LT HÌNH học 12 CHƯƠNG III tọa độ KG

HÌNH HỌC 12

FB: />
CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG KHƠNG GIAN
 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Điều kiện hai vectơ cùng phương:
 
Hai vectơ u , v cùng phương với nhau khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho


u  kv .
2. Ba vectơ đồng phẳng:
 Đònh nghóa: Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của
chúng cùng song song với mặt phẳng.
 
 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Trong không gian cho hai vectơ a , b không
  

cùng phương và vectơ c . Khi đó ba vectơ a, b , c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m,



n sao cho c  ma  nb . Ngoài ra cặp số m, n là cặp duy nhất.
3. Tích vô hướng của hai vectơ:


Trong không gian, cho hai vectơ u và v đều khác vectơ - không. Tích vô hướng




của hai vectơ u và v là một số, kí hiệu là u .v , được xác đònh bởi công thức:
  
 
u.v  u . v . cos(u , v )
 
* Chú ý: u  v



 u .v .

4. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:


Vectơ a khác vectơ - không được gọi là vectơ chỉ

phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ a song song
hoặc trùng với đường thẳng d.
* Nhận xét:

 Nếu a là một vectơ chỉ phương của d thì vectơ

ka với k ≠ 0 cũng là vectơ chỉ phương của d.
 Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn
được xác đònh nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ

chỉ phương a của nó.
 Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi
chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ
phương cùng phương.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

d
a

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 12

FB: />
§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

I- TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ:
1. Hệ tọa độ:
Trong không gian, cho ba trục x'Ox,
y'Oy, z'Oz vuông góc nhau từng đôi

  


một. Gọi i , j , k có i 2  j 2  k 2  1 lần lượt
là các vectơ đơn vò trên các trục x'Ox,
y'Oy, z'Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là
hệ trục tọa độ Descarter vuông góc
Oxyz hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.
Trong đó:
 Điểm O gọi là gốc tọa độ.
 Các mặt phẳng: (Oxy), (Oyz),

(Oxz) đôi một vuông góc nhau gọi là
các mặt phẳng tọa độ.
    
 i . j  j .k  k .i  0

z

j

y

i
O

k

x

2. Tọa độ của một điểm và tọa độ của một vectơ:
z
 Trong hệ trục Oxyz, cho điểm M.

 
OM  xi  yj  xk

z

M(x; y; z)

k

O

y

j

i

x
M'
x

y

Bộ ba số (x; y; z) được gọi là tọa độ
của điểm M đối với hệ trục Oxyz.
Kí hiệu: M(x;y;z) hoặc M=(x;y;z)

 Trong hệ trụ Oxyz, cho a .




a  a1i  a2 j  a3 k

Bộ ba số (a1; a2; a3) được gọi là tọa độ

của vectơ a đối với hệ trục Oxyz.



Kí hiệu: a = (x; y; z) hoặc a (x; y; z)

II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ:
Đònh lí:


Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a  (a1; a2 ; a3 ) , b  (b1; b2 ; b3 ) . Ta có:
 
 a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 ) ,
 
 a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 ) ,


 ka  (ka1; ka2 ; ka3 ) , k  R.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 12

FB: />
Hệ quả:
a) Cho hai vectơ



a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1; b2 ; b3 ) .

Ta có:



 a1  b1
 

a  b  a2  b2
a  b
3
 3

.

b) Vectơ 0  (0;0;0) , O(0; 0; 0).
 
 
c) Với b  0 thì hai vectơ a , b cùng phương  k  R sao cho a1 = kb1, a2 = kb2,
a3 = kb3.
d) Trong không gian Oxyz, nếu cho hai điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) thì:
 AB  ( x B  x A ; yB  y A ; zB  zA ) .
 Tọa độ trung điểm M của AB là M(

x A  x B y A  y B z A  zB
;
;
2
2
2

).

III- TÍCH VÔ HƯỚNG:
1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:


Đònh lí: Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ a  (a1; a2 ; a3 ) và


b  (b1; b2 ; b3 ) được xác đònh bởi công thức a.b  a1 .b1  a2 .b2  a3 .b3 .
2. Ứng dụng:




a) Độ dài vectơ: Trong không gian Oxyz, cho vectơ a  (a1; a2 ; a3 ) ta có: a  a12  a22  a32 .
b) Khoảng cách giữa hai điểm: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(x A; yA; zA),
B(xB; yB; zB)
AB = AB  ( x B  x A )2  ( yB  y A )2  (zB  x A )2


c) Góc giữa hai vectơ: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a  (a1; a2 ; a3 ) ,

 
b  (b1; b2 ; b3 ) . Gọi  là góc giữa hai vectơ a , b .
 

Ta có: cos = cos(a, b ) 
* Chú ý:

a1b1  a2 b2  a3 b3

.

a12  a22  a32 . b12  b22  b32
 

a  b  a.b  0  a1b1  a2 b2  a3 b3  0

IV- PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:
Đònh lí: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương
trình là:
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r2
* Nhận xét: Phương trình dạng x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 là phương
trình mặt cầu khi thỏa A2 + B2 + C2 - D > 0, lúc đó mặt cầu có tâm I(-A; -B; -C) và bán
kính r = A 2  B 2  C 2  D .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 12

FB: />D

B
B
B

I

r
A

A

Mặt cầu qua A có tâm B

A

Mặt cầu có đường
kính AB

Mặt cầu qua 4 điểm A,
B, C, D

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
VẤN ĐỀ 1: Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm
– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
VẤN ĐỀ 2: Xác đònh điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học.
Diện tích – Thể tích.
– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
– Công thức xác đònh toạ độ của các điểm đặc biệt.
– Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:
 A, B, C thẳng hàng  AB, AC cùng phương  AB  k AC   AB, AC   0
 ABCD là hình bình hành  AB  DC
 Cho ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A

của ABC trên BC. Ta có:

EB  

AB
.EC ,
AC

 A, B, C, D không đồng phẳng 

FB 

AB
.FC
AC

AB, AC, AD

không đồng phẳng 

 AB, AC  .AD  0

VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu
Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác đònh tâm I và bán kính R của mặt
cầu.
Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R:
(S): ( x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  R2
Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A:
Khi đó bán kính R = IA.
Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:

–Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB:
xI 

x A  xB
2

; yI 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

y A  yB
2

; zI 

zA  zB
2

.

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 12

FB: />
– Bán kính R = IA =

AB
.

2

Dạng 4: (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):
– Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng:
x 2  y 2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 (*).
– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình.
– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d  Phương trình mặt cầu (S).
Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước:
Giải tương tự như dạng 4.
Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước:
– Xác đònh tâm J và bán kính R của mặt cầu (T).
– Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S).
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)
Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S):
x 2  y 2  z2  2ax  2by  2cz  d  0

với a2  b2  c2  d  0

thì (S) có tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = a2  b2  c 2  d .
VẤN ĐỀ 4: Vò trí tương đối giữa hai mặt cầu mặt cầu
Cho hai mặt cầu S1(I1, R1) và S2(I2, R2).
 I1I 2  R1  R2
 (S1), (S2) trong nhau




I1I 2  R1  R2

I1I 2  R1  R2

 (S1), (S2) ngoài nhau
 (S1), (S2) tiếp xúc trong

 I1I 2  R1  R2
 (S1), (S2) tiếp xúc ngoài
 R1  R2  I1I 2  R1  R2  (S1), (S2) cắt nhau theo một đường tròn.
VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm là mặt cầu – Tập hợp tâm mặt cầu
1. Tập hợp điểm là mặt cầu
Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P) nào đó.
– Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M. Chẳng hạn có dạng:
( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R2

hoặc: x 2  y 2  z2  2ax  2by  2cz  d  0
– Tìm giới hạn q tích (nếu có).
2. Tìm tập hợp tâm mặt cầu
– Tìm toạ độ của tâm I, chẳng hạn:

 x  f (t )

 y  g(t )
 z  h(t )

(*)

– Khử t trong (*) ta có phương trình tập hợp điểm.
– Tìm giới hạn q tích (nếu có).
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

HÌNH HỌC 12

FB: />
§2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

I- VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG:


Đònh nghóa: Cho mặt phẳng (). Nếu vectơ n khác 0

và có giá vuông góc với mặt phẳng () thì n được gọi là
vectơ pháp tuyến của mp().

* Chú ý: Nếu n là một vectơ pháp tuyến của mp()


thì n1  kn, (k  0) cũng là một vectơ pháp tuyến của mp().

Ví dụ: n  (6;9;0) là vectơ pháp tuyến của mp() thì

n1 = (2; 3; 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của mp() vì

n



 1
n1  n .

3

* Vectơ vuông góc với cả hai vectơ không cùng phương cho trước:
Trong không gian Oxyz, cho mp() và hai vectơ


không cùng phương a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) có giá
song song hoặc nằm trong mp().
Khi đó:  Vectơ


n

a
=  2
 b2

a3 a3
;
b3 b3

a1 a1 a2 

;
b1 b1 b2 

n
b
a

a'

a
b'
= (a2b3-b2a3;a3b1-b3a1; a1b2-b1a2)
α


là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ a và b . Kí
  
  
hiệu n  a  b hoặc n  [a, b ] gọi là tích có hướng của hai
  
Vectơ
có
hướ
n
g
n
ab


vectơ a , b .
vuông góc với cả hai vectơ

 Vectơ n xác đònh như trên là một vectơ a và b .
pháp tuyến của mp().

II- PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG:
1. Đònh nghóa: Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không

đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
* Nhận xét:
 Nếu mặt phẳng () có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có

một vectơ pháp tuyến là n  ( A; B; C ) .
 đi qua điểm M0 ( x 0 ; y0 ; z0 )
có phương trình A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

vectơ pháp tuyến n  ( A; B; C )

 Mp(): 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 12

FB: />n

C
b

a

a'



b'

B



 
Mp() song song với giá của hai vectơ a, b

Mp() vuông góc đường thẳng BC

P

nQ
nP

Q
B



A



nP

Mp() chứ AB và vuông góc mp(P)

Mp() song song mp(Q)

2. Các trường hợp riêng:
a) Mặt phẳng qua gốc tọa độ có dạng: Ax + By + Cz = 0.
b) Mặt phẳng song song hoặc chứa Ox có dạng: By + Cz + D = 0.
Mặt phẳng song song hoặc chứa Oy có dạng: Ax + Cz + D = 0.
Mặt phẳng song song hoặc chứa Oz có dạng: Ax + By + D = 0.
c) Mặt phẳng song song hoặc trùng với mp(Oxy) có dạng: Cz + D = 0.
Mặt phẳng song song hoặc trùng với mp(Oxz) có dạng: By + D = 0.
Mặt phẳng song song hoặc trùng với mp(Oyz) có dạng: Ax + D = 0.
d) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
Cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)
nằm trên các trục tọa độ.
Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

z

C(0; 0; c)

x y z
  1
a b c

y

O

B(0; b; 0)

A(a; 0; 0)
x

III- ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG, VUÔNG GÓC:
Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng

(1): A1x + B1y + C1x + D1 = 0 có vectơ pháp tuyến n1  ( A1; B1; C1 ) ;

(2): A2x + B2y + C2x + D2 = 0 có vectơ pháp tuyến n2  ( A2 ; B2 ; C2 ) .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 12

FB: />
1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song:


 n1  kn2
( A ; B ; C )  k ( A2 ; B2 ; C2 )
(1 ) //( 2 )  
 1 1 1
D1  kD2

D1  kD2


 n1  kn2
( A ; B ; C )  k ( A2 ; B2 ; C2 )

(1 )  ( 2 )  
 1 1 1
D1  kD2

D1  kD2


(1) cắt (2)  n1  kn2  (A1; B1; C1)  k(A2; B2; C2)

n1

1
n2

2

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc:
 
(1 )  ( 2 )  n1 .n2  0  A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0

IV- KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG:
Đònh lí: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng () có phương trình
Ax+By+Cz+D=0 và điểm M0(x0; y0; z0). Khoảng cách từ điểm M0 đến mp(), kí hiệu
là d(M0; ()) được tính theo công thức:
d ( M0 ; ( )) 

Ax0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

1. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
 Vectơ n  0 là VTPT của () nếu giá của n vuông góc với ().
 Hai vectơ a , b không cùng phương là cặp VTCP của () nếu các giá của chúng
song song hoặc nằm trên ().
Chú ý:  Nếu n là một VTPT của () thì kn (k ≠ 0) cũng là VTPT của ().
 Nếu a , b là một cặp VTCP của () thì n   a, b  là một VTPT của ().

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Ax  By  Cz  D  0 với A2  B2  C 2  0

 Nếu () có phương trình Ax  By  Cz  D  0 thì n  ( A; B; C ) là một VTPT của ().
 Phương trình mặt phẳng đi qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có một VTPT n  ( A; B; C ) là:
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C (z  z0 )  0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 12

FB: />
3. Các trường hợp riêng
Các hệ số

Phương trình mặt phẳng ()
Ax  By  Cz  0
By  Cz  D  0

D=0
A=0
B=0
C=0
A=B=0
A=C=0
B=C=0

Ax  Cz  D  0
Ax  By  D  0

Cz  D  0
By  D  0
Ax  D  0

Tính chất mặt phẳng ()
() đi qua gốc toạ độ O
() // Ox hoặc ()  Ox
() // Oy hoặc ()  Oy
() // Oz hoặc ()  Oz
() // (Oxy) hoặc ()  (Oxy)
() // (Oxz) hoặc ()  (Oxz)
() // (Oyz) hoặc ()  (Oyz)

Chú ý:
 Nếu trong phương trình của () không chứa ẩn nào thì () song song
hoặc chứa trục tương ứng.
x y z
  1
a b c

 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

() cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)

4. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình:

(): A1x  B1y  C1z  D1  0
(): A2 x  B2 y  C2 z  D2  0

 (), ( ) cắt nhau 
 () // ( ) 
 ()  ( ) 

A1

A2



B1

B2

A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2



C1

C2



D1

 ()  ( ) 

D2

A1

A2



B1

B2



C1

C2



D1

D2

A1 A2  B1B2  C1C2  0

5. Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax+By+Cz+D = 0
d  M0 ,( )  

Ax0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2

VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng ( ) ta cần xác đònh một điểm thuộc ( ) và một
VTPT của nó.
Dạng 1: () đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có VTPT n   A; B;C  :
(): A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0
Dạng 2: () đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có cặp VTCP a , b :
Khi đó một VTPT của () là n   a, b  .
Dạng 3:
() đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  và song song với mặt phẳng ( ):Ax+By+Cz + D = 0:
(): A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 12

FB: />
Dạng 4: () đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:

Khi đó ta có thể xác đònh một VTPT của ( ) là: n   AB, AC 
Dạng 5: () đi qua một điểm M và một đường thẳng (d) không chứa M:
– Trên (d) lấy điểm A và VTCP u .
– Một VTPT của () là: n   AM, u 
Dạng 6: () đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng (d):
VTCP u của đường thẳng (d) là một VTPT của ().
Dạng 7: () đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2:
– Xác đònh các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2.
– Một VTPT của () là: n   a, b  .
– Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2  M  ().
Dạng 8: () chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d 2 (d1, d2 chéo
nhau):
– Xác đònh các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2.
– Một VTPT của () là: n   a, b  .
– Lấy một điểm M thuộc d1  M  ().
Dạng 9: () đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d 1, d2:
– Xác đònh các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2.
– Một VTPT của () là: n   a, b  .
Dạng 10: () đi qua một đường thẳng (d) và vuông góc với một mặt phẳng ():
– Xác đònh VTCP u của (d) và VTPT n của ( ).
– Một VTPT của () là: n  u, n  .
– Lấy một điểm M thuộc d  M  ().
Dạng 11: () đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (), ():
– Xác đònh các VTPT n , n của ( ) và ().
– Một VTPT của () là: n  u , n  .
Dạng 12: () đi qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước một
khoảng k cho trước:
– Giả sử () có phương trình: Ax  By  Cz+D  0  A2  B 2  C 2  0  .
– Lấy 2 điểm A, B  (d)  A, B  () (ta được hai phương trình (1), (2)).
– Từ điều kiện khoảng cách d ( M ,( ))  k , ta được phương trình (3).

– Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trò một ẩn, tìm các ẩn
còn lại).
Dạng 13: () là tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H:
– Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I và bán kính R.
– Một VTPT của () là: n  IH
Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xá c đònh mặt
phẳng đã học ở lớp 11.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 12

FB: />
VẤN ĐỀ 2: Vò trí tương đối của hai mặt phẳng
VẤN ĐỀ 3:
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng .
Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng.

 Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0
d  M0 ,( )  

Ax0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2

 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất

kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
 MH , n cùng phương

H  (P)
MM  2MH

 Điểm H là hình chiếu của điểm M trên (P) 
 Điểm M đối xứng với điểm M qua (P) 
VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (), ( ) có phương trình:

(): A1x  B1y  C1z  D1  0

( ): A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
Góc giữa (), ( ) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n1, n2 .
cos  ( ),(  )  

Chú ý:







00  ( ),( )  900 .

n1.n2
n1 . n2



A1 A2  B1B2  C1C2
A12  B12  C12 . A22  B22  C22

 ( )  ( )  A1 A2  B1B2  C1C2  0

VẤN ĐỀ 5:
Vò trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
Cho mặt phẳng (): Ax  By  Cz  D  0 và mặt cầu (S): ( x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  R2
 () và (S) không có điểm chung  d (I ,( ))  R
 () tiếp xúc với (S)
 d (I ,( ))  R
() là tiếp diện
Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:
– Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc với ( ).
– Tìm toạ độ giao điểm H của d và ( ).
H là tiếp điểm của (S) với ().
 () cắt (S) theo một đường tròn  d (I ,( ))  R
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 12

FB: />
Để xác đònh tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như

sau:
– Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc với ( ).
– Tìm toạ độ giao điểm H của d và ().
H là tâm của đường tròn giao tuyến của (S) với ().
Bán kính r của đường tròn giao tuyến: r  R2  IH 2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 12

FB: />
§3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHƠNG GIAN
I- PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:
Đònh lí: Trong không gian Oxyz, cho
đường thẳng  đi qua điểm M0 (x0;y0;z0) và

nhận a = (a1;a2;a3) làm vectơ chỉ phương.
Điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y;z) nằm
trên  là có một số thực t sao cho:

z
Vectơ chỉ phương của 

v



u = (a; b; c)
y
O

M(x0; y0; z0)

 x  x0  ta1

 y  y0  ta2
 z  z  ta
0
3


x

Đònh nghóa: Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và
có vectơ chỉ phương


a=

(a1;a2;a3) là phương trình

 x  x0  ta1
có dạng:  y  y0  ta2 (t
 z  z  ta
0
3



 R).

* Chú ý: Nếu a1, a2, a3 đều khác 0 thì phương trình  có thể viết dưới dạng chính tắc:
x  x0 y  y0 z  z0


a1
a2
a3

II– ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO
NHAU:
Cho hai đường thẳng d:

 x  x0'  t ' a1
 x  x0  ta1


'
 y  y0  ta2 và d':  y  y0  t ' a2
 y  z'  t' a
 y  z  ta
0
3
0
3



1. Điều kiện để hai đường thẳng song song:


Đường thẳng d đi qua M và có vectơ chỉ phương a ,

đường thẳng d' có vectơ chỉ phương a '


a  ka '
 d song song d' khi và chỉ khi 
M  d '


a  ka '
* Đặc biệt: d trùng d' khi và chỉ khi 
M  d '

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

M

a

d
d'

a'

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

HÌNH HỌC 12

FB: />
2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau:
Hai đường thẳng d và d' cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t, t':
 x0  ta1  x'0 t ' a '1

 y0  ta2  y '0 t ' a '2 có đúng
 z  ta  z ' t ' a '
3
0
3
 0

một nghiệm.

3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau:
Hai đường thẳng d và d' chéo nhau


khi và chỉ khi a và a ' không cùng phương
và hệ phương trình ẩn t, t'

d
a

 x0  ta1  x'0 t ' a '1
:  y0  ta2  y '0 t ' a'2

 z  ta  z ' t ' a '
3
0
3
 0

a'
d'

vô nghiệm.
* Vò trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng

 x  x0  ta
d:  y  y0  ta
 y  z  ta
0


và mp(): Ax + By + Cz + D = 0

Xét: A(x0 + ta) + B(y0 + ta) + C(z0 + ta) + D = 0 (1)
 d cắt ()  (1) có nghiệm duy nhất.
 d // ()  (1) vô nghiệm
 d  ()  (1) có vô số nghiệm.
* Một số bài toán cơ bản khác:
ª Hình chiếu của điểm M trên mp():
M

* Bước 1: Viết phương trình đường thẳng 

đi qua M và vuông góc mp().
* Bước 2: Xác đònh giao điểm M' của  với
mp(). M' là hình chiếu cần tìm

M'

α

ª Giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):
* Bước 1: Tìm hình chiếu của O trên mp(P).
* Bước 2: Tính OH là khoảng cách từ O đến
mp(P).
* Bước 3: Giao tuyến cần tìm là đường tròn
(C) tâm H và bán kính r' = r 2  OH 2 .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

I
r

M

r'

H

P

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

HÌNH HỌC 12

FB: />
ª Tìm điểm M' đối xứng với điểm M qua mp():
M

* Bước 1: Tìm hình chiếu I của điểm M trên
mp().
* Bước 2: Tìm điểm M' sao cho I là trung
điểm M và M'. Đó là điểm đối xứng cần tìm.

I

α

M'

ª Tìm điểm M' đối xứng với điểm M qua đường thẳng :
* Bước 1: Viết phương trình mp() đi qua M
và vuông góc với đường thẳng .
* Bước 2: Xác đònh giao điểm I của () và 
(I là hình chiếu của M trên ).
* Bước 3: Tìm điểm M' sao cho I là trung
điểm M và M'. Đó là điểm đối xứng cần tìm.

M

u
I

M'

α

ª Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau  và ':


* Bước 1: Viết phương trình mp() chứa '
và song song đường thẳng .
* Bước 2: Tìm điểm A trên .
* Bước 3: Tính khoảng cách từ A đến ().

M

A

H



N

'

ª Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một
điểm bất kỳ trên đường thẳng đến mặt phẳng.
ª Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ

trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
ª Phương trình đường cao tam giác trong không gian:
Đường cao AH của ABC đi qua A vuông góc

với giá của hai vectơ n  [ AB , AC ] và CB .

A
C
H

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

B

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 12

FB: />
LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)
Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP a và điểm M.
M M,a
 0

a

d (M , d ) 

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (chương trình nâng cao)
Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2.
d1 đi qua điểm M1 và có VTCP a1 , d2 đi qua điểm M2 và có VTCP a2
d (d1 , d2 ) 

 a1 , a2  .M1M 2
 a1 , a2 

Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d 1, d2 bằng khoảng cách
giữa d1 với mặt phẳng () chứa d2 và song song với d1.
Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP a1, a2 .
Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa a1, a2 .
cos  a1, a2  

a1.a2
a1 . a2

Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) và mặt phẳng () có VTPT n  ( A; B; C ) .
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( ) bằng góc giữa đường thẳng d với hình
chiếu d của nó trên ().





sin d ,( ) 

Aa1  Ba2  Ca3

A 2  B 2  C 2 . a12  a22  a32

VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác đònh một điểm thuộc d và một
VTCP của nó.
Dạng 1: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) :
 x  xo  a1t

(d ) :  y  yo  a2t
z  z  a t
o
3


NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

( t  R)

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 12

FB: />
Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B:
Một VTCP của d là AB .
Dạng 3: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với đường thẳng  cho trước:
Vì d //  nên VTCP của  cũng là VTCP của d.
Dạng 4: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước:
Vì d  (P) nên VTPT của (P) cũng là VTCP của d.

Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q):
 Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.
– Tìm toạ độ một điểm A  d: bằng cách giải hệ phương trình (P ) (với việc
(Q)

chọn giá trò cho một ẩn)
– Tìm một VTCP của d: a  nP , nQ 
 Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai
điểm đó.
Dạng 6: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2:
Vì d  d1, d  d2 nên một VTCP của d là: a  ad , ad 
 1 2
Dạng 7: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , vuông góc và cắt đường thẳng .

 Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M0 trên đường thẳng .
H  

 M0 H  u

Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M0, H.
 Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d; (Q) là mặt phẳng đi
qua A và chứa d. Khi đó d = (P)  (Q)
Dạng 8: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và cắt hai đường thẳng d1, d2:

 Cách 1: Gọi M1  d1, M2  d2. Từ điều kiện M, M1, M2 thẳng hàng ta tìm được
M1, M2. Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d.
 Cách 2: Gọi (P) = ( M0 , d1 ) , (Q) = ( M0 , d2 ) . Khi đó d = (P)  (Q). Do đó, một
VTCP của d có thể chọn là a  nP , nQ  .
Dạng 9: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:
Tìm các giao điểm A = d1  (P), B = d2  (P). Khi đó d chính là đường thẳng AB.

Dạng 10: d song song với  và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa  và d1, mặt phẳng (Q) chứa  và d2.
Khi đó d = (P)  (Q).
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 12

FB: />
Dạng 11: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau:

 Cách 1: Gọi M  d1, N  d2. Từ điều kiện

 MN  d1
, ta tìm được M, N.

 MN  d2

Khi đó, d là đường thẳng MN.
 Cách 2:
– Vì d  d1 và d  d2 nên một VTCP của d có thể là: a  ad , ad  .
 1 2
– Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d1, bằng cách:
+ Lấy một điểm A trên d1.
+ Một VTPT của (P) có thể là: nP  a, ad  .


1



– Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và d2.
Khi đó d = (P)  (Q).
Dạng 12: d là hình chiếu của đường thẳng  lên mặt phẳng (P):
 Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa  và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng
cách: – Lấy M  .
– Vì (Q) chứa  và vuông góc với (P) nên nQ   a , nP  .
Khi đó d = (P)  (Q).
Dạng 13: d đi qua điểm M, vuông góc với d1 và cắt d2:
 Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d2. Từ điều kiện MN  d1, ta tìm được N.
Khi đó, d là đường thẳng MN.
 Cách 2:
– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d1.
– Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d2.
Khi đó d = (P)  (Q).

VẤN ĐỀ 2: Vò trí tương đối giữa hai đường thẳng
Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp
sau:
 Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc
các đường thẳng.
 Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.

VẤN ĐỀ 3: Vò trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các
phương pháp sau:
 Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 12

FB: />
VTPT của mặt phẳng.
 Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và
mặt phẳng.

VẤN ĐỀ 4: Vò trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
 Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng
và bán kính.
 Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và
mặt cầu.

VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách
1.

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d
 Cách 1: Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP a .
M M,a
 0

d (M , d ) 
a

 Cách 2: – Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d.

– d(M,d) = MH.
 Cách 3: – Gọi N(x; y; z)  d. Tính MN2 theo t (t tham số trong phương trình
đường thẳng d).
– Tìm t để MN2 nhỏ nhất.
– Khi đó N  H. Do đó d(M,d) = MH.
2.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2.
d1 đi qua điểm M1 và có VTCP a1 , d2 đi qua điểm M2 và có VTCP a2
d (d1 , d2 ) 

 a1 , a2  .M1M 2
 a1 , a2 

Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d 1, d2 bằng khoảng cách
giữa d1 với mặt phẳng () chứa d2 và song song với d1.
3.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
4.
Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng ( ) song song với nó bằng
khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng ( ).
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 12

FB: />
VẤN ĐỀ 6: Góc
1.
Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP a1, a2 .
Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa a1, a2 .
cos  a1, a2  

a1.a2
a1 . a2

2.
Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) và mặt phẳng () có VTPT n  ( A; B; C ) .
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () bằng góc giữa đường thẳng d với hình
chiếu d của nó trên ().





sin d ,( ) 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

Aa1  Ba2  Ca3
A 2  B 2  C 2 . a12  a22  a32

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ