LT đại số GT 11 CHƯƠNG II tổ hợp xác SUẤT

ĐS-GT 11

FB: />
CHƯƠNG II. TỔ HỢP – XÁC SUẤT

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Tập hợp:
 Tập rỗng:  là tập hợp không chứa  A = B  A  B và B  A
phần tử nào.
 Tính chất:
 Tập con:
a) A  A với mọi tập hợp A.
b) Nếu A  B và B  C thì A  C.
B
A
c)   A với mọi tập hợp A.
 Kí hiệu: N*, Z*, Q*, R* là các tập
A  B  x : x  A  x  B )
hợp số không có phần tử 0.
 Số tập con của tập có n phần tử là 2n.
2. Các phép toán trên tập hợp:
Giao

Hợp

Hiệu

Phần bù
B

A

A

B

 A  B ={xx  A
và x  B}
x  A
x  B

 x A B  

A

B

A

 A  B ={xx  A
hoặc x  B}
x  A
x  B

 x A B  

B

 A\ B ={xx  A
và x  B}
x  A

x  B

 x A\ B  

Khi B  A thì A\B
gọi là phần bù của
B trong A, kí hiệu
C AB .

3. Dấu hiệu chia hết:
 Số chia hết cho 2 là những số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.
 Số chia hết cho 5 là những số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
 Số chia hết cho 3 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 3.
 Số chia hết cho 9 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 9.
4. Số và chữ số:

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
§1. QUY TẮC ĐẾM
I- Quy tắc cộng:
Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành
động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện (không trùng với
bất kì cách nào của hàng động thứ nhất) thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
* Chú ý:  Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.

 Quy tắc cộng thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hai tập hợp hữu
hạn không giao nhau. Vậy nếu A và B là các tập hữu hạn không giao nhau thì
n(A  B) = n(A) + n(B).
II- Quy tắc nhân:
Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m
cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành
động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.
* Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.

§2. HỐN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
I- HOÁN VỊ:
1. Đònh nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp
thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vò của n phần tử đó.
* Nhận xét: Hai hoán vò của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
2. Số các hoán vò: Kí hiệu Pn là số các hoán vò của n phần tử. Ta có:
Pn = n(n - 1)(n - 2)...2.1 = n!
II- CHỈNH HP:
1. Đònh nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1). Kết quả của việc lấy k phần
tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó
được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
2. Số các chỉnh hợp:
Kí hiệu Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 k n). Ta có:
Ank = n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1)
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
* Chú ý:
a) Với quy ước 0! = 1, ta có: Ank =

n!
(1  k  n)(n, k  N)
(n  k )!

b) Mỗi hoán vò của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần
tử. Vì vậy Pn = Ann .
III- TỔ HP:
1. Đònh nghóa: Giả sử tập A có n phần tử (n  1). Mỗi tập con gồm k phần tử của
A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
* Chú ý: Vì tập  (0 phần tử) là tập con của tập A nên ta có điều kiện 0  k  n.
2. Số các tổ hợp: Kí hiệu Cnk là số các tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có:
C nk 

n!
(0  k  n) (n, k  N)
k!(n  k )!

3. Tính chất của các số Cnk :
a) Tính chất 1: Cnk  Cnnk (0  k  n)
b) Tính chất 2: Cnk11  Cnk1  Cnk (1 k < n) - công thức Pascal

§3. NHỊ THỨC NEWTON
I- CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON:
(a  b)n  Cn0 a n  Cn1 a n1b  Cn2 a n2 b 2  ...  Cnk a nk b k  ...  Cnn1ab n1  Cnn b n

Hệ quả:

 Với a = b = 1, ta có: (1 + 1)n = 2n = Cn0  Cn1  ...  Cnn
 Với a = 1, b = -1, ta có: (1 - 1)n = 0n = Cn0  Cn1  ...  (1)k Cnk  ...  (1)n Cnn
* Chú ý: Vế phải trong khai triển nhò thức NewTon:
a) Số các hạng tử là n + 1;
b) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước a 0=b0 = 1).
c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
Nhận xét
- Số hạng tổng qt trong khai triển là Cnk a nk bk ;
- Trong cùng một số hạng, số mũ của a và b có tổng bằng n ;
- Trong khai triển (*) có n + 1 số hạng ;
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
- Trường hợp đặc biệt,

1  x 

n

 Cn0  Cn1 x  ...  Cnk x k  ...  Cnn x n
n

  Cnk x k
k 0

II- TAM GIÁC PASCAL:

§4. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
I- PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU:
1. Phép thử:
Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc
dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.
2. Không gian mẫu:
Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của
phép thử và kí hiệu là .
II- BIẾN CỐ:
 Biến cố là một tập con của không gian mẫu.

A

* Chú ý:
i) Các biến cố thường được kí hiệu bởi các chữ in hoa A, B, C,... Khi nói : "cho
các biến cố A, B, C" (mà không nói gì thêm) thì ta hiểu chúng cùng liên quan đến
một phép thử.
ii) Các biến cố thường được cho bởi mệnh đề mô tả biến cố hoặc mệnh đề xác
đònh tập con của không gian mẫu.
 Tập  được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập  được
gọi là biến cố chắc chắn.
* Chú ý: Biến cố A xảy ra trong một phép thử nào đó khi và chỉ khi kết quả của
phép thử đó là một phần tử của tập A (hay thuận lợi cho A).
III- PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ:
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

ĐS-GT 11

FB: />
a) Giả sử A là biến cố liên quan đến một phé p thử. Tập \A được gọi là biến cố
đối của biến cố A, kí hiệu là A .
b) Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử. Ta có:
 Tập A  B được gọi là hợp của các biến cố A và B; A  B xảy ra khi và chỉ
khi A xảy ra hoặc B xảy ra.
 Tập A  B được gọi là giao của các biến cố A và B (còn được viết tắt là A.B);
A  B xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra.
 Nếu A  B =  thì ta nói A và B xung khắc; A và B xung khắc khi và chỉ khi
chúng không khi nào cùng xảy ra.
Kí hiệu
A
A=
A=
C=AB
C=AB
AB=
B= A

Ngôn ngữ biến cố
A là biến cố
A là biến cố không
A là biến cố chắc chắn
C là biến cố "A hoặc B"
C là biến cố "A và B"
A và B xung khắc
A và B đối nhau.

A

B

§5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
I- ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT:
Giả sử là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng
khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số

n( A )
là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A).
n( )

P(A) =

n( A )
n( )

* Chú ý: n(A) là số phần tử của A hay cũng là số các kết quả thuận lợi cho biến
cố A, còn n() là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

II- TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT:

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
Đònh lí: Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu
hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó:



 P(P
P với mọi biến cố A.
 Nếu A và B xung khắc, thì P(A  B) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)
Hệ quả: Với mọi biến cố A, ta có:
P( A ) = 1 - P(A)

III- CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT:
1

Quy tắc cộng xác xuất
Biến cố hợp Cho hai biến cố A và B. Biến cố A  B được gọi là hợp của hai biến cố

A và B. Biến cố A  B có nghĩa là “A hoặc B xảy ra”.
Biến cố xung khắc Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A  B   .
Đối với hai biến cố xung khắc, nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia khơng xảy ra.
Định lý Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P  A  B   P  A   P  B  .
2

Quy tắc nhân xác xuất
Biến cố giao Cho hai biến cố A và B. Biến cố “cả A và B cùng xảy ra”, kí hiệu là

AB, được gọi là giao của hai biến cố A và B.
Biến cố độc lập Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay khơng

xảy ra của biến cố này khơng ảnh hưởng tới xác xuất xảy ra của biến cố kia.
Định lý Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì P  AB   P  A  P  B  .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ