BT GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG III TÍCH PHÂN

FB: />
Ả

CHƯƠNG III. NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ
ỨNG DỤNG

§1. NGUN HÀM
VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) f ( x )  x 2 –3 x 
d) f ( x ) 

x

2

x
2
1

2

2x4  3

c) f ( x ) 

x 1

e) f ( x)  x  3 x  4 x

f) f ( x ) 



h) f ( x)  tan2 x

i) f ( x)  cos2 x

b) f ( x ) 

( x 2  1)2

g) f ( x )  2 sin 2
k) f ( x ) 

1
x

x2

cos 2 x

l) f ( x ) 

2

sin x.cos x

n) f ( x )  e x  e x – 1

o)

2

sin x.cos2 x

e x 
f ( x )  e x  2 

cos2 x 


x2
1

x

2
3

x

m) f ( x )  2 sin 3 x cos 2 x
p) f ( x )  e3x 1

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
F ( )  2
a) f ( x)  x3  4 x  5; F(1)  3
b) f ( x )  3  5 cos x;
3  5x 2
;

x
x3  1
f (x )=
;
x2

x2  1
;
x

c) f ( x ) 

F (e)  1

d) f ( x ) 

e)

F (2)  0

f) f ( x )  x x 

 
F '   0
3

h) f ( x ) 

g) f ( x )  sin 2 x.cos x;
i) f ( x ) 

x3  3x 3  3x  7
2

( x  1)

;

F (0)  8

k)

F (1) 

1
x

;

3x 4  2 x3  5

x2
x
f ( x )  sin2 ;
2

3
2

F (1)  2

; F (1)  2

  
F  
2 4

Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho
trước:
a) g( x )  x cos x  x 2 ; f ( x )  x sin x;

 
F  3
2

b) g( x)  x sin x  x 2 ; f ( x)  x cos x;
c) g( x)  x ln x  x 2 ; f ( x)  ln x;

F( )  0
F(2)  2

Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
x

a) F( x )  (4 x  5)ex


 f ( x )  (4 x  1)e

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

4

b) F( x )  tan 5x  3x  5 3


 f ( x )  4 tan x  4 tan x  3
SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
Ả

c)


 x2  4 
 F ( x )  ln 

2

x

3




2
x
 f (x) 


( x 2  4)( x 2  3)


x2  x 2  1
F
(
x
)

ln


x2  x 2  1

2
 f ( x )  2 2( x  1)

x4  1

d)

Tìm điều kiện để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
 F ( x )  ln x 2  mx  5

. Tìm m.
2x  3

 f (x)  2
x  3x  5



3
2

a) F( x )  mx2  (3m  2)x  4 x  3 . Tìm m.

 f ( x )  3x  10 x  4

b)


2
2
c)  F ( x )  (ax  bx  c) x  4 x . Tìm a, b, c.

2

 c)e x
d) F( x )  (ax  bx
. Tìm a, b, c.
x

e)

2
x

f) F( x )  (ax2  bx  c)e x . Tìm a, b, c.


 f ( x )  ( x  3)e

 f ( x )  ( x  2) x 2  4 x
F( x )  (ax 2  bx  c)e2 x

. Tìm a, b, c.

2
2 x

 f ( x )  (2 x  8x  7)e


 f ( x )  ( x  3x  2)e
 F ( x )  (ax 2  bx  c) 2 x  3

b
c

 F ( x )  (a  1)sin x  sin 2 x  sin 3 x
. Tìm a, b, c.
g) 
. Tìm a, b, c. h) 
20 x 2  30 x  7
2
3
f
(
x

)


 f ( x )  cos x
2x  3


VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm  f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến số
Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):
dx

a)  (5 x  1)dx

b) 

d)  (2 x 2  1)7 xdx

e)  ( x 3  5)4 x 2 dx

g)  x  1.xdx

h) 

k)  sin 4 x cos xdx

l)

2

n) 

e x dx

c)  5  2xdx

(3  2 x )5

3x 2

5  2 x3
sin x
 5 dx
cos x

dx

2

x

e 3
ln3 x

dx
q) 
x

x

f) 

x2  5

dx

i) 

x (1  x )2

m) 

o)  x.e x 1dx

p) 

dx

s) 

r) 

ex  1

dx

tan xdx

e

cos2 x

x

x

dx

etan x
cos2 x

dx

Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):
a) 
d) 
g) 

dx
2 3

(1  x )
dx
4  x2

x 2 dx
1  x2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

b) 

dx
2 3

(1  x )

e)  x 2 1  x 2 .dx
h) 

dx
2

x  x 1

c)  1  x 2 .dx
f) 

dx
1  x2

i)  x 3 x 2  1.dx

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
Ả

VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Tính các nguyên hàm sau:
a)  x.sin xdx

b)  x cos xdx

c)  ( x 2  5)sin xdx

d)  ( x 2  2 x  3) cos xdx

e)  x sin 2 xdx

f)  x cos 2 xdx

g)  x.e x dx

h)  x3e x dx

i)  ln xdx

k)  x ln xdx

l)  ln2 xdx

m)  ln( x 2  1)dx

n)  x tan2 xdx

o)  x 2 cos2 xdx

p)  x 2 cos 2 xdx

q)  x ln(1  x 2 )dx

r)  x.2 x dx

s)  x lg xdx

2

Tính các nguyên hàm sau:
ln xdx

a)  e x dx

b) 

d)  cos x dx

e)  x.sin x dx

f)  sin 3 xdx

h)  sin(ln x )dx

i)  cos(ln x )dx

g) 

ln(ln x )
dx
x

c)  sin x dx

x

Tính các nguyên hàm sau:
a)  e .cos xdx
b)  e x (1  tan x  tan2 x )dx c)  e x .sin 2 xdx
x

d) 
g) 

ln(cos x )
dx
cos2 x



x ln x  x 2  1
x2  1

e) 

dx

ln(1  x )
x

2

x3

h) 

1  x2

f) 

dx

i)

dx

x
cos2 x

dx
2

 ln x 
  x  dx

VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ
Tính các nguyên hàm sau:
sin x

dx
b) 
sin x  cos x

dx
d) 
sin x  cos x

cos x

e) 

g)  2sin2 x.sin 2 xdx

h)  2 cos2 x.sin 2 xdx

dx
a) 
sin x  cos x

k) 

e x
e x  e x

dx

cos x

l) 

sin 4 x
sin 4 x  cos4 x

ex
e x  e x

dx

sin x

dx
c) 
sin x  cos x
dx

cos4 x

f) 
i)

sin 4 x  cos4 x
ex
 x  x dx
e e

m) 

e x
e x  e x

dx

dx

VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Tính các nguyên hàm sau:
dx

a) 
x ( x  1)

dx

b) 
( x  1)(2 x  3)

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

c) 

x2  1
dx
x2  1

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
Ả

d) 

dx

2

x  7 x  10
x

dx
g) 
( x  1)(2 x  1)

k) 

dx

e) 
h) 
l) 

x ( x 2  1)

dx

f) 

2

x  6x  9
x
2 x 2  3x  2
dx

dx

1  x3

i) 
m)

dx
2

x 4
x3
x 2  3x  2
x
 3 dx
x 1

dx

Tính caùc nguyeân haøm sau:
a) 

1

dx

b) 

dx

e) 

1 x 1
1

d) 

4

x x

dx

g) 
k) 
3

x  3 x  24 x
dx
(2 x  1)2  2 x  1

x 1
x x 2

c) 

dx

dx
f) 

x ( x  1)

x
3

x x

1  x dx

h) 
1 x x
l) 

dx
x 2  5x  6

Tính caùc nguyeân haøm sau:
a)  sin 2 x sin 5xdx
b)  cos x sin 3xdx
cos 2 x

dx
d) 
1  sin x cos x
1  sin x

dx

e) 
2 sin x  1

sin3 x

1

dx

1 3 x 1
x

1  x dx

i)  3
1 x x
m) 

dx
x2  6x  8

c)  (tan2 x  tan4 x )dx
dx

f) 
cos x
dx


cos x cos  x  

4

dx
g) 
cos x

dx
h) 
cos x

i) 

k)  cos x cos 2 x cos3xdx

l)  cos3 xdx

m)  sin 4 xdx

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

dx

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
Ả

§2. TÍCH PHÂN

VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Tính các tích phân sau:

a)

2

2

1

3
3 x 1
1 ( x  x  e )dx

2

1

 (x

3

 2 x  1)dx
x

d) 

1 x

2

2

e)

dx

g)  ( x  1)( x  x  1)dx
1

x2  2x

k) 

x3

1

x



4

2

2

2

b)

2

2

x 1
dx
x2


1

e

2

4
dx
x2

1
x

f)  ( x  
1

h)  ( x  x x  x )dx
2

3

1

i)



1
x

2

 x 2 )dx



4

x  23 x  44 x dx

1

e2

2 x  5  7x
dx
x

l) 

dx



c)

2

1

8
1 
dx
m)   4 x 




3
3 x2 

1

Tính các tích phân sau:
2

7

a)  x  1dx
d) 0

xdx

3

x2  x 2

2

1

4  x2

dx

2

dx

b) 

3x 2

2

e) 0

3

1  x3

dx

c)  ( x 2  x x  3 x )dx
1

4

f) 0 x x 2  9dx

Tính các tích phân sau:





a)  sin( 2 x  )dx
6

0

2


6



0

b)  (2sin x  3cosx  x )dx c)   sin 3 x  cos 2 x  dx

3







4

3

tan x .dx

d) 

cos2 x

0

e)  3tan2 x dx




2

2

dx

g) 
1  sin x
0



3

2

k)  (tan x  cot x )2 dx


1  cos x

dx
h) 
1

cos
x
0





6



6


4



4

f)  (2 cot 2 x  5) dx



sin(  x )
4
dx

l) 



sin(  x )
4


2

2

i)  sin2 x.cos2 xdx
0


4

m)  cos4 x dx
0

Tính các tích phân sau:
1 x

a) 

e  e x

0e

x

ln 2

d) 0

e

x

dx

ex

dx
ex  1

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

2

b) 

1

( x  1).dx
2

x  x ln x
2

e x

e) 1 e x (1  )dx
x

1e

c) 0

4

x

e 2

1e

f) 0

2x

x

2x

dx

dx

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
Ả


x

4e

g) 02 ecos x sin xdx

h) 1

e ln x

x

1

dx
k) 1
x

1  ln x
dx
x

e

i) 1

dx

1

x2

l) 0 xe dx

1

m) 

0 1 e

x

dx

VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):
1

a)  x(1  x)19 dx

b)

0

d)

1

g)

2 3



5

dx

h)

x x2  4

ln3



0

l)



ex  1



3


1



2

2

sin 2 x
cos x  4 sin x
2

0

1 x2

2

dx

o)

x5
0 x 2  1 dx
1

f)  x 3 1  x 2 dx
0

ln 2

3

dx

i) 

0

2  ln x dx
2x

e





x  2x
5

0

e x dx

k) 

n)

0

3

1

c)

e)  x 1  x 2 dx

2x  1

0

x3
0 (1  x 2 ) 3
1

xdx



1

ex
1  ex

1  3 ln x ln x
dx
x

e

m)

dx


1


3

cos x. sin x
0 1  sin 2 x dx

p)

6

 2 sin
0

sin 2 x
dx
x  cos 2 x

2

Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):
a)

1
2

dx



1 x2

0

d)

b)

3

x
0

0

g) 

1

dx
3

e)

2

k) 

2



x2  2x  2

h)

1

 (x
2


1

2
2

dx

l) 

x x2  1

c)  x 2 4  x 2 dx

4  x2

0

dx

2

x 2 dx

0

2
3

1

0

2

1

dx
 1)( x 2  2)

x2 1
dx
x3
x2
1  x2

dx

1

f)

x

i)

1

4

0

xdx
 x2 1
dx



1  x 

2 5

0

2

m)  x 2 x  x 2 dx
0

VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Tính các tích phân sau:




4

2

a)  x sin 2 xdx

b)  ( x  sin x) cos xdx
2

0

0

2



4

3

d) 

x cos

xdx

0

x

2

cos xdx

0

e)  x tan xdx


c)

2

2

1

f)  ( x  2)e 2 x dx
0

4

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
Ả

g)

e

ln 2

3

h)  x ln xdx

x
 xe dx

i)  ln( x 2  x)dx

1

0



2



2

e

2

k)  e sin 5 xdx

l)  e

3x

0

cos x

m)  ln 3 xdx

sin 2 xdx

1

0

e

o)  x 3 ln 2 xdx

p)

e

0

ln x
dx
2
1 x

q)  x(e 2 x  3 x  1)dx



1

1

e

VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trò tuyệt đối
Tính các tích phân sau:
a)

2



b)

x  2 dx

2



0

c)

x 2  x dx

0

3

5

e)  ( x  2  x  2 )dx

2

 2 x  3 dx

g)  x 2  6 x  9dx

h)

3

f)  2 x  4 dx

2

1

x
0

d)  x 2  1 dx
3
4

2

0
1

3



i)  4  x dx

x 3  4 x 2  4 x dx

1

0

Tính các tích phân sau:
a)







2

2

b)  1  sin 2 x .dx

1  cos 2 x dx

0

0



2

d)  1  sin xdx

c)  sin x dx


f)  1  cos 2xdx
0

0




3

3

g)  tan x  cot x  2dx
2

2



e)  1  cos xdx





2

h)  cos x cos x  cos xdx i)  1  sin xdx

2





6

3



0

2

VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ
Tính các tích phân sau:
1

3

d)

1

x

 1  2 x 

3

e)

dx

4

dx
2 x(x  1)
0

k) 

1

x 3 dx
c)  2
0 x  2x  1

2 x3  6 x2  9x  9
x 2  3x  2

3

x 2 dx

f)

 1  x 

9

2

0

g)

3

dx
b)  2
0 x  5x  6

dx
a) 
3
1 x x

h)

1

0

dx

3

l) 

2

2

x3  3x  2

2

dx
(1  x)

1

x3  x  1
dx
x

1
0

i) 

 5x  6

3x 2  3x  3

x
1

4 x  11dx

x

4

dx

1

m) 

x2

3
0 (3 x  1)

dx

Tính các tích phân sau:
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />

Ả

a)

2

dx
0 x 2  2x  2
1

1

d) 

2
2
0 ( x  2) ( x  3)

2

1

g) 

4
1 x (1  x )

2

k) 

0

1

dx

dx



2
dx
2
x 1


0

2

c)

1

2

1  x 2008

h) 

2008
)
1 x (1  x

l) 

1  x2

1 1

x4

x 3  2x 2  4x  9
dx
0
x2  4
2

1

x3  x  1
dx
2
x

1
0

e) 

2

dx

4  x2

3x

3

b)

x

f) 

4
0 1 x

dx

3

x4

i) 

dx

2
2
2 ( x  1)
1

m) 

dx

dx

2  x4

0 1

x2

dx

VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ
Tính các tích phân sau:
a)

2 2



x x  1dx
2

0

d)

2

 x

x 1
2

x 1

10

g) 

6

x

1

dx

dx

7
3

3

0

2
2

e) 

2 2x  1

3x  1

dx

c)

1

dx



x 1  x

0

dx
4x 1

h)  x 3 x 2  1dx

f)

2

x4



x5  1

0

i)

0

l) 

 2

5

3

dx

m) 

2

x x 4

dx

4x  3

1

0

2 3

x 1

dx

1

x  2 x 1

5



x3

0

1

k)

b)

1

0

3x  1

x5  x3
1 x

2

dx

dx

2

1 x

dx
n) 
1

x

0

3

dx

2

x x2 1

3

x2  1

o) 

2

dx

p) 

x x3  1

1

Tính các tích phân sau:
1

a)  x 2 1  x 2 dx

0

2

d)  x 2  2008dx
1

1

g) 

dx

1 1 

2
2

k) 

0

x  x2  1

dx
(1  x 2 )3

b) 

1

x2 x2  1

dx

3

1

2
2

l) 

0

(1  x 2 )3

1

f)  1  x 2 dx

0

h) 

dx

0

e)  x 3 10  x 2 dx
2

1

c) 

0

dx

1

x 3dx

0

x  x2  1

i) 

x 2  2008

5
4

2

x dx

m)  12 x  4 x 2  8dx

1  x2

1

Tính các tích phân sau:






2

cos xdx

2

2

cos xdx

0

7  cos 2 x

0

0

2  cos2 x





a) 


2

d)  6 1  cos3 x sin x cos5 xdx
0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

b)  sin x cos x  cos2 xdx c) 
2

e) 

0

sin 2 x  sin x
1  3 cos x

dx

3

cos xdx

0

2  cos 2 x

f) 

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
Ả

2


3

cos xdx

g) 

2

1  cos x

0

tan x

h) 

2

cos x 1  cos x


4


2

i) 

dx

sin 2 x  sin x
1  3cos x

0

dx

Tính các tích phân sau:
ln 3

a) 

ln 2

dx

b) 

ex  1

0

ln2 x

ln 2

x ln x  1

ln 2

0

ex

0

(e x  1) e x  1

1

ex

0

e x  e x

h) 

dx

e x dx

f) 

(e x  1)3

0

1

ln3

g) 

1

e)  x(e2 x  3 x  1)dx

dx

1  3ln x ln x
dx

x

c) 

ex  1

0

ln3

d) 

e

e2 x dx

ln 2

i)  e x  1dx

dx

0

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Tính các tích phân sau:




4

4

a)  sin 2 x. cos xdx



b)  tan xdx

0

2

c)

sin x

 1  3 cos x dx

0

0





2

d)  sin xdx
0

g)  sin x cos xdx
2

4

0

0

0





h)  sin 2 x cos 3 xdx

2







4

3

3

3

n)  tan3 xdx

0

sin3 x
2

1  cos x

l)

m)


4

4


r)

sin 2 x cos x
dx
1  cos x

0



p) 



dx

2


3

o)  tan 4 xdx

0

q) 

0

3

0

k)  (sin x  cos x )dx

2

i)  sin 4 x cos5 xdx

0

cos x
 cos x  1 dx
0



2

2


2

f)  cos 2 3x

2


2



e)  sin xdx

3

dx
sin x.cos3 x

 /3

cos3 x
 1  cos x dx
0

2

dx

s) 

 /6 sin

4

x.cos x

Tính các tích phân sau:
a)







2

1  sin 2 x  cos 2 x
 sin x  cos x dx



1  cos 3 x sin x cos 5 xdx

b)

0

2

c)



d)  cos 2 x(sin 4 x  cos4 x )dx
0

3

g)  sin x.ln(cos x )dx
0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


 cos x

tan x
1  cos 2 x

dx

4

6

2

3



e)





4
0

(tan x  e sin x cos x)dx

f)

 1  sin x 
2

3

2

sin 2 xdx

0


4

h) 

0

3

sin x
2

2

5

(tan x  1) .cos x

dx


3

i) 



3

1
2

sin x  9 cos2 x

dx

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
Ả

Tính các tích phân sau:






2

2

1

a) 
dx
sin
x

3




2

2

cos x

d) 
dx
1

cos
x
0



2

2

1





2

3

(1  sin x ) cos x
2

(1  sin x )(2  cos x )

dx

sin x

f) 
dx
2


sin
x
0


sin x  cos x  1

h) 
dx
sin
x

2
cos
x

3




0

2

cos x

e) 
dx
2


cos
x
0

g) 
dx
sin
x

cos
x

1
0

1

c) 
dx
2

sin
x
0




k) 

2

dx

b) 
2  cos x
0

4

dx

0

cos x cos( x  )
4

i) 



2



dx

l) 



sin x cos( x  )
4
4



3

dx



sin x sin( x  )
6

m) 



6

Tính các tích phân sau:






2

4

3

a)  (2 x  1) cos xdx
0

xdx
b) 
1  cos 2 x
0


2

2

0

g)  cos(ln x )dx

3

ln(sin x )

h) 


1

2

f)  sin 2 x.e2 x 1dx
0

cos2 x

6

dx

2

i)  (2 x  1) cos2 xdx
0





k)  e2 x sin2 xdx
0

4

l)  x tan2 xdx
0

2

n)



m)  x sin x cos2 xdx
0




sin
e

2

x

sin x cos3 xdx

0

dx

x





2

2

0

e)  x 2 cos xdx

0

x

 cos




d)  sin 3 xdx

c)



4

o)  ln(1  tan x )dx

p)

0

4

dx

 cos

4

0

x

VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit
Tính các tích phân sau:
1

x

a)

e dx
0 1  e x

d)

ln 8



ln 3

2

g) 

e

ex 1
1

e

ln 2


0

x

x
1 1 e

k) 

b)
e)

dx

2
1 x (ln x  1)

ln 8

ln 3

e x  1.e 2 x dx

1

1

c) 

x
0e 4

f)

ln 2


0

2

h) 

dx

ln x



dx
x
e 5

e2 x

x
0 e 1

dx

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

1

l) 

1

i) 

dx

m) 

e2 x

x
1
0e

1 ex
dx
1 ex

e x

dx

x
1
0e
ln3
0

dx

dx

1
x

e 1

dx

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
Ả

Tính các tích phân sau:

2

2

a)  e x sin xdx

1

b)  xe 2 x dx

0

c)  xe  x dx

0

0

1

f) 


2

0

e

e

e)  x ln 1  x dx

d)  (e x  cos x) cos xdx

1

0
2

ln x  ln(ln x )
dx
x

g) 
e





 ln 2 x dx

1  x ln x  1
e

ln x

h)  


2

ln x

k) 

x2

1

3



e3

ln(ln x )
dx
x
e2

i) 

1

ln(sin x )
dx
cos2 x

l) 

dx

1  ln2 x
dx
x

m) 

0

ln( x  1)
x 1

dx

6

VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt
Tính các tích phân sau (dạng 1):


4

a) 


7

5

x  x  x  x 1
4

cos x



dx

b)  cos x ln( x  1  x 2 )dx


1

e) 

g) 



5

sin x
1  cos x


2

f) 


2

i) 

2
 4  sin x



2

1

xdx

h) 

dx

1
2

1

x dx



2

 1 x 

c)  cos x.ln 
dx
 1 x 


4
2
1 x  x  1

1

2



2
1

d)  ln  x  1  x 2  dx



2

4



1
2



3

x 4  sin x
x2  1

dx

x  cos x

2
 4  sin x

dx

2

Tính các tích phân sau (dạng 2):
1

1

x4

a) 



d) 



1  x2

b) 

dx
x
2

1
1

1

sin2 x

e)

dx
3x  1

1  2x

1

1 (e

f) 



sin x sin 3 x cos5 x

4

sin x  cos x



1  ex



6x  1



h) 


2

6

6



dx

x

 1)( x 2  1)

2

x 2 sin2 x



1  2x

i) 


4

 1)( x 2  1)

dx

1 (4

2

dx

x

1

x2 1
31  2 x dx
3



g) 

dx

c) 

dx

dx

2

Tính các tích phân sau (dạng 3):

2

a) 

0



n

cos x
n

n

cos x  sin x


2

d) 

dx

(n  N*)

sin2009 x

2009
x  cos2009 x
0 sin

dx

2

b) 

0

2

e) 



7

sin x
7

7

sin x  cos x

cos4 x

4
4
0 cos x  sin x

dx

dx

2

c) 

0

2

f) 

sin x
sin x  cos x

sin 4 x

4
4
0 cos x  sin x

dx

dx

Tính các tích phân sau (dạng 4):
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
Ả


a) 

0

x.sin x
4  cos2 x

b) 

dx

0



x  cos x
4  sin2 x

2

0



e)  x.cos3 xdx

0

f)  x.sin3 xdx

0



x

g) 
dx
1

sin
x
0

0



x sin x

h) 
dx
2

cos
x
0





4

k)  sin 4 x ln(1  tan x )dx

x sin x

l) 

0

9  4 cos2 x

0

 1  sin x 
dx
 1  cos x 

c)  ln 

dx

2

4

d)  ln(1  tan x )dx






x sin x

i) 

2
0 1  cos x

dx



m)  x sin x cos4 xdx

dx

0

Tính các tích phân sau (dạng 5):




2

2

sin x

a) 
dx
sin x  cos x
0
d)



2

2

cos x
 sin x  cos x dx
0

g) 

0

e) 

0

sin x
sin6 x  cos6 x

h) 

dx

0


2

l) 

2

1 e

ex
x

 e x

cos x
sin6 x  cos6 x

ex
x

1

o) 

dx

1 e

 e x

 e x

f) 

0

dx

dx

e x
x

dx

cos4 x

2

sin 4 x  cos4 x

dx



6

1 e

0

1

sin 4 x  cos4 x

1

k)  2 cos x.sin 2 xdx
n) 

sin x

2

sin x

c) 
dx
sin x  cos x
0


4



6

2

2

cos x

b) 
dx
sin x  cos x
0







2

i)  2sin2 x.sin 2 xdx
0

1

m) 

1 e

e x
x

 e x

dx

dx

VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi
Lập công thức truy hồi cho các tích phân sau:

2

a) I n   sin n xdx
0

n1

 Đặt u  sin x

dv  sin x.dx


2

b) I n   cosn xdx
0

n1

 Đặt u  cos x

dv  cos x.dx


4

c) I n   tan n xdx

 Phân tích: tann x  tann2 x  tan2 x  1  tann2 x

0


2

d) I n   x n cos x.dx

 Đặt

0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

u  x n

dv  cos x.dx

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
Ả


Jn 

2

x

n

sin x.dx

 Ñaët

u  x n

dv  sin x.dx

 Ñaët


u  x n

x

dv  e .dx

 Ñaët

u  ln n x

dv  dx

0

1

e) I n  x ne x dx
0

e

f) I n   ln n x.dx
1

1

g) I n   (1  x 2 )n dx

 Ñaët x  cos t

2n

Ñaët u  sin t



dv  sin t.dt

0

1

h) I n  

dx

0 (1 

 Phaân tích

x 2 )n
1

x2

Tính Jn  

2 n
0 (1  x )

1

i) I n   x n 1  x .dx

dx .

Ñaët

(1  x 2 )n



1  x2
(1  x 2 )n



x2

(1  x 2 )n

u  x

x
dv 
dx

(1  x 2 )n


 Ñaët

0

1

u  x n

dv  1  x .dx


4

k) I n  

0

dx
cosn x

dx

 Phaân tích

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

1
n

cos x



cos x
cos

n 1

x

 Ñaët

t

1
cosn1 x

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

FB: />
Ả

§3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y  x 2  4 x  6, y  0, x  2, x  4
1  ln x
, y  0, x  1, x  e
x

c) y 

1
e

e) y  ln x, y  0, x  , x  e
x

g) y 

1 x4

, y  0, x  0, x 

b) y 

ln x

1
, y  0, x  , x  e
x
e

d) y 

ln x
2 x

, y  0, x  e, x  1

f) y  x3 , y  0, x  2, x  1
1
2

h) y  lg x , y  0, x 

1
, x  10
10

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y 

3 x  1
, y  0, x  0
x 1

c) y  e x , y  2, x  1

e) y  2 x 2 , y  x 2  2 x  1, y  2
g) y  x 2 , y 

x2
27
,y
27
x

i) y2  2 x, 2 x  2y  1  0, y  0

b) y  x , y  2  x, y  0
d) y  x , x  y  2  0, y  0
f) y  x 2  4 x  5, y  2 x  4, y  4 x  11
h) y  2 x 2 , y  x 2  4 x  4, y  8
k) y   x 2  6 x  5, y   x 2  4 x  3, y  3x  15

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1
x

a) y  x, y  , y  0, x  e

b) y  sin x  2 cos x, y  3, x  0, x  

c) y  5x 2 , y  0, y  3  x, x  0
e) y  x , y  0, y  4  x

d) y  2 x 2  2 x, y  x 2  3x  6, x  0, x  4
f) y  x 2  2 x  2, y  x 2  4 x  5, y  1

g) y  x , y  2  x, y  0

h) y 

1
e

2 x

, y  e x , x  1

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y  4  x 2 , y  x 2  2 x
b) y  x 2  4 x  3 , y  x  3
1
4

1
2

1

x2
2

c) y  x 2 , y   x 2  3

d) y 

e) y  x , y  2  x 2

f) y  x 2  2 x, y   x 2  4 x

g) y 

x2
1
,y
2
1  x2

i) y  x 2  2 x, y  x  2

1  x2

,y 

2
x

h) y  x  3  , y  0
k) y  x 2  2, y  4  x

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y  x 2 , x   y2
b) y2  x  5  0, x  y  3  0
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

FB: />
Ả

c) y2  2y  x  0, x  y  0
e) y2  2 x, y  x, y  0, y  3
g) y2  6 x, x 2  y2  16
i) x  y3  1  0, x  y  1  0

d) y2  2 x  1, y  x  1
f) y  ( x  1)2 , x  sin y
h) y2  (4  x)3 , y2  4 x
k) x 2  y2  8, y2  2 x

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y  x.e x ; y  0; x  1; x  2.
b) y  x.ln2 x; y  0; x  1; x  e.
c) y  e x ; y  e x ; x  1.
d) y  5x 2 ; y  0; x  0; y  3  x.
1
e

e) y  ( x  1)5; y  e x ; x  1.

f) y  ln x , y  0, x  , x  e

g) y  sin x  cos2 x, y  0, x  0, x  

h) y  x  sin x; y  x; x  0; x  2.

i) y  x  sin2 x; y  ; x  0; x  .

k) y  sin2 x  sin x  1, y  0, x  0, x 


2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) (C ) : y  x 
b)

1

, tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3.

2x2
x2  2x  1
(C ) : y 
, y  0,
x2

tiệm cận xiên của (C), x = –1 và x = 2

c) (C) : y  x3  2 x 2  4 x  3, y  0 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2.
d) (C) : y  x3  3x  2, x  1 và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hoành độ x = –2.
e) (C) : y  x 2  2 x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C).
VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau
quay quanh trục Ox:

a) y  sin x, y  0, x  0, x 

1
3


4

b) y  x 3  x 2 , y  0, x  0, x  3

c) y  sin6 x  cos6 x , y  0, x  0, x 
e) y  x3  1, y  0, x  1, x  1
g)

d) y  x , x  4
f) y  x 2 , y  x

x2
x3
y
,y
4
8

h) y   x 2  4 x, y  x  2




4

2

i) y  sin x, y  cos x, x  , x 

l) y  x  4 x  6, y   x  2 x  6
2


2

2

k) ( x  2)2  y2  9, y  0
m) y  ln x, y  0, x  2

Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau
quay quanh trục Oy:
2
y

a) x  , y  1, y  4

b) y  x 2 , y  4

c) y  e x , x  0, y  e

d) y  x 2 , y  1, y  2

Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau

quay quanh:
i) trục Ox
ii) trục Oy
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
Ả

a) y  ( x  2)2 , y  4
c) y 

1
2

x 1

, y  0, x  0, x  1

e) y  x.ln x, y  0, x  1, x  e
g) y  x 2 , y  x
i)

x2 y2

1
9
4

l) x  y2  0, y  2, x  0

b) y  x 2 , y  4 x 2 , y  4
d) y  2 x  x 2 , y  0
f) y  x 2 ( x  0), y  3x  10, y  1
2
h)  x – 4   y2  1 
k) y  x  1, y  2, y  0, x  0
m) y2  x3 , y  0, x  1

Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ