LT GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG III TÍCH PHÂN

GIẢI TÍCH 12

FB: />
CHƯƠNG III. NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ
ỨNG DỤNG

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1) Đạo hàm của các hàm số sơ cấp:
Đạo hàm số sơ cấp cơ bản
(C)' = 0
(x)' = x-1(  R, x > 0)
( x )' 

1

(x > 0)

2 x
1
1
( )'   2 (x
x
x

(cotx)' =

1
x

(log a x )' =

(x 


2

 k

, k  Z)

(x  k, k  Z).

 0)

(tanu)' =
(cotu)' =

u'

(u   k , k  Z)
2
2
cos u
u'
- 2 (u  k, k  Z).
sin u

(eu)' = u'.eu
(au)' = u'.au

(x ≠ 0)

1
x ln a

(u > 0)

(sinu)' = cosu.u'
(cosu)' = -sinu.u'

(ex)' = ex
(ax)' = ax.lna
(ln x )' 

u'

2 u
1
u'
( )'   2 (u
u
u

 0)

1
cos 2 x
1
- 2
sin x

(u)' = u-1.u'(  R, u > 0)

( u )' 

(sinx)' = cosx
(cosx)' = -sinx
(tanx)' =

Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x))

(ln u )' 

(x ≠ 0)

u'
(u
u

(log a u )' =

≠ 0)

u'
u ln a

(u ≠ 0)

2) Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên (a; b) và có đạo hàm tại x  (a; b).
dy = f'(x)dx
3) Một số công thức lượng giác thường sử dụng:
 tanx =

sin x
cos x

 sin2a = 2sinacosa



1
 1  tan 2 x
2
cos x
1
sinasinb=- [cos(a
2

cos x
sin x
1  cos 2a
 cos 2 a 
2
1
 2  1  cot 2 x
sin x

 cotx =

+ b)-cos(a - b)]

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

 tanx.cotx = 1
1  cos 2a
2
1
cosacosb= [cos(a+b)+cos(a-b)]
2
1
 sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)]
2

 sin 2 a 

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
§1. NGUN HÀM
I- NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1. Nguyên hàm:
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.
Cho hàm số f(x) xác đònh trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm
số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x  K.
* Chú ý:
1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì F(x) + C, C  R là họ tất
cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Kí hiệu  f ( x )dx = F(x) + C.
2) Trong kí hiệu

1

 f ( x )dx thì "d..." gắn với biến tương ứng của hàm f. Ví dụ:  s ds ,

 cos tdt ,...

3) Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x)=F'(x)dx
= f(x).
2. Các tính chất của nguyên hàm:
Tính chất 1:  f ' ( x )dx  f ( x )  C
Tính chất 2:  kf ( x )dx  k  f ( x )dx
(k là hằng số khác 0)
Tính chất 3:  [ f ( x )  g( x )]dx   f ( x )dx   g( x )dx
3. Sự tồn tại nguyên hàm:
Đònh lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

 0dx  C
 dx  x  C

 x dx 

x 1
 C(  1)
 1

 e dx  e
x

x
 a dx 

dx
 x  ln x  C(x  0)

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

x

C

ax
 C(0  a  1)
ln a

 cos xdx  sin x  C
 sin xdx   cos x  C
dx

 cos

2

dx

 sin

2

x
x

 tgx  C
  cot gx  C

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
II- PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến số:
Đònh lí: Nếu  f (u)du  F(u)  C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục
thì

 f [u( x )]u' ( x )dx  F[u( x )]  C
1
a

Hệ quả: Nếu  f ( x )dx  F ( x )  C thì  f (ax  b)dx  F (ax  b)  C
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:
Đònh lí: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì

 u( x)v' ( x)dx  u( x).v( x)   u' ( x)v( x)dx
* Chú ý: Ta có v'(x)dx = dv, u'(x)dx = du nên  udv  uv   vdu
Phương pháp: Tính  u ( x)v' ( x)dx

Lấy vi phân: lấy đạo hàm rồi nhân
thêm d... của biến tương ứng

vi phân hai vế

Đặt

u  ...  du  ...dx
dv  ...dx  v  ...

. Khi đó ta có  u ( x)v' ( x)dx = uv   vdu .

nguyên hàm hai vế

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm  f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến số

 Dạng 1: Nếu f(x) có dạng:
Khi đó:

f(x) = g u( x ) .u '( x ) thì ta đặt t  u( x )  dt  u '( x )dx .

 f ( x )dx =  g(t )dt , trong đó  g(t )dt dễ dàng tìm được.

Chú ý: Sau khi tính  g(t )dt theo t, ta phải thay lại t = u(x).

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

GIẢI TÍCH 12

FB: />
 Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa
a2  x 2

2

a x

hoặc

Cách đổi biến


x  a sin t,
 t
2
2
x  a cos t,
0t 
x  a tan t,

2

hoặc

x  a cot t,





t



2
2
0t 

VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

 P( x ).e
u
dv

x

dx

 P( x ).cos xdx

 P( x ).sin xdx

 P( x ).ln xdx

P(x)
cos xdx

P(x)
sin xdx

lnx
P(x)

P(x)
x

e dx

VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ
Để xác đònh nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên
hàm của các hàm số f(x)g(x) dễ xác đònh hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm
của f(x).
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác đònh nguyên hàm của các hàm số f(x)  g(x), tức là:
 F( x )  G( x )  A( x )  C1

 F( x )  G( x )  B( x )  C2

(*)
1
2

Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F ( x )   A( x )  B( x )  C là nguyên hàm của f(x).

VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1. f(x) là hàm hữu tỉ: f ( x ) 

P( x )
Q( x )

– Nếu bậc của P(x)  bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì
ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất đònh).
Chẳng hạn:

1
A
B


( x  a)( x  b) x  a x  b
1
2

( x  m)(ax  bx  c)

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309



A
Bx  C

, với   b2  4ac  0

2
x  m ax  bx  c

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
1
2

2

( x  a) ( x  b)



A
B
C
D



2
x  a ( x  a)
x  b ( x  b)2

2. f(x) là hàm vô tỉ




ax  b 

cx  d 



1

+ f(x) = R  x, m

 đặt

tm

ax  b
cx  d


  đặt t  x  a  x  b
(
x

a
)(
x

b

)



+ f(x) = R 


3. f(x) là hàm lượng giác
Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên
hàm cơ bản. Chẳng hạn:
+

sin ( x  a)  ( x  b)
1
1
,

.
sin( x  a).sin( x  b) sin(a  b) sin( x  a).sin( x  b)


sin(a  b) 
 sử dụng 1 

sin(a  b) 


+

sin ( x  a)  ( x  b)

1
1
,

.
cos( x  a).cos( x  b) sin(a  b) cos( x  a).cos( x  b)


sin(a  b) 
 sử dụng 1 

sin(a  b) 


+

cos ( x  a)  ( x  b)
1
1
,

.
sin( x  a).cos( x  b) cos(a  b) sin( x  a).cos( x  b)


cos(a  b) 
 sử dụng 1 

cos(a  b) 


+ Nếu R( sin x , cos x )   R(sin x , cos x ) thì đặt t = cosx
+ Nếu R(sin x ,  cos x )   R(sin x , cos x ) thì đặt t = sinx
+ Nếu R( sin x,  cos x )   R(sin x, cos x ) thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
§2. TÍCH PHÂN

I- KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN:
1. Diện tích hình thang cong:
Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới
hạn bởi đồ thò của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được
gọi là hình thang cong.
y
Với hình phẳng D giới hạn bởi
một đường cong kín bất kì ta có thể
B
y = f(x)
chia nhỏ thành những hình thang
A
cong bằng cách kẻ những đường
song song với các trục tọa độ.
x

O

a

b

Diện tích hình thang cong aABb: S=F(b)-F(a),
trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số
y = f(x).
2. Đònh nghóa tích phân:
Cho y = f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên
hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b
(hay tích phân xác đònh trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu là

b

 f ( x)dx .
a

b
Dùng kí hiệu F ( x ) a để chỉ hiệu số F(b) - F(a), ta có:
b

 f ( x)dx  F ( x)

b
a

 F (b)  F (a)

(NewTon - Lebniz)

a

a

* Chú ý: i) Ta quy ước  f ( x)dx  0 (a = b),
a

b


a

a

f ( x)dx    f ( x)dx

(a > b).

b

ii) Tích phân của hàm số f từ a đến b không phụ thuộc vào biến số, chỉ
phụ thuộc vào hàm số và các cận a, b nên ta có thể kí hiệu

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

b

b

a

a

 f ( x)dx hoặc  f (t)dt .

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
iii) Ý nghóa hình học của tích phân: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và
không âm trên đoạn [a; b], thì tích phân

b

 f ( x)dx là diện tích S của hình thang cong
a

b

giới hạn bởi đồ thò hàm số f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a, x=b. Vậy S=  f ( x )dx .
a

II- TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN:
b

b

a

a

* Tính chất 1:  kf ( x)dx  k  f ( x)dx (k là hằng số)
b

b

b

a

a

a

* Tính chất 2:   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx.

* Tính chất 3:

b



c

b

a

c

f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx

a

(a < c < b)

III- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:
1. Phương pháp đổi biến số:
Đònh lí: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn a; b . Giả sử hàm số x =  (t ) có đạo
hàm liên tục trên đoạn  ;   sao cho  (  )  a, ()=b và a   (t )  b , t   ;   ta
b



a



có:  f ( x)dx   f ( (t )) ' (t )dt.
b

a) Đổi biến số dạng 1: Tính I =  f ( x)dx bằng cách đặt x =  (t )
a
b

b) Đổi biến số dạng 2: Tính I =  f ( x)dx bằng cách đặt t = (x)

a

Đặt t = (x)  dt = '(x)dx
Đổi cận: x = a  t1 = (a)
x = b  t2 = (b)
Biến đổi f(x)dx = C.f[(x)].'(x)dx (với C là hằng số)
b

t2

t2

a

t1

t1

Khi đó ta có: I =  f ( x )dx   C. f [ ( x )]. ' ( x )dx   C. f (t)dt
2. Phương pháp tính tích phân từng phần:
Đònh lí: Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn a; b thì
:
b

b

 u( x)v' ( x)dx  (u( x)v( x)) a   u' ( x)v( x)dx
b

a

a

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

b

b

 udv  uv a   vdu.
b

hay a

a

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />vi phân hai vế
b

* Chú ý: Tính I =  u ( x)v' ( x)dx . Đặt

u  ...  du  ...dx

a

dv  ...dx  v  ...

b

b

, khi đó: I = (uv)   vdu .
a

a

nguyên hàm hai vế

VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm
nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp đònh nghóa tích phân:
b

 f ( x )dx  F(b)  F (a)

a

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
b

Dạng 1: Giả sử ta cần tính  g( x )dx .
a

Nếu viết được g(x) dưới dạng: g( x )  f u( x ) .u '( x ) thì

b

u(b )

a

u(a )

 g( x )dx 



f (u)du



Dạng 2: Giả sử ta cần tính  f ( x )dx .


Đặt x = x(t) (t  K) và a, b  K thoả mãn  = x(a),  = x(b)
thì



b

b



a

a

 f ( x )dx   f  x(t) x '(t)dt   g(t)dt

 g(t)  f  x(t).x '(t)

Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa
a2  x 2

a2  x 2

x 2  a2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

hoặc

hoặc

hoặc

Cách đổi biến



x  a sin t,
 t
2
2
x  a cos t,
0t 


x  a tan t,
 t
2
2
x  a cot t,
0t 
  
a
x
,
t    ;  \ 0
sin t
 2 2
 
a
x
,
t   0;   \  
cos t
2

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

GIẢI TÍCH 12

FB: />
VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
b

b

b

b

a

a

a

a

x
 P( x ).e dx

u
dv

 P( x ).cos xdx

P(x)

 P( x ).sin xdx

P(x)
cos xdx

e x dx

 P( x ).l n xdx

P(x)
sin xdx

lnx
P(x)

VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trò tuyệt đối
Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử
dụng công thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ.
VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ.
VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ.
VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác.
VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit
Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm
nguyên hàm.

VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt
Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ

 Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì

a



f ( x )dx  0

a

 Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn
a



a

trên [-a; a] thì

a

f ( x )dx  2  f ( x )dx
0

Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích
phân có dạng này ta có thể chứng minh như sau:
a

0

a

a

a

0

Bước 1: Phân tích I   f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

0
a


 J   f ( x )dx; K   f ( x )dx 


a
0



SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

GIẢI TÍCH 12

FB: />0

Bước 2: Tính tích phân J   f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x.
a

– Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K  I = J + K = 0
– Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K  I = J + K = 2K
Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:




f ( x)

(với   R+ và a > 0)

 x dx   f ( x )dx
 a  1
0

Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên.
I

0


f (x)
f (x) 

J  
dx; K  
dx 
x
x


a

1
a

1

0



0

f (x)
f (x)
dx

dx

 x
 x
 x dx
 a  1

 a  1
0 a 1



f (x)

Để tính J ta cũng đặt:

t = –x.

2

 

Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên  0;  thì
 2



0



f (sin x )dx 

2



f (cos x )dx

0



Để chứng minh tính chất này ta đặt: t   x
2

Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và f (a  b  x )  f ( x ) hoặc f (a  b  x )   f ( x )
thì đặt:
t=a+b–x
Đặc biệt, nếu a + b = 
thì đặt
t=–x
nếu a + b = 2 thì đặt
t = 2 – x
Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ
Để xác đònh nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên
hàm của các hàm số f(x)  g(x) dễ xác đònh hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên
hàm của f(x). Ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác đònh nguyên hàm của các hàm số f(x)  g(x), tức là:
 F( x )  G( x )  A( x )  C1

 F( x )  G( x )  B( x )  C2

(*)
1
2

Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F ( x )   A( x )  B( x )  C là nguyên hàm của f(x).
VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi
b

Giả sử cần tính tích phân I n   f ( x, n)dx (n  N) phụ thuộc vào số nguyên dương n.
a

Ta thường gặp một số yêu cầu sau:
 Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn In theo các In-k (1  k  n).
 Chứng minh một công thức truy hồi cho trước.
 Tính một giá trò I n cụ thể nào đó.
0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
§3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG
HÌNH HỌC
I- TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
1. Hình phẳng giới hạn giới hạn bởi một đường cong và trục hoành:
y
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thò
của hàm số f(x) liên tục, trục hoành (y = 0)
và hai đường thẳng x = a, x = b được tính

theo công thức:
b

S   f ( x ) dx

x

a

a

O

b

2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong:
y
Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x)
liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình
phẳng giới hạn bởi đồ thò hai hàm số đó và
các đường thẳng x = a, x = b. Khi đó diện
O
tích hình phẳng D là:

y  f1 ( x)

y  f2 ( x )
a

b

x
b

S   f1 ( x )  f2 ( x ) dx
a

* Chú ý: Nếu phương trình hoành độ giao điểm f1(x) = f2(x) có đúng hai nghiệm
x1

x1, x2  (a; b) với (x1 < x2) thì

x1

 f ( x)  f ( x) dx   [ f ( x)  f ( x)]dx . Khi đó:
1

2

a

1

2

a

b

x1

x2

b

a

a

x1

x2

S   f1 ( x )  f2 ( x ) dx   [ f1 ( x )  f2 ( x )]dx   [ f1 ( x )  f2 ( x )]dx   [ f1 ( x )  f2 ( x )]dx

II- TÍNH THỂ TÍCH:
1. Thể tích của vật thể:
Cắt vật thể (T) bởi hai mặt
phẳng (P) và (Q) vuông góc trục Ox lần
lượt tại x = a, x = b. Một mặt phẳng tùy
ý vuông góc với Ox tại x  [a; b] cắt
(T) theo thiết diện có diện tích là S(x).
Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
Khi đó thể tích vật thể (T) là:
b

V =  S( x )dx
a

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
2. Thể tích khối chóp cụt:
Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B, B'
và có chiều cao bằng h. Khi đó thể tích khối chóp cụt là V =

h
( B  BB '  B' ) .
3

III- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY:
Hình thang cong giới hạn bởi đồ thò hàm
số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a,
x = b (a < b) quay xung quanh trục Ox tạo
thành khối tròn xoay.
Thể tích khối tròn xoay là:
b

V    [ f ( x )]2 dx
a

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng
 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thò (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].

– Trục hoành.
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
b

là:

(1)

S   f ( x ) dx
a

 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thò của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
b

– Hai đường thẳng x = a, x = b. là: S   f ( x )  g( x ) dx (2)
a

Chú ý:

 Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:

b



f ( x ) dx 

a

b

 f ( x )dx

a

 Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trò tuyệt đối của hàm

số dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b].
Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < d).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
b



a

c

d

b

a

c

d

f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx

c

d

b

a

c

d

=  f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thò của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


GIẢI TÍCH 12

FB: />
– Hai đường thẳng x = c, x = d.
d

S   g( y )  h( y ) dy
c

VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể
 Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các
điểm các điểm a và b.
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bò cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
Ox tại điểm có hoành độ x (a  x  b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
b

Thể tích của B là:

V   S( x )dx
a

 Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)
sinh ra khi quay quanh trục Ox:
b

V    f 2 ( x )dx
a

Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường
sau quay xung quanh trục Oy:
(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d
là:

d

V    g2 ( y )dy
c

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ