LT đại số GT 11 CHƯƠNG i HSLG và PTLG

ĐS-GT 11

FB: />
CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Các giá trò lượng giác của cung (góc) :
 sin luôn xác đònh  R và sin( + k2) = sin
cos luôn xác đònh  R và cos( + k2) = cos
 - 1  sin  1 (sin 1).

 - 1  cos  1 (cos  1).



 tan xác đònh khi    k và tan(k) = tan;
2

cot xác đònh khi   k và cot( + k) = cot.
 Dấu của các giá trò lượng giác của góc 
Phần tư
Giá trò lượng giác
sin
cos
tan
cot

I

II

III

IV

+
+
+
+

+
-

+
+

+
-

2. Bảng các giá trò lượng giác đặc biệt:


0 (00)

sin

0

cos

1

tan

0

cot

kxđ


(300)
6
1
2
3
2
1


(450)
4
2
2
2
2


(600)
3

3
2
1
2


(900)
2

1

3

kxđ

3

3

1

1
3

3. Công thức lượng giác cơ bản:
 sin2 + cos2 = 1


1
1  cot 2  

sin 2 

(  k, k  Z).

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

 1  tan 2  

1
0

0

1
cos 2 



(   k , k  Z).

2

 tan.cot = 1 (   k , k  Z).
2

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
4. Giá trò lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt:
Cung đối:(-) và  Cung bù:(-) và  Cung phụ:(  -) và  Cung hơn kém :
2
(+) và 
sin(-) = -sin
sin( - ) = sin

sin( -) = cos
sin( + ) = -sin
2
cos(-) = cos
cos(-) = -cos

cos( - ) = sin
cos( +) = -cos
2
tan(-) = -tan
tan(-) = -tan

tan( - ) = cot
tan( + ) = tan
2
cot(-) = -cot
cot(- ) = -cot

cot( - ) = tan
cot( + ) = cot
2

5. Các công thức lượn giác thường sử dụng:
Công thức cộng:
cos(a-b) = cosacosb + sinasinb
cos(a+b) = cosacosb - sinasinb
sin(a-b) = sinacosb - cosasinb
sin(a+b) = sinacosb + cosasinb
tan a  tan b
1  tan a tan b
tan a  tan b
tan( a  b) 
1  tan a tan b

Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sinacosa
cos2a = cos2a - sin2a
= 2 cos2a - 1
= 1 - 2sin2a

tan( a  b) 

Công thức biến tích thành tổng:

1
2
1
sinasinb =- [cos(a + b) - cos(a - b)]
2
1
sinacosb = [sin(a + b) + sin(a - b)]
2

cosacosb = [cos(a + b) + cos(a - b)]

 Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina - 4sin3a
 Công thức sina + cosa:


4

2 cos(a - )
4

sina + cosa = 2 sin(a + )
sina + cosa =

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

tan 2a 

2tana
1  tan 2 a

Công thức hạ bậc:
1  cos 2a
2
1

cos
2a

sin 2 a 
2
1  cos 2a
tan 2 a 
1  cos 2a
cos 2 a 

Công thức biến đổi tổng thành tích:
uv
uv
cos
2
2
uv
uv
cosu - cosv = -2sin
sin
2
2
uv
uv
sinu + sinv = 2sin
cos
2
2
uv
uv
sinu - sinu = 2cos
sin
2

2

cosu + cosv = 2cos

cos3a = 4cos3a - 3cosa


)
4

sina - cosa = - 2 cos(a + )
4

sina - cosa = 2 sin(a -

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
§1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I- ĐỊNH NGHĨA:
1. Hàm số sin và hàm số côsin:
a) Hàm số sin:
y

y
B

sinx

M'

sinx

M

x
A'

O

A

x

O

x

x

B'

 Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx
sin: R  R
x  y = sinx
được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx
 Tập xác đònh của hàm số sin là: D = R.

b) Hàm số côsin:
y

y
B

M''

cosx

M

x
A'

O

cosx

A

x

O

x

x

B'

 Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx
cos: R  R
x  y = cosx
được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cosx
 Tập xác đònh của hàm số côsin là: D = R.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
2. Hàm số tang và hàm số côtang:
a) Hàm số tang: Hàm số tang là hàm số được xác đònh bởi công thức
y=

sin x
cos x

(cosx ≠ 0), kí hiệu là y = tanx.

 Tập xác đònh của hàm số y = tanx là: D = R\{


+ k, k  Z}.
2

b) Hàm số côtang:
 Hàm số côtang là hàm số được xác đònh bởi công thức y =

cos x
sin x

(sinx ≠ 0), kí

hiệu là y = cotx.
 Tập xác đònh của hàm số y = cotx là: D = R\{k, k  Z}.
* Nhận xét: Hàm số y = sinx là hàm số lẻ, hàm số y = cosx là hàm số chẵn, từ đó
suy ra các hàm số y = tanx và y = cotx đều là những hàm số lẻ.
II- TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC:
 Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2.
 Hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2.
 Hàm số y = tanx và y = cotx cũng là hàm số tuần hoàn, với chu kì .
III- SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC:
1. Hàm số y = sinx:
 Hàm số y = sinx xác đònh với mọi x  R và -1  sinx  1;
 Là hàm số lẻ;
 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2.
a) Sự biến thiên và đồ thò hàm số y = sinx trên đoạn [0; ]:
x3
x4

y

y

B

1
x2

sinx2
sinx1

A'

O

sinx2

x1

sinx1

A x

O

x1

x2



x3

x4



x

2

B'

Hàm số y = sinx đồng biến trên [0;
Bảng biến thiên:
x

0


2



] và nghòch biến trên [ ; ].
2
2



1
y = sinx
0
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

0
SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
* Chú ý: Vì hàm số y = sinx là hàm số lẻ nên lấy
đối xứng đồ thò hàm số trên đoạn [0; ] qua gốc
tọa độ O, ta được đồ thò hàm số trên đoạn [-; 0].

y
1
-

-


2

O





2

x

-1

b) Đồ thò hàm số y = sinx trên R:
y
-

5
2

-2

-

-
-

1



3



2

3

O

2

2



2

2

x

5
2

-1

2

c) Tập giá trò của hàm số y = sinx:
Tập giá trò của hàm số y = sinx là T = [-1; 1].
2. Hàm số y = cosx:
 Hàm số y = cosx xác đònh với mọi x  R và -1  cosx  1;
 Là hàm số chẵn;
 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2;
 Hàm số y = cosx đồng biến trên [-; 0] và nghòch biến trên [0; ].
 Bảng biến thiên:
x

-

0
1



y = cosx
-1

-1

 Đồ thò hàm số y = cosx:
y
-

1

5
2

-

-2
-

3

-





2

O

2


2

-1

3
2

2

5
2

x

 Tập giá trò của hàm số y = cosx là T = [-1; 1].
Đồ thò hàm số y = sinx, y = cosx được gọi chung là các đường hình sin.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
3. Hàm số y = tanx:


2

 Tập xác đònh: D = R\{  k , k  Z};
 Là hàm số lẻ;
 Là hàm số tuần hoàn với chu kì ;
a) Sự biến thiên của hàm số y = tanx trên nửa khoảng [0;


):
2

y

B

M2

T2

tanx2

T1

tanx1

A

O

M1

A'

O

x1 x2

x


2

B'

Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng [0;
Bảng biến thiên:
x


4

-


).
2


2

+
y = tanx

1
0

* Nhận xét: Khi x càng gần



thì đồ thò hàm số y=tanx càng gần đường thẳng x= .
2
2

b) Đồ thò hàm số y = tanx trên D:

 

 Đồ thò hàm số y = tanx trên ( ; ) :
2 2
y

-

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


2

O


2

x

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
 Đồ thò hàm số y = tanx trên D:

-3

-

2

-

y

3


2

O

2





x

2

 Tập giá trò của hàm số y = tanx là T = (-; +).
4. Hàm số y = cotx:
 Tập xác đònh: D = R\{k, k  Z};
 Là hàm số chẵn;
 Là hàm số tuần hoàn với chu kì ;
a) Sự biến thiên và đồ thò hàm số y = cotx trên khoảng (0; ):
Hàm số y = cotx nghòch biến trên khoảng (0; ).

2

0

x



+
y = tanx

0
-
y


O


2

x

b) Đồ thò hàm số y = cotx trên D:
y

-2

-3

-

2

O
-



2





3

2

2

2

x

 Tập giá trò của hàm số y = cotx là T = (-; +).
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1. Phương trình sinx = a:
Xét phương trình sinx = a (a  R) (1)
Trường hợp a > 1: phương trình (1) vô nghiệm
Trường hợp a  1:

sin
1
M'

 x    k 2

sinx= sin  
(k  Z )
 x      k 2

B
M

a K

A' -1

1 A
côsin

O

 x  arcsin a  k 2

sinx=a  
(k  Z )
 x    arcsin a  k 2

-1
B'

* Chú ý:
sin u( x )  sin 
[sin u( x )  sin  0 ]

 u( x )    k 2 [ 0  k 360 0 ]

 

(k  Z )
0
0
0
u
(
x
)






k
2

[
180



k
360
]


 sinu(x) = a
(-1  a  1)
sin u( x )  a
(sin u( x )  a)

 u( x )  arcsin a  k 2 [arcsin a  k 360 0 ]

 

(k  Z )
0
0
u
(
x
)




arcsin
a

k
2

[
180

arcsin
a

k
360
]

 f ( x )  g( x )  k 2
(k  Z )
 f ( x )    g( x )  k 2

 Tổng quát: sin[f(x)] = sin[g(x)]  


+ k2, k  Z
2

sin[f(x)] = -1  f(x) = - + k2, k  Z

2

 Đặc biệt: sin[f(x)] = 1  f(x) =

sin[f(x)] = 0  f(x) = k, k  Z.
2. Phương trình cosx = a:
Xét phương trình cosx = a (a  R) (2)
Trường hợp a > 1: phương trình (2) vô nghiệm
Trường hợp a  1:
 x    k 2

cosx = cos  
(k  Z )
 x    k 2

sin
1

B
M

A' -1

a

O

1 A
côsin

H

 x  arccos a  k 2

cosx = a  
(k  Z )
 x   arccos a  k 2

M'

-1
B'

* Chú ý:

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
cos u( x )  cos 

u( x )    k 2 [ 0  k 360 0 ]

[cos u( x )  cos  0 ]

 

(k  Z )
0
0
 u( x )    k 2 [   k 360 ]

 cosu(x) = a
(-1  a  1)
cos u( x )  a
[cos u( x )  a]

u( x )  arccos a  k 2 [arccos a  k 360 0 ]

 

0
 u( x )   arccos a  k 2 [ arccos a  k 360 ]

(k  Z )

 f ( x )  g( x )  k 2
(k  Z )
 f ( x )   g( x )  k 2

 Tổng quát: cos[f(x)] = cos[g(x)]  

 Đặc biệt: cos[f(x)] = 1  f(x) = k2, k  Z
cos[f(x)] = -1  f(x) =  + k2, k  Z
cos[f(x)] = 0  f(x) =


+ k, k  Z.
2

3. Phương trình tanx = a:
tanx = tan  x =  + k, k  Z [x = 0 + k1800, k  Z]
tanx = a x = arctana + k, k  Z [x = arctana + k1800, k  Z]
* Chú ý: tan[u(x)] = tan  u(x) =  + k, k  Z [ux) = 0 + k1800, k  Z]
 tan[u(x)] = a
tan[u(x)] = a ux) = arctana + k, k  Z [ux) = arctana + k1800, k  Z]
 Tổng quát: tan[f(x)] = tan[g(x)]  f(x) = g(x) + k, k  Z.
 Đặc biệt: tan[u(x)] = 0  u(x) = k, k  Z.
4. Phương trình cotx = a:
cotx = cot  x =  + k, k  Z [x = 0 + k1800, k  Z]
cotx = a x = acrcota + k, k  Z [x = acrcota + k1800, k  Z]
* Chú ý:
cot[u(x)] = cot  u(x) =  + k, k  Z [ux) = 0 + k1800, k  Z]
 cot[u(x)] = a
cot[u(x)] = a ux) = acrcota + k, k  Z [ux) = acrcota + k1800, k  Z]
 Tổng quát: cot[f(x)] = cot[g(x)]  f(x) = g(x) + k, k  Z.
 Đặc biệt: cot[u(x)] = 0  u(x) =

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


+ k, k  Z.
2

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

ĐS-GT 11

FB: />
§3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
THƯỜNG GẶP
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
DẠNG at 2  bt  c  0 ( a  0 ), với t là một hàm số lượng giác (sinx, cosx, tanx, cotx, …)
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x VÀ cos x
DẠNG a sin x b cos x c ( a 2  b 2  0 )
- Chia hai vế của phương trình cho a 2 b2 , phương trình trở thành
a
a

2

b

2

b

sin x
a

2

b

2

a

2

a

2

b
b

b
a2

2

a

b2

;

2

b

2

1

nên có góc

sao cho

a
a2

, ta có phương trình tương đương : sin x cos

sin

b2

2

2

a

- Vì

c

cos x

và

cos

b2

cos x sin
c

- Áp dụng công thức cộng, ta được phương trình sin x
a

2

b2

c
a2

b2

;

.

Nhận xét
- Phương trình a sin x b cos x c có nghiệm khi và chỉ khi a 2 b2 c 2 .
- Các phương trình a sin x b cos x c , a cos x b sin x c cũng được giải tương tự.
III. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI THEO sin x VÀ cos x
DẠNG a sin 2 x b sin x cos x c cos 2 x 0
- Xét xem x
- Với x

2

k

2
k

( a 2  b2  c2  0 )

có thỏa phương trình không ;

( cos x 0 ), chia hai vế của phương trình cho cos 2 x để đưa về phương

trình theo tan x .
Chú ý: Đồi với các phương trình a sin 2 x b sin x cos x 0 , b sin x cos x c cos 2 x 0 ta có thể
giải bằng cách đưa về phương trình tích.
- Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi, phương trình thuần nhất bậc hai
được chuyển thành phương trình bậc nhất theo sin 2x và cos 2x .
- Với hằng đẳng thức d

d sin 2 x

d cos 2 x ,

phương trình a sin 2 x b sin x cos x c cos 2 x d

cũng được xem là phương trình thuần nhất.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ