LT đại số 10 CHƯƠNG IV bđt BPT

ĐẠI SỐ 10

FB: />
CHƯƠNG IV. BẤT ĐẲNG THỨC
BẤT PHƯƠNG TRÌNH

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Bất đẳng thức:
 Hệ thức dạng a < b (hay a > b, a  b, a  b) là bất đẳng thức.
 Tính chất:
a) Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng
thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
b) Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được
bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất
đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.
2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn:
a) Dạng: ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b  0, ax + b  0), trong đó a, b là các
số đã cho, a ≠ 0.
b) Hai quy tắc biến đối bất phương trình:
 Khi chuyển vế một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia phải
đổi dấu hạng tử đó.
 Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, phải:
 Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.
 Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

ĐẠI SỐ 10

FB: />
§1. BẤT ĐẲNG THỨC

I- ÔN TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
1. Khái niệm bất đẳng thức:
Các mệnh đề dạng "a < b" hoặc "a > b" được gọi là bất đẳng thức.
* Chú ý: Các mệnh đề dạng "a < b" hoặc "a > b" gọi là các bất đẳng thức
ngặt. Các mệnh đề dạng "a  b" hoặc "a  b" gọi là các bất đẳng thức không ngặt.
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương:
Nếu mệnh đề "a < b  c < d" đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng
thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và cũng viết là a < b  c < d.
Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta
nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a < b  c < d.
Để chứng minh bất đẳng thức a < b ta chỉ cần chứng minh a - b < 0.
3. Tính chất của bất đẳng thức:
Tính chất
Điều kiện
Nội dung
a
c>0

a < b  ac < bc

c<0

a < b  ac > bc
a  b

a+c
c  d

a>0
c>0
n nguyên
dương

a  b
 ac < bd

c

d


a < b  a2n + 1 < b2n + 1
0 < a < b  a2n < b2n

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

Phát biểu
Cộng hai vế của một bất đẳng thức cho cùng
một số ta được một bất đẳng thức tương đương
cùng chiều.
Nhân hai vế của một bất đẳng thức cho cùng
một số dương ta được một bất đẳng thức tương
đương cùng chiều.
Nhân hai vế của một bất đẳng thức cho cùng

một số âm ta được một bất đẳng thức tương
đương ngược chiều.
Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức cùng chiều ta
được bất đẳng thức cùng chiều.
Nhân vế theo vế hai bất đẳng thức cùng chiều ta
được bất đẳng thức cùng chiều.
Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa
lẻ ta được một bất đẳng thức tương đương cùng
chiều.
Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa
chẵn ta được một bất đẳng thức cùng chiều.
SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

a>0

FB: />
Khai căn bậc chẵn hai vế của một bất đẳng thức
dương ta được một bất đẳng thức tương đương
cùng chiều.
Khai căn bậc lẻ hai vế của một bất đẳng thức ta
được một bất đẳng thức tương đương cùng
chiều.

a
a

II- BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN
(CAUCHY)
1. Bất đẳng thức CauChy (Cô-si):
Đònh lí: Trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình
nhân của chúng.
a, b  0,

ab
 ab .
2

Đẳng thức

ab
 ab
2

khi và chỉ khi a = b

2. Các hệ quả:
Hệ quả 1: Tổng của một số dương với nghòch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.
a

1
2,
a

a > 0

Hệ quả 2:

 Nếu hai số x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và
chỉ khi x = y.
 Nếu hai số x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi
và chỉ khi x = y.
Ý nghóa hình học:
 Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
 Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
III- BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
Điều kiện

a>0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

Nội dung
x  0, x  x, x  -x
x  a  -a  x  a
x  a  x  -a hoặc x 
a
a - b  a + b  a +
b

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

FB: />
LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
1. Tính chất

Điều kiện
c>0
c<0
a > 0, c > 0
n nguyên dương

Nội dung
aa < b  ac < bc
a < b  ac > bc
a < b và c < d  a + c < b + d
a < b và c < d  ac < bd
a < b  a2n+1 < b2n+1
0 < a < b  a2n < b2n
a
a>0

a
3

a b

(1)
(2a)
(2b)
(3)
(4)
(5a)

(5b)
(6a)

a3b

(6b)

2. Một số bất đẳng thức thông dụng
a)
a2  0, a .
a2  b2  2ab .
b) Bất đẳng thức Cô–si:
+ Với a, b  0, ta có:
+ Với a, b, c  0, ta có:

ab
 ab . Dấu "=" xảy ra  a = b.
2
abc 3
 abc . Dấu "=" xảy ra  a = b
3

= c.

Hệ quả: – Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất  x = y.
– Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất  x = y.
c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
Điều kiện

Nội dung

x  0, x  x, x   x

x  a  a  x  a
a>0

 x  a
x a  
x  a
a  b  ab  a  b

d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác
Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có:
+ a, b, c > 0.
+ ab  c  ab ; bc  a  bc ; ca  b  ca .
e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki
Với a, b, x, y  R, ta có: (ax  by)2  (a2  b2 )( x 2  y2 ) .
Dấu "=" xảy ra  ay = bx.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

FB: />
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản
 Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau:
– Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết.
– Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh.

 Một số BĐT thường dùng:
+ A2  0
+ A2  B 2  0
+ A.B  0 với A, B  0. + A2  B 2  2 AB
Chú ý:
– Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức.
– Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra.
Khi đó ta có thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si
1. Bất đẳng thức Cô–si:
+ Với a, b  0, ta có:
+ Với a, b, c  0, ta có:
2

2. Hệ quả:

ab
  ab
 2 

+

ab
 ab . Dấu "=" xảy ra  a = b.
2
abc 3
 abc . Dấu "=" xảy ra  a = b
3

= c.

3

abc
  abc

3


+

3. Ứng dụng tìm GTLN, GTNN:
+ Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất  x = y.
+ Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất  x = y.
VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki
Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki:
(B)
 Với a, b, x, y  R, ta có: (ax  by)2  (a2  b2 )( x2  y2 ) . Dấu "=" xảy ra  ay = bx.
 Với a, b, c, x, y, z  R, ta có: (ax  by  cz)2  (a2  b2  c2 )( x2  y2  z2 )
Hệ quả:

 (a  b)2  2(a2  b2 )

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

 (a  b  c)2  3(a2  b2  c2 )

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

ĐẠI SỐ 10

FB: />
§2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH MỘT ẨN
I- KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
1. Bất phương trình một ẩn:
Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến dạng f(x)trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức chứa của x.
Số thực x0 sao cho f(x0) < g(x0) (f(x0)  g(x0)) là một mệnh đề đúng gọi là một
nghiệm của bất phương trình (1).
Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói
bất phương trình vô nghiệm.
* Chú ý: Bất phương trình (1) cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g(x) > f(x) hoặc
g(x)  f(x).
2. Điều kiện của một bất phương trình:
Điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghóa là điều kiện xác đònh (hay gọi
tắt là điều kiện) của bất phương trình (1).
3. Bất phương trình chứa tham số:
Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có
các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.
Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trò nào
của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các
nghiệm đó.
II- HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
Hệ bất phương trình ẩn a gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm các
nghiệm chung của chúng.
Mỗi giá trò của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ
được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.

Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các
tập nghiệm.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

FB: />
III- MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Bất phương trình tương đương:
Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình
tương đương và dùng kí hiệu "" để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình
đó.
Khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương
đương với nhau và dùng kí hiệu "" để chỉ sự tương đương đó.
2. Phép biến đổi tương đương:
Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó
thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được
bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nất mà ta có thể viết ngay tập
nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.
3. Cộng (trừ):
Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm
thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
P(x) < Q(x)  P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)
* Nhận xét: Nếu cộng hai vế của bất phương trình P(x) < Q(x) + f(x) với biểu
thức -f(x) ta được bất phương trình P(x) - f(x) < Q(x). Do đó:
P(x) < Q(x) + f(x)  P(x) - f(x) < Q(x)

(Chuyển vế và đổi dấu các hạng tử của f(x) ta được bất phương trình tương đương)
* Chú ý: Trước khi giải bất phương trình ta phải tìm điều kiện của bất phương
trình đó.
4. Nhân (chia):
Nhân (chia) hai vế bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trò
dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất
phương trình tương đương.
Nhân (chia) hai vế bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trò
âm (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất
phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
P(x) < Q(x)  P(x).f(x) < Q(x).f(x) nếu f(x) > 0, x
P(x) < Q(x)  P(x).f(x) > Q(x).f(x) nếu f(x) < 0, x
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

FB: />
* Chú ý: Khi nhân hai vế bất phương trình cho f(x), nếu biểu thức f(x) nhận cả
hai giá trò dương lẫn âm thì ta phải xét lần lượt cả hai trường hợp f(x)<0 và f(x)>0.
5. Bình phương:
Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không
làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương.
P(x) < Q(x)  [P(x)]2 < [Q(x)]2
* Chú ý: Khi bình phương hai vế bất phương trình ta phải lần lượt xét hai trường
hợp:
 P(x), Q(x) cùng có giá trò không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình.
 P(x), Q(x) cùng giá trò âm, ta biến đối P(x) < Q(x)  -P(x) > -Q(x) rồi bình

phương.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

FB: />
§3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT

I- ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
1. Nhò thức bậc nhất:
 Nhò thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f(x) = ax + b với a, b, c là hai số đã
cho, a ≠ 0.
 Nghiệm của nhò thức: f(x)= ax+b là x0= 

b
a

(nghiệm của phương trình ax+ b = 0)

2. Dấu của nhò thức bậc nhất:
Đònh lí: Nhò thức f(x)=ax+b có giá trò cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trò trong
b
a

b
a

khoảng (  ;+) và trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trò trong khoảng (-;  ).
x

Bảng xét dấu

-

ax + b
 Nghiệm x0 = 

-

trái dấu a
b
a

b
a

+

0

cùng dấu a

của nhò thức chia trục số thành hai khoảng:
bên trái số x0

-

f(x) trái dấu a

f(x) cùng dấu a

x0

+

bên phải số x0

 Minh họa bằng đồ thò:
a>0

a<0
y

y

-

-

-

-

b
a

-

+

+

+

+

+

y = ax + b

+

x
O

y = ax + b
+

+

+

+

O

-

b

x

a

-

-

-

-

II- ỨNG DỤNG
1. Xét dấu tích, thương các nhò thức bậc nhất:
2. Giải bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu:
3. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trò tuyệt đối:
* Chú ý: Với a > 0, ta có: f(x)  a  -a  f(x)  a
f(x)  a  f(x)  -a hoặc f(x)  a

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

FB: />
LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0
VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
VẤN ĐỀ 3: Bất phương trình qui về bất phương trình bậc nhất một ẩn
1. Bất phương trình tích
 Dạng:
P(x).Q(x) > 0 (1) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)
 Cách giải: Lập bảng xét dấu của P(x).Q(x). Từ đó suy ra tập nghiệm của (1).
2. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

 Dạng:

P( x )
0
Q( x )

(2)

(trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)

 Cách giải: Lập bảng xét dấu của

P( x )
.
Q( x )

Từ đó suy ra tập nghiệm của (2).

Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu.

3. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
 Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng
định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

 Dạng 1:

 Dạng 2:

 g( x )  0
f ( x )  g( x )  
 g( x )  f ( x )  g( x )
  g( x )  0
  f ( x ) coù nghóa

f ( x )  g( x )    g( x )  0

   f ( x )   g( x )
   f ( x )  g( x )


Chú ý: Với B > 0 ta có: A  B  B  A  B ;

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

 A  B
A B
.
A  B

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

ĐẠI SỐ 10

FB: />
§4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I- BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax + by  c (1)
(ax + by < c, ax + by  c, ax + by > c) trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b
không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.
II- BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương
trình (1) được gọi là miền nghiệm của nó.
Quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm (hay miền nghiệm) của bất phương trình
ax + by  c (1):
Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng : ax + by = c.
Bước 2: Xét một điểm M(x0;y0) không nằm trên  (thường lấy O(0; 0) nếu O ).
Bước 3: Thay x0 và yo vào biểu thức ax + by.
Bước 4: Kết luận:
 Nếu ax0+by0  c là mệnh đề đúng thì nửa mặt phẳng (kể cả bờ ) chứa
điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c  0.
 Nếu ax0+by0  c là mệnh đề sai thì nửa mặt phẳng (kể cả bờ ) không
chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c  0.
* Lưu ý: Miền nghiệm của bất phương trình ax + by  c bỏ đi đường thẳng
ax + by = c là miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c.
III- HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn
x, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là
một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

IV- ÁP DỤNG VÀ BÀI TOÁN KINH TẾ
y
Ví dụ bài toán: Một phân xưởng có hai máy đặc
chủng M1, M2 sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu là I
6
và II. Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một
tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng. Muốn sản
C
4
xuất một tấn sản phẩm loại I phải dùng máy M1 trong
I
3 giờ và máy máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất
một tấn sản phẩm loại II phải dùng máy M1 trong 1
giờ và máy M2 trong 1 giờ. Một máy không thể dùng
x
4
2
A
O
để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy M 1
làm việc không quá 6 giờ trong một ngày, máy M 2
một ngày chỉ làm việc không quá 4 giờ. Hãy đặt kế
hoạch sản xuất sao cho tổng số tiền lãi cao nhất.
3x + y = 6

L = 2x + 1,6y

x+y=4

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

FB: />
§5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

I- ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
1. Tam thức bậc hai:
 Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x) = ax 2 + bx + c, trong đó
a, b, c là những số thực cho trước gọi là các hệ số với a ≠ 0.
 Nghiệm của tam thức bậc hai là nghiệm phương trình ax 2 + bx + c = 0.
2. Dấu của tam thức bậc hai:
Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0),  = b2 - 4ac
 Nếu  < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, với mọi x  R.
b
a

 Nếu  = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, trừ khi x = - .
 Nếu  > 0 thì f(x) có hai nghiệm x 1 và x 2 (x1 < x2). Khi đó f(x) trái dấu với
hế số a với mọi x nằm trong khoảng (x 1; x2) và f(x) cùng dấu với hế số a với mọi x
nằm ngoài đoạn [x1; x2].
* Chú ý: Khi hệ số b chẵn ta có thể thay  bằng ' = b'2 - ac.
Các bước lập bảng xét dấu tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
 Tính  = b2 - 4ac
 Nếu  < 0 thì f(x) vô nghiệm và
x
-

2
ax + bx + c

+
cùng dấu với a
b
a

 Nếu  = 0 thì f(x) có nghiệm kép x = - và
x
ax2 + bx + c

-

cùng dấu với a

b
a

0

+
cùng dấu với a

 Nếu  > 0 thì f(x) có 2 nghiệm x1, x2 (với x1 < x2) và
x
ax2 + bx + c

-
cùng dấu với a

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

x1
x2
+
0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

FB: />
Minh họa hình học:
<0

=0
y

y

a>0

+
+
+

+
+

+

y

+
+
+
+

+
+
+

+
+
+

+

x

+

O

-

<0

x

b

-

-

-

-

-

O

-

-

-

-

-

-

-

x2

-- -

-

x

>0
y

x
-

x1

+
+
+
+

2a

y

O

O

=0

y

-

+
+
+
+

+
+

O

a<0

>0

-

-

-

b

x

2a

-

-

-

-

-

+ + +
+
+
O -

x

II- ÁP DỤNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Bất phương trình bậc hai:
Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax 2 + bx + c < 0
(hoặc ax2 + bx + c  0 hoặc ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c  0), trong đó a, b, c là
những số thực đã cho với a ≠ 0.
2. Giải bất phương trình bậc hai:
Giải bất phương trình bậc hai là tìm các giá trò x để ax 2 + bx + c âm (dương,
không âm, không dương) tương ứng với < 0 (> 0,  0,  0) của bất phương trình.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

ĐẠI SỐ 10

FB: />
LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
1. Dấu của tam thức bậc hai
f(x) = ax 2  bx  c (a  0)
<0
a.f(x) > 0, x  R

 b
a.f(x) > 0, x  R \  
 2a 
a.f(x) > 0, x  (–∞; x1)  (x2; +∞)
a.f(x) < 0, x  (x1; x2)

=0
>0

Nhận xét:




a  0
ax 2  bx  c  0, x  R  
  0
a  0
ax 2  bx  c  0, x  R  
  0

2. Bất phương trình bậc hai một ẩn ax 2  bx  c  0 (hoặc  0; < 0;  0)
Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.
VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai một ẩn
VẤN ĐỀ 2: Phương trình bậc hai – Tam thức bậc hai
VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui về bậc hai
1. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử
dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

 Dạng 1:
 Dạng 2:
 Dạng 3:

 Dạng 4:

Chú ý:

 f ( x)  0
 g( x )  0
C2  
f ( x )  g( x )

f ( x )  g( x )    f ( x )  g( x )   
  f ( x )   g( x )   f ( x )  0
  f ( x )   g( x )
 f ( x )  g( x )
f ( x )  g( x )  
 f ( x )   g( x )
 g( x )  0

f ( x )  g( x )  
 g( x )  f ( x )  g( x )
C1

  g( x )  0
  f ( x ) coù nghóa

f ( x )  g( x )    g( x )  0

   f ( x )   g( x )
   f ( x )  g( x )




A  A A0;

 Với B > 0 ta có:


A  A  A  0

A  B  A  B  AB  0 ;

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

 A  B
A B
.
A  B

A  B  A  B  AB  0

A  B  B  A  B ;

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

FB: />
2. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường dùng
phép nâng luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.

 Dạng 1:
 Dạng 2:
 Dạng 3:


g( x )  0
f ( x )  g( x )  
2

 f ( x )   g( x )
 f ( x )  0 (hoaëc g( x )  0)
f ( x )  g( x )  
 f ( x )  g( x )

t  f ( x ), t  0
a. f ( x )  b. f ( x )  c  0   2


at  bt  c  0

Đặt u  f ( x ) ; u, v  0 đưa về hệ u, v.

 Dạng 4:

f ( x )  g( x )  h( x ) .

 Dạng 5:

 f ( x)  0
f ( x )  g( x )  
g( x )  0
 f ( x )   g( x )2


 Dạng 6:

  g( x )  0
 f ( x)  0

f ( x )  g( x )    g( x )  0

  f ( x )   g( x )2
 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

v  g( x )

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ