NỘI DUNG 5 TIẾP TUYẾN của đồ THỊ hàm số

Hàm số

FB: />
V. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Chuyên đề: Hàm số
A. Tóm tắt lí thuyết & phương pháp giải toán
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) tại điểm
M 0 (x 0 ; y 0 )  (C)

y

(C): y=f(x)



y0 M 0

x

x0

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x0;y0) có dạng:
y - y0 = k ( x - x0 ) hay y  f '(x 0 )(x  x 0 )  f(x 0 )
Trong đó: x0: hoành độ tiếp điểm
y0: tung độ tiếp điểm và y0 = f(x0)
k: hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k = f'(x0)
2x 3
x 1

Ví dụ: Cho hàm số y

có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của C

tại các giao điểm của C và đường thẳng y

x 3.

Bài giải
♦ Phương trình hoành độ giao điểm:

2x 3
x 1

x 3

(1)

Điều kiện: x 1
Khi đó: (1)

2x

3

( x 3)( x 1)

x2

2x

0

x

0

x

2

Suy ra tọa độ các giao điểm là A 0; 3 , B 2; 1
♦ Ta có: y '

1
x 1

2

♣ Phương trình tiếp tuyến tại A là y 3 y '(0)( x 0) y
y
♣ Phương trình tiếp tuyến tại B là y 1 y '(2)( x 2)
x 3 và y
x 1 .
♦ Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

x 3
x 1

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x3  3x 2  2 tại điểm
M(–1;–2)
(C) : y  x 3  3x 2  2  y  3x 2  6 x tại điểm M(–1; –2) ta có: y (1)  9

 PTTT: y  9 x  7
Câu 2: Cho hàm số y 

x 1
x 1

có đồ thị (H). Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại

A(2; 3).
y

x 1
x 1

 y 

2
( x  1)2

Tại A(2; 3)  k  y (2)  2  PTTT : y  2 x  1
Câu 3: Cho hàm số f ( x)  x3  3x  4 . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm M(1; 2).
f ( x )  x 3  3x  4  f ( x )  3x 2  3  f (1)  0  PTTT: y  2 .

Câu 4: Cho hàm số y 

3x  1
1 x

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại

điểm A(2; –7).
y

3x  1
1 x

 y 

4
, k  y (2)  4
( x  1)2

 PTTT: y  4 x  15
Câu 5: Cho hàm số y 

2  x  x2
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C)

x 1

tại điểm M(2; 4).
y

2  x  x2
x2  2x 1
 y' 
 k  f (2)  1
x 1
( x  1)2

x0  2, y0  4, k  1  PTTT : y   x  2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />3

2

Câu 6: Cho hàm số y  x  3x có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại
điểm I(1; –2).
y  x 3  3x 2  y '  3x 2  6 x  k  f (1)  3
x0  1, y0  2, k  3  PTTT : y  3x  1

Câu 7. Cho hàm số y  x 4  x 2  3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
tại điểm có hoành độ bằng 1.
x0  1  y0  3

y  4 x 3  2 x  k  y (1)  2

Phương trình tiếp tuyến là y = 2x + 1
Câu 8. Cho hàm số: y  2 x3  7x  1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
tại điểm có hoành độ x = 2.
y  2 x3  7x  1  y '  6 x 2  7
Với x  2  y  3, y (2)  17  PTTT : y  17x  31
0

0

Câu 9. Cho (C): y  x3  3x 2  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao
điểm của (C) với trục hoành.
Cho (C): y  x3  3x 2  2 .

y  3x 2  6 x . Giao của ( C) với trục Ox là A(1; 0), B 1  3; 0  , C 1  3; 0 

Tiếp tuyến tại A(1; 0) có hệ số góc là k = –3 nên PTTT: y  3 x  3

Tiếp tuyến tại B 1  3; 0  có hệ số góc là k = 6 nên PTTT : y  6 x  6  6 3

Tiếp tuyến tại C 1  3; 0  có hệ số góc là k = 6 nên PTTT : y  6 x  6  6 3
Câu 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

yx

1
x

tại giao điểm của

nó với trục hoành .
y x

1
x

 y  1 

1
x2

 Các giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là A  1; 0  , B 1; 0 
 Tại A(–1; 0) tiếp tuyến có hệ số góc k1  2 nên PTTT: y = 2x +2
 Tại B(1; 0) tiếp tuyến cũng có hệ số góc k2  2 nên PTTT: y = 2x – 2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
Câu 11. Cho hàm số: y
(C )

2x
x

1
.
1

Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm trên

có tung độ bằng 5.
Ta có: y0
 f (x 0 )

5

2x 0

1

x0

1

3
(2 1)2

2x 0

5

5x 0

5

x0

3(x

2)

y

2

3

 Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y
Câu 12. Cho hàm số y

1

5

3x

11

2x 1
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết

x 1

tiếp điểm có tung độ bằng 3.
Go ̣i tiế p điể m là M ( x0 ; y0 ) , ta có y0  3 

2x 0  1
x0  1

 3  x 0  2  M (2; 3)

Suy ra, hê ̣ số góc k của tiế p tuyế n là: k  y '(2)  1
Do đó phương trình tiế p tuyến cầ n lâ ̣p là: y  1(x  2)  3 hay y  x  5
Câu 13. Cho hàm số y   x 3 +3x 2 1 . Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao
điểm của đồ thị với trục hoành.
Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm A(0;0) và B(3;0).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại A(0;0) là: y  0
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại B(3;0) là: y  y , 3x  3  9 x  27
Vậy tiếp tuyến cần tìm là y  0 và y  9 x  27 .
Câu 14. Cho hàm số y  x3  3x 2  2 (C ) . Gọi giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng
y   x  3 là M , viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại điểm M.
 y  x3  3x 2  2

Tọa độ của M là nghiệm của hệ 

 y  x  3

 y  x  3
 y  x  3
 3


 M (1; 2)
2
 x  3x  x  5  0  x  1
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là y  f '(1)( x  1)  2  y  9( x  1)  2  y  9 x  7.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
2. Dạng 2:
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ
số góc k cho trước

y

(C): y = f(x)



y0 M 0

x

x0

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 )  (C ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)
Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình : f ' ( x0 )  k , từ đó suy ra y0  f ( x0 ) =?
Bước 3: Thay các yếu tố tìm được vào pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta sẽ được pttt cần tìm.
2x 1
x 2

Ví dụ: Cho hàm số y

có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của C ,

biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5 .
Bài giải
♦ Gọi M ( x0 ; y0 )  (C ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)
♦ Ta có: y '

5
x

2

2

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5

♣ Với x0 1

y0

♣ Với x0

y0

3

3
7

y '( x0 )
5

x0

2

x0

1

x0

3

5

5

2

: M 1 (1; 3)

pttt: y

5x 2

: M 2 (3; 7)

pttt: y

5 x 22

♦ Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y

5x 2

và y

5 x 22 .

Bài tập tương tự
Cho hàm số y

2x 1
x 1

có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết hệ

số góc của tiếp tuyến bằng 4 .
4 x 2; y
4 x 10
Đáp số: y

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như :
tiếp tuyến song songtiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước .
y

y

(C): y=f(x)

ka
y  ax  b

(C): y=f(x)



x

1
2

x

O
k  1 / a

 2 : y  ax  b

Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau:
Định lý 1: Nếu đường thẳng (  ) có phương trình dạng : y = ax + b thì hệ số
góc của (  ) là:
k  a

Định lý 2: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng (1 ) vaø ( 2 ) . Khi đó:
1 // 2

 k 1  k 2

1  2

 k 1 .k 2  1

Ví dụ 1: Cho hàm số y x3 3x 2 2 có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến
của C , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) : y 9 x 2 .
Bài giải
♦ Ta có: y ' 3x 2 6 x
♦ Do tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) nên hệ số góc của tiếp tuyến là
k

9

♦ Gọi M ( x0 ; y0 )  (C ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Hệ số góc của tiếp tuyến k

y '( x0 )

9

3x02

♣ Với x0

1

♣ Với x0

y0
3

2

: M 1 ( 1; 2)

y0

2

: M 2 (3; 2)

9

6 x0

9

x0

0

x0

1
3

pttt: y 9 x 7
pttt: y 9 x 25

♦ Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y 9 x 7 và y 9 x 25 .
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
Bài tập tương tự
Cho hàm số y x3 3x 2 3x có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của C ,
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) : y 3 x .
Đáp số: y 3x 4
x
x

Ví dụ 2: Cho hàm số y

2
2

có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của C ,

biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) : y
Bài giải
♦ Ta có: y '

x

2.

4
x

2

2

♦ Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) nên hệ số góc của tiếp tuyến
là k 1
♦ Gọi M ( x0 ; y0 )  (C ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)
Hệ số góc của tiếp tuyến k 1

y '( x0 )

1

4

♣ Với x0
♣ Với x0

0

y0
4

y0

1
3

x0

2

x0

2

x0

2

x0

2

1

2

2

4

2

x0
2

0

x0

4

: M 1 (0; 1)

pttt: y

x 1

: M 2 ( 4;3)

pttt: y

x

♦ Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y

x 1

và y

x

7
7 .

Bài tập tương tự
Cho hàm số y

3 2x
x 1

có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết

tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) : x y 1 0 .
x 1; y
x 3.
Đáp số: y

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Cho hàm số y  x3  3x2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết
hệ số góc của tiếp tuyến k =3.
Ta có: y '  3x2  6 x
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điể m  Tiếp tuyến tại M có hệ số góc k  f ' ( x0 )  3x02  6 x0
Theo giả thiết, hệ số góc của tiếp tuyến k = - 3 nên:
3x02  6 x0  3  x02  2 x0  1  0  x0  1

Vì x0  1  y0  2  M (1; 2) .
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  3( x  1)  2  y  3x  1
Câu 2. Cho hàm số: y  2 x3  7x  1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
có hệ số góc k = –1.
y  2 x3  7x  1  y '  6 x 2  7
 x  1
Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có: y ( x0 )  1  6 x02  7  1   0
 x0  1

 Với x0  1  y0  6  PTTT : y   x  7
 Với x0  1  y0  4  PTTT : y   x  5
Tiếp tuyến song song với đường thẳng d
Câu 3. Cho hàm số y 
tuyến song song với d:
y

x 1
x 1

d: y 

 y 

x 2
2

2
( x  1)2

x 1
.Viết
x 1
x 2
y
.
2

phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp

( x  1)

có hệ số góc k 

1
2

1
2
1
2
1
y ( x 0 )  

2
( x0  1)2 2

 TT có hệ số góc k  .

Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có
1
2

x  1

  0
 x0  3

1
2

+ Với x0  1  y0  0  PTTT: y  x  .
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

Hàm số

FB: />
1
2

7
2

+ Với x0  3  y0  2  PTTT: y  x  .
x 2  3x  2
(1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
x 1
số (1), biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d: y  5 x  2 .

Câu 4. Cho hàm số f ( x ) 

f (x) 

x 2  3x  2
x 1

 f  (x) 

Tiếp tuyến song song

x2  2x  5
( x  1)2
với d: y  5 x  2

nên tiếp tuyến có hệ số góc

Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có: f ( x0 )  5 

x02

k  5 .

 2 x0  5

( x0  1)2

 5

x  0

  0
 x0  2
 Với x0  0  y0  2  PTTT: y  5 x  2
 Với x0  2  y0  12  PTTT: y  5 x  22
Câu 5. Cho hàm số f(x) = -x3 + 3x + 1 (có đồ thị (C)). Lập phương trình tiếp tuyến
của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = -9x -15.
Tiếp tuyến // d: y = -9x -15 nên phương trình tiếp tuyến có dạng
y = -9x + m, m  -15.
 x 3  3x  1  9 x  m (1)

Điều kiện tiếp xúc: hệ 

 3x 2  3  9

(2)

có nghiệm.

 x  2  m  15
(2)  
 m  17
 x  2  m  17

Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = -9x +17.
Câu 6. Cho hàm số y  x 2 ( x  1) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
(C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y  5 x .
Vì tiếp tuyến song song với d: y  5 x nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 5
Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm.
 x0  1
y '( x0 )  5  3x  2 x0  5  3 x  2 x0  5  0  
x   5
 0
3
2
0

2
0

Với x0  1  y0  2  PTTT: y  5x  3
5
3

Với x0    y0  

50
27

 PTTT: y  5 x 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

175
27

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
x 1
x 1

Câu 7. Cho hàm số y 

có đồ thị (H). Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết
1
8

tiếp tuyến song song với đường thẳng y   x  5 .
y

x 1

x 1

 y 

2
( x  1)2

1
8

Vì tiếp tuyến song song với đường thằng y   x  5 nên hệ số góc của tiếp tuyến là
k

1
8

Gọi

( x 0 ; y0 )

y ( x0 )  k  

là

toạ

độ

của

tiếp

điểm



 x  3
1
   ( x0  1)2  16   0
8
( x0  1)
 x0  5
2

2

1
2

1
1
x  3 

8
2
3
1
3
x0  5  y0   PTTT : y    x  5 
2

8
2

 Với x0  3  y0   PTTT : y  
 Với

Câu 8. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 

1
x

biết tiếp tuyến song song

với đường thẳng y   4 x  3 .
y

1
x

1
 y   2 ( x  0)
x

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y  4 x  3 nên tiếp tuyến có hệ số góc k=–4

1
 x0  2
Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp  y ( x0 )  4   2  4  
x0
x   1

 0
2
1
 Với x0   y0  2  PTTT : y  4 x  4
2
1
 Với x0    y0  2  PTTT : y  4 x  4
2
1

Câu 9. Cho hàm số: y  x3  3x 2  2 x  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
số, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d: x  y  50  0 .
y  x 3  3 x 2  2 x  2  y  3 x 2  6 x  2

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d: x  y  50  0 nên tiếp tuyến có hệ số
góc k = –1.
( x 0 ; y0 )
Gọi
là
toạ
độ
của
tiếp
điểm.
Ta
có:
3 x02  6 x0  2  1  x02  2 x0  1  0  x0  1

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
Khi đó y0  2  phương trình tiếp tuyến là y  ( x  1)  2  y   x  3 .
Câu 10. Cho hàm số y x3 3x 2 2 có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của
C , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) : y 9 x 2 .
Ta có: y ' 3x 2 6 x
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) nên hệ số góc của tiếp tuyến là

k

9

Gọi M ( x0 ; y0 )  (C ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)
Hệ số góc của tiếp tuyến

k

y '( x0 )

9

9

3x02

6 x0

x0

1

x0

Với x0
Với x0

1

y0

3

y0

: M 1 ( 1; 2)

2

0

3

pttt: y 9 x 7

: M 2 (3; 2)

2

9

pttt: y 9 x 25

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề Câu là y 9 x 7 và y 9 x 25 .

x
x

Câu 11. Cho hàm số y

2
2

có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của C ,

biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) : y
Ta có: y '

2.

x

4
x

2

2

Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) nên hệ số góc của tiếp tuyến là

k

1

Gọi M ( x0 ; y0 )  (C ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)
Hệ số góc của tiếp tuyến

k

y '( x0 )

1

1

4

Với x0
Với x0

0

y0
4

y0

x0

2

x0

2

x0

2

1
3

2

x0
2

2

2

4

0

x0

4

: M 1 (0; 1)

pttt: y

x

1

: M 2 ( 4;3)

pttt: y

x

7

và y

x

7.

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề Câu là y
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

x0

1

2

x

1

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
Câu 12. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x3  3x2  1 (C). Biết tiếp
tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 6.
Ta có: y '  3x2  6 x
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm  Tiếp tuyến tại M có hệ số góc k  f ' ( x0 )  3x02  6 x0
Theo giả thiết, tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + +6  tiếp tuyến
 x0  1  M (1; 3)
 x0  3  M (3;1)

có hệ số góc k = 9  3x02  6 x0  9  x02  2 x0  3  0  

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(-1;-3) là: y  9( x  1)  3  y  9 x  6 (loại)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(3;1) là: y  9( x  3)  1  y  9 x  26
Câu 13. Cho hàm số y  x3  3x  2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp
tuyến đó vuông góc với đường thẳng y 

1

x.
9

Ta có y '  3x2  3 . Do tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường
1
x nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 9.
9
Do đó y '  k  3x 2  3  9  x 2  4  x  2.

thẳng y 

+) Với x = 2  y  4 . Pttt tại điểm có hoành độ x = 2 là:
y  9( x  2)  4  y  9 x  14.

+) Với x  2  y  0 . Pttt tại điểm có hoành độ x = - 2 là:
y  9( x  2)  0  y  9 x  18 .
Vậy có hai tiếp tuyến củả (C) vuông góc với đường thẳng y 

1
x là:
9

y =9x - 14 và y = 9x + 18.
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d
Câu 14. Cho hàm số y  x 4  x 2  3 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông
góc với d: x  2 y  3  0 .
d: x  2 y  3  0 có hệ số góc kd  

1
2

 Tiếp tuyến có hệ số góc

k 2.

Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có: y ( x0 )  2  4 x03  2 x0  2  x0  1
( y0  3 )
 PTTT: y  2( x  1)  3  y  2 x  1 .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
Câu 15. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x3  3x 2  2 vuông góc với
1
9

đường thẳng d: y   x  2 .
(C) : y  x 3  3x 2  2  y  3x 2  6 x
1
9

Tiếp tuyến vuông góc với d: y   x  2  Tiếp tuyến có hệ số góc

k 9.

Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm.
 x0  1
 x0  3

Ta có: y ( x0 )  9  3x02  6 x0  9  x02  2 x0  3  0  
 Với x0  1  y0  2  PTTT: y  9 x  7
 Với x0  3  y0  2  PTTT: y  9 x  25

Câu 16. Cho đường cong (C): y  x3  3x 2  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C),
1
3

biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y   x  1 .
y  x 3  3x 2  2  y '  3x 2  6 x
1
3

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y   x  1 nên tiếp tuyến có hệ số góc là k
= 3.
x  1 2
0

Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm  3 x02  6 x0  3  x02  2 x0  1  0  

 x0  1  2

 Với x0  1  2  y0  2  PTTT: y  3  x  1  2   2  y  3x  4 2  3

 Với x0  1  2  y0   2  PTTT: y  3  x  1  2   2  y  3x  4 2  3
Câu 17. Cho hàm số

y

x2  x  1
.
x 1

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
4
3

biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y   x 

1
3

TXĐ: R \ 1
Có f '( x) 

x 2  2x
( x  1) 2

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M ( x0 ; f ( x0 )) là:
Đường thẳng

y  f ' ( x0 )( x  x0 )  f ( x0 )
4
1
4
y   x  có hệ số góc k= 

3
3
3

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

4
1
 4
x  nên f '( x0 ).     1
3
3
 3

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số
FB: />2
 x0  1
x  2x 0 3
 0
  4 x02  8 x0  3x02  6 x0  3  x02  2 x0  3  0  
2
( x0  1)
4
 x0  3
3

3
3
Với x0  1 ta có f (1)   tiếp tuyến y  x 
2
4
4
7
3
5
Với x0  3 ta có f (3) 
 tiếp tuyến y  x 
2
4
4
3
3
3
5
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề Câu: y  x  và y  x 
4
4
4
4

1
3

Câu 18. Cho hàm số y  x3  2 x 2  3x . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm
cực đại của đồ thị (C) và vuông góc với tiếp tuyến của đồ thị (C) tại gốc tọa độ.
+ Điểm Cực đại của ( C ) là M(1;4/3)

+T.T của ( C ) tại gốc toạ độ có hệ số góc k= y’(0)=3
+Đường thẳng cần tìm đi qua điểm M và có hệ số góc k’= -1/3 nên có pt:
y= - 1/3(x-1)+4/3=-1/3x+5/3
Phương trình tiếp tuyến dạng đặc biệt
Câu 19. Cho hàm số : y   x3  6 x 2  9 x . Tìm trên trục hoành những điểm mà từ đó kẽ
được các tiếp tuyến với (C), sao cho trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau .
M  a;0  là

điểm cần tìm.Tiếp tuyến của (C) kẽ từ M là đường thẳng
 t  : y  k  x  a  …. k thỏa:
 x 3  6 x 2  9 x   3 x 2  12 x  9   x  a  1
 x 3  6 x 2  9 x  k  x  a 


2
2
 2
3 x  12 x  9  k
3 x  12 x  9  k

x  3  0

1   x  3  2 x 2  3ax  3a   0  

2
 2 x  3ax  3a  0 *
Lập luận đi đến (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 : k x1  k x2   1

9a 2  24a  0
82

82
Vậy M   ;0 
...  
a
27
 27 
27a  81  1

Câu 20. Cho hàm số

y

mx  1 ,
 Cm  .
xm

Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của

đồ thị Cm  . Tiếp tuyến tại điểm bất kì của Cm  cắt tiệm cận đứng và tiệm cận
ngang lần lượt tại A và B . Tìm m để diện tích tam giác IAB bằng 12 .
Với mọi m , đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
I  m; m  .

x  m ,

tiệm cận ngang y  m ,


m2  1 
Giả sử M  x0 ; m 

   Cm  , phương trình tiếp tuyến tại M của
xm 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

Cm  :

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

y

FB: />
m 1
2

 x0  m 

Tìm

x  x0   m 
2 

được

m 1
,  x0   m  .
x0  m

2


2m 2  2 
A  m; m 
,
x

m
0



B  2 x0  m; m  , từ đó suy ra

m2  1
IA  2
,
x0  m

IB  2 x0  m .
1
S IAB  IA. IB  2 m 2  1  12  m   5 .
2
2x  1
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng
x 1
cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng 2 .

Câu 21. Cho hàm số y 

*Tiếp tuyến của (C) tại điểm M (x 0 ; f (x 0 ))  (C ) có phương trình
y  f '(x 0 )(x  x 0 )  f (x 0 )

Hay x  (x 0  1)2 y  2x 02  2x 0  1  0 (*)
*Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) bằng 2


2  2x 0
1  (x 0  1) 4

 2

giải được nghiệm x 0  0 và x 0  2
*Các tiếp tuyến cần tìm : x  y  1  0 và x  y  5  0
x2
(C) Cho điểm A(0;a). Tìm a để từ A kẻ được hai tiếp
x 1
tuyến tới (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục hoành.

Câu 22. Cho hàm số y 

Đk:

,

PT đường thẳng d qua A và có hsg k có dạng:
d tiếp xúc với (C)

hệ pt sau

có nghiệm

Thay (2) vào (1) ta được:
Đặt
Để qua A kẻ được 2 tiếp tuyến

Theo viet ta có:

có 2 nghiệm phân biệt

1

và

Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía của trục hoành
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
Từ (*)
Kết hợp với điều kiện (1) ta được: Với

thỏa mãn bài toán

Câu 23. Cho hàm số y  x3  6 x 2  9 x  2 (1) có đồ thị (C). Chứng minh rằng trên (C)

không thể tồn tại hai điểm có hoành lớn hơn 3 sao cho hai tiếp tuyến với (C) tại hai
điểm đó vuông góc với nhau
Giả sử trên (C) có hai điểm A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) với x1, x2 > 3 sao cho tiếp tuyến với (C)
tại hai điểm này vuông góc với nhau
Khi đó, ta có: y '( x1 ). y '( x2 )  1  (3x12 12 x1  9)(3x22 12 x2  9)  1
 9  x1  1 x1  3 x2  1 x2  3  1 (*)
Do x1 > 3 và x2 > 3 nên VT(*) > 0. Do đó (*) vô lí
Vậy: Trên (C) không thể có hai điểm sao cho tiếp tuyến với (C) tại hai điểm này
vuông góc với nhau
Câu 24. Cho hàm số y 

x2
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng
2x  3

tiếp tuyến cắt trục hoành tại A, trục tung tại B sao cho tam giác OAB vuông cân tại
O, ở đây O là góc tọa độ.
Ta có: y ' 

1
(2 x  3) 2

Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc của tiếp
tuyến là: k  1
Khi đó gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có y ' ( x0 )  1


 x0  2
1
 1  

2
(2 x0  3)
 x0  1

Với x0  1 thì y0  1 lúc đó tiếp tuyến có dạng y   x (trường hợp này loại vì tiếp
tuyến đi qua góc tọa độ, nên không tạo thành tam giác OAB)
Với x0  2 thì y0  4 lúc đó tiếp tuyến có dạng y   x  2
Vậy tiếp tuyến cần tìm là y   x  2
Câu 25. Cho hàm số y =

2x 1
có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ
x 1

thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thỏa
mãn OA = 4OB.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M ( x0 ; y0 )  (C ) cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho
OA  4OB .

OB 1
1

1
  Hệ số góc của d bằng hoặc  .
OA 4
4
4
3

x


1
(
y

)
0
0

1
1
1
2
Hệ số góc của d là y ( x0 )  
0
  
( x0  1) 2
( x0  1) 2
4
x  3 ( y  5)
0

 0
2

Do OAB vuông tại O nên tan A 

1
3
1
5


y


(
x

1)

y


x



4
2
4
4


Khi đó có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: 
.
 y   1 ( x  3)  5
 y   1 x  13


4
2
4
4

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
3. Dạng 3:
Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua
điểm A(xA;yA)
y

(C ) : y  f ( x)

A( x A ; y A )
x

O

 : y  y A  k(x  xA )  y  k(x  xA )  y A

Phương pháp : Ta có thể tiến hành theo các bước sau
Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) tại điểm M0(x0;y0)  (C )
(d ) : y  f '( x0 )( x  x0 )  f ( x0 )
(*)
Bước 2: Định x0 để (d) đi qua điểm A(xA;yA). Ta có:
(d) đi qua điểm A(xA;yA)  y A  f '( x0 )( x A  x0 )  f ( x0 ) (1)
Bước 3: Giải pt (1) tìm x0. Thay x0 tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm.
Ví dụ 1: Cho hàm số y x3 3x 2 2 có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến
của C , biết tiếp tuyến đi qua điểm A 2; 2 .
Bài giải
♦ Ta có: y ' 3x 2 6 x
♦ Gọi M x0 ; y0

C

với y0

x03

2 là tiếp điểm và

3x02

là tiếp tuyến với C tại

M0

♦ Phương trình
♦

: y y0

y '( x0 )( x

đi qua điểm A 2; 2

2 ( x03
2 x03

x0

♣ Với x0

2

:y

y ( x03

x0 )

3x02
9 x02

2)
12 x0

2
0

2 2x

5 x0

3x02

(3x02
4

2)

(3x02

6 x0 )(2

6 x0 )( x

x0 )

x0 )

0

2

0

x0

2

x0

1
2

2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
1
2

♣ Với x0

9
x
4

:y

5
2

♦ Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y

x
x

Ví dụ 2: Cho hàm số y

2
2

2

và y

9
x
4

5
.
2

có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của C ,

biết tiếp tuyến đi qua điểm A 6;5 .
Bài giải

♦ Ta có: y '

4
x

♦ Gọi M x0 ; y0

2
C

♦ Phương trình

với y0
: y y0

y

♦

2

x0
x0

2
2

x0
x0

2
là tiếp điểm và
2

y '( x0 )( x

x0 )

4
x0

đi qua điểm A 6;5

2

(x

2

x0
x0

5

x0 )
2
2

x02

6 x0

x0

0

x0

6

♣ Với x0

0

:y

x 1

♣ Với x0

6

:y

1
x
4

4
x0

2

2

( 6

x0 )

0

7
2

♦ Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

là tiếp tuyến với C tại M 0

x 1

và y

1
x
4

7
.

2

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Cho hàm số : y 

 x 1
2x  1

(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết

tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox.
Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là
Phương trình tiếp tuyến () qua A có dạng
() tiếp xúc với (C)

 1 
A  ,0 
 2 

1

y  k x  
2



 x  1
1

 2x  1  k  x  2 



/

x

1



  k coù nghieäm
 2x  1 

 x  1
1

 2x  1  k x  2  (1)




 3  k
(2 )

 2x  12

Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm là
1

3 x  
x  1
2
 
2
2x  1
 2x  1

1
1
3
 (x  1)(2x  1)  3(x  ) và x    x  1 
2
2
2
5
1
x .
Do đó k  
12
2
1
1
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y    x  
12 

2

Câu 2. Cho hàm số y 

2x  4
x 1

(C ) .

Cho hai điểm A(1; 0) và B (7; 4) . Viết phương

trình tiếp tuyến của (C ) , biết tiếp tuyến đi qua điểm trung diểm I của AB .
Gọi  qua I  3; 2 có hệ số góc
.Điều kiện  tiếp xúc (C)

k   : y  k ( x  3)  2

 2x  4
 k ( x  3)  2
 x  1

2
k


( x  1) 2

Giải hệ  x  2  k  2
Vậy phương trình tiếp tuyến :  : y  2 x  4
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
Câu 3. Cho đồ thị (C): y  x  3x  1, viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp
3

tuyến đi qua điểm A(-2; -1).
Ta có: y '  3x2  3
Gọi M  x0 ; x03  3x0  1 là tiếp điểm. Hệ số góc của tiếp tuyến là y '( x0 )  3x02  3 .
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là  : y   x03  3x0  1  (3x02  3)( x  x0 )
 qua A(-2;-1) nên ta có: 1   x03  3x0  1  (3x02  3)(2  x0 )  x03  3x02  4  0
 x0  1  y0  1
 ( x0  1)( x02  4 x0  4)  0  
 x0  2  y0  1

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:  : y  1;  : y  9 x  17

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ