
3
y ' = − x 2 + 2( m − 1) x + m + 3
Lời giải: TXĐ: D = R.
Hàm số luôn luôn giảm khi y ' ≤ 0, ∀x
⇔ − x 2 + 2(m − 1) x + m + 3 ≤ 0, ∀x
 a = −1 < 0
⇔
(vô nghiem)
2
∆ ' = m − m + 4 ≤ 0
Vậy: Khơng có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán
Cho hàm số y = x 3 − mx 2 + 3x − 1 . Tìm m để hàm số luôn đồng biến
Lời giải:
TXĐ: D = R
2
y ' = 3x − 2mx + 3
Hàm số đồng biến trên R khi y ' ≥ 0, ∀x
⇔ 3 x 2 − 2mx + 3 ≥ 0, ∀x
a = 3 > 0
⇔
2
∆ ' = m − 9 ≤ 0
⇔ −3 ≤ m ≤ 3
Vậy: Với −3 ≤ m ≤ 3 thì điều kiện bài tốn được thỏa
1 3
2
Cho hàm số y = x − (m − 1) x + 2(m − 1) x − 2 . Tìm m để hàm số luôn tăng trên R
3

Lời giải: TXĐ: D = R
y ' = x 2 − 2(m − 1) x + 2(m − 1)
Hàm số luôn tăng trên R khi y ' ≥ 0, ∀x
⇔ x 2 − 2(m − 1) x + 2(m − 1) ≥ 0, ∀x
a = 1 > 0
⇔
∆ ' = (m − 1)(m − 3) ≤ 0
⇔1≤ m ≤ 3
Vậy: Với 1 ≤ m ≤ 3 thì điều kiện bài tốn được thỏa
1 3 1
3
2
Cho hàm số y = x − (sin m + cos m) x + x sin 2m . Tìm m để hàm số đồng biến trên
3
2
4
R
Lời giải:
TXĐ: D = R
Phạm Minh Tứ - 0968.469.299
3


Chuyên đề hàm số

Luyện thi đại học

3
y ' = x 2 − (sin m + cos m) x + sin 2m
4

Hàm số đồng biến trên R khi y ' ≥ 0, ∀x
3
⇔ x 2 − (sin m + cos m) x + sin 2m ≥ 0, ∀x
4
a = 1 > 0
⇔
∆ = 1 − 2sin m ≤ 0
⇔ 1 − 2sin m ≤ 0
π
π
⇔ − + k 2π ≤ 2m ≤ + k 2π
6
6
π
π
⇔ − + kπ ≤ m ≤ + k π
12
12
Cho hàm số y = x 3 + mx 2 + 2 x + 1 . Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải: TXĐ: D = R
y ' = 3x 2 + 2mx + 2
Hàm số đồng biến trên R khi y ' ≥ 0, ∀x
⇔ 3 x 2 + 2mx + 2 ≥ 0, ∀x
a = 3 > 0
⇔
2
∆ ' = m − 6 ≤ 0
⇔− 6≤m≤ 6
Vậy: Với − 6 ≤ m ≤ 6 thì điều kiện bài tốn được thỏa
Cho hàm số y = mx 3 − (2m − 1) x 2 + (m − 2) x − 2 . Tìm m để hàm số luôn đồng biến

Lời giải:
TXĐ: D =R
y ' = 3mx 2 − 2(2m − 1) x + m − 2
Trường hợp 1:
m = 0 ⇒ y ' = 2 x − 2 ⇒ m = 0 không thỏa yêu càu bài toán
Trường hợp 2: m ≠ 0
Hàm số đồng biến trên R khi y ' ≥ 0, ∀x
a = 3m > 0
⇔
2
∆ ' = (2m − 1) − 3m( m − 2) ≤ 0
m > 0
⇔ 2
 m + 2m + 1 ≤ 0
m > 0
⇔
(vô nghiem)
 m = −1
Vậy: Khơng có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán
Phạm Minh Tứ - 0968.469.299
4


Chuyên đề hàm số

Luyện thi đại học

m −1 3
x + mx 2 + (3m − 2) x luôn đồng biến
3

Lời giải: TXĐ: D = R
y ' = (m − 1) x 2 + 2mx + 3m − 2
Trường hợp 1: m − 1 = 0 ⇔ m = 1 ⇒ y ' = 2 x + 1 ⇒ m = 1 khơng thỏa u cầu bài tốn
Trường hợp 2: m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1
Hàm số luôn đồng biến khi y ' ≥ 0, ∀x
Tìm m để hàm số y =

⇔ (m − 1) x 2 + 2mx + 3m − 2 ≥ 0, ∀x
m − 1 > 0
⇔
2
 ∆ ' = −2 m + 5m − 2 ≤ 0
⇔m≥2
Vậy: Với m ≥ 2 thì yêu cầu bài toán được thỏa
1 3
2
Cho hàm số y = mx + mx − x . Tìm m để hàm số đã cho luôn nghịch biến
3
Lời giải:
TXĐ: D = R
y ' = − mx 2 + 2mx − 1
Trường hợp 1: m = 0 ⇒ y ' = −1 < 0 ⇒ m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m ≠ 0
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi y ' ≤ 0, ∀x
⇔ −mx 2 + 2mx − 1 ≤ 0, ∀x
a = −m < 0
⇔
2
∆ ' = m − m ≤ 0
m > 0

⇔
(vô nghiem)
0 ≤ m ≤ 1
Vậy: Với m = 0 thì yêu cầu bài toán được thỏa
1− m 3
x − 2(2 − m) x 2 + 2(2 − m) x + 5 luôn luôn giảm
Định m để hàm số y =
3
Lời giải
TXĐ: D = R
y ' = (1 − m) x 2 − 4(2 − m) x + 4 − 2m
1
Trường hợp 1: m = 1 ⇒ y ' = −4 x + 2 ≤ 0 ⇔ x ≥ nên m = 1 khơng thỏa u cầu bài tốn
2
Trường hợp 2: m ≠ 1
a = 1 − m < 0
m > 1
⇔
⇔2≤m≤3
Hàm số luôn giảm khi 
2
2 ≤ m ≤ 3
 ∆ ' = 2m − 10m + 12 ≤ 0
Cho hàm số y =

m+2 3
x − (m + 2) x 2 + (m − 8) x + m 2 − 1 . Tìm m để dồ thị hàm số nghịch
3

biến trên R

Lời giải:
TXĐ: D = R
Phạm Minh Tứ - 0968.469.299
5


Chuyên đề hàm số
Luyện thi đại học
2
y ' = (m + 2) x − 2(m + 2) x + m − 8
Trường hợp 1: m + 2 = 0 ⇔ m = −2 ⇒ y ' = −10 ⇒ m = -2 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m ≠ −2
Hàm số nghịch biến trên R khi y ' ≤ 0, ∀x
⇔ (m + 2) x 2 − 2(m + 2) x + m − 8 ≤ 0, ∀x
a = m + 2 < 0
⇔
2
∆ ' = (m + 2) − (m + 2)(m − 8) ≤ 0
⇔ m < −2
KL: Với m < - 2 thì yêu cầu bài toán được thỏa
1 2
3
2
Cho hàm số y = (m − 1) x + (m + 1) x + 3 x + 5 . Tìm m để hàm số đồng biến trên R
3
Lời giải:
TXĐ: D = R
y ' = (m 2 − 1) x 2 + 2(m + 1) x + 3
Trường hợp 1: m 2 − 1 = 0 ⇔ m = ±1
* m = 1 ⇒ y ' = 4 x + 3 ⇒ m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán

* m = −1 ⇒ y ' = 3 > 0 ⇒ m = - 1 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m 2 − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±1
Hàm số đồng biến trên R khi y ' ≥ 0, ∀x
⇔ (m 2 − 1) x 2 + 2(m + 1) x + 3 ≥ 0
m 2 − 1 > 0
⇔
2
∆ = −2m + 2m + 4 ≤ 0
⇔ m < −1 ∨ m > 2
Vậy: Với m ≤ −1 ∨ m > 2 thì bài tốn được thỏa
1
3
2
Cho hàm số y = (m + 3) x − 2 x + mx . Tìm m để hàm số:
3
a. Đồng biến trên R
b. Nghịch biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
y ' = (m + 3) x 2 − 4 x + m
Trường hợp 1: m + 3 = 0 ⇔ m = −3 ⇒ y ' = −4 x − 3 ⇒ m = -3 khơng thỏa u cầu bài tốn
Trường hợp 2: m ≠ −3 .
a. Hàm số luôn đồng biến khi y ' ≥ 0, ∀x
⇔ (m + 3) x 2 − 4 x + m ≥ 0, ∀x
a = m + 3 > 0
⇔
2
∆ = − m − 3m + 4 ≤ 0
⇔ m ≥1
Phạm Minh Tứ - 0968.469.299

6


Chuyên đề hàm số
b. Hàm số luôn nghịch biến khi y ' ≤ 0, ∀x
⇔ (m + 3) x 2 − 4 x + m ≤ 0, ∀x

Luyện thi đại học

a = m + 3 < 0
⇔
2
∆ = − m − 3m + 4 ≤ 0
⇔ m ≤ −4
1 3
1
2
Cho hàm số y = mx − (m − 1) x + 3(m − 2) x + . Xác định giá trị m để hàm số đã cho
3
3
nghịch biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
y ' = mx 2 − 2(m − 1) x + 3(m − 2)
Trường hợp 1: m = 0 ⇒ y ' = 2 x − 6 ⇒ m = 0 khơng thỏa u cầu bài tốn
Trường hợp 2: m ≠ 0
Hàm số nghịch biến trên R khi y ' ≤ 0, ∀x
⇔ mx 2 − 2(m − 1) x + 3(m − 2) ≤ 0, ∀x
a = m < 0
⇔

2
 ∆ = −2 m + 4 m + 1 ≤ 0
⇔m≤

2− 6
2

Cho hàm số y =

1 2
( m + 2m ) x3 + mx 2 + 2 x + 1 . Xác định m để hàm số sau đồng biến trên
3

R
Lời giải:
TXĐ: D = R
2
2
Ta có: y ' = ( m + 2m ) x + 2mx + 2
Xét 2 trường hợp:
m = 0
2
* m + 2m = 0 ⇔ 
 m = −2
+ m = 0 ⇒ y ' ≥ 0, ∀x nên m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
1
+ m = - 2 ⇒ y ' = −4 x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ nên m = -2 không thỏa điều kiện bài toán
2
m ≠ 0
2

* m + 2m ≠ 0 ⇔ 
 m ≠ −2
m 2 + 2m > 0
a > 0
⇔
⇔ m ≤ −4 ∨ m ≥ 0
Hàm số đồng biến trên R khi 
 2
∆
≤
0
−
m
−
4
m
≤
0
y
'



Vậy với m ≤ −4 ∨ m ≥ 0 thì điều kiện bài tốn được thỏa
Cho hàm số y = (m 2 + 5m) x 3 + 6mx 2 + 6 x − 6 . Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Phạm Minh Tứ - 0968.469.299
7


Chuyên đề hàm số

Lời giải
TXĐ: D = R
y ' = 3(m 2 + 5m) x 2 + 12mx + 6
Trường hợp 1: m 2 + 5m = 0 ⇔ m = 0, m = −5
+ m = 0 ⇒ y ' = 6 > 0 ⇒ m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
+ m = −5 ⇒ y ' = −60 x + 6 ⇒ m = - 5 khơng thỏa u cầu bài tốn
Trường hợp 2: m 2 + 5m ≠ 0
Hàm số đồng biến trên R khi y ' ≥ 0, ∀x
⇔ 3(m 2 + 5m) x 2 + 12mx + 6 ≥ 0, ∀x

Luyện thi đại học

2
a = m + 5m > 0
⇔
2
∆ ' = 2m − 10m ≤ 0
⇔0Vậy: Với 0 ≤ m ≤ 5 thì u cầu bài tốn được thỏa

B – HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
Tìm m để hàm số y =

mx − 2
luôn đồng biến
x+ m−3

Lời giải:
TXĐ: D = R \ { 3 − m}
m 2 − 3m + 2

( x + m − 3) 2
Hàm số luôn đồng biến khi y ' ≥ 0, ∀x ≠ 3 − m
⇔ m 2 − 3m + 2 ≥ 0
y'=

⇔ m ≤ 1∨ m ≥ 2
Cho hàm số y =

x 2 + m2 x + m − 2
. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
x +1

của nó
Lời giải:
TXĐ: D = R \ { −1}

x2 + 2 x + m2 − m + 2
( x + 1) 2
Hàm số đồng biến trên tập xác định khi y ' ≥ 0, ∀x ≠ −1
y'=

Phạm Minh Tứ - 0968.469.299
8


Chuyên đề hàm số
⇔ x 2 + 2 x + m 2 + m − 2 ≥ 0, ∀x ≠ −1

Luyện thi đại học

a = 1 > 0

⇔ ∆ = − m2 − m + 3 ≤ 0
( −1) 2 + 2(−1) + m 2 + m − 2 ≠ 0

⇔m<

1 + 13
1 − 13
∨m>
−2
−2

Cho hàm số y =

x
. Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định
x−m

Lời giải:
TXĐ: D = R \ { m}
−m
y'=
( x − m) 2
Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định khi y ' ≥ 0, ∀x ≠ m
⇔ −m ≥ 0
⇔m≤0
mx 2 − ( m + 2) x + m 2 − 2m + 2
. Xác định m để hàm số nghịch biến trên
x −1

từng khoảng xác định của nó
Lời giải:
TXĐ: D = R \ { 1}
Cho hàm số y =

mx 2 + 2mx − m 2 + 3m
( x − 1) 2
Trường hợp 1: m = 0 ⇒ y ' = 0 ⇒ chưa xác định được tính đơn điệu của hàm số nên m=0
khơng thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m ≠ 0
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi y ' ≤ 0, ∀x ≠ 1
⇔ mx 2 + 2mx − m 2 + 3m ≤ 0, ∀x ≠ 1
y'=

a = m < 0

⇔ ∆ ' = m3 − 2m 2 ≤ 0
m12 + 2m.1 − m 2 + 3m ≠ 0

m < 0

⇔ m − 2 ≤ 0
m ≠ 0, m ≠ 6

⇔m<0

Phạm Minh Tứ - 0968.469.299
9

Chuyên đề hàm số
Cho hàm số y =

Luyện thi đại học

(m + 1) x 2 − 2mx − (m3 − m 2 + 2)
. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
x−m

Lời giải:
TXĐ: D = R \ { m}
(m + 1) x 2 − 2( m2 + m) x + m3 + m 2 + 2
( x − m) 2
2
> 0, ∀x ≠ −1 ⇒ m = - 1 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 1: m = −1 ⇒ y ' =
2
( x + 1)
Trường hợp 2: m ≠ −1
Hàm số đồng biến trên R khi y ' ≥ 0, ∀x ≠ m
⇔ (m + 1) x 2 − 2( m2 + m) x + m3 + m 2 + 2 ≥ 0, ∀x ≠ m
y'=

a = m + 1 > 0

⇔  ∆ = −2 m − 2 ≤ 0
( m + 1)m 2 − 2(m 2 + m).m + m3 + m 2 + 2 ≠ 0

 m > −1


⇔ m ≥ −1
2 ≠ 0

⇔ m > −1
C – BÀI TẬP NÂNG CAO
Cơ sở lý thuyết:
Giả sử tồn tại max f ( x)
x∈K

f ( x) < g (m), ∀x ∈ K ⇔ max f ( x) < g (m)
x∈K

f ( x) ≤ g (m), ∀x ∈ K ⇔ max f ( x) ≤ g (m)
x∈K

f ( x)
Giả sử tồn tại min
x∈K
f ( x) > g (m), ∀x ∈ K ⇔ min f ( x ) > g (m)
x∈K

f ( x) ≥ g (m), ∀x ∈ K ⇔ min f ( x) ≥ g (m)
x∈K

1 3
1
2
Định m để hàm số y = mx − (m − 1) x + 3(m − 2) x + đồng biến trong khoảng (2; +∞)
3
3

Lời giải:
TXĐ: D = R
y ' = mx 2 − 2(m − 1) x + 3(m − 2)
Điều kiện bài toán được thỏa khi y ' ≥ 0, ∀x > 2 ⇔ mx 2 − 2(m − 1) x + 3(m − 2) ≥ 0, ∀x > 2
−2 x + 6
⇔m≥ 2
, ∀x > 2
x − 2x + 3
Phạm Minh Tứ - 0968.469.299
10


Chuyên đề hàm số
Xét hàm số g ( x) =

Luyện thi đại học
−2 x + 6
2 x − 12 x + 6
⇒ g '( x) = 2
x − 2x + 3
( x − 2 x + 3) 2
2

2

x = 3 + 6
g '( x) = 0 ⇔ 
 x = 3 − 6
Bảng xét dấu
−∞

x
3− 6
g’(x)
+
0

2
-

-

3+ 6
0

+∞
+

2
3

g(x)

0
− 6
3+ 2 6

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điều kiện bài toán được thỏa khi m ≥

2
3

Cho hàm số y = x3 + 3 x 2 − mx − 4 . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên
khoảng ( −∞;0 )
Lời giải
TXĐ: D = R
y ' = 3x 2 + 6 x − m

Hàm số đồng biến trên ( −∞;0 ) khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ (−∞, 0)
⇔ 3 x 2 + 6 x − m ≥ 0, ∀x ∈ (−∞, 0)
⇔ m ≤ 3 x 2 + 6 x = g ( x), ∀x ∈ (−∞, 0)
⇔ m ≤ min g ( x)
( −∞ ,0)

Ta có: g '( x) = 6 x + 6 = 0 ⇔ x = −1
Vẽ bảng biến thiên ta có m ≤ min g ( x ) = g (−1) = −3
( −∞ ,0)

Kết luận: Với m ≤ −3 thì điều kiện bài tốn được thỏa
Cho hàm số y = − x3 + 3 x 2 + mx − 2 . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên
khoảng ( 0; 2 )
Lời giải
TXĐ: D = R
y ' = −3 x 2 + 6 x + m
Hàm số đồng biến trên (0, 2) khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ (0, 2)
⇔ −3 x 2 + 6 x + m ≥ 0, ∀x ∈ (0, 2)
⇔ m ≥ 3 x 2 − 6 x = g ( x), ∀x ∈ (0, 2)
⇔ m ≥ max g ( x)
(0,2)

Ta có: g '( x) = 6 x − 6 = 0 ⇔ x = 1

Phạm Minh Tứ - 0968.469.299
11


Chuyên đề hàm số

Luyện thi đại học

g ( x) = 0
Vẽ bảng biến thiên ta có m ≥ max
(0,2)

Vậy: m ≥ 0 thì điều kiện bài tốn được thỏa
m 3
1
2
Cho hàm số y = x − ( m − 1) x + 3 ( m − 2 ) x + . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng
3
3
biến trên [ 2; +∞ )
Lời giải
TXĐ: D = R
y ' = mx 2 − 2(m − 1) x + 3(m − 2)
Trường hợp 1: m = 0 ⇒ y ' = 2 x − 6 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 nên khơng thỏa u cầu bài tốn
Trường hợp 2: m ≠ 0
Hàm số đồng biến trên [ 2; +∞ ) khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ [2, +∞)
⇔ y ' = mx 2 − 2(m − 1) x + 3(m − 2) ≥ 0, ∀x ∈ [2, +∞)
6 − 2x
⇔m≥ 2
= g ( x ), ∀x ∈ [2, +∞)

x − 2x + 3
⇔ m ≥ max g ( x)
[2,+∞ )

Ta có: g '( x) =

2 x 2 − 12 x + 6
( x 2 − 2 x + 3) 2

= 0 ⇔ x = 3± 6

Vẽ bảng biến thiên ta được m ≥ max g ( x ) = g (2) =
[2,+∞ )

2
3

1 3
2
Tìm m để hàm số y = − x + (m − 1) x + (m + 3) x − 4 đồng biến trên (0; 3)
3
Lời giải:
TXĐ: D = R
y ' = − x 2 + 2( m − 1) x + m + 3
Hàm số đồng biến trên (0; 3) ⇔ y ' = − x 2 + 2(m − 1) x + m + 3 ≥ 0, ∀x ∈ (0;3)
⇔ m(2 x + 1) ≥ x 2 + 2 x − 3
x2 + 2 x − 3
= g ( x)
(*)
2x +1

2x2 + 2 x + 8
> 0, ∀x ∈ (0;3)
Ta có: g '( x) =
(2 x + 1) 2
⇒ g(x) là hàm số đồng biến trên (0; 3)
12
⇒ g (0) < g ( x) < g (3) ⇔ −3 < g ( x) <
7
12
Vậy điều kiện (*) được thỏa khi m ≥
7
1 3
1
2
Tìm m để hàm số y = mx + (1 − 3m) x + (2m + 1) x + nghịch biến trên [1; 5]
3
3
Lời giải
⇔m≥

Phạm Minh Tứ - 0968.469.299
12


Chuyên đề hàm số
y ' = mx 2 + 2(1 − 3m) x + 2m + 1

Luyện thi đại học

Trường hợp 1: m = 0 ⇒ y ' = 2 x + 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ −

1
nên không thỏa yêu cầu bài toán
2

Trường hợp 2: m ≠ 0
Hàm số nghịch biến trên [1; 5] khi y ' = mx 2 + 2(1 − 3m) x + 2m + 1 ≤ 0, ∀x ∈ [1;5]
2x +1
⇔m≥− 2
= g ( x), ∀x ∈ [1;5]
x − 6x + 2
⇔ m ≥ max g ( x)
[1;5]


−1 + 21
x=

2( x + x − 5)
2
=0⇔
Ta có: g '( x) = 2
2
( x − 6 x + 2)

−1 − 21
x =

2
11

Vẽ bảng biến thiên ta có m ≥ max g ( x ) =
[1;5]
3
2

2
(
)
(
)
Tìm m để y = mx + 6m + 5 x − 2 1 − 3m nghịch biến trên [1, +∞)
x +1

mx 2 + 2mx + 7 ≤ 0 ∀x ≥ 1
Giải: Hàm số nghịch biến trên [1, +∞) ⇔ y ′ =
( x + 1) 2

⇔ mx 2 + 2mx + 7 ≤ 0 ⇔ m ( x 2 + 2 x ) ≤ −7 ∀x ≥ 1 ⇔ u ( x ) =
(
)
⇔ Min u ( x ) ≥ m . Ta có: u ′ ( x ) = 7 22 x + 2 2 > 0 ∀x ≥ 1
x ≥1
( x + 2 x)

−7 ≥ m ∀x ≥ 1
x + 2x
2

u ( x ) = u ( 1) = −7
⇒ u(x) đồng biến trên [1, +∞) ⇒ m ≤ Min

x ≥1
3
2
mx + (1 − m) x + 2m
Tìm m để hàm số y =
đồng biến trên [ 4; +∞ )
2x − 3
Lời giải
2mx 2 − 6mx − 3 − m
y'=
(2 x − 3) 2
2mx 2 − 6mx − 3 − m
4;
+∞
y
'
=
≥ 0, ∀x ∈ [ 4; +∞ )
)
[
Hàm số đồng biến trên
khi
(2 x − 3) 2
⇔ 2mx 2 − 6mx − 3 − m ≥ 0, ∀x ∈ [ 4; +∞ )

3
= g ( x), ∀x ∈ [ 4; +∞ )
2x − 6x −1
⇔ m ≥ max g ( x)
⇔m≥

2

x∈[ 4; +∞ )

Phạm Minh Tứ - 0968.469.299
13


Chuyên đề hàm số
Luyện thi đại học
−6(2 x − 3)
< 0, ∀x ∈ [ 4; +∞ ) ⇒ g(x) là hàm số nghịch biến trên
Ta có: g '( x) =
(2 x 2 − 6 x − 1) 2
[ 4; +∞ ) nên m ≥ x∈m[ 4;ax+∞) g ( x) = f (4) = 3
7
Định m để hàm số y =

−2 x 2 − 3 x + m
nghịch biến trong khoảng
2x +1

 1

 − ; +∞ ÷
 2


Lời giải

 1
TXĐ: D = R \  − 
 2
−4 x 2 − 4 x − 3 − 2m
y'=
(2 x + 1) 2
−4 x 2 − 4 x − 3 − 2m
 1

 1

−
;
+∞
≤ 0, ∀x ∈  − ; +∞ ÷
Hàm số nghịch biến trên 
÷ khi y ' =
2
(2 x + 1)
 2

 2

3
 1

⇔ m ≥ −2 x 2 − 2 x − = g ( x), ∀x ∈  − ; +∞ ÷
2
 2


⇔ m ≥ max g ( x)
 1

 − ; +∞ ÷
 2


 1

Ta có: g '( x) = −4 x − 2 < 0, ∀x ∈  − ; +∞ ÷
 2

 1
g ( x ) = g  − ÷ = −1
Vậy: m ≥ max
1

 2
 − ; +∞ ÷
2




Cho hàm số y =

2 x 2 + mx + 2 − m
(Cm). Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)
x + m −1

Lời giải
TXĐ: D = R \ { 1 − m}
y'=

2 x 2 + 4(m − 1) x + m 2 − 2
( x + m − 1) 2

2 x 2 + 4(m − 1) x + m 2 − 2
≥ 0, ∀x ∈ (0; +∞)
( x + m − 1) 2
⇔ g ( x ) = 2 x 2 + 4(m − 1) x + m 2 − 2 ≥ 0, ∀x ∈ (0; +∞)
Tam thức g(x) có biệt thức ∆ ' = 2(m − 2) 2 . Ta xét các trường hợp:
+ Trường hợp 1: ∆ = 0 ⇔ m = 2 ⇒ y ' ≥ 0, ∀x ≠ −1 ⇒ hàm số đồng biến trên (0; +∞)
Nên m = 2 thỏa yêu cầu bài toán
+ Trường hợp 2: ∆ > 0 ⇔ m ≠ 2
Hàm số đồng biến trên (0; +∞) khi y ' =

Phạm Minh Tứ - 0968.469.299
14


Chuyên đề hàm số
Luyện thi đại học
Với điều kiện trên thì điều kiện bài tốn được thỏa khi phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm
x1, x2 thỏa

m ≠ 0
m ≠ 0
∆ > 0




x1 < x2 < 0 ⇔  S = x1 + x2 > 0 ⇔ 2(1 − m) > 0 ⇔ m < 1
⇔m<− 2
P = x x > 0
 m2 − 2


1 2
m < − 2 ∨ m > 2

>0
 2
Kết luận: với m < − 2 ∨ m = 2 thì u cầu bài tốn được thỏa

Phạm Minh Tứ - 0968.469.299
15