LT GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG i đồ THỊ hàm số

GIẢI TÍCH 12

FB: />
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ
KHẢO SÁT HÀM SỐ

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Dấu nhò thức bậc nhất:
 Dạng f(x) = ax+b (a0). Nghiệm của nhò thức là nghiệm phương trình ax+b=0.
 Bảng xét dấu của nhò thức bậc nhất f(x) = ax + b (a  0):
x
ax + b

b
a

-

-

trái dấu với a

0

+
cùng dấu với a

2. Dấu tam thức bậc hai:
 Dạng f(x) = ax2+bx + c (a  0).
Nghiệm của tam thức là nghiệm phương trình ax2 +bx+c = 0.
 Tính  = b2 - 4ac

 Nếu  < 0 thì: phương trình f(x) = 0 vô nghiệm và
x
f(x)

-

+
cùng dấu với a

 Nếu  = 0 thì: phương trình f(x) = 0 có nghiệm kép x = x
f(x)

-
cùng dấu với a

-

b
và
2a

b
2a

0

+
cùng dấu với a

 Nếu  > 0 thì: phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1, x2 (x1 < x2) và

x
-
x1
x2
+
f(x) cùng dấu với a 0
trái dấu với a
0
cùng dấu với a
* Chú ý: Có thể xét dấu tam thức bậc hai theo ' nếu hệ số b chẵn.
3. Xét dấu biểu thức và giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, bất phương trình
bậc hai và hệ bất phương trình một ẩn:
Yêu cầu sử dụng thành thạo bảng xét dấu nhò thức bậc nhất và tam thức bậc hai.
Giải được bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, bất phương trình bậc hai và hệ bất phương
trình một ẩn.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
4. Dấu các nghiệm phương trình bậc hai:
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (*) ( = b2 - 4ac)
Phương trình (*) có hai Phương trình (*) có hai Phương trình (*) có hai
nghiệm trái dấu (x1<0< x2) nghiệm âm phân biệt nghiệm dương phân biệt
c
(x1 < x2 < 0) khi và chỉ (0 < x1 < x2 ) khi và chỉ
khi và chỉ khi: P= < 0.

a

khi:

 a0
 0

c
 P 0
a

S   b  0

a

khi:

 a0
 0

c
 P 0
a

S   b  0

a

5. Điều kiện không đổi dấu của tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0).

a  0

a  0

a) f(x)  0 x  R  
;
  0

b) f(x)  0 x  R  
.
  0

6. Chia đa thức:
Yêu cầu biễu diễn

f ( x)
r ( x)
 k ( x) 
(với
g ( x)
g ( x)

f(x) là đa thức có bậc lớn hoặc bằng bậc

của g(x)), trong đó k(x) là thương và r(x) là dư trong phép chia

f ( x)
.
g ( x)

7. Các khái niệm liên quan đến hàm số:
Hàm số cho bởi biểu thức được kí hiệu y = f(x) với f(x) là một biểu thức chứa biến x.
 Tập xác đònh của hàm số: D = {x  R  f(x) có
nghóa}.
 Giá trò của hàm số y = f(x) tại x0 là y0 = f(x0).

y

y = f (x ) = x 2 + 1

5

x

O
2

8. Tính giới hạn:
f ( x) .
Yêu cầu tính được các giới hạn dạng: lim f ( x) , lim f ( x) , xlim
 
x  x 0

x  x 0

9. Đạo hàm:
a) Các phép toán:
Giả sử u=u(x), v=v(x), w=w(x) là các hàm số có đạo hàm, khi đó:
(u+ u - w)' = u' + v' - w';
(uv)' = u'v + v'u;

(k.u)' = k.u' ;
 u  u ' v  v ' u
  
v2
v
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

 1 
v'
   2.
v
v
SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
b) Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
Đạo hàm số sơ cấp cơ bản
(C)' = 0
(x)' = x-1(  R, x > 0)
1
( x )' 
(x > 0)
2 x
1
1
( )'   2
x

x

(x  0)

(sinx)' = cosx
(cosx)' = -sinx
(tanx)' =
(cotx)' =

1
cos 2 x
1
- 2
sin x

(x 


2

Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x))
(u)' = u-1.u'(  R, u > 0)
( u )' 

u'

(u > 0)

2 u
1

u'
( )'   2 (u
u
u

 0)

(sinu)' = cosu.u'
(cosu)' = -sinu.u'
 k

, k  Z)

(x  k, k  Z).

(tanu)' =
(cotu)' =

u'

(u   k , k  Z)
2
2
cos u
u'
- 2 (u  k, k  Z).
sin u

c) Một số công thức tính đạo hàm đặc biệt:
ad  bc

(cx  d ) 2



(

ax  b
)'
cx  d



(

ax 2  bx  c
adx 2  2aex  be  dc
)' 
dx  e
(dx  e) 2



(

ax 2  bx  c
(ae  bd ) x 2  2(af  dc) x  bf  ec
)'

dx 2  ex  f
(dx 2  ex  f ) 2

=

d) Ý nghóa hình học của đạo hàm:
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0) thuộc đồ thò hàm số y = f(x) là f'(x0)
và phương trình tiếp tuyến tại M(x0; y0) có dạng: y - y0 = f'(x0)(x-x0).
10. Lập bảng biến thiên, vẽ đồ thò hàm số y = ax + b & y = ax2 + bx + c (a ≠ 0):
 Yêu cầu lập được bảng biến thiên và vẽ được đồ thò các hàm số bậc nhất và
hàm số bậc hai.
11. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường:
 Yêu cầu tìm được tọa độ giao điểm của hai đường có phương trình cho trước.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
§1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

I - TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
1) Đònh nghóa:
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên K (K = (a; b) hoặc K = [a; b) hoặc K = (a; b]
hoặc K = [a; b])
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K Hàm số y = f(x) nghòch biến (giảm) trên K
nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K sao cho:
nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K sao cho:
x1 < x2  f(x1) < f(x2)

x1 < x2  f(x1) > f(x2)
y

y

Bảng biến thiên:
x

Bảng biến thiên:

a

b

x

lim

a

b

lim

xb

xa

y

y

lim

lim

x a 

x b 

x
O

a

x

b

Đồ thò hàm số đồng biến
là đường đi lên từ trái sang phải

O

a

b

Đồ thò hàm số nghòch biến
là đường đi xuống từ trái sang phải

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm:
Đònh lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f'(x) > 0 x  K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f'(x) < 0 x  K thì hàm số f(x) nghòch biến trên K.
* Hàm số y = f(x) đồng biến (nghòch biến) trên K gọi chung là đơn điệu trên K, K
gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x).
Đònh lí mở rộng:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x)  0 (f'(x)  0), x  K và f'(x) = 0
chỉ tại một số hữu hạn điểm x0 thì hàm số đồng biến (nghòch biến) trên K.

 Nếu f'(x) = 0 x  K thì f(x) không đổi trên K (hay hàm số y = f(x) là hàm hằng y = c
trên K)

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x)
 Trình bày bài
 Tìm tập xác đònh D của hàm số. (D = {x  R  f(x) có nghóa})
 Tính đạo hàm f'(x). Cho f'(x) = 0, tìm các điểm xi (i = 1, 2, ..., n) mà tại đó
đạo hàm bằng 0 hoặc không xác đònh.
 Lập bảng biến thiên (lưu ý sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần trên
bảng biến thiên).

 Kết luận các khoảng đồng biến, nghòch biến của hàm số.
2. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
1. Đinh nghóa:
Hàm số f đồng biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2)
Hàm số f nghòch biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I
b) Nếu f nghòch biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I
3. Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f(x) 0, xI (f(x)=0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f(x)0, xI (f(x)=0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghòch biến trên I.
c) Nếu f(x)=0, xI thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên
đó.
VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác đònh của hàm số.
– Tính y. Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm
tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến,
nghòch biến của hàm số.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

GIẢI TÍCH 12

FB: />
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghòch biến
trên tập xác đònh (hoặc trên từng khoảng xác đònh)
Cho hàm số y  f ( x , m) , m là tham số, có tập xác đònh D.

 Hàm số f đồng biến trên D  y  0, x  D.
 Hàm số f nghòch biến trên D  y  0, x  D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
1) y = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu y '  ax 2  bx  c thì:



 a  b  0
 c  0
y '  0, x  R   
 a  0
   0



 a  b  0
 c  0
y '  0, x  R   
 a  0
   0

3) Đònh lí về dấu của tam thức bậc hai g( x)  ax 2  bx  c :

 Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.
 Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 

b
)
2a

 Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x)

khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.

4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g( x)  ax 2  bx  c với số 0:



  0

x1  x2  0   P  0
S  0



  0

0  x1  x2   P  0
S  0



x1  0  x2  P  0

5) Để hàm số y  ax3  bx 2  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghòch biến) (x1; x2)
bằng d thì ta thực hiện các bước sau:
 Tính y.

 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghòch biến:
 Biến đổi

x1  x2  d

thành ( x1  x2 )2  4 x1x2  d 2

a  0

  0

(1)

(2)

 Sử dụng đònh lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
 Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

GIẢI TÍCH 12

FB: />
VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:
 Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ,  ). Xét hàm số y = f(x) trên
tập xác đònh do đề bài chỉ đònh.
 Xét dấu f (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghòch biến.
 Dựa vào đònh nghóa sự đồng biến, nghòch biến để kết luận.
Chú ý:
1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f (x) thì ta đặt h(x) = f (x) và quay
lại tiếp tục xét dấu h (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.
2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).
Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước
sau:
 Chọn được nghiệm x0 của phương trình.
 Xét các hàm số y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2). Ta cần chứng minh một hàm số
đồng biến và một hàm số nghòch biến. Khi đó (C1) và (C2) giao nhau tại một điểm duy
nhất có hoành độ x0. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).
Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
§2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I. KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU:
Đònh nghóa: Cho hàm số y = f(x) xác đònh và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a
là -; b là +) và điểm x0  (a; b).
a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x  (x0 - h; x0 + h) và x  x0
thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.
b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x  (x0 - h; x0 + h) và x  x0
thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.
* Chú ý:
a) Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 gọi là điểm cực đại (điểm
cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trò cực đại (giá trò cực tiểu) của hàm số, kí
hiệu là fCĐ (fCT) hay yCĐ (yCT), còn điểm M(x0; f(x0)) gọi là điểm cực đại (điểm cực
tiểu) của đồ thò hàm số.
b) Các điểm cực đại, điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trò. Giá trò cực đại
(giá trò cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trò của hàm số.
c) Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) và đạt cực trò tại x0 thì f'(x0)=0.
II. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ:
Đònh lí: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 - h; x0 + h) và có đạo
hàm trên K hoặc trên K \{x0}, h > 0.
a) Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và f'(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0
là một điểm cực đại của hàm số f(x).
b) Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và f'(x) > 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0
là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
III. QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ:
1. Quy tắc 1: Tìm các điểm cực trò của hàm số y = f(x)
 Tìm tập xác đònh.
 Tính f'(x). Tìm các điểm x sao cho tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác
đònh.

 Lập bảng biến thiên.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trò.
x
f'(x
)

x0 - h

x0
0

+

x0 + h
-

yCĐ

f(x)

"Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm"

x
f'(x)

x0 - h
-

x0
0

x0 + h
+

f(x)
yCT

"Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương"

2. Quy tắc 2:
Đònh lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x0 - h; x0 + h),
với h > 0. Khi đó:
 f '(x )  0

0
a) Nếu 
thì x0 là điểm cực tiểu.
 f ' ' ( x0 )  0

 f '(x )  0

0

b) Nếu 
thì x0 là điểm cực đại.
 f ' ' ( x0 )  0

Quy tắc 2:
 Tìm tập xác đònh.
 Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) = 0 và kí hiệu x i (i = 1, 2, ...) là các
nghiệm của nó.
 Tính f''(x) và tính f''(xi).
 Dựa vào dấu của f''(xi) để suy ra tính chất cực trò của điểm xi.

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

I. Khái niệm cực trò của hàm số
Giả sử hàm số f xác đònh trên tập D (D  R) và x0  D.
a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho
f(x) < f(x0), với x  (a; b) \ {x0}.
Khi đó f(x0) đgl giá trò cực đại (cực đại) của f.
b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho
f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0}.
Khi đó f(x0) đgl giá trò cực tiểu (cực tiểu) của f.
c) Nếu x0 là điểm cực trò của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trò của đồ thò
hàm số f.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trò
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trò tại điểm đó thì f (x0) = 0.
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trò tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0
hoặc không có đạo hàm.
III. Điều kiện đủ để hàm số có cực trò
1. Đònh lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo
hàm trên (a; b)\{x0}
a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0.
b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0.
2. Đònh lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0,
f (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0.
b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0.
VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò của hàm số
Qui tắc 1: Dùng đònh lí 1.
 Tìm f (x).
 Tìm các điểm xi (i =1,2 ,…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
 Xét dấu f (x). Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trò tại xi.
Qui tắc 2: Dùng đònh lí 2.
 Tính f (x).
 Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …).
 Tính f (x) và f (xi) (i = 1, 2, …).
Nếu f (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi.
Nếu f (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi.
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò
1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x0 thì f (x0) = 0 hoặc tại x0 không có đạo
hàm.
2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x0.
Chú ý:

 Hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d có cực trò  Phương trình y = 0 có hai nghiệm
phân biệt.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
Khi đó nếu x0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x0) bằng hai cách:
+ y( x0 )  ax03  bx02  cx0  d
+ y( x0 )  Ax0  B , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y.

 Hàm số

y

ax 2  bx  c
P( x )
=
a' x  b'
Q( x )

nghiệm phân biệt khác 

(aa 0) có cực trò  Phương trình y = 0 có hai

b'
.

a'

Khi đó nếu x0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x0) bằng hai cách:
y( x0 ) 

P ( x0 )

hoặc

Q( x0 )

y( x0 ) 

P '( x0 )

Q '( x0 )

 Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để loại
bỏ nghiệm ngoại lai.
 Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất
là đònh lí Vi–et.
VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trò
1) Hàm số bậc ba y  f ( x)  ax3  bx 2  cx  d .
 Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B.
 Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trò thì:
 y1  f ( x1 )  Ax1  B

 y2  f ( x2 )  Ax2  B

 Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.

2) Hàm số phân thức y  f ( x ) 

P( x ) ax 2  bx  c

.
Q( x )
dx  e

 Giả sử (x0; y0) là điểm cực trò thì

y0 

P '( x0 )

Q '( x0 )

.

 Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai
điểm cực trò ấy là:

y

P '( x ) 2ax  b

.
Q '( x )
d

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ
I. ĐỊNH NGHĨA:
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên tập D.
a) Số M được gọi là giá trò lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x)  M
với mọi x thuộc D và tồn tại x0  D sao cho f(x0) = M. Kí hiệu M = max
f(x).
D
b) Số m được gọi là giá trò nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x)  m
với mọi x thuộc D và tồn tại x0  D sao cho f(x0) = m. Kí hiệu m = min
f(x).
D
II. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT
KHOẢNG:
 Bài toán: Tìm giá trò lớn nhất (GTLN) và giá trò nhỏ nhất (GTNN) của hàm
số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a; b).
 Ta lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), từ đó suy ra kết
luận.
(Nếu bài toán không chỉ ra khoảng K thì ta tìm GTLN, GTNN trên tập xác đònh)

x
f'(x)

a
b

x0
+

-

x
f'(x)

a
b

x0
-

+

GTLN
f(x)

f(x)
GTNN

Trong đó: f'(x) = 0 hoặc không xác đònh tại x0.
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT
ĐOẠN:
1/ Đònh lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ
nhất trên đoạn đó.

2/ Quy tắc tìm giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn:
 Tìm các điểm x1, x2, ...., xn trên khoảng (a; b), tại đó f'(xi) = 0 hoặc không xác
đònh (i = 1, 2,...n).
 Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b).
 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong {f(a), f(x 1), f(x2), ..., f(xn), f(b)}.
Ta có: max f(x) = M, min
f(x) = m.
a;b 
a;b 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
* Chú ý:
 Nếu hàm số y = f(x) đồng
biến trên [a; b] thì:
max y = f(b), min y = f(a)
[ a ;b ]

y

y

f(b)

f(a)

maxy
[a;b]

maxy
[a;b]

[ a ;b ]

 Nếu hàm số y = f(x)
nghòch biến trên [a; b] thì:
max y = f(a), min y = f(b)
[ a ;b ]

miny

miny

[a;b]

[a;b]

f(a)

f(b)

x

O

a

a

b

b

x

O

[ a ;b ]

IV. ỨNG DỤNG:
Ví dụ: Cho một tấm nhôm hình
vuông cạnh a. Người ta cắt ở bốn
góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi
gập tấm nhôm lại như hình vẽ để
được một cái hộp không nắp. Tính
cạnh của các hình vuông bò cắt sao
cho thể tích của khối hộp là lớn
nhất.

a

x

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

1. Đònh nghóa:
Giả sử hàm số f xác đònh trên miền D (D  R).
a) M  max f ( x )   f ( x )  M , x  D
D


x0  D : f ( x0 )  M

b) m  min f ( x )   f ( x )  m, x  D


D

x0  D : f ( x0 )  m

2. Tính chất:
a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì max f ( x )  f (b), min f ( x )  f (a) .
[a;b ]

[a;b ]

b) Nếu hàm số f nghòch biến trên [a; b] thì max f ( x )  f (a), min f ( x )  f (b) .
[a;b ]

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

[a;b ]

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

GIẢI TÍCH 12

FB: />
VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
 Tính f (x).
 Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên.
 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn
[a; b].
 Tính f (x).
 Giải phương trình f (x) 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] (nếu có).
 Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).
 So sánh các giá trò vừa tính và kết luận.
M  max f ( x )  max  f (a), f (b), f ( x1), f ( x2 ),..., f ( xn )
[a;b]

m  min f ( x)  min  f (a), f (b), f ( x1), f ( x2 ),..., f ( xn )
[a;b]

VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức
Cách này dựa trực tiếp vào đònh nghóa GTLN, GTNN của hàm số.
 Chứng minh một bất đẳng thức.
 Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trò ấy, bất đẳng thức vừa tìm được
trở thành đẳng thức.
VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trò
Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước.
Gọi y0 là một giá trò tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có
nghiệm:

 f ( x )  y0

x  D

(1)
(2)

Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường điều
kiện ấy (sau khi biến đổi) có dạng:
m  y0  M (3)
Vì y0 là một giá trò bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:
min f ( x )  m; max f ( x )  M
D

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

D

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min f ( x )  m; max f ( x )  M . Khi
D

D

đó:
1) Hệ phương trình

 f ( x)  

x  D

2) Hệ bất phương trình

có nghiệm  m    M.

 f ( x)  

x  D

có nghiệm  M  .

 f ( x)  

x  D

3) Hệ bất phương trình
có nghiệm  m  .
4) Bất phương trình f(x)   đúng với mọi x  m  .
5) Bất phương trình f(x)   đúng với mọi x  M  .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

GIẢI TÍCH 12

FB: />
§4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN
I. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG:
Đònh nghóa: Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên một khoảng vô hạn (là khoảng
dạng (a; +  ), (-  ; b) hoặc (-  ; +  )). Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang
(hay tiệm cận ngang) của đồ thò hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện
sau được thỏa mãn: xlim
f(x) = y0 (hoặc xlim
f(x) = y0).
 
 
f ( x)  lim f ( x)  l , ta viết chung là lim f ( x)  l .
* Chú ý: Nếu xlim
x  

x 

II – ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG
Đònh nghóa: Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận
đứng) của đồ thò hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa
mãn: lim f(x) = +  .
(hoặc lim f(x)= -  ; lim f(x) = -  ; lim f(x) = +  )
x x0

x x0

x x0

x x0

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

1. Đònh nghóa:
 Đường thẳng x  x0 đgl đường tiệm cận đứng của đồ thò hàm số y  f ( x ) nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
lim f ( x )   ;
lim f ( x )   ;
lim f ( x )   ;



x  x0

x  x0

lim f ( x )  

x  x0 

x  x0

 Đường thẳng y  y0 đgl đường tiệm cận ngang của đồ thò hàm số y  f ( x ) nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
lim f ( x )  y0 ;
lim f ( x )  y0
x 

x 

2. Chú ý:
Nếu y  f ( x ) 

P( x )
Q( x )

là hàm số phân thức hữu tỷ.

 Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thò có tiệm cận đứng x  x0 .
 Nếu bậc(P(x))  bậc(Q(x)) thì đồ thò có tiệm cận ngang.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
§5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ
HÀM SỐ
I- KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
3
2
1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y = ax + bx + cx + d (a  0)
 Tập xác đònh: D = R
 y' = f'(x)
y' = 0: giải phương trình f'(x) = 0.

 Tính các giới hạn
lim y

lim y

= ..., x = ... (chỉ cần kết quả, không cần giải thích)
 Vẽ bảng biến thiên.
+ Kết luận các khoảng đơn điệu.
+ Kết luận cực trò của hàm số.
 Điểm đặc biệt:
Điểm cực trò (nếu có)
Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y.
Giao điểm với trục hoành: y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x.
x  

2. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y = ax + bx + c (a  0)
4

2

 Tập xác đònh: D = R
 y' = f'(x)
y' = 0: giải phương trình f'(x) = 0.
 Tính các giới hạn
lim y

lim y

= ..., x = ... (chỉ cần kết quả, không cần giải thích)
 Vẽ bảng biến thiên.

+ Kết luận các khoảng đơn điệu.
+ Kết luận các điểm cực trò của đồ thò hàm số.
 Điểm đặc biệt:
Điểm cực trò;
Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y;
Giao điểm với trục hoành (nếu có): y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x.
 Đồ thò: đồ thò hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
x  

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
3. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y =
 Tập xác đònh: D = R\{
 y' = f'(x)
 Tính các giới hạn:
lim y

x  

lim y

=

a

a
lim y
c , x = c

lim y 



d
c

ax  b
cx  d

(c  0, ad - bc  0)

}

 Tiệm cận ngang y =

a
c

= ..., x  x
...  Tiệm cận đứng x=x0 (chỉ cần kết quả, không cần giải thích)
 Vẽ bảng biến thiên.
Kết luận các khoảng đồng biến, nghòch biến của hàm số.
Hàm số không có cực trò
 Điểm đặc biệt:
Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y.

Giao điểm với trục hoành: y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x.
 Đồ thò: đồ thò hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

x  x 0

0

II – SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ
1/ Tọa độ giao điểm của hai đồ thò:
Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường: (C) y = x2 + 2x - 3 và d: y = 2x + 1.
2/ Biện luận bằng đồ thò số nghiệm phương trình f(x) = g(x):

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
Hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d (a  0) :
 Tập xác đònh D = R.
 Các dạng đồ thò:
a>0
y’ = 0 có 2 nghiệm
phân biệt
 ’= b2 – 3ac > 0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

a<0

y

y

I

0

x

0

I

x

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
y’ = 0 có nghiệm
kép
 ’= b2– 3ac = 0
y’ = 0 vô nghiệm
 ’=b2 – 3ac < 0

y

y
I

I

0

0

x

x

Hàm số trùng phương y  ax 4  bx 2  c (a  0) :
 Tập xác đònh D = R.
 Đồ thò luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
 Các dạng đồ thò:
y

y’ = 0 có 3 nghiệm
phân biệt
 ab < 0

a>0

0

a<0

y

x

0

x

x

y

y’ = 0 chỉ có
1 nghiệm
 ab > 0

0

y

0

ax  b
(c  0, ad  bc  0) :
cx  d
 d
Tập xác đònh D = R \   .
 c
d
Đồ thò có một tiệm cận đứng là x   và
c

x

Hàm số nhất biến y 



a
c

một tiệm cận ngang là y  . Giao

điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thò hàm số.
 Các dạng đồ thò:
y

y

0

x

ad – bc > 0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

0

x

ad – bc < 0

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ