NỘI DUNG 2 BIẾN đổi LƯỢNG GIÁC

Lượng giác

FB: />
II. BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
Chuyên đề: Lượng giác
Ví dụ 1: Cho góc

2

1
5

mà sin

;

. Tính sin

6

Bài giải
♥ Từ hệ thức: cos2
Suy ra: cos

sin 2

1

và

1 sin2

1
5

1

Thay (2) vào (1) ta được: sin
3
;2
2

Ví dụ 2: Cho góc

2

2

(2)

5
3 2
2 5

6

mà sin

;

2

cos

1
.
2

2

Tính sin 2

Bài giải
♥ Từ sin

cos

2

cos2

♥ Do

1
2

2

1
4

1 sin

1 sin 2

1

9
16

7
16

3 7
8

2sin .cos

Ví dụ 3: Cho góc

7
4

cos

3
;2
2

♥ Vậy sin 2

3
4

sin

;

3
2

9
.
41

mà cos

Tính tan

4

Bài giải
♥ Do

;

3
2

♥ Do đó tan
Ví dụ 4: Cho

Bài giải
♥ Ta có: sin 4

sin

4

1 cos2

1

40
41

40
1
31
9
.
40 49
1
9
1
sin
. Tính sin 4
4

tan

40

9

tan
1
1 tan

là góc mà
2sin 2

cos

cos2

là góc mà tan

2.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

2sin 2

1 .2sin 2 .cos

8 1 sin

Ví dụ 5: Cho

92
412

2

2

cos
2 cos2 .4sin .cos2
2

1
1
81
.
16 4

.sin

Tính P

sin

3

225
128

sin
3cos3

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

Lượng giác

FB: />
Bài giải
♥ Vì tan

2

0,

nên sin
P

sin

do đó:
1
sin2
1 3cot 3

sin
3cos3

3

1 cot 2
1 3cot 3

tan 2

tan

1 .tan

22

3

2

3

1 .2
3

3

10
11

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

4
5

Câu 1. Biết cos  

và 00    900 . Tính giá trị của biểu thức A 

1

2 cos 2   1
4
25
+ Thay cos   , ta được A 
5
7
Lưu ý. HS có thể tính sin  , suy ra tan  ,cot 

cot   tan 
cot   tan 

.

+ Biến đổi được A 

Câu 2. Cho góc  thõa mãn :    

3
2

, thay vào A.
1
3

và cos =- . Tính P 

sin 
sin   3cos 3 
3

Ta có
sin 2   1  cos 2   1 

Vì    

3
2

nên sin  <0

Do đó sin   
Vậy P 

1 8

9 9

2 2
3

sin 
sin   3cos 3 
3



=

2 2
3

3

 2 2
 1

  3.   
3 
 3


3



18 2
16 2  3

4

Câu 3. Cho cos   ,      0  .
5  2





Tính giá trị biểu thức A  sin     cos    
4
4








2

9
4
sin   cos   1  sin   1  cos   1    
25
5
3
 sin   
5
2

2

2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

2

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

Lượng giác

3
Vì     0 nên sin   
2
5

Câu 4. Cho góc


FB: />


1
 
. A  sin     cos      sin 2  sin    
4
4
2
2

thỏa mãn



 


1
49

  2sin  cos   1  
2
50

và sin  

2

12
. Tính A
13



cos



4

2

Ta có A  cos     
cos  sin  
4
2

cos2  1  sin2   1 

Thay sin  

144
25
5
5


 cos  
 cos   (do     )
169 169
13
13
2

12
5
7 2
, cos  
vào A ta được A 
13
13
26

Câu 5. Cho góc

thỏa mãn

cos 2

1 2 sin2

1 cos

Ta có A

cos

1

cos2  1  sin2   1 
4
5

2

và sin

4
. Tính A
5

cos 2
1 cos

16
9
3
3


 cos    cos   (do     )

25 25
5
5
2

Thay sin   , cos  

3
7
vào A ta được A  
5
40

Câu 6. Cho tan α  2 và π  α 

3π
2π
. Tính sin  α   .
3 
2


Ta có
Cos 2 α 

1
1
1
5


  cosα  
2
1  tan α 1  4 5
5

3π
5
 cosα  0 nên cosα  
2
5
 5
2 5
sin α  cosα.tan α 
.2 
5
5

Do π  α 

Vậy
2π 
2π
2π

sin  α 
 cosα.sin
  sin α.cos
3 
3
3




2 5 1  5 3 2 5  15
. 
.

5
2
5
2
10

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Lượng giác

FB: />


Câu 7. Cho    

P

P

6

. Tính giá trị P 

cos  cos    sin   sin  2
sin   cos  2  sin   cos 2
2

2  2cos  cos   sin  sin   2  2 cos   

2  2sin  cos   sin  cos   2  2 sin    

2  2 cos
2  2 sin


6  2 3



6


3


Câu 8. Cho     0 và cos   . Tính giá trị: P  cos      sin     .
2



5



3



6

4
5

Vì     0 nên sin    1  cos 2    . Suy ra
2

P  cos  cos


3

 sin  .sin


3

 sin  .cos


6

 cos  .sin


6

3 1 4 3 4 3 3 1 3
P .  .
 .
 .  .
5 2 5 2 5 2 5 2 5

Câu 9. Cho góc  thỏa mãn
1
3

Ta có: sin(   )    s inx 

Vì


2

 

7

và sin(   )   . Tính tan     .
3
 2


1

1
3


 7





tan 
    tan  3      tan      cot 
2
 2



2

1
1

 cot   
 1  2 2
     cot   0 . Do đó 1  cot 2  
2
2

sin 
sin 2 
7
Vậy tan      2 2 .
 2



1
2

Câu 10. Cho sin   . Tính giá trị biểu thức P  2 (1  cot  ).cos(   ) .
4

sin   cos
1  2 sin 2 
(cos  sin  ) 
sin 
sin 
1
thay sin   vào ta tính được P =1
2

P

Câu 11. Cho cot a  2 . Tính giá trị của biểu thức P 

sin 4 a  cos 4 a
.
sin 2 a  cos 2 a

sin 4 a  cos 4 a
sin 4 a  cos 4 a
sin 4 a  cos 4 a
P


.
sin 2 a  cos 2 a  sin 2 a  cos 2 a  sin 2 a  cos 2 a  sin 4 a  cos 4 a

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Lượng giác

FB: />
Chia tử và mẫu cho sin 4 a , ta được P 

1  cot a 1  2
17


4
4
1  cot a 1  2
15
4

4

Câu 12. Cho sin   2 cos   1 . Tính giá trị biểu thức P  2sin 2  2 cos 2  sin 2  .
P  4sin  cos   4 cos 2   sin 2   2

P  4sin  cos   4 cos 2   sin 2   2   2 cos   sin    2  12  2  1
2

3
5

Câu 13. Cho cos   . Tính giá trị của biểu thức P  cos 2

Ta có: P 


2

 cos 2

1  cos 
  2 cos 2   1
2

1 3  9
 27
 1     2.  1 
2  5   25  25

Câu 14. Cho góc lượng giác  , biết tan   2 .

Tính giá trị biểu thức P 

P 

cos2 -3
.
sin2 

cos2 -3 2cos2  4

sin2 
1  cos2

1  tan2  

1
1
1
 cos2 
 .
2
2
cos 
1  tan  5

Câu 15. Cho góc  thỏa mãn:    

Suy ra P  

3

2

9
2

và tan   2 .



Tính giá trị A  sin 2  cos(  ) .
2

Vì    

3
2

sin   0

1

1

2


 sin   cos .tan   
nên 
. Do đó: cos  
1  tan 2 

5
5
cos  0

Ta có: A  2sin  .cos  sin  

Câu 16. Cho tan   

42 5
5

1

với     0.
2
2

Tính giá trị của biểu thức: A  5 cos   5 sin 2.

2

Do     0  sin   0, cos   0.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Lượng giác

FB: />

1
1
1
2
 1 
 cos  
2
2
4 cos 
cos 
5
1
 sin   tan .cos   
5
2
1 2
Do đó: A  5 cos   10 sin  cos   5   10    2  4  6.
5
5 5

Ta có: 1  tan2  

Câu 17. Cho tan   1 (  (0;  )) .
2

2

Tính giá trị biểu thức P 

1


tan   (   (0; ))
2
2

2 tan

2sin



 3cos



2
2 1 .


5
sin  2cos
2
2



2  1  tan 2   4 tan   1  0
 2
2
2

1  tan 2
2



Suy ra tan  2  5 hoặc tan  2  5 (l ) . Do tan  0 .
2
2
2

Vì

Thay vào ta có P 

nên

2 tan
tan



2



2

3

2



1
2 5 1 1


2
5
5
5

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ