LT GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II mũ LÔGA

GIẢI TÍCH 12

FB: />
CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA
HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1) Lũy thừa của một số hữu tỷ:
 Lũy thừa đối với số mũ nguyên dương: a, b  Q, m, n  Z+, ta có:
a0 = 1
a1 = a
am.an = am + n
am
= am – n
n
a
a
an
( ) n  n (b
b
b

(am)n = am.n
≠ 0)

(ab)n = anbn

Nếu am = an thì m = n (a ≠ 1, a ≠ 0).

 Lũy thừa đối với số mũ nguyên dương: x ≠ 0, n  Z+, ta có: x  n 

1
xn

2) Căn bậc hai:
AB  A. B (A0, B0)

A2  A

A 2 B  A B (B0)
A
B



A B
(B>0)
B

C
AB



C
A B

A B

A
1


B
B

A 2 B (A0, B0)

A

B

A
B

(A0, B>0)

A B   A2 B (A<0, B0)

AB (AB0, B≠0)

C ( A  B)
(A0, A≠B2)
A  B2



C( A  B
(A0, B0, A≠B)
A B

0A

A B

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
§1. LŨY THỪA

1. Đònh nghóa luỹ thừa
Số mũ 

Cơ số a
aR

  n N*

Luỹ thừa a
a  an  a.a......a (n thừa số a)

 0

a0

a  a 0  1

  n ( n  N * )

a0

a   a n 

m
(m  Z , n  N * )
n
  lim rn (rn  Q, n  N * )



1
an

m
n

a0

a  a  n a m ( n a  b  b n  a)

a0

a   lim a rn



2. Tính chất của luỹ thừa

 Với mọi a > 0, b > 0 ta có:
a  .a   a   

;

a
 a 

a



; (a  )   a  . ; (ab)   a  .b 

a
a
;    
b
b


a > 1 : a  a     ;
0 < a < 1 : a  a    
 Với 0 < a < b ta có:
am  bm  m  0 ;
am  bm  m  0
Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
3. Đònh nghóa và tính chất của căn thức
 Căn bậc n của a là số b sao cho bn  a .

 Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có:
n

ab  n a .n b ;

Nếu

n

a na

(b  0) ;
b nb

p q
n
m
 thì a p  a q (a  0) ;
n m

n

p

a p   n a  (a  0) ;

mn

a  mn a

Đặc biệt n a  mn am

 Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a  n b .
Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a  n b .
Chú ý:
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a .
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
4. Công thức lãi kép
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là:
C  A(1  r )N
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
§2. HÀM SỐ LŨY THỪA

Đònh nghóa
Số mũ 
 = n (n nguyên dương)
 = n (n nguyên âm hoặc
n = 0)
 là số thực không
nguyên

Hàm số y  x

y  xn

Tập xác đònh D
D=R

y  xn

D = R \ {0}

y  x

D = (0; +)

1

Chú ý: Hàm số y  x n không đồng nhất với hàm số y  n x (n  N *) .
Đạo hàm


 x    x 1 ( x  0) ;

Chú ý:

 n x  

1
n

n x n1

 u    u 1.u
 với x  0 nếu n chẵn 
 với x  0 nếu n lẻ  .



NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

 n u  

u
n

n u n1

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
§3. LƠGARIT

1. Đònh nghóa
 Với a > 0, a  1, b > 0 ta có: loga b    a  b
Chú ý: loga b có nghóa khi a  0, a  1
b  0

 Logarit thập phân:

lg b  log b  log10 b

 Logarit tự nhiên (logarit Nepe):

ln b  loge b

2. Tính chất
 loga 1  0 ;

loga a  1 ;

(với

loga ab  b ;

n

 1
e  lim  1    2,718281 )
 n

a

loga b

 b (b  0)

 Cho a > 0, a  1, b, c > 0. Khi đó:
+ Nếu a > 1 thì loga b  loga c  b  c
+ Nếu 0 < a < 1 thì loga b  loga c  b  c

3. Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a  1, b, c > 0, ta có:
 loga (bc)  loga b  loga c

b
c

 loga    loga b  loga c

 loga b   loga b

4. Đổi cơ số
Với a, b, c > 0 và a, b  1, ta có:
 logb c 
 loga b 

loga c

loga b

hay loga b.logb c  loga c

1
logb a

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

1

 loga c  loga c (  0)



SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
§4. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LƠGARIT

Hàm số mũ y  a x (a > 0, a  1).
 Tập xác đònh: D = R.
 Tập giá trò:
T = (0; +).
 Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghòch biến.
 Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
 Đồ thò:
y

y=ax

y

y=ax
1

1

x

x

a>1

0
Hàm số logarit y  loga x (a > 0, a  1)
 Tập xác đònh: D = (0; +).
 Tập giá trò:
T = R.
 Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghòch biến.
 Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
 Đồ thò:
y
y

O

y=logax

y=logax

1

x

1

x

O

0
a>1

Đạo hàm


 a x   a x ln a ;
 e x   e x ;

 au   au ln a.u
 eu   eu .u



 loga x   x ln1 a ;

 loga u   u lnu a



 ln x   1 (x > 0);

 ln u   u

x

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

u

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
§5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH
LƠGARIT

PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bản:
Với a > 0, a  1: a x  b  b  0

 x  loga b

2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
a) Đưa về cùng cơ số:
Với a > 0, a  1:
a f ( x )  ag( x )  f ( x )  g( x )
Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì:
a M  a N  (a  1)( M  N )  0
b) Logarit hoá:

a f ( x )  b g ( x )  f ( x)   log a b  .g ( x)

c) Đặt ẩn phụ:
 Dạng 1:

f (x)

, t  0 , trong đó P(t) là đa thức theo t.
P(a f ( x ) )  0  t  a
 P(t )  0

 Dạng 2:

 a2 f ( x )   (ab) f ( x )   b2 f ( x )  0

Chia 2 vế cho b

2 f ( x)

, rồi đặt ẩn phụ

a
t 
b

f (x)

 Dạng 3: a f ( x )  b f ( x )  m , với ab  1 . Đặt t  a f ( x )  b f ( x ) 

1
t

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

 Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1).
 Dựa vào tính đồng biến, nghòch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là
nghiệm duy nhất:
 f ( x ) đồng biến và g( x ) nghòch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt).
 f ( x ) đơn điệu và g( x )  c hằng số

 Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghòch biến) thì f (u)  f (v)  u  v
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
 Phương trình tích A.B = 0   A  0

B  0
 Phương trình A2  B2  0   A  0
B  0

f) Phương pháp đối lập
Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Nếu ta chứng minh được:  f ( x )  M
 g( x )  M

thì

(1)   f ( x )  M

g( x )  M

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. Phương trình logarit cơ bản
Với a > 0, a  1: loga x  b  x  ab
2. Một số phương pháp giải phương trình logarit
a) Đưa về cùng cơ số
Với a > 0, a  1:

 f ( x )  g( x )
loga f ( x )  loga g( x )  
 f ( x )  0 (hoặc g( x )  0)

b) Mũ hoá
Với a > 0, a  1: loga f ( x )  b  aloga f ( x )  ab
c) Đặt ẩn phụ
d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
e) Đưa về phương trình đặc biệt
f) Phương pháp đối lập
Chú ý:
 Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghóa.
 Với a, b, c > 0 và a, b, c  1: alogb c  c logb a

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
§6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH LƠGARIT

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

 Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệ u của hàm số mũ.
a f ( x )  a g( x )

 a  1
  f ( x )  g( x )
 
 0  a  1
  f ( x )  g( x )

 Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình
mũ:
– Đưa về cùng cơ số.
– Đặt ẩn phụ.
– ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:
a M  a N  (a  1)( M  N )  0

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

 Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số
logarit.
 a  1
  f ( x )  g( x )  0

loga f ( x )  loga g( x )   
 0  a  1
 0  f ( x )  g( x )

 Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương
trình logarit:
– Đưa về cùng cơ số.
– Đặt ẩn phụ.
– ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:
loga B  0  (a  1)( B  1)  0 ;

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

loga A
loga B

 0  ( A  1)(B  1)  0
SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ