Chủ đề: Phương trình mặt phẳng (Hình học 12 - Chương III)

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

HÌNH HỌC 12
CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
TRONG KHƠNG GIAN

§2

Phương trình mặt phẳng

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tơ Ngọc Vân − Hà Nội
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


chủ đề 2

P hơng

trình mặt phẳng

A. Tóm tắt lí thuyết
1. Phơng trình mặt phẳng

Định lí: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và có
r
vtpt n (A; B; C) có phơng trình:
(P): A(x x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.
VËy, ta cã:
Qua M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 )

r
(P): 
⇔ (P): A(x − x0) + B(y − y0) + C(z z0) = 0.
vtpt n(A;B;C)

Phơng trình tổng quát của mặt phẳng: Mặt phẳng (P) trong không gian Oxyz có
phơng trình tổng quát:
(P): Ax + By + Cz + D = 0 víi A2 + B2 + C2 > 0.
(1)
r
Khi đó, nó nhận vectơ n (A; B; C) làm một vtpt.
2. Các trờng hợp riêng
1. Nếu D = 0, mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ.
2. Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, mỈt ph¼ng (P): By + Cz + D = 0 chøa hoặc song
song với trục Ox.
Tơng tự:
Mặt phẳng (P): Ax + Cz + D = 0 chøa hc song song với trục Oy.
Mặt phẳng (P): Ax + By + D = 0 chøa hc song song víi trơc Oz.
3. NÕu A = 0, B = 0, C ≠ 0, mặt phẳng (P): Cz + D = 0 chứa hoặc song song với trục
Ox và Oy nên nó song song hoặc trùng với mặt phẳng xOy.
Tơng tự:
Mặt phẳng (P): Ax + D = 0 song song hc trïng víi mặt phẳng yOz.
Mặt phẳng (P): By + D = 0 song song hoặc trùng với mặt phẳng xOz.

Đặc biệt, các phơng trình x = 0, y = 0, z = 0 theo thứ tự là phơng trình của
các mặt phẳng tọa độ yOz, xOz, xOy.
4. Nếu A 0, B ≠ 0, C ≠ 0, D ≠ 0 th× bằng cách đặt:
D
D
D
x
y
z
a = , b = , c = (P): + + = 1.
(2)
A
B
C
a
b
c
Phơng trình (2) gọi là phơng trình đoạn chắn của mặt phẳng (P). Mặt phẳng đó
cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lợt tại các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).
VËy, ta cã:
Qua A(a;0;0)

x
y
z
(P): Qua B(0;b;0) ⇔ (P): + + = 1.
a
b
c
Qua C(0;0;c)



2


3. Vị trí tơng đối của hai mặt phẳng
Với hai mặt phẳng (P1) và (P2) có phơng trình:
2
2
2
(P1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0, ®iỊu kiƯn A1 + B1 + C1 > 0,
2
2
2
(P2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0, ®iỊu kiƯn A1 + B1 + C1 > 0,
r
r
khi đó vectơ n1 (A1; B1; C1), n 2 (A2; B2; C2) theo thø tù lµ vtpt của (P1) và (P2), do
đó:

a. Nếu

A1
B1
C1
D1
=
=
=
thì (P1) (P2).

A2
B2
C2
D2

b. Nếu

A1
B1
C1
D1
=
=

thì (P1) // (P2).
A2
B2
C2
D2

c. NÕu A1: B1: C1 ≠ A2: B2: C2 thì (P1) (P2) = {(d)}.

4. khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm M(xM; yM; zM) và mặt phẳng (P) có phơng trình:
(P): Ax + By + Cz + D = 0.
Khoảng cách từ M đến (P) đợc tính bởi công thức:
d(M, (P)) =

Ax M + By M + Cz M + D
A2 + B 2 + C 2

.

B. phơng pháp giải toán
Vấn đề 1: Phơng trình mặt phẳng
Phơng trình:
Ax + By + Cz + D = 0
là phơng trình của một mặt phẳng khi và chØ khi
A2 + B2 + C2 > 0.
Chó ý: §i kèm với họ mặt phẳng (Pm) thờng có thêm các câu hỏi phụ:

Câu hỏi 1: Chứng minh rằng họ mặt phẳng (Pm) luôn đi qua một
điểm cố định.
Câu hỏi 2: Cho ®iĨm M cã tÝnh chÊt K, biƯn ln theo vị trí của
M số mặt phẳng của họ (Pm) đi qua M.
Câu hỏi 3: Chứng minh rằng họ mặt phẳng (P m) luôn chứa
một đờng thẳng cố định.
3


Ví dụ 1:

Cho phơng trình:
(m2 + m)x + (m2 m)y + (m2 + 1)z − 3m2 − 1 = 0. (1)
a. Chứng minh rằng với mọi m phơng trình (1) là phơng trình của
một mặt phẳng, gọi là họ (Pm).
b. Tìm điểm cố định mà họ (Pm) luôn đi qua.

Giải
a. Vì hệ số của z bằng m2 + 1 0 với mọi m, do đó phơng trình đà cho là phơng
trình của một mặt phẳng.
b. Giả sử M(x0, y0, z0) là điểm cố định mà họ (Pm) luôn ®i qua
⇔ (m2 + m)x0 + (m2 − m)y0 + (m2 + 1)z0 − 3m2 − 1 = 0, ∀m
⇔ m2(x0 + y0 + z0 − 3) + m(x0 − y0) + z0 − 1 = 0, ∀m
x 0 + y 0 + z 0 − 3 = 0
x 0 = 1


⇔ x 0 − y 0 = 0
⇔ y 0 = 1 .
z − 1 = 0
z = 1
 0
0
Vậy, họ (Pm) luôn đi qua điểm cố định M(1; 1; 1).


Nhận xét: Nh vậy, để tìm điểm cố định mà họ mặt phẳng (P m) luôn đi qua ta
thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Giả sử M(x0; y0; z0) là điểm cố định của họ (P m),
khi đó:
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0, ∀m.
Bíc 2: Nhãm theo bËc cđa m råi cho c¸c hƯ sè bằng 0, từ
đó nhận đợc (x0; y0; z0).
Bớc 3: Kết luận.
Ví dụ 2:

Cho phơng trình:

(m + 1)3x y + m3z − m(m + 1) = 0.
(1)
a. Chøng minh r»ng với mọi m phơng trình (1) là phơng trình của
một mặt phẳng, gọi là họ (Pm).
b. Giả sử (Pm) với m 0, 1 cắt các trục toạ độ tại A, B, C. Chøng
minh r»ng thĨ tÝch tø diƯn OABC có giá trị không phụ thuộc m.



Giải

a. Vì hệ số của y bằng 1với mọi m, do đó phơng trình đà cho là phơng trình của
một mặt phẳng.
b. Ta có ngay toạ độ của các điểm A, B, C là:

4


m +1
 m


A
; 0; 0 ÷ , B(0; −m(m + 1); 0), C  0; 0;
.
2
m2 ÷


 (m + 1)


Khi ®ã, thĨ tÝch tø diƯn OABC ®ỵc cho bëi:

VOABC =
VÝ dô 3:

m +1
m
1
1
1
OA.OB.OC =
.
=
.
2 .|−m(m + 1)|.
2
m
6
6 ( m + 1)
6

Cho họ mặt phẳng (Pa,b,c) có phơng trình:
(Pa,b,c): bcx + cay + abz − abc = 0,
víi a, b, c > 0 vµ

1
1
1
+

+
= 1. Chøng minh r»ng khi a, b, c
a
b
c

thay đổi họ mặt phẳng (Pa,b,c) luôn đi qua một điểm cố định. Tìm
điểm cố định đó.



Giải
Viết lại phơng trình của (Pa,b,c) dới dạng:
x
y
z
(Pa,b,c):
+
+ =1
a
b
c
1
1
1
và theo giải thiết +
+ = 1, suy ra điểm M(1; 1; 1) (Pa,b,c).
a
b
c

Vậy, mặt phẳng (Pa,b,c) luôn đi qua điểm cố định M(1; 1; 1).
Ví dụ 4:

Cho họ mặt phẳng (Pa,b,c) có phơng trình:
(Pa,b,c): ax + by + cz − 1 = 0,
víi a, b, c > 0 và

1
1
1
+
+
= 3. Tìm a, b, c để (Pa,b,c) cắt các
a
2b
3c

trục toạ độ tại A, B, C sao cho tø diƯn OABC cã thĨ tÝch lín nhÊt.



Gi¶i
Ta có ngay toạ độ của các điểm A, B, C lµ:
1
1
1
A( ; 0; 0), B(0; ; 0), C(0; 0; ).
a
b
c

Khi ®ã, thĨ tÝch tø diƯn OABC ®ỵc cho bëi:
1
1 1 1 1
1 1 1
VOABC = OA.OB.OC = . . . = . .
6
6 a b c
a 2b 3c
3
1 
1 1
+
+ ữ
Côsi a
2b 3c = 1.
ữ

3

ữ


Vậy, ta đợc (VOABC)Max = 1, đạt đợc khi:

5


1
1 1
 a = 2b = 3c

1
1

⇔ a = 1, b = vµ c = .

2
3
1 + 1 + 1 = 3
a 2b 3c


Vấn đề 2: Lập phơng trình mặt phẳng
Để lập phơng trình mặt phẳng (P) ta có thĨ lùa chän mét trong c¸c
c¸ch sau:

C¸ch 1: Thùc hiƯn theo các bớc:
Bớc 1:
Xác định một điểm M0(x0; y0; z0) (P).
r
Xác định vtpt n (n1; n2; n3) của (P).
Bớc 2:
Khi ®ã:
 qua M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 )

r
(P): 
 vtpt n(n1 ; n 2 ; n 3 )

⇔ (P): n1(x − x0) + n2(y − y0) + n3(z z0) = 0.
Cách 2: Sử dụng phơng pháp quỹ tích.

Chú ý: Chúng ta có các kết quả:
1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x0; y0; z0), luôn cã d¹ng:
(P): A(x − x0) + B(y − y0) + C(z z0) = 0
r
2. Mặt phẳng (P) có vtpt n (n1; n2; n3), luôn có dạng:
(P): n1x + n2y + n3z + D = 0
Để xác định (P), ta cần đi xác định D.
3. Mặt phẳng (P) song song víi (Q): Ax + By + Cz + D = 0, luôn
có dạng:
(P): Ax + By + Cz + E = 0
Để xác định (P), ta cần đi xác định E.
4. Phơng trình mặt phẳng theo các đoạn chắn, đó là mặt phẳng
(P) đi qua ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phơng
trình:
(P):

x
y
z
+
+ = 1.
a
b
c

5. Với phơng trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm không thẳng
hàng M, N, P chúng ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

r
Cách 1: Gọi n là vtpt của mặt phẳng (P), ta có:

6


uu
r u ur
u ur u u
u u ur
 n ⊥ MN
r

u u ⇔ n =  MN, MP  .
ur
r


 n MP


Khi đó, phơng trình mặt phẳng (P) đợc cho bởi:
qua M

r .
(P):
vtpt n

Cách 2: Giả sử mặt phẳng (P) có phơng trình:
Ax + By + Cz + D = 0,

(1)
2
2
2
víi A + B + C > 0.
Vì M, N, P thuộc mặt phẳng (P) nên ta có hệ ba phơng trình với bốn ẩn A, B, C, D.
BiĨu diƠn ba Èn theo mét Èn cßn lại, rồi thay vào (1)
chúng ta nhận đợc phơng trình mặt phẳng (P).
Ví dụ 1:



Viết phơng trình mặt phẳng (P), biết:
r
a. (P) đi qua điểm A(3; 2; 1) và có vtpt n (2; 1; 3).
b. (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(1; 2; 3) và
B(3; 2; 5).
r
r
c. (P) đi qua điểm B(1; 2; 1) và có cặp vtcp a (1; 1, 1), b
(1; 3; 2).

Giải
a. Ta cã thĨ lùa chän mét trong hai c¸ch:
C¸ch 1 (Sư dụng công thức): Mặt phẳng (P) đợc cho bởi:
qua A(3;2;1)

r
(P): 
⇔ (P): 2(x − 3) + (y − 2) − 3(z − 1) = 0

 vtpt n(2;1; − 3)

⇔ (P): 2x + y − 3z − 5 = 0.
C¸ch 2 (Sử dụng phơng pháp quĩ tích): Điểm M(x; y; z) thuộc mặt phẳng (P) khi:
u ur r
uu
u ur r
uu
r
AM n ⇔ AM ⊥ n ⇔ AM.n = 0
2(x − 3) + (y − 2) − 3(z − 1) = 0 ⇔ 2x + y − 3z − 5 = 0.
Đó chính là phơng trình mặt phẳng (P) cần tìm.
b. Ta cã thĨ lùa chän mét trong hai c¸ch:
C¸ch 1 (Sử dụng công thức): Gọi I là trung điểm của đoạn AB, suy ra I(2; 0; 4).
Khi đó, mặt phẳng (P) đợc cho bởi:
qua I(2;0; 4)
qua I

uu
ur
(P):
(P):
vtpt AB(2; − 4; 2) chän (1; − 2; 1)
(P) ⊥ AB


7


⇔ (P): (x − 2) − 2y + (z − 4) = 0 ⇔ (P): x − 2y + z 6 = 0.

Cách 2 (Sử dụng phơng pháp quĩ tích): Điểm M(x; y; z) thuộc mặt phẳng (P) khi:
AM = BM ⇔ AM2 = BM2
⇔ (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = (x − 3)2 + (y + 2)2 + (z − 5)2
⇔ x 2y + z 6 = 0.
Đó chính là phơng trình mặt phẳng (P) cần tìm.
r
c. Gọi n là vtpt của mặt phẳng (P), ta có:
r r
n a
−1 1 1 1 1 −1 

r
r r
;
;
r r ⇔ n = [ a , b ] = 
÷ = (1; −1; −2).
n ⊥ b
 −3 2 2 1 1 3

Mặt phẳng (P) đợc cho bởi:

qua B(1;2;1)
r
(P):
(P): (x + 1) − (y − 2) − 2(z − 1) = 0
 vtpt n(1; − 1; − 2)

⇔ (P): x − y − 2z + 5 = 0.
VÝ dô 2:

(Bài 15.a và 15.b/tr 89 Sgk): Viết phơng trình mặt phẳng trong mỗi
trờng hợp sau:
a. Đi qua ba điểm A(2; 0; −1), B(1; −2; 3), C(0; 1; 2).
b. §i qua hai điểm A(1; 1; 1), B(5; 2; 1) và song song víi trơc Oz.

Gi¶i
a. Ta cã thĨ lùa chän một trong hai cách:
r
Cách 1: Gọi n là vtpt của mặt phẳng (P), ta đợc:
uu uu
ur ur
r
r
n = AB, AC  = (−10; −5; −5) chän n (2; 1; 1).


Khi đó phơng trình mặt phẳng (P) đợc cho bởi:
qua A(2;0; − 1)
(P): 
⇔ (P): 2(x − 2) + 1.(y − 0) + 1.(z + 1) = 0
r
 vtpt n(2;1;1)
⇔ (P): 2x + y + z − 3 = 0.
Cách 2: Giả sử mặt phẳng (P) có phơng trình:
(P): Ax + By + Cz + D = 0 víi A2 + B2 + C2 > 0.
V× A, B, C thuộc (P), ta đợc:
2A C + D = 0

A = 2B


 A − 2B + 3C + D = 0 ⇔ C = B .
 B + 2C + D = 0
 D = −3B


Thay A, B, C vào (1), ta đợc:
(P): 2Bx + By + Bz 3B = 0 ⇔ (P): 2x + y + z − 3 = 0.
r
b. Gäi n lµ vtpt cđa (P), ta cã:
8

(1)


ur
r uu
 n ⊥ AB(4;1;2)
uu r
ur

r
⇔ n = [ AB , k ] = (1; −4; 0).
r r
 n ⊥ k(0;0;1)

Mặt phẳng (P) đợc cho bởi:
qua A(1;1; 1)

(P): 
⇔ (P): x − 4y + 3 = 0.
r
 vtpt n(1; − 4;0)
VÝ dơ 3:

(Bµi 15.c, 15.d vµ 15.e/tr 89 Sgk): Viết phơng trình mặt phẳng
trong mỗi trờng hợp sau:
a. Đi qua điểm C(3; 2; 1) và song song với mặt phẳng (Q) có phơng
trình x 5y + z = 0.
b. Đi qua hai điểm A(0; 1; 1), B(1; 0; 2) và vuông góc với mặt
phẳng (Q): x − y + z + 1 = 0.
c. §i qua ®iĨm M(a; b; c) (abc ≠ 0) vµ song song với một mặt phẳng
tọa độ.



Giải
a. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách:
Cách 1: Mặt phẳng (P) đợc cho bëi:
 qua C
(P): 
⇔ (P):
(P) //(Q)

 qua C(3;2; − 1)

ur
u


 vtpt n Q (1; − 5;1)


⇔ (P): (x − 3) − 5(y − 2) + (z + 1) = 0 ⇔ (P): x − 5y + z + 8 = 0.
Cách 2: Ta lần lợt sử dụng giả thiết:
(P) song song víi (Q): x − 5y + z = 0 nên có phơng trình:
(P): x 5y + z + D = 0.
 §iĨm C thc (P), suy ra:
3 − 5.2 − 1 + D = 0 ⇔ D = 8.
Vậy, phơng trình mặt phẳng (P): x 5y + z + 8 = 0.
u
ur
u
r ur
b. Gäi n , n Q theo thø tù lµ vtpt cđa (P) vµ (Q), ta đợc n Q (1; 1; 1).


Ta có:
ur
r uu
n ⊥ AB( −1; − 1;1)
u u ur
ur u

r
r
u
⇔ n = [ AB , n Q ] = (0; 2; 2) chän n (0; 1; 1).
 r ur
 n ⊥ n Q (1; 1;1)

Mặt phẳng (P) đợc cho bởi:
qua A(0;1;1)
(P): 
⇔ (P): y + z − 2 = 0.
r
 vtpt n(0;1;1)
c. Ta lần lợt:

9






10

(P1) song song với (Oxy) và đi qua điểm M(a; b; c) nênn có phơng trình:
(P1): z c = 0.
(P2) song song với (Oyz) và đi qua điểm M(a; b; c) nênn có phơng trình:
(P2): x a = 0.
(P3) song song với (Oxz) và đi qua điểm M(a; b; c) nênn có phơng trình:
(P3): y b = 0.


Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 3.400.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC

Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT
ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

11




Nhận xét: ở câu c) trong ví dụ trên ngời ta còn phát biểu dới dạng:
ã Với mặt phẳng (P1) thì "Lập phơng trình mặt phẳng đi qua
điểm M và song song với các trục Ox và Oy".
ã Với mặt phẳng (P2) thì "Lập phơng trình mặt phẳng đi qua
điểm M và song song với các trục Oy và Oz".
ã Với mặt phẳng (P3) thì "Lập phơng trình mặt phẳng đi qua
điểm M và song song với các trục Ox và Oz".

Ví dụ 4:



Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm C(2; 3; 1) và vuông
góc với hai mặt ph¼ng (P1), (P2), biÕt:
(P1): 2x + y + 2z − 10) vµ (P2): 3x + 2y + z + 8 = 0.

Gi¶i
u u

r ur ur
Gäi n , n1 , n 2 theo thứ tự là vtpt của các mặt phẳng (P), (P1), (P2), ta cã:
ur
u
ur
u
n1 (2; 1; 2), n 2 (3; 2; 1).
ur ur
u u
Vì (P) vuông góc với hai mặt phẳng (P1), (P2) nên nó nhận n1 , n 2 làm cặp
vtcp, từ đó:
u
r ur
n n1
ur ur
u u
1 2 2 2 2 1

r
,
,
u
÷ = (−3; 4; 1).
 r ur ⇔ n = [ n1 , n 2 ] =
n n2
21 13 3 2


Mặt phẳng (P) ®ỵc cho bëi:
qua C( −2;3;1)


r
(P): 
⇔ (P): −3(x + 2) + 4(y − 3) + (z − 1) = 0

 vtpt n(−3;4;1)
⇔ (P): 3x − 4y − z + 19 = 0.
Ví dụ 5:



Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(4; 3; 1) và chứa
trục Oy.

Giải
r
Gọi n là vtpt của mặt phẳng (P), ta có:
uu
ur
r
uu r
ur
n OA(4;3;1)
r
r
⇔ n = [ OC , j ] = (−1; 0; 4) chän n (1; 0; −4).
r r
 n ⊥ j(0;1;0)

Mặt phẳng (P) đợc cho bởi:

qua O(0;0;0)

r
(P):
(P): x − 4z = 0.
 vtpt n(1;0; − 4)



Chó ý: Më rộng yêu cầu của ví dụ trên là "Lập phơng trình mặt phẳng đi qua
một điểm và chứa một đờng th¼ng".
12


Dạng toán này chúng ta sẽ gặp trong chủ đề 3 về đờng thẳng
trong không gian.
Ví dụ 6:

(Bài 15.f và 15.g/tr 89 Sgk): Viết phơng trình mặt phẳng trong
mỗi trờng hợp sau:
a. Đi qua điểm G(1; 2; 3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A,
B, C sao cho G là trọng tâm ABC.
b. Đi qua điểm H(2; 1; 1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A,
B, C sao cho H là trực tâm ABC.
c. Đi qua điểm M(1; 1; 1) cắt chiều dơng của các trục toạ độ tại
ba điểm A, B, C sao cho tø diƯn OABC cã thĨ tÝch nhá nhÊt.



Gi¶i

a. Víi ba ®iĨm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), ta đợc phơng trình:
x
y
z
(P): + + = 1.
a
b
c
Để G(1; 2; 3) là trọng tâm ABC, điều kiện là:
a = 3

x
y
z
+ = 1 ⇔ (P): 6x + 3y + 2z − 18 = 0.
 b = 6 ⇒ (P): +
3
6
9
c = 9

b. Víi ba ®iĨm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), ta đợc phơng trình:
x
y
z
(P): + + = 1.
(1)
a
b
c

Để H(2; 1; 1) là trực tâm ABC, ®iỊu kiƯn lµ:
ur ur
u u uu

 HA.BC = 0
b − c = 0
 HA ⊥ BC
ur ur
u u u u

a = 3

 HB ⊥ AC ⇔  HB.AC = 0 ⇔ 2a − c = 0
⇔
.
b = c = 6
 H ∈ (P)
2 1 1
2 1 1

 + + =1
 + + =1
a b c
a b c
Thay a, b, c vào (1), ta đợc:
x
y
z
(P): + + = 1 (P): 2x + y + z − 6= 0.
3

6
6
c. Víi ba ®iÓm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0, ta đợc phơng trình:
x
y
z
(P): + + = 1.
a
b
c
Điểm M thuộc (P) nên:
1 1 1
1 1 1 «si
1 1 1
+ + = 1 ⇒ 1 = + + C≥ 3 3 . . ⇔ abc ≥ 27.
a b c
a b c
a b c
ThÓ tÝch tø diện OABC, đợc cho bởi:

13


27
1
1
9
OA.OB.OC =
.abc
=

.
6
6
2
6
9
Vậy, ta đợc (VOABC)Min =
, đạt đợc khi:
2
1 1 1 1
= = = ⇔ a = b = c = 3.
a b c 3

VOABC =

và khi đó:
x y z
(P): + + = 1 ⇔ (P): x + y + z − 3 = 0.
3 3 3

VÊn ®Ị 3: Vị trí tơng đối của điểm và mặt phẳng
Cho mặt phẳng (P) có phơng trình:
(P): Ax + By + Cz + D = 0, víi A2 + B2 + C2 > 0.
Với hai điểm M1(x1; y1; z1) và M2(x2; y2; z2), ta cã nhËn xÐt sau:
NÕu (Ax1 + By1 + Cz1 + D)(Ax2 + By2 + Cz2 + D) > 0 , thì M1 và M2
cùng phía với (P).
Nếu (Ax1 + By1 + Cz1 + D)(Ax2 + By2 + Cz2 + D) < 0 , thì M1 và M2
khác phía với (P).

Nhận xét trên cho phép ta giải đợc một lớp bài toán quan trọng.
Bài toán 1:

Cho mặt phẳng điểm M0(x0; y0; z0) và mặt phẳng (P) có
phơng trình:
(P): Ax + By + Cz + D = 0
Víi M∉(P), hÃy lập phơng trình mặt phẳng cách mặt phẳng (P)
một khoảng bằng h và thoả mÃn:
a. Thuộc phần nửa không gian giới hạn bởi (P) không chứa M0.
b. Thuộc phần nửa không gian giới hạn bởi (P) chứa M0.

phơng pháp thực hiện

a. Gọi (P1) là mặt phẳng thoả mÃn điều kiện đầu bài.

Khi đó, điểm M(x; y; z) (P1) điều kiện là:
M & M 0 khác phía với (P)

d(M,(P)) = h

14


(Ax + By + Cz + D)(Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D) < 0

⇔  | Ax + By + Cz + D |
=h

A2 + B 2 + C2

Từ hệ (I) ta có đợc phơng trình mặt phẳng (P1).
b. Gọi (P2) là mặt phẳng thoả mÃn điều kiện đầu bài.

(I)

Khi đó, điểm M(x; y; z) (P2) điều kiện là:
M và M 0 cùng phía víi (P)

d(M,(P)) = h
(Ax + By + Cz + D)(Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D) > 0

⇔  | Ax + By + Cz + D |
=h

A2 + B 2 + C2

Tõ hÖ (II) ta cã đợc phơng trình mặt phẳng (P2).
Ví dụ 1:



(II)

Cho điểm điểm M0(1; 2; 0) và mặt phẳng (P) có phơng trình:
(P): 3x + 4y + z + 1 = 0.
LËp ph¬ng trình mặt phẳng cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 4
và thoả mÃn:
a. Thuộc phần nửa mặt phẳng giới hạn bởi (P) không chứa M0.
b. Thuộc phần nửa mặt phẳng giới hạn bởi (P) chứa M0.

Giải

a. Gọi (P1) là mặt phẳng thoả mÃn điều kiện đầu bài.

Khi đó, điểm M(x; y; z) (P1) điều kiện là:
(3x + 4y + z + 1)(3.1 + 4.2 + 1) < 0
 M và M 0 khác phía với (P)

| 3x + 4y + z + 1 |

=4
d(M,(P)) = h

2
2
2
 3 + 4 +1
3x + 4y + z + 1 < 0

⇔
⇔ 3x + 4y + z + 1 + 4 26 = 0.
| 3x + 4y + z + 1 |= 4 26


Đó chính là phơng trình tổng quát của mặt phẳng (d1).
b. Tơng tự, ta có:
(P2): 3x + 4y + z + 1 4 26 = 0.
Bài toán 2:

Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) có phơng trình:

(P1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0,
(P2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0

15


với A1: B1: C1 A2: B2: C2 và điểm M0(x0;y0;z0) không thuộc
(P1) và (P2). Lập hơng trình mặt phẳng phân giác của góc tạo
bởi (P1), (P2) chứa điểm M0 hoặc của góc đối đỉnh với nó.
phơng pháp thực hiện

Gọi (P) là mặt phẳng thoả mÃn điều kiện đầu bài.
Khi ®ã, ®iĨm M(x; y; z) ∈ (P) ®iỊu kiƯn lµ:
 M vµ M 0 cïng phÝa víi (P1 )

 M vµ M 0 cïng phÝa víi (P2 )
d(M,(P )) = d(M,(P ))
1
2



 (A1x + B1 y + C1z + D1 )(A1x 0 + B1y 0 + C1z 0 + D1 ) > 0

⇔ (A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 )(A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 ) > 0
 | A x+B y+C z+D | | A x+B y+C z+D |
1
1
1
1

2
2
2

= 2
2
2
2
2
2
2

A1 + B1 + C1
A2 + B2 + C2

Tõ hƯ trªn ta có đợc phơng trình mặt phẳng (P).
Ví dụ 2:

Cho điểm M0(0; 1; 0) và hai mặt phẳng (P1) và (P2) có phơng trình:
(P1): 2x + 3y + z + 1 = 0, (P2): 3x + 2y − z − 3 = 0.
Lập phơng trình đờng phân giác của góc tạo bởi (P1), (P2) chứa
điểm M0 hoặc của góc đối đỉnh với nó.

Giải
Gọi (P) là mặt phẳng thoả mÃn điều kiện đầu bài.
Khi đó, điểm M(x; y; z) (P) ®iỊu kiƯn lµ:
 M vµ M 0 cïng phÝa víi (P1 )

 M vµ M 0 cïng phÝa víi (P2 )
d(M,(P )) = d(M,(P ))

1
2



 (2x + 3y + z + 1)(2.0 + 3.1 + 0 + 1) > 0


⇔ (3x + 2y − z − 3)(3.0 + 2.1 − .0 − 3) > 0
 | 2x + 3y + z + 1 | | 3x + 2y − z − 3 |

=

22 + 32 + 12
32 + 2 2 + 12

2x + 3y + z + 1 > 0

⇔ 3x + 2y − z − 3 < 0
⇔ 5x + 5y − 2 = 0.
2x + 3y + z + 1 = −(3x + 2y − z − 3)

§ã chính là phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P).

16


Bài toán 3:

Cho tứ diện ABCD, lập phơng trình mặt phẳng phân

giác của góc nhị diện (A, BC, D).

phơng pháp thực hiện

Gọi (P) là mặt phẳng phân giác của góc nhị diện (A, BC, D).
Khi đó, điểm M(x; y; z) (P) điều kiện là:
M và A cùng phía víi (BCD)

⇔  M vµ D cïng phÝa víi (ABC)
d(M,(ABC)) = d(M,(BCD))

Từ hệ (I) ta có đợc phơng trình mặt ph¼ng (P).

VÝ dơ 3:

Cho tø diƯn ABCD, biÕt A(3; 1; 0), B(1; 0; −1), C(3; −2; 0),
D(0; 2; −2). LËp phơng trình mặt phẳng phân giác của góc nhị diện
(A, BC, D).

Giải
Ta lần lợt thực hiện.
Phơng trình mặt phẳng (ABC) đợc xác định bởi:
qua A(3;1;0)

u u u u (ABC):
ur
ur
(ABC):
cặp vtcp AB và AC

(I)

qua A(3;1;0)

ur
u

vtpt n1 (1;0; 2)


(ABC): x 2z 3 = 0.
Phơng trình mặt phẳng (BCD) đợc xác định bởi:
qua B(1;0; 1)
qua B(1;0; −1)


u u u u ⇔ (BCD): 
ur
ur
ur
u
(BCD): 
cap vtcp BC vµ BD
 vtpt n 2 (0;1;2)



⇔ (BCD): y + 2z + 2 = 0.

Gọi (P) là mặt phẳng phân giác của góc nhị diện (A, BC, D). Khi đó, điểm M(x, y,
z) (P) điều kiện là:

(y + 2z + 2)(1 + 2) > 0
 M vµ A cïng phÝa víi (BCD)



⇔  M vµ D cïng phÝa víi (ABC) ⇔ (x − 2z − 3)(4 − 3) > 0
 | x − 2z − 3 | | y + 2z + 2 |
d(M,(ABC)) = d(M,(BCD))


=
 12 + 2 2
12 + 2 2

y + 2z + 2 > 0

⇔ x − 2z − 3 > 0
⇔ x − y − 4z − 5 = 0.
y + 2z + 2 = x 2z 3


Đó chính là phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P).

Vấn đề 4: Vị trí tơng đối của hai mặt phẳng
17

Với hai mặt phẳng (P1) và (P2) có phơng trình:
2
2
2
(P1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0, ®iỊu kiÖn A1 + B1 + C1 > 0,
(P2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0, ®iỊu kiƯn A 2 + B 2 + C 2 > 0,
2
2
2
®Ĩ xÐt vị trí tơng đối của (P1) và (P2) ta sử dụng các kết quả sau:
A1
B1
C1
D1
=
=
=
.
A2
B2
C2
D2
A1
B1
C 1 D1
(P1) // (P2)
=
=

.

A2
B2
C2 D2

a. (P1) ≡ (P2) ⇔
b.

c. (P1) ∩ (P2) = {(d)} ⇔ A1: B1: C1 ≠ A2: B2: C2.
VÝ dơ 1:

(Bµi 16.c, 16.d và 16.e/tr 89 Sgk): Xét vị trí tơng đối của mỗi cặp
mặt phẳng cho bởi các phơng tr×nh sau:
a. x + y + z – 1 = 0 vµ 2x + 2y + 2z + 3 = 0.
b. 3x – 2y + 3z + 5 = 0 vµ 9x – 6y – 9z – 5 = 0.
c. x – y + 2z – 4 = 0 vµ 10x – 10y + 20z – 40 = 0.



Gi¶i
a. NhËn xét rằng:
1 1 1 1
= =
Hai mặt phẳng song song víi nhau.
2 2 2 3
b. NhËn xÐt r»ng:
3 2 3
=

Hai mặt phẳng cắt nhau.
9 6 9

c. Nhận xét rằng:
1
1
2
4
=
=
=
Hai mặt phẳng trùng nhau.
10 10 20 40
Ví dụ 2:



(Bài 18/tr 90 Sgk): Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lợt có phơng trình là:
(P): 2x − my + 3z − 6 + m = 0,
(Q): (m + 3)x − 2y + (5m + 1)z − 10 = 0.
Với giá trị nào của m thì:
a. Hai mặt phẳng đó song song ?
b. Hai mặt phẳng đó trùng nhau ?
c. Hai mặt phẳng đó cắt nhau ?
d. Hai mặt phẳng đó vuông góc ?

Giải
a. Để hai mặt phẳng song song với nhau điều kiện là:

18


 m 2 + 3m − 4 = 0

 2
2
m
3
6−m
= =
≠
⇔ 5m + m − 6 = 0 , v« nghiÖm.
m + 3 2 5m + 1
10
10m ≠ 12 − 2m

Vậy, không tồn tại m để hai mặt phẳng song song với nhau
b. Để hai mặt phẳng trùng nhau điều kiƯn lµ:
 m 2 + 3m − 4 = 0
 2
2
m
3
6−m
= =
=
⇔ 5m + m − 6 = 0 ⇔ m = 1.
m + 3 2 5m + 1
10
10m = 12 2m

Vậy, với m = 1 thì hai mặt phẳng trùng nhau.
c. Để hai mặt phẳng cắt nhau điều kiƯn lµ:
2 : (−m) : 3 ≠ (m + 3) : 2 : (5m + 1) ⇔ m ≠ 1.

VËy, với m 1 thì hai mặt phẳng cắt nhau.
ur ur
u u
d. Gäi n P , n Q theo thø tự là vtpt của (P) và (Q), ta đợc:
ur
u
ur
u
n P (2; −m; 3) vµ n Q (m + 3; −2; 5m + 1).
Để hai mặt r
phẳng vuông góc với nhau ®iỊu kiƯn lµ:
ur u
u u
ur ur
u u
n P ⊥ n Q ⇔ n P . n Q = 0 ⇔ 2(m + 3) + 2m + 3(5m + 1) = 0

⇔ 19m = −9 ⇔ m = −
VËy, víi m =

9
.
19

9
thì hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
19


Nhận xét: Hai mặt phẳng nếu cắt nhau sẽ tạo ra một giao tuyến là một đờng

thẳng, đó đó phơng trình tổng quát của đờng thẳng trong
không gian có dạng:
A1x + B1 y + C1 z + D1 = 0 (1)
 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 (2)

(d): 

víi A1:B1:C1≠ A2:B2:C2. Trong đó (1), (2) theo thứ tự là phơng
trình của mặt phẳng (P1), (P2).
r
Khi đó, một vtcp a của đờng thẳng (d) đợc xác định bởi:
ur ur
u u
B 1 C 1 C 1 A1 A1 B 1 
r
a =  n1 , n 2  = 

  B C , C A , A B ÷.
÷
2
2
2
2 
 2 2
Ví dụ 3:

Tìm m để hai mặt phẳng (P) và (Q) vu«ng gãc víi nhau, biÕt:
(P): 2x + y + z − 3 = 0,
(Q): x + my − 3mz − m − 1 = 0.

19


Khi đó, hÃy chỉ ra phơng trình giao tuyến (d) của (P) với (Q) và
tìm một vtcp của (d).



Giải
ur ur
u u
Gäi n P , n Q theo thø tù lµ vtpt của (P) và (Q), ta đợc:
ur
u
ur
u
n P (2; 1; 1) và n Q (1; m; 3m).
Để hai mặt phẳng vuông góc với nhau điều kiện là:
ur ur
u u
ur ur
u u
n P ⊥ n Q ⇔ n P . n Q = 0 ⇔ 2 + m − 3m = 0 m = 1.
Khi đó, phơng trình giao tuyến (d) của (P) và (Q) có dạng:
2x + y + z − 3 = 0
(d): 
.
 x + y − 3z − 2 = 0
r
Gäi a lµ mét vtcp cđa ®êng th¼ng (d), ta cã:

ur ur
u u
r
a =  n P , n Q  = (1; 4; 2).




NhËn xÐt: Với mặt phẳng (Q) chúng ta còn gặp một dạng toán là "Tìm đờng
thẳng cố định luôn thuộc họ mặt phẳng (Q)", khi đó ta thực
hiện phép biến đổi:
(Q): x − 1 + m(y − 3z − 1) = 0
Tõ đó, suy ra đờng thẳng cố định thuộc họ mặt phẳng (Q) có
phơng trình:
x 1 = 0
(d):
.
y − 3z − 1 = 0
Nh vËy, ®Ĩ chøng minh họ mặt phẳng (Pm) luôn đi qua một đờng
thẳng (d) cố định, ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Biến đổi phơng trình của họ (Pm) về dạng:
f(x, y, z) + mg(x, y, z) = 0.
Bíc 2: VËy, hä (Pm) luôn đi qua một đờng thẳng (d) cố
định có phơng tr×nh:
 f(x, y, z) = 0
(d): 
.
g(x, y, z) = 0
Ngợc lại, mọi mặt phẳng chứa đờng thẳng:
A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0

, A1:B1:C1≠ A2:B2:C2
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

(d):

luôn có dạng:
(A1x + B1y + C1z + D1) +

20


+ β(A2x + B2y + C2z + D2) = 0
(1)
⇔ (αA1 + βA1)x + (αB1 + βB1)y +
+ (αC1 + C1)z + D1 + D1 = 0.
(1')
Phơng trình trên đợc gọi là phơng trình chùm mặt phẳng sinh
bởi đờng thẳng (d).
Việt sử dụng chùm mặt phẳng sẽ giúp chúng ta giải quyết tốt
lớp bài toán "Lập phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến của
hai mặt phẳng (P) và (Q) cho trớc và thỏa mÃn điều kiện K".
Ví dụ 4:

Cho mặt phẳng (P) và họ (Qm) có phơng trình:
(P): x + 2y + 3z − 6 = 0,
(Qm): (m + 1)x + (m + 2)y + (2m + 3)z − 4m − 6 = 0.
1. Chøng tá r»ng víi mäi m (P) và (Qm) không thể song song với
nhau, từ đó xác định đờng thẳng (d) cố định luôn thuộc (P) và
(Qm).
2. Xác định m để

a. (P) (Qm).
b. (P) (Qm).
c. cosin góc giữa (P) và (Qm) bằng

5
2 7

.



Giải
1. Ta đi tìm m để (P) và (Qm) song song với nhau, điều kiện là:
A1
B1
C1
D1
=
=

A2
B2
C2
D2
m +1 m + 2
2m + 3
4m 6
=
=

, vô nghiệm.
1
2
3
6
Vậy, với mọi m (P) và (Qm) không thể song song với nhau.
Viết lại phơng trình của (Qm) díi d¹ng:

⇔

(Qm): x + 2y + 3z − 6 + m(x + y + 2z − 4) = 0
suy ra (Qm) luôn chứa đờng thẳng (d) cố định có phơng trình:
x + 2y + 3z 6 = 0
(d): 
.
x + y + 2z − 4 = 0
NhËn xÐt r»ng:

A(1; 1; 1) , B(2; 2; 0) ∈ (d) ⇒ A, B ∈ (P) ⇒ (d) ⊂ (P).
VËy, (d) chÝnh là đờng thẳng cố định luôn thuộc (P) và (Qm).
ur ur
u u
2. Gäi n P , n Q theo thø tự là vtpt của các mặt phẳng (P), (Qm), ta ®ỵc:
21


ur
u
ur
u

n P (1; 2; 3), n Q (m + 1; m + 2; 2m + 3).
a. §Ĩ (P) ≡ (Qm), ®iỊu kiƯn lµ:
A1
B
C
D
= 1 = 1 = 1
A2
B2
C2
D2

m +1 m + 2
2m + 3
−4m − 6
=
=
=
⇔ m = 1.
1
2
3
−6
VËy, víi m = 1 thoả mÃn điều kiện đầu bài.
b. Để (P)(Qm), điều kiện là:
ur ur
u u
ur ur
u u
n P n Q ⇔ n P . n Q = 0 ⇔ 1.(m + 1) + 2.(m + 2) + 3.(2m + 3) = 0

⇔

⇔ 9m + 14 = 0 ⇔ m =

14
.
9

14
thoả mÃn điều kiện đầu bài.
9
5
c. Để cosin góc giữa (P) và (Qm) bằng
, điều kiện là:
2 7
ur ur
u u
| n P .n Q |
5
ur ur =
u
u
| nP | . | nQ | 2 7

VËy, víi m = −

⇔

| 1.(m + 1) + 2.(m + 2) + 3.(2m + 3) |

1 + 4 + 9. (m + 1) + (m + 2) + (2m + 3)
2

2

2

=

5
2 7

 m = −1
⇔ 2m + 9m + 7 = 0 ⇔ 
.
m = − 7

2
7
VËy, víi m = −1 hc m = thoả mÃn điều kiện đầu bài.
2
2

Ví dụ 5:



Cho ba mặt phẳng:
(P): 5x + ky + 4z + m = 0;
(Q): 3x – 7y + z – 3 = 0; (R): x – 9y – 2z + 5 = 0.

Xác định các giá trị của k và m để ba mặt phẳng sau đây cùng đi
qua một đờng thẳng:

Giải
Nhận xét rằng (Q) và (R) cùng đi qua đờng thẳng (d) có phơng trình:
3x 7y + z 3 = 0
(d): 
.
 x − 9y − 2z + 5 = 0
Đến đây ta lựa chọn một trong hai cách trình bày:
Cách 1: Để ba mặt phẳng (P), (Q), (R) cùng đi qua một đờng thẳng điều kiện là:

22


(d) ∈ (P)

18 
1
 31 9

⇔ Hai ®iĨm A  7 ; 0; 7 ữ và B 10 ; 10 ; 0 ÷ thc (d) cịng thc (P)




18
 1
5. 7 + 4. 7 + m = 0
 m = −11


⇔  31
⇔  k = −5 .

5. + k. 31 + m = 0
 10

10
VËy, víi m = −11 và k = 5 ba mặt phẳng (P), (Q), (R) cùng đi qua (d).
Cách 2: Để ba mặt phẳng (P), (Q), (R) cùng đi qua một đờng thẳng
(P) thuộc chùm mặt phẳng tạo bởi (d)
(P) thuộc chùm mặt phẳng có phơng trình
A(3x 7y + z 3) + B(x − 9y − 2z + 5) = 0
⇔ (P) thuộc chùm mặt phẳng có phơng trình:
(3A + B)x − (7A + 9B)y + (A − 2B)z − 3A + 5B = 0
5 = 3A + B
 k = −(7A + 9B)

m = −11

⇔ β = −A
⇒ 
.
 k = −5
 4 = A − 2B

 m = −3A + 5B

VËy, víi m = −11 vµ k = −5 ba mặt phẳng (P), (Q), (R) cùng đi qua (d).
Ví dụ 6: Cho ba mặt phẳng:

(P): x + y + z – 6 = 0;
(Q): mx – 2y + z + m – 1 = 0;
(R): mx + (m – 1)y z + 2m = 0.
Xác định giá trị m để ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau.
Tìm điểm chung của cả ba mặt phẳng.



Giảiu u r ur
ur u u
Gäi n P , n Q , n R theo thứ tự là vtpt của các mặt phẳng (P), (Q), (R), ta đợc:
ur
u
ur
u
ur
u
n P (1; 1; 1), n Q (m; −2; 1), n R (m; m − 1; 1).
Để ba mặt phẳng (P), ur u r đôi một vuông góc với nhau, điều kiện là:
(Q),u
ur u r
u
u
u (R)
n P ⊥ nQ
 n P .n Q = 0
m − 2 + 1 = 0
 ur ur
 ur ur
u

 2
 u
 u u
 n P ⊥ n R ⇔  n P .n R = 0 ⇔ m − 2(m − 1) − 1 = 0 ⇔ m = 1.
u
u
u u
 ur ur
 ur u r
m + m − 1 − 1 = 0

n R ⊥ nQ
 n R .n Q = 0


Khi đó, toạ độ điểm chung I là nghiệm hệ phơng trình:

23




x + y + z − 6 = 0

x − 2y + z = 0 ⇔
x − z + 2 = 0


x = 1


y = 2 ⇒ I(1; 2; 3).
z = 3


Chó ý: TiÕp theo chóng ta sÏ sư dơng chùm mặt phẳng cho việc lập phơng
trình mặt phẳng:
Dạng 1: Mặt phẳng của chùm đi qua một điểm M cho trớc,
khi đó:
Bớc 1: Thay toạ độ của M vào (1) hoặc (1') ta
nhận đợc mối liên hệ giữa và β, ký hiƯu
lµ k1α = k2β.
(2)
Bíc 2: Thay (2) vµo (1) ta nhận đợc phơng trình
mặt phẳng cần tìm.
Dạng 2: Mặt phẳng của chùm song song với một mặt phẳng
(Q) cho trớc, khi đó:
ur
u
Bớc 1: Xác định một vtpt n Q (A; B; C) của (Q).
Bớc 2:

Mặt phẳng của chùm song song với mặt
phẳng (Q) khi:
u
r ur
(3)
n // n Q ⇔ k1α = k2β.

Bíc 3:

Thay (3) vµo (1) ta nhËn đợc phơng trình
mặt phẳng cần tìm.

Dạng 3: Mặt phẳng của chùm vuông góc với một mặt phẳng
(Q) cho trớc, khi đó:
ur
u
Bớc 1: Xác định một vtpt n Q (A; B; C) của (Q).
Bớc 2:

Bớc 3:

Mặt phẳng của chùm vuông góc với mặt
phẳng (Q) khi:
u
u
r ur
r ur
n nQ n . nQ = 0
⇔ k1α = k2β.
(4)
Thay (4) vµo (1) ta nhận đợc phơng trình
mặt phẳng cần tìm.

Dạng 4: Mặt phẳng của chùm song song với một đờng
thẳng () cho trớc, khi đó:
r
Bớc 1: Xác định một vtcp a (a1, a2, a3) của ().
Bớc 2: Mặt phẳng của chùm song song với một
đờng thẳng () khi:

r r
r r
an = 0 ⇔ a.n = 0
24


Bíc 3:

⇔ k1α = k2β.
(5)
Thay (5) vµo (1) ta nhËn đợc phơng trình
mặt phẳng cần tìm.

Dạng 5: Mặt phẳng của chùm vuông góc với một đờng
thẳng () cho trớc, khi đó:
r
Bớc 1: Xác định một vtcp a (a1, a2, a3) của ().
Bớc 2: Mặt phẳng của chùm vuông góc với ®êng
th¼ng (∆) khi:
r r
(6)
n // a ⇔ k1α = k2β.
Bíc 3: Thay (6) vào (1) ta nhận đợc phơng trình
mặt phẳng cần tìm.
Dạng 6: Mặt phẳng của chùm tạo với một mặt phẳng (Q)
một góc bất kỳ, khi đó: ur
u
Bớc 1: Xác định một vtpt n Q (A, B, C) của (Q).
Bớc 2: Mặt phẳng của chùm tạo với mặt phẳng
(P) một góc r ur

khi:
u
| n.n Q |
u
cos = r ur ⇔ k1α = k2β.
(7)
| n |.| n Q |
Bớc 3: Thay (7) vào (1) ta nhận đợc phơng trình
mặt phẳng cần tìm.
Dạng 7: Mặt phẳng của chùm tạo với một đờng thẳng ()
một góc bất kỳ, khi đó:
r
Bớc 1: Xác định một vtcp a (a1, a2, a3) của ().
Bớc 2: Mặt phẳng của chùm tạo với ®êng th¼ng
(∆) mét gãc α khi:
rr
| n.a |
sinα = r r ⇔ k1α = k2β.
(8)
| n |.| a |
Bíc 3: Thay (8) vào (1) ta nhận đợc phơng trình
mặt phẳng cần tìm.
Dạng 8: Khoảng cách từ điểm M(x0; y0; z0) cho trớc đến
mặt phẳng của chùm bằng l, khi đó:
Bớc 1: Ta cã:
d(M0, (P)) = l ⇔ k1α = k2β.
(9)
D¹ng 9: Thay (9) vào (1) ta nhận đợc phơng trình mặt
phẳng cần tìm.
Ví dụ 7: (ĐHCSND 1997):

Cho điểm M(1; 0; 5) và hai mặt phẳng (P) và

(Q) có phơng tr×nh:
25