xây dựng chương trình tính toán cơ học tấm vật liệu composite bằng phương pháp phần tử hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG

XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN CƠ HỌC
TẤM VẬT LIỆU COMPOSITE BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN
S

K

C

0

0

3

9
2

5
7

9
4

MÃ SỐ: T2011 - 71

S KC 0 0 3 2 8 6

Tp. Hồ Chí Minh, 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
---------------o0o--------------

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG

XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN
CƠ HỌC TẤM VẬT LIỆU COMPOSITE
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU
HẠN
MÃ SỐ ĐỀ TÀI: T2011-71

CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI: Th.S VƯƠNG THỊ NGỌC HÂN

TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 11 NĂM 2011


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA: XÂY DỰNG VÀ CƠ HỌC ỨNG DỤNG

---------------o0o--------------

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG

XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN
CƠ HỌC TẤM VẬT LIỆU COMPOSITE
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU
HẠN

MÃ SỐ ĐỀ TÀI: T2011-71

CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI: Th.S VƯƠNG THỊ NGỌC HÂN

TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 11 NĂM 2011


DANH MỤC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

1,2,3

Hệ trục chính của lớp vật liệu

x,y,z

Hệ trục chung của tấm vật liệu composite lớp

u,v,w

Các thành phần chuyển vị theo phương x,y,z

u0,v0,w0

Các thành phần chuyển vị theo các phương x,y,z của của mặt trung
bình tấm

ψx, ψy, ψz

Các thành phần chuyển vị góc quanh các trục x,y,z

εx, εy, εz

Các thành phần biến dạng dài theo các phương x,y,z

γx, γy, γz

Các thành phần biến dạng góc

0x , 0y , 0z

Các thành phần biến dạng màng của mặt trung bình tấm

 0x ,  0y ,  0z

Các thành phần biến dạng cắt ngang của mặt trung bình tấm

x ,  y , z

Các thành phần độ cong theo các trục x,y,z

 xy ,  xz ,  y z Các thành phần độ cong trong các mặt phẳng xy,xz,yz
σx, σ y, σz

Các thành phần ứng suất pháp trong hệ tọa độ x,y,z

σxy, σ xz, σyz Các thành phần ứng suất tiếp trong hệ tọa độ x,y,z
σ1, σ 2, σ3

Các thành phần ứng suất pháp trong hệ tọa độ 1,2,3

σ12, σ 13, σ23 Các thành phần ứng suất tiếp trong hệ tọa độ 1,2,3
θ

Góc phương sợi của lớp vật liệu

hk

Tọa độ bề mặt của lớp vật liệu

t

Chiều dày của tấm vật liệu

[C]

Ma trận các hằng số độ cứng của lớp vật liệu trong hệ tọa độ 1,2,3

[C’]

Ma trận các hằng số độ cứng của lớp vật liệu trong hệ tọa độ x,y,z

[Q]

Ma trận độ cứng thu gọn của lớp vật liệu trong hệ tọa độ 1,2,3

[Q’]

Ma trận độ cứng thu gọn của lớp vật liệu trong hệ tọa độ x,y,z
1


ξ,η

Hệ tọa độ quy chiếu

{d}

Véc tơ chuyển vị

{di}

Véc tơ chuyển vị nút

Ni

Hàm nội suy nút

Li,L’i

Ma trận các toán tử

[A],[B]

Ma trận cứng mở rộng

[D]

Ma trận cứng cho uốn.

[Ke]

Ma trận độ cứng tổng thể

{p}

Véc tơ tải phần tử

[J]

Ma trận Jacobien

J 

Định thức ma trận Jacobien

ξi,ηi

Tọa độ các hàm trọng số

wi

Hàm trọng số tại điểm Gauss

PTHH

Phần tử hữu hạn

2


Mục lục

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ......................................................................................................... i
TÓM TẮT .............................................................................................................. ii
MỤC LỤC ............................................................................................................ iv
CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN .................................................................................. 1
1.1. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài .................................................... 1
1.2. Lịch sử phát triển của lý thuyết đàn hồi ..................................................... 3
1.3. Lịch sử phát triển bài toán tấm ................................................................... 4
1.4. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn .................................................................... 5
1.5. Mục đích của luận văn ................................................................................ 6
1.6. Giới hạn của đề tài và các vấn đề cần giải quyết ........................................ 6
CHƢƠNG 2: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI, LÝ THUYẾT TẤM, LÝ THUYẾT LỚP
COMPOSITE ......................................................................................................... 7
2.1. Lý thuyết đàn hồi ........................................................................................ 7
2.2. Lý thuyết tấm ............................................................................................ 10
2.3. Lý thuyết lớp composite ........................................................................... 19
CHƢƠNG 3: CÁC QUAN HỆ CƠ BẢN CỦA VẬT LIỆU COMPOSITE DẠNG

TẤM ..................................................................................................................... 23
3.1 . Lịch sử hình thành vật liệu composite .................................................... 23
3.2. Quan hệ ứng suất và biến dạng trong tấm vật liệu composite ................ 28
CHƢƠNG 4: PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN .................................... 40
4.1. Ma trận độ cứng ........................................................................................ 41
4.2 Quy đổi tải trọng về nút ............................................................................. 48
4.3 Tính trƣờng ứng suất, trƣờng biến dạng trong mỗi phần tử ...................... 49

iv


Mục lục

CHƢƠNG 5: TÍNH TOÁN ỨNG XỬ CƠ HỌC CỦA TẤM VẬT LIỆU
COMPOSITE BẰNG FEM.................................................................................. 51
5.1. Mô hình bài toán ....................................................................................... 51
5.2. Sơ đồ khối tính toán .................................................................................. 54
5.3. Kết quả các bài toán .................................................................................. 55
5.3. Kết luận chƣơng 5 ..................................................................................... 73
CHƢƠNG 6: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ....................................................... 75
6.1. Kết luận ..................................................................................................... 75
6.2. Đề xuất và hƣớng phát triển...................................................................... 76
TÀI LIỆU THAM KHẢO

v


Chương 1: Tổng quan

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN
1.1. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
Sự phát triển của khoa học kỹ thuật là yếu tố quyết định cho sự ra đời của các
thành tựu khoa học. Và những thành tựu này thể hiện rõ trên mọi lĩnh vực nói chung
và trong ngành cơ học nói riêng. Trong đó, sự xuất hiện các loại vật liệu mới với
công nghệ cao đã và đang mang lại nhiều hiệu quả về kinh tế và nâng cao tuổi thọ
làm việc cho các máy móc nói chung và các chi tiết cơ khí nói riêng.
Vật liệu composite là loại vật liệu đã được con người sáng tạo và sử dụng rất
lâu đời. Nhẹ - chắc – bền – không gỉ - chịu được các yếu tố tác động của môi
trường…,đó là những ưu điểm chủ yếu của vật liệu composite. Sự ra đời của vật
liệu composite là cuộc cách mạng về vật liệu nhằm thay thế cho vật liệu truyền
thống và ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong các ngành công nghiệp tiên tiến
trên thế giới: hàng không, vũ trụ, đóng tàu, ô tô, cơ khí, xây dựng dân dụng và được
sử dụng rộng rãi trong đời sống hằng ngày.
Mặc dù composite là loại vật liệu đã có từ lâu đời, nhưng các ngành khoa học
về loại vật liệu này lại hoàn toàn non trẻ. Khoa học vật liệu composite mới được
hình thành gắn với sự xuất hiện đầu tiên của nó trong công nghệ tên lửa ở Mỹ vào
những năm 1950 của thế kỷ XX. Cho đến nay, ngành khoa học này đã phát triển
vượt bậc không chỉ ở Mỹ, Nga mà còn ở các nước công nghiệp phát triển như Anh,
Pháp, Đức, Nhật Bản…
Nhưng vấn đề cần đặt ra là làm thế nào để xác định chính xác vị trí của các vết
nứt và phân tích ứng xử động học của chi tiết, kết cấu tấm composite lớp nhằm dự
báo khả năng làm việc hiện tại của kết cấu để có những giải pháp ngăn ngừa các hư
hỏng có thể xảy ra khi mà vật liệu composite có rất nhiều điểm khác biệt so với vật
liệu kim loại: nhẹ, độ bền riêng và mođun riêng cao, độ cách nhiệt, cách âm tốt và
cũng là loại vật liệu có tính dị hướng rất cao. Hơn nữa, độ bền và tuổi thọ của các
kết cấu composite phụ thuộc vào các vật liệu thành phần, phương pháp gia công, tải

1

Chương 1: Tổng quan

trọng tác dụng, môi trường làm việc và đặc biệt vào cấp độ chính xác của mô hình
tính toán và thiết kế.
Tất cả những điều trên cho thấy cần phải có những mô hình cơ học xác thực,
những phương pháp tính toán hiệu quả, chính xác nhằm phân tích sâu sắc ứng xử cơ
học cũng như độ bền của các kết cấu tấm composite lớp khi chịu tác dụng của tải
trọng và môi trường. Trong những thập niên gần đây, các nhà khoa học không
ngừng nghiên cứu để đưa ra những phương pháp để giải quyết một cách chính xác
các vấn đề về ứng xử cơ học trên vật liệu composite lớp: M.W.Hyer, “Phân tích
ứng suất trong vật liệu Composite cốt sợi” [9], TanS.C, “Sự tập trung ứng suất
trong composite lớp”[45].Lekhnitskii S.G, “Lý thuyết đàn hồi cho vật liệu không
đẳng hướng”[22]. Kollar L.P, Spring G.S, “Cơ học trong kết cấu vật liệu
composite”[15].
Bên cạnh đó, lĩnh vực tính toán số các kết cấu tấm composite lớp hiện nay
rất được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm, trong đó, lý thuyết tấm bậc nhất của
Mindlin được sử dụng rất phổ biến: Timoshenko S đã phát triển lý thuyết tấm kinh
điển cho bài toán tấm nhiều lớp trong Lý Thuyết Tấm Vỏ xuất bản năm 1959.
Reddy, “Cơ học tấm composite lớp, Lý Thuyết và Phân Tích”1997. Panda và
Natarajan đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán cơ học cho tấm
composite dựa trên lý thuyết tấm bậc nhất “Phân tích Phần tử hữu hạn cho tấm
composite lớp”1979. Reissner đã nghiên cứu cơ học tấm composite lớp chịu uốn
khi kể đến biến dạng cắt ngang theo lý thuyết tấm bậc nhất “Ảnh hưởng của biến
dạng cắt ngang khi kéo của tấm đàn hồi” 1845[36,37,38,39,40,41,]. Tuy nhiên,
việc tính toán các ứng xử trên vật liệu composite lớp cũng gặp nhiều khó khăn vì
ứng suất và biến dạng trong tấm composite lớp không những phụ thuộc vào lực tác
dụng mà còn phụ thuộc vào cấu trúc vật liệu đặc trưng hình học và môi trường làm
việc của kết cấu. Thêm vào đó, phân bố ứng suất trong vật liệu composite lớp phức
tạp hơn nhiều so với vật liệu đẳng hướng.

Những nghiên cứu gần đây về lĩnh vực đánh giá các ứng xử cơ học của tấm
vật liệu composite lớp: Wang và Crossman, “Một số kết quả mới của việc ảnh
hưởng biên lên tấm composite lớp đối xứng”. Wang S.S và Choi I, “Ảnh hưởng
2


Chương 1: Tổng quan

biên tự do lên tấm composite lớp”.Pipes R.B, Pagano N.J, “Ứng suất giữa các lớp
trong tấm vật liệu composite dưới tác dụng của tải trong kéo”.Vinson J.R và
Sierakowski R.L , “Ứng xử của các cấu trúc vật liệu Composite…[31,32,49,50]
Trong số các phương pháp mới đang nghiên cứu và vận dụng hiện nay thì việc
ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn (Finite element methods – FEM) đang
mang lại nhiều kết quả thiết thực trong việc giải quyết các vấn đề tính toán cơ học
của vật liệu composite. Trong những năm gần đây, đã có nhiều công trình nghiên
cứu trên thế giới đã đề cập đến phương pháp này. Như: H.Fukugana, N.Hu và
G.Xren đã phân tích tĩnh và động đối với kết cấu composite lớp sử dụng lý thuyết
tấm bậc cao “Mô hình FEM của các kết cấu composite dùng lý thuyết tấm bậc cao.
Jiang và Olson sử dụng phần tử băng thông và phần tử dầm để phân tích động lực
học tấm và vỏ composite lớp. Kolli và Chanddrashekara sử dụng phần tử tứ đẳng
tham số với các hàm nội suy khác nhau cho tấm và dầm để phân tích ứng xử phi
tuyến của tấm composite. Wang S.S và Yuan F.G “Ứng dụng phần tử bậc cao để
phân tích ứng suất trên biên tấm composite lớp”…
Ở Việt nam, các nghiên cứu ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn vào việc
giải quyết các vấn đề cơ học trong tấm vật liệu composite khá nhiều nhưng cách
tiếp cận vẫn còn khá mới mẻ với nhiều người. Như: Ngô Như Khoa “ Mô hình hóa
tính toán vật liệu – kết cấu composite”. Trần Ích Thịnh – Trần Hữu Quốc “ Phân
tích cơ học kết cấu tấm composite lớp có gân gia cường bằng phương pháp phần tử
hữu hạn”. Nguyễn Văn Đạt “ Nghiên cứu kết cấu hợp lý hệ thống bệ máy tàu vỏ
composite trong bài toán chống rung”.Vì vậy, các nhà khoa học trong nước cần

quan tâm và khai thác hai phương pháp này và đây cũng chính là cơ sở hình thành
nên đề tài “Xây dựng chương trình tính toán cơ học tấm vật liệu composite bằng
phương pháp PTHH” với mong muốn đóng góp vào việc xây dựng và phát triển
lĩnh vực nghiên cứu các vấn đề cơ học ứng dụng trên tấm vật liệu composite lớp ở
Việt Nam.
1.2. LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Việc phân tích ứng suất – biến dạng đòi hỏi người phân tích phải nắm vững lý
thuyết về ứng suất, biến dạng và các định luật liên hệ ứng suất với biến dạng. Nói
3


Chương 1: Tổng quan

một cách tổng quát, phương pháp sử dụng thường đưa đến việc đo biến dạng để từ
đó suy ra ứng suất. Những mối tương quan giữa ứng suất và biến dạng đã tạo thành
chủ đề của các lý thuyết về đàn hồi và chảy dẻo.
Lý thuyết đàn hồi bắt nguồn từ cơ học vật liệu. Về mặt lịch sử, nguồn gốc của
cơ học vật liệu bắt đầu từ thế kỷ thứ XVII, vào thời kỳ mà Galileo thực hiện các
cuộc thí nghiệm để tìm hiểu về tác động của việc xếp tải lên thanh và dầm làm bằng
các chất liệu khác nhau. Tuy nhiên, để hiểu được rõ ràng tác động của việc xếp tải,
người ta cần phải mô tả thật chính xác các đặc tính cơ học của vật liệu. Những cách
thức xử lý công việc này đã được cải tiến đáng kể vào đầu thế kỷ thứ XVIII. Vào
lúc đó, những nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm về vấn đề này đã được thực hiện
chủ yếu tại Pháp bởi những người nổi tiếng như Saint – Venant, Poisson, Lame và
Navier. Theo thời gian, sau khi nhiều vấn đề cơ bản của cơ học vật liệu đã được giải
quyết, việc dùng máy điện toán và các giải pháp toán học hiện đại để giải quyết
những vấn đề phức tạp trở nên phổ biến. Kết quả là từ lĩnh vực này này, các nhà
khoa học đã phát triển nó ra thành nhiều lĩnh vực khác về cơ học nâng cao như Lý
thuyết Đàn hồi (Theory of Elasticity) và Lý thuyết Dẻo (Theory of plasticity).
Việc nghiên cứu về các lĩnh vực này vẫn còn đang tiếp tục không chỉ để giải quyết

những yêu cầu kỹ thuật hiện đại mà còn chứng minh cho việc sử dụng các lý thuyết
nâng cao để khắc phục những giới hạn của lý thuyết cơ bản về cơ học vật liệu.
1.3. LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TẤM
Vào những năm đầu thế kỷ 19, các bài toán tấm chịu uốn được giải bằng các
mô hình giải tích, tiêu biểu là công trình của S. Germaine (1776-1831), Lagrange
(1736-1813) và Poisson (1781-1840). Từ những thành tựu này dẫn đến sự ra đời Lý
thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff, trong đó các biến dạng trượt được bỏ qua.
Năm 1828, Poisson hoài nghi về các điều kiện biên và cho rằng cần ba điều kiện
biên trên mỗi biên tự do. Tiếp đến, ông đã xác định chính xác độ cứng chống uốn
vào năm 1829. Tuy nhiên, các điều kiện biên tương thích thì không được triển khai,
cho đến năm 1850 Kirchhoff (1824-1887) mới đề ra. Lời giải chính xác đối với tấm
tròn cũng được ông công bố sau đó. Kirchhoff đưa ra lý do là hai điều kiện biên thì
thích hợp hơn ba và định nghĩa lực cắt tương đương đặc biệt để giảm số lực trên
biên tự do từ ba xuống còn hai. Sau đó vào năm 1883, T. William (1824-1907) và
4


Chương 1: Tổng quan

G.T. Peter (1831-1901) bổ sung biểu thức liên hệ năng lượng của lực cắt tương
đương với sự giải thích rõ ràng về vật lý [1, 4, 38].
Lý thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff là lý thuyết tấm đơn giản nhất được
sử dụng rộng rãi để phân tích tấm. Tính đơn giản thể hiện bằng việc giả thiết rằng,
trước và sau biến dạng pháp tuyến vẫn thẳng và vuông góc với mặt phẳng trung
bình của tấm. Giả thiết này có nghĩa là bỏ qua biến dạng trượt trong tấm, nó chỉ
đúng đối với tấm mỏng còn tấm dày sẽ cho lời giải với sai số lớn.
Năm 1945, E. Reissner công bố lý thuyết tấm chính xác hơn bằng cách kể đến
ảnh hưởng của biến dạng trượt trong tấm đàn hồi chịu uốn. Lý thuyết Reissner
không yêu cầu hệ số hiệu chỉnh cắt bởi vì nó được thành lập bằng cách giả định sự
phân bố ứng suất tiếp theo quy luật Parabol qua chiều dày của tấm. Sau đó vào năm

1951, R.D. Mindlin đưa ra lý thuyết tấm có kể đến ảnh hưởng của quán tính quay và
biến dạng trượt trong dao động uốn của tấm đàn hồi đẳng hướng hoàn toàn tương
thích với lý thuyết của Reissner. Lý thuyết Mindlin cho phép các pháp tuyến chịu
các góc xoay bằng hằng số xoay quanh mặt phẳng trung bình trong suốt quá trình
biến dạng. Tuy nhiên, sự nới lỏng về giả thiết pháp tuyến này vi phạm yêu cầu về
tĩnh học, đó là ứng suất tiếp phải bằng không tại biên tự do của tấm. Để khắc phục
sai sót đó, người ta đưa ra hệ số hiệu chỉnh lực cắt. Lý thuyết tấm có kể đến ảnh
hưởng của biến dạng trượt ngang được gọi là lý thuyết tấm Reissner-Mindlin. Lý
thuyết này đã mở rộng lĩnh vực ứng dụng lý thuyết tấm vào trường hợp tấm dày và
tấm trung bình [1, 18].
1.4. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite element methods) là một phương pháp
số đặc biệt có hiệu quả trong việc giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng,
bằng cách rời rạc hóa các phương trình này theo các không gian nghiên cứu. Thuật
ngữ Phần tử hữu hạn (Finite element) được biết đến với công trình nghiên cứu của
R. W. Clough, 1960. Ông đã đề nghị sử dụng phương pháp này như là một sự lựa
chọn cho phương pháp sai phân hữu hạn đối với lời giải số của bài toán tập trung
ứng suất trong cơ học môi trường liên tục. Sau đó, phương pháp phần tử hữu hạn
tiếp tục pháp triển và hoàn thiện với các công hiến của nhiều nhà khoa học, có thể

5


Chương 1: Tổng quan

kể đến như: O. C Zienkiewicz, R. L. Taylor (1967, 1971, 1977, 1989), G. Strang, G.
Fix (1973), J. N. Reddy (1984, 1993), S. S. Rao (1982, 1989), T. J. T. Hughes
(1979), R. H Gallagher (1975), E. L. Wilson (1971),… Trong cùng thời kỳ, sự phát
triển rất nhanh của ngành công nghệ máy tính, nhiều công trình nghiên cứu lớn đã
được triển khai bằng phân tích phần tử hữu hạn. Từ đó, phương pháp này ngày càng

được sử dụng rộng rãi trong thực tiễn [30,41].
1.4. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI
Sự thay đổi cấu trúc, thành phần để nhận được các vật liệu có tính năng khác
nhau theo như mong muốn là ưu điểm lớn nhất của vật liệu composite. Vì vậy, việc
mô hình hóa và tính toán số vật liệu, kết cấu composite lớp có ý nghĩa cả về lý
thuyết lẫn thực tiễn, thu hút sự quan tâm của nhiều người. Đặc biệt, xác định các
ứng xử cơ học của vật liệu khi chịu lực, còn rất ít tác giả đưa ra phương pháp tính
toán để hỗ trợ cho việc đánh giá tình trạng và khả năng làm việc của chi tiết.
Vì vậy, mục đích chính của đề tài này là nghiên cứu sử dụng phương pháp
phần tử hữu hạn và ứng dụng lý thuyết tấm theo mô hình chuyển vị bậc nhất của
Mindlin để phân tích và đánh giá các ứng xử cơ học của tấm composite lớp cốt sợi
khi chịu lực.
1.5. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI VÀ CÁC VẤN ĐỀ CẦN GIẢI QUYẾT
Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong việc giải quyết các vấn đề về xác
định các ứng xử cơ học trong vật liệu composite còn rất mới mẻ, đồng thời cũng là
những lĩnh vực rộng lớn. Do vậy, giới hạn của đề tài chỉ thực hiện trên các chi tiết
điển hình và trong khuôn khổ cơ học đàn hồi tuyến tính. Với việc giải quyết hai vấn
đề chính
Vấn đề thứ nhất: Xác định các quan hệ cơ bản của vật liệu dị hướng..
Vấn đề thứ hai: Nghiên cứu ứng xử đàn hồi của vật liệu dị hướng để từ đó tìm
ra các ứng xử cơ học trong tấm vật liệu composite bằng phương pháp phần tử hữu
hạn.
Cuối cùng, tác giả sẽ đưa ra các kết luận về kết quả thực hiện, nêu lên các
vấn đề đã giải quyết được, các vấn đề còn tồn đọng, chưa được giải quyết và đề xuất
hướng phát triển của đề tài.
6


Chương 2: Lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tấm, lý thuyết lớp composite

CHƢƠNG 2:

LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI, LÝ THUYẾT TẤM
LÝ THUYẾT LỚP COMPOSITE
2.1. LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Lý thuyết đàn hồi bắt nguồn từ cơ học vật liệu. Về mặt lịch sử, nguồn gốc
của cơ học vật liệu khởi sự vào thế kỷ 17, lý thuyết đàn hồi được trình bày chi tiết
trong sách “Theory of Elasticity” của S. Timoshenko and J.N. Goodier[40,41].
Trong giới hạn phạm vi của đề tài, tác giả chỉ tóm tắt về lý thuyết biến dạng
đàn hồi trong trường hợp kết cấu ở trạng thái ứng suất phẳng và lý thuyết tấm làm
cơ sở để giải quyết các vấn đề được đưa ra ở chương 1.
2.1.1 Lý thuyết đàn hồi cho bài toán ứng suất phẳng
Một cách tổng quát, ứng suất và biến dạng trên các vật thể bao gồm 6 thành
phần, Hình 2.1[11,40].
Đối với ứng suất:  x ,  y ,  z ,  xy ,  yz ,  xz tương ứng với ứng suất pháp theo
phương x, y, z và ứng suất tiếp theo phương z, x, y.
Đối với biến dạng:  x ,  x ,  x ,  xy ,  yz ,  xz tương ứng với biến dạng pháp căng
theo phương x, y, z và trượt căng theo phương z, x, y.

Hình 2.1: Các thành phần ứng suất và biến dạng

Dưới những điều kiện cho trước, trạng thái ứng suất và biến dạng có thể
được đơn giản hóa. Vì vậy, phân tích vật thể 3D có thể được đưa về thành phân tích
2D[11].
7


Chương 2: Lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tấm, lý thuyết lớp composite

Với các vật thể mỏng, kích thước theo phương z rất nhỏ so với hai phương

còn lại, chịu tác dụng của các lực trong mặt phẳng Oxy, Hình 2.7,

Hình 2.2: Mô Hình bài toán ứng suất phẳng

Người ta có thể chấp nhận giả thiết rằng:

 z   xz   yz  0

(2.1)

và biến dạng theo phương z là tự do nên (  z  0 ). Khi đó, người ta nói kết cấu làm
việc trong trạng thái ứng suất phẳng.
a. Quan hệ ứng suất - biến dạng – nhiệt độ
Đối với vật liệu đẳng hướng và đàn hồi, chúng ta có[11]:
 x   1 / E
  
 y     / E
   0
 xy  

 / E
0   x   x 0 
  

1/ E
0 . y    y 0 

0
1 / G   xy   xy0 
  



(2.2)

Viết dưới dạng ma trận,

   []1   0 

(2.3)

Trong đó,  0  là vector biến dạng ban đầu; [] là ma trận hệ số đàn hồi (hay
ma trận ứng xử); E là module đàn hồi;  là hệ số possion; G là module trượt. Với
G

E
2(1   )

(2.4)

Chúng ta cũng có thể biểu diễn các thành phần ứng suất theo các số hạng
biến dạng bằng cách giải phương trình (2.2), ta được:

8


Chương 2: Lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tấm, lý thuyết lớp composite
 x 
 
E
 y  

2
  1  
 xy 

0
1 
   x   x 0  
 1
.      
0

   y   y0 
 0 0 (1   ) / 2   xy   xy0  

  

(2.3)

Hay,

   []   0 

(2.4)

Trong đó,  0   [ ] 0  là ứng suất ban đầu.
Biến dạng ban đầu  0  là do nhiệt độ, được xác định
 x 0  T 

 


 y 0   T 
  0 

 xy0  

(2.5)

Trong đó,  là hệ số giãn nhiệt, T độ thay đổi nhiệt độ.
b. Quan hệ biến dạng – chuyển vị
Với giả thuyết biến dạng bé, chúng ta có:
 
x

u
v
v u
;  y  ;  xy 

x
y
x y

(2.6)

Viết dưới dạng ma trận:

Hay,

 x   / x
0 

  
u 
 / y   
 y    0

   / y  / x  v 


xy
 

(2.7)

   [ D]u

(2.8)

Như vậy, biến dạng là đạo hàm bậc một của chuyển vị.
c. Phương trình cân bằng
Trong lý thuyết đàn hồi, các thành phần ứng suất trong kết cấu phải thỏa mãn
phương trình
  x  xy
 x  y  q x  0


  xy   y  q  0
y
 x
y

(2.9)

9


Chương 2: Lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tấm, lý thuyết lớp composite

Trong đó, q x , q y là các lực khối (như lực trọng trường) trên một đơn vị khối
lượng.
d. Điều kiện biên

Hình 2.3: Biên S của vật thể

Biên S của vật thể có thể được chia thành hai thành phần, Hình 2.3. Thành
phần biên chính Su và thành phần biên tự nhiên St [11]. Khi đó, trên Su ta có
u  u0 , v  v0 và trên St ta có t x  t x 0 , t y  t y 0 , với t x , t y là các lực trên biên theo phương

x, y tương ứng. Trong đó, u0 , v0 , t x 0 , t y 0 là các thành phần biết trước.
2.2. LÝ THUYẾT TẤM
Xét một tấm mỏng chịu uốn dưới tác dụng của các lực vuông góc với mặt
phẳng tấm, hệ tọa độ Oxyz được chọn sao cho mặt phẳng Oxy trùng mới mặt giữa
của tấm, trục z vuông góc với mặt phẳng tấm. Momen uốn, lực cắt và sự phân ứng
suất được mô tả trên, Hình 2.4 [1,9,39]

a)

b)

Hình 2.4: a) Các thành phần lực và Momen trên tấm; b) Sự phân bố ứng suất

10


Chương 2: Lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tấm, lý thuyết lớp composite

z

Qx
Mx

Mxy

y
Qy
M xy 

My
dx

x

Mxy

M xy 

Mx 

M x
dx
x

M xy
x

M xy
y

dy

Qy 

dx

Qx 

My 

M y

dy

y
Q y
y

dy

Q x
dx
x

dy
Hình 2.5: Sơ đồ phần tử tấm chịu uốn

2.2.1. Quan hệ lực - ứng suất
Với giả thuyết tấm mỏng chịu uốn, các thành phần ứng suất  x ,  y , xy  quan
hệ với các thành phần momen uốn M x , M y , M xy như sau:[1,9,38]:
h/2

M x    x zdz ;
h / 2

h/2

M y    y zdz ;
h / 2

h/2

M xy    xy zdz

(2.10)

h / 2

Tương tự, các thành phần lực cắt Q x , Q y được xác định:
h/2

Qx    xzdz ;
h / 2

h/2

Q y    yzdz

(2.11)

h / 2

2.2.2. Lý thuyết tấm mỏng của Kirchhoff
Các giả thiết của Kirchhoff[1,9,13]: Các đoạn thẳng vuông góc với mặt
phẳng trung bình của tấm vẫn còn thẳng và vuông góc với mặt phẳng trung bình khi
chịu uốn và độ dài chúng không đổi. Nghĩa là, chúng không bị biến dạng trượt
ngang,
 xz   yx  0

(2.12)

11


Chương 2: Lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tấm, lý thuyết lớp composite

Các thành phần chuyển vị (u,v) theo phương (x,y) tương ứng tại một điểm bất
kỳ trên tấm được biểu diễn theo độ võng w và các góc xoay  x ,  y của mặt trung gian
của tấm như sau, Hình 2.10:
u  z y   z

w
w

; v  z x   z.
x
y

(2.13)

trong đó w  w(u, v) là hàm độ võng (hàm chuyển vị) theo phương z của mặt phẳng
trung bình của tấm.

Hình 2.6: Quan hệ giữa các góc xoay của mặt phẳng trung bình và đạo hàm độ võng

Biến dạng của một điểm bất kỳ thuộc tấm:
u
2w


z
;
x
x
x 2
u
2w
y 
 z 2 ;
y
y
u u
2w
 xy 


 2 z
y x
xy

 

(2.14)

Với giả thuyết của Kirchhoff, trong trường hợp tấm đàn hồi đẳng hướng, bài
toán chuyển về bài toán ứng suất phẳng:
 x 
 
E
 y  
2
  1  
 xy 

0
1 
  x 
 1
  
0

 y 
 0 0 (1   ) / 2  xy 

(2.15)

Hay,
 x 
 
E
 y    z
1  2
 
 xy 

0
1 
 k x 
 1
 k 
0

 y 

 0 0 (1   ) / 2 
k xy 

(2.16)

12


Chương 2: Lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tấm, lý thuyết lớp composite

Trong đó,

k   k , k , k 

T

x

y

xy

T

2w 2w 2w 
  2 , 2 ,2

xy 
 x y

(2.17)

Hay,
 y
 y  x 
 x
,
,


y

x
y 
 x

k   

(2.18)

là vector độ cong của tấm chịu uốn. E là module đàn hồi,  là hệ số possion,
w  w(u, v) là hàm độ võng.

Đối với bài toán tấm chịu uốn, người ta xem các thành phần nội lực

M  M x , M y , M xy T thay thế cho    x , y , xy T , ta có:
M x 
0
1 
 k x 
E 

 h3
 k 
 1
0
M y  
2

 y 
 M  12 (1   )  0 0 (1   ) / 2 k 


  xy 
 xy 

(2.19)

M   E f k 

(2.20)

Hay,

Phương trình (2.19) hoàn toàn tương tự với phương trình (2.15) nếu bỏ qua
biến dạng ban đầu do nhiệt độ. Đối với tấm chịu uốn đàn hồi đẳng hướng, ma trận
hệ số đàn hồi do uốn của tấm là:
0
1 v

Eh3 

E f   12(1  v 2 ) v 1
0

0 0 (1  v ) / 2

(2.21)

Như vậy, trong trường hợp tấm đẳng hướng, ta có mối quan hệ sau:
 2w
2w 
M x  D 2  v 2 

y 
 x

 2w
2w 
M x  D 2  v 2 
x 
 y
M xy

2w
 D (1  v )
yx

Qx 

M x M xy

;
x
y

(2.22)

Qy 

M xy M y

x
y

(2.23)
13


Chương 2: Lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tấm, lý thuyết lớp composite

Trong đó, D 

Eh 3
là độ cứng chống uốn của tấm.
12 (1  v 2 )

Chúng ta thấy rằng, nghiệm của bài toán tấm đàn hồi đẳng hướng phụ thuộc
vào hàm độ võng w. Hàm độ võng này được xác định từ phương trình vi phân bậc 4
chủ đạo[39]

Trong đó,

D4 w  q( x, y ) ,

(2.24)

 4
4
4 
4   4  2 2 2  4 
x y y 
 x

(2.25)

và, q(x,y) là ngoại lực tác dụng
Như vậy, để giải phương trình đạo hàm riêng bậc 4 ta cần phải có các điều
kiện biên của tấm. Điều kiện biên của tấm được chia làm ba dạng
Ngàm:

w  0,

w
0
n

(2.26)

Tựa đơn:

w  0,

M 0

(2.27)

Tự do:

Q  0,

M 0

(2.28)

Trong đó, n là vector pháp tuyến của biên, Hình 2.11

Hình 2.7: Đường biên và pháp vector n

2.2.3. Lý thuyết tấm của Reissner – Mindlin:
Nếu chiều dày tấm không mỏng, khi đó lý thuyết tấm của Reissner Mindlin[1,9,13,39] được áp dụng. Lý thuyết này tính toán sự thay đổi góc của tiết
diện ngang, hay
 xz  0,

 yz  0

(2.29)
14


Chương 2: Lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tấm, lý thuyết lớp composite

Điều này có nghĩa là các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian vẫn thẳng
trong quá trình biến dạng nhưng không còn vuông góc với mặt phẳng trung gian
nữa. Khi đó, góc xoay tổng cộng của mặt cắt gồm 2 phần: phần thứ nhất, do độ
võng của tấm khi các pháp tuyến vẫn còn vuông góc với mặt phẳng trung gian; phần
thứ hai, do biến dạng trượt trung bình gây ra, Hình 2.7

Hình 2.8: Góc xoay của các pháp tuyến và biến dạng trượt của mặt cắt ngang

Khi đó, các biến dạng trượt trung bình  xz ,  yz đối với mặt cắt x, y tương ứng
được xác định
 
xz

w
 y
x

;

 
yz

w
 x
y

(2.30)

Trong bài toán tấm mỏng, các biến dạng trượt có khuynh hướng tiến về 0 và
khi đó:  x  w / y và   w / x .
y

Quan hệ giữa ứng suất tiếp  xz , yz và biến dạng trượt theo định luật
Hooke[40] như sau:
 xz 
E 1 0  xz 
 

 
 yz  2(1  v ) 0 1  yz 

(2.31)

Biến dạng trượt trung bình  xz ,  yz được xem là không đổi trên suốt bề dày
của tấm nên hợp lực của các ứng suất tiếp này trên mặt cong của tiết diện là các lực
cắt Qx , Q y quan hệ với biến dạng trượt như sau:
Qx 
Eh 1 0  xz 
 

 
Qy  2(1  v ) 0 1  yz 

(2.32)

Hay,
15


Chương 2: Lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tấm, lý thuyết lớp composite

Q  Es  

(2.33)

Trong đó,

E  
s

Eh
2(1  v )

(2.34)

là ma trận hệ số đàn hồi do cắt, E/(2+2v)=G là module đàn hồi trượt,  là hệ số
hiệu chỉnh trượt (shear correction factor)
Các thành phần nội lực (gồm moment uốn M và lực cắt Q trong trường
hợp tấm chịu uốn đàn hồi đẳng hướng có thể biểu diễn theo vector độ cong k và
biến dạng trượt   như sau:

0   k 
M   E f 

 
 
                 
 Q  0T
Es    y

 

(2.35)

So với quan hệ ứng suất – biến dạng,    [] , trong bài toán chịu uốn các
nội lực, độ cong và biến dạng trượt tương ứng có thể xem tương tự như ứng suất và
biến dạng. Do đó, ta có thể viết lại như sau:

 t  []t  t

(2.36)

Trong đó,
Mx 
M 
 y 
 t   M xy  ;
Q 
 x 
 Q y 

0 
 E f 

E t        ;
T
Es  
 0

 kx 
k 
 y 
 t  k xy 
 
 xz 
 yz 

(2.37)

2.2.4 Lý thuyết tấm nhiều lớp kinh điển
Lý thuyết tấm nhiều lớp kinh điển được xây dựng trên cơ sở chuyển vị trong
mặt phẳng tấm (x,y) biến thiên tuyến tính theo chiều dày của tấm và chuyển vị theo

phương z là hằng số:
u(x,y,z) = u0(x,y) – zw0’x
v(x,y,z) = v0(x,y) – zw0’y

(2.38)

w(x,y,z) = w0(x,y)

16


Chương 2: Lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tấm, lý thuyết lớp composite

và các giả thiết của Kirchhoff đã được ứng dụng vào để tính toán cơ học vật liệu
composite lớp dạng tấm mỏng.
Lý thuyết tấm kinh điển cho phép bỏ qua các thành phần biến dạng cắt
ngang: γxz, γyz và εz. Vì thế cũng bỏ qua thành phần ứng suất σxz, σyz và σz. Tuy
nhiên, vật liệu composite cốt sợi có thể bị phá hủy do tách lớp vì các mođun cắt G13
và G23 nhỏ hơn nhiều so với mođun dọc E1. Thông thường các ứng suất σxz, σyz và
σz cũng có giá trị nhỏ hơn nhiều so với các ứng suất σ x, σy và σxy, giới hạn bền của
chúng cũng rất nhỏ so với các giới hạn bền tương ứng với các thành phần ứng suất
khác nhau trong mặt phẳng. Vì vậy, lý thuyết tấm nhiều lớp kinh điển còn nhiều hạn
chế khi tính toán cơ học vật liệu composite.
Tuy vậy, dựa vào lý thuyết tấm nhiều lớp kinh điển, các nhà khoa học đã xây
dựng và thương mại hóa nhiều phần mềm giải tích. Các phần mềm này giúp các nhà
thiết kế, chế tạo vật liệu tính toán được các đặc trưng cơ học của vật liệu, lựa chọn
vật liệu thành phần, dự đoán và tối ưu hóa độ bền của chúng trong một số phương
án chịu lực khác nhau. Có thể kể ra một số phần mềm trên thế giới:
-

PC LAMINATE (USA) cho phép xác định các ma trận độ cứng A, B, D
của vật liệu, các hằng số đàn hồi và dự đoán độ bền của phân tố vật liệu
theo tiêu chuẩn bền Tsai – Wu trong trạng thái ứng suất phẳng.

-

COMPCAL được phát triển bởi trung tâm vật liệu composite của trường
Đại học Delaware USA vào năm 1984. Phần mềm này có thể phân tích
trạng thái ứng suất, biến dạng trong các lớp vật liệu composite trên cơ sớ
lý thuyết tấm kinh điển.

-

GENLAM là chương trình rất mạnh để phân tích ứng suất nhiệt trong vật
liệu composite có cấu hình tùy ý, góc đặt cốt bật kỳ.

-

LAMRANK chuyên về tối ưu phương của cốt và độ dày của vật liệu
composite khi cho trước tải trọng tác dụng.

-

HYBRID (CANADA) có khả năng tính toán ứng suất và biến dạng trong
vật liệu composite lớp chịu kéo (nén), uốn dưới ảnh hưởng nhiệt độ, độ
ẩm. Kết quả được hiển thị bằng đồ thị theo chiều dày tấm vật liệu.

17

Chương 2: Lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tấm, lý thuyết lớp composite

-

Và một số chương trình khác như SUPERLAM, CYLAN, WFM,
MICMA, ASCA, CADFRD, SAMCEF,… với nhiều công dụng khác
nhau.

Qua đây, ta có thể thấy rằng vấn đề tin học hóa trong nghiên cứu cơ học vật
liệu và kết cấu composite ngày càng được nhiều nhà khoa học và các trung tâm
nghiên cứu vật liệu quan tâm và phát triển.
Ở Việt Nam, vì chưa có những phần mềm tính toán cơ học trên nên người
nghiên cứu phải tự xây dựng lấy những chương trình tính toán phù hợp với điều
kiện nghiên cứu hiện có.
2.2.5 Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất
Đã có nhiều lý thuyết tấm có kể đến biến dạng cắt ngang…Trong các lý
thuyết dựa vào chuyển vị, ba thành phần cấu tạo của véc tơ chuyển vị được khai
triển thành chuổi lũy thừa của tọa độ z và các hàm chưa biết phụ thuộc vào tọa độ
(x,y) trong mặt phẳng quy chiếu. Đều này cho phép ta đưa bài toán đàn hồi ba chiều
về bài toán đàn hồi hai chiều.
Ta có thể tìm thấy các lý thuyết tấm được xây dựng trên cơ sở trường chuyển
vị trong các công trình của Basset, Hildebrand, Hencky, Mindlin và nhiều công
trình khác.
Lý thuyết tấm dựa trên cơ sở trường chuyển vị hay được sử dụng nhất là lý
thuyết biến dạng cắt bậc nhất của Mindlin có dạng như sau:
u(x,y,z) = u0(x,y) – zψx(x,y)
v(x,y,z) = v0(x,y) – zψy(x,y)

(2.39)

w(x,y,z) = w0(x,y)
Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất coi các biến dạng cắt ngang (γxz, γyz) là
hằng số trên suốt chiều dày tấm, vì thế nó cần đến các hệ số hiệu chỉnh mođun cắt
ngang (hay còn gọi là hệ số hiệu chỉnh cắt), là các đại lương không thứ nguyên
được đưa vào nhằm hiệu chỉnh sự sai lệch giữa trạng thái hằng số của biến dạng cắt
ngang so với sự phân bố bậc hai hoặc cao hơn của các biến dạng này trong lý thuyết
đàn hồi. Với vật liệu composite lớp, các hệ số hiệu chỉnh cắt ngang phụ thuộc vào
tính chất của lớp vật liệu, cấu hình vật liệu và biên dạng hình học của kết cấu.

18